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角动量耦合 一般形式

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7.第七讲角动量耦合及光谱精细结构

7.第七讲角动量耦合及光谱精细结构

ψn,l,j,m r,θ,φ,sz Rnl r ul jm θ,φ,sz
将耦合表象的基矢 nljm 按无耦合表象
基矢 nlml ms 展开
n,l, j,m(r, ,, sz )
C ml ms nlml ms
ml ms
16
7.5 光谱的精细结构（ 3）
考虑自旋与轨道运动相互作用能的影响
电子自旋与轨道运动的相互作用能比电子的动能 和在核场中的势能小得多，现表示为：
二、本征值和本征矢
由 Jˆ1 、Jˆ 2 的本征值和本征矢，可以求出 Jˆ 本征值和 本征矢。
设以 j1 m1 和 j2 m2 分别表示
矢和
Jˆ
2 2
、Jˆ2z
的共同本征矢。
Jˆ 12
、Jˆ1z
的共同本征
相应的本征值方程为：
Jˆ12 Jˆ1z
j1m1 j1( j1 1) 2 j1m1 m1 j1m1
4
4
m1 0, 1
，
m2
1 2
m 3、 1、 1、 3 22 2 2
Jˆz
的本征值为
3 2
,1 2
, 1 2
, 3 2
9
两个角动量的耦合 (coupling of two angular momentums)
四、CG耦合系数和 Jˆ2，Jˆz 的本征矢
当给定 j1 时，m1 有2 j1 1 个取值，对应有 2 j1 1
故 m m1 m2 或 m1 m m2
j1 j2 j m j1,m m2, j2,m2 j1,m m2, j2, m2 j1 j2 j m
m2
由上面的讨论可知：
（5）
①.当求得了量子数j 和 m 后,就能得到 Jˆ 2 和 Jˆz

量子力学9_03

量子力学9_03
j1 + j2
m1 = j1 , j1 − 1,L,− j1 + 1,− j1 值给出： 值给出 定出的 m值给出： m2 = j2 , j2 − 1,L,− j2 + 1,− j2
j1 + ( j2 − 1) j1 + ( j2 − 2) L
( j1 − 1) + j2 ( j1 − 1) + ( j2 − 1) ( j1 − 2) + j2 L L L
∑
m1m 2
j1m1 j2 m2 jm ψ j1m1 (1)ψ j2 m2 (2),
上式的物理意义是明显的。
我们将展开系数 j1m1 j2 m2 jm 称之为Clebsch -Gordan系数，简称CG系数。 显然CG系数是(2 j1 + 1)(2 j2 + 1) 维子空间中耦合 表象基矢与非耦合表象基矢之间的幺正变换 矩阵元。 考虑到
m1 '
代入正交归一关系
(ψ j ′m ′ , ψ jm ) = δ j ′j δ m ′m
有 ∑ j1m1 j2 m '− m1 j ′m ψ j m ′ ψ j m ' − m ' , ′ ′ 1 1 2 1 m' 1 ∑ j1m1 j2 m − m1 jm ψ j1m1′ ψ j2m − m1 = δ j ' jm 'm m1 或
将
ψ jm (1,2) =
∑
m1m 2
j1m1 j2 m2 jm ψ j1m1 (1)ψ j2 m2 (2)
代入上式左边， 代入上式左边，并移项得 ∑ (m − m1 − m2 ) j1m1 j2 m2 jm ψ j1m1 (1)ψ j2m2 (2) = 0

6-4多个角动量的耦合

6-4多个角动量的耦合

6－4多个角动量的耦合在分子、原于、原于核和粒子物理中，必然碰到全同多粒子体系．它们的波函数数除了要求具有交换对称性之外，还要求是角动量的本征态．这就涉及多个多个角动量的耦合．与两个角动量的耦合不同之处在于多个角动量的耦合与耦合的先后顺序有关．为研究三个角动量在不同顺序下耦合成的波函数的关系，Racah 引进了重耦合(recoupling)系数，它是研究更多角动量耦合的基础．三个或更多角动量的耦合，从原理上讲并没有什么新东西，属于技巧性问题，但作为一种工具，却是很有用的，计算多粒子系的许多力学量的矩阵元和平均值都离不开它们．一． 3个角动量的耦合．Racah 系数，6j 符号考虑一个有三个粒子组成的全同粒子系统，角动量分别为三个角动量互不相同，互相对易，本征矢量分别为。

