直线的点法向式方程

空间直线的点法式方程公式
空间直线是三维空间中的一条直线，它可以用点法式方程公式来表示。

点法式方程公式是指通过直线上的一点和直线的方向向量来表示直线的方程。

在三维空间中，点法式方程公式可以表示为：
(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c
其中，(x0, y0, z0)是直线上的一点，(a, b, c)是直线的方向向量。

点法式方程公式的优点是可以用来表示任意方向的直线，而不仅仅是水平或垂直的直线。

此外，它还可以用来表示直线的位置和方向，因为它包含了直线上的一点和直线的方向向量。

在实际应用中，点法式方程公式可以用来解决许多问题。

例如，可以用它来计算两条直线的交点，或者计算一条直线与一个平面的交点。

此外，它还可以用来计算直线的长度、角度和距离等。

需要注意的是，点法式方程公式只适用于直线，而不适用于曲线。

如果要表示曲线，需要使用其他的方程形式，如参数方程或极坐标方程。

点法式方程公式是三维空间中表示直线的一种常用方式。

它可以用来表示直线的位置和方向，以及解决许多实际问题。

在学习和应用中，需要注意其适用范围和注意事项，以充分发挥其作用。

§11.1.2直线的点法向式方程
【课型设置：自研+互动10分钟+展示30分钟】
班级姓名编号 NO：日期: 2012-02-08
一、学习目标：1、体会点法向式方程的建立过程，理解法向量的含义，掌握点法向式方程；
2、能根据题意写出直线的点法向式方程。

11.1.2直线的点法向式方程（练习部分）
（时段：自习课 ， 时间：30分钟 ）
1.求过点P 且垂直于n 的直线l 的点方向式方程。

（1）P )0,0(，n =)1,1( （2）P )2,5(，n =)2,0(
2.已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为)0,3(),2,3(),8,3(--C B A 。

（1）求BC 边所在直线的方程；
（2）求AB 边上中线CM 所在直线的方程； （3）求BC 边上高AD 所在直线的方程。

3.已知∆ABC 的三个顶点A （4，0）、B （6，7）、C （0，3），求此三角形BC 上高AD 所在直线方程。

4.已知原点O 在直线l 上的射影为)1,2(-H ，求直线l 的方程。

（提示：过点O 向直线l 作垂线，垂足H 为“射影”。

）
5.已知)4,7(-A 、)6,5(-B 两点，求线段AB 的垂直平分线的方程。

6.已知在ABC ∆中，
90=∠BAC ，点B 、C 的坐标分别为)2,4(、)8,2(，向量)2,3(=d ，且d 与AC 平行，求ABC ∆的两边所在直线的方程。

空间直线点向式方程和一般方程的相互转化数学中，空间直线的表示方式有很多种，其中最常见的有直线的向式方程和一般方程。

这两种方程之间的相互转化在数学中有着广泛的应用。

本文将从向式方程和一般方程的基本概念、转化方法等方面进行介绍。

一、向式方程的基本概念向式方程是指通过直线上一点和直线的方向向量，来表示直线的方程。

具体来说，若直线L上有点P（x0,y0,z0），且直线的方向向量为a（a1,a2,a3），则直线的向式方程可以表示为：(x-x0)/a1 = (y-y0)/a2 = (z-z0)/a3其中，x、y、z分别表示直线上任意一点的坐标。

二、一般方程的基本概念一般方程是指通过直线上两个不同的点来表示直线的方程。

具体来说，若直线L上有两点P1（x1,y1,z1）和P2（x2,y2,z2），则直线的一般方程可以表示为：(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1)其中，x、y、z分别表示直线上任意一点的坐标。

三、向式方程和一般方程的相互转化在数学中，向式方程和一般方程是可以相互转化的。

具体来说，有以下两种转化方式：1. 从向式方程转化为一般方程若已知直线L的向式方程为：(x-x0)/a1 = (y-y0)/a2 = (z-z0)/a3我们可以通过以下步骤将其转化为一般方程：（1）将向量a化为平面上的两个向量b和c。

