复变函数习题总汇与参考答案
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复变函数考试试题及参考答案下面是十道复变函数考试试题(一)的参考试题及答案:1.计算下列复数的幂函数:$z=1+i$,$n=3$。
答案:$(1+i)^3=-2+2i$。
2.计算下列复数的幂函数:$z=-2+i$,$n=4$。
答案:$(-2+i)^4=7-24i$。
3.求解方程:$z^2+4z+5=0$。
答案:可以使用求根公式求解,$(z+2)^2+1=0$,得到两个解:$z_1=-2+i$和$z_2=-2-i$。
4. 计算下列复数的极坐标形式:$z = 3e^{i \pi/6}$。
答案:$z = 3\cos(\pi/6) + 3i\sin(\pi/6) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$。
5.计算下列复数的共轭复数:$z=2-i$。
答案:$z^*=2+i$。
6. 将下列复数表示为共轭形式:$z = 4e^{i \pi/3}$。
答案:$z = 4\cos(\pi/3) + 4i\sin(\pi/3) = 4(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2 + 2\sqrt{3}i$。
7.计算下列复数的实部和虚部:$z=3+2i$。
答案:实部为3,虚部为28.计算下列复数的模长:$z=-4+3i$。
答案:$,z, = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。
9.求复数的幂函数:$z=-1-i$,$n=2$。
答案:$(-1-i)^2=1-2i-1=-2i$。
10. 求复数的幂函数:$z = \sqrt{3} + i$, $n = 3$。
答案:$(\sqrt{3} + i)^3 = -2\sqrt{3} + 2i$。
第一篇 复变函数第一章 复数与复变函数1. 求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模与幅角.(1) 72)52)(43(ii i −+;(2) .4218i i i +−2. 当x ,y 等于什么实数时,等式i iiy x +=+−++135)3(1 成立?3.证明:(1);2z z z = (2)1122,z z z z = .02≠z4.求下列各式的值: (1)();35i −(2)().131i +−5.求方程083=+z 的所有根.6.设1z ,2z ,3z 三点适合条件0321=++z z z ,证明1z ,2z ,3z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点.7.指出下列各题中点z 的轨迹或所在的范围:(1);65=−z(2);12≥+i z(3).i z i z −=+8.描述下列不等式所确定的区域,并指出它是有界的还是无界的: (1);32≤≤z(2).141+<−z z9.将方程tt z 1+=(t 为实参数)给出的曲线用一个实直角坐标方程表出.第一章 复习题1.单项选择题(1)设iy x z +=,y x ≠||,4z 为实数,则( ).A .0=xy B.0=+y x C .0=−y x D.022=−y x(2)关于复数幅角的运算,下列等式中正确的是( ). A .Argz Argz 22= B.z z arg 2arg 2=C .2121arg arg )arg(z z z z += D.2121)(Argz Argz z z Arg += (3)=+31i ( ).A .ie 62πB.ie 62π−C .ie 62π± D.i e62π±(4)2210<++<i z 表示( ). A .开集、非区域 B.单连通区域 C .多连通区域 D.闭区域(5)z i z f =−1,则()=+i f 1( ).A .1 B.21i+ C .21i− D.i −1 (6)若方程1−=z e ,则此方程的解集为( ).A .空集 B.π)12(−=k z ,(k 为整数) C .i k z π)12(−= D. πi z =2.对任何复数22,z z z =是否一定成立?3. 解方程.0)1(22=−++i z z4. 求)(i Ln −,)43(i Ln +−和它们的主值.5. 求i e 21π−,i i e41π+,i 3和ii )1(+值.第二章 导数1.下列函数何处可导?何处解析? (1) ();2iy x z f −=(2) ().22y ix xy z f +=2.指出下列函数()z f 的解析性区域,并指出其导数.(1) ();22iz z z f +=(2) ();112−=z z f(3)(),dcz baz z f ++=(d c ,中至少有一个不为0).3.设()2323lxy x i y nx my +++为解析函数,试确定l 、m 、n 的值.4.证明:如果()z f 在区域D 内解析,并满足下列条件之一,那么是常数. (1)()z f 恒取实值. (2))(z f 在区域D 内解析. (3)()z f 在区域D 内是一个常数.5.应用导数的定义讨论下列函数的是否存在?(1)())Re(z z f =;(2)())Im(z z f =.6.证明;,sin z e z 在复平面上任一点都不解析.第二章 复习题1.单项选择题(1)函数()z f w =在点0z 可导是可微的( ).A .必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C .充分必要条件D. 既非充分也非必要条件(2)函数()z f w =在点0z 可导是连续的( ).A .必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C .充分必要条件D. 既非充分也非必要条件(3)函数()),(),(y x iv y x u z f +=,则在()00,y x 点,v u ,均可微是函数()z f 在点0z 可微的( ).A .必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C .充分必要条件D. 既非充分也非必要条件(4)函数()22ix xy z f −=,那么( ). A .()z f 处处可微 B. ()z f 处处不可导 C .()z f 仅在原点可导 D. ()z f 仅在x 轴上可导(5)若,0,,00,),(222222=+≠++=y x y x y x xy y x u ,,),(xy y x v =()iv u z f +=,则()z f ( ).A .()z f 仅在原点可导 B. ()z f 处处不可导C .()z f 除原点外处处可导 D. ()z f 处处可微(6)若()()y x y i xy x z f 233333+−+−=, 那么()z f ( ).A .()z f 仅在原点可导且()00=′f B. ()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322+−=′ C .()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322−−=′ D. ()z f 处处解析且()xy i x y z f 63322+−=′ (7)函数()z z z f = ,则( ). A .()z f 在全平面解析 B. ()z f 仅在原点解析C .()z f 仅在原点可导但不解析 D. ()z f 处处不可导(8)设()34−=′z z f ,且()i i f 31−=+,则()=z f ( ).A . i z z −−322 B. i z z 3322+− C .i z z 43322+−+ D. i z z 43322−+− 2.指出函数112+z 的解析性区域,并求导数.3.如果0z 是()z f 的奇点,而()z g 在0z 解析,那么0z 是否是())(z g z f +和())(z g z f 的奇点.4.若()iv u z f +=是区域D 内的解析函数,那么在D 内v +iu 是否也是解析函数.第三章 积分1.沿下列路径计算积分∫Czdz Re .(1)自原点至1+i 的直线段;(2)自原点沿实轴至1,再由1铅直向上至1+i ;(3)自原点沿虚轴至i ,再由i 沿水平向右至1+i .2.分别沿y =x 与2x y =计算积分()∫++i dz iy x102的值.3计算积分dz zzC∫,其中C 为正向圆周,2=z .4.计算下列积分 ,其中C 为正向圆周,1=z . (1);21dz z C ∫− (2);4212dz z z C ∫++(3);cos 1dz zC ∫ (4);211dz z C∫−(5);dz ze Cz ∫(6)().)2(21dz i z z C∫−+5.