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（二）极限思维与微积分从小到大学了那么多年的数学，可如果你问我，最喜欢你所学的哪一块数学知识。
我会毫不犹豫的回答：微积分！在我心里，微积分是数学这门学科里面的类似于杀手锏的工具，也是整个现代数学的璀璨的基础理论之一！而微积分的思想简直太光彩夺目，个人觉得是人类思想史上的丰碑之一！说微积分就不得不说极限。
一、两个流传甚广的问题我们先看两个广泛流传的问题，你肯定也听说过，或者听说过它们的各种版本。
（1）0.91=这是网络上流传甚广的问题，用来向人们展现出数学匪夷所思的一面。
有的人将它们当成数学里面的矛盾或者悖论。
这实际上都是数学知识匮乏的一种表现。
这个问题学过微积分应该都能回答。
我们先来看网上的证明过程，如下 10.33130.33310.9=∴⨯=⨯∴= 因此有很多人都大吃一惊，因为0.9再怎么大，也不能达到1，永远是趋近于1，所以不可能与1相等。
但是上面的等式又实实在在的证明了0.91=。
问题出在哪里？问题就出在，等式这个概念上。
上面的式子并不是大众熟知的那种等式。
实际上无限循环小数化成一个分数，在数学上是用极限理论进行严格证明的，也就是说10.33=这中间不是我们所熟知的那种等号，而且极限意义下的相等；或者说是0.3的极限是13。
总之这里的等号代表的是极限证明的过程。
但是因为无限循环小数化成分数是普遍得到证明，而且方法也较为套路，所以在习惯上就直接写一个简单的等号来表示，而省略了极限求解的那个过程。
所以上面的式子，严格来说，每一步都应该读作“右边的极限等于左边”，而不是“右边等于左边”。
理解了上面的式子的等号的真正含义，就能明白，这根本不是一个矛盾。
只不过是人们习惯下，想书写简便的一个美丽的误会而已。
而这误会的背后，是极限理论的璀璨光辉。
（2）追不上的乌龟追不上的乌龟是芝诺的一个著名的悖论。
在这里重复叙述如下。
话说阿基里斯号称希腊第一勇士。
阿基里斯让乌龟先跑一百米。
阿基里斯再追这只乌龟，当阿基里斯追上乌龟原来的位置的时候，乌龟又已经跑出一段距离了。
微积分与极限思想数学科学学院宋璞06205010微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题，其中充满了深刻的辨证法。
借助极限思想，人们可以从直线认识曲线，从静止认识运动，从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变。
极限思想是人类认识水平进步的产物。
认识论不外乎可知论和不可知论。
可知论和不可知论的矛盾，就是主体理性的有限性和存在的无限性的矛盾，而解决这一矛盾的正是微积分理论的创始人：牛顿和莱布尼茨，是他们给人类带来了有史以来最伟大的思想——极限思想，让我们明白无穷逼近而又永远无法达到，不仅是可能的而且是现实的。
“无穷逼近”是可知论的思想，“永远达不到”是不可知论的思想。
把极限引入哲学，主体理性和存在之间的有限与无限的矛盾变成了充分融合的事实。
微积分从产生到定型成今天的形式，经历了三个不同的阶段：以神秘的无穷小为基础的牛顿和莱布尼茨阶段；以动态的极限概念为基础的柯西阶段和以静态的量的概念为基础的魏尔斯特拉斯阶段。
三个阶段之间既有内在联系，又有认识上的区别，是一个不断发展和运动的历史演变过程。
这其中体现了一种唯物辩证法的科学方法论。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。
作为微分学基础的极限理论来说，早在古代就有比较清楚的论述。
比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。
”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
法国数学家费尔马在1637年的手稿《求最大值和最小值的方法》中提出了使用无限小量求极值点的方法,几乎相当于微分学中的方法,只是以符号e代替了 .增量x微积分刚一形成，就在各个领域得到广泛应用。
极限思想在微积分中的应用
