极限思想的辩证思考与理解

极限思想的辩证思考与理解引言随着社会的快速发展，各种形式的竞争越来越激烈，只有克服自身的极限，才能在激烈的竞争中立于不败之地。

因此，人们开始尝试突破自己的极限，在这一过程中需要不断地思考，提高自己的辩证思维能力。

本文将从辩证思考的角度去探讨极限思想，分析其本质及发展趋势。

极限思想的本质极限思想是对个人身体、精神和环境等各种因素存在的极限条件，通过挑战和突破这些极限，以超越自我、实现个人价值的一种思想和行为。

可以说，极限思想是突破自身和超越自己的一种全新思维模式。

极限思想充分体现了人们对自身能力的信心和对成功的追求，同时也是一种鼓励个人克服困难和挑战自己的力量。

在实践中，极限思想不仅仅体现在运动等方面，而是涉及到个人人生各方面的挑战，如职业发展、个人成长等。

因此，极限思想的本质不仅仅是对自身的严格要求，而是通过超越极限来实现自我提高，实现人生的价值。

极限思想的发展趋势极限思想作为一种新型的思维模式，不断得到广泛的认同和运用。

随着大众生活水平的提高和人们精神追求的升级，极限思想也在不断地变化和发展中。

在过去，人们往往会将极限设定在各种身体耐力挑战活动上，如爬山、跳伞、潜水等，在这些活动中可以感受到挑战的刺激和成就的喜悦。

但现在，极限思想已经不单纯局限在体育运动上，更多地延伸到职业上、到心理上、到生活中的方方面面。

人们开始对自己的职业和人生更加关注，不断拓宽自己的思维和视野，不断挑战自己的认知界限，成为一种全新的、更加广泛的、更加深层次的思维方式。

同时，随着科技的发展和时代的变迁，人们也需要不断探索、学习更多的知识，锻炼自己的跨界思维能力。

在当前时代，各种行业之间的融合和交错，需要人们具备更多的跨界能力和解决问题的能力，需要更加跨越式的思维模式来进行创新和突破。

尤其是在互联网时代，人们必须具备开辟未知领域、创新自我的能力，始终拥有自信心和勇气，积极迎接机遇和挑战。

因此，在今后的日子里，应该将极限思想看作是人们从容应对未来挑战的重要工具和支撑点。

摘要：极限理论贯穿整个微积分学，是微积分的重要内容和难点。

认识极限思想是把握和理解极限理论的前提。

通过极限思想与辨证哲学的紧密联系，加强极限思想的辨证理解，有助于数学思维的培养和数学素养的提高。

关键词：极限思想；辨证哲学；对立统一0 引言。

微积分是研究客观世界运动现象的一门学科，我们引入极限概念对客观世界运动过程加以描述，用极限方法建立其数量关系并研究其运动结果[1]。

极限理论是微积分学的基础理论，贯穿整个微积分学。

要学好微积分，必须认识和理解极限理论，而把握极限理论的前提，首先要认识极限思想。

极限思想蕴涵着丰富的辩证思想，是变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变以及否定与肯定的对立统一。

1 极限思想与辩证哲学的联系。

1.1 极限思想是变与不变的对立统一。

“变”与“不变”反映了客观事物运动变化与相对静止两种不同状态，不变是相对的，变是绝对的，但它们在一定条件下又可相互转化。

例如，平面内一条曲线C上某一点P 的切线斜率为kp。

除P 点外曲线上点的斜率k 是变量，kp是不变量，曲线上不同的点对应不同的斜率K，斜率k 不可能等于kp，k 与kp是变与不变的对立关系；同时，它们之间也体现了一种相互联系相互依赖的关系。

