. .. .
. 资料.
习题一答案
1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：
（1）1
32i
+（2）(1)(2)i i i --
（3）131i i i
--（4）821
4i i i -+-
解：（1）1323213i
z i -==
+， 因此：32
Re , Im 1313z z ==-，
（2）3(1)(2)1310
i i i
z i i i -+===
---， 因此，31
Re , Im 1010z z =-=，
（3）133335122
i i i
z i i i --=-=-+=
-， 因此，35
Re , Im 32z z ==-，
（4）821
41413z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re 1, Im 3z z =-=，
2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2
）1-+（3）(sin cos )r i θθ+
（4）(cos sin )r i θθ-（5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤
解：（1）2
cos
sin
2
2
i
i
i e π
π
π
=+=
（2
）1-+23
222(cos sin )233
i i e πππ=+=
（3）(sin cos )r i θθ+()2
[cos()sin()]22i
r i re
π
θππ
θθ-=-+-=
（4）(cos sin )r i θ
θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=
（5）2
1cos sin 2sin 2sin cos 222
i i θ
θθ
θθ-+=+
..
..
3． 求下列各式的值： （1
）5)i -（2）100100(1)(1)i i ++-
（3
）(1)(cos sin )
(1)(cos sin )
i i i θθθθ-+--（4）
23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-
（5
6
解：（1
）5)i -5[2(cos()sin())]66
i ππ
=-+- （2）100
100(1)
(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-
（3
）(1)(cos sin )
(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--
（4）2
3
(cos5sin 5)(cos3sin 3)
i i ϕϕϕϕ+- （5
=
（6
）
=4．
设12 ,z z i =
=-试用三角形式表示12z z 与12z z 解：1
2cos
sin
, 2[cos()sin()]4
466
z i z i π
π
ππ
=+=-+-，所以
12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212
i i ππππππ
=-+-=+，
5． 解下列方程： （1）5
()
1z i +=（2）440 (0)z a a +=>
解：（1
）z i +=由此
25
k i z i e
i π=-=-，(0,1,2,3,4)k =
（2
）z
==
.
.页脚
11
[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的
4
个根分别为：
), 1), 1), )i i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,z
x iy =+
z x y
≤≤+
证明：首先，显然有z x y =≤+；
其次，因2
22,x y x y +≥固此有2222()(),x y x y +≥+
从而
z =≥
。
（2）对任意复数12,,z z 有2
2
2
1212122Re()z z z z z z +=++
证明：验证即可，首先左端2
21212()()x x y y =+++，
而右端2222112211222Re[()()]x y x y x iy x iy =
+++++-
2222112212122()x y x y x x y y =+++++221212()()x x y y =+++，
由此，左端=右端，即原式成立。 （3）若a bi +是实系数代数方程101100n
n n a z
a z a z a --++
++=
的一个根，那么a bi -也是它的一个根。
证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，()n
n z z =，
由此得到：10110()
()0n
n n a z a z a z a --++
++=
由此说明：若z 为实系数代数方程的一个根，则z 也是。结论得证。 （4）若
1,a =则,b a ∀≠皆有
1a b
a ab
-=-
证明：根据已知条件，有1aa =，因此：
1
1()a b a b a b a ab aa ab a a b a ---====---，证毕。
（5）若1, 1a b <<，则有
11a b
ab
-<-