,,,321j j j rr r >11|,|m j >>3322|,m j m j 三个角动量的耦合角动量321j j j J rr r r ++=三个角动量的耦合有几种不同的方式：J j J J j j rr r r r r =+=+3121221, （a ）J j J J j j rr r r r r =+=+1232332, （b ）r rr r r r J j J J j j =+=+2131331, （c ）(a) 种耦合：第一步：先将21,j j r r 耦合，1221J j j r rr =+，根据两个角动量的耦合法则，{，,,}四个算符的本征态用|表示，可用，，，，的本征函数|作展开，即：21ˆJ 22ˆJ 21212ˆJ z J 1ˆz J 12ˆ22ˆJ >121221M J j j >>221|m j m ˆJ z J 2ˆ1j ><>>>=∑121222112211121221|||)(|21M J m j m j m j mj M J j j m m>=<12122211|12122211M J m j m j C M J m j m j第二步：再将12J r与耦合3j r J j J r r r =+312,{，J ,,}四个算符的本征态用|表示，可用，，，，的本征函数|作展开，即： 212ˆJ 212ˆJ 23ˆzJ 12ˆ2ˆJ 23ˆj z J ˆ>JM j J 312>>33|m j z j 3ˆ1212M J >><><>>=><>>>=∑∑JM m j M J M J m j m j m j m j mj JM m j M J m j M JJM j J j j m M m m m M ||||||||,)(|331212121222113322113312123312123122131221312（1）这是第一种耦合的基矢，是六个算符{，,，,,}的共同本征矢量。

高二物理竞赛课件：量子力学之角动量的耦合

高二物理竞赛课件：量子力学之角动量的耦合

l
m 1 2
2l 1
2
|
n, l ,
m
1 2
,
1 2
（19）
•
若以坐标表象和
S
z表象基矢
r,
,,
S
z
| 乘上式两边，得
n,l,l 1,m
2
l
1
m 2l 1
1 2
2
RnlYl,m1 ( , ) 1
2
2
1
l
m 2l 1
1 2
2
RnlYl
,m
写成
j1, j2 , j, m j1, m m2 , j2 , m2 j1, m m2 , j2 , m2 j1, j2 , j, m （10）
m1
• 2.1 量子数 j 的取值
当量子数 j1 , j2给定时 mmax m1max m2max j1 j2
而 j mmax j
故有
则有本征方程
J
2 1
j1m1
j1 ( j1 1) 2
j1m1Βιβλιοθήκη J 1z j1m1 m1 j1m1
J
2 2
j2m2 j2 ( j2 1) 2 j2m2
J 2z j2m2 m2 j2m2
（2）
•
由于 J1, J 2
是各自独立的，J12
,
J
2 2
,
J
1z
,
J
2
z
相互对易，它们
的共同本征矢写为
j1 j2 jm j1m1 j2m2 j1m1 j2m2 j1 j2 jm
m1 ,m2
（9）
展开系数 j1m1 j2m2 j1 j2 jm 是耦合表象基矢在无耦合表象基

17第7章概念2-两个角动量的耦合

17第7章概念2-两个角动量的耦合

1 2
−1,1 + 2 2
1 2
1 2
, − 1 c 1 , − 1 + d − 1 , 1 2 2 2 2 2
=
1 2
(c + d ) = 0
0, 0 0, 0 = c*
2
1 2
, − 1 + d * − 1 , 1 c 1 , − 1 + d − 1 , 1 2 2 2 2 2 2 2
j1 + j2 , j1 + j2 − 1,L , jmin
因此，耦合表象基矢总数即空间维数为 因此， 1 首项+末项） ∑(2 j +1) = 2（首项+末项） 项数 j
×ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=
= ( jmax + jmin + 1)( jmax − jmin + 1)
(2 jmin + 1) + (2 jmax + 1) ( jmax − jmin + 1) 2
因此， ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 也构成力学量完全集。 因此， J1 , J 2 , J , J z 也构成力学量完全集。 设它们的共同本征矢为 j1 j2 jm ，则
{
v v ˆ ˆ ˆ 2 = J 2 + J 2 + 2J ⋅ J ˆ ˆ J 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 [J 2 , J z ] = 0 [ J 2 , J12 ] = [ J 2 , J 2 ] = 0 且
j1 =1/ 2
,1 2
,1 2
m1 =1/ 2
j2 =1/ 2 m2 =1/ 2
=
( 1 − 1 + 1)( 1 + 1 ) 2 2 2 2

