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两个角动量耦合

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(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.

量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论（陇东学院电气工程学院, 甘肃庆阳 745000）摘要：轨道角动量在直角坐标系与球极坐标系下的算符表示及相关推导，同时通过对易关系，得出轨道角动量并不能描写一个可观察量.然后运用力学量算符和波函数的矩阵表示,在给定表象下,讨论电子自旋算符的表示及自旋波函数的构造。

接着讨论角动量的LS耦合，其中主要计算总角动量与角动量分量的共同本征态，并且通过介绍耦合表象与非耦合表象，以及在展开耦合基矢的基础上规定量子数j的取值,进而分析角动量的JJ耦合关键词：角动量;算符；对易关系；自旋；角动量耦合The Disscussion of Angular Momentum and ItsCoupling Question in Quantum Mechemics(Electrical Engineering College, Longdong University， Qingyang 745000， Gansu，China）Abstract：First，using a basic assumption that the mechanical quantities in Quantum Mechanics is the appropriate operatorthe， it discuss the representation of orbital angular momentum optrator in both rectangular and spherical systems and related deduction in the text，at the same time it gets that orbital angular momentum optrator does not describe an observable quantity through the communication relations.Then useing mechanical quantity operator and matrix representation of wave funtion, it discusse the reprentation of the electronic spin operators and retructrue of spin wave funtion in a given reprentation.Nextit discusse the LS coupling of angular momentum, in which it mainly calculate the common eigenstates of the total angular momentum and angular momentum component,and through introdution the coupling and the non—coupling reprentation and determine the values of quantum number j on the basis of expand the coupling vectors, analyzeing the JJ coupling of angular momentum.Key words：angular momentum;operator;commutation relation;spin;angular momentum coupling； clebsh—gordan cofficient0 引言量子力学中有关角动量及其耦合的问题，在很多量子力学教材和文献［1，2，3,4，5，6]中都作过比较简明的阐述，但在许多文献中都是就某一方面进行分析的，并且由于角动量耦合的克莱布希—高登系数计算比较繁琐,大多数教材和文献中都是直接给出或查表得到,只有在一些高等量子力学教材中出现过较简明扼要的计算.本文对量子力学中的角动量及其耦合的问题进行了比较系统的阐述，首先详细讨论轨道角动量在直角坐标系下的算符表示向球极坐标系下的算符表示的推导,进而通过角动量的对易关系得出了轨道角动量的一些重要性质。

7.第七讲角动量耦合及光谱精细结构

7.第七讲角动量耦合及光谱精细结构

ψn,l,j,m r,θ,φ,sz Rnl r ul jm θ,φ,sz
将耦合表象的基矢 nljm 按无耦合表象
基矢 nlml ms 展开
n,l, j,m(r, ,, sz )
C ml ms nlml ms
ml ms
16
7.5 光谱的精细结构（ 3）
考虑自旋与轨道运动相互作用能的影响
电子自旋与轨道运动的相互作用能比电子的动能 和在核场中的势能小得多，现表示为：
二、本征值和本征矢
由 Jˆ1 、Jˆ 2 的本征值和本征矢，可以求出 Jˆ 本征值和 本征矢。
设以 j1 m1 和 j2 m2 分别表示
矢和
Jˆ
2 2
、Jˆ2z
的共同本征矢。
Jˆ 12
、Jˆ1z
的共同本征
相应的本征值方程为：
Jˆ12 Jˆ1z
j1m1 j1( j1 1) 2 j1m1 m1 j1m1
4
4
m1 0, 1
，
m2
1 2
m 3、 1、 1、 3 22 2 2
Jˆz
的本征值为
3 2
,1 2
, 1 2
, 3 2
9
两个角动量的耦合 (coupling of two angular momentums)
四、CG耦合系数和 Jˆ2，Jˆz 的本征矢
当给定 j1 时，m1 有2 j1 1 个取值，对应有 2 j1 1
故 m m1 m2 或 m1 m m2
j1 j2 j m j1,m m2, j2,m2 j1,m m2, j2, m2 j1 j2 j m
m2
由上面的讨论可知：
（5）
①.当求得了量子数j 和 m 后,就能得到 Jˆ 2 和 Jˆz

角动量耦合 一般形式

角动量耦合 一般形式

归一化并与
正交而确定.
25
作业
• 考虑一由两个自旋 ½ 的粒子组成的系统，试计
算算符(1)(2)的本征值和本征矢.
使用m1m2作为基矢量, 这里m1, m2分别为
z(1), z(2)的本征矢.
26
j1 = ½ , j2 = ½ . 当J, M 取它们最大可能值J = M = 1, 此时(66)式中 的求和仅包含1项，即
(67)
上式左、右均为模为1的矢量，故而
15
• 现将算符 •有
作用于(67)并考虑到
(68)
16
• 进而将算符 J- 作用于(68)式，得
(69)
• 因而对于这一特殊情况，我们有下表所示结果
(71)
20
对于上升算符
有相似的结果如下：
(72)
(71)、(72)为计算CG系数的递推关系式, 它允许我 们对相同的总角动量 J ，导出具有相同的 j1 和 j2, 但不同的 M 的CG系数； 它有着许多实际的应用，其中之一是将其应用于
的情况,如自旋-轨道耦合.
21
• 在(71)中，若令m2 = ½ 则其右端的第二项将为0， 从而
(64)
• 的值正好出现一次，称之为三角规则.
10
• 上述三角规则告诉我们两个角动量j1, j2仅能组 合形成这样一个合成的总角动量J,这与矢量加 法一致(如图所示).
11
• 进而，可以计算耦合态的数目
• 如预期的等于 数目.
(65)
态的
12
Clebsch-Gordan 系数的计算
如上(56)所述，
§3.6 角动量耦合(相加)
• 现在考虑2-分量系统，两个角动量J(1)和J(2)合成 一总角动量J的情况：