当曲线上的点无限接近P 点过程中，斜率k无限接近kp，变化的量向不变的量逐渐接近。

当无限接近的结果产生质的飞跃时，变量转化为不变量，即“变”而“不变”，这体现了变与不变的统一关系。

1.2 极限思想是过程与结果的对立统一。

过程和结果在哲学上是辩证统一的关系，在极限思想中也充分体现了结果与过程的对立统一。

在上例中，当曲线上的点无限接近点P 的变化过程中，k 是变化过程，kp是变化结果。

一方面，无论曲线上点多么接近点P，都不能与点P 重合，同样曲线上变化点的斜率k 也不等于kp，这体现了过程与结果的对立性；另一方面，随着无限接近过程的进行，斜率k 越来越接近kp，二者之间有紧密的联系，无限接近的变化结果使得斜率k 转化为kp，这体现了过程与结果的统一性。

极限法的哲学思考（转自中国数学在线）极限的ε－Ｎ定义，术语抽象，符号陌生，其中的辩证关系不易搞清，学生会提出的一系列问题：描述性定义简单明白，为什么要搞个ε－Ｎ定义?它与描述性定义有什么不同?数学家怎么会想出这种“古怪而讨厌”的定义?正如Ｒ·柯朗与Ｈ·罗宾所说：“初次遇到它时暂时不理解是不足为怪的，遗憾的是某些课本的作者故弄玄虚，他们不作充分的准备，而只是把这个定义直接向读者列出，好像作些解释就有损于数学家的身份似的．”要弄清这些问题，有必要翻开数学史，从哲学的角度认识极限法，这不仅是搞清极限概念的需要，也有助于建立正确的数学观念．1什么叫极限法?所谓极限法，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学方法．极限法的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果．极限法不同于一般的代数方法，代数中的加、减、乘、除等运算都是由两个数来确定出另一个数，而在极限法中则是由无限个数来确定一个数．很多问题，用常量数学的方法无法解决，却可用极限法解决．例如，已知抛物线ｙ２＝2ｘ．（1）在抛物线上任取二点Ｐ１（ｘ１，ｙ１）、Ｐ２（ｘ２，ｙ２），经过线段Ｐ１Ｐ２的中点作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交于点Ｐ３，证明△Ｐ１Ｐ２Ｐ３的面积为（1／16）·｜ｙ１－ｙ２｜３；（2）经过线段Ｐ１Ｐ３、Ｐ２Ｐ３的中点分别作直线平行于抛物线的轴，与抛物线依次相交于Ｑ１、Ｑ２，试将△Ｐ１Ｐ３Ｑ１与△Ｐ２Ｐ３Ｑ２的面积之和用ｙ１、ｙ２表示出来；（3）依照（2）又可作出四个更小的三角形，如此继续下去可以作一系列的三角形，由此设法求出线段Ｐ１Ｐ２与抛物线所围成的图形的面积．（1965年高考数学试题第7题）在该题中，为了推导所求抛物弓形的面积，必须借助于极限法．就像坐标法是解析几何的基本方法一样，极限法是微积分的基本方法，微积分中的一系列重要概念，如函数连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限法定义的．如果要问：“微积分是一门什么学科?”那么可以概括地说：“微积分是用极限法来研究函数的一门学科．”2极限法思想是从哪儿来的?与一切科学方法一样，极限法也是社会实践的产物．极限法的思想可以追溯到古代．刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始极限观念的应用．古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于简接证法——归谬法完成有关证明．到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法证明步骤．如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用的概念的方向”．极限法的进一步发展与微积分的建立紧密联系．16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到很大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景．起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想．牛顿用路程的改变量ΔＳ与时间的改变量Δｔ之比ΔＳ／Δｔ表示运动物体的平均速度，让Δｔ无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论．他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础．他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差别，则最终就成为相等．”但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上，因而他无法得出极限的严密表述．牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当ｎ无限增大时，ａｎ无限地接近于常数Ａ，那么就说ａｎ以Ａ为极限．”这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义．但是，这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础．正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟Δｔ是否等于零?如果说是零，怎么能用它去作除法呢?如果它不是零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的无穷小悖论．英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”．贝克莱之激烈攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱．这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要而且有着认识论上的重大意义．3极限法的完善极限法的完善与微积分的严格化密切联系．在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能如愿以偿．