现代控制理论课件_状态空间与状态方程

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现代控制理论课件2

38
二、从系统的机理出发建立状态空间表达式
例1、求图示机械系统的状态空间表达式
外力 u(t)
K ---弹性系数 m
牛顿力学定律 my u by ky
阻尼系数
y(t) b
位移令
b u(t ) ky m y y
x1 y
x2 y
39

动态方程如下
x1 x2
x1 y 1 0 x2
41
例：设有如图所示的机械系统。它由两个彼此耦合的平台构成。并借助于弹簧和阻尼到达地基。试选择合适的状态变量，写出该系统的状态空间模型。
42

解答：依题意，进行受力分析，可得如下的微分方程：
M1y1 = u -k1 (y1 - y 2 )-f1 (y1 - y 2 ) M2y 2 = k1 (y1 - y 2 ) + f1 (y1 - y 2 )-k 2y 2 -f 2y 2
其中： a11 a12 a1n a a22 a2 n 21 A — 系统内部状态的联系， an1 an 2 ann
18
称为系统矩阵 , 为n n方阵；
多输入——多输出定常系统：用向量矩阵表示时的状态空间表达式为：
Ax Bu x y Cx Du
其状态变量为： x1 , x2 ,, xn , 则状态方程的一般形式为：
1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12u2 b1r ur x 2 a21x1 a22 x2 a2 n xn b21u1 b22u2 b2 r ur x n an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1u1 bn 2u2 bnr ur x

《现代控制理论》PPT课件

精选ppt
8
4、控制理论发展趋势
❖ 企业：资源共享、因特网、信息集成、信息技术+控制技术 (集成控制技术)
❖ 网络控制技术
❖ 计算机集成制造CIMS：（工厂自动化）
精选ppt
9
三、现代控制理论与古典控制理论的对比
❖ 共同对象－系统主要内容分析：研究系统的原理和性能设计：改变系统的可能性（综合性能）
现代控制理论
Modern Control Theory
精选ppt
1
绪论
❖ 学习现代控制理论的意义： 1.是所学专业的理论基础 2.是研究生阶段提高理论水平的重要环节。 3. 是许多专业考博士的必考课。
精选ppt
2
一、控制的基本问题
❖ 控制问题：对于受控系统（广义系统）S，
寻求控制规律μ(t)，使得闭环系统满足给
精选ppt
10ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、本课程主要内容
❖ 系统描述：状态空间表示法 ❖ 系统分析：状态方程的解、线性系统的能控
和能观测性、稳定性分析 ❖ 系统设计：状态反馈和状态观测器、 ❖ 最优控制：最优控制系统及其解法
精选ppt
11
五、使用教材
❖ 《现代控制理论》（第二版）刘豹主编机械工业出版社
参考书现代控制理论与工程西安交大
定的性能指标要求。
精选ppt
3
求解包括三方面：
1. 系统建模用数学模型描述系统 2. 系统分析定性：稳定性、能控能观性
定量：时域指标、频域指标 3. 系统设计
控制器设计、满足给定要求结构设计参数设计
精选ppt
4
二、控制理论发展史（三个时期）
❖1．古典控制理论：

《现代控制理论》课件

现代控制理论
目录
• 引言 • 线性系统理论 • 非线性系统理论 • 最优控制理论 • 自适应控制理论 • 鲁棒控制理论
01
引言
什么是现代控制理论
现代控制理论是一门研究动态系统控制的学科，它利用数学模型和优化方法来分析和设计控制系统的性能。
它涵盖了线性系统、非线性系统、多变量系统、分布参数系统等多种复杂系统的控制问题。
20世纪60年代
线性系统理论和最优控制理论得到发展，为现代控制理论的建立奠定了基础。
20世纪70年代
非线性系统理论和自适应控制理论逐渐发展起来，进一步丰富了现代控制理论的应用范围。
20世纪80年代至今
现代控制理论在智能控制、鲁棒控制、预测控制等领域取得了重要进展，为解决复杂系统的控制问题提供了更有效的工具。
01
利用深度学习算法对系统进行建模和学习，实现更高
效和智能的自适应控制。
多变量自适应控制
02 研究多变量系统的自适应控制方法，以提高系统的全
局性能。
非线性自适应控制
03
发展非线性系统的自适应控制方法，以处理更复杂的
控制系统。
06
鲁棒控制理论
鲁棒控制的基本概念
鲁棒控制是一种设计方法，旨在提高系统的稳定性和性能，使其在存在不确定性和扰动的情况下
自适应逆控制
一种基于系统逆动态特性的自适应控制方法，通过对系统逆动态特性的学习和控制，实现系统的自适应控制。
自适应控制系统设计
系统建模
建立被控对象的数学模型，包括线性系统和非线性系统。
控制器设计
根据系统模型和性能指标，设计自适应控制器，包括线性自适应控制器和非线性自适应控制器。
参数调整
根据系统运行状态和环境变化，调整控制器参数，以实现最优的控制效果。