极限思想是数学中一种基本概念，它在微积分中也是一种有用抽象思维模式，
受到各个领域的青睐。
极限思想，起源于18世纪德国哲学家康德，它可以将问题从宏观范围转向微
观范围，以更加深入地分析问题，并推出有效的解决方案。
极限思想其实是一种思考方式，它使用无限近似的思想来推断一个函数的接近值，从而得到函数的近似值，运用它能够求出极限值，求微分和积分，在函数分析学中具有重要意义。
在微积分中，极限思想被广泛应用于函数分析，它可以求出无限多个分析参数，而不需要对函数进行精确级别的数值分析。
极限思想的运用可以得到函数的极限值，可以求出函数的微分和积分，从而找出函数的最佳表达形式。
极限思想不仅可以用于微积分，而且还可以被广泛应用于物理、化学和计算机
科学等多个领域，它能帮助我们更好地理解某种特定的问题，以及思考应对更大的问题，以达到更完美的抽象表达。
总之，极限思想在微积分中有着重要作用，可以更准确地表达不同函数之间的
关系，复杂问题也得到了更为直观的抽象表达。
微积分学中的极限思想分析微积分学中的极限思想是一种重要的数学分析方法，深入研究物体的变化规律。
通过分析物体在某个变量趋于无穷大或趋近某个特定值时的变化特征，求解极限，进而研究函数的连续性、导数、积分等数学概念和定理。
极限的思想最早可以追溯到古希腊数学家阿基米德，他通过逐步逼近的方法来求解素数的上限，并得出了著名的阿基米德螺线。
而极限的理论正式建立起来，主要归功于17世纪的数学家纳波利昂·维尔斯特拉斯和18世纪的数学家列奥内尔·欧拉。
他们通过推导出一系列有关极限的定理和性质，使得极限成为微积分学中的核心概念。
在微积分学中，极限的定义是通过自变量趋于某个特定值时函数值的趋势来描述的。
当自变量x趋近于某个实数a时，函数f(x)的极限记作：lim (x→a) f(x) = L其中L可以是实数、无穷大、无穷小或者不存在。
极限的存在性可以通过一系列的推理和证明来判断。
常用的判定极限的方法有数列极限判定法、函数极限判定法、单调有界性准则等。
通过应用这些方法，可以判定极限是否存在，进而求出极限的具体值。
极限的概念在微积分学中的应用非常广泛。
一方面，极限可以用来研究函数的连续性。
如果一个函数在某个点a处的极限存在，并且与函数在该点的实际取值相等，那么该函数在该点处连续。
极限可以用来研究函数的导数和积分。
通过计算函数的极限，可以推导出函数的导数和积分的性质，进而求解函数的导数和积分。
在微积分学中，极限还可以应用于解决各种实际问题。
通过计算函数在某个点处的极限，可以求解函数在该点处的变化率，进而应用到物理学、经济学等领域中的实际问题。
通过极限还可以研究无穷小量和无穷大量的性质，应用于概率论、统计学等领域的研究中。
微积分学中的极限思想分析
微积分学是基于极限思想发展起来的数学学科。
它的基本思想是“趋近于”或“无限
逼近”的概念，即用极限来描述一些趋于无穷大或无穷小的数学对象。
极限的概念源于古希腊时期的数学问题，当时人们研究圆周率时，发现无论如何勾画
多边形，最终都不能完全逼近圆的周长。
这种情况引发了无穷逼近与极限的思考。
形式上，当一个函数在接近某一点时，如果它的值逐渐趋近于一个定值，那么这个定
值就是该函数在该点的极限。
极限的概念是微积分学中的基本概念之一，它与导数和积分
密切相关。
在微积分学中，对于一个光滑的曲线来说，我们无法知道它在任何一点的切线
斜率，但是我们可以通过求解该点的极限来确定其切线斜率。
极限的概念非常重要，因为它帮助我们理解和解决许多微积分学问题。
例如，我们可
以使用极限来计算函数在某一点的导数，这样就可以找到函数的最大值和最小值。
此外，
极限还使我们能够计算大量的积分和无穷级数。
在微积分学中，极限的概念也与连续性密切相关。
如果一个函数在某一点的极限等于
该点的函数值，并且在该点左右都有定义，那么该函数在该点就是连续的。
这种连续性可
以用来解决许多实际问题，例如描述连续的曲线上的点的速度和加速度。
总之，在微积分学中，极限的概念是非常重要的。
它可以帮助我们解决许多数学问题，从而更好地理解物理和工程等实际问题。
极限的概念的发展也是数学研究中的一个重要里
程碑，它将数学推向了一个新的领域，并在科学研究中发挥着重要作用。
