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1.1 等腰三角形（二）一、问题引入：1. 在等腰三角形中作出一些相等的线段（角平分线.中线.高），你能发觉其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？2、等腰三角形的两底的角平分线相等吗？如何证明.已知：求证：证明：得出定理：.问题：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它们，并与同伴交流.二、基础训练；1. 请同窗们阅读P6的问题（1）.（2），由此取得什么结论？2. 咱们明白等腰三角形的两个底角相等，反过来此命题成立吗？并与同伴交流，由此取得什么结论？得出定理：；简称： .3. 请同窗们阅读讲义“想一想”，这一结论成立吗？你能证明吗？假设可不能证明，请看讲义小明是如何证明的，这种证明问题的方式与以前的证明方式相同吗？假设不同应称什么缘故方式？三、例题展现：如图，△ABC中，D.E别离是AC.AB上的点，BD与CE相交于点O，给出以下四个条件①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD;④OB=OC,上述四个条件中，哪两个条件可判定是等腰三角形，请你写出一种情形，并加以证明.四、课堂检测：1. 已知：如图，在△ABC中，那么图中等腰直角三角形共有（）A.3个B.4个C.5个D.6个2. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=1200, D.E 是BC 上两点，且AD=BD ，AE=CE ，猜想△ADE 是 三角形.3. 如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交与点O ，假设AB=12，AC=18，BC=24，那么△ABC 的周长为（ ）A.30B.36C.39D.424. 在△ABC 中，AB=AC, ∠A=360,BD.CE 是三角形的平分线且交于点O ，那么图中共有 个等腰三角形.5. 如图：下午14：00时，一条船从处动身，以28海里/小时的速度，向正北航行，16：00时，轮船抵达B 处,从A 处测得灯塔C 在北偏西280,从B 处测得灯塔C 在北偏西560,求B 处到灯塔C 的距离.6.中考真题：同一底上的两底边相等的梯形是等腰梯形吗？若是是，请给出证明；若是不是，请给出反例. 第1题 第2题 第3题 第4题。
数学学习与研究㊀２０２３ １３以简驭繁初中数学几何模型教学的探索以简驭繁，初中数学几何模型教学的探索㊀㊀㊀ 以一道广州中考题复习教学设计为例Һ李嘉敏㊀（广州市荔湾区西关广雅实验学校，广东㊀广州㊀５１０１６０）㊀㊀ʌ摘要ɔ几何教学是初中数学教学的重点和难点，在几何教学中逐步归纳出来的几何模型是帮助学生解决几何难题的有效工具．从复杂的图形中抽离出简洁的几何模型，便能直观形象地得到图形性质，从而解决问题．文章中，笔者结合一道广州中考原题，针对其隐含的几何模型进行了分析和梳理，并提出几点反思意见，旨在为广大教育工作者提供教学参考．ʌ关键词ɔ几何模型教学；数学建模；核心素养数学教育的目标可分为显性目标与隐性目标两种，显性目标一般指具体的数学知识内容，‘义务教育数学课程标准（２０２２年版）“中的数学学科核心素养属于隐性目标．数学教学除了传授知识外，还要促使学生的理性思维得到良好发展．教师在教学中要引导学生在复杂的几何图形中抓住解题的关键要素，抓住问题的主要特征，忽略次要因素，找出清晰简洁的解题模型，化繁为简㊁以简驭繁．以下是笔者对一道广州中考原题隐含的几何模型的分析，以及利用该题进行专题复习的教学设计．一㊁对 共顶点㊁等线段 旋转模型的分析共顶点㊁等线段 旋转模型（也称 手拉手模型 ）是指已知条件中出现两条线段有公共端点，且它们的长度相等，此时用图形变换的眼光去看，可以理解为其中一条线段绕着它们的公共端点旋转可以得到另一条线段．那么如果把其中的一条线段放在一个封闭图形（如三角形）中考虑，可看作把该线段所在封闭图形绕着线段的公共端点旋转得到另一个与之全等的封闭图形，通过旋转，既可改变线段之间相对的位置关系，也可得到新的图形性质．二㊁基于 共顶点㊁等线段 旋转模型的教学设计（一）题目呈现如图１所示，☉Ｏ为等边三角形ＡＢＣ的外接圆，半径为２，点Ｄ在ＡＢ(上运动（不与点Ａ，Ｂ重合），连接㊀图１ＤＡ，ＤＢ，ＤＣ．（１）求证：ＤＣ是øＡＤＢ的平分线．（２）四边形ＡＤＢＣ的面积Ｓ是线段ＤＣ的长ｘ的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由．（３）若点Ｍ，Ｎ分别在线段ＣＡ，ＣＢ上运动（不含端点），经过探究发现，点Ｄ运动到每一个确定的位置，әＤＭＮ的周长有最小值ｔ，随着点Ｄ的运动，ｔ的值会发生变化，求所有ｔ值中的最大值．（二）教学分析１．考题来源㊀图２考题的基本图形源于人教版九年级上册教材９０页第１４题，原题如下：如图２，Ａ，Ｐ，Ｂ，Ｃ是☉Ｏ上的四个点，øＡＰＣ＝øＣＰＢ＝６０ʎ，判断әＡＢＣ的形状，并证明你的结论．对比分析可知，中考题的第（１）问把教材中题目的题设和结论调换了位置，把已知 角平分线 得出 等边三角形 ，改成了已知 等边三角形 求证 角平分线 ，考查层次并未明显加深．２．考点和学情分析本题考查了圆周角定理㊁等边三角形性质㊁圆内接四边形性质㊁旋转的应用㊁轴对称的应用㊁解直角三角形等知识，是一道对数学综合能力要求较高的题目．初三的学生已经系统完成了初中阶段所有新课学习，掌握了初中平面几何中常用的图形定义㊁性质和判定知识，也对常见模型有一定了解，但对几何模型的应用还不够灵活，遇到综合题时不能迅速地根据条件联想构建几何模型来解决问题．（三）教学过程１．问题展示，揭示课题课件展示本文 题目呈现 中的题目．设计意图：让学生关注中考考题动向，并认识到数学学习与研究㊀２０２３ １３几何模型在解题中的作用．２．合作探究，解决问题问题１㊀（改编题）如图３所示，☉Ｏ为等边三角形ＡＢＣ的外接圆，半径为２，点Ｄ在ＡＢ(上运动（不与点Ａ，Ｂ重合），连接ＤＡ，ＤＢ，ＤＣ，则ＤＣ是øＡＤＢ的平分线．探究ＤＡ，ＤＢ，ＤＣ三者之间的数量关系，并证明你的结论．