这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚；对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解；对有限和无限的对立统一关系还不明确．这样，人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”，相互转化的辩证关系．到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义．其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量．”它接近于极限的正确定义，然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖．事情也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上面的．首先用极限概念给出导数正确定义的人，是捷克数学家波尔查诺，他把函数ｆ（ｘ）的导数，定义为差商Δｙ／Δｘ的极限ｆ′（ｘ），他强调指出，ｆ′（ｘ）不是两个零的商．波尔查诺的思想是有价值的，但关于极限的本质他仍未说清楚．到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值．”特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小．柯西把无穷小视为以0为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识，这就是说，在变化过程中，它的值可以是非零，但它变化的趋向是“零”，可以无限地接近于零．柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明确定义，然后去完成牛顿的愿望．但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等，因此还保留着几何和物理的直观痕迹，没有达到彻底严密化的程度．为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯脱拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础．所谓ａｎ＝Ａ，就是指：“如果对任何ε＞0，总存在自然数Ｎ，使得当ｎ＞Ｎ时，不等式｜ａｎ－Ａ｜＜ε恒成立．”这个定义，借助不等式，通过ε和Ｎ之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系．因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍不显得陈旧．在该定义中，涉及到的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不求助于运动的直观．众所周知，常量数学静态地研究数学对象，自从解析几何和微积分问世以后，运动进入了数学，人们有可能对物理过程进行动态研究，之后，维尔斯脱拉斯建立的ε－Ｎ语言，则用静态的定义刻划变量的变化趋势．这种“静态——动态——静态”的螺旋式的演变，反映了数学发展的辩证规律．综上所述可见，极限法的引入与完善是出于社会实践的需要，是几代人奋斗的结果，不是哪一个数学家苦思冥想出来的．4极限法的思维功能极限法在现代数学乃至物理等学科中有广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定蹬．极限法揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用．借助极限法，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识准确．无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展．无限个数目的和不是一般的代数和，把它定义为“部分和”的极限，就是借助极限法，从有限认识无限．“变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”．例如，要求变速直线运动的瞬时速度，用初等方法是无法解决的，困难在于这时速度是变量．为此，人们先在小范围内用匀速代替变速，并求其平均速度，把瞬时速度定义为平均速度的极限，就是借助极限法，从“不变”认识“变”．曲线形与直线形有本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于等同起来了．”善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一．直线形的面积容易求得，要求曲线形的面积，只用初等的方法就不行了．刘徽用圆内接多边形逼近圆，一般地，人们用小矩形的面积和逼近曲边梯形的面积，都是借助极限法，从直线形认识曲线形．量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证关系．量变能引起质变，质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数学研究工作中起重要作用．对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变，不是质变．但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就“变”成圆，多边形面积变转化为圆面积．这就是借助极限法从量变认识质变．近似与准确是对立统一关系，两者在一定条件下也可相互转化，这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍．前面所讲到的“部分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积”，依次是相应的无穷级数和、瞬时速度、圆面积的近似值，取极限后就可得到相应的准确值．这都是借助极限法，从近似认识准确．参考文献1 周述岐．数学思想和数学哲学．北京：中国人民大学出版社，19932 张绥．数学与哲学．上海：学林出版社，19883 袁小明．数学思想史导论，南宁：广西人民出版社，19914 刘云章．中学微积分教学．南京：江苏教育出版社，1986。

