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1.角平分线遇平行线出现等腰三角形。分a 、b 两种情形： a 、 如图甲：一直线与角的一边平行 b 、 如图乙：一直线与角的平分线平行
2．等腰三角形与角平分线往往出现平行线 a 、如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行
b 、如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行
3．等腰三角形与平行线往往出现角平分线
a 、如图甲：与一腰平行
b 、如图乙：与底边平行
角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或作其二，寻找发现其三，这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点，使一类题目变难为易成为可能，使学生对题目一看就会成为可能。这种思维方法称为“知识板块”思维。
角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用举例：
例1、如图1：已知在△ABC 中∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，过点I 作DE//BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E 。求证：DE=BD+CE 。 证明：
例2、如图2：已知I 是△ABC 的内心，DI//AB 交BC 于点D ，EI//AC 交BC 于E 。求证：
△DIE 的周长等于BC 。
证明：
31∠=∠⇒⎭
⎬⎫∠=∠∠=∠⇒2123//OA CD
DC DO =⇒()
DOC 等腰三角形()ODE 等腰三角形⎪⎭
⎪
⎬⎫
∠=∠⎩⎨
⎧∠=∠∠=∠⇒214231//OC DE OE
OD =⇒∠=∠⇒43⎭⎬⎫∠=∠∠=∠⇒=2131DC CO OA
CD //32⇒∠=∠⇒⎭⎬⎫∠+∠=∠∠=∠⇒=4343AOB OE OD ⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫
∠=∠∠=∠⇒AOB AOB 21
1213DE
OC //31⇒∠=∠⇒⎭
⎬⎫
∠=∠⇒=∠=∠⇒1323//DC CO DC OA 21∠=∠⇒214231//43∠=∠⇒⎪
⎭
⎪⎬
⎫
⎩⎨⎧∠=∠∠=∠⇒∠=∠⇒=OC DE OE OD ⎭⎬⎫
∠=∠∠=∠⇒1232//BC DE 31∠
=∠⇒⎭⎬⎫==⇒EI CE DI BD 同理：CE BD IE DI DE +=+=⇒⎭
⎬⎫
∠=∠∠=∠⇒2131//AB DI BD
DI =⇒∠=∠⇒23图甲
1 3 A B
C
D
E
I
图（2） 2 3 2 1
I E
D A B C
4 3 2 O D
E
C
B
A
1
图乙
同理：EI = CE 。
∴△DIE 的周长=DI + IE + ED = BC
例3、如图3：已知在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，DE//BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求证：EF = BE —CF 。
证明：
同理：CF = FD ∴ EF = ED – FD = BE – CF
例1、 例2、例3都是由角平分线、平行线发现等腰三角形，并且同时出现两个，而这个
发现是突破此类问题难点的关键。
例4、平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，BCD ∠ 的平分线交AD 于点F ，BE 、CF 交于点G ，FG=1。求：A ∠的度数。 解：
⎪⎭
⎪⎬⎫∠=∠⎩⎨
⎧=∠=∠⇒⇒1
25
2//BC
AD BC AD ABCD 平行四边形
15∠=∠⇒
同理可证：DF = CD = AB = 3 ⇒ AF = 1 ∴EF = AD －（AF + DE ）= 4 －2 = 2
∴ ∴ 评注：①此题关键在于利用角平分线、平行线发现两个等腰三角形，即△ABE 和△DCF 。
②利用平行四边形的对边相等，分别得到AF=DE=1。
⎭
⎬⎫∠=∠∠=∠⇒212//BDE BC DE
BDE ∠=∠⇒1ED
BE =⇒1
4433=-=⇒⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬⎫=⇒⎭⎬⎫===⇒⎭⎬⎫
==⇒AE AD DE AD BC BC AD AE AB AB AE ⎪
⎪⎪⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫∠=∠∠=∠=∠+∠⇒⇒BCD ABC BCD ABC CD AB ABCD 213212180//0
平行四边形⎪
⎭⎪
⎬⎫=∴==∠⇒=∠⇒=∠+∠⇒
EF FG FG EGF BGC 21,190909032000Θ0305=∠⇒0120=∠A 0301=
∠ 4 3 2 1 F E D M
C B A
③用平行线的同旁内角的平分线互相垂直得到R T △BGC ，RT △BGF 。 ④如果直角边为斜边的一半则直角边所对的角为300。 ⑤用三角形内角和定理得0
120=∠A 。
例5、在矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ；DE 平分∠ADC ，交BC 于点E ，∠BDE=150，求∠COE 的度数。 解：
045=∠⇒CED ∴ CE CD =
等边△OCD
∴
∵0
306090=-=∠OCE ∴00
0752
30180=-=
∠COE 评注：①矩形的对角线相等且相互平分，即矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形。
②有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形。
③等腰三角形的一个底角=
()
顶角-01802
1
。 ④此题关键是
CE OC CE CD OC CD =⇒⎭
⎬⎫
==。
⑤此题内含“角平分线遇平行线出现等腰三角形CDE ”。
例6、 在△ABC 中，0
90=∠CAB ，A D ⊥B C 于点D ，点E 在B C 的延长线上，且
B CAE ∠=∠，AD=3，DE=4。求：CD ：CE 的值。
解：
⎪⎭⎪⎬
⎫=∠=∠⇒⎭⎬
⎫∠=∠⇒000
90BCD 45EDC ADC DE 90ADC ABCD 平分矩形⎪⎪
⎪⎪⎭
⎪
⎪⎪
⎪⎬⎫
=⇒⎪⎪⎪⎭
⎪⎪
⎪
⎬⎫===⇒=+=∠∴=∠OC
OD AC 21OC BD 21OD AC BD ABCD 601545150000矩形ODC BDE Θ⇒⎩⎨⎧=∠=⇒0
60
OCD OC
CD CED
COE OC CE ∠=∠==5
434322=+=
⎪⎭
⎪⎬⎫==∆⇒⊥AE DE AD ADE RT BC AD ⎪⎪
⎪⎭
⎪
⎪
⎪
⎬⎫∠=∠⇒⎪⎭⎪⎬⎫∠=∠∠=∠⇒⎪⎭⎪
⎬⎫=∠+∠⇒⊥=∠+∠⇒=∠⎩⎨⎧∠=∠∠=∠⇒2121904190490231//000B B BC AD B BAC F F EA CA DF 的延长线于点，交作 E
O D A B C