6.3两个角动量的耦合

6.3两个角动量的耦合

（6.3.13）
又因
(L )lm,lm
* l m
L
lm
d
r
C lm l,l m,m1
2
2
2
2
2
L Lx Ly Lz (Lx iLy )(Lx iLy ) Lz Lz
(L2 )m,m
(L L )m,m
2
(Lz )m,m
(Lz )m,m
（6.3.14） （6.3.15） （6.3.16）
J1z j1, m1 m1 j1,m1
（6.3.32）
2
J2 j2 ,m2 j2 ( j2 1) j2 , m2 J2z j2 ,m2 m2
则无耦合表象中的基矢 j1,m1, j2 ,m2 是
即
l(l 1) 2 (L )m,m (L )m,m m2 2 m 2
m
=(L )m,m1(L )m1,m m2 2 m 2
（6.3.17）
6.3 两个角动量的耦合
另外，由于Lx 和 Ly 是厄米的，所以有
(L )m1,m (Lx iLy )m1,m
=(Lx )m1,m i(Ly )m1,m
=(Lx )m1,m
( Ly
)m,m1
1 2i
(L )m,m1
(L )m,m1
=- i (l m)(l m 1) 2
（6.3.23） （6.3.24）
应该指出，上述各式并非只对轨道角动量成立。对于轨
道角动量， lm 就是球谐函数 Ylm ，对于其它角动量， lm 虽
不是球谐函数，但只要满足角动量定义（6.3.1）式，并把
6.3 两个角动量的耦合
l 和 m理解为相应的角动量平方和角动量 z 分量的量子
数，（6.3.21）——（6.3.24）式恒成立。例如对电子自旋角 动量，S 1 2 ,m 1 2 由（6.3.23）及（6.3.24）得

量子力学7-2


于是上式求和只需对 m2 进行即可。考 Clebsch - Gorldon 系数 虑到 m1 = m - m2 ，则上式可改写为： 或： 共轭式
m1
| j1 , j2 , j , m | j1 , m m2 , j2 , m2 j1 , m m2 , j2 , m2 | j1 , j2 , j , m
再考虑到m = m1 + m2，则有：mmax = (m1)max+ (m2)max = j = jmax，于是： jma x = j1 + j2
2.求 jmin
由于基矢|j1 m1>, |j2 m2> 对给定的j1 j2分别有2j1+1和2j2+1个， 所以非耦合表象的基矢 |j1, m1,j2,m2> = |j1,m1> |j2, m2> 的数目为(2j1+1)( 2j2+1)个 。
3. j 的取值范围
由于 j 只取 ≥0 的数，所以当 j1 j2 给定后，j 的 可能取值由下式给出： j = j1+j2, j1+j2-1, j1+j2-2, ......, |j1 - j2|.
该结论与旧量子论中角动量求和规则相符合。 j1, j2 和 j 所满足的上述关系称为三角形关系，表示为 Δ(j1, j2, j)。
（2）C-G系数的么正性、实数性
我们知道，两个表象之间的么正变换有一个相位不定性， 如果取适当的相位规定，就可以使C-G系数为实数。
（3）j的取值范围（j与j1,j2的关系）
1.对给定j1 j2 ，求 jmax
因为m
m1 m2 取值范围分别是：
m = j, j-1,..., -j+1, -j → mmax = j; m1 = j1, j1-1,..., -j1+1, -j1 → (m1)max = j1; m2 = j2, j2-1,..., -j2+1, -j2 → (m2)max = j2;

两个角动量的耦合

中，角动量是守恒的，即系统中的角动量不会因 为相互作用而改变。
角动量耦合定理
当两个具有角动量的物体相互作用时，它们的角动量会以一 定的方式耦合，形成新的角动量状态。
角动量耦合的数学表达式
通过数学表达式描述两个角动量的耦合关系，通常涉及向量 的点积和叉积运算。
耦合的物理意义
在经典力学中的应用
刚体动力学
在经典力学中，刚体的旋转运动可以用 角动量来描述。通过研究刚体的角动量 ，可以了解刚体的旋转状态和运动轨迹 。
VS
陀螺仪
陀螺仪是一种利用角动量守恒原理工作的 导航仪器。通过测量陀螺仪的角动量变化 ，可以确定物体的方向和姿态，广泛应用 于航空、航天和航海等领域。
05
两个角动量的耦合研究展望
04
两个角动量的耦合应用
在天文学中的应用
星系旋转
角动量是描述旋转运动的物理量，在天文学中，星系的旋转运动可以用角动量来描述。通过研究星系的角动量， 可以了解星系的旋转速度、旋转方向以及旋转轴的方向。
恒星演化
恒星的演化过程涉及到角动量的变化。在恒星形成和演化的过程中，角动量守恒定律起着重要的作用，影响着恒 星的结构和演化轨迹。
耦合的数值模拟
数值模拟方法
通过数值模拟方法，可以模拟两 个角动量的耦合过程，并分析其 动态变化规律。
数值模拟软件
常用的数值模拟软件包括 MATLAB、COMSOL Multiphysics等，这些软件可以 模拟复杂的物理过程，并输出详 细的数据和图像。
数值模拟的应用
数值模拟在物理学、天文学、航 天工程等领域有着广泛的应用， 可以帮助科学家和工程师更好地 理解物理现象和规律，优化设计， 提高性能。
两个角动量的耦合
$number {01}