17第7章概念2-两个角动量的耦合

17第7章概念2-两个角动量的耦合

1 2
−1,1 + 2 2
1 2
1 2
, − 1 c 1 , − 1 + d − 1 , 1 2 2 2 2 2
=
1 2
(c + d ) = 0
0, 0 0, 0 = c*
2
1 2
, − 1 + d * − 1 , 1 c 1 , − 1 + d − 1 , 1 2 2 2 2 2 2 2
j1 + j2 , j1 + j2 − 1,L , jmin
因此，耦合表象基矢总数即空间维数为 因此， 1 首项+末项） ∑(2 j +1) = 2（首项+末项） 项数 j
×ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=
= ( jmax + jmin + 1)( jmax − jmin + 1)
(2 jmin + 1) + (2 jmax + 1) ( jmax − jmin + 1) 2
因此， ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 也构成力学量完全集。 因此， J1 , J 2 , J , J z 也构成力学量完全集。 设它们的共同本征矢为 j1 j2 jm ，则
{
v v ˆ ˆ ˆ 2 = J 2 + J 2 + 2J ⋅ J ˆ ˆ J 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 [J 2 , J z ] = 0 [ J 2 , J12 ] = [ J 2 , J 2 ] = 0 且
j1 =1/ 2
,1 2
,1 2
m1 =1/ 2
j2 =1/ 2 m2 =1/ 2
=
( 1 − 1 + 1)( 1 + 1 ) 2 2 2 2

第七章 第二讲

第七章 第二讲

ˆ J ˆ 2J ˆ 2J ˆ 2, J x x y z
ˆ J ˆ 0 J y y,

ˆ 2, J ˆ Jx x


ˆ J ˆ 2, J x y

ˆ J ˆ 2, J x z
ˆ J ˆ J x z

ˆ J x


ˆ J ˆ , J x y

ˆ J ˆ ˆ ˆ J x y Jz Jz ,
1 1
上式与关系式

m1
j1 , j2 , j, m | j1 , m1 , j2 , m m1 j1 , m1 , j2 , m m1 | j1 , j2 , j , m jj
一起反映了C-G系数的么正性和实数性。
（3）j的取值范围（j与j1,j2的关系） 1.对给定j1 j2 ，求 jmax 因为m m1 m2 取值范围分别是：
Jmax = j1 + j2
等式两边基矢数应该相等
| j1 , j2 , j , m | j1 , m1 , j2 , m m1 j1 , m1 , j2 , m m1 | j1 , j2 , j , m
Jˆ ,
z
同理
Jˆ ,
z

ˆ 2 0 J 2

Jˆ
1z ,
ˆ 2 J ˆ , J 1 2z

ˆ 2 J 1

0
亦成立。 [证毕]
（二）耦合表象和无耦合表象
（1）本征函数
综合上述对易关系可 知：四个角动量算符
ˆ 2, J ˆ ,J ˆ 2, J ˆ 2 J z 1 2
两两 对易
jm
, j2 , m j1 , m1 2 |

6.3两个角动量的耦合

6.3两个角动量的耦合

（6.3.13）
又因
(L )lm,lm
* l m
L
lm
d
r
C lm l,l m,m1
2
2
2
2
2
L Lx Ly Lz (Lx iLy )(Lx iLy ) Lz Lz
(L2 )m,m
(L L )m,m
2
(Lz )m,m
(Lz )m,m
（6.3.14） （6.3.15） （6.3.16）
J1z j1, m1 m1 j1,m1
（6.3.32）
2
J2 j2 ,m2 j2 ( j2 1) j2 , m2 J2z j2 ,m2 m2
则无耦合表象中的基矢 j1,m1, j2 ,m2 是
即
l(l 1) 2 (L )m,m (L )m,m m2 2 m 2
m
=(L )m,m1(L )m1,m m2 2 m 2
（6.3.17）
6.3 两个角动量的耦合
另外，由于Lx 和 Ly 是厄米的，所以有
(L )m1,m (Lx iLy )m1,m
=(Lx )m1,m i(Ly )m1,m
=(Lx )m1,m
( Ly
)m,m1
1 2i
(L )m,m1
(L )m,m1
=- i (l m)(l m 1) 2
（6.3.23） （6.3.24）
应该指出，上述各式并非只对轨道角动量成立。对于轨
道角动量， lm 就是球谐函数 Ylm ，对于其它角动量， lm 虽
不是球谐函数，但只要满足角动量定义（6.3.1）式，并把
6.3 两个角动量的耦合
l 和 m理解为相应的角动量平方和角动量 z 分量的量子
数，（6.3.21）——（6.3.24）式恒成立。例如对电子自旋角 动量，S 1 2 ,m 1 2 由（6.3.23）及（6.3.24）得

