习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+（2）(1)(2)ii i--（3）131ii i--（4）8214i i i-+-解：（1）1323213i zi-==+，因此：32 Re, Im1313 z z==-，232arg arctan,31313z z z i==-=+（2）3(1)(2)1310i i izi i i-+===---，因此，31Re, Im1010z z=-=，131arg arctan,31010z z z iπ==-=--（3）133335122i i iz ii i--=-=-+=-，因此，35Re, Im32z z==-，535,arg arctan,232iz z z+==-=（4）82141413z i i i i i i=-+-=-+-=-+因此，Re1,Im3z z=-=，arg arctan3,13z z z iπ==-=--2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i（2）1-+（3）(sin cos)r iθθ+（4）(cos sin)r iθθ-（5）1cos sin (02)iθθθπ-+≤≤解：（1）2cos sin22ii i eπππ=+=（2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3． 求下列各式的值：（1）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（5（6解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin()))66i i ππ=-+-=-+（2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )33)sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-)sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)12)sin(2)]1212ii πθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- （5=11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++1, 0221, 122, 2i k i k i k +=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6=11(2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++88, 0, 1i i e k e k ππ==⎪=⎩4．设12 ,z z i ==-试用三角形式表示12z z 与12z z解：12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5． 解下列方程： （1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=>解：（1）z i += 由此25k iz i e iπ=-=-，(0,1,2,3,4)k=（2）z==11[cos(2)sin(2)]44a k i kππππ=+++，当0,1,2,3k=时，对应的4(1),1),1),)i i i i+-+---6．证明下列各题：（1）设,z x iy=+z x y≤≤+证明：首先，显然有z x y=≤+；其次，因222,x y x y+≥固此有2222()(),x y x y+≥+从而z=≥。
（2）对任意复数12,,z z有2221212122Re()z z z z z z+=++证明：验证即可，首先左端221212()()x x y y=+++，而右端2222112211222Re[()()]x y x y x iy x iy=+++++-2222112212122()x y x y x x y y=+++++221212()()x x y y=+++，由此，左端=右端，即原式成立。
（3）若a bi+是实系数代数方程10110n nna z a z a z a--++++=L的一个根，那么a bi-也是它的一个根。
证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，()n nz z=，由此得到：10110()()0n nna z a z a z a--++++=L由此说明：若z为实系数代数方程的一个根，则z也是。
结论得证。
（4）若1,a=则,b a∀≠皆有1a baab-=-证明：根据已知条件，有1aa =，因此：11()a b a b a b a ab aa ab a a b a ---====---，证毕。
（5）若1, 1a b <<，则有11a bab-<- 证明：222()()a b a b a b a b ab ab -=--=+--，2221(1)(1)1ab ab ab a b ab ab -=--=+--，因为1, 1a b <<，所以，2222221(1)(1)0a b a b a b +--=--< ，因而221a b ab -<-，即11a bab-<-，结论得证。
7．设1,z ≤试写出使n z a +达到最大的z 的表达式，其中n 为正整数，a 为复数。
解：首先，由复数的三角不等式有1n n z a z a a +≤+≤+，在上面两个不等式都取等号时n z a +达到最大，为此，需要取nz与a 同向且1nz =，即nz 应为a 的单位化向量，由此，naz a=，z =8．试用123,,z z z 来表述使这三个点共线的条件。
解：要使三点共线，那么用向量表示时，21z z -与31z z -应平行，因而二者应同向或反向，即幅角应相差0或π的整数倍，再由复数的除法运算规则知2131z z Argz z --应为0或π的整数倍，至此得到：123,,z z z 三个点共线的条件是2131z z z z --为实数。
9．写出过1212, ()z z z z ≠两点的直线的复参数方程。
解：过两点的直线的实参数方程为： 121121()()x x t x x y y t y y =+-⎧⎨=+-⎩， 因而，复参数方程为：112121121()()z x iy x iy t x x iy iy z t z z =+=++-+-=+-其中t 为实参数。
10．下列参数方程表示什么曲线？（其中t 为实参数）（1）(1)z i t =+ （2）cos sin z a t ib t =+ （3）iz t t=+解：只需化为实参数方程即可。
（1）,x t yt ==，因而表示直线y x =（2）cos ,sin x a t y b t ==，因而表示椭圆22221x y a b+=（3）1,x t y t==，因而表示双曲线1xy =11．证明复平面上的圆周方程可表示为 0zz az az c +++=，其中a 为复常数，c 为实常数 证明：圆周的实方程可表示为：220xy Ax By c ++++=，代入, 22z z z z x y i +-==，并注意到222x y z zz +==，由此 022z z z zzz A B c i+-+++=， 整理，得022A Bi A Bizz z z c -++++=记2A Bi a +=，则2A Bia -=，由此得到0zz az az c +++=，结论得证。
12．证明：幅角主值函数arg z 在原点及负实轴上不连续。
证明：首先，arg z 在原点无定义，因而不连续。
对于00x <，由arg z 的定义不难看出，当z 由实轴上方趋于0x 时，arg zπ→，而当z 由实轴下方趋于0x 时，arg z π→-，由此说明0lim arg z x z →不存在，因而arg z 在0x 点不连续，即在负实轴上不连续，结论得证。
13．函数1w z=把z 平面上的曲线1x =和224x y +=分别映成w 平面中的什么曲线？解：对于1x =，其方程可表示为1zyi =+，代入映射函数中，得211111iyw u iv z iy y-=+===++， 因而映成的像曲线的方程为 221, 11yu v y y-==++，消去参数y ，得 2221,1u v u y +==+即22211()(),22u v -+=表示一个圆周。
对于224x y +=，其方程可表示为2cos 2sin z x iy i θθ=+=+代入映射函数中，得11cos sin 2cos 2sin 2i w u iv z i θθθθ-=+===+因而映成的像曲线的方程为 11cos , sin 22u v θθ==-，消去参数θ，。
