11.3 格林公式

2. 简化二重积分
例 2 计算 e
D y2
dxdy ,其中 D 是以 O(0,0), A(1,1), B(0,1)
y
B A
为顶点的三角形闭区域.
1 解: 在应用格林公式将二重积分化 D 为曲线积分时，关键是要找到 P (x , y ) 和 Q (x , y), 使得 x Q P y2 o 1 e x y 并且这样的 P ，Q 在 D 的边界上的曲线积分应较简单 y2 经观察，可取 P 0, Q xe , 应用格林公式
11.3 格林公式
教学要求： 掌握格林公式（它的条件、结论及应用）； 理解并会用平面曲线积分与路径无关的条 件； 会判断Pdx+Qdy是否为全微分，并会 求出u(x,y),使得du=Pdx+Qdy
10.3 格林公式
一、区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域.
A
L
D
o
x
B
L B O O A x dy L x dy x dy x dy L x dy BO OA
在 BO 上，y = 0 , d y 0, x dy 0 BO 在 OA 上，x = 0 , O A x dy 0,
1 2 L x dy r 4
L BO O A
L
BO
OA
例 1 计算L xdy , 其中曲线 L 是半径为 r 的圆在第一象 限部分, 方向顺时针 y
解：方法 2 ：用格林公式 x dy ( Q P )dxdy L BO O A y D x dxdy 1 r 2 4 D
L Pdx Qdy L ydx xdy x D y (1 1)dxdy 2 S D
D
则有
y dxdy x
1 S D L xdy ydx 2
同理，若取 Q x , P 0, 则有 S D L xdy
若取 Q 0, P y, 则有 S D L ydx
D
L3
L1
L2
（2）格林公式建立了平面上的曲线积分与二重积分 的关系，它是牛顿莱布尼茨公式在平面上的推广。 主要用途：实现曲线积分与二重积分之间的转换，而 经常用来将复杂的曲线积分转化为二重积分。
Q P ( x y )dxdy L Pdx Qdy D
(1)
（3）若取 Q x , P y,
3 3
D
1
L
Q P Q P ( x y )dxdy ( x y )dxdy D D1 D2 D3
Q P Q P Q P ( x y )dxdy ( x y )dxdy ( x y )dxdy D1 D2 D3
L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边.
二、格林公式
定理1
L 设闭区域D 由分段光滑的曲线 围
D 成,函数 P ( x , y )及Q ( x , y ) 在 上具有一阶连
续偏导数, 则有
Q P ( x y )dxdy L Pdx Qdy D 其中 L 是D 的取正向的边界曲线,
？
格林公式的条件：P 、Q 在 D 上具有一阶连续偏导数
xdy ydx 例 3 计算 ,其中 L 为一条无重点,分段光 L x2 y2
滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方向为逆时针方向.
解 记 L 所围成的闭区域为 , D y x P 2 , Q 2 2 x y x y2
令 经计算有
L Pdx Qdy L Pdx Qdy L Pdx Qdy
1 2 3
L Pdx Qdy
( L1, L2 , L3 对D来说为正方向 )
L3
D3
D2
L2
D1
L1
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段 AB,CE. L 则 D 的边界曲线由 AB, 2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. D
滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方向为逆时针方向.
解 记 L 所围成的闭区域为 , 令 D y x P 2 , Q 2 经计算有 2 2 x y x y
y
L
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y
o
r
l
D1
x
(2) 当( 0,0) D 时, P、Q 在 D 内不连续
公式(1)叫做格林公式.
(1)
y
证明(1)
若区域 D 既是 X 型 又是Y 型,即平行于 坐标轴的直线和L 至 多交于两点.
d x 1 ( y) A
E
y 2 ( x)
D
B
c
o a
x 2 ( y) Cy 1 ( x )
b
x
D {( x , y ) 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b} D {( x , y ) 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d }
的部分
解：P ( x , y ) 2 x sin y 5 sin x Q ( x , y ) x 2 ( x 3 cos y ) Q P 4 5 x 2 x cos y 2 x cos y 5x 4 x y 记L所围成的闭区域为D，D1为D在第一象限内
的部分
d 2 ( y ) Q Q x dxdy c dy 1 ( y ) x dx D
c Q ( 2 ( y ), y )dy c Q ( 1 ( y ), y )dy
CBE Q( x , y )dy CAE Q( x , y )dy d
CBE Q( x , y )dy EAC Q( x , y )dy
L
D
o
x
B
则 L BO OA 为封闭曲线，所围区域记为 D
应用格林公式, ( P 0, Q x ) 1 2 Q P L B O O A x dy ( )dxdy dxdy r 4 y D x D x dy x dy x dy x dy
G
L3
E
L2
B
A
L1
C F
由(2)知
Q P ( x y )dxdy D
2 3
{ AB L BA AFC CE L EC CGA } ( Pdx Qdy )
( L L L )( Pdx Qdy )
2 3 1
L Pdx Qdy
y E D
x 2 ( y)
d
d
x 1 ( y)
L Q( x , y )dy
c o
C
x
同理可证
P dxdy L P ( x , y )dx D y
两式相加得
Q P ( x y )dxdy L Pdx Qdy D
D2 L2
L D 证明(2) 若区域D 由按段光 滑的闭曲线围成.如图, D1 将 D 分成三个既是X 型又是 L Y 型的区域 D1 ,D2 ,D3 .
便于记忆形式:
( L1, L2 , L3 对D来说为正方向 )
x y dxdy L Pdx Qdy . D P Q
Q P ( x y )dxdy L Pdx Qdy D
(1)
几点说明：
（1）若 D 为复连通区域
则曲线 L 应包括内外所有边界 L L1 L2 L3 并且它们对 D 均取正向。
为了能用格林公式，在 D 内以原点为中心作一小圆
x y r ,
2 2 2
在复连通域 D1上 格林公式条件满足
xdy ydx 例 3 计算 ,其中 L 为一条无重点,分段光 L x2 y2
L


2
起点 A， 0 终点 B， o
B
x
x d y 0 r cos d ( r sin ) L 2ຫໍສະໝຸດ r cos d2

2
0 2
1 2 r 4
例 1 计算 L xdy , 其中曲线 L 是半径为 r 的圆在第一象限
部分, 方向顺时针
y
A
解：方法 2 ：用格林公式 注意 L 不是一条封闭的曲线 补充有向线段：BO, OA
滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方向为逆时针方向.
解 记 L 所围成的闭区域为 , D y x P 2 , Q 2 2 x y x y2
令 经计算有 应用格林公式
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y
L
xd y yd x x y
2 2
Q P ( )dxdy 0 y D x
y L
D
Q y x P 2 2 2 x ( x y ) y
2 2
(1) 当(0, 0) D 时, 应用格林公式
o
x
L
xd y yd x x2 y2
Q P ( )dxdy 0 y D x
xdy ydx 例 3 计算 ,其中 L 为一条无重点,分段光 L x2 y2
D D
单连通区域 不含有洞的区域
复连通区域 含有洞的区域
例：D1 {( x , y ) | x y 1}
2 2
D2 {( x , y ) | 1 x y 4}
2 2
2.规定：边界曲线的正向 为： 人沿边界走， 总在其左方的方向 D
L1 L1
D
L2 L2