微积分学中的极限思想分析微积分学中的极限思想是一种重要的分析工具，它在数学表达和问题求解中起着至关重要的作用。

极限思想反映了数列和函数在无穷远处的变化趋势，并可以描述物理、经济、工程等实际问题中的变化规律。

我们来看数列的极限。

数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的序列。

极限是指数列中随着项数的增大，数列的项逐渐趋近某个确定的值。

考虑数列{1，1/2，1/4，1/8，…}，数列的每一项都是前一项的一半。

当项数趋于无穷大时，数列的项趋近于0。

这里，0就是数列的极限。

函数的极限是指当自变量趋于某一特定值时，函数的值趋近于某个确定的值。

考虑函数f(x)=1/x，当x趋于无穷大时，函数的值趋近于0。

这里，0就是函数的极限。

极限的计算方法有很多，其中常用的有代数法和级数法。

代数法主要利用代数运算的性质来计算极限，包括四则运算、开方运算、幂函数运算等。

级数法主要利用级数的和来计算极限，例如泰勒级数等。

极限思想在微积分学中有广泛的应用。

极限是微分和积分的基础。

微分是研究函数局部变化的工具，而积分是研究函数全局性质的工具。

通过极限思想，我们可以定义函数的导数和积分，并研究它们的性质和应用。

极限思想还可以用来解决一些实际问题。

利用极限思想可以求解曲线与直线的交点、曲线的渐近线、曲面的切平面等几何问题。

极限思想还可以用来建立物理模型和经济模型，研究实际问题中的变化规律。

极限思想还与数值计算密切相关。

在计算机计算中，由于计算机的存储空间有限，无法表示无穷大和无穷小。

我们通常通过逼近的方式来计算极限。

我们可以将无穷序列的前几项相加来逼近无穷级数的和，从而计算极限。

微积分学中的极限思想是一种重要的分析工具，它可以帮助我们揭示数列和函数的变化规律，解决实际问题，并推动数学、物理、经济等学科的发展。

通过深入理解和应用极限思想，我们可以更好地理解和掌握微积分学的知识，提高问题求解能力，并拓宽数学思维的广度和深度。

关于极限思维法的思考南京市江宁区湖熟初级中学 张德祥一、问题的提出我在参加暑期培训的一次课上，许志老师在讲授极限思维法的应用时举到下面一个例题。

如图1（甲），在两个完全相同的容器中装有等质量的A 、B 两种液体。

液体中a 、b 两点到容器底部的距离相等，则a 、b 两点压强P a 、P b 的大小关系是 （ ）A 、P a ＜P bB 、P a ＝P bC 、P a ＞P bD 、无法判断这是一个老题目，许多老师都做过、讲过常规方法，在当时情景之下不少老师都想到用极限思维法。

即将 a 、b 两点到容器底部的距离放大到B 液体的液面高度，如图1（乙）此时， b 点却已到液面，P b ＝0，a 点仍在液体内部，P a ＞0，显然P a ＞P b 。

这样使得P a 、P b 两者关系明朗。

就在大家沉浸在感受这种方法的优越性之中时，有一位女教师提出既然可以将a 、b 两点到容器底部的距离用极限思维的方法扩大到B 液体的液面高度，也可以将a 、b 两点到容器底部的距离缩小到容器底部。

但此时可由题意知道P a ＝P b ，显然得出了一个错误的结论。

于是，全班哑然！渐渐疑问声起。

都是采用了极限思维法，将a 、b 两点到容器底部的距离扩大可以，缩小为什么就不行呢？极限思维法的应用条件是什么？二、问题的思考（一）第一阶段回到宿舍后，我继续思考这一问题，并与同宿舍的老师在一起探讨。

1、本题之所以要用到“极限思维法”这一非常规武器，是因为a 、b 两点在液体中的深度h a ＞ h b 而液体密度ρa ＜ρb ，这样两者压强大小关系不够明确，无法直接判断。

2、图2是a 、b 两点压强p 和a 、b 两点到容器底部的距离h 关系图像.图中虚线1就是前面所述，当a 、b 两点到容器底部的距离用极限思维的方法扩大到B 液体的液面高度时的情景，由图可知P a ＞P b 。