两个角动量的耦合

两个角动量的耦合
中，角动量是守恒的，即系统中的角动量不会因 为相互作用而改变。
角动量耦合定理
当两个具有角动量的物体相互作用时，它们的角动量会以一 定的方式耦合，形成新的角动量状态。
角动量耦合的数学表达式
通过数学表达式描述两个角动量的耦合关系，通常涉及向量 的点积和叉积运算。
耦合的物理意义
在经典力学中的应用
刚体动力学
在经典力学中，刚体的旋转运动可以用 角动量来描述。通过研究刚体的角动量 ，可以了解刚体的旋转状态和运动轨迹 。
VS
陀螺仪
陀螺仪是一种利用角动量守恒原理工作的 导航仪器。通过测量陀螺仪的角动量变化 ，可以确定物体的方向和姿态，广泛应用 于航空、航天和航海等领域。
05
两个角动量的耦合研究展望
04
两个角动量的耦合应用
在天文学中的应用
星系旋转
角动量是描述旋转运动的物理量，在天文学中，星系的旋转运动可以用角动量来描述。通过研究星系的角动量， 可以了解星系的旋转速度、旋转方向以及旋转轴的方向。
恒星演化
恒星的演化过程涉及到角动量的变化。在恒星形成和演化的过程中，角动量守恒定律起着重要的作用，影响着恒 星的结构和演化轨迹。
耦合的数值模拟
数值模拟方法
通过数值模拟方法，可以模拟两 个角动量的耦合过程，并分析其 动态变化规律。
数值模拟软件
常用的数值模拟软件包括 MATLAB、COMSOL Multiphysics等，这些软件可以 模拟复杂的物理过程，并输出详 细的数据和图像。
数值模拟的应用
数值模拟在物理学、天文学、航 天工程等领域有着广泛的应用， 可以帮助科学家和工程师更好地 理解物理现象和规律，优化设计， 提高性能。
两个角动量的耦合
$number {01}

角动量耦合 CG系数的计算

角动量耦合 CG系数的计算

归一化并与
正交而确定.
25
作业
• 考虑一由两个自旋 ½ 的粒子组成的系统，试计
算算符(1)(2)的本征值和本征矢.
使用m1m2作为基矢量, 这里m1, m2分别为
z(1), z(2)的本征矢.
26
3
• 容易证明 J(1) ·J(1), J(2) ·J(2), J2 和 Jz 相互对易，因此， 他们拥有共同的完备本征矢集合, 我们将这些本 征矢表示为|j1, j2, J, M ，且有
(55)
• 下面我们将把注意力限制于j1和j2为常数的维数为 (2j1+1)(2j2+1)的矢量空间，这是因为(54)形式的积 矢合{量|J,的M集}都合是{|jJ1(,1j)2·,mJ(11),,mJ2(2)}·和J(2总)的角本动征量矢的, 因本而征，矢在集 这两个集合中 j1和j2皆为常数.
1
• 首先，复合系统的基矢为
(54)
• 它们是4个对易算符 的本征值为 的共同本征矢.
2
而我们关心的是对应于总角动量算符J2和Jz的共 同本征矢|J, M, 对应本征值分别为: 显然，-J M J . 若分系统之间无耦合，则复合系统的态矢即为子 系统态矢乘积组成的纯态，而如存在耦合，则复 合系统的态矢将由(54)的线性组合构成.
• 由于M 按整数步长取 值，(61)两个态
的所有
(62)
• 的两个可能的、线性无关的组合中的一个必须
属于
；至于另一个，由于不存在
J > Jmax= j1 + j2 的态，故而它必定属于态
(63)
9
• 易知, 具有M = j1 + j2 - 1 的相应于(63)形式的态只 能有一个.

9.3 两个角动量的耦合,Clebsch-Gordan系数

9.3 两个角动量的耦合,Clebsch-Gordan系数


jm
j1m1 j2 m m1 jm j1m1 ' j2m m1 ' jm m1m1 '
（15）
式（13）和（15）就是CG系数幺正性和实数性的反映.
j 的取值范围. 给定 j1 和 j2
m1 j1 , j1 1, , j1 1, j1 m2 j2 , j2 1, , j2 1, j2
它们具有很清楚的对称性关系，容易记忆，即
(1)
j1 j2 j3
j1 j2 m1 m2
j1 j3 m1 m3
j2 j3 m2 m3
j2 m2
j1 m1
（24）
j1 j2 m1 m2
j3 j2 m3 m2
1 1 2 2
（6 ）
所以 j m (1) j m (2) 共有 (2j1 1)(2j2 1) 个，即它们张开
(2j1 1)(2j2 1)
维子空间.
2 [ j2 , j ] 0,
考虑到
[ j12 , j ] 0, [ j1 , j2 ] 0 ,
（7 ）
[ j 2 , j ] 0 , , , x, y,z
（10）
即
m1 , m2
(m m m )
j1m1 j2 m2 jm j1m1 (1) j2m2 (2) 0
9.3 两个角动量的耦合，CG系数
量子力学教程 量子力学教程(第二版)
在自旋表象子空间中，非耦合表象基矢是彼此独立的（完 备的）正交归一矢，式（10）右边的所有系数必须为零，即
j1 j2 j jmin
(2j 1) (2j 1)(2j