沿指定曲线正向计算下列积分:(1)dz z C ∫−21,C :12=−z ;(2)dz a z C ∫−221,C: a a z =−;(3),3dz z zC ∫− C :2=z ;(4)()()dz z z C∫++41122,C :23=z ;(5)dz zzC ∫sin ,C :1=z ; (6)dz z zC∫−22sin π,C :2=z .6.计算下列各题: (1)∫−ii z dz e ππ32;(2)∫−iizdz ππ2sin ;(3).)(0∫−−iz dz e i z7.计算下列积分:(1)dz i z z C ∫+++2314,C :4=z ,正向; (2)dz z iC ∫+122,C :61=−z ,正向; (3),cos 213dz z zC C C ∫+= 1C :2=z ,正向,2C :3=z ,负向;(4)dz i z C ∫−1,C 为以i 56,21±±为顶点的正向菱形; (5)()dz a z eC z∫−3;其中a 为1≠a 的任何复数,C :1=z ,正向.9. 设C 为不经过a 与a −的简单正向闭曲线,a 为不等于0的任何复数,试就a 与a −跟C 的各种不同位置,计算积分dz a z zC ∫−22的值.第三章 复习题1.单项选择题.(1)设C 为θi e z =,θ从2π−到2π的一段,则=∫Cdz z ( ).A .i B.2i C .-2i D.- i(2)设C 是从0=z 到i z +=1的直线段,则=∫Cdz z ( ).A .1+i B.21i+ C .i e4π− D. ie 4π(3)设C 为θi e z =,θ从0到π的一段,则=∫Czdz arg ( ).A .i 2−−π B. π− C .i 2+π D. i 2−π(4)设C 为t i z )1(−=,t 从1到0的一段,则=∫Cdz z ( ).A .1 B.-1 C .i D.- i(5)设C 为1=z 的上半部分逆时针方向,则=−∫Cdz z )1(( ).A .2i B.2 C .-2i D.- 2(6)设C 为θi e z 21=,正向,则=−∫C z dz e e zsin ( ).A .sin1 B.e i 1sin 2π C .e i 1sin 2π− D.0(7)=++∫=dz z z z 12221( ).A .i π2 B.i π2− C .0 D.π2 (8)设C 为沿抛物线12−=x y 从()0,1−到()0,1的弧度,则=+∫C dz z )1sin(( ).A .0 B.2cos − C .12cos − D. 12cos − (9)=++∫=+dz z z e z z 232)1(232( ). A .0 B.i π32C .i π2 D. i π2−(10)=++∫=dz z z zz 121682cos π( )A .0 B.i π C .i π− D. i π2.(11)=+∫=dz z zz 221( ).A .0 B.i π2 C .i π2− D. i π(12)=∫=dz z e z z12( ).A .i π2 B. i π C .0 D. π (13)1322z z z e dz ==∫( ).A .i π2 B. i π16 C .i π8 D. i π4 2.计算()∫Γ−=dz z z e I z12,其中Γ是圆环域:221≤≤z 的边界.3.(1)证明:当C 为任何不经过原点的闭曲线时,则;012=∫dz zC(2)沿怎样的简单闭曲线有;012=∫dz z C(3)沿怎样的简单闭曲线有.0112=++∫dz z z C4.设(),4ζζζπd ze zf C ∫−=其中C :2=z ,试求()i f ,()i f −及()i f 43−的值.5.计算()22,2z Ce z I dz z =+∫其中C :.1=z6.()()∫=−=12,ζζζdz z e z f z()1≠z ,求().z f ′第四章 级数1.判别下列级数的绝对收敛性与收敛性:();11∑∞=n nni()∑∞=2;ln 2n nni();8)56(30∑∞=+n n ni().2cos 40∑∞=n n in2.求下列幂级数的收敛半径:()为正整数);p nz n p n(,11∑∞=()∑∞=12;)!(2n nn z nn()∑∞=+0;)1(3n nnz i().41∑∞=n n n iz e π3.把下列各函数展开成z 的幂级数,并指出它们的收敛半径: ();1113z +();)1(1223z +();cos 32z();4shz();5chz().sin 622z e z4.求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式,并指出它们的收敛半径: ();1,1110=+−z z z()();110,10,1122<−<<<−z z z z()()(),2113−−z z;21,110+∞<−<<−<z z()()为中心的圆环域内;在以i z i z z =−,142第四章 复习题1.单项选择题:()().112的收敛半径为幂级数∑∞=n nin z e0.A 1.B 2.C ∞.D()()∑∞=1.1sin 2n nnz n 的收敛半径为幂级数0.A 1.B e C . ∞.D()()()∑∞=−1.13n n n z i 的收敛半径为幂级数1.A 21.B 2.C 21.D()()()∑∞=+12.434n n n z i 的收敛半径为幂级数5.A 51.B 5.C 51.D ()()∑∞=1.!5n nn z n 的收敛半径为幂级数1.A ∞.B 0.C e D .()()∑∞−∞=−=>=n nne a z za z z.,0,6721则设!71.A !71.−B !91.C !91.−D()∑∞==−10,2.2n nn z z a 收敛,能否在幂级数 .3发散而在=z().1.32的和函数求n n z n n ∑∞=−.0cos 1.40处的泰勒展开式在求=−∫z d zζζζ上的罗朗展开在求函数11sin .512>−∫=ζζζζz d z .式第五章 留数1.判断下列函数奇点的类型,如果是极点,指出它的阶数:()();11122+z z();sin 23z z();11323+−−z z z()();1ln 4zz +();511−z e()().1162−z e z()..2在有限奇点处的留数求下列各函数z f();2112zz z −+();1242z e z −()();113224++zz();cos 4zz();11cos5z−().1sin 62zz3.计算下列各积分(利用留数,圆周均取正向).();sin 123∫=z dz z z()();12222dz z e z z∫=−()();,cos 1323为整数m dz z zz m∫=−();tan 43∫=z zdz π().521111∫=−−z z dz ze点?并是下列各函数的什么奇判断∞=z .4.的留数求出在∞();121z e();sin cos 2z z −().3232zz+()[]的值,如果:求∞,Re 5.z f s()();112−=z ez f z()()()().41124−+=z z z z f6.计算下列各积分,C 为正向圆周:()()()∫=++Cz C dz zzz ;3:,211342215().2:,1213=+∫z C dz e z z zC7.计算下列积分:();sin 351120θθπd ∫+()();0,cos sin 2202>>+∫b a d b a θθθπ()()∫+∞∞−+;11322dx x()∫+∞∞−++.54cos 42dx x x x第五章 复习题1.单项选择题:()().1sin101的是函数zz = 本性奇点.A 可去奇点.B 一级奇点.C 非孤立奇点.D()().0,1cos Re 2=z z s0.A 1.B 21.C 21.−D()()()().,11Re 32=+−i z i z s 4.i A 4.i B − 41.C 41.−D()().0,1Re 44=−−z e s z !31.A !31.−B !41.C !41.−D()()()∫=−=+21.,15z n n n dz z z 为正整数0.A i B π2. i n C π2. niD π2.()()∫=−=11.6z zz dz zei e A 1.−π i B π2. i e C 12.−π i D π2.−()()∫==−25.117z dz z 0.A i B π2. i C π25. i D π52.2.判断zz e 1+的孤立奇点的类型,并求其留数.3.计算n dz z z z n,1cos 1∫=是正整数.4.计算积分∫=−+114.1z z dz5.计算积分∫+πθθ20.cos 2d6.计算∫+∞+04.11dx x7.计算∫+∞+02.42cos dx x x复变函数总复习题一、单项选择题:(1) 函数z w ln =在i e z =处的值为(). (k 为整数)A. ()i k 12+πB. ()i k π12+C. i k π2D. i k π+212(2) 设积分路径C 为从原点到i +2的直线段, 则积分()=∫Cydz .A. 21i− B. 21i +C. i +1D. i −1(3) 1=z 是函数1ln 2−z z的( ).A. 