从图中还可以看出，只要保证a 、b 两点到容器底部的距离相等，总有P a ＞P b ，如图中虚线2。

高等数学中极限思想的浅析微积分学教育教学中构建学生“数学极限思想”的研究微积分学作为数学学科的重要组成部分，对于培养学生的数学素养和解决实际问题具有重要意义。

然而，微积分学具有一定的难度，学生在学习过程中经常遇到困难。

为了帮助学生更好地理解和掌握微积分学知识，本文将探讨在微积分学教育教学中如何构建学生的“数学极限思想”。

数学极限思想是指通过研究变量在无限变化过程中的趋势，用极限值来描述变量的变化规律。

在微积分学中，极限概念是非常重要的基础知识，许多微积分学概念和定理都涉及到极限思想。

因此，构建学生的数学极限思想对于学好微积分学具有重要意义。

在微积分学教育教学过程中，可以从以下几个方面入手构建学生的数学极限思想：引入极限概念在微积分学教学中，首先要让学生了解极限的概念。

教师可以介绍一些实际例子，如速度、加速度、曲线斜率等，通过这些例子让学生感受到极限的思维方式。

无限与有限的对立统一教师要帮助学生理解无限和有限的对立统一。

虽然学生在初学微积分学时很难理解无限的概念，但可以通过有限次运算来获得无限次运算的结果。

例如，利用极限的运算性质求出函数在某一点的极限值，这个极限值是无限次运算的结果，但可以通过有限次的计算得到。

理解极限的思维方式学习微积分学需要掌握极限的思维方式。

极限思想是通过研究变量在无限变化过程中的趋势，用极限值来描述变量的变化规律。

教师可以通过具体例子帮助学生理解极限的思维方式，例如利用极限的定义证明函数的连续性、导数和定积分等微积分学基本概念。

应用极限思想解决实际问题学习微积分学的目的是为了解决实际问题。

教师可以通过一些实际例子来让学生感受到极限思想的应用。

例如，利用极限的思想解决经济增长、人口增长等问题；又如，利用极限的定义证明物理中的基本定理，如能量守恒定律等。

在实际教学过程中，教师可以根据具体的教学内容和学生的实际情况选择合适的教学方法。

例如，可以采用探究式教学法、案例分析法、问题解决法等多种教学方法，帮助学生深入理解极限思想，并培养其应用微积分学知识解决实际问题的能力。

略论极限与辩证法【摘要】在生产水平低下的古代,数学研究只是有限的数量关系,极限思想的萌芽得不到进一步发展和完善。

只有当数学发展到近代高等数学阶段,才有可能出现系统的极限理论。

极限概念是过程和结果的统一,潜在无限和实在无限的统一。

这是极限概念的辩证法。

【关键词】无限可分性极限思想微积分理论辩证法所谓极限的思想,是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。

认识极限思想,首先要认识中国古代最朴素、最直观的极限思想。

1.无限可分性与极限思想的产生。

在辩证法看来,有限和无限是对立统一的。

有限包含着无限,它本身又可以发展为无限;无限是自有限组成的,它本身也可以转化为有限。

古代人们的认识中,已经包含这个辩证法思想的萌芽。

我国古代的《庄子·天下》篇中,公孙龙学派提出:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。

”从有限出发,直接揭示了事物的无限可分性,反映了物质是无限可分的真理。

这包含了深刻的辩证法思想。

物质的无限分割过程中存在着相对的关节点。

这样的关节点标志着无限向有限的转化,反映了绝对的无限的可分性中包含着相对的有限的固定性。

我国魏晋时期的刘微,在中国数学史上最早运用了极限思想。

刘徽的“割圆术”中的极限思想不但看到了无限可分性,而且还认识到在一定的条件下,无限可以向有限转化。

古代极限思想的萌芽,是直接建立在对无限可分性认识的基础上的。

没有对无限的认识,就不可能产生极限思想。

2.微积分理论与极限概念的发展。

十七世纪,牛顿和莱布尼茨制定了微积分。

牛顿意识到极限概念的重要性,试图以极限概念作为微积分的基础,他说:“两个量和量之比,如果在有限时间内不断趋于相等,且在这一时间终止前互相靠近,使得其差小于任意给定的差,则最终就成为相等。

”但牛顿的这种极限思想还停留在朴素的物理经验上,还没有从物理模型中抽象出清晰的数学概念。

十八世纪的达朗贝尔,从有限增量出发,运用极限方法来定义导数:“一个量是另一个量的极限,假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量。