量子力学第七章7.4

量子力学第七章7.4

2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ2 = J12 + J 2 + J1 • J 2 + J 2 • J1 = J12 + J 2 + 2 J1 • J 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ J 2 = J • J = J xi + J y j + J z k • J xi + J y j + J z k
1 1 2 2
′ ′ ′ ′ = (m1 + m2 ) < j1 , m1 , j2 , m2 | j1 , j2 , j , m >
′ ′ m = m1 + m2
m = m1 + m2
| j1 , j2 , j, m >=
m1 , m2
∑
| j1 , m1 , j2 , m2 > < j1 , m1 , j2 , m2 | j1 , j2 , j, m >
ˆ ˆ [ J12 , J1z ] = 0
这四个角动量算符有共同 的正交归一完备的本征函 数系。记为：
ˆ ˆ2 [ J12 , J 2 ] = 0
ˆ ˆ [ J12 , J 2 z ] = 0
ˆ ˆ2 [ J1z , J 2 ] = 0
ˆ ˆ [ J1z , J 2 z ] = 0 ˆ2 ˆ [J2 , J 2z ] = 0
由 m = m1 + m2 知：
mmax = m1 max + m2 max
j max = j1 + j 2
②
j min :
对于给定的 j1 ， m1 有 2 j1 + 1 个取值，即 | j1 , m1 > 共有 2 j1 + 1 个； 同理给定 j2 ，m2 有 2 j2 + 1 个取值， | j2 , m2 > 共有 2 j2 + 1 个。 即 所以，给定 j1 和 j2 ，无耦合表象基矢共有 ( 2 j1 + 1 )( 2 j2 + 1 ) 个， 也即无耦合表象空间的维数。

8.6 两个角动量的耦合

8.6 两个角动量的耦合
z 1 2 1 2

j1 , j2 , j , m 组成正交归一完全系，以它们为基矢的表象称为
耦合表象。 概括起来讲如下：
11 4Βιβλιοθήκη 1、无耦合表象基底： 维数： 封闭关系：
j1 m1 j 2 m2 j1 m1
j 1 j 2
2 j1 12 j2 1
m j m1 j 1 1 2
ˆ2, J ˆ ,J ˆ2, J ˆ 2 也是相互对易的，所以它们有共同 另一方面算符 J z 1 2
ˆ 的对应本征值依次为 ˆ2 和 J 本征矢 j1 , j2 , j , m , j 和 m 表明J z
j ( j 1)2 和 m :
ˆ 2 j , j , j, m j ( j 1)2 j , j , j , m J 1 2 1 2 ˆ j , j , j, m m j , j , j, m J
2 2 2
ˆ ˆ [ J1 , J 2 ] 0
1
11
ˆ ˆ 之和： ˆ 以 J 表示 J 1与 J 2
ˆ J 称为体系的总角动量，它满足角动量的一般对易关系： ˆ ˆ ˆ J J iJ
此外，还有一些其他的对易关系：
2 ˆ2 ˆ [ J , J1 ] 0 2 ˆ ˆ [J , J ] 0 1 z 2 ˆ ˆ [ J , J ] 0
基底： j1 j 2 j m 不能区分角动量1和2了！
j max
封闭关系：
m j j j min
2 2

j1 j 2 j m j1 j 2 j m I
1 2
j
ˆ 2 j j j m j j 12 j j j m J 1 1 1
1 1

两个角动量的耦合

两个角动量的耦合

[Jˆ2, Jˆ22] 0
（3）
[ Jˆ
z
,
Jˆ12
]

[
Jˆ z
,
Jˆ
2 2
]

0
[Jˆz , Jˆ12 ] [Jˆ1z Jˆ2z , Jˆ12] [Jˆ1z , Jˆ12 ] [Jˆ2z , Jˆ12] 0
[Jˆz , Jˆ22] 0
（4）
[ Jˆ12
,
Jˆ
2 2
Jˆ1 Jˆ1 i Jˆ1
Jˆ2 Jˆ2 i Jˆ2
[Jˆ12, Jˆ1 ] 0
[Jˆ22, Jˆ2 ] 0 ( x, y, z)
由于 和Jˆ1 属J于ˆ2 不同子体系，所以相互对易，即
[Jˆ1, Jˆ2 ] 0 或
[Jˆ1 , Jˆ2 ] 0 (, x, y, z)
或
[Jˆx , Jˆy ] [Jˆ1x Jˆ2x , Jˆ1y Jˆ2y ] [Jˆ1x , Jˆ1y ] [Jˆ2x , Jˆ2y ]
i Jˆ1z i Jˆ2z i Jˆz
即 Jˆ满足角动量的一般定义。
注意： Jˆ1 不 J是ˆ2 角动量。
(Jˆ1 Jˆ2 ) (Jˆ1 Jˆ2 ) Jˆ1 Jˆ1 Jˆ1 Jˆ2 Jˆ2 Jˆ1 Jˆ2 Jˆ2 Jˆ1 Jˆ1 Jˆ2 Jˆ2 i Jˆ1 i Jˆ2 i (Jˆ1 Jˆ2 ) i (Jˆ1 Jˆ2 )
§7-4 两个角动量的耦合
两个角动量（磁矩）发生耦合，体系便出现附加能量，在此情况 下，可以证明角动量为守恒量。核壳层结构、原子光谱的精细结构、 复杂塞曼效应都必须由角动量耦合才能得到合理解释。