图３思维流程图（如图４㊁图５）：图４图５图６㊀图７㊀图８图９㊀图１０解法分析：从题目条件分析，条件中给出等边三角形ＡＢＣ，则有等边三角形的三条边相等，所以有 共顶点㊁等线段 条件出现，例如线段ＣＢ和线段ＣＡ就有公共端点Ｃ，且它们长度相等，可以认为线段ＣＢ能由线段ＣＡ绕点Ｃ逆时针旋转６０ʎ得到，这给解题提供了相对明显的提示，通过构造旋转模型来转换目标线段ＤＡ与ＤＢ的相对位置，从而在新图形中得到更多的几何关系来解决问题．如解法１，将әＡＤＣ绕点Ｃ逆时针旋转６０ʎ，得到әＢＨＣ．由圆内接四边形ＡＤＢＣ可得øＤＡＣ与øＤＢＣ互补，再由旋转前后图形全等可得øＨＢＣ与øＤＢＣ互补，证得Ｄ，Ｂ，Ｈ三点共线，进而得出等边三角形ＤＣＨ，最后通过线段间的等量代换得出结论．解法２ ４的解题思路与解法１大致相同，但值得注意的是，解法３和解法４中图形旋转后点Ｄ的对应点在线段ＤＣ上，需要推理证明．从另一个角度分析，本题还有一个重要条件是 ＤＣ是øＡＤＢ的平分线 ，可联想构造角平分线模型来解决．解法５中，易证得әＤＰＣɸәＤＱＣ和ＲｔәＡＰＣɸＲｔәＢＱＣ，ＤＡ＋ＤＢ＝ＤＰ＋ＤＱ＝２ＤＰ，再通过含３０ʎ角的ＲｔәＤＰＣ可得斜边ＤＣ＝２ＤＰ＝ＤＡ＋ＤＢ．本题还可从结论入手分析．题目要求先猜想线段长度关系再求证结论，通过有目的性地测量可以猜想本题目标是求证 ＤＡ＋ＤＢ＝ＤＣ ，此外显然指向了截长补短模型，解法６的四种构造方法，均是解决线段和差关系的常用方法．设计意图：启发学生突破解题难点，合理猜想，构造几何模型形成解题思路，通过师生合作探究，让学生学会辨析条件与结论．与此同时，利用问题１为解决中考原题做好铺垫．３．回归考题，突破难点问题２㊀问题１中，四边形ＡＤＢＣ的面积Ｓ是线段ＤＣ的长ｘ的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由．数学学习与研究㊀２０２３ １３思维流程图（见图１１）：图１１解法分析：对比问题１和２，题目已知条件一样，只是待求证的结论发生了变化，求解内容层次更深．在解决问题１的基础上，若利用题目条件作为切入点，则可以通过构造 共顶点㊁等线段 的旋转模型得到图６ 图１０不同的辅助线添加方法．若利用线段ＣＢ与线段ＣＡ这对 共顶点㊁等线段 作为切入点，则可像解法１或解法２那样构造辅助线，此时四边形ＡＤＢＣ的面积可转化为等边三角形ＤＨＣ或等边三角形ＤＧＣ的面积，解等边三角形就可以得出边ＤＣ与面积的关系，即Ｓ＝３４ｘ２，再结合 圆中最长弦是直径 这一知识点，可得Ｓ与ｘ对应的函数关系式为Ｓ＝３４ｘ２（２３＜ｘɤ４）．若解题时选取的 共顶点㊁等线段 为ＡＢ和ＡＣ（或ＢＡ和ＢＣ），运用旋转模型构造辅助线后，虽然能得到ＤＡ＋ＤＢ＝ＤＣ，但是并不能实现一般四边形面积的转化，此时需用割补法把四边形ＡＤＢＣ的面积分割成两个三角形的面积．由于题目要求找出面积Ｓ与线段ＤＣ长ｘ之间的函数关系，所以通常会利用ＤＣ把四边形ＡＤＢＣ分割成әＡＤＣ和әＢＤＣ两部分，并以ＤＣ㊀图１２为底构造两个三角形的高线，如图１２，利用含３０ʎ角的ＲｔәＤＡＬ和ＲｔәＤＢＫ可得，ＡＬ＝３２ＤＡ，ＢＫ＝３２ＤＢ，故Ｓ＝１２ＤＣ㊃３２ＤＡ＋１２ＤＣ㊃３２ＤＢ＝３４ＤＣ２．与问题１的分析角度类似，本题也可利用ＤＣ是角平分线作为解题切入点，构造角平分线模型（如图１０），将四边形ＡＤＢＣ的面积转换成两个全等的含３０ʎ角的直角三角形的面积和．设计意图：在问题１的基础上进一步引发思考，回归中考原题，引导学生从不同角度思考条件和结论，利用一题多解让学生明白题目背后隐藏的深层次问题和结论，培养学生从复杂图形中分离不同几何模型的能力，提升学生逻辑推理㊁数学建模㊁直观想象等核心素养．４．变式应用，突破自我结合上述问题解析过程中的几何模型，改变题目条件和结论，引导学生对比分析题目异同，帮助学生灵活应用．㊀图１３问题３㊀如图１３，点Ｃ为әＡＢＤ的外接圆上的一动点（点Ｃ不在ＢＡＤ(上，且不与点Ｂ，Ｄ重合），øＡＣＢ＝øＡＢＤ＝４５ʎ，ＢＤ是该外接圆的直径．若әＡＢＣ关于直线ＡＢ的对称图形为әＡＢＭ，连接ＤＭ，试探究ＤＭ２，ＡＭ２，ＢＭ２三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．思维流程图（见图１４）：图１４数学学习与研究㊀２０２３１３图１５㊀㊀㊀㊀图１６设计意图：紧扣中考热点压轴题，从４５ʎ和直径联想到等腰直角三角形，再联想到旋转模型，进行拓展训练，培养学生的审题能力，让其辨析题目中的条件和结论的特点，从而找出对应的几何模型，解决问题．５．模型总结，能力提高梳理本节课重点应用的模型以及涉及的模型（见表１）：表１模型名称旋转模型角平分线模型特殊直角三角形模型图形关键条件共顶点㊁等线段角平分线特殊角３０ʎ，４５ʎ等作法以等线段为边找三角形，以等线段的夹角为旋转角，把三角形进行旋转得到新的三角形．过角平分线上的点作两边的垂线段．解直角三角形．作用构造全等三角形，构造等腰三角形．构造全等三角形．求得线段长和角的度数．三㊁初中几何模型教学反思（一）要注重基本几何图形的积累，运用几何模型化繁为简图形是最直观的了解知识点之间联系的中介，教师在教学过程中通过画草图㊁逐步分解，可以强化数学视觉意象之间的关联性．学生掌握几何模型越熟练，他们在解决几何问题时就越容易快速筛选关键信息．对于几何难题，教师在教学过程中可把抽离出的模型单独板书呈现，要注意从复杂图形中抽离出基础几何模型，逐个击破．（二）要关注几何模型内在数学逻辑，以简驭繁几何模型可在一定程度上帮助学生便捷地构造出关键图形来解决问题，但教师在教学过程中不能简单地套用模型，必须揭示几何模型中蕴含的图形关系，以及解决数学问题的思维过程．教师可利用几何模型串联起多道难题，实现一 解 多题，统整知识网络，以简驭繁．另外，教师还可以通过变式教学来加强知识之间的渗透和迁移，激发学生的发散性思维，培养学生的思维灵活度．（三）几何教学要开放探究，培养多角度几何模型思维在问题情境不变的条件下，几何模型的思维定式能帮助学生应用已掌握的方法迅速解决问题，但在情境发生变化时，这种定式反而会妨碍学生寻找新的方法解决问题．要想消除思维定式的负面影响，教师在教学中就要注重发散学生思维，放大学生的想象空间，利用不同几何模型对题目进行剖析，培养学生多角度的几何模型思维．（四）提高学生画图㊁用图的能力数形结合 是数学解题中重要的思想之一，图形可以给予人们丰富的信息，对于解题往往可以起到事半功倍的效果．引导学生用图形展示解题思路，能把解题过程中复杂而繁多的条件直观地表示成已知条件和待求解结论，还能加深学生对几何模型的认识，培养学生的直观想象能力．ʌ参考文献ɔ［１］原晓萍．视觉思维理论在高中数学教学中的应用研究［Ｄ］．济南：山东师范大学，２０１２．［２］周伟萍．基于ＡＰＯＳ理论的初中数学几何模型教学的题组设计 以长方形模型为例［Ｊ］．中学数学，２０２１（０６）：１７－１８，２１．［３］马小飞．基于几何模型的初中数学教学设计与反思 以一道中考题复习教学为例［Ｊ］．中学数学研究（华南师范大学版），２０２０（１６）：３１－３４．［４］徐春凌．分析模型教学对于初中几何数学教学的意义［Ｊ］．数理化解题研究，２０２１（０２）：２５－２６．［５］李强．初中几何证明教学要注重 三个关注 ［Ｊ］．数学通报，２０２１，６０（０３）：２９－３２．。