微积分学教学中的极限思想极限思想定义为一个数列或函数在无限趋近于某个点时所具有的性质。
简单来说，极限描述了一个变量在无穷大或无穷小的情况下所表现出来的行为。
在微积分学中，极限的概念被广泛应用，如求导、积分、级数展开等等。
极限具有一些重要的性质。
例如，极限的唯一性表明，数列或函数的极限点是唯一的；保序性表明，如果一个数列的每一项都比另一个数列的大，那么它们的极限也具有相同的顺序；还有归结原则，它表明如果一个数列的极限存在，那么它的子数列的极限也必定存在且相等。
微积分基本定理是微积分学中的一个重要定理，它用极限的思想阐述了导数和积分之间的关系。
简单来说，微积分基本定理表明，函数的导数等于函数在某一点的瞬时变化率，而函数的积分则等于函数在某个区间上的面积。
这个定理将极限的思想贯穿了微积分的始终，是微积分学的核心。
极限思想在微积分学中的应用非常广泛。
例如，利用极限的概念求函数的导数和积分；还有级数展开，即将一个函数展开成无穷级数的形式，以便于计算和研究它的性质。
极限思想还在微分方程、多元函数等领域有着广泛的应用。
极限思想是微积分学教学中的核心概念之一。
它不仅是一种数学思想，更是一种科学思考方式。
通过极限思想，我们可以更好地理解函数的变化趋势、无穷小量和无穷大量等方面的概念，以及它们在数学分析和实际问题中的应用。
因此，在微积分学教学中，教师应该注重极限思想的讲解和应用，帮助学生深刻理解和掌握这一重要概念，为后续的学习和研究打下坚实的基础。
随着科学技术的发展，极限思想在各个领域的应用越来越广泛，尤其在数学、物理、工程和技术等领域发挥着至关重要的作用。
在微积分学教学中，教师应该紧密结合实际应用，让学生更好地了解极限思想的实际价值，激发学生的学习热情和兴趣。
教师还应该引导学生主动思考和探索极限思想在其他学科和生活中的应用，培养学生的创新意识和实践能力。
极限思想是微积分学教学的核心和灵魂，是数学分析和实际问题中不可或缺的重要概念。
微积分学中的极限思想分析微积分学中，极限是一个十分重要的概念，也是微积分学的核心之一。
极限本身是一个不断接近某一值的过程，有着重要的数学和物理应用。
在微积分学中，极限的思想被广泛运用于求导、积分、级数等方面。
下面将从数学角度，对极限的概念、性质、求解等内容进行详细分析。
一、极限的概念极限是指一个数列或者函数，当其中一个自变量趋于某一特定值时，函数值或者数列项的趋势，通常可以被表示为“接近于一个常数”的情形。
在微积分学中，比较常用的是针对函数的极限概念。
因为函数的极限实际上就是在函数自变量无限逼近某个值的情况下，函数的值接近什么值或者趋势怎样。
对于一个函数f(x)，当x趋近于某个值a时，如果函数f(x)的值趋近于L，那么我们就称函数f(x)在x趋近于a时的极限是L，记为lim_{x→a}f(x)=L。
在此基础上，我们可以讨论已经泛化的左右极限、无限极限等。
二、极限的性质极限具有一系列非常重要的性质，这些性质在微积分学中也是极其重要的。
这里从以下几个方面一一介绍。
1. 一个函数的极限必须相等，而且唯一对任意的ε>0，只需取一定的δ>0，当|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε。
这意味着，对于同一个x，当它趋近于a时，与a点无关的ε都有同样的效果。
因此，在一个给定的函数中，它的极限应该唯一。
2. 保号性若 $\begin{aligned} \text{lim}_{x\rightarrow a}f(x)=b,\\\text{lim}_{x\rightarrow a}g(x)=c, \end{aligned}$ 且 $\begin{aligned} b>0,\\ c>0. \end{aligned}$ 则存在一小的数 $\delta>0$ 使得 $\begin{aligned} f(x)>0,\\ g(x)>0, \end{aligned}$ 都对 $\begin{aligned} a-\delta<x<a+\delta \end{aligned}$ 成立。
微积分学中的极限思想分析极限是微积分学中非常重要的思想工具，它是数学分析的核心概念之一。
