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微分方程模型浙江大学数学建模实践基地§3.1 微分方程的几个简单实例在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。
在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。
例1（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。
从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsin θ，根据牛顿第二定律可得：sin ml mg θθ=- 从而得出两阶微分方程：0sin 0(0)0,(0)g l θθθθθ+==⎪=⎧⎪⎨⎩ （3.1）这是理想单摆应满足的运动方程（3.1）是一个两阶非线性方程，不易求解。
当θ很小时，sin θ≈θ，此时，可考察（3.1）的近似线性方程：00(0)0,(0)g l θθθθθ+==⎧=⎪⎨⎪⎩ （3.2）由此即可得出2g T l π=（3.2）的解为: θ(t )=θ0cosωtg l ω=其中当时,θ(t )=04T t =42g T l π=故有M Q P mgθl 图3-1（3.1）的近似方程例2我方巡逻艇发现敌方潜水艇。
与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。
设两艇间距离为60哩，潜水艇最大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。
这一问题属于对策问题，较为复杂。
讨论以下简单情形：敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。
设巡逻艇在A 处发现位于B 处的潜水艇，取极坐标，以B 为极点，BA 为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为r =r (θ)，见图3-2。
B AA1dr ds dθθ图3-2由题意，，故ds =2dr 2ds dr dt dt =图3-2可看出，222()()()ds dr rd θ=+故有:2223()()dr r d θ=即:3rdr d θ=（3.3）解为：3r Ae θ=（3.4）先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离然后按（3.4）对数螺线航行，即可追上潜艇。
第三章 微分方程模型3.1微分方程与微分方程建模法一、 微分方程知识简介我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。
微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程）→(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法）→(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。
其中还包括了常微分方程的基本定理。
0． 常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。
1． 初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。
分离变量法：（1）可分离变量方程： ;0)()()()();()(=+=dy y Q x P dx y N x M y g x f dx dy(2) 齐次方程：);();(wvy ux c by ax f dx dy x y f dx dy ++++== 常数变易法：(1) 线性方程，),()(x f y x p y =+'(2) 伯努里方程，,)()(n y x f y x p y =+'积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。
对于一阶隐式微分方程,0),,(='y y x F 有 参数法：(1) 不含x 或y 的方程:;0),(,0),(='='y y F y x F(2) 可解出x 或y 的方程：);,(),,(y y f x y x f y '='=对于高阶方程，有降阶法：;0),,(;0),,,,()()1()(='''=+y y y F y y y x F n k k 恰当导数方程一阶方程的应用问题（即建模问题）。
微分方程模型1.1微分方程模型简介对于现实世界的变化，人们关注的往往是变量之间的变化率，或者变化速度、加速度以及所处的位置随时间的发展规律，之中的规律一般可以写成一个（偏）微分方程或方程组。
所以实际问题中，有大批的问题可以用微分方程来建立数学模型，涉及的领域包括物理学、化学、天文学、生物学、力学、政治、经济、军事、人口、资源等等。
微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。