两个角动量的耦合及其磁矩

两个角动量的耦合及其磁矩
解：对于2p态的电子， 。
对于 ，其原子态符号为
对于 ，其原子态符号为
对于s和L都相同的原子态，上面的两个结果可以合并写在一起： ，虽然写成一个符号，但里面有两个不同的j值，所以代表2个不同的原子态。
例、写出1s态电子所形成的原子态符号
例、写出3d态电子所形成的原子态符号
例、两个电子分别处于2p3p态，求L-S耦合所形成的原子态符号。
即有： 。
例1：求 耦合所得的 。
解一：
即 ，相应的 。
解二：
由 可以得到
即 ，相应的 。
例2、求量子数为 的两个角动量耦合所得的 。
解： ，所以 。
例3、求处于 态电子的自旋与轨道角动量的耦合(L-S耦合)。
解：对于 态，即电子处于 的 轨道，对于电子本身而言，具有自旋角动量
电子在 轨道上运动时， 轨道对应的轨道角动量量子数 ，所以有
所以 。
例4、求处于 态电子的自旋与轨道角动量的耦合。
解：对于 轨道上的电子，其自旋量子数 ，而3d的轨道量子数由d轨道给出，对于d轨道，其相应的轨道量子数 ，所以
所以 。
学生独立完成的例题：求处于 态电子的自旋于轨道角动量的耦合。
例5、两个电子分别处于2p和3p轨道，求总的自旋角动量量子数，总的自旋角动量，总的轨道量子数，总的轨道角动量，以及总的角动量量子数和总角动量。
对于量子数 的两个角动量 ， ，其与 相应的磁矩为
而与 以得到的 与 可能不在同一直线上，会有一夹角，即 。而 在 方向上的投影，即为 ，即有
而
所以有
即有：对于 和 耦合所得到的 ，其朗德因子
例如，对于LS耦合， ， 为轨道角动量， 为自旋角动量，那么，其朗德因子为
这种情况耦合的强度远远弱于前面两种通常不考耦合角动量相对应的磁矩以及朗德因子对于量子数的两个角动量而与相应的磁矩为这两个磁矩的耦合得到由于可能会与不相等所以得到的可能不在同一直线上会有一夹角即方向上的投影即为即有其朗德因子例如对于ls耦合为自旋角动量那么其朗德因子为这样如果意味着根据可知要么代入所以例3电子处于2p轨道上求其原子态角动量和磁矩的可能值

量子力学简答100题及答案

量子力学简答100题及答案

1、简述波函数的统计解释；2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？3、力学量Gˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。

6、何为束缚态？7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。

8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,)r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。

10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？14、在简并定态微扰论中，如 ()H0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H HH'+=ˆˆˆ0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ12()s z 中， S x 和 S y的测不准关系( )( )∆∆S S x y 22•是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。