具体来说，我们可以任意选取两个向量b和c，使它们与向量a不共线，然后使用向量叉积的方法求出向量n=b×c（其中×表示向量叉积）。

向量n垂直于平面，而既过点P且平行于向量a的直线L，则与平面到点P的垂线n相交于点Q，可以把向量PQ看成是平面上的向量，其分别在b、c上的投影值分别为t和s（t和s为实数）。

因此，我们可以得到以下向量表示：PQ = tb+sc（2）将向量表示化为坐标表示，具体来说，我们可以将向量b、c和n 分别表示为坐标向量：b = (x1,y1,z1)c = (x2,y2,z2) n = (a1,a2,a3)则有：PQ = tb+sc = (x-x0,y-y0,z-z0)因此，我们可以得到以下解方程组的方法：(x-x0)/a1 = (y-y0)/a2 = (z-z0)/a3(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1)2. 从一般方程转化为向式方程若已知直线L的一般方程为：(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1)我们可以通过以下步骤将其转化为向式方程：（1）选取一点P(x0,y0,z0)在直线上，我们假设刚刚选取的点为P(x0,y0,z0)。

空间直线方程的几种形式空间直线是三维空间中的一条直线，它可以用不同的形式来表示。

本文将介绍空间直线的几种常见的表示方法。

1. 参数式表示法在三维空间中，一条直线可以由一个点和一个方向向量唯一确定。

因此，我们可以用参数式表示法来表示空间直线。

假设直线上有一点P0(x0, y0, z0)，方向向量为v(a, b, c)，则该直线的参数式表示为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中t为参数，可以取任意实数。

这个参数式表示法比较容易理解，也比较方便使用。

2. 点向式表示法点向式表示法是一种简单的直线表示方法，它只需要知道直线上的两个点和一个方向向量。

假设直线上有两个点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)，方向向量为v(a, b, c)，则该直线的点向式表示为：r = P1 + t(P2 - P1)其中r为直线上的任意一点，t为参数，可以取任意实数。

这个表示法比较简洁，但是需要知道直线上的两个点。

3. 一般式表示法一般式表示法是一种比较复杂的直线表示方法，它可以表示任意一条直线。

假设直线的一般式方程为Ax + By + Cz + D = 0，则该直线的一般式表示为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中t为参数，可以取任意实数。

这个表示法比较复杂，但是可以表示任意一条直线。

4. 交点式表示法交点式表示法是一种比较特殊的直线表示方法，它适用于两条直线的交点。

假设两条直线分别为L1和L2，它们的参数式方程分别为： L1: x = x1 + a1t1, y = y1 + b1t1, z = z1 + c1t1L2: x = x2 + a2t2, y = y2 + b2t2, z = z2 + c2t2 则L1和L2的交点可以用交点式表示为：x = x1 + a1t1 = x2 + a2t2y = y1 + b1t1 = y2 + b2t2z = z1 + c1t1 = z2 + c2t2这个表示法只适用于两条直线的交点，但是在实际问题中也比较常见。