把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：1•、根据实际要求确定要研究的量（自变量、未知函数、必要的参数等）并确定坐标系；2•、找出这些量所满足的基本规律（物理的、几何的、化学的或生物学的等等）；3•、运用这些规律列出方程和定解条件。
2.1微分方程模型运用实例例1:发射卫星为什么用三级火箭采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行，为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭系统？下面通过建立运载火箭有关的数学模型来回答上述问题。
火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，我们只从动力系统和整体结构上分析，并且假设引擎是足够强大的。
首先解决第一个问题：为什么不能用一级火箭发射人造卫星，下面用三个数学模型回答这个问题：（1 ）卫星进入600km高空轨道时，火箭必须的最低速度。
首先将问题理想化，假设：（i）卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动；（ii ）地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集中于球心；iii）其它星球对卫星的引力忽略不计。
建模与求解：设地球半径为R，质量为M ;卫星轨道半径为r，卫星质量为m。
根据假设（"）和（iii），卫星只受到地球的引力，由牛顿万有引力定律可知其引力大小为GMmF—(1)r其中G为引力常数。
为消去常数G，把卫星放在地球表面，则由（1）式得GMm 亠m2 mg 2 或GM 二R g R再代入（1）式，得根据假设（i ）,若卫星围绕地球作匀速圆周运动的速度为 因为卫星所受的地球引力就是它作匀速运动的向心力，故有（R ^ mv 2mg — I =——r由此便推得卫星距地面为 （r 一 R ）km ，必须的最低速度的数学模型为 （3）取 R= 6400km ，r -R= 600km ，代入上式，得v 7.6km/s即要把卫星送入离地面 600km 高的轨道，火箭的末速度最低应为7.6km/s 。
（2）火箭推进力及升空速度火箭的简单模型是由一台发动机和一个燃料仓组成。
燃料燃烧产生大量气体从火箭末端喷出，给火箭一个向前的推力。
火箭飞行要受地球引力、 空气阻力、地球自转与公转等的影 响，使火箭升空后作曲线运动。
为使问题简化，假设：（i ）火箭在喷气推动下作直线运动，火箭所受的重力和空气阻力忽略不计。
（ii ）在t 时刻火箭质量为 m （t ），速度为v （t ），且均为时间t 的连续可微函数； （iii ）从火箭末端喷出气体的速度（相对火箭本身）为常数 u 。
问题分析：由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量不断减少，在 （t,r ：t ）内的减少量可由台劳展式表示为»dm » » m （t =t ） -m （t ）t o （ ：t ） （4）dt因为喷出的气体相对于地球的速度为v （t ） -u ，则由动量守恒定律有m （t ）v （t ） = m （t =t ）v （t =t ） - 罟 二七 o （^t ） （v （t ） - u ） （5）从（4）式和（5）式可得火箭推进力的数学模型为dv dm m u （ 6）dtdt令t = 0时，v （0） =v °，m （0） =m°，求解上式，得火箭升空速度模型v （t ）=v ° ul （ 7） m （t ）（6 ）式表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度（相对火箭）的乘积。
（7 ）式表明，在v °,m ° —定的条件下，升空速度 v （t ）由喷气速度（相对火箭）u 及质量比m ° /m （t ）决定。
这为提高火箭速度找到了正确途径：从燃料上设法提高u 值；从结构上设法减少 m （t ）。
（3） —级火箭末速度上限火箭一卫星系统的质量可分为三部分： m p （有效负载，如卫星），m F （燃料质量），m s（结构质量，如外壳、燃料容器及推进器） 。
一级火箭末速度上限主要是受目前技术条件的限制，假设：（i ）目前技术条件为：相对火箭的喷气速度u=3km/s 及其中g =9.81（m/s 2）为重力加速度。
（2）v ，则其向心力为mv 2 / r ，1 由假设(i )，取u =3km, & =―,便得火箭速度上限9v ° =3ln9 &：6.6km/s因此，用一级火箭发射卫星，在目前技术条件下无法达到相应高度所需的速度。
理想火箭模型从前面对问题的假设和分析可以看出： 火箭推进力自始至终在加速着整个火箭，然而随着燃料的不断消耗， 所出现的无用结构质量也在随之不断加速，作了无用功，故效益低，浪费大。
所谓理想火箭，就是能够随着燃料的燃烧不断抛弃火箭的无用结构。
下面建立它的数学模型。
假设：在(t,r . ：t)时段丢弃的结构质量与烧掉的燃料质量以 :与1 -:的比例同时进行。