2022年广东省广州市荔湾区广州广雅实验学校九下期中数学试卷（广雅教育集团）1.下列实数中的无理数是( )C．πD．−8 A．0.7B．122.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A．B．C．D．3.如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其俯视图是( )A．B．C．D．4.下列计算正确的是( )A．5ab−3a=2b B．(−3a2b)2=6a4b2C．(a−1)2=a2−1D．2a2b÷b=2a25.将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若∠1=30∘，则∠2的度数为( )A ． 10∘B ． 15∘C ． 20∘D ． 30∘6. 如图，在 ⊙O 中，直径 CD 垂直于弦 AB ，若 ∠C =25∘，则 ∠BOD 的度数是 ( )A ． 25∘B ． 30∘C ． 40∘D ． 50∘7. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 4.5 尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余 1 尺，问木长多少尺．现设绳长 x 尺，木长 y 尺，则可列二元一次方程组为 ( )A ． {y −x =4.5y −12x =1B ． {x −y =4.5y −12x =1C ． {x −y =4.512x −y =1D ． {y −x =4.512x −y =18. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是 ( ) A ． 23B ． 29C ． 13D ． 199. 若关于 x 的一元二次方程 x 2−2x +kb +1=0 有两个不相等的实数根，则一次函数 y =kx +b 大致图象可能是 ( ) A ． B ．C ．D ．10.如图，抛物线y=−2x2+8x−6与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是( )A．−2<m<18B．−3<m<−74C．−3<m<−2D．−3<m<−15811.分解因式：x2y2−4x2=．12.若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为cm2．13.如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+√a2−4a+4=．14.如图，PA是⊙O的切线，A是切点，PA=4，OP=5，则⊙O的周长为．（结果保留π）．15.若m是方程2x2−3x−1=0的一个根，则6m2−9m+2022的值为．16.如图，在菱形ABCD中，已知AB=4，∠ABC=60∘，∠EAF=60∘，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：① BE=CF；② ∠EAB=∠CEF；③ △ABE∽△EFC；④若∠BAE=15∘，则点F到BC的距离为2√3−2．其中正确的结论的序号是．（只填序号）17.解不等式组：{2x−1>x+1,x+8>4x−1,并把解集在下面数轴上表示出来．18.如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证AB∥DE．19.先化简，再求值：(x2−xx2−2x+1+2x+1)÷x−2x2−1，其中x=3tan30∘−(13)−1+√12．20.我市自开展“学习新思想，做好接班人”主题阅读活动以来，受到各校的广泛关注和同学们的积极响应．某校为了解全校学生主题阅读的情况，随机抽查了部分学生在某一周主题阅读文章的篇数，并制成下列统计图表．某校抽査的学生文章阅读的篇数统计表文章阅读的篇数(篇)34567及以上人数(人)2028m1612请根据统计图表中的信息，解答下列问题：(1) 求被抽查的学生人数和m的值．(2) 本次抽查的学生文章阅读篇数的中位数是，众数是．(3) 若该校共有800名学生，根据抽查结果，估计该校学生在这一周内文章阅读的篇数为4篇的人数．的图象相交于A(−1,n)，B(2,−1)两点，21.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx与y轴相交于点C．(1) 求一次函数与反比例函数的解析式．(2) 若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．上的两点，当x1<x2<0时，请结合函数图(3) 若M(x1,y1)，N(x2,y2)是反比例函数y=mx象直接写出y1与y2的大小关系．22.随着广州市民生活水平的不断提高，人们“节能环保，绿色出行”意识也不断增强，现在越来越多的市民喜欢骑自行车出行，这也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元，今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：(1) A型自行车去年每辆售价多少元？(2) 该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？23.已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为CD边上一点，AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线．(1) 请你添加一个适当的条件，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论．(2) 作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．