18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。

19何谓选择定则。

20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？21、叙述量子力学的态迭加原理。

22、厄米算符是如何定义的？23、据[aˆ，+a ˆ]=1，a a Nˆˆˆ+=，n n n N =ˆ，证明：1ˆ-=n n n a 。

量子力学知识：量子力学中的角动量耦合

量子力学知识：量子力学中的角动量耦合

量子力学知识：量子力学中的角动量耦合量子力学是关于描述微观常态下物质的行为的一种理论，它在过去的一个世纪中已经成为了非常重要的科学领域。

角动量耦合是量子力学中非常重要的概念之一，它对解释原子和分子的结构以及射线光谱学的理解都至关重要。

在本文中，我们将探讨什么是角动量耦合，以及它在量子力学中的应用和重要性。

一、角动量的基本概念首先，我们需要了解角动量的基本概念。

角动量是一个物体围绕一个轴旋转时所具有的运动量，它和轴的方向有关，可以表示为J=rxp，其中r表示从轴到旋转点的向量，p表示物体的动量。

角动量的大小可以表示为J²=Jx²+Jy²+Jz²，其中Jx、Jy和Jz是分别沿着x、y和z轴的分量。

二、角动量的量子化在量子力学中，经典物理学中的连续变量被量子化为离散的能级，角动量也不例外。

在三维空间中，角动量的取值被限制为整数或半整数，我们称之为角动量量子数。

标准符号为j，取值为0、1/2、1、3/2、2、5/2、3、7/2等等。

三、角动量耦合的原理当我们考虑两个或多个相互作用的粒子时，我们需要考虑它们的角动量的耦合（coupling）。

直接组合两个粒子的角动量是有问题的，因为它们之间涉及到复合表演、相互体面、地球自转、中学的阴谋、球阀排水等因素，它们不能合并起来计算，因为它们是非交换的。

为了解决这个问题，量子力学引入了一个叫做角动量耦合的新概念。

我们可以将两个粒子的角动量标记为j1和j2，然后将它们耦合成一个新的量子数j。

这个新的量子数不仅代表了整个系统的总角动量，还涵盖了两个粒子之间的相互作用。

四、角动量耦合的数学原理数学上，可以使用Wigner系数来计算两个或多个角动量的耦合。

这些Wigner系数是可以预先计算的，也可以使用特定的公式进行计算。

这些系数使我们能够在一个相对简单的表达式中编码粒子之间的角动量想互作用。

总的耦合可以表示为|jm⟩=Σ C(j1 j2j;j1 m1 j2 m2)|j1 m1⟩|j2 m2⟩，其中C(j1 j2j;j1 m1 j2 m2)是Wigner系数，|j1 m1⟩和|j2 m2⟩表示两个粒子的角动量状态，而|jm⟩是整个系统中的总角动量状态。

量子力学中的径向运动和力学解

量子力学中的径向运动和力学解

量子力学中的径向运动和力学解量子力学是现代物理学的基石，它揭示了微观世界中物质和能量的奇妙本质。

在量子力学的理论框架中，径向运动是一个重要的概念，它解释了原子和分子中的粒子如何沿着径向方向移动。

本文将讨论量子力学中的径向运动以及相关的力学解。

量子力学中的径向运动涉及到粒子在离心力场中的运动状态。

在量子力学中，粒子的运动状态由波函数描述，而波函数则满足薛定谔方程。

对于径向运动，薛定谔方程可以简化为径向方程，即径向波函数满足的微分方程。

首先，我们来看一个简单的例子：氢原子。

在氢原子中，一个质子作为原子核呈球对称分布，而电子围绕着原子核进行运动。

电子的径向运动可以用径向波函数描述，该波函数的平方表示电子在不同径向位置概率分布。

对于氢原子的径向波函数，可以通过求解径向方程得到。

径向方程涉及到哈密顿算符和径向波函数的能量本征值，通过求解径向方程的本征问题，可以得到径向波函数的能级结构和能量谱。

通过径向波函数，我们可以计算氢原子各个能级上电子在不同半径位置的概率分布。

这样的概率分布对于理解氢原子的电子云模型以及化学键的形成等问题具有重要意义。

在实际应用中，径向波函数还可以用于计算氢原子光谱的发射和吸收过程。

除了氢原子外，其他原子和分子的径向运动也可以通过薛定谔方程进行研究。

然而，由于径向方程的复杂性，对于多电子体系，常常需要使用近似方法进行求解。

常见的近似方法包括独立粒子近似和平均场近似等。

在量子力学的框架下，径向运动还涉及到轨道角动量和径向角度动量的耦合。

轨道角动量描述了粒子围绕原子核的运动，而径向角度动量描述了粒子在径向方向上的角动量。

这两个角动量的耦合对于解释物质在离心力场中的运动轨迹具有重要意义。

总的来说，量子力学中的径向运动和力学解是探究微观世界粒子运动行为的重要工具。

通过研究径向波函数和径向方程的解，我们可以揭示原子和分子中粒子的概率分布以及能级结构。

在实际应用中，径向运动的研究对于理解化学反应、光谱学以及材料科学等领域具有重要意义。

高量12-角动量的耦合

高量12-角动量的耦合

j1 j2 jm
j1 j 2 Sm j1m1 j2m2 j1 j2 jm 1m2 jm
取其负共轭，利用
j1 j2* Sm 1m2 jm
J J1 J 2 ，J * J1 J 2
，得
14
( j m)! j1 j2 jj ( J1 J 2 ) j m j1m1 j2 m2 (2 j )!( j m)!
式中
j1 j 2 Sm j1 j2m1m2 j1 j2 jm 1m2 jm
j1 j2 Sm 是在这 j1 j2 确定的子空间中的两组基矢变换的 1m2 jm
幺正矩阵，称为CG系数，Wigner系数或矢量耦合系数。 不耦合表象：
j j mm
1 2 1 2
耦合表象：
j j
1 2
jm
4
二、由j1和j2确定j
即 由此得
m m1 m2
5
设 m m' ，即 jm' 可以表示成
j1m1 j2m2
的叠加，
j1 j2 j1 j2 jm' j1m1 j2m2 Sm 1m2 jm' m1 m2
上式两边用 J J1 J 2 作用（ J J x iJ y ），
当左 边 的 m’ 由 于受 到 J± 的作 用 变为 m 时 ， (-j≤ m≤j)，右边的m1和m2也由于受到J1±和J2±的作用 取不同的值，而且不会所有的项都成为 0 ，这样 23.3式仍然成立，这证明，若对某一个m’，|jm’> 在此空间，则所有的 2j+1 个 |jm>必然也在此空间。
1. 重要关系
j1 和 j2 取 定 的 子 空 间 ， 从 不 耦 合 表 象 看 ， 是 (2j1+1)(2j2+1) 维 的 。 耦 合 表 象 的 基 矢 也 应 该 是 (2j1+1)(2j2+1)个，由此看j的取值范围。 对23.3