通过极限，我们可以研究函数的连续性、导数的定义、函数的增减性等等问题。
在微积分学中，极限可以用来描述一些无法准确计算的变化趋势。
我们知道一辆汽车在一段时间内的行驶距离与时间的关系可以用函数来表示，但是如果我们想知道这辆汽车在某个具体时刻的瞬时速度，就需要用到极限的概念。
我们可以通过计算汽车在时间间隔趋近于0的时候的平均速度来近似地得到瞬时速度。
极限思想在微积分学中的应用非常广泛。
可以用极限来定义函数的连续性。
如果一个函数在某一点的左极限和右极限存在并且相等，那么这个函数在这一点是连续的。
极限还可以用来定义导数。
导数表示函数在某一点的变化率，可以通过计算函数在该点左极限和右极限的差值来近似计算导数。
而对函数进行积分也可以通过极限的思想来实现。
定积分可以看作是对函数的极限进行求和的极值过程。
极限的计算过程中需要满足一定的条件。
其中一个重要的条件是极限存在的唯一性。
如果一个函数的极限存在，那么它的极限值是唯一的。
极限还有一些基本的运算规则。
如果两个函数的极限都存在，那么它们的和、差、乘积和商的极限也都存在，并且可以通过这些极限的性质来计算。
极限的计算还可以通过一些常用的方法来进行，例如夹逼定理、洛必达法则等。
极限的思想也可以应用到无穷级数的研究中。
无穷级数是由若干无穷多个数相加或相乘而得到的表达式，如等比级数、调和级数等。
通过对无穷级数中每一项的极限进行分析，可以判断级数是否收敛或发散，并计算其和。
在微积分的学习过程中，极限思想是非常重要的。
它不仅帮助我们理解函数的性质，还可以应用到实际问题的求解中。
极限的概念和方法在微积分学中是非常基础的，掌握了极限思想，可以为我们打下坚实的数学基础，并为我们进一步学习微积分的高级理论和应用提供支持。
微积分学中的极限思想分析微积分学中的极限思想是微积分学的重要基础，是现代数学的重要概念之一。
它为我们理解和处理函数的性质提供了一种有效的工具和方法。
本文将从极限的定义、性质以及在微积分中的应用等方面对极限思想进行分析。
极限的定义是微积分学中的基本概念之一。
在数学中，极限的定义通常使用符号“lim”来表示。
对于一个数列或者一个函数f(x)，当自变量x的值无限靠近某个特定的数a时，如果函数f(x)的值趋近于一个确定的数L，那么我们就说函数f(x)在x趋近于a 时的极限为L，表示为lim f(x) = L。
这个定义表明了函数在某一点附近的行为，并且是我们进一步研究函数性质和求解微积分问题的基础。
极限具有一些重要的性质。
极限的唯一性性质：当一个函数在某一点的极限存在时，它的极限是唯一的。
极限的保序性性质：如果函数f(x)在某一点的极限存在，并且对于自变量x的所有值来说，f(x)≤g(x)，那么函数g(x)在该点的极限也存在，并且f(x)的极限小于等于g(x)的极限。
极限的四则运算性质：如果函数f(x)和g(x)在某一点的极限都存在，那么它们的和、差、积、商的极限也存在，并且可根据相应运算规律进行计算。
在微积分学中，极限思想被广泛应用于求解导数和积分等问题。
导数的定义就是基于极限思想而建立的。
导数表示了函数在某一点的变化率，是一种极限的概念。
通过求函数在某一点的极限的方法，可以得到函数在该点的导数，并进一步研究函数在整个定义域上的性质。
积分也是基于极限思想进行定义的。
通过对函数在某一区间上的极限进行求解，可以得到该区间上的积分值，进而求解一些面积、体积和曲线长度等问题。
极限思想还可以应用于解决一些极值问题、级数收敛性判断以及函数图像的绘制等。
对于极值问题来说，通过对函数在某一点的极限进行分析，可以找到函数的最大值或最小值。
对于级数的收敛性判断来说，通过对级数通项的极限进行分析，可以判断级数是否收敛。
对于函数图像的绘制来说，通过对函数在一段区间内的极限进行分析，可以研究函数的单调性和凸凹性。
极限思想与微积分学关系探讨
极限思想与微积分之间的联系紧密.在微积分的创立和发展过程中，牛顿、莱布尼兹等数学家以无穷思想为重要依据，成功地利用无穷小方法、无限过程之间的联系进行推理、运算，获得了一系列的研究成果.这为极限思想的发展和完善奠定了坚实的基础.通过数学家们的努力，极限理论逐步得到了完善.