《现代控制理论基础》课件

预测控制
预测控制是一种基于模型预测未来系统行为的控制方法。
控制器
控制器是控制系统中的核心组件，负责计算并施加控制信号。
操作对象
控制系统的操作对象可以是各种各样的设备或系统，了解操作对象的特性是设计有效控制策略的基础。
模型化
系统状态方程
通过建立系统状态方程，我们可以描述控制系统的动态行为。
传递函数
传递函数是描述输入和输出之间关系的数学表达式，常用于分析系统的频率响应。
通过绘制根轨迹来分析系统的稳定性和性能。
2 Nyquist法
利用Nyquist图来评估系统的稳定性和抗干扰能力。
鲁棒性设计
扰动抑制
了解如何设计鲁棒控制器来抑制系统中的扰动。
鲁棒控制
鲁棒控制是一种能够保持系统稳定性和性能的控制策略。
H∞控制
H∞控制是一种能够优化系统鲁棒性和性能的控制策略。
非线性控制
《现代控制理论基础》PPT课件
现代控制理论基础是一门关于控制系统的基本概念、模型化、控制器设计、稳定性分析、鲁棒性设计、非线性控制和优化控制的课程。通过本课程的学习，您将掌握现代控制理论的基础知识和思想，并能够运用所学知识解决实际控制问题。
控制系统基本概念
控制过程
了解控制过程是理解控制系统工作原理的重要一步。
1 反馈线性化
通过反馈线性化技术，我们可以设计控制器来稳定非线性系统。
2 滑模控制
滑模控制是一种鲁棒而有效的非线性控制方法。
3 非线性规划
非线性规划方法可以用来优化非线性系统的控制策略。
优化控制
最优化法
最优化法是一种通过优化目标函数来设计最优控制策略的方法。
非线性规划

现代控制理论(II)-讲稿课件ppt

03
通过具体例子说明最小值原理在最优控制问题中的应
用方法。
06 现代控制理论应用案例
倒立摆系统稳定控制
倒立摆系统模型建立
分析倒立摆系统的物理特性，建立数学模型，包括运动方程和状态空间表达式。
控制器设计
基于现代控制理论，设计状态反馈控制器，使倒立摆系统实现稳定控制。
系统仿真与实验
利用MATLAB/Simulink等工具进行系统仿真，验证控制器的有效性；搭建实际实验平台，进行实时控制实验。
最优控制方法分类
根据性能指标的类型和求解方法，最优控制可分为线性二次型最优控制、最小时间控制、最小能量控制等。
最优控制应用举例
介绍最优控制在航空航天、机器人、经济管理等领域的应用实例。
05 最优控制理论与方法
最优控制问题描述
控制系统的性能指标
定义控制系统的性能评价标准，如时间最短、能量最小等。
随着网络技术的发展，分布式控制系统逐渐成为现代控制理论的研究热点，如多智能体系统、协同控制等。
下一步学习建议
01
02
03
04
深入学习现代控制理论相关知识，掌握更多先进的控制方法
和技术。
关注现代控制理论在实际系统中的应用，了解不同领域控制
系统的设计和实现方法。
加强实践环节，通过仿真或实验验证所学理论知识的正确性
机器人运动学建模
分析机器人的运动学特性，建立机器人运动学模型，描述机器人末端执行器的位置和姿态。
运动规划算法设计
基于现代控制理论，设计运动规划算法，生成机器人从起始点到目标点的平滑运动轨迹。
控制器设计与实现
设计机器人运动控制器，实现机器人对规划轨迹的精确跟踪；在实际机器人平台上进行实验验证。

