. .. .. 资料.习题一答案1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+（2）(1)(2)i i i --（3）131i i i--（4）8214i i i -+-解：（1）1323213iz i -==+， 因此：32Re , Im 1313z z ==-，（2）3(1)(2)1310i i iz i i i -+===---， 因此，31Re , Im 1010z z =-=，（3）133335122i i iz i i i --=-=-+=-， 因此，35Re , Im 32z z ==-，（4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re 1, Im 3z z =-=，2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）1-+（3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ-（5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cossin22iii e πππ=+=（2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+....3． 求下列各式的值： （1）5)i -（2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（56解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+- （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- （5=（6）=4．设12 ,z z i ==-试用三角形式表示12z z 与12z z 解：12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，5． 解下列方程： （1）5()1z i +=（2）440 (0)z a a +=>解：（1）z i +=由此25k i z i ei π=-=-，(0,1,2,3,4)k =（2）z==..页脚11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：), 1), 1), )i i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,zx iy =+z x y≤≤+证明：首先，显然有z x y =≤+；其次，因222,x y x y +≥固此有2222()(),x y x y +≥+从而z =≥。
（2）对任意复数12,,z z 有2221212122Re()z z z z z z +=++证明：验证即可，首先左端221212()()x x y y =+++，而右端2222112211222Re[()()]x y x y x iy x iy =+++++-2222112212122()x y x y x x y y =+++++221212()()x x y y =+++，由此，左端=右端，即原式成立。
（3）若a bi +是实系数代数方程101100nn n a za z a z a --++++=的一个根，那么a bi -也是它的一个根。
证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，()nn z z =，由此得到：10110()()0nn n a z a z a z a --++++=由此说明：若z 为实系数代数方程的一个根，则z 也是。
结论得证。
（4）若1,a =则,b a ∀≠皆有1a ba ab-=-证明：根据已知条件，有1aa =，因此：11()a b a b a b a ab aa ab a a b a ---====---，证毕。
（5）若1, 1a b <<，则有11a bab-<-....证明：222()()a b a b a b a b ab ab -=--=+--，2221(1)(1)1ab ab ab a b ab ab -=--=+--，因为1, 1a b <<，所以，2222221(1)(1)0a b a b a b +--=--<，因而221a b ab-<-，即11a bab-<-，结论得证。
7．设1,z ≤试写出使n z a +达到最大的z 的表达式，其中n 为正整数，a 为复数。
解：首先，由复数的三角不等式有1n n z a z a a +≤+≤+，在上面两个不等式都取等号时n z a +达到最大，为此，需要取n z 与a 同向且1n z =，即nz 应为a 的单位化向量，由此，na z a=， 8．试用123,,z z z 来表述使这三个点共线的条件。
解：要使三点共线，那么用向量表示时，21z z -与31z z -应平行，因而二者应同向或反向，即幅角应相差0或π的整数倍，再由复数的除法运算规则知2131z z Arg z z --应为0或π的整数倍，至此得到：123,,z z z 三个点共线的条件是2131z z z z --为实数。