一、极限思想的应用
人们很早就应用了极限的思想.例如欧多克索斯的穷竭法，阿基米得的圆、球、抛物线图形求积法.此外，我国古代数学家对此也做过很多的工作，如刘徽的割圆术、祖恒之的截面原理等.
17 世纪上半叶，德国天文学家、数学家开普勒在（Kepler，1571-1630）1615 年发表的《酒桶的立体几何》中，论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法.他的无限小元法是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积.他认为球的体积是无数个顶点在球心、底面在球上的小圆锥的体积的和，从而得出球的体积是球的面积与球的半径乘积的1/3.他将圆周看成是有无限多个边的正多边形，于是圆就被视为以这些多边形的边为底、顶点在圆心的三角形之和，从而得出圆的面积等于圆周长与圆半径乘积的1/2.与此同时，他还用无穷小方法算出了圆环体、圆柱等的体积.虽然这些计算都是不严谨的，但是他得出的结果却是正确的.这些简单易行的方法，同我们现在采用的“微元法”有着相似之处.开普勒是第一个在求积中运用无穷小方法的数学家，这是他对积分学的最大贡献.
1629年，法国数学家费马首次获得了求函数极值的法则，用类似方法他还求出了平面曲线的切线，抛物线体积的重心和拐点;用极限求出了抛物线的面积等.
意大利数学家、伽利略的学生、波伦那大学教授卡瓦列（Cavalieri，
1598-1647）在开普勒和伽利略的影响下，得出不可分量法.1635年他在其著作《用新方法推进的连续的不可分量的几何学》中系统地发展了不可分量法.他认为点运动形成线，线运动形成面，体积则是由无穷多个平行平面组成的，并分别把这些元素叫作线、面和体的不可分量.他建立了一条关于这些不可分量的一般原理（后称卡瓦列里原理），并利用不可分量法推算出椭圆的面积为πab.卡瓦列里的不可分量被看成是以几何形式表示的无穷小量，这种用不可分量法求和的思想为后来定积分概念的形成奠定了基础.但由于他的不可分量法回避了求极限的过程，因而在论证上缺乏严密性.
英国的数学家巴罗（Barrow，1630-1677）是牛顿的老师，也是英国皇家学会的首批会员.他在1669年出版的著作《几何讲义》中，利用所谓微分三角形或者特征三角形求出了曲线的斜率.他的方法的实质是把切线看作割线的极限位置，并利用忽略高阶无限小的项来求极限.
这些先驱者在研究极限的过程中为微积分的创立积累了大量的资料，而这些资料无一不是以极限的思想为基石一步一步堆积起来的.
二、微积分的创立
1.牛顿的工作
牛顿（Newton，1642 -1727）发现微积分首先得益于其老师巴罗，巴罗关于“微分三角形”的思想给他带来的影响极大，另外费马（Fermat，1601-1665）
的切线方法和沃利斯（Wallis，1616-1703）的《无穷算术》也给了他很大的启发.
牛顿是总结和发展了前人的思想，得出关于微积分的理论. 1666年，牛顿写出第一篇关于微积分的论文《流数短论》，在该文中首先提出了流数概念.1671年，牛顿完成了《流数法与无穷级数》（1736年出版），牛顿进一步对自己的思想作了更广泛更明确的说明，系统的引进了他所独创的概念和记法.他将变量称作“流”，将变量的变化率称作“流数”.
1676年，牛顿完成了另一部著作《求曲边形的面积》（1704年出版），提出了“最初比”和“最后比”两个新概念，并且明确的给出了将导数作为增量比的极限思想.
1711年，牛顿发表了《运用无穷多项方程的分析学》.在这本书中，他运用了无限小的方法和二项式定理，扩大了微积分的应用范围.采用了面积的无限小矩形，找到了曲边梯形求积的一般方法.牛顿不仅给出了求一个变量对另一个变量的瞬时变化率的普遍方法，而且證明了面积可以用无穷小面积的和来表示，进而证明了这样的和能通过由求变化率的逆过程得到.牛顿将和的极限用于微分中得到我们今天所说的微积分基本定理.