jj耦合跃迁选择定则

jj耦合跃迁选择定则

jj耦合跃迁选择定则在原子核物理和核能工程中，JJ耦合是指角动量耦合的一种方式，其中J代表角动量，而JJ耦合则是两个角动量J的耦合。

在核子间的相互作用中，JJ耦合的选择定则对于确定哪些核子跃迁是允许的具有重要意义。

本文将详细介绍JJ耦合跃迁选择定则的几个主要方面。

1. 相同能级跃迁在JJ耦合中，相同能级跃迁是指两个核子从同一能级跃迁到同一能级的过程。

这种跃迁只有在特定的条件下才可能发生，如跃迁过程中没有改变角动量方向。

由于这种跃迁不涉及能量交换，因此它对核子的总能量影响较小。

2. 同向自旋磁矩跃迁同向自旋磁矩跃迁是指两个核子自旋磁矩同向的跃迁过程。

这种跃迁通常发生在具有偶数宇称和奇数宇称的核子之间，因为它们在自旋磁矩方向上存在差异。

同向自旋磁矩跃迁通常会导致系统能量的增加。

3. 轨道磁矩跃迁轨道磁矩跃迁是指两个核子的轨道磁矩发生交换的跃迁过程。

这种跃迁通常与核子间的相互作用有关，如交换力或引力。

轨道磁矩跃迁通常会导致系统能量的增加。

4. 考虑自旋和轨道磁矩间的耦合效应在JJ耦合中，自旋和轨道磁矩的耦合效应对于确定哪些跃迁是允许的具有重要意义。

当两个核子间的相互作用导致它们的自旋和轨道磁矩发生耦合时，系统可能会发生能量减少的跃迁过程。

这种耦合效应通常会导致能级分裂和磁矩相互作用的变化。

5. 各向同性的耦合系数应为零在JJ耦合中，各向同性的耦合系数是指两个角动量J在所有方向上的平均耦合强度。

根据对称性原则，各向同性的耦合系数应为零。

这是因为对称性原则要求系统在空间旋转、反射或平移操作下具有不变性。

如果各向同性的耦合系数不为零，则系统将不具备这种不变性，导致其物理行为异常。

总之，JJ耦合跃迁选择定则对于理解原子核物理和核能工程中的核子相互作用和能量变化具有重要意义。

掌握这些选择定则有助于我们更好地理解和预测原子核的行为，为开发更高效的核能和核技术提供理论支持。

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i Jˆ1z i Jˆ2z i Jˆz
即 Jˆ 满足角动量的一般定义。
注意：Jˆ1 Jˆ2 不是角动量。
(Jˆ1 Jˆ2 ) (Jˆ1 Jˆ2 ) Jˆ1 Jˆ1 Jˆ1 Jˆ2 Jˆ2 Jˆ1 Jˆ2 Jˆ2 Jˆ1 Jˆ1 Jˆ2 Jˆ2 i Jˆ1 i Jˆ2 i (Jˆ1 Jˆ2 ) i (Jˆ1 Jˆ2 )
Jˆz j1m1 j2m2 (Jˆ1z Jˆ2z ) j1m1 j2m2 (m1 m2 ) j1m1 j2m2
即 Jˆz的本征值为 (m1 m2 ) ，所以 m m1 m2
则
j1 j2 jm j1, m m2, j2, m2 j1, m m2, j2, m2 j1 j2 jm
一、两个角动量的相加（耦合）
考虑由两个不同子体系构成的量子体系。设两个子体系的角动
量分别为 Jˆ1 和 Jˆ2，它们满足
Jˆ1 Jˆ1 i Jˆ1
Jˆ2 Jˆ2 i Jˆ2
[Jˆ12, Jˆ1 ] 0
[Jˆ22, Jˆ2 ] 0 ( x, y, z)
由于 Jˆ1 和 Jˆ2 属于不同子体系，所以相互对易，即
矢的表象。
Jˆ 2
Jˆz Jˆ12

j1 j2 jm

j( j 1) 2
m

j1( j1 1)
2
j1 j2 jm
Jˆ22

j2 ( j2 1) 2
Jˆ12 Jˆ1z Jˆ22

j1m1 j2m2

j1( j1 1) m1
j2 ( j2 1)
jmax j1 j2
（2） jmin j1 j2
给定 j1 、j2 ，则 m1取值2 j1 1个，m2 取值2 j2 1个，所以无耦合
表象基矢 j1m1 j2m2 个数（即无耦合表象空间的维数）为
(2 j1 1)(2 j2 1)
另一方面，对应于一个 j 值，m有2 j 1个取值，所以耦合表象
矢 j1m1 j2m2 j1m1 j2m2 组成了正交归一完备基矢组。
3．耦合表象和无耦合表象
耦合表象：以(Jˆ2, Jˆz , Jˆ12, Jˆ22) 的共同本征矢 j1 j2 jm 为基矢的表
象；Leabharlann 无耦合表象：以 (Jˆ12, Jˆ1z , Jˆ22, Jˆ2z ) 的共同本征矢 j1m1 j2m2 为基