9.3 两个角动量的耦合,Clebsch-Gordan系数



jm
j1m1 j2 m m1 jm j1m1 ' j2m m1 ' jm m1m1 '
（15）
式（13）和（15）就是CG系数幺正性和实数性的反映.
j 的取值范围. 给定 j1 和 j2
m1 j1 , j1 1, , j1 1, j1 m2 j2 , j2 1, , j2 1, j2
它们具有很清楚的对称性关系，容易记忆，即
(1)
j1 j2 j3
j1 j2 m1 m2
j1 j3 m1 m3
j2 j3 m2 m3
j2 m2
j1 m1
（24）
j1 j2 m1 m2
j3 j2 m3 m2
1 1 2 2
（6 ）
所以 j m (1) j m (2) 共有 (2j1 1)(2j2 1) 个，即它们张开
(2j1 1)(2j2 1)
维子空间.
2 [ j2 , j ] 0,
考虑到
[ j12 , j ] 0, [ j1 , j2 ] 0 ,
（7 ）
[ j 2 , j ] 0 , , , x, y,z
（10）
即
m1 , m2
(m m m )
j1m1 j2 m2 jm j1m1 (1) j2m2 (2) 0
9.3 两个角动量的耦合，CG系数
量子力学教程 量子力学教程(第二版)
在自旋表象子空间中，非耦合表象基矢是彼此独立的（完 备的）正交归一矢，式（10）右边的所有系数必须为零，即
j1 j2 j jmin
(2j 1) (2j 1)(2j