(3) 在（2）的条件下，⊙O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，sin∠AGF=4，求⊙O的半径．524.在平面直角坐标系中，点B(s,t)．且x，t满足1−2s+s2+(t−√3)2=0．(1) 求s，t的值．(2) 如图，若点A在x轴正半轴上，直OA=2，在平面内有一动点Q(不在x轴上) QO=m，QA=n，QB=p，且p2=m2+n2，求∠OQA的度数．(3) 阅读以下内容：对于实数a，b．有(a−b)2≥0∴a2−2ab+b2≥0即a2+b2≥2ab利用以上知识，在（2）的条件下求△AOQ的面积的最大值．25.如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，B(−1,0)，且AB=3OC，与y轴交于点C(0,2)，若P为抛物线上的一动点，它在x轴上方且在对称轴左侧运动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，作PM与x轴平行，交抛物线另一点M，以PQ，PM为邻边作矩形PQNM．(1) 求抛物线的函数表达式．(2) 设矩形PQNM的周长为l，求l的取值范围．(3) 如图2，当P点与C点重合时，连接对角线PN，取PN上一点D（不与P，N重合），连接DM，作DE⊥DM，交x轴于点E．的值．①试求DMDE②试探求是否存在点D，使△DEN是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点D坐标；若不存在，请说明理由．答案1. 【答案】C【解析】 ∵ 无理数就是无限不循环小数，且 0.7 为有限小数，12 为有限小数，−8 为负数，都属于有理数， π 为无限不循环小数． ∴π 为无理数．2. 【答案】B3. 【答案】C【解析】从顶部看，图形是一个圆和一个宽为 a 的矩形．4. 【答案】D5. 【答案】B【解析】根据题意，可知 AD ∥BC ，且 ∠GEF =45∘， ∴∠1=∠GEB =30∘∴∠2=∠GEF −∠GEB =45∘−30∘=15∘．6. 【答案】D【解析】 ∵ 在 ⊙O 中，直径 CD 垂直于弦 AB ，∴AD⏜=BD ⏜， ∴∠DOB =2∠C =50∘．7. 【答案】B【解析】设绳长 x 尺，长木为 y 尺，依题意得 {x −y =4.5,y −12x =1.8. 【答案】B【解析】画“树形图”如图所示：∵ 这两辆汽车行驶方向共有 9 种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有 2 种， ∴ 一辆向右转，一辆向左转的概率为 29．9. 【答案】B【解析】 ∵x 2−2x +kb +1=0 有两个不相等的实数根， ∴Δ=4−4(kb +1)>0， 解得 kb <0，A ．k >0，b >0，即 kb >0，故A 不正确；B ．k >0，b <0，即 kb <0，故B 正确；C ．k <0，b <0，即 kb >0，故C 不正确；D ．k >0，b =0，即 kb =0，故D 不正确．10. 【答案】D【解析】令 y =−2x 2+8x −6=0，即 x 2−4x +3=0，解得 x =1 或 3， 则点 A (1,0)，B (3,0)，由于将 C 1 向右平移 2 个长度单位得 C 2， 则 C 2 解析式为 y =−2(x −4)2+2(3≤x ≤5)， 当 y =x +m 1 与 C 2 相切时， 联立 {y =x +m 1,y =−2(x −4)2+2,即 2x 2−15x +30+m 1=0，Δ=−8m 1−15=0， 解得 m 1=−158，当 y =x +m 2 过点 B (3,0) 时，即 3+m 2=0，m 2=−3，当 −3<m <−158 时直线 y =x +m 与 C 1，C 2 共有 3 个不同的交点．11. 【答案】x2(y+2)(y−2)【解析】原式=x2(y2−4)=x2(y+2)(y−2).12. 【答案】15π【解析】底面半径为3cm，则底面周长=6πcm，侧面面=12×6π×5=15πcm2．13. 【答案】2【解析】∵0<a<2，∴a+√a2−4a+4=a+√(a−2)2=a+∣a−2∣=a+2−a= 2.14. 【答案】6π【解析】连接OA，∵PA是⊙O的切线，A是切点，∴∠OAP=90∘，在Rt△OAP中，∠OAP=90∘，PA=4，OP=5，由勾股定理得：OA=3，则⊙O的周长为2π×3=6π．15. 【答案】2022【解析】把m代入方程2x2−3x−1=0，得2m2−3m−1=0，即2m2−3m=1，∴6m2−9m+2022=3(2m2−3m)+2022=3×1+2022=2022.16. 【答案】①②【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∠ACB=∠ACD，∵∠BAC=∠EAF=60∘，∴∠BAE=∠CAF，△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60∘，∴∠ACD=∠ACB=60∘，∴∠ABE=∠ACF，在△BAE和△CAF中，{∠BAE=∠CAF, AB=AC,∠ABE=∠ACF,∴△BAE≌△CAF(SAS)，∴AE=AF，BE=CF，故①正确；∵∠EAF=60∘，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=60∘，∵∠AEB+∠CEF=∠AEB+∠EAB=60∘，∴∠EAB=∠CEF，故②正确；∵∠ACD=∠ACB=60∘，∴∠ECF=60∘，∵∠AEB<60∘，∴△ABE和△EFC不会相似，故③不正确；过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB=15∘，∠ABC=60∘，∴∠AEB=45∘，在Rt△AGB中，∵∠ABC=60∘，AB=4，∴BG=2，AG=2√3，在Rt△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45∘，∴AG=GE=2√3，∴EB=EG−BG=2√3−2，∵△AEB≌△AFC，∴∠ABE=∠ACF=120∘，EB=CF=2√3−2，∴∠FCE=60∘，在Rt△CHF中，∵∠CFH=30∘，CF=2√3−2，∴CH=√3−1，∴FH=√3(√3−1)=3−√3，∴点F到BC的距离为3−√3，故④不正确．