状态空间表达式

第一章 控制系统的状态空间表达式Chapter 1 State space representation of control systems本章内容• 状态变量及状态空间表达式 • 状态空间表达式的模拟结构图 • 状态空间表达式的建立(1) • 状态空间表达式的建立(2) • 状态矢量的线性变换 • 由传递函数求状态方程• 由状态空间表达式求传递函数阵 • 离散系统的状态空间表达式• 时变系统和非线性系统的状态空间表达式系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，能同时给出系统全部独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。

1.1 状态变量及状态空间表达式1.1 State space representation of control systems 状态变量 (State variables)状态：表征系统运动的信息和行为状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量x 1(t ), x 2(t ), …, x n (t ) 状态向量(State vectors)由状态变量构成的向量 x (t )T 123()(),(),()...()n x t x t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦状态空间 (State space) • 以各状态变量x 1(t ),x 2(t ),…… x n (t )为坐标轴组的几维空间。

•状态轨迹：在特定时刻t ，状态向量可用状态空间的一个点来表示，随着时间的推移，x (t )将在状态空间描绘出一条轨迹线。

状态方程 (State equations)• 由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组。

例1.1 设有一质量弹簧阻尼系统。

试确定其状态变量和状态方程。

解：系统动态方程2()().()().()()()d yF t ky t f yt m dt my t f yt ky t F t ⎧--=⎪⎨⎪++=⎩ 设1()()y t x t =，2()()yt x t = 12()()............................................(1)1()()()()........(2)x t y t f k x t y t y t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩12212()()1()()()()xt x t k f x t x t x t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩1122010()()()1()()xt x t F t f k x t x t m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ＝ 状态方程的标准形式：()()()xt Ax t Bu t =+ （A ：系统矩阵 B ：输入矩阵） 输出方程 (O u t p u t e q u a t i o n )系统的输出量与状态变量之间的关系[]112()()()10 ()x t y t x t x t ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦()()y t Cx t =(C:输出矩阵）状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。

现代控制理论总结第一章：控制系统的状态空间表达式1、状态变量，状态空间与状态轨迹的概念：在描述系统运动的所有变量中，必定可以找到数目最少的一组变量，他们足以描述系统的全部运动，这组变量就称为系统的状态变量。

以状态变量X1,，X2，X3，……X n为坐标轴所构成的n维欧式空间（实数域上的向量空间）称为状态空间。

随着时间的推移，x（t）在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。

2、状态空间表达式：状态方程和输出方程合起来构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。

3、实现问题：由描述系统输入输出关系的运动方程或传递函数建立系统的状态空间表达式，这样的问题称为实现问题单入单出系统传函：W(s)=错误!未找到引用源。

，实现存在的条件是系统必须满足m<=n，否则是物理不可实现系统最小实现是在所有的实现形式中，其维数最低的实现。

即无零，极点对消的传函的实现。

三种常用最小实现：能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）4、能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）传函无零点错误!未找到引用源。

系统矩阵A的主对角线上方元素为1，最后一行元素是传函特征多项式系数的负值，其余元素为0，A为友矩阵。

控制矩阵b除最后一个元素是1，其他为0，矩阵A，b具有上述特点的状态空间表达式称为能控标准型。

将b与c矩阵元素互换，另输出矩阵c除第一个元素为1外其他为0，矩阵A，c具有上述特点的状态空间表达式称为能观标准型。

传函有零点见书p17页……..5、建立空间状态表达式的方法：①由结构图建立②有系统分析基里建立③由系统外部描述建立（传函）6、子系统在各种连接时的传函矩阵：设子系统1为子系统2为1）并联：另u1=u2=u，y=y1+y2的系统的状态空间表达式所以系统的传递函数矩阵为：2）串联：由u1=u，u2=y1，y=y2得系统的状态空间表达式为：W(S)=W2(S)W1(S)注意不能写反，应为矩阵乘法不满足交换律3）反馈：系统状态空间表达式：第二章：状态空间表达式的解：1、状态方程解的结构特征：线性系统的一个基本属性是满足叠加原理，把系统同时在初始状态错误!未找到引用源。

第二章 控制系统的状态空间表达式2-1 状态、状态变量、状态空间、状态方程、动态方程任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，每个状态都可以用最小的一组（一个或多个）独立的状态变量来描述。

设系统有n 个状态变量n x x x ,,21，它们都是时间t 的函数，控制系统的每一个状态都可以在一个由n x x x ,,21为轴的n 维状态空间上的一点来表示，用向量形式表示就是:()t x 称作系统的状态向(矢)量。

设系统的控制输入为：r u u u ,,,21 ，它们也是时间t 的函数。

记：那么表示系统状态变量x(t)随系统输入u(t)以及时间t 变化的规律的方程就是控制系统的状态方程:其中()()()[]T=t f t f t f f n 21 是一个函数矢量。