可去奇点B. 极点C. 本性奇点D. 非孤立奇点 (4) 设()33iy x z f −=, 则()z f 在复平面上( ).A. 处处可导 B. 仅在0=z 处解析 C. 处处不可导 D. 仅在0=z 处可导(5) ()()=−∫=−dz z e z iz211221. A.21i+ B. i +1 C. ()i e i +−12π D. 2π−(6) 函数21z e z+以∞=z 为( ).A. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(7) 0=z 是ze z 111−−的( ).A. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(8) 由2121>−z 与2123>−i z 所确定的点集是( ).A. 开集、非区域 B. 单连通区域 C. 多连通区域 D. 闭区域(9) ()=+−∫=dz z z z z z 122sin cos 1. A. 0 B. i π2 C. i π D. i π3二、填空题:1. =i e π9 .2.=+∫=dz z z 12121. 3. 设()()z z z f Im =, 则()=′0f .4. 级数()()()∑∞=+−+−0124121n n nz n 的收敛范围为 .5. 函数z 211−在+∞<<z 21内的罗朗展式为 . 6.()=−∫=dz z z 12 .7. 级数()∑∑∞=∞=+−12121n n n n n nn z z 的收敛范围是 .8. ()2236z z z z z f ++−=, ()()=∞,Re z f s .9. =−1,1sin Re z z s ;=−1,11sin Re z z s .三、解答下列各题:1. 已知()(),21i i z −+= 求()Re z .2. 求2122lim 1z zz z z z →+−−−.3. 讨论()2z z f =在0=z 处的可导性及解析性.4. 讨论()()yx i x y x z f 322322−++−−=的解析性, 并求出在解析点处的导数.5. 计算()12CIi z dz =+−∫, 其中C 为连接01=z , 12=z 和i z +=13, 从1z 至2z 至3z 的折线段.6. 将z 2sin 展开为z 的幂级数.7. 求级数()n n nn z n 214302+++∑∞=的收敛圆, 并讨论在47−=z 和49−=z 处的收敛性.8. 求()242−=z z z f 在3<z 内所有留数之和.9. 求函数z cot 在它所有有限孤立奇点处的留数.10. 求()()222aze zf ibz+=在ai −处的留数,(a , b 为实数).11. 计算积分()()dz z e z zI z z∫=−+−=232189.12. 计算积分dz z z I z ∫=++=2365112.13. 计算积分dz z z I z ∫=+−=22211.14. 计算积分dz z z e i I z z∫=++=2241221π.15. 计算积分()dx axx I ∫∞++=02222, ()0>a .四、证明题:1. 证明()=≠+=0,00,22z z yx xyz f 在0=z 处不连续.2. 证明0→z 时, 函数()()22Re zz z f =的极限不存在.第二篇 积分变换1. 设() >≤=1,01,1t t t f , 试算出()ωF , 并推证:>=<=∫∞+1,01,41,2cos sin 0t t t d t ππωωωω. (提示()t f 为偶函数)2. 求矩形脉冲函数()≤≤=其它,00,τt A t f 的傅氏变换.3. 求()><−=1,01,1222t t t t f 的傅氏积分. 4. 求()2sin tt f = 的拉氏变换.5. 求()≥<≤−<≤=4,042,120,3t t t t f 的拉氏变换.6. 求下列函数的拉氏逆变换:(1) ()221as s F +=;(2) ()441a s s F −=答案第一章:,2295,135.3,13Im ,5.3Re )1.(1=+−=−=−=z i z z z ).(,23arctan ,10||,31,3Im ,1Re )2();(,)12()726arctan(arg Z k k Argz z i z z z Z k k z ∈+−==+=−==∈++=ππ.11,1.2==y x().2,1,0,2)2(;16316)1.(43275.06=−−+k ei k iπ5..31,2,31i i −−+7.(1)以z =5为圆心,6为半径的圆;(2)以z =-2i 为圆心,1为半径的圆周及圆周的外部;(3)i 和i 两点的连线的中垂线. 8.(1)圆环形闭区域,有界; (2)中心在,1517−=z 半径为158的圆周的外部区域,无界. 9.xy =1。
复变函数期末试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 若复数 \( z = a + bi \)(其中 \( a, b \) 为实数),则\( \bar{z} \) 表示()A. \( a - bi \)B. \( -a + bi \)C. \( -a - bi \)D. \( a + bi \)答案:A2. 对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \),以下说法正确的是()A. \( u \) 和 \( v \) 都是调和函数B. \( u \) 和 \( v \) 都是解析函数C. \( u \) 和 \( v \) 都是连续函数D. \( u \) 和 \( v \) 都是可微函数答案:A3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导,则下列说法中正确的是()A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微D. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数为0答案:C4. 已知 \( f(z) \) 是解析函数,且 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处有孤立奇点,则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的留数是()A. 0B. \( \infty \)C. 1D. \( -1 \)答案:A二、填空题(每题5分,共20分)1. 若 \( z = x + yi \),且 \( |z| = 2 \),则 \( x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_ \)。
答案:42. 设 \( f(z) = z^2 \),则 \( f(2 + 3i) = \_\_\_\_\_ \)。
答案:-5 + 12i3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析,则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数 \( f'(z_0) \) 等于 \_\_\_\_\_。
完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时,$z+z+z$ 的值等于()A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$,$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$,那么 $z$ 等于()A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$,$0<\theta<\pi$,则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时,$z$ 的三角表示式是()A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数,则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是()A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数,$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$,则动点 $(x,y)$ 的轨迹是()A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$,向右平移 $3$ 