综上，正确结论①②．17. 【答案】{2x−1>x+1, ⋯⋯①x+8>4x−1. ⋯⋯②∵解不等式①得：x>2.解不等式②得：x<3.∴不等式组的解集为2<x<3.在数轴上表示为：18. 【答案】∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，∵BC=EF，AB=DE，AC=DF，∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠ABC=∠DEF，∴AB∥DE．19. 【答案】 原式=[x (x−1)(x−1)2+2x+1]×x 2−1x−2=(x x−1+2x+1)×x 2−1x−2=x 2+x+2x−2(x+1)(x−1)×x 2−1x−2=x 2+3x−2(x+1)(x−1)×(x+1)(x−1)x−2=x 2+3x−2x−2. x=3tan30∘−(13)−1+√12=3×√33−3+2√3=3√3−3.原式=√3−3)(3√3−3+3)−23√3−3−2=√3−23√3−5=(25−9√3)(3√3+5)27−25=75√3+125−81−45√32=44+30√32=22+15√3.20. 【答案】(1) 被调查的总人数为 16÷16%=100 人，m =100−(20+28+16+12)=24．(2) 5；4(3) 估计该校学生在这一周内文章阅读的篇数为 4 篇的人数为 800×28100=224 人．【解析】(2) 由于共有 100 个数据，其中位数为第 50，51 个数据的平均数，而第 50，51 个数据均为 5 篇，所以中位数为 5 篇；出现次数最多的是 4 篇，所以众数为 4 篇．21. 【答案】 (1) ∵ 反比例函数 y =m x 经过点 B (2,−1)， ∴m =−2，∵ 点 A (−1,n ) 在 y =−2x 上，∴n =2，∴A (−1,2)，把 A ，B 坐标代入 y =kx +b ，则有 {−k +b =2,2k +b =−1, 解得 {k =−1,b =1,∴ 一次函数的解析式为 y =−x +1，反比例函数的解析式为 y =−2x ．(2) ∵ 直线 y =−x +1 交 y 轴于 C ，∴C (0,1)∵D ，C 关于 x 轴对称，∴D (0,−1)，∵B (2,−1)，∴BD ∥x 轴，∴S △ABD =12×2×3=3．(3) y 1<y 2．【解析】(3) ∵M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2) 是反比例函数 y =−2x 上的两点，且 x 1<x 2<0，∴y 1<y 2．22. 【答案】(1) 设去年 A 型车每辆售价 x 元，则今年售价每辆为 (x −200) 元，由题意，得80000x =80000(1−10%)x−200,解得：x =2000.经检验，x =2000 是原方程的根．答：去年 A 型车每辆售价为 2000 元．(2) 设今年新进 A 型车 a 辆，则 B 型车 (60−a ) 辆，获利 y 元，由题意，得y=(1800−1500)a +(2400−1800)(60−a ),y =−300a +36000,因为 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，所以 60−a ≤2a ，所以 a ≥20，因为 y =−300a +36000，所以 k =−300<0，所以 y 随 a 的增大而减小．所以 a =20 时，y 有最大值，所以 B 型车的数量为：60−20=40 辆．所以当新进 A 型车 20 辆，B 型车 40 辆时，这批车获利最大．23. 【答案】(1) 当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形．(2) 作出相应的图形，如图所示．(3) ∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180∘，∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线，∴∠EAB+∠EBA=90∘，∴∠AEB=90∘，∵AB为圆O的直径，点F在圆O上，∴∠AFB=90∘，∴∠FAG+∠FGA=90∘，∵AE平分∠DAB，∴∠FAG=∠EAB，∴∠AGF=∠ABE，∴sin∠ABE=sin∠AGF=45=AEAB，∵AE=4，∴AB=5，则圆O的半径为2.5．24. 【答案】(1) s，t满足1−2s+s2+(t−√3)2=0，∴(s−1)2+(t−√3)2=0，∵(s−1)2≥0，(t−√3)2≥0，∴(s−1)2=0，(t−√3)2=0，∴s=1，t=√3．(2) 如图所示，以AQ为边作等边三角形AQD，∵s=1，t=√3，∴B点坐标为(1,√3)，∵OA=2，∴A(2,0)，∴OB=√1+3=2，AB=√1+3=2，∴OA=OB=AB，∴△OAB为等边三角形，∵△OAB，△AQD均为等边三角形，∴AQ=AD=QD，∠BAO=∠DAQ=60∘=∠AQD，∴∠OAD=∠OAQ+∠DAQ=∠OAQ+60∘，∠BAQ=∠OAQ+∠BAO=∠OAQ+60∘，∴∠OAD=∠BAQ，在△BAQ和△OAD中有：{AB=AO,∠BAQ=∠OAD, AQ=AD,∴△BAQ≌△OAD(SAS)，∴QB=OD，∵QO=m，QA=n，QB=p且p2=m2+n2，∴QB2=QO2+QA2，即OD2=QO2+QA2=QO2+QD2，∴△OQD为直角三角形，且∠OQD=90∘，∴∠OQA+∠AQD=∠OQD=90∘，∴∠OQA=90∘−∠AQD=90∘−60∘=30∘，故∠OQA=30∘．(3) 如图所示，过点A作AH⊥OQ于点H．∵∠OQA=30∘，∴AH=AQ⋅sin∠OQA=AQ×12=12n，∴S△AOQ=12OQ×AH=12m×12n=14mn，∵p2=m2+n2，(m−n)2=m2+n2−2mn≥0，∴p2=m2+n2≥2mn，∴QB2≥2×4×14mn=8S△AOQ，∴S△AOQ≤QB28，∵OA=2，∠OQA=30∘，∴点Q在以OA=2为弦长的一段圆弧上，且圆周角∠OQA=30∘，∴设圆的圆心为点M，则∠OMA=2∠OQA=60∘，如图所示，连接OM，AM，MQ，OQ，AQ，△OMA中，OA=2，OM=AM，∠OMA=60∘，∴△OMA为等边三角形，∵△OAB为等边三角形，∴当QM⊥OA时，BQ取最大值，∴BQ=√32OA +√32OA +MQ =√3OA +MA=√3OA +OA=(√3+1)OA=2√3+2,∴BQ 2=12+8√3+4=16+8√3，∴BQ 28=16+8√38=2+√3， ∴S △AOQ ≤BQ 28=2+√3， ∴S △AOQ ≤2+√3，∴△AOQ 面积的最大值为 2+√3．