9．写出过1212, ()z z z z ≠两点的直线的复参数方程。
解：过两点的直线的实参数方程为：121121()()x x t x x y y t y y =+-⎧⎨=+-⎩， 因而，复参数方程为： 其中t 为实参数。
10．下列参数方程表示什么曲线？（其中t 为实参数）（1）(1)z i t =+（2）cos sin z a t ib t =+（3）iz t t=+..页脚解：只需化为实参数方程即可。
（1）,x t yt ==，因而表示直线y x =（2）cos ,sin x a t y b t ==，因而表示椭圆22221x y a b+=（3）1,x t yt==，因而表示双曲线1xy = 11．证明复平面上的圆周方程可表示为0zz az az c +++=， 其中a 为复常数，c 为实常数 证明：圆周的实方程可表示为：220x y Ax By c ++++=，代入, 22z z z z x y i+-==，并注意到222x y z zz +==，由此 022z z z z zz AB c i+-+++=， 整理，得022A Bi A Bizz z z c -++++= 记2A Bi a +=，则2A Bi a -=，由此得到 0zz az az c +++=，结论得证。
12．证明：幅角主值函数arg z 在原点及负实轴上不连续。
证明：首先，arg z 在原点无定义，因而不连续。
对于00x <，由arg z 的定义不难看出，当z 由实轴上方趋于0x 时，arg z π→，而当z 由实轴下方趋于0x 时，arg zπ→-，由此说明0lim arg z x z →不存在，因而arg z 在0x 点不连续，即在负实轴上不连续，结论得证。
13．函数1w z=把z 平面上的曲线1x =和224x y +=分别映成w 平面中的什么曲线？解：对于1x =，其方程可表示为1zyi =+，代入映射函数中，得211111iyw u iv z iy y-=+===++， 因而映成的像曲线的方程为221, 11yu v y y-==++，消去参数y ，得....2221,1u v u y +==+即22211()(),22u v -+=表示一个圆周。
对于224xy +=，其方程可表示为2cos 2sin z x iy i θθ=+=+代入映射函数中，得 因而映成的像曲线的方程为11cos , sin 22uv θθ==-，消去参数θ，得2214u v +=，表示一半径为12的圆周。
14．指出下列各题中点z 的轨迹或所表示的点集，并做图：解：（1）0 (0)z z r r -=>，说明动点到0z 的距离为一常数，因而表示圆心为0z ，半径为r 的圆周。
（2）0,z z r -≥是由到0z 的距离大于或等于r 的点构成的集合，即圆心为0z 半径为r 的圆周及圆周外部的点集。
（3）138,z z -+-=说明动点到两个固定点1和3的距离之和为一常数，因而表示一个椭圆。
代入,z x iy ==化为实方程得（4）,z i z i +=-说明动点到i 和i -的距离相等，因而是i 和i -连线的垂直平分线，即x轴。
（5）arg()4z i π-=，幅角为一常数，因而表示以i 为顶点的与x 轴正向夹角为4π的射线。
15．做出下列不等式所确定的区域的图形，并指出是有界还是无界，单连通还是多连通。
（1）23z <<，以原点为心，、外圆半径分别为2、3的圆环区域，有界，多连通（2）arg (02)z αβαβπ<<<<<，顶点在原点，两条边的倾角分别为,αβ的角形区域，无界，单连通（3）312z z ->-，显然2z ≠，并且原不等式等价于32z z ->-，说明z 到3的距离比到2的距离大，因此原不等式表示2与3连线的垂直平分线即x =2.5左边部分除掉x =2后的点构成的集合，是一无界，多连通区域。
（4）221z z --+>，..页脚显然该区域的边界为双曲线221z z --+=，化为实方程为2244115x y -=，再注意到z 到2与z 到-2的距离之差大于1，因而不等式表示的应为上述双曲线左边一支的左侧部分，是一无界单连通区域。
（5）141z z -<+，代入z x iy =+，化为实不等式，得所以表示圆心为17(,0)15-半径为815的圆周外部，是一无界多连通区域。
习题二答案1． 指出下列函数的解析区域和奇点，并求出可导点的导数。
（1）5(1)z -（2）32ziz +（3）211z +（4）13z z ++ 解：根据函数的可导性法则（可导函数的和、差、积、商仍为可导函数，商时分母不为0），根据和、差、积、商的导数公式及复合函数导数公式，再注意到区域上可导一定解析，由此得到：（1）5(1)z -处处解析，54[(1)]5(1)z z '-=-（2）32z iz +处处解析，32(2)32z iz z i '+=+（3）211z +的奇点为210z +=，即z i =±，（4）13z z ++的奇点为3z =-，2． 判别下列函数在何处可导，何处解析，并求出可导点的导数。