浅论高等数学中的极限思想浅论高等数学中的极限思想谷亮（辽宁铁道职业技术学院辽宁锦州 121000 中国）摘要：极限是高等数学最基本的概念之一，极限思想是近代数学的一种很重要的数学思想，是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，本文从极限的定义、极限思想的价值、教学中如何渗透极限思想几个方面进行了简要论述。

关键词：高等数学，极限，极限思想、教学一、极限的概念1、数列极限：设{x }n 为一个数列，a 为一常数，若0ε?>，总存在一个正整数N ，使得当n N >时，有n x a ε-<，称a 是数列{x }n 的极限。

记作lim n n x a →∞=2、函数极限：设函数(x)f 在点a 的某去心邻域内有定义，A 为一常数，若0ε?>，总存在一个正数δ，使得当0x a δ<-<时，有(x)f A ε-<，称A 是当x 趋向于a 时函数(x)f 的极限。

记作lim (x)x af A→=。

自变量变化过程还包括：,,,x a x a x x +-→→→+∞→-∞，极限的定义类似。

在数学发展的过程中,出于不同需要,还引进了不同意义下的极限概念,比如在集论中引进了集列的上、下极限的概念,在无穷级数论中引进级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及在函数逼近论中引进了一致逼近、平均逼近等的极限概念.无论怎样定义，其本质都是一样的，都是从有限观念发展到无限观念的过程。

二、极限思想的价值极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的关系，通过极限思想，我们可以从有限来认识无限，以直线近似代替曲线，以不变认识变化，从量变认识质变。

因此，极限思想具有由此及彼的创新作用，极限思想方法也广泛用于微分方程、积分方程、函数论、概率极限理论、微分几何、泛函分析、函数逼近论、计算数学、力学等领域。

生活中也有这样的例子：一张饼，第一天吃它的一半，第二天吃它的一半的一半，第三天吃它的一半的一半的一半，……如此这样，这张饼能吃得完吗？显然是永远吃不完的，虽然饼越来越小，但还是有的。