课件-现代控制理论-刘豹第三版-第5章

能控性与能观性的判别方法
能观性判别方法
能控性判别方法
表示系统是否可以通过输入控制实现任意状态转移。若系统完全能控，则可以通过设计合适的控制器实现任意状态轨迹的跟踪或镇定；若部分能控或不能控，则存在状态无法被有效控制的风险。
能控性的物理意义
表示系统状态是否可以通过输出完全反映出来。若系统完全能观，则可以通过观测输出信号来准确估计系统状态；若部分能观或不能观，则存在状态无法被准确观测的风险，进而影响控制性能的实现。
控制系统稳定性分析是控制理论的核心内容之一，对于确保控制系统的正常运行具有重要意义。
章节内容结构
稳定性概念及定义
介绍稳定性的基本概念和定义，包括Lyapunov稳定性和BIBO稳定性等。
线性系统稳定性判据
详细阐述线性系统稳定性的判据，如Routh-Hurwitz判据、Nyquist判据和Bode图等。
图解法
状态转移矩阵的计算方法
1
2
3
状态转移矩阵反映了系统在时间间隔内从初始状态到最终状态的动态变化过程。
描述系统状态的动态变化过程
若系统稳定，则状态转移矩阵将逐渐趋于零，表示系统状态将逐渐趋于稳定。
反映系统稳定性
状态转移矩阵是进行系统分析和设计的重要工具，可用于研究系统的稳定性、能控性、能观性等性质。
非线性系统稳定性分析
介绍非线性系统稳定性分析方法，如相平面法、Lyapunov直接法等。
熟练掌握线性系统稳定性的判据和分析方法，能够应用所学知识分析和设计线性控制系统。
了解非线性系统稳定性分析方法的基本原理和应用范围，能够运用所学知识分析和设计简单的非线性控制系统。
掌握稳定性的基本概念和定义，理解不同稳定性定义之间的联系与区别。

现代控制理论ppt

x ( t ) f x ( t ) u( t ) y ( t ) g x ( t ) u( t )
1.1.2 控制系统的状态空间表达式
5.非线性时变系统：
x( t ) f x( t ), u( t ), t y( t ) g x( t ), u( t ), t
但因 uc1+uc2+uc3=0
显然他们是线性相关的，故只有两个变量是独立的，因此，最小变量组的个数应是二。
一般的：状态变量个数=系统含有独立储能元件的个数 =系统的阶数对于n阶系统，有n个状态变量： x1(t), x2(t), … xn(t) ﹡状态变量具有非唯一性的：
1.1.1 状态、状态变量和状态空间
1 控制系统的状态空间模型
我们把这种输入/输出描述的数学模型称为系统的外部描述，内部若干变量，在建模的中间过程，被当作中间变量消掉了。现代理论模型：由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，其中包含了系统全部的独立变量。特别是在数字计算机上求解一阶微分方程组比求解与之相应的高阶微分方程要容易得多，而且能同时给出系统的全部独立变量的响应。此外，在求解过程中，还可以方便地考虑初始条件产生的影响。因而能同时确定系统内部的全部运动状态。
数学模型：描述系统动态行为的数学表达式，称为控制系统的数学模型。经典理论模型：用一个高阶微分方程或传递函数描述。系统的动态特性仅仅由一个单输出对给定输入的响应来表征。
实际上，系统内部还有若干其他变量，他们之间（包含输出变量在内）是相互独立的。关于他们对输入的响应是不易相互导出的，必须重新分别建模求解。由此可见，单一的高阶微分方程，是不能完全揭示系统内全部运动状态的。
1.1.1 状态、状态变量和状态空间

《现代控制理论》第三版课件_第1-2章

a1n (t ) a2 n (t ) ann (t ) b1r (t ) b2 r (t ) bnr (t )
系统矩阵
控制矩阵
c11 (t ) c12 (t ) c (t ) c (t ) 22 21 C (t ) = c (t ) c (t ) m1 m2
输出向量
a11 (t ) a12 (t ) a (t ) a (t ) 22 A(t ) = 21 a (t ) a (t ) n1 n2 b11 (t ) b12 (t ) b (t ) b (t ) 22 B (t ) = 21 b (t ) b (t ) n1 n2
3、分形系统仿真 Mandelbrot图
第一章绪论
1.1 几个基本概念
控制系统（control system）：为了达到预期的目标而设计出来的系统，它由相互关联的部件组合而成。自动控制 (automatic control)：指在无人直接参与的情况下，通过一定的控制手段，使被控对象自动地按照预定的规律进行。状态空间 (state space)
用状态变量描述系统运动的方程式称为状态方程。
x = A(t ) x(t ) + B(t )u (t ) y = C (t ) x(t ) + D(t )u (t )
x1 (t ) x (t ) x(t ) = 2 状态向量 x (t ) n y1 (t ) y (t ) y= 2 y (t ) m u1 (t ) u (t ) u (t ) = 2 控制向量 u (t ) r
现代控制理论
Modern Control Theory