个单位,再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$,则原向量对应的复数是()A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是()A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数,则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是()A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是()A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是()A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为()A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$,$z_1=2+3\mathrm{i}$,$z_2=5-\mathrm{i}$,则 $f(z_1-z_2)$ 等于()A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$,$f'(z)=1+i$,则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析,且 $u+v$ 是实常数,则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。
第一章 复变函数习题及解答1.1 写出下列复数的实部、虚部;模和辐角以及辐角的主值;并分别写成代数形式,三角形式和指数形式.(其中,,R αθ为实常数)(1)1-; (2)ππ2(cosisin )33-; (3)1cos isin αα-+;(4)1ie +; (5)i sin R e θ; (6)i +答案 (1)实部-1;虚部 2;辐角为4π2π,0,1,2,3k k +=±±;主辐角为4π3;原题即为代数形式;三角形式为4π4π2(cosisin )33+;指数形式为4πi 32e .(2)略为 5πi 35π5π2[cos sin ], 233i e +(3)略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα(4)略为 i;(cos1isin1)ee e +(5)略为:cos(sin )isin(sin )R R θθ+(6)该复数取两个值略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθθθθθθθ+=+=+1.2 计算下列复数 1)()103i 1+-;2)()31i 1+-;答案 1)3512i 512+-;2)()13π/42k πi632e 0,1,2k +=;1.3计算下列复数(1 (2答案 (1(2)(/62/3)i n eππ+1.4 已知x 的实部和虚部.【解】令i ,(,)p q p q R =+∈,即,p q 为实数域(Real).平方得到2212()2i x p q xy +=-+,根据复数相等,所以即实部为 ,x ±虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值,即为±值.1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有||1az bbz a +=+【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=,所以1.6 如果复数b a i +是实系数方程()01110=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根,则b a i -一定也是该方程的根.证 因为0a ,1a ,… ,n a 均为实数,故00a a =,11a a =,… ,n n a a =.且()()kkz z =,故由共轭复数性质有:()()z P z P =.则由已知()0i ≡+b a P .两端取共轭得 即()0i ≡-b a P .故b a i -也是()0=z P 之根.注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证.此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的.这一点在代数学中早已被大家认识.特别地,奇次实系数多项式至少有一个实零点.1.7 证明:2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义. 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-,试求n 的值.【解】 因为222244444444(1)2(cos sin )2(cos sin )(1)2(cos sin )2(cos sin )n nnnn n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π=所以4,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±1.9将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 (1) cos5θ; (2)sin5θ答案 53244235(1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθθθθθθ-+-+1.10 证明:如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根,但是1≠w 即不是主根,则必有1.11 对于复数,k k αβ,证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式:22221111||(||||)||||n n nnk k k k k kk k k k αβαβαβ====≤≤∑∑∑∑ 成立。
1复变函数综合练习题及答案第一部分 习题一. 判断下列命题是否正确,如正确, 在题后括号内填√,否则填⨯.(共20题) 1. 在复数范围内31有唯一值1.( ) 2. 设z=x+iy , 则=z z 22y x +.()3. 设,2321i z -=则.32arg π=z ( ) 4. z cos =ω是有界函数.( ) 5. 方程1=ze 有唯一解z=0.( ) 6.设函数z g z f (),()在0z 处可导,则)()(z g z f 在点0z 处必可导.()7.设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在00iy x z +=处可导,则)(00,0)()(y x yui y v z f ∂∂-∂∂='.( )8. 设函数)(z f 在区域D 内一阶可导,则)(z f 在D 内二阶导数必存在. ( ) 9.设函数)(z f 在0z 处可导, 则)(z f 在0z 处必解析.( ) 10. 设函数)(z f 在区域D 内可导, 则)(z f 在D 内必解析.()11. 设),(),,(y x v y x u 都是区域D 内的调和函数,则),(),()(y x iv y x u z f +=是D 内的解析函数.( ) 12. 设n 为自然数,r 为正实数,则0)(00=-⎰=-r z z n z z dz.()13. 设)(z f 为连续函数,则⎰⎰'=1)()]([)(t t cdt t z t z f dz z f ,其中10,),(t t t z z =分别为曲线c 的起点,终点对应的t 值.( )214. 设函数)(z f 在区域D 内解析,c 是D 内的任意闭曲线,则0)(=⎰cdz z f .( )15. 设函数)(z f 在单连通区域D 内解析, c 是D 内的闭曲线,则对于c D z ∈0有)(2)(00z if dz z z z f cπ=-⎰. ( )16. 设幂级数∑+∞=0n n nz c在R z ≤(R 为正实数)内收敛,则R 为此级数的收敛半径. ( )17. 设函数)(z f 在区域D 内解析,D z ∈0,则n n n z z n z fz f )(!)()(000)(-=∑+∞=. ( )18. 设级数n n nz z c)(0-∑+∞-∞=在园环域)(0R r R z z r <<-<内收敛于函数)(z f ,则它是)(z f 在此环域内的罗朗级数.( ) 19. 设0z 是)(z f 的孤立奇点,如果∞=→)(lim 0z f z z ,则0z 是)(z f 的极点.()20. 设函数)(z f 在圆周1<z 内解析,0=z 为其唯一零点,则⎰==1].0),([Re 2)(z z f s i z f dzπ ( )二. 单项选择题.(请把题后结果中唯一正确的答案题号填入空白处,共20题)1. 设复数3)22(i z -=,则z 的模和幅角的主值分别为____________.A. 45,8πB. 4,24πC. 47,22π2.)Re(1z z -<是__________区域.A. 