第一章习题解答
（一）
1
．设z ，求z 及Arcz 。
解：由于3i z e π-== 所以1z =，2,0,1,
3
Arcz k k ππ=-+=±。
2
．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12
z z 。
解：由于6412,2i i z e z i e ππ
-==== 所以()6
46
41212222i i i
i
z z e e
e
e π
πππ
π
--===
54()14612
26
11222i
i i i z e e e z e πππππ
+-===。 3．解二项方程44
0,(0)z a a +=>。
解：1
244
4
(),0,1,2,3k i
i z
a e ae
k ππ
π+====。
4．证明2
2
21212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。
证明：由于2
2
2
1212122Re()z z z z z z +=++
2
2
2
12
12122Re()z z z z z z -=+-
所以2
2
21212
122()z z z z z z ++-=+
其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3
是内
接于单位圆
1
=z 的一个正三角形的顶点。
证 由于1
321
===z z z
，知
321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。
因为
3
33
31z z z ==
()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=
21212z z z z ++=
所以， 1212
1-=+z z z z ，
又
)
())((1221221121212
21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-
()322121=+-=z z z z
故 3
21
=-z z ，
同理
3
3231=-=-z z z z ，知
321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。
6．下列关系表示点z 的轨迹的图形是什么？它是不是区域。 （1） 1212,()z z z z z z -=-≠； 解：点
z 的轨迹是1
z
与2z 两点连线的中垂线，不是区域。
（2）4z z ≤-； 解：令z x yi =+
由(4)x yi x yi +≤-+，即2222(4)x y x y +≤-+，得2x ≤ 故点
z 的轨迹是以直线2x =为边界的左半平面（包括直线2x =）；不是区域。
（3）
1
11
z z -<+ 解：令z x yi =+，
由11z z -<+，得22(1)(1)x x -<+，即0x >； 故点
z 的轨迹是以虚轴为边界的右半平面（不包括虚轴）；是区域。
（4）0arg(1),2Re 34
z z π
<-<≤≤且；
解：令z x yi =+
由0arg(1)42Re 3z z π⎧<-<⎪⎨⎪≤≤⎩，得0arg
1423y x x π⎧
<<⎪-⎨⎪≤≤⎩
，即0123y x x <<-⎧⎨
≤≤⎩ 故点
z 的轨迹是以直线2,3,0,1x x y y x ====-为边界的梯形（包括直线2,3x x ==；
不包括直线0,1y y x ==-）；不是区域。 （5）2,1z z >>且-3； 解：点
z 的轨迹是以原点为心，2为半径，及以3z =为心，以1为半径的两闭圆外部，
是区域。
（6）Im 1,2z z ><且； 解：点
z 的轨迹是位于直线Im 1z =的上方（不包括直线Im 1z =），且在以原点
为心，2为半径的圆内部分（不包括直线圆弧）；是区域。
（7）2,0arg 4
z z π
<<<
且；
解：点
z 的轨迹是以正实轴、射线arg 4
z π=及圆弧1z =为边界的扇形（不包括边界），
是区域。 （8）131
,2222
i z z i -
>->且 解：令z x yi =+
由1223122i z z i ⎧->⎪⎪⎨⎪->
⎪⎩
，得2
211
()2431()24
x y x y ⎧+->⎪⎪⎨
⎪+->⎪⎩ 故点
z 的轨迹是两个闭圆2
21131
(),()2424
x
y x y +-=+-=的外部，是区域。
7．证明：z 平面上的直线方程可以写成C z a z a =+（a 是非零复常数，C 是实常数） 证 设直角坐标系的平面方程为
Ax By C +=将
11
Re (),Im ()22x z z z y z z z i
==+==-代入，得
C z B A z B A =-+-)i (21
)i (21
令
)i (21B A a +=
，则)i (21
B A a -=，上式即为
C z a z a =+。
反之：将,z x yi z x yi =+=-，代入C z a z a =+ 得()()a a x ia ia y c ++-= 则有
Ax By C +=；即为一般直线方程。
8．证明：
z 平面上的圆周可以写成
0.Azz z z c ββ+++=
其中A 、C 为实数，0,A β≠为复数，且2
AC β>。
证明：设圆方程为