资源信息表11．1 （２）直线方程上海市控江中学 朱敏慧 一、教学内容分析本节的重点是直线的点法向式方程以及一般式方程的推导及应用.在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点法向式方程.引导同学发现直线的点方向式方程、点法向式方程都可以整理成关于y x 、的一次方程0=++c by ax （b a 、不全为零）的形式.本节的难点是通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力. 二、教学目标设计在理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程的基础上，进一步探究点法向式方程以及一般式方程；学会分类讨论、数形结合等数学思想，形成探究能力. 三、教学重点及难点直线的点法向式方程以及一般式方程； 四、教学流程设计1、概念引入从上一堂课的教学中，我们知道，在平面上过一已知点P ，且与某一方向平行的直线l 是惟一确定的．同样在平面上过一已知点P ，且与某一方向垂直的直线l 也是惟一确定的． 2、概念形成直线的点法向式方程在平面上过一已知点P ，且与某一方向垂直的直线l 是惟一确定的.建立直角坐标平面，设P 的坐标是00(,)x y ，方向用非零向量(,)n a b =表示.直线的点法向式方程的推导设直线l 上任意一点Q 的坐标为(,)x y ，由直线垂直于非零向量n ，故PQ n ⊥.根据PQ n ⊥的充要条件知0=⋅，即：00()()0a x x b y y -+-=①；反之，若11(,)x y 为方程⑤的任意一解，即1010()()0a x x b y y -+-=，记11(,)x y 为坐标的点为1Q ，可知1PQ n ⊥，即1Q 在直线l 上.综上，根据直线方程的定义知，方程⑤是直线l 的方程，直线l 是方程①的直线. 我们把方程00()()0a x x b y y -+-=叫做直线l 的点法向式方程，非零向量n 叫做直线l 的法向量.3、概念深化从上面的推导看，法向量是不唯一的，与直线垂直的非零向量都可以作为法向量. 若直线的一个方向向量是),(v u ，则它的一个法向量是),(u v -. 4、例题解析例1 已知点()()4321，，，B A -，求AB 的垂直平分线l 的点法向式方程. 解 由中点公式，可以得到AB 的中点坐标为()3,1，()2,4=→--AB 是直线l 的法向量，所以，AB 的垂直平分线l 的点法向式方程.()()03214=-+-y x [说明]关键在于找点和法向量！例2已知点)2,1(),6,1(--B A 和点)3,6(C 是三角形的三个顶点，求 （1）BC 边所在直线方程；（2）BC 边上的高AD 所在直线方程.解（1）因为BC 边所在直线的一个方向向量＝（7，5），且该直线经过点)2,1(--B ，所以BC 边所在直线的点方向式方程为5271+=+y x （2）因为BC 边上的高AD 所在的直线的一个法向量为＝（7，5），且该直线经过点)6,1(A ，所以高AD 所在直线的点法向式方程为0)6(5)1(7=-+-y x５、巩固练习练习11.1（2） （二）一般式方程 1、概念引入由直线的点方向式方程和点法向式方程，我们可以发现，平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于yx ,的二元一次方程表示；那么每一个关于yx ,的二元一次方程0=++c by ax （a ，b 不同时为0）是否都表示一条直线呢？2、概念形成直线的一般式方程的定义直线的点方向式方程和直线的点法向式方程经过整理，成为,x y 的二元一次方程0ax by c ++=.反之，任意二元一次方程0ax by c ++=(,0)a b 不全为都是直线方程么？回答是肯定的.首先，当0b ≠时，方程可化为()0cax b y b ++=，根据直线点法向式方程可知，这是过点(0,)cb -，以(,)a b 为一个法向量的直线；当0b =时，方程为0axc +=，由于0a ≠，方程化为c x a =-，表示过点(,0)ca -且垂直于x 轴的直线.所以二元一次方程0ax by c ++=(,0)a b 不全为是直线的方程，叫做直线的一般式方程. ３、例题解析例1 ABC ∆中，已知)2,1(-A 、)4,3(B ，求AB 边的中垂线的一般式方程.解 直线过AB 中点(1,3)D ，(4,2)n AB ==，则其点法向式方程为4(1)2(3)0x y -+-=，整理为一般式方程250x y +-=. [说明]点法向式方程化为一般式方程. 例2（1）求过点(2,5)A -且平行于直线1:4390l x y --=的直线方程；（2）求过点(3,4)B -且垂直于直线2:3760l x y +-=的直线方程.解 （1）解一：(4,3),(3,4n d =-=，又直线过点(2,5)A -，故直线的方程为4(2)3(5)x y +=-化简得43230x y -+=.解二：(4,3),n =-又直线过点(2,5)A -，故直线的点法向式方程为4(2)3(5)0x y +--=化简得43230x y -+=. 