现代控制理论_制系统的状态空间表达式

i
uc 1

1 C
i

0
0 1
C

uc

i

1 0
P 0
1 C
P：非奇异矩阵
单输入单输出定常线性系统
其状态变量为[x1, x2 , , xn ]，则一般形式的状态空间描述写作：
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b1u x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b2u xn an1x1 an2 x2 ann xn bnu
电机
从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特征，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。
➢现代控制理论描述系统数学模型的方法：内部描述：一阶微分方程（时域）
利用状态分析法，对系统进行一系列特性分析，来设计状态反馈和输出反馈。
经典控制理论的传递函数描述方法的不足之处： ➢ 系统模型为单输入单输出系统； ➢ 忽略初始条件的影响； ➢ 不包含系统的所有内部信息； ➢ 无法利用系统的内部信息来改变系统的性能。
A, B, C
大写细体字母——拉氏变换符号、系统符号
U (s), R(s), Y (s), S1, S2
作业预习
常用符号：
积分器
比例器 ki
加法器

注：有几个状态变量，就建几个积分器
注:负反馈时为－
D
u
x x
y
B
C
A
状态空间描述的模拟结构图绘制步骤：
⑴画出所有积分器； • 积分器的个数等于状态变量数，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量。
⑵根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器；

王孝武主编《现代控制理论基础》(第3版)课件

x1 x2
xn
0 u 0
1
x1
y b0
b1
bn1
xn
注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。
Y (s) R(s)
bn s n an s n
b1s b0 a1s a0
d
bn1sn1 b1s b0 ansn a1s a0
例1-4 已知描述系统的微分方程为 y18y 192y 640y 160u 640u
0
0
0 1 an1
x1 x2
xn
0
0
b0
u
系统的状态图如下：
x1
y 1
0
0
xn
1.2.2 微分方程中含有输入信号导数项
（一）待定系数法
首先考察三阶系统，其微分方程为 y a2 y a1 y a0 y b3u b2u b1u b0u
┆ xn1 xn z(n1)
xn z(n) a0 x1 a1x2 an1xn b0u
y
b z (n1) n1
b1z
b0 z
b0 x1
b1x2
bn1xn
写成矩阵形式
x1
x2
xn
0
0
0
a0
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0 0 0 a3
0
0
0 1 an1
2. 线性时变系统： x A(t)x B(t)u y C(t)x D(t)u
3. 非线性定常系统：
x = f(x, u) y = g(x, u)
4. 非线性时变系统：
x = f(x, u, t ) y = g(x, u, t )
1.1.3 状态变量的选取（1）状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定

现代控制理论课件PPT控制系统的状态空间描述

其中n是状态变量个数，r是输入变量个数； fi 是线性或非线性函数。
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12u2 b1rur x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b21u1 b22u2 b2rur xn an1 x1 an2 x2 ann xn bn1u1 bn2u2 bnr ur
为 l cos 。按照物理定律，摆杆
和小车的运动方程如下：
摆杆的转动方程：
J
d 2
dt 2
Vl sin
Hl cos
摆杆重心的水平运动：
m
d2 dt 2
x
l
sin
H
西华大学电气与电子信息学院
摆杆重心的垂直运动
m
d2 dt 2
l
cos
V
mg
小车的水平运动：
M
d2x dt 2
u
H
西华大学电气与电子信息学院
e(t)
diL dt
( R1
R1 R2
)
L
uC
R1R2 (R1 R2 )L
iL
( R1
R2 e(t) R2 )L
所以状态方程为：
uC
(
R1
1 R2
)C
iL
R1 (R1 R2 )L
( R1
R1
R2
)C
uC 1
(
R1
R2
)C
e
(t
)
R1R2 (R1 R2 )L
3、根据基尔霍夫定律，电枢电路有下列关系：
L
di dt
Ri
eb
u(t)
4、对电机转轴，根据牛顿定律，有 T J&& &