有界区域B. 单连通区域C. 多连通区域3.下列命题中, 正确的是_____________. A. 零的幅角为零B. 仅存在一个z 使z z-=1C.iz z i=14.在复数域内,下列数中为实数的是__________.A. i cosB. 2)1(i -C.38-35.设i z +=1,则=)Im(sin z _________.A. sin1ch1B. cos1sh1C. cos1ch16.函数)(z f =2z 将区域Re(z)<1映射成___________.A. 412v u -<B. 412v u -≤C. 214v u -<7.函数)(z f =z 在0=z 处____________. A. 连续 B. 可导C. 解析8. 下列函数中为解析函数的是_____________.A. )(z f =iy x -2B.)(z f =xshy i xchy cos sin + C.)(z f =3332y i x -9. 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=且),(y x u 是区域D 内的调和函数,则当),(y x v 在D 内是_____________时, )(z f 在D 内解析.A. 可导函数B. 调和函数C. 共轭调和函数10. 设0z 是闭曲线c 内一点, n 为自然数,则⎰-cn z z dz)(0=________________. A. 0B. i π2C. 0或i π211. 积分dz z zz ⎰=-22)1(sin =_______________. A. 1cos B. i π21cos C. i π2sin112. 下列积分中,其积分值不为零的是___________________. A.⎰=-23z dz z zB. 1sin z zdz z =⎰C.⎰=15z zdz ze 13. 复数项级数∑+∞=13n nnz 的收敛范围是________________.A. 1≤zB.1<zC.1>z14. 设函数)(z f 在多连域D 内解析,210,,c c c 均为D 内闭曲线且210c c c ⋃⋃组成4复合闭路Γ且D D ⊂Γ,则___________________. A. 0)()()(21=++⎰⎰⎰c c c dz z f dz z f dz z fB. 0)(=⎰Γdz z fC.⎰⎰⎰-=21)()()(c c c dz z f dz z f dz z f15.函数)(z f =221ze z-在z=0的展开式是_______________________. A. 泰勒级数B. 罗朗级数C. 都不是16. 0=z 是4)(zshzz f =的极点的阶数是_____________. A. 1B. 3C. 417. 0=z 是411)(zez f z-=的____________________. A. 本性奇点B. 极点C. 可去奇点18. 设)(z f 在环域)0(0R r R z z r <<<-<内解析,则n n nz z cz f )()(0∑+∞-∞=-=,其中系数n c =______________________.A.!)(0)(n z fn , ,2,1,0=nB.!)(0)(n z fn ,,2,1,0±±=nC.,,2,1,0,)()(2110 ±±=-⎰+n d z f i c n ζζζπc 为环域内绕0z 的任意闭曲线. 19. 设函数)(z f =1-ze z,则]2),([Re i z f s π=__________________. A. 0B. 1C. i π2 20. 设函数)(z f =)1(cos -z e z z,则积分⎰=1)(z dz z f =________________.5A. i π2B. ]0),([Re 2z f s i πC. .2,0,]),([231i z zz f ik k kππ±=∑=三. 填空题 (共14题)1. 复数方程31i e z-=的解为____________________________________. 2. 设i z 22-=,则z arg =_____________,z ln =___________________________. 3.411<++-z z 表示的区域是___________________________________.4. 设,sin )(z z z f =则由)(z f 所确定的 ),(y x u =____________________,),(y x v =_______________________.5. 设函数)(z f =⎩⎨⎧=≠+-0,00,sin z z A e z z 在0=z 处连续,则常数A=____________.6. 设函数)(z f =ζζζζd z z ⎰=-++22173,则)1(+'i f =________________________.若)(z f =ζζζζd z z ⎰=-+2353,则)(i f ''=________________________. 7. 设函数)(z f 在单连域D 内解析,G(z )是它的一个原函数,且D z z ∈10,,则⎰1)(z z dz z f =_______________________.8. 当a =________时,xyiarctgy x a z f ++=)ln()(22在区域x>0内解析. 9. 若z=a 为f(z )的m 阶极点,为g(z)的n 阶极点(m>n ),则z=a 为f(z)g(z)的__________阶极点,为)()(z g z f 的____________阶极点. 10. 函数)(z f =tgz 在z=0处的泰勒展开式的收敛半经为_________________. 11. 函数)(z f =zzsin 在z=0处的罗朗展开式的最小成立范围为_____________.612. 设∑+∞-∞==n nn z c z z 3sin ,则______________________,02==-c c .13. 积分dz zez z⎰=11=________________________.14. 留数__________]0,1[Re _,__________]0,1[Re 2sin sin =-=-z e s z e s z z . 四. 求解下列各题(共6题)1. 设函数)(z f =)(2323lxy x i y nx my +++在复平面可导,试确定常数l n m ,,并求)(z f '.2. 已知,33),(22y x y x u -=试求),(y x v 使),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数且满足i f =)0(.3. 试讨论定义于复平面内的函数2)(z z f =的可导性. 4. 试证22),(y x yy x u +=是在不包含原点的复平面内的调和函数, 并求),(y x v 使),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数且满足1)(=i f .5. 证明z e z f =)(在复平面内可导且zz e e =')(.6. 证明⎰⎩⎨⎧>==-c n n n i z z dz1,01,2)(0π,其中n 为正整数,c 是以0z 为圆心,半径为r 的圆周.五. 求下列积分 (共24题)1. 计算dz z c⎰sin ,其中c 是从原点沿x 轴至)0,1(0z ,然后由0z 沿直线x=1至)1,1(1z 的折线段.2.⎰+cdz z z )]Re(2[,其中c 是从点A(1,0)到点B(-1,0)的上半个圆周.73.⎰+-cdz z z)652(2, 其中c 为连接A(1,-1),B(0,0)的任意曲线.4.dz ze iz ⎰+π11. 5.dz z z i z ⎰=-++21)4)(1(122 6.dz z z zz ⎰=--ππ2)1(cos 2.7.⎰=-232)(sin z dz z zπ. 8.⎰-+=cz z dzI )2()1(2,其中c 为r r z ,=为不等于1,2的正常数. 9.⎰++=cz z dzI )1)(12(2,其中曲线c 分别为1)1=-i z2)23=+i z 10. 设c 为任意不通过z =0和z =1的闭曲线,求dz z z e cz⎰-3)1(. 11. 23cos sin [](2)zzz e z e I dz z z z ==+-⎰. 12.⎰=--2)1(12z dz z z z . 用留数定理计算下列各题.13. dz z z e z z⎰=-1302)(,其中0z 为10≠z 的任意复数.14. dz z e z z⎰=+222)1(π.815.⎰=-24)1(sin z dz z zπ. 16.dz z z zz ⎰=-+12)12)(2(sin π. 17.⎰=1z zdz tg π.18.dz z zz ⎰=22sin . 19.⎰=+-122521z dz z z . 20.dz z z z ⎰=+-14141. 