解三：设与1:4390l x y --=平行的直线方程为430x y c -+=，又直线过点(2,5)A -故4(2)350c --⋅+=，23c =，所以直线的方程是43230x y -+=.（2）解一：1l的法向量1(3,7)n =为所求直线的方向向量，又直线过点(3,4)B -，故直线的方程为7(3)3(4)x y -=+化简得73330x y --=. 解二：设与2:3760l x y +-=垂直的直线方程为730x y c -+=，又直线过点(3,4)B -故733(4)0c ⋅-⋅-+=，33c =-，所以直线的方程是73330x y --=.[说明]一般地，与直线0ax by c ++=平行的直线可设为0()ax by c c c ''++=≠其中；而与直线0ax by c ++=垂直的直线可设为0bx ay c ''-+=.例3能否把直线方程0532=++y x 化为点方向式方程？点法向式方程？若能，它的点方向式方程和点法向式纺方程是否唯一？并观察x 、y 的系数与方向向量和法向量有什么联系？解： 2131+=-+y x 、2131-+=+y x 、23132+=-+y x 、4164-=-+y x …… 2(1)3(1)0x y +++=、4（x+4）+6(y-1)=0……能够化成点方向式的形式，并且有无数个！所有的方向向量之间存在：一个非零实数λ，使得()2,321-==→→λλd d ； 易得点法向式方程也是不唯一的，并且有无数个！所有的法向量之间存在：一个非零实数λ，使得()3,221λλ==→→n n 变式：直线0=++c by ax 的方向向量可以表示为()a b -,λ 直线0=++c by ax 的法向量可以表示为()b a ,λ[说明]注意直线的一般式方程和点方向式方程与点法向式方程的联系.三、巩固练习 练习11.1（3） 补充练习1、（1）若直线过两点(,0),(0,)A a B b ，则,a b 分别叫做该直线在,x y 轴上的截距.当0ab ≠时，求直线AB 的方程；（2）若过点(4,3)P -的直线l 在两坐标轴上截距相等，求直线l 的方程. 2、 已知直线l 过点(2,3)P -且与,x y 轴分别交于,A B 两点.（1）若P 为AB 中点，求直线l 的方程；（2）若P 分AB 所成的比为2-，求l 的方程. 3、已知直线l 的方程为：(2)(12)430()a x a y a a R ++-+-=∈常数（1）求证:不论a 取何值，直线l 恒过定点；（2）记（1）中的定点为P ，若l OP ⊥（O 为原点），求实数a 的值.4、ABCD 中，三个顶点坐标依次为(2,3)-A 、(2,4)-B 、(6,1)--C ，求（1）直线AD 与直线CD 的方程；（2）D 点坐标.5、．过点)4,5(--P 作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5个单位面积，求直线l 的方程.6、已知两直线1110++=a x b y 和2210++=a x b y 都通过(2,3)P ,求证：经过两点111(,)Q a b ，222(,)Q a b 的直线方程是2310++=x y .四、课堂小结１.直线的点法向式方程和一般方程的推导；２．直线的点方向式方程、点法向式方程和一般方程这三种形式方程之间的互相之间的联系. ３、确定直线方程的几个要素 五、课后作业习题11.1 A 组5,6,7；B 组3，4 习题11.1 A 组8 补充作业：直线320x y -+=的单位法向量是___________.直线l 的一般式方程为2370x y -+=，则其点方向式方程可以是__________；点法向式方程可以是_____________. 过(4,3)P -且垂直y 轴的直线方程是_______________.若直线(2)30m x my -++=的法向量恰为直线30x my --=的方向向量，求实数m 的值. 已知点(2,1)P -及直线:3250l x y +-=，求：（1）过点P 且与l 平行的直线方程；（2）过点P 且与l 垂直的直线方程.正方形ABCD 的顶点A 的坐标为(4,0)-，它的中心M 的坐标为(0,3)，求正方形两条对角线,AC BD 所在的直线方程.已知,,A B C 的坐标分别为(1,3),(,0),(0,)b c ，其中,b c 均为正整数，问过这三点的直线l 是否存在？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由. 设直线l 的方程为(1)20()a x y a a R +++-=∈证明：直线l 过定点；若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程.六、教学设计说明在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式），引导学生自主推导出直线的点法向式方程.通过对直线与二元一次方程关系的分析，引导学生经历由特殊到一般的思维过程，培养学生的探究能力.。