极限法的哲学思考（转自中国数学在线）极限的ε－Ｎ定义，术语抽象，符号陌生，其中的辩证关系不易搞清，学生会提出的一系列问题：描述性定义简单明白，为什么要搞个ε－Ｎ定义?它与描述性定义有什么不同?数学家怎么会想出这种“古怪而讨厌”的定义?正如Ｒ·柯朗与Ｈ·罗宾所说：“初次遇到它时暂时不理解是不足为怪的，遗憾的是某些课本的作者故弄玄虚，他们不作充分的准备，而只是把这个定义直接向读者列出，好像作些解释就有损于数学家的身份似的．”要弄清这些问题，有必要翻开数学史，从哲学的角度认识极限法，这不仅是搞清极限概念的需要，也有助于建立正确的数学观念．1什么叫极限法?所谓极限法，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学方法．极限法的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果．极限法不同于一般的代数方法，代数中的加、减、乘、除等运算都是由两个数来确定出另一个数，而在极限法中则是由无限个数来确定一个数．很多问题，用常量数学的方法无法解决，却可用极限法解决．例如，已知抛物线ｙ２＝2ｘ．（1）在抛物线上任取二点Ｐ１（ｘ１，ｙ１）、Ｐ２（ｘ２，ｙ２），经过线段Ｐ１Ｐ２的中点作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交于点Ｐ３，证明△Ｐ１Ｐ２Ｐ３的面积为（1／16）·｜ｙ１－ｙ２｜３；（2）经过线段Ｐ１Ｐ３、Ｐ２Ｐ３的中点分别作直线平行于抛物线的轴，与抛物线依次相交于Ｑ１、Ｑ２，试将△Ｐ１Ｐ３Ｑ１与△Ｐ２Ｐ３Ｑ２的面积之和用ｙ１、ｙ２表示出来；（3）依照（2）又可作出四个更小的三角形，如此继续下去可以作一系列的三角形，由此设法求出线段Ｐ１Ｐ２与抛物线所围成的图形的面积．（1965年高考数学试题第7题）在该题中，为了推导所求抛物弓形的面积，必须借助于极限法．就像坐标法是解析几何的基本方法一样，极限法是微积分的基本方法，微积分中的一系列重要概念，如函数连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限法定义的．如果要问：“微积分是一门什么学科?”那么可以概括地说：“微积分是用极限法来研究函数的一门学科．”2极限法思想是从哪儿来的?与一切科学方法一样，极限法也是社会实践的产物．极限法的思想可以追溯到古代．刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始极限观念的应用．古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于简接证法——归谬法完成有关证明．到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法证明步骤．如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用的概念的方向”．极限法的进一步发展与微积分的建立紧密联系．16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到很大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景．起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想．牛顿用路程的改变量ΔＳ与时间的改变量Δｔ之比ΔＳ／Δｔ表示运动物体的平均速度，让Δｔ无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论．他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础．他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差别，则最终就成为相等．”但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上，因而他无法得出极限的严密表述．牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当ｎ无限增大时，ａｎ无限地接近于常数Ａ，那么就说ａｎ以Ａ为极限．”这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义．但是，这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础．正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟Δｔ是否等于零?如果说是零，怎么能用它去作除法呢?如果它不是零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的无穷小悖论．英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”．贝克莱之激烈攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱．这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要而且有着认识论上的重大意义．3极限法的完善极限法的完善与微积分的严格化密切联系．在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能如愿以偿．这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚；对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解；对有限和无限的对立统一关系还不明确．这样，人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”，相互转化的辩证关系．到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义．其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量．”它接近于极限的正确定义，然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖．事情也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上面的．首先用极限概念给出导数正确定义的人，是捷克数学家波尔查诺，他把函数ｆ（ｘ）的导数，定义为差商Δｙ／Δｘ的极限ｆ′（ｘ），他强调指出，ｆ′（ｘ）不是两个零的商．波尔查诺的思想是有价值的，但关于极限的本质他仍未说清楚．到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值．”特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小．柯西把无穷小视为以0为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识，这就是说，在变化过程中，它的值可以是非零，但它变化的趋向是“零”，可以无限地接近于零．柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明确定义，然后去完成牛顿的愿望．但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等，因此还保留着几何和物理的直观痕迹，没有达到彻底严密化的程度．为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯脱拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础．所谓ａｎ＝Ａ，就是指：“如果对任何ε＞0，总存在自然数Ｎ，使得当ｎ＞Ｎ时，不等式｜ａｎ－Ａ｜＜ε恒成立．”这个定义，借助不等式，通过ε和Ｎ之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系．因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍不显得陈旧．在该定义中，涉及到的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不求助于运动的直观．众所周知，常量数学静态地研究数学对象，自从解析几何和微积分问世以后，运动进入了数学，人们有可能对物理过程进行动态研究，之后，维尔斯脱拉斯建立的ε－Ｎ语言，则用静态的定义刻划变量的变化趋势．这种“静态——动态——静态”的螺旋式的演变，反映了数学发展的辩证规律．综上所述可见，极限法的引入与完善是出于社会实践的需要，是几代人奋斗的结果，不是哪一个数学家苦思冥想出来的．4极限法的思维功能极限法在现代数学乃至物理等学科中有广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定蹬．极限法揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用．借助极限法，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识准确．无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展．无限个数目的和不是一般的代数和，把它定义为“部分和”的极限，就是借助极限法，从有限认识无限．“变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”．例如，要求变速直线运动的瞬时速度，用初等方法是无法解决的，困难在于这时速度是变量．为此，人们先在小范围内用匀速代替变速，并求其平均速度，把瞬时速度定义为平均速度的极限，就是借助极限法，从“不变”认识“变”．曲线形与直线形有本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于等同起来了．”善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一．直线形的面积容易求得，要求曲线形的面积，只用初等的方法就不行了．刘徽用圆内接多边形逼近圆，一般地，人们用小矩形的面积和逼近曲边梯形的面积，都是借助极限法，从直线形认识曲线形．量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证关系．量变能引起质变，质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数学研究工作中起重要作用．对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变，不是质变．但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就“变”成圆，多边形面积变转化为圆面积．这就是借助极限法从量变认识质变．近似与准确是对立统一关系，两者在一定条件下也可相互转化，这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍．前面所讲到的“部分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积”，依次是相应的无穷级数和、瞬时速度、圆面积的近似值，取极限后就可得到相应的准确值．这都是借助极限法，从近似认识准确．参考文献1 周述岐．数学思想和数学哲学．北京：中国人民大学出版社，19932 张绥．数学与哲学．上海：学林出版社，19883 袁小明．数学思想史导论，南宁：广西人民出版社，19914 刘云章．中学微积分教学．南京：江苏教育出版社，1986。