建模与分析：由动量守恒定律，有m(t)v(t)二 m(t =t)v(t =t)-：並=t v(t) -(1 -：)虫=t (v(t) - u) o(=t)dt dt由上式可得理想火箭的数学模型为心、dv(t) 。
. dm-m(t)(1-二)u dtdt(10)及v(0) = 0， m(0) = m 0解之得m 0v(t) = (1 - - )u ln(11)m(t)由上式可知，当燃料耗尽，结构质量抛弃完时，便只剩卫星质量m p ，从而最终速度的数学模型为v(t) =(1 -： )ul 门皿(12)m p(12)式表明，当m 。
足够大时，便可使卫星达到我们所希望它具有的任意速度。
例如，考虑到空气阻力和重力等因素，估计要使v =10.5km/s 才行，如果取u = 3km/s ， 0.1，m s m F m s1(ii )初速度V o 忽略不计，即V 。
= 0。
模型求解：因为升空火箭的最终(燃料耗尽)质量为 m p - m s ，由(7)式及假设(ii )得到末速度为m om p m s (8)令 m s = ■ (m F - m s ) = ■ (m ° -m p )，代入上式，得m o■m o (1 -，)m p(9)于是，当卫星脱离火箭，即mp =0时，便得火箭末速度上限的数学模型为则可推出m°/m p =50，即发射1吨重的卫星大约需50吨重的理想火箭。
多级火箭卫星系统理想火箭是设想把无用结构质量连续抛弃以达到最佳的升空速度，虽然这在目前的技术条件下办不到，但它确为发展火箭技术指明了奋斗目标。
目前已商业化的多级火箭卫星系统便是朝着这种目标迈进的第一步。
多级火箭是从末级开始，逐级燃烧，当第i级燃料烧尽时，第i • 1级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级。
我们用m i表示第i级火箭质量，m p 表示有效负载。
为了简单起见，先作如下假设：（i）设各级火箭具有相同的■，m i表示第i级结构质量，（1 - Jm j表示第i级的燃料（ii）喷气相对火箭的速度u相同，燃烧级的初始质量与其负载质量之比保持不变，记该比值为k。
先考虑二级火箭。
由（7）式，当第一级火箭燃烧完时，其速度为k+1 v^i = uln uln扎m, +m? +m p人k + 1在第二级火箭燃烧完时，其速度为mz+m p k + 1V2 = w uln 2ul n （13）扎m2+m p 扎k+1仍取u =3km/s，■ =0.1，考虑到阻力等因素，为了达到第一宇宙速度，对于二级火箭，欲使v2 =10.5km/s，由（13）式得k +16ln 10.50.1k 1解之得k =11.2，这时m0m1 m2 m p 2p=(k 1)2：1490- -m p m p同理，可推出三级火箭k+1v3=3ulnk 1欲使v3 = 10.5 km/s，应该k 3.25，从而m°/m p : 77。
与二级火箭相比，在达到相同效果的情况下，三级火箭的质量几乎节省了一半。
现记n级火箭的总质量（包括有效负载m p）为m0，在相同假设下（u=3km/s，v末=10.5km/s，- 0.1），可以算出相应的m0/m p值, 现将计算结果列于下表中：实际上，由于受技术条件的限制，采用四级或四级以上的火箭，经济效益是不合算的, 因此采用三级火箭是最好的方案。
例2 :战争模型早在第一次世界大战期间，F. W. Lanchester就提出了几个预测战争结局的数学模型，其中包括作战双方均为正规部队；作战双方均为游击队；作战的一方为正规部队，另一方为游击队。
后来人们对这些模型作了改进和进一步的解释，用以分析历史上一些著名的战争， 如二次世界大战中的美日硫黄岛之战和1975年的越南战争。
影响战争胜负的因素有很多，兵力的多少和战斗力的强弱是两个主要的因素。
士兵的数量会随着战争的进行而减少，这种减少可能是因为阵亡、负伤与被俘，也可能是因为疾病与 开小差。
分别称之为战斗减员与非战斗减员。
士兵的数量也可随着增援部队的到来而增加。
从某种意义上来说，当战争结束时，如果一方的士兵人数为零，那么另一方就取得了胜利。
如何定量地描述战争中相关因素之间的关系呢？比如如何描述增加士兵数量与提高士兵素 质之间的关系。
模型假设(i )双方士兵公开活动。
x 方士兵的战斗减员仅与 y 方士兵人数有关。
记双方士兵人数分别为x(t), y(t)，则x 方士兵战斗减员率为 ay(t)，a 表示y 方每个士兵的杀伤率。
可知a = 口 P y ， r y 为y 方士兵的射击率(每个士兵单位时间的射击次数)，P y 每次射击的命中率。
同理，用b 表示x 方士兵对y 方士兵的杀伤率，即 b 二.P x 。
(ii )双方的非战斗减员率仅与本方兵力成正比。
减员率系数分别为 :o(iii )设双方的兵力增援率为u(t),v(t)。
模型与求解由假设可知dx丄“、——=一ay _ax +u(t)业= _bx_By +v(t) ・dt我们对(14)式中的一种理想的情况进行求解， 式化为dx一 =-ay dt 业一 bx dt x(0) = x o ,其中X o , y o 为双方战前的兵力。
由(14)式的前两式相除，得dy bx dx ay分离变量并积分得a(y 2 _y [) =b(x 2 -X ：),整理得2 . 2 2 . 2ay -bx ay 。
