第四章命题与证明练习课

《命题与证明》习题

1.指出下列语句中，①直角大于锐角；②∠AOB是钝角？③1290，那么∠1与∠2互为余角；④两条平行线不相交．是命题的是( )

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

2.命题“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”的条件是________________，结论是________________．

3.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列命题中的假命题是( )

A.若∠A=∠C－∠B，则∠C=90º

B.若∠C=90º，则222cba

C.若∠A=30º，∠B=60º，则AB=2BC

D.若2()()ababc，则∠C=900

4.命题“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”的条件是________________，结论是________________．

5.判断下列命题的真假．

①大于锐角的角是钝角；

②如果一个实数有算术平方根，那么它的算术平方根是整数；

③如果ACBC，那么点C是线段AB的中点．

6.下列命题称为公理的是( )

A．垂线段最短 B．同角的补角相等

C．邻角的平分线互相垂直 D．内错角相等两直线平行

命题与证明的综合练习

一、选择题

1．下列命题的逆命题不正确的是（ ）

A．全等三角形的对应边相等 B．两直线平行，同位角相等

C．等腰三角形的两个底角相等 D．矩形的对角线相等．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据求逆命题的原则，把原命题的结论作为条件，原命题的条件作为结论得到的命题是原命题的逆命题，逐一判断逆命题的正误即可．

【详解】

解：A的逆命题是：对应边相等的三角形是全等三角形，正确；

B的逆命题是：同位角相等，两直线平行，正确；

C的逆命题是：两底角相等的三角形是等腰三角形，正确；

D的逆命题是：对角线相等的四边形是矩形，错误

故选：D

【点睛】

本题考查逆命题、全等三角形的判定、平行线的判定、等腰三角形的判定、矩形的判定，解题的关键是正确找出各选项的逆命题．

2．下列命题中逆命题是假命题的是（ ）

A．如果两个三角形的三条边都对应相等，那么这两个三角形全等

B．如果a2=9，那么a=3

C．对顶角相等

D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等

【答案】C

【解析】

【分析】

首先写出各命题的逆命题（将每个命题的题设与结论调换），然后再证明各命题的正误．因为相等的角不只是对顶角，所以此答案是假命题，继而得到正确答案．

【详解】

解：A、逆命题为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三条边都对应相等．是真命题；

B、逆命题为：如果a=3，那么a2=9．是真命题；

C、逆命题为：相等的角是对顶角．是假命题；

D、逆命题为：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上．是真命题．

故选C．

【点睛】

此题考查了命题与逆命题的关系．解题的关键是找到各命题的逆命题，再证明正误即可．

3．下列命题是假命题的是（ ）

A．有一个角为60的等腰三角形是等边三角形

B．等角的余角相等

C．钝角三角形一定有一个角大于90

D．同位角相等

【答案】D

【解析】

【分析】

第四章证明与命题复习课

一、教学目标：

1、了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件（题设）和结论。

2、会在简单情况下判断一个命题的真假。理解反例的作用，知道利用反例可证明一个命题是错误的。

3、了解证明的含义，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据。

4、会根据一些基本事实证明简单命题。

5、通过实例，体会反证法的含义。了解反证法的基本步骤。

6、初步会综合运用命题、证明以及相关知识解决简单的实际问题。

二、本章知识结构框架图：

三、教学过程：

（一）知识回顾

1、一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

命题分为真命题与假命题。

2、说明一个命题是假命题,通常只用找出一个反例,但要说明一个命题是真命题,就必须用推理的方法,而不能光凭一个例子。

（二）说一说

1.指出下列句子，哪些是命题，哪些不是命题？

（１）有两个角和夹边对应相等的三角形是全等的三角形；

（２）有两条边对应相等的两个三角形全等； 定义

命题 命题的结构

命题的真假

命题的表述 真假命题的判断

证明(固定格式)

反证法 举反例 公理

定理 （３）作∠Ａ的平分线；

（４）若ａ＝ｂ 则 a2= b2

（5） 同位角相等吗?

2.说出一个已学过定理:

说出一个已学过公理:

3、下列把命题改写成“如果……，那么……”的形式。并判断下列命题的真假.

（1）不相等的角不可能是对顶角.

（2）垂直于同一条直线的两直线平行；

（3）两个无理数的乘积一定是无理数.

（三）练一练

1. 用反例证明下列命题是假命题：

(1) 若x(５-x)=0，则x=0；

(2) 等腰三角形一边上的中线就是这条边上的高；

(3) 相等的角是内错角；

（4）若x≠2,则分式 有意义.

（四）例题分析

例1求证:全等三角形对应角的平分线相等.

证明命题的一般步骤:

(1)根据题意,画出图形;

(2)用符号语言写出“已知”和“求证”;

第四章习题

1．对于下列各种情况求从X到Y的关系S的各元素。

（1）X={0.1.2}. Y={0.2.4}. }.|.{YXyxyxS

(2) X={1.2.3.4} Y={1.2.3} }|.{2yxyxS

解：（1） }.|,{YXyxyxS

={<0.0>,<0.2>,<2.0>,<2.2>}

(2) }2.4,1.1{}|.{2yxyxS

2.设集合S及其关系R如下给定，试问关系R具有哪些性质？

（1）S为正整数集，R={yx.|yx为偶数}

（2）S为整数集，R={|x-y被7整除}

（3）S为四维实欧式空间44332211,,,,,,yxyxRyxyx

当且仅当))(())((12343412xxyyxxyy

解：（1）1°自反性；Sx均为xx为偶数，即Rxx.。

2°对称性；若Ryx.，则yx为偶数，所以xy也是偶数，那Rxy,。

3°传递性；若Ryx.且Rzy,则yx及zy均为偶数，从而yzxzyyx2)()(为偶数，因此

yx必为偶数，即Rzx,。

⑵ 1°自反性：Sx，有0xx能被7整除，即Rxx,。

2°对称性：若Ryx,，则yx被7整除，从而xy也能被7整除，即Rxy,

3°传递性：若Ryx,且Rzy,，则yx及zy被7整除，从而zyyxzx也能被7整除，即Rzx,。

⑶ 1°自反性：Syxyx2211,,,

因为12121212xxyyxxyy

所以22112211,,,,,,yxyxRyxyx

2°对称性：若44332211,,,,,,yxyxRyxyx 则有12343412xxyyxxyy