21.dz iz z z ⎰=-+122521.22. dz z z z c ⎰++)4)(1(222,其中c 为实轴与上半圆周)0(3>=y z 所围的闭曲线.23. dz z z c ⎰++1142,其中c 同上.24.⎰++c dz z z )1)(9(122,其中c 为实轴与上半圆周)0(4>=y z 所围的闭曲线. 六. 求下列函数在奇点处的留数 (共8题)1.421)(z e z f z-=.2. 1sin )(-=z z z f .3.3)1(sin )(z zz f +=.94.224)1(1)(++=z z z f . 5.1)(-=z e z z f . 6.2)1()(-=z z e z f z. 7. 11)(23+--=z z z z f .8.z zz f sin 1)(+=. 七. 将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数 (共10题)1.)2()1(1)(22z z z z f --=110<-<z2.13232)(2+--=z z zz f231<+z 3.1)(-=z e z f z+∞<-<10z4. 21)(2--=z z z f1)1<z ,2). 1<z <2,3). 2<∞<z5.)1(1)(2z z z f -=110<-<z 6.z z f cos )(=+∞<-πz 7.2)1(1)(z z f +=1<z8.zzz f sin 1)(+=π<<z 0 (写出不为零的前四项)9.)1(cos )(2-=z e z z z f+∞<<z 0 (写出不为零的前三项)1010. zz z f sin )(=π<<z 0 (写出不为零的前三项)11第二部分解答一、判断题.(共20题)1. ×2. √3. ×4. ×5. ×6. ×7. √8. √9. × 10. √ 11. × 12. × 13. √ 14. × 15. √ 16. × 17. × 18. √ 19. √ 20. √二、单项选择题.(共20题)1. A.2. B.3. C.4. A.5. B.6. A.7. A.8. B.9. C. 10. C. 11. B. 12. C. 13. A. 14. B. 15. B. 16. B. 17. A. 18. C. 19. C. 20. B.三、填空题 1.,210)(235(2ln ±±=++,,k k i ππ) 2.47π ,i 472ln 23π+ 3. 13422<+y x 4. xshy y xchy x cos sin - , xchy y xchy x sin cos +5. 16. i ππ2612+- ,π36-7.)()(01z G z G -8.21 9.n m + ,n m -10.2π 11. π<<z 01212. 1 ,-61 13.i π14. 0 ,1四、求解下列各题1. 由题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2323),(),(lxyx y x v ynx my y x u利用yv nxy x u ∂∂==∂∂2 ,得l n =222233ly x xvnx my y u --=∂∂-=+=∂∂,得3-=n ,3-=l ,1=m 则 )33(6)(22y x i xy xvi x u z f -+-=∂∂+∂∂='23iz =2. 由于x xu y v 6=∂∂=∂∂ 所以 ⎰+==)(66),(x xy xdy y x v ϕ,)(6x y xvϕ'+=∂∂ 又由yux v ∂∂-=∂∂,即y x y 6)(6='+ϕ 所以 0)(='x ϕ,C x =)(ϕ(C 为常数)故 c xy y x v +=6),(,ci z i c xy y x z f +=++-=2223)6(33)(将条件 i f =)0(代入可得1=C ,因此,满足条件i f =)0(的函数i z z f +=23)(3. 由题意知⎩⎨⎧=+=0),(),(22y x v y x y x u ,由于1302=∂∂==∂∂y v x x u ,02=∂∂-==∂∂x v y y u 可得⎩⎨⎧==00y x 由函数可导条件知,2)(z z f =仅在0=z 处可导。
复变函数习题总汇与参考答案(总21页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--复变函数习题总汇与参考答案第1章 复数与复变函数一、单项选择题1、若Z 1=(a, b ),Z 2=(c, d),则Z 1·Z 2=(C )A (ac+bd, a )B (ac-bd, b)C (ac-bd, ac+bd )D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0,则N (∞,R )={ z :(D )}A |z|<RB 0<|z|<RC R<|z|<+∞D |z|>R3、若z=x+iy, 则y=(D) A B C D4、若A= ,则 |A|=(C ) A 3 B 0 C 1 D 2二、填空题1、若z=x+iy, w=z 2=u+iv, 则v=( 2xy )2、复平面上满足Rez=4的点集为( {z=x+iy|x=4} )3、( 设E 为点集,若它是开集,且是连通的,则E )称为区域。
2zz +2z z -izz 2+iz z 2-)1)(4()1)(4(i i i i +--+4、设z 0=x 0+iy 0, z n =x n +iy n (n=1,2,……),则{z n }以z o 为极限的充分必要条件是 x n =x 0,且 y n =y 0。
三、计算题1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角。
解:Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1|-1-i|=2、写出复数-i 的三角式。
解:3、写出复数 的代数式。
解:4、求根式的值。
+∞→n lim +∞→n lim ππ45|11|arctan ),1(12)1()1(=--+=--∴--=-+-i ary i 在第三象限 ππ23sin 23cos i i +=-i i i i i i i i i i i i i i i 212312121)1()1)(1()1(11--=--+-=⋅-++-+=-+-ii i i -+-11327-解:四、证明题1、证明若 ,则a 2+b 2=1。
复变函数习题总汇与参考答案第1章 复数与复变函数一、单项选择题1、若Z 1=(a, b ),Z 2=(c, d),则Z 1·Z 2=(C ) A (ac+bd, a ) B (ac-bd, b) C (ac-bd, ac+bd ) D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0,则N (∞,R )={ z :(D )} A |z|<R B 0<|z|<R C R<|z|<+∞ D |z|>R3、若z=x+iy, 则y=(D)A B C D4、若A= ,则 |A|=(C )A 3B 0C 1D 2二、填空题1、若z=x+iy, w=z 2=u+iv, 则v=( 2xy )2、复平面上满足Rez=4的点集为( {z=x+iy|x=4} )3、( 设E 为点集,若它是开集,且是连通的,则E )称为区域。
4、设z 0=x 0+iy 0, z n =x n +iy n (n=1,2,……),则{z n }以z o 为极限的充2zz +2z z -i z z 2+iz z 2-)1)(4()1)(4(i i i i +--++∞→n lim+∞→n lim分必要条件是 x n =x 0,且 y n =y 0。
三、计算题1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角。
解:Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1 |-1-i|=2、写出复数-i 的三角式。
解:3、写出复数 的代数式。
解:4、求根式 的值。
解: ππ45|11|arctan ),1(12)1()1(=--+=--∴--=-+-i ary i 在第三象限 ππ23sin 23cos i i +=-i i i ii ii i i i i ii i i212312121)1()1)(1()1(11--=--+-=⋅-++-+=-+-iii i -+-11327-)3sin 3(cos 3327)27arg(327303ππππi eW z i +==-=∴=-=⋅的三次根的值为四、证明题1、证明若 ,则a 2+b 2=1。