专题09直线方向向量和法向量的应用[新教材的新增内容]背景分析：在旧教材中直线方程只涉及了斜率和倾斜角的概念与向量知识缺少联系，而在新教材中引入了直线的方向向量和法向量的概念，让向量与直线联系到一起，为解决直线方程问题提供了向量工具. 1､点方向式方程（1）直线的方向向量：把与直线平行的向量叫着直线的方向向量，记着(,)d u v = （2）点方向式方程：如果直线的方向向量的坐标都不为零，即0u ≠，0v ≠时，直线通过某个点00(,)x y ，把方程00x x y y u v--=叫做直线的点方向式方程. 2､直线的点法向式方程（1）直线的法向量：把与直线垂直的向量叫着直线的法向量，记着(,)n a b =（2）点法向式方程：如果直线通过某个点00(,)x y ，且与向量(,)n a b =垂直的 直线方程00()()0a x x b y y -+-=，叫做直线的点法向式方程. 3.理解方程中各字母及其系数的几何意义by c[新增内容的考查分析]1.直线方向向量的应用（应用主要体现在，会求直线的方向向量，应用直线的方向向量解决直线中的相关问题.）【考法示例1】过，两点的直线的一个方向向量为则（）A. B. C. D.1【答案】C【分析】解法一：根据AB坐标求得向量，根据与直线的方向向量共线即可求得结果.解法二：根据直线的方向向量求得直线的斜率，结合两点的斜率公式即可求得结果.【详解】解法一：由直线上的两点，，得，又直线的一个方向向量为，因此，∴，解得，故选：C.解法二：由直线的方向向量为得，直线的斜率为，所以，解得.故选：C.【考法示例2】已知过定点的直线的一个方向向量是，则直线的点方向式方程可以为（）A. B.C. D.【答案】B【详解】因为直线的方向向量为且经过点，故直线的点向式方程为.故选：B.【考法示例3】设两条不重合的直线的方向向量分别为，则“存在正实数，使得是“两条直线平行”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】依题意为两条不重合的直线的方向向量，若存在正实数，使得，则，即可得到这两条直线平行，即充分性成立；若两直线平行，即，则存在实数，使得，不一定为正，当与同向时，当与反向时，，故必要性不成立；故“存在正实数，使得”是“两条直线平行”的的充分不必要条件，故选：2.直线法向量的应用（直线的法向量应用主要在两方面，1.会求直线的方向向量；2.应用直线的法向量解决直线中的相关问题.）【考法示例4】已知直线的方向向量为（1，5），则直线的法向量为（ ） A.B.C.D.【答案】C【分析】根据直线的方向向量与法向量的数量积等于零即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的法向量可以是或.故选：C.【考法示例5】已知两条直线，，若的一个法向量恰为的一个方向向量，则________.【答案】【分析】根据题意可得，利用两直线垂直的等价条件即可求解.【详解】因为直线的一个法向量恰为的一个方向向量，所以，所以，解得：.[新增内容的针对训练]1. 设()()111222,,,P x y P x y 为直线l 上的两点，则()122121,PP x x y y =--，我们把向量12PP 以及与它平行的向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 的方向向量垂直的向量称为直线l 的法向量．若直线l 经过点(1,4),(3,2)A B -，则直线的一个法向量n 为（ ） A. ()1,2n =- B. ()4,2n =- C. ()4,2n = D. ()1,2n =【答案】D 【解析】【分析】先计算出直线l 的方向向量AB ，然后通过数量积逐项判断n 与AB 是否垂直.【详解】因为()4,2AB =-，A ．当()1,2n =-，则4480AB n ⋅=+=≠，不满足， B ．当()4,2n =-，则164200AB n ⋅=+=≠，不满足，C ．当()4,2n =，则164120AB n ⋅=-=≠，不满足，D ．当()1,2n =，则440AB n ⋅=-=，满足， 故选：D.2. 下列命题正确的有（ ）．∴直线的方向向量是唯一的；∴经过点()00,P x y 且与向量(,)d u v =平行的直线l 的点方向式方程为00x x y y u v--=；∴直线10y =的一个方向向量是（1，0）． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】B 【解析】【分析】由于直线的方向向量是不唯一的，可判定∴不正确；由直线的点方向式方程，可判定∴不正确；由直线10y =的斜率为0，可判定∴是正确的. 【详解】对于∴中，由于直线的方向向量是不唯一的，所以∴不正确；对于∴中，只有等0,0u v ≠≠时，经过点()00,P x y 且与向量(,)d u v =平行的直线l的点方向式方程为00x x y y u v--=，所以∴不正确； 对于∴中，直线10y =的斜率为0，所以直线10y =的一个方向向量可以是(1,0)，所以∴是正确的. 