西工大—现代控制理论课件ppt课件

y2
up
yq
被控过程
5
典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和控制器组成。
被控过程具有若干输入端和输出端。
数学描述方法：输入－输出描述（外部描述）:高阶微分方程、传递函数矩阵。
一种完整的描述。
状态空间描述（内部描述）：基于系统内部结构，是对系统的
6
1.2 状态空间描述常用的基本概念
1) 输入：外部对系统的作用（激励）；控制：人为施加的激励；
xn a0 x1 a1x2 an1xn u
得到动态方程
x Ax bu
y x1
y cx
16
式
x1
0 1 0
0 0
中
x2
0
0
1 b , c 1 0
0
xn
1
0
0
0
1
0
xn
a0 a1 a2
an1
0
例1－5
系统的状态变量图
i 2,3,, n
其展开式为 x1 y h0u
x2 x1 h1u y h0u h1u x3 x2 h2u y h0u h1u h2u
xn xn1 hn1u y (n1) h0u (n1) h1u (n2) hn1u ＃
式中， h0 , h1 ,, hn1 是n个待定常数。是n个。
3、动态方程对于系统的描述是充分的和完整的，即系统中的任何一个变量均可用状态方程和输出方程来描述。例1－1 试确定图8-5中（a）、（b）所示电路的独立状态变量。图中u、i分别是是
输入电压和输入电流，y为输出电压，xi为电容器电压或电感器电流。
x3
解并非所有电路中的电容器电压和电感器电流都是独立变量。对图8-5（a），

现代控制理论课件chapter2

Modern Control Theory
L06
Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems
2.1 线性定常系统齐次状态方程的解

矩阵指数法
(t ) Ax(t ), 对应于 t 的同次幂系数相等 x
1 1 2 1 2 b1 Ab0 ,2b2 Ab1 b2 Ab1 A b0 A b0 2 2 2! 1 1 1 3 3 3b3 Ab2 b3 Ab2 A b0 A b0，， b0 x(0) 3 3 2! 3! 1 k bk A b0 k!
Modern Control Theory
L06
Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems
2.1 线性定常系统齐次状态方程的解

矩阵指数法
1 2 2 1 k k 所以 x(t ) [ I At A t A t ]x(0) 2! k! 1 2 2 1 k k 因为 e 1 at a t a t 2! k!

2.2状态转移矩阵

转移矩阵的计算
Modern Control Theory
2.1 线性定常系统齐次状态方程的解 (自由解)
L06
Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems
2.1 线性定常系统齐次状态方程的解

定义：自由解矩阵指数法拉氏变换法
为一阶齐次微分方程组。
自由解：系统在没有输入的情况下，由初始状态引起的自由运动。
Modern Control Theory

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注意：不能选取 i1和u1为状态。 (为什么？)
清华大学现代控制理论课件 (自动化系石宗英)
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2.3 状态方程的导出
例3：设一系统由如下微分方程组描述：
1 x 2 x2 x 1 2 x1 u x x
令则
2 x3 x
1 x3 x2 x 1 x 3 x1 u x
14/33
2.2 状态方程和输出方程
非线性时变状态方程的一般表示为：
(t ) f ( X , u, t ) X
其第i行为
i (t ) f i ( x1 (t ), x2 (t ),..., xn (t ); u1 (t ), u2 (t ),...,ul (t ); t ) x
非线性时变输出方程的一般形式为
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2.3 状态方程的导出
例1
k f(t) m
y(t)
h
d2 y dy m 2 h ky (t ) f (t ) dt dt
x1 (t ) y (t ) X (t ) (t ) y x 2 (t )
(t ) AX (t ) Bu(t ) X
其中
X (t ) R n , u (t ) R l ,
状态矩阵A是n×n矩阵,输入
矩阵B是n×l 矩阵。状态方程的第i行为
i (t ) x
n l
aij x j (t ) bik u k (t )
j 1 k 1
13/33
1 R Y (t ) 1 1 R2 0 1 X (t ) R1 u (t ) 1 0 R2
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2.1 状态与状态空间
1 1 1 1 1 (t ) C1 R1 R2 R2C1 X (t ) R C u (t ) X 1 1 1 1 0 R2C2 R2C2
则
1 (t ) y (t ) x2 (t ) x k h 1 2 (t ) (t ) x1 (t ) x2 (t ) f (t ) x y m m m
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2.3 状态方程的导出
即
1 (t ) 0 x (t ) X k 2 (t ) x m 1 0 h X (t ) 1 f (t ) m m
du 2 u1 u 2 dt R2C 2
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1 1 u1 u2 R2C 2 R2C 2
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2.1 状态与状态空间
1 1 1 1 1 (t ) C1 R1 R2 R2C1 X (t ) R C u (t ) X 1 1 1 1 0 R2C2 R2C2
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2.2 状态方程和输出方程
当A和B为常数矩阵时，称状态方程为定常的；当其包含有时变元时，称之为时变的。
线性输出方程的标准形式为
Y t CX t Du t
其中
Y R m , C R mn , D R ml
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例2 考虑图所示的 RC 电路。
u
由电路原理，知
du 2 (t ) i2 (t ) C2 , dt u (t ) u1 (t ) i1 (t ) , R1
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R1
i1
R2
C1
u1 C 2
i2
u2
du1 (t ) i1 (t ) i2 (t ) C1 dt u1 (t ) u 2 (t ) i2 R2
x1 (t ) x 2 (t ) X (t ) x n (t )
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2.1 状态与状态空间
例1
k f(t) m y(t) h
如图所示的机械系统的运动方程为
d2 y dy m 2 f (t ) ky (t ) h dt dt