证明:而bi a yix yix +=+-bia yi x yi x +=+- ||||yix yix bi a +-=+∴22||b a bi a +=+11122222222=+∴=+∴=++=+-∴b a b a yx y x yi x yi x3、证明:证明:)Re(2212221221z z z z z z +++=+∴=+=--++-++=-++-+=+∴-=+=-=+=+++=+++=++=++=+)Re(2)(2)()())(())(())(())((211221*********22112212************21z z by ax i ay bx by ax i ay bx by ax bi a yi x yi x bi a z z z z yix z yi x z bi a z bi a z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z 则则设)Re(2212221221z z z z z z ⋅++=+第2章 解析函数一、单项选择题1.若f(z)= x 2-y 2+2xyi,则 2、若f(z)=u(x, y)+iv(x,y), 则柯西—黎曼条件为(D )A BC D3、若f(z)=z+1, 则f(z)在复平面上(C ) A 仅在点z=0解析 B 无处解析C 处处解析D 在z=0不解析且在z ≠0解析 4、若f (z )在复平面解析,g(z)在复平面上连续,则f(z)+g(z)在复平面上(C )A 解析B 可导C 连续D 不连续 二、填空题1、若f(z)在点a 不解析,则称a 为f(z)的奇点。
2、若f(z)在点z=1的邻域可导,则f(z)在点z=1解析。
3、若f(z)=z 2+2z+1,则4、若 ,则 不存在。
)()(D z f ='yv x v y u x u ∂∂=∂∂∂∂=∂∂且xv x u x v y u ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂且yv xv yu xu ∂∂=∂∂∂∂=∂∂且xvy u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂且22)(+='z z f )2)(1(7)(--=z z z f =')1(f三、计算题:1、设f(z)=zRe(z), 求 解: =2、设f(z)=e x cosy+ie x siny,求解:f(z)=e x cosy+ie x siny=e z ,z=x+iy u=e x cosy v=e x siny f(z)=u+iv∴f(z)在复平面解析,且 =e x cosy+ie x siny3、设f(z)=u+iv 在区域G 内为解析函数,且满足u=x 3-3xy 2, f(i)=0,试求f(z)。
解:依C-R 条件有Vy=ux=3x 2-3y 2则V (x1y )=3x 2y-y 3+c(c 为常数)故f(z)=x 3-3xy 2+i(3x 2y-y 3+c)=x 3-3xy 2+i(cx 2y-y 3)+ic =z 3+ic ,为使f(i)=0, 当x=0,y=1时, f(i)=0, 有f(0)=-i+ic=0∆Z-∆Z +→∆)0()0(limf f z ∆Z-∆Z +→∆)0()0(lim 0f f z ∆Z ∆Z ∆Z →∆)Re(lim 0z 0)Re(lim 0=∆Z =→∆z )(z f 'y e y vx u x cos =∂∂=∂∂ y e yv y u x sin =∂∂-=∂∂iey e z f x +='cos )()(z f 'cx Q xy uy x Q xy v x Q y y x dy y x v x =∴=-='+=∴+-=-=∴⎰)(6)(6)(3)33(3222∴c=1 ∴f(z)=Z 3+i4、设f(z)=u+iv 在区域G 内为解析函数,且满足u=2(x-1)y, f(2)=-i,试求f(z)。
解:依C-R 条件有Vy=ux=2y∴V= =y 2+ϕ(x) ∴Vx= ∴ϕ(x)= V=y 2-x 2+2x+c(c 为常数) ∴f(z)=2(x-1)y+i(y 2-x 2+2x+c)为使f(z)=-i,当x=2 y=0时,f(2)=ci=-i ∴c=-1 ∴f(z)=2(x-1)y+i(y 2-x 2+2x-1) =-(z-1)2i 四、证明题1、试在复平面讨论f(z)=iz 的解析性。
解:令f(z)=u+iv z=x+iy 则iz=i(x+iy)=-y+ix ∴u=-y v=x 于是ux=0 uy=-1 Vx=1 Vy=0∵ux 、uy 、vx 在复平面内处处连接 又Ux=Vy Uy=-Vx 。
⎰ydy 2zx uy x +-=-='2)(ϕ⎰++-=+-c x x dx x 2)22(2∴f(z)=iz在复平面解析。
2、试证:若函数f(z)在区域G内为解析函数,且满足条件f'(z)=0,z∈G,则f(z)在G内为常数。
证:设f(z)=u+iv,z=x+iy,z∈G∵f(z)在G内解析,Ux=Vy, Uy=-Vx又f'(z)=0, f'(z)=Ux+iVxUx=0 Vx=0Uy=-Vx=0 Ux=Vy=0U为实常数C1,V也为实常数C2,f(z)=C1+iC2=Z0f(z)在G内为常数。
复变函数课程作业参考解答2第3章初等函数一、单项选择题1. z = ( A ) 是根式函数n zw=的支点.(A) 0 (B) 1(C) π(D) i2. z = ( D ) 是函数zw ln=的支点.(A) i (B) 2i(C) -1 (D) 03. e i =( B ).(A) e -1+e (B) cos1+isin1 (C) sin1 (D) cos1 4. sin1= ( A )(A) i e e i i 2-- (B) i e e ii 2-+ (C) 21--e e (D) 21-+e e二、填空题1. cosi = 21ee +-2.i e +1= e(cos1+isin1)3. lni =i 2π4. ln(1+i) = )24(221ππk i Ln ++k 为整数.三、计算题 1. 设z=x+iy ,计算2ze .解:xyi y x iy x z 2)(2222+-=+= ∴xy i y e e x z 2222⋅+-=)]]2sin()2)[cos(ex p[(22xy i xy y x +- ∴ 2ze =22y x e -)exp(2z = 22y xe-2. 设z = x+iy, 计算)Re(1ze . 解: ∵ z = x+iy∴ 222211y x y i y x x iy x z +-+=+=∴ )sin (cos 1222222y x yi y x y y x x zee +-++=∴2221cos)Re(22y x y e e y x x +=-3. 求方程i z π=ln 2的解. 解: ∵ lnz =2/πi∴ 由对数函数的定义有: Z=ii e i =+=2sin2cos2/πππ∴ 所给方程的解为z = i4. 求方程i e z31+=的解.解: ∵)3sin 3(cos 231ππi i e z +=+= =)3sin 3(cos 2ππi e Ln + 根据指数函数的定义有: z=n2+i 3/π 或z=n(1+i 3)四、证明题1. 试证: z z z cos sin 22sin ⋅=.证明:根据正弦函数及余弦正数定义有:i e e z iziz 22sin 22--=222cos sin 2iziz iz e e i iz e z z -+⋅-=i e e iz iz 222⋅-⋅-=∴ sin2z=2sinz ·cosz2. 证明:xn x xn nx x x 2sin 2sin 21sinsin 2sin sin ⋅+=+++ .证明: 令A=nx x x cos 2cos cos 1++++ B=sinx+sin2x+…sinnx∴ inx x i ix e e e Bi A ++++=+ 2122)1(121111x i iz ixxn i ex n e e e-+-=--=+x n i x i x n ie x x n ex i xen i 22212sin 21sin 2sin 221sin 2⋅+=+=⋅+=)2sin 2(cos 2sin 21sinx n i x n x xn ++∴xn x xn x x x 2sin 2sin 21sinsin 2sin sin +=+++第4章 解析函数的积分理论一、单项选择题1.=⎰cdz 2( D ) , c 为起点在0 , 终点在1+i 的直线段.(A) 0 (B) 1 (C) 2i (D) 2(1+i) 2.⎰==1)(sin z A zdz .(A) 0 (B) 10i π(C) i (D) 123+i3.⎰==5)(5z B dz z(A) i (B) 10i π (C) 10i (D) 04. ⎰=-32)23(sin 2z z z =( A ).(A)23cos4⋅i π (B) i π4(C) i π2 (D) i π2- 二、填空题1. 若)(z f 与)(x g 沿曲线c 可积,则⎰⎰⎰+=+cccdzz g dz z f dz z g z f )()()]()([.2. 设L 为曲线c 的长度, 若f(z)沿c 可积, 且在c 上满足M z f ≤)(,则MLdz z f c≤⎰)(.3.⎰=177izdz4.ee zdz i i-=⎰-01cos 2三、计算题 1.计算积分⎰czdzIm ,其中c 为自0到2+i 的直线段.