故选：B.【点睛】本题主要考查了直线的方向向量的概念与辨析，以及直线的点方向式方程的应用，着重考查概念的辨析能力，属于基础题.3. 若过点(3,2)P m 和点(,2)Q m -的直线与方向向量为(5,5)a =-的直线平行，则实数m 的值是（ ） A.13 B. 13-C. 2D. 2-【答案】B 【解析】【分析】求出PQ 坐标，由向量共线可得关于m 的方程，进而可求出m 的值. 【详解】由题意得，(3,22)PQ m m =---与(5,5)a =-共线，所以5(3)(5)(22)0m m ----⋅-=，解得13m =-．经检验知，13m =-符合题意，故选:B ．【点睛】本题考查了由向量平行求参数，属于基础题.4. 已知直线l 经过点(1,2)P 和点(2,2)Q --，则直线l 的单位方向向量为 A. (3,4)-- B. 34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 34,55⎛⎫±± ⎪⎝⎭D. 34,55⎛⎫± ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出直线l 的一个方向向量为(3,4)PQ =--，再求出向量的模，根据单位向量||PQPQ ±即可求解. 【详解】由题意得，直线l 的一个方向向量为(21,22)(3,4)PQ =----=--，则||(5PQ =-=，因此直线l 的单位方向向量为134(3,4),555||PQ PQ ⎛⎫±=±--=± ⎪⎝⎭，故选：D .【点睛】本题考查了直线的方向向量以及单位向量的求法，考查了基本运算，属于基础题.5. 设直线:tan α=+l y x b ，其中,2k k πα≠π+∈Z 且0,≠∈R b b .给出下列结论其中真命题有（ ） A. l 的斜率是tan α B. l 的倾斜角是αC. l 的方向向量与向量(sin ,cos )a αα=平行D. l 的法向量与向量(sin ,cos )b αα=-平行. 【答案】AD 【解析】【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角，注意倾斜角的范围判断AB ，由直线的方向向量与法向量定义及向量共线的坐标表示判断CD ． 【详解】因为直线:tan α=+l y x b ，其中,2k k πα≠π+∈Z ，所以l 的斜率是tan α；所以A 对；l 的倾斜角θ满足tan tan θα=，但不一定有θα=，所以B 错；l 的方向向量为(1,tan )α，因为1cos sin tan ααα⨯≠，所以C 错； l 的法向量为(tan ,1)α-，因为1sin cos tan ααα-⨯=-，所以D 对；故选：AD.6. 直线l 经过点(2,3)P ，且一个方向向量是(3,1)d =，则直线的点法向式方程是（ ）A. 3(2)(3)0x y -+-=B. (2)3(3)0x y --+-=C.2331x y --= D.2313x y --=- 【答案】BC【解析】【分析】直接利用直线的点法向式方程求解.【详解】因为直线l 经过点(2,3)P ，且一个方向向量是(3,1)d =， 所以直线的点法向式方程是(2)3(3)0x y --+-=或2331x y --= 故选：BC【点睛】本题主要考查直线的点法向式方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7. 若一条直线的斜率为k ，则它的一个方向向量是___________，一个法向量是________.【答案】 ∴. (1,)k ∴. (,1)k - 【解析】【分析】根据直线方向向量与直线斜率关系，在直线上任取两点坐标相减得到的向量即为方向向量，再由法向量和方向向量的数量积为0，即可求得法向量. 【详解】因为直线的斜率为k ，所以它的一个方向向量为(1,)k ，设一个法向量为(),x y ，则()(),1,0x y k x ky ⋅=+=，不妨取,1x k y ==-，则它的一个法向量是(),1k -， 故答案为：(1,)k ；(,1)k -.【点睛】本题考查直线方向向量以及法向量，掌握直线斜率和方向向量以及法向量的关系是关键，考查了分析求解能力，属基础题.8. 直线1:2330l x y -+=，那么直线1l 的一个方向向量1d 为_____________；2l 过点（2，1），并且2l 的一个方向向量2d 满足120d d ⋅=，则2l 的点方向式方程是_____________．【答案】 ∴. ()3,2（与该项量共线的非零向量均可） ∴. 2123x y --=- 【解析】【分析】由题意结合直线方向向量的知识可得直线1l 的一个方向向量；求得一个满足要求的向量2d 后，利用直线的点方向式即可得2l 的点方向式方程.