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2.1 状态与状态空间

状态变量：构成系统状态的变量。
状态向量：若完全描述系统行为需要n个状态变量 x1 (t ), x2 (t ),..., xn (t )，将其视为向量 X (t ) 的分量，则向量 X (t ) 称为状态向量，记为
现代控制理论
第二节状态空间与状态方程
第二节状态空间与状态方程 2.1 2.2 2.3 状态与状态空间状态方程和输出方程状态方程的导出
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第二节状态空间与状态方程 2.1 2.2 2.3 状态与状态空间状态方程和输出方程状态方程的导出
Y t h ( X , U , t )
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2.2 状态方程和输出方程
将状态方程和输出方程合称为运动方程。
线性系统的运动方程可写成：
A B X X C D U Y
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2.1 状态与状态空间
令
u1 (t ) X (t ) 状态向量 , u 2 (t ) i1 (t ) Y (t ) 输出向量 i2 (t )
有
du1 u u1 u1 u 2 dt R1C1 R2C1 1 1 1 1 1 u u u 1 2 C1 R1 R2 R2C1 R1C1
可以认为y(t) 和dy(t)/dt 是该系统的一组状态变量，相应的状态向量为
x1 (t ) y (t ) X (t ) (t ) y x 2 (t )
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2.1 状态与状态空间
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2.3 状态方程的导出
整理得
1 x2 x3 x 2 x3 x 3 x1 x2 x3 u x
令
X x1
x2
x3
T
则
0 1 1 0 0 0 1 X 0 u X 1 1 1 1
A
B
1 R Y (t ) 1 1 R2
C
0 1 X (t ) R1 u (t ) 1 0 R2
D
则
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(t ) AX (t ) Bu(t ) X
Y (t ) CX (t ) Du (t )
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2.1 状态与状态空间
也可选取 u1和u1 u2 为状态，即令
u1 (t ) X (t ) u1 (t ) u 2 (t )
则
1 RC (t ) 1 1 X 1 R1C2
1 1 R C R2C1 X (t ) 1 1 u (t ) 1 1 1 1 R2 C1 C2 R1C1
简记为 ( A, B, C , D), 当D = 0时，记为 ( A, B, C )。
运动方程 = 状态方程（1阶微分方程组）
+输出方程（代数方程组）
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第二节状态空间与状态方程 2.1 2.2 2.3 状态空间与状态方程状态方程和输出方程状态方程的导出

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第二节状态空间与状态方程 2.1 2.2 2.3 状态与状态空间状态方程和输出方程状态方程的导出
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2.2 状态方程和输出方程
状态变量的一阶微分方程组称为状态方程。线性状态方程的标准形式为：
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2.3 状态方程的导出
a1 a2 y a3 y b0u b1u b2u y 例4： y 其中 y为输出， u为输入
算法1：（一种能控标准型） 1 0 1 x x 2 0 0 3 x a3 a 2 y b2 b1 b0
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2.1 状态与状态空间

在 u (t )(t [t0 , ))已知时，能唯一地确定系统运动（或行为）的在时刻 t0 的初始信息，称为该系统在 t0 时的状态。状态：在未来外部输入已知时，为完全描述系统行为（或运动）所需的最小一组变量。系统的行为由某一时刻的状态以及该时刻之后的外部输入唯一地确定。

……
？可否选取 i1和u1为状态。 (为什么？)
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2.1 状态与状态空间

对于一给定的系统，状态变量的选取不是唯一的。