设系统的输出变量为m y y y ,,,21 ，则()Tm y y y y ,,,21 = 称为系统的输出向量。

表示输出变量y(t)与系统状态变量x(t)、系统输入u(t)以及时间t 的关系的方程就称作系统的输出方程: 其中()Tm g g g g ,,,21 = 是一个函数矢量。

在现代控制理论中，用系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为，状态方程和输出方程合起来称作系统的状态空间表达式或称动态方程。

根据函数向量F 和G 的不同情况，一般控制系统可以分为如下四种： ∙线性定常(时不变)系统(LTI-Linear Time-Invariant)； ∙ 线性不定常(时变)系统(Linear Time-Variant)； ∙ 非线性定常系统(Nonlinear Time-Invariant)； ∙ 非线性时变系统(Nonlinear Time-Variant)。

在本课程中，我们主要考虑线性定常系统(LTI)。

这时，系统的状态空间表达式可以表示如下： 写成矢量形式为：其中：n n nn n n n n a a a a a a a a a A ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 212222111211 ， r n nr n n r r b b b b b bb b b B ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 212222111211n m mn m m n n c c c c c c c c c C ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 212222111211 ， rm mr m m r r a a a a a aa a d D ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 212222111211n n A ⨯----称为系统矩阵，由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性；r n B ⨯----称为输入(或控制)矩阵，主要体现了系统输入的施加情况；n m C ⨯----称为输出矩阵，它表达了输出变量与状态变量之间的关系，r m D ⨯----称为直接传递（转移）矩阵，表示了控制向量U 直接转移到输出变量Y 的转移关系。

已知传递函数求状态空间表达式在控制系统理论中，常常需要将已知的传递函数转换为状态空间表达式。

这是因为状态空间形式更加直观，便于进行控制器设计和系统分析。

首先，我们需要将传递函数化简为标准形式：$$G(s) = frac{b_0 s^n + b_1 s^{n-1} + cdots + b_{n-1} s + b_n}{s^n + a_1 s^{n-1} + cdots + a_{n-1} s + a_n}$$其中 $n$ 为传递函数的阶数，$b_i$ 和 $a_i$ 是系数。

接下来，我们可以通过状态空间的基本方程来表示传递函数： $$begin{aligned}dot{x} &= Ax + Buy &= Cx + Duend{aligned}$$其中，$x$ 是 $n$ 维状态向量，$u$ 是 $m$ 维输入向量，$y$ 是$p$ 维输出向量。

$A$、$B$、$C$、$D$ 是系数矩阵，它们的维度分别为 $n times n$、$n times m$、$p times n$ 和 $p times m$。

我们可以通过下列步骤获得$A$、$B$、$C$ 和 $D$：1. 首先，将传递函数分解为零极点形式：$$G(s) =kfrac{(s-z_1)(s-z_2)cdots(s-z_n)}{(s-p_1)(s-p_2)cdots(s-p_n )}$$其中，$k$ 是比例系数，$z_i$ 和 $p_i$ 是零点和极点。

2. 利用零极点分解结果，构造传递函数的控制分式表达式：$$G(s) = kfrac{(s-z_1)}{(s-p_1)} cdot frac{(s-z_2)}{(s-p_2)} cdots frac{(s-z_n)}{(s-p_n)}$$3. 对每个控制分式，构造对应的状态空间模型：$$begin{aligned}dot{x_i} &= p_i x_i + uy_i &= z_i x_iend{aligned}$$其中，$i$ 取值为 $1$ 到 $n$。

状态空间法对于下列的单自由度系统，其相关参数如下：1kg m =，100N/m k =，0.2N.s/m c =系统的运动方程：[M]X +[C]X +[K]X =[P]对于单自由度系统，其运动方程为：mx cx kx p ++=0.2100x x x p ++=对于多自由度系统，其状态空间方程为：x =Ax +Bu y =Cx +Du式中，A —状态矩阵；B —输入形状矩阵；C —输出形状矩阵；其具体表达式如下：-1-122-n n⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0I A -[M][K][M][C] -12n n⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0B -[M] []2n n ⨯=C I 0[]n n ⨯=D 0对于上述单自由度系统，其状态矩阵为：011000.2x x x x ⎧⎫⎡⎤⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎢⎥--⎩⎭⎣⎦⎩⎭011000.2⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦A 求解状态矩阵的特征值与特征向量：0λ-=A I{}{}φλφ=A得到的特征值为：10.110j λ≈-+，20.110j λ≈--11{}0.110j φ⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦，21{}0.110j φ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦同时可以看出：{}{}(2)11(1)1=0.110j φλφ=-+，{}{}(2)22(1)2=0.110j φλφ=-- 取虚部为正的特征值求系统的特征参数。

系统的固有频率：110/n rad s ωλ===≈阻尼比：11Re()0.01λξλ-==≈根据其阵型图可以看出，其位于左半平面（即负半平面），因此系统是稳定的。

系统阻尼是正值，阻尼起到耗能效果；若阻尼为负值，将位于右半平面，系统将变得不稳定，此时阻尼起到吸收能量的作用。