量子力学第七章7.4


2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ2 = J12 + J 2 + J1 • J 2 + J 2 • J1 = J12 + J 2 + 2 J1 • J 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ J 2 = J • J = J xi + J y j + J z k • J xi + J y j + J z k
1 1 2 2
′ ′ ′ ′ = (m1 + m2 ) < j1 , m1 , j2 , m2 | j1 , j2 , j , m >
′ ′ m = m1 + m2
m = m1 + m2
| j1 , j2 , j, m >=
m1 , m2
∑
| j1 , m1 , j2 , m2 > < j1 , m1 , j2 , m2 | j1 , j2 , j, m >
ˆ ˆ [ J12 , J1z ] = 0
这四个角动量算符有共同 的正交归一完备的本征函 数系。记为：
ˆ ˆ2 [ J12 , J 2 ] = 0
ˆ ˆ [ J12 , J 2 z ] = 0
ˆ ˆ2 [ J1z , J 2 ] = 0
ˆ ˆ [ J1z , J 2 z ] = 0 ˆ2 ˆ [J2 , J 2z ] = 0
由 m = m1 + m2 知：
mmax = m1 max + m2 max
j max = j1 + j 2
②
j min :
对于给定的 j1 ， m1 有 2 j1 + 1 个取值，即 | j1 , m1 > 共有 2 j1 + 1 个； 同理给定 j2 ，m2 有 2 j2 + 1 个取值， | j2 , m2 > 共有 2 j2 + 1 个。 即 所以，给定 j1 和 j2 ，无耦合表象基矢共有 ( 2 j1 + 1 )( 2 j2 + 1 ) 个， 也即无耦合表象空间的维数。
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归一化并与
正交而确定.
25
作业
• 考虑一由两个自旋 ½ 的粒子组成的系统，试计
算算符(1)(2)的本征值和本征矢.
使用m1m2作为基矢量, 这里m1, m2分别为
z(1), z(2)的本征矢.
26
j1 = ½ , j2 = ½ . 当J, M 取它们最大可能值J = M = 1, 此时(66)式中 的求和仅包含1项，即
(67)
上式左、右均为模为1的矢量，故而
15
• 现将算符 •有
作用于(67)并考虑到
(68)
16
• 进而将算符 J- 作用于(68)式，得
(69)
• 因而对于这一特殊情况，我们有下表所示结果
(71)
20
对于上升算符
有相似的结果如下：
(72)
(71)、(72)为计算CG系数的递推关系式, 它允许我 们对相同的总角动量 J ，导出具有相同的 j1 和 j2, 但不同的 M 的CG系数； 它有着许多实际的应用，其中之一是将其应用于
的情况,如自旋-轨道耦合.
21
• 在(71)中，若令m2 = ½ 则其右端的第二项将为0， 从而
(64)
• 的值正好出现一次，称之为三角规则.
10
• 上述三角规则告诉我们两个角动量j1, j2仅能组 合形成这样一个合成的总角动量J,这与矢量加 法一致(如图所示).
11
• 进而，可以计算耦合态的数目
• 如预期的等于 数目.
(65)
态的
12
Clebsch-Gordan 系数的计算
如上(56)所述，
§3.6 角动量耦合(相加)
• 现在考虑2-分量系统，两个角动量J(1)和J(2)合成 一总角动量J的情况：
J = J(1) + J(2)
(53)
• 这里J(1)和J(2)既可是分属于两个粒子的角动量， 也可是同一粒子的轨道和自旋角动量.
• 当然，(53)式更严格的写法为
J = J(1) 1+ 1 J(2)
(66)
的展开系数
称为CG系数.
由于各|j1, j2, J, M的相对相因子未确定，所以CG 系数的相还未被定义; 通常这样选择|j1, j2, J, M 的相因子以使得CG系数为实数.
13
• 另外，考虑到(66)是由一组正交基到另外一组 正交基的变换，故而
14
虽然十分复杂，但对CG系数导出明晰的关系式 仍然是可能的. 下面我们先来看一个最简单的特殊情况：即
1
• 首先，复合系统的基矢为
(54)
• 它们是4个对易算符 算符J2和Jz的共 同本征矢|J, M, 对应本征值分别为:
显然，-J M J . 若分系统之间无耦合，则复合系统的态矢即为子 系统态矢乘积组成的纯态，而如存在耦合，则复 合系统的态矢将由(54)的线性组合构成.
(58)
角动量守恒由关系式
表达.
M = m1 + m2
7
• 另外还需计算由
• 定义的量子数 J 的可能取值. • 根据 M = m1 + m2 ，M 的最大值是
(59)
• 此值(58)中出现一次，即仅当 这表明称之为 Jmax 的本征值 J 必等于
(60)
时.
8
• 次大的M 值是
，它出现两次，即
4
在(55)中，
(56)
称为Clebsch-Gordan (CG)系数. 在我们明确计算CG系数之前，先考虑量子数 J, M 与 j1, j2, m1 和 m2 之间的关系:
5
• 首先由(为了方便暂时假定
)
• 其中 •和
•知
(57)
6
从而当
时，CG系数等于0. 这意味
着(55)中的双重求和化为一单重和
(61)
• 由于M 按整数步长取 值，(61)两个态
的所有
(62)
• 的两个可能的、线性无关的组合中的一个必须
属于
；至于另一个，由于不存在
J > Jmax= j1 + j2 的态，故而它必定属于态
(63)
9
• 易知, 具有M = j1 + j2 - 1 的相应于(63)形式的态只 能有一个.
• 继续这样的讨论，我们将看到对于J，所有对 应于
17
在表中前3列即为(67)、(68)和(69)的结果；第4列 (单重态|0,0)是这样得到的，即要求|0,0与三重态 均正交并满足前述相的约定(CG系数为实数). 以上考虑的是特殊情况，下面我们研究普遍情况.
18
递推关系
• 类似于上例，若将J- 作用于(66)式，可得
(70)
19
• 将(70)与下式比较： • 得到
•以
置换，得
(73)
22
• 对于
的情况，重复应用(73)直至 M
达到其最大值：
23
上式中最后一CG系数 所以所有其他CG系数皆可得到了, 如下表左上 一项所示：
24
• 相似的，左下一项可由递推关系(72) 由
导出. 但是更方便的是由
的归一化，
因此表中左一列两项的平方和必定等于1 而得到.
• 表中右一列中各项可经由要求矢量
3
• 容易证明 J(1) ·J(1), J(2) ·J(2), J2 和 Jz 相互对易，因此， 他们拥有共同的完备本征矢集合, 我们将这些本 征矢表示为|j1, j2, J, M ，且有
(55)
• 下面我们将把注意力限制于j1和j2为常数的维数为 (2j1+1)(2j2+1)的矢量空间，这是因为(54)形式的积 矢量的集合{|j1,j2,m1,m2}和总角动量的本征矢集 合{|J, M}都是J(1) ·J(1), J(2) ·J(2)的本征矢, 因而，在 这两个集合中 j1和j2皆为常数.