牛顿始终不渝地努力改进、完善自己的微积分学说，经过20年左右的时间，他的微积分从以无穷小为基础，转变为以极限为基础.但由于时代或认识的局限性，牛顿始终没能给出无穷小和极限的严格定义，但瑕不掩瑜，他将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来.正是因为这，我们说牛顿创立了微积分.
2.莱布尼茨的工作
德国自然科学家、数学家、哲学家莱布尼茨（Leibniz，1646 -1716）从研究几何问题入手完成了微积分的基本计算理论，引进了常量、变量和参考变量的概念.他把微积分称为“无穷小算法”.他建立的微积分也是以无穷小为基础的.创建了微积分的符号及积分符号，并提出了函数的和、差、积、商的微分法则和在积分量下对参变量求微分的方法以及旋转体体积公式.
1684年，莱布尼茨在《博学文摘》上发表了第一篇论文，文中提出了切线、极大值、极小值和拐点的方法.但他对微积分学基础的解释和牛顿一样也是含混不清的，由于缺少严密的定义，有时他把无穷小微分作为有限的确定的量，有时又作为无穷小舍去.
然而，两位数学家的贡献也有所不同.牛顿较多的注重于创立微积分的体系和基本方法，从考虑变化率的角度出发解决面积和体积问题.而莱布尼茨更多地关心微积分运算公式的建立和推广，从而建立了微积分法则和公式.
三、对极限和微积分的进一步研究
继牛顿和莱布尼茨之后，17—18世纪初产生了不少极限与微积分成果.
捷克数学家波尔查诺（Bolzano，1781-1848）是为微积分提供更加严密的基本概念的先驱.他给连续函数所下的定义第一次清楚表明，连续性观念的基础将在极限中找到.然而他的工作长期被忽略，没能引起数学家们的注意.
瑞士数学家、物理学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783年）整理了萊布尼茨的支持者——大陆派的微积分内容，先后发表了《无穷小分析应论》《微分学》《积分学》等著作.在这些著作与一系列论文中，欧拉对微积分的发展作出了伟大的贡献.（1）对函数概念进行了系统的探讨，定义了多元函数和超越函数概念，区分了显函数和隐函数，单值函数和多值函数;（2）给出了用累次积分
计算有界区域的二重积分方法;（3）研究了数列极限的存在性，并把该极限记为e;对于发散级数，把实函数的许多结果都推广到复数域，从而推动了复变函数的理论发展;（5）通过对函数极值问题的研究，解决了一般函数问题的极值问题，并成功的找到了极值函数必须满足的微分方程——欧拉方程.
法国数学家、力学家和天文学家拉格朗日（Joseph Louis lagrange，1736—1813年）试图彻底抛弃模糊不清的无穷小概念.在其名著《解析函数论》（1797年发表）中，他曾经尝试把微分、无穷小和极限与概念，从微积分中排除，用代数方法证明了泰勒展开式.由于对无穷小级数的收敛问题仍无法回避极限，因而他的“纯代数的微分学”尝试并未成功.但他对函数的抽象处理却可以说是实变函数的起点.此外，他还给出了泰勒级数的余项公式，运用极限思想研究了二元函数的极值，阐明了条件极值的理论，并研究了三重积分的变量代数式.
德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass，1815—1897）认识到微积分的基础必须建立在静态的极限的定义上.他提出了极限的静态的定义，这个定义就是我们至今仍在使用的极限的ε-N 定义.这个定义借助不等式，通过ε和N 之间的关系，定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系.该定义只用到了存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，排除了极限概念中运动的直观痕迹，给微积分提供了严谨的理论基础，也为极限思想在数学科学中赢得了合法的席位.
大部分的数学家在解决问题时都不同程度地使用了无穷小方法，进而采用了极限的思想和方法，但都没有给出明确的定义，包括被誉为微积分的创始人牛顿和莱布尼兹，他们中有很多人在创立微积分的过程中也没有给出无穷小和极限的数学定义.但这丝毫也无损于这些科学伟人的历史功绩，因为任何科学理论的创
立，都不是某个数学家凭空臆想出来的，而是社会发展的需要.从认识论的角度看，人的认识规律是由具体到抽象，那么人类对极限理论的认识和发展也不应例外.极限思想作为人类思想宝库中的一种重要思想，它的发展历程与微积分、积分学的发展有着密不可分的关系，并且极限思想在微积分发展中起了重要的作用.。