【详解】由题意可得直线1:2330l x y -+=的一个方向向量为()3,2， 所以1d 可为()3,2（与该项量共线的非零向量均可）； 设向量()2,n d m =，由120d d ⋅=可得320m n +=， 令2m =则3n =-，所以直线2l 的一个方向向量为()2,3-，又直线2l 过点(2，1)，所以该直线的点方向式方程为2123x y --=-. 故答案为：()3,2（与该项量共线的非零向量均可）；2123x y --=-. 【点睛】本题考查了直线方向向量的求解及直线点方向式方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9. 已知平面上直线l 的方向向量43,55e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，点(0,0)O 和(1,2)A -在l 上的射影分别为1O 和1A ，则11O A e λ=，其中λ=________. 【答案】2- 【解析】【分析】由题意结合平面向量的坐标运算、模的坐标运算可得(1,2)OA =-、1e =，进而可得λ即为OA 在e 方向上的投影，再由e OAeλ⋅=即可得解. 【详解】43,55e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(0,0)O ，(1,2)A -；∴415e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，(1,2)OA =-， ∴λ即为OA 在e 方向上的投影，∴465521e OA e λ--===-⋅.故答案为：2-.【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示、模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用，属于基础题.10. 如图，射线OA ，OB 所在直线的方向向量分别为()11,d k =，()()21,0d k k =->，点P 在AOB ∠内，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N .（1）若1k =，31,22P ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求OM 的值； （2）若()2,1P ，OMP 的面积是65，求k 的值； （3）已知k 为常数，M ，N 的中点为T ，且1MON S k=△，当P 变化时，求OT 的取值范围.【答案】（1（2）112或2；（3）1,k ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】(1)求出||OP ,点P 到直线的距离,利用勾股定理,求||OM 的值; (2)直线OA 的方程为0kx y ,求出(2,1)P 到直线的距离,利用勾股定理求出||OM ,利用OMP 的面积为65,求k 的值; (3)设直线OA 的倾斜角为α,求出||OM ,||ON ,利用1MON S k=△,可得P 变化时,动点T 轨迹方程,求出||OT ,即可求||OT 的取值范围.【详解】（1）31,22P ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，||OP ∴=， 若1k =，则()11,1d =，OA ∴的方程为y x =，即0x y -=，则点P 到直线OA2=，||OM ∴== （2）直线OA 的方程为0kx y ,(2,1)P到直线的距离为d =||OM ∴=, OMP ∴的面积为1625=, 112k ∴=或2； （3）设()11,M x kx ,()22,N x kx -,(,)T x y ,1>0x ,20x >,0k >, 设直线OA 的倾斜角为α,则tan k α=，22sin 21kk α=+, 根据题意得()121222x x x k x x y OM x ON x +⎧=⎪⎪-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩，解得12y x x ky x x k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 代入11||||sin 22MONSOM ON kα==， 化简得动点T 轨迹方程为22211k x y x k ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭.1||OT k∴====, 当且仅当11,,0x T k k ⎛⎫=⎪⎝⎭时,||OT 取得最小值1k.||OT∴的取值范围是1,k⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查三角形面积，考查轨迹方程，解题的关键是正确利用图形关系，得出三角形面积的表达式.。