Jˆ1 Jˆ2 Jˆ2 Jˆ1
Jˆ1 Jˆ1 Jˆ2 Jˆ2 i Jˆ1 i Jˆ2 i (Jˆ1 Jˆ2 ) i Jˆ
或
[Jˆx , Jˆy ] [Jˆ1x Jˆ2x , Jˆ1y Jˆ2y ] [Jˆ1x , Jˆ1y ] [Jˆ2x , Jˆ2y ]
二、角动量算符之间的的对易关系
1．Jˆ 2、Jˆz、Jˆ12、Jˆ22 彼此对易
Jˆ2 Jˆ12 Jˆ22 2Jˆ1 Jˆ2
（1） [Jˆ 2 , Jˆz ] 0
Jˆz Jˆ1z Jˆ2z
[Jˆ2, Jˆz ] [Jˆx2 Jˆy2 Jˆz2, Jˆz ] [Jˆx2, Jˆz ] [Jˆy2, Jˆz ]
]

0
综上，(Jˆ2, Jˆz , Jˆ12, Jˆ22) 是彼此对易的，它们了组成第一套力学量
完全集，其共同本征矢 j1 j2 jm 组成了正交归一完备基矢组。
2．Jˆ12、Jˆ1z、Jˆ22、Jˆ2z 彼此对易
(Jˆ12, Jˆ1z , Jˆ22, Jˆ2z ) 组成了第二套力学量完全集，它们的共同本征
2 2
j1m1 j2m2
Jˆ2
z

m2

三、耦合表象与无耦合表象的关系
1．表象变换
耦合表象的基矢可以用无耦合表象的基矢表示出来，即
j1
j2
j1 j2 jm
j1m1 j2m2 j1m1 j2m2 j1 j2 jm
m1 j1 m2 j2
j1
j2

j1m1 j2m2 j1 j2 jm j1m1 j2m2
[Jˆ2, Jˆ22] 0
（3）
[ Jˆ
z
,
Jˆ12
]

[
Jˆ
z
,
Jˆ
2 2
]

0
[Jˆz , Jˆ12 ] [Jˆ1z Jˆ2z , Jˆ12] [Jˆ1z , Jˆ12 ] [Jˆ2z , Jˆ12] 0
[Jˆz , Jˆ22] 0
（4）
[
Jˆ12
,
Jˆ
2 2
[Jˆ1, Jˆ2 ] 0 或 [Jˆ1 , Jˆ2 ] 0 (, x, y, z)
定义：体系的总角动量
Jˆ Jˆ1 Jˆ2
则 Jˆ Jˆ (Jˆ1 Jˆ2 ) (Jˆ1 Jˆ2 ) Jˆ1 Jˆ1 Jˆ1 Jˆ2 Jˆ2 Jˆ1 Jˆ2 Jˆ2
m1 j1 m2 j2
展开系数 j1m1 j2m2 j1 j2 jm 称为矢量耦合系数或克来布希-高登系数 （Clebsch—Gorden）系数，简称C-G系数。
因为
[Jˆ z , Jˆ1z ] [Jˆ1z , Jˆ1z ] [Jˆ2z , Jˆ1z ] 0
所以 Jˆ z、Jˆ1z有共同本征矢，因此
基矢 j1 j2 jm 个数为
jmax
(2 j 1)
j jmin
（3） j 的取值
给定 j1、j2后，j 的取值 j j1 j2 , j1 j2 1,..., j1 j2 j1 j2 j j1 j2
每一步的改变为1。
§7-4 两个角动量的耦合
一、两个角动量的相加（耦合） 二、角动量算符之间的对易关系 三、耦合表象与无耦合表象的关系
§7-4 两个角动量的耦合
两个角动量（磁矩）发生耦合，体系便出现附加能量，在此情 况下，可以证明角动量为守恒量。核壳层结构、原子光谱的精细结 构、复杂塞曼效应都必须由角动量耦合才能得到合理解释。
m2
2．量子数 j 和 j1、j2的关系
（1） jmax j1 j2 给定 j1 、j2 ，则
m1 取值： j1, j1 1, , j1 m2 取值： j2 , j2 1, , j2 m 取值： j, j 1,, j
因为 m m1 m2 所以
最大值 m1max j1 最大值 m2max j2 最大值 mmax jmax j mmax m1max m2 max 于是
Jˆx[Jˆx , Jˆz ] [Jˆx , Jˆz ]Jˆx Jˆy[Jˆy , Jˆz ] [Jˆy , Jˆz ]Jˆy
i Jˆx Jˆy i Jˆy Jˆx i Jˆy Jˆx i JˆxJˆy 0
（2） [Jˆ2, Jˆ12] [Jˆ2, Jˆ22] 0 [Jˆ2, Jˆ12 ] [Jˆ12, Jˆ12 ] [Jˆ22, Jˆ12 ] 2[Jˆ1 Jˆ2, Jˆ12 ] 0