解: c 的方程为:)10()()(≤≤+==t t i z t z z 其次由t i t z z yi x )2()(+===+得 t z =Im dt i dt t z dz )2()(+='= ∴⎰⎰+=ctdti zdz 1)2(Im =⎰+1)2(tdti=i211+2. 计算积分⎰=+-+1212102sin z z dz z z ze .解:⎰=+-+1212102sin z z dz z z ze =⎰=--+1)3)(2(2sin z z dz z z ze作区域D:1≤z 积分途径在D 内被积函数的奇点Z=2与Z=3均不在D 内,所以被积函数在D 内解析. 由定理4.2得:⎰=+-+1212102sin z z dz z z ze =03. 计算积分⎰=--cz c dz z z 41:,)1)(1(132. 解: ⎰--c dz z z )1)(1(132∵ 奇点z=1和z=-1不在区域D,1<z 内 013=-z 的三个根2,1,0,32==k e z ik k π也不在D 内∴ 由定理4.2 得⎰--c dz z z )1)(1(132=04. 计算积分⎰c zdz z e 5, 5:=z c .解: 由定理4.6得0)4(5])[(!42==⎰z z c z e i dz z e π=12iπ四、证明题1. 计算积分⎰=+121z dz z ,并由此证明0cos 45cos 210=++⎰θθθd n.证明:∵21)(+=z z f 在圆域|z|≤1内解析∴⎰=+121z dz z =⎰==+1021z dz z另一方面,在圆|z|=)2)(sin (cos 1≤≤+⋅θθθz i ∴⎰=+121z dz z =⎰-+++ππθθϑθ)sin (cos 2sin cos 1i d (实部和虚部为0)=⎰⎰---+++-++-=+++-ππππθθθθθθθθθθϑθθθd i i i i c d i ]sin )cos 2][(sin )cos 2[(]sin )cos 2[(cos sin 2sin cos cos sin=θθθθθθππd i ⎰-+++++-sin cos cos 44)1cos 2(sin 2=dz i ⎰-+++-ππθθθcos 45)cos 21(sin 2=θθθθθθππππd i d ⎰⎰--++++-cos 45cos 21cos 45sin 2∵⎰=+121z dz z =0 ∴0cos 45sin 2=+-⎰-θθθππd∴ 0cos 45cos 21=++⎰-θθθππd 而θθcos 45cos 21++为偶函数 ∴0=θθθππd ⎰-++cos 45cos 21=θθθπd ⎰++0cos 45cos 212∴cos 45cos 210=++⎰θθθπd复变函数课程作业参考解答3第5章 解析函数的幂级数表示一、单项选择题 1. 幂级数∑∞=0n nz的收敛半径等于( B )( A ) 0 (B) 1 ( C ) 2 (D) 32. 点z=-1是f(z)=51052++z z r ( B )级零点.( A ) 1 (B)2 (C)3 (D)5 3. 级数∑∞=0n nz的收敛圆为( D ).(A) | z-1|< 3 (B) |z|<3 (C) |z-1| >1 (D) |z| <14. 设f(z)在点a 解析, 点b 是f(z)的奇点中离点a 最近的奇点,于是,使f(z)=∑∞=-0)(n nna z c成立的收敛圆的半径等于( C ).(A) a+b+1 (B) b-a+1 (C) |a-b| (D) |a+b| 二、填空题1.级数1+z+⋯⋯++⋯⋯+!!22n z z n的收敛圆R=+∞.即整个复平面.2.若f(z)= sinz k ⋅(k 为常数),则z=m π(m=0, 2,1±±……)为f(z)的 1 级零点.3.幂有数∑∞=0!n nzn 的收敛半径等于 0 .4.z=0是f(z)=e z -1的 1 级零点. 三、计算题1.将函数f(z)=()()[]121-+-z z 在点z=0展开幂级数.解: f(z)=()()21161312131113121111110z z z z z z z z n n +--=+--⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-∑+∞==-∑∑∑∞+=∞+=∞+=⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-000261312116131n nn n n n z z z z 1<z2.将函数f(z)=(1-z)-2在点z=0展开成幂级数. 解:()()[]'-=-=--1211f(z)z z 而(1-z)-1=∑+∞==-011n n z z()[]∑∑+∞=-+∞=--='='-=-∴0112))((1)1(n n n nnzz z z=∑+∞=+0)1(n nzn 1<z3.将函数f(z)=(z+2)-1在点z=1展开成幂级数.解:f(z)=(z+2)-1=[]3)1(11)1(3113121---⋅=---=-+=+z z z z=∑∑∞+=∞+=-⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅003)1()1(313)1(31n n nn n nz z 31<-z4.将函数f(z)=e z 在点z=1展开成幂级数. 解: f(z)=e z f (n)=ez ()e fn =∴1)(nn n z z n f e )1(!f(z)0)1()(-⋅==∴∑∞+==∑+∞=-0)1(!n n z n e四、证明题1.证明:1-e i2z =-2isinze iz 证:e iz =cosz+isinz∴e -iz =cos-isinz∴e iz -e -iz =2isinz ∴-2isinz=-( e iz -e -iz ) = e iz -e -iz∴-2isinz e iz=( e -iz - e iz ) e iz=e 0- e 2iz =1- e 2iz2.试用解析函数的唯一性定理证明等式: cos2z= cos 2z-sin 2z证①f 1(z)=cos2z,则f 1(z)复平面G 解析设f 2(z)=cosz -sin 2z,则f 2(z)也在整个复平面G 解析 ②取E=K 为实数轴,则E 在G 内有聚点.③当E 为实数时,知cos2z=cos 2z-sin 2z,即f 1(z)= f 2(z)∴由解析函数唯一性定理,由以上三条知f 1(z)= f 2(z) G Z ∈成立 即cos2z= cos 2z-sin 2z G Z ∈第6章 解析函数的罗朗级数表示一、单项选择题1.函数f(z)=2312+-z z 在点z=2的去心邻域( D ) 内可展成罗朗级数.(A) 0<3<z (B) 0<51<-z (C) 1<31<-z (D) 0<12<-Z2.设点α为f(z)的孤立奇点,若α→z z Iimf )(=c ()∞≠,则点α为f(z)的( C ).(A) 本性奇点 (B) 极点 (C) 可去奇点 (D) 解析点3.若点α为函数f(z)的孤立奇点,则点α为f(z)的极点的充分必要条件是( D ). (A) ∞→z Iimff(z)=c(∞≠) (B)∞→z Iimf(z)=∞ (C)α→z Iimf(z)=c(∞≠) (D)α→z Iimf(z)=∞4.若点α为函数f(z)的孤立奇点,则点α为f(z)的本性奇点的充要条件是( B ). (A) ∞→z Iimf(z)= c(∞≠) (B) α→z Iimf(z)不存在 (C)α→z Iimf(z)=c(∞≠) (D)α→z Iimf(Z)=∞二、填空题 1.设∑+∞-∞=-n nnz c)(α为函数f(z)在点α的罗朗级数,称nn na z c)(1-∑--∞=为该级数的主要部分.2.设点α为函数f(z)的奇点,若f(z)在点α的某个 某个去心邻域εα<-z 内解析,则称点α为f(z)的孤立奇点.3.若f(z)=z e +14,则点z=0为f(z)的 0 级极点. 不是极点,若f(z)= z e +14则z=0为f(z)的一个极点.4.若f(z)=(sin 21)-1,则点z =0为f(z)非孤立 奇点.三、计算题1.将函数f(z)=(z-2)-1在点z=0的去心邻域展成罗朗级数.解: f(z)=21-z =- z -21=-nnn n nn z z z 2)1(21)2(212112100∑∑∞=∞=--=--=--2.将函数f(z)=12-z z 在点z=1的去心邻域展成罗朗级数. 解: f(z)=111211111)1)(1(111122-+-+=-++=-++-=-+-=-z z z z z z z z z z z 3.试求函数f(z)=z -3·sinz 3的有限奇点,并判定奇点的类别. 解: 3sin z 解析,无奇点,∴f(z)的有限奇点为z=0. 并且为3阶极点.4.试求函数f(z)=[z ()21z -]-1的有限奇点,并判定奇点的类别.解: f(z)的m 阶奇点即)(1z f 的阶零点,而)1)(1()1()(12z z z z z z f +-=-=零点为z=0,z=1,z=-1,且均为1阶零点。