25. 【答案】(1) 当 x =0 时，y =ax 2+bx +c =2，∴c =2，∴AB =3OC =6，∵B (−1,0)，即 OB =1，∴OA =AB −OB =5，∴A (5,0)，把 A ，B 坐标代入抛物线解析式得：{25a +5b +2=0,a −b +2=0,解得：{a =−25,b =85.∴ 抛物线的函数表达式为 y =−25x 2+85x +2．(2) 设 P (p,−25p 2+85p +2)，∵PQ ⊥x 轴于 Q ，PM ∥x 轴，∴PQ =−25p 2+85p +2，点 P ，M 关于抛物线对称轴对称，∵ 抛物线对称轴：直线 x =−852×(−25)=2，∴x M =2+(2−p )=4−p ，∴PM =(4−p )−p =4−2p ，∴l =2(PM +PQ )=2(4−2p −25p 2+85p +2)=−45p 2−45p +12=−45(p +12)2+615, ∵−1<p <2，∴p =−12，l 有最大值为 615， 当 p =2 时，l =−45×4−45×2+12=365， ∴l 的取值范围是 365<l ≤615．(3) ①过点 D 作 GF ⊥x 轴于点 F ，交 PM 于 G ，∴∠DFE =∠DGM =90∘，DF ∥y 轴，∴ 四边形 MNFG 是矩形，△DFN ∽△PON ，∴DF OP =FN ON ，∵P 点与 C 点重合，P 、 M 关于直线 x =2 对称，∴P (0,2)，M (4,2)，N (4,0)，∴GF =MN =OP =2，PM =ON =4，∴DF FN =OP ON =24=12，∵DE ⊥DM ，∴∠MDE =90∘，∴∠MDG +∠EDF =∠EDF +∠DEF =90∘，∴∠MDG =∠DEF ，∴△MDG ∽△DEF ，∴DM DE =MG DF =FN DF =2．② (125,45) 与 (8√55,2−4√55)． 【解析】 (3) ②设直线 PN 解析式为 y =mx +n ，∴{0+n =2,4m +n =0,解得：{m =−12,n =2.∴ 直线 PN 解析式为 y =−12x +2，设 D (d,−12d +2)(0<d <4)，∴OF =d ，DF =−12d +2，∴FN =ON −OF =4−d ，DG =FG −DF =2−(−12d +2)=12d ， ∵△MDG ∽△DEF ，∴DG EF =DM DE=2， ∴EF =12DG =14d ，分两种情况：①当点 E 在点 N 左侧时，如图 1，∵ 四边形 DENM 中，∠MDE =∠MNE =90∘，∠DMN <90∘，∴∠DEN =360∘−∠MDE −∠MNE −∠DMN =180∘−∠DMN >90∘，∴ 当 △DEN 是等腰三角形时，DE =EN =FN −EF =4−d −14d =4−54d ，∵Rt △DEF 中，DF 2+EF 2=DE 2，∴(−12d +2)2+(14d)2=(4−54d)2， 解得：d 1=4（舍去），d 2=125， ∴−12d +2=−12×125+2=45∴ 点 D 坐标为 (125,45)．②当点 E 在点 N 右侧时，如图 2，∠DNE >90∘，∴ 当 △DEN 是等腰三角形时，DN =EN =EF −FN =14d −(4−d )=54d −4，∵Rt △DFN 中，DF 2+FN 2=DN 2，∴(−12d +2)2+(4−d )2=(54d −4)2，解得：d 1=8√55，d 2=−8√55（舍去）， ∴−12d +2=−12×8√55+2=2−4√55， ∴ 点 D 坐标为 (8√55,2−4√55)， 综上所述，符合条件的点 D 坐标为 (125,45) 与 (8√55,2−4√55)．。
2022-2023学年广东省广州市荔湾区西关广雅实验学校七年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（3分）3-的相反数是( ) A ．3±B ．3C ．3-D ．132．（3分）如图所示，某同学的家在P 处，他想尽快赶到附近C 处搭顺风车．他选择第②条路线，用几何知识解释其道理正确的是( )A ．两点确定一条直线B ．两点之间，直线最短C ．两点之间，线段最短D ．经过一点有无数条直线3．（3分）中国互联网络信息中心发布报告，截止2022年6月，我国网民规模为10.51亿，互联网普及率达74.4%，将“10.51亿”用科学记数法表示为( ) A ．71.05110⨯B ．81.05110⨯C ．810.5110⨯D ．91.05110⨯4．（3分）已知3n x y -与23m x y 是同类项，则m n 的值是( ) A ．2B ．3C ．6D ．85．（3分）下列说法中，正确的是( )A ．22x y -的系数是2-B ．22x y -的系数是12C ．2342x y x +-的常数项为2-D ．22422x y x -+-是四次三项式6．（3分）下列计算正确的是( ) A ．0a a --= B ．()x y x y -+=-- C ．3(2)32b a b a -=-D ．422862a a a -=7．（3分）下列变形中错误的是( ) A ．如果x y =，那么22x y +=+ B ．如果x y =，那么11x y -=- C ．如果x y =，那么ax ay =D ．如果x y =，那么x ya a= 8．（3分）如图，OA 为北偏东35︒方向，90AOB ∠=︒，则OB 的方向为( )A ．南偏东35︒B ．南偏东55︒C ．南偏西55︒D ．北偏东55︒9．（3分）某商户在元旦假期进行促销活动时，将一件标价80元的衬衫，按照八折销售后仍可获利10元，设这件衬衫的成本为x 元，根据题意，可列方程( ) A ．(80)0.810x x -⨯-= B ．(80)0.810x x -⨯=- C ．800.810x ⨯=- D ．800.810x ⨯-=10．（3分）观察下面三行数： 第①行：2、4、6、8、10、12、⋯ 第②行：3、5、7、9、11、13、⋯ 第③行：1、4、9、16、25、36、⋯设x 、y 、z 分别为第①、②、③行的第100个数，则2x y z -+的值为( ) A ．10199B ．10201C ．10203D ．10205二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。
广东省广州白云广雅实验校2021届数学八下期末预测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．用配方法解一元二次方程x2-8x+2=0，此方程可化为的正确形式是（）.A．（x-4）2=14B．（x-4）2=18C．（x+4）2=14D．（x+4）2=182．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b的位置如图所示，则不等式kx+b＜0的解集为（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞1 D．x＜13．边长为a,b的长方形,它的周长为14,面积为10,则a2b+ab2的值为( )A．35 B．70 C．140 D．2804．炎炎夏日，甲安装队为A小区安装88台空调，乙安装队为B小区安装80台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台，设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．B．C．D．5．如图，梯子靠在墙上，梯子的底端到墙根的距离为米，梯子的顶端到地面距离为米.现将梯子的底端向外移动到，使梯子的底端到墙根的距离等于米，同时梯子的顶端下降至，那么的值（）A．小于米B．大于米C．等于米D．无法确定6．直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式21k x k x b <+的解集为（ ）A ．0x >B ．0x <C ．1x >-D ．1x <- 7．如图，已知二次函数2y x bx c =-+-，它与x 轴交于A 、B ，且A 、B 位于原点两侧，与y 的正半轴交于C ，顶点D 在y 轴右侧的直线l ：4y =上，则下列说法：①0bc < ②04b << ③4AB = ④8ABD S ∆=其中正确的结论有（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②③④8．能判定四边形是平行四边形的条件是( )A ．一组对边平行，另一组对边相等B ．一组对边相等，一组邻角相等C ．一组对边平行，一组邻角相等D ．一组对边平行，一组对角相等9．如图，正方形纸片ABCD 的边长为4 cm ，点M 、N 分别在边AB 、CD 上．将该纸片沿MN 折叠，使点D 落在边BC 上，落点为E ，MN 与DE 相交于点Q ．随着点M 的移动，点Q 移动路线长度的最大值是（ ）\A ．2 cmB ．4 cmC ．2 cmD ．1 cm10．一次函数y ＝kx+b 中，y 随x 的增大而增大，b ＜0，则这个函数的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题(每小题3分,共24分)11．若函数28(3)m y m x -=-是正比例函数，则常数m 的值是 。
2021年广州白云广雅实验学校招生数学真卷〔二〕一、填空题〔本大题共6小题，每题4分，共24分〕一个圆的半径为3厘米，半个圆的周长为_______厘米，这个圆的面积为________平方厘米。
〔π取〕2.一个圆柱与一个圆锥体积相等，底面积也相等。
圆柱的高是12厘米，圆锥的高是_________。
3.按规那么填空：，2，，4，5，________〔填分数〕，_________〔填百分数〕。
511144.甲、乙两数的比是35:1，丙数是乙数的6甲数比丙数少12，那么甲数的值为_______。
5在含盐率为3%的475克盐水中，参加25克盐，这时盐水的含盐率为________。
用一根长为24厘米的绳子对折一次再对折一次，如果这时从中间剪开，那么得到的最长的一条线段长是______厘米。
二、计算题〔共40分〕直接写出得数〔共8小题，每题1分，共8分〕＋＝________2＋5＝________312÷10%＝________53÷10%＝________〔2＋〕×12＝_________2×＝__________373×÷3×＝________2＋2＋┉＋2＝_______3 3 32021 个求未知数〔共2小题，每题4分，共24分〕〔1〕1：1=17：x〔2〕6x＋1=×32950 1用简便方法计算〔共6小题，每题4分，共24分〕〔1〕9＋99＋99994＋999+999995〔2〕－75－〔21－13〕664〔3〕1899×－×2021〔4〕〔92＋52〕＋〔1＋1〕5959〔5〕1＋1＋1＋110×1212×1414×1616×18〔6〕5÷8÷7÷12÷5÷2727 3 27 5 24 4 2三、解决问题〔本大题共8小题，每题7分，共56分〕一列火车通过一条长1260米的铁桥用了60秒，火车穿越长2021米的隧道用了90秒，求这列火车的车速与车长各是多少？一件工作，甲、乙合作需6天完成，乙、丙合作需10天完成，甲、丙合作3天，乙再做天也可以完成，乙单独做多少天可以完成？甲工程队有600人，其中老工人占5%；乙工程队有400人，其中老工人占20%。
2021届广东省广州市荔湾区广雅实验校数学八年级第二学期期末检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．若点P 的坐标为（3，4 ），则点P 关于x 轴对称点的点P′的坐标为（ ）A ．（4，-3 ）B ．（3，-4 ）C ．（-4，3 ）D ．（-3，4）2．在某市举办的“划龙舟，庆端午”比赛中，甲、乙两队在比赛时的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系图象如图所示，根据图象得到下列结论，其中错误的是（ ）A ．这次比赛的全程是500米B ．乙队先到达终点C ．比赛中两队从出发到1.1分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快D ．乙与甲相遇时乙的速度是375米/分钟3．下列是最简二次根式的是( )A ．12B ．5C ．0.5D ．534．把二次函数y=3x 2的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是（ ） A ．y=3（x-2）2+1B ．y=3（x+2）2-1C ．y=3（x-2）2-1D ．y=3（x+2）2+1 5．要使分式52x x +有意义，则x 的取值满足的条件是（ ） A ．2x =- B ．2x ≠- C ．0x = D ．0x ≠6．下列计算正确的是（ ）A 826=B 822=±C 82=D ．﹣2520=7．如图，∠CAB=∠DAB下列条件中不能使△ABC≌△ABD的是（）A．∠C=∠D B．∠ABC=∠ABD C．AC=AD D．BC=BD8．在下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．9．下列函数中，表示y是x的正比例函数的是()A．y＝﹣0.1x B．y＝2x2C．y2＝4x D．y＝2x+110．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D，E分别在直角边AC，BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P，则下列结论：(1)AD+BE=AC；(2)AD2+BE2=DE2；(3)△ABC的面积等于四边形CDOE面积的2倍；(4)OD=OE，其中正确的结论有( )A．①④B．②③C．①②③D．①②③④二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图所示，点A（﹣3，4）在一次函数y＝﹣3x+b的图象上，该一次函数的图象与y轴的交点为B，那么△AOB 的面积为_____．12．如图，在平行四边形ABCD中，13AD=4，将平行四边形ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为________．13．使函数0(21)3y x x =+-+ 有意义的x 的取值范围是________. 14．一元二次方程x 2﹣x=0的根是_____．15．己知关于x 的分式方程1233x k x x +-=--有一个增根，则k =_____________． 16．一次函数y=kx+b 的图象如图所示，则不等式kx+b<0的解集为__________．17．若一组数据1，2，x ，4的众数是1，则这组数据的方差为_____．18．根据指令[,](0,0180)S S αα≥<<，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度α，再朝其面对的方向沿直线行走距离S ，现机器人在平面直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴正方向．请你给机器人下一个指令__________，使其移动到点()3,3-．三、解答题(共66分)19．（10分）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB =CD ，AD =BC ，点E 在CD 上，连接AE 并延长，交BC 的延长线于F ．（1）求证：△ADE ∽△FCE ；（2）若AB =4，AD =6，CF =2，求DE 的长．20．（6分）解方程：x 2﹣4x +3=1．21．（6分）在Rt ABC 中，90CAB ∠=︒，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作AFBC 交BE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）如图1，求证：AF DC=（2）如图2，若AB AC=，其它条件不变，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．22．（8分）再读教材:宽与长的比是5-1(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示; MN=2)第一步,在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.第二步，如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.第三步,折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图③中所示的AD处，第四步,展平纸片,按照所得的点D折出DE,使DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形，问题解决:（1）图③中AB=________(保留根号);（2）如图③,判断四边形BADQ的形状,并说明理由;（3）请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.（4）结合图④.请在矩形BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽. 23．（8分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示．(1)求y关于x的函数解析式；(2)每分钟进水、出水各多少升？24．（8分）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件.已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元.设生产A种产品的件数为x（件），生产A、B两种产品所获总利润为y （元）（1）试写出y与x之间的函数关系式：（2）求出自变量x的取值范围；（3）利用函数的性质说明哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？25．（10分）图（a）、图（b）、图（c）是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请在图（a）、图（b）、图（c）中，分别画出符合要求（1），（2），（3）的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．（1）画一个底边为4，面积为8的等腰三角形；（2）画一个面积为10的等腰直角三角形；（3）画一个面积为12的平行四边形。