对极限思想的辩证理解[摘要]极限思想是一种重要的数学思想，它蕴涵着丰富的辩证思想。

本文主要阐述了对极限思想的辩证理解，即极限思想是过程与结果、有限与无限、变与不变、近似与精确、多样性与统一性、量变与质变、否定与肯定的对立统一。

[关键词]极限思想辩证对立统一恩格斯说：“数学，辩证的辅助工具和表现形式。

”数学中蕴涵着丰富的辩证思想，无论是在规律的发现过程中、猜想的获得过程中或在概念的形成过程中，无一不包含着辩证的成分。

如分解与组合（或局部与整体）、运动与静止、特殊与一般、相对与绝对、有限与无限、量变与质变、具体与抽象、数与形等。

在数学学习中，充分挖掘并认真领会辩证思想因素，对深入理解数学知识、完善思维结构、优化思维品质、提高数学素养、形成科学人生观都有十分重要的作用。

极限思想是一种重要的数学思想，它蕴涵着丰富的辩证思想。

所谓极限思想是用联系变动的观点，把所考察的对象（如圆面积、变速运动物体的瞬时速度、曲边梯形的面积等）看作是某对象（内接正边形的面积、匀速运动的物体的速度、小矩形面积之和）在无限变化过程中变化结果的思想，它出发于对过程无限变化的考察，而这种过程总是与过程的某一特定的、有限的、暂时的结果有关。

它不仅包括极限过程，而且又完成了极限过程。

也就是说，它不仅是一个不断扩展式的“潜无穷”过程，又是完成了的“实无穷”，因此是“潜无穷”与“实无穷”的对立统一体。

它体现了“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定起来”（恩格斯语）的一种运动辩证思想。

由于极限思想中蕴涵着丰富的辩证思想，理解极限思想时必须把单一、封闭、静态的形式逻辑思维提高到多维、开放、动静态相结合的辩证逻辑思维。

以下是笔者对极限思想的辩证理解。

一、极限思想是过程与结果的对立统一在极限思想中充分体现了结果与过程的对立统一。

比如，当n趋于无穷大时，数列｛a n｝的极限为a。

此时，数列｛a n｝是变量，a是变化过程a n的变化结果。

一方面，数列｛a n｝中任何一个a n，无论n再大都不是a，体现了过程与结果的对立性；另一方面，随着过程的进行（即n无限地增大），a n越来越靠近a，经过飞跃又可转化为a，体现了过程与结果的统一性。

关于极限思想的思考摘要：极限的思想方法作为人类发现数学问题并解决数学问题的一种重要手段，不仅是对数学本质的反映，而且是把知识转化为能力的一种纽带。

本文给出了极限法的定义，探讨了极限的发展过程，以及研究极限在一些学科中的简单应用。

关键词：极限法定义极限思想发展过程极限思想的应用极限思想作为一种重要的数学思想，在整个数学发展史上占有重要的地位，是研究数学，应用数学，推动数学发展必不可少的有力工具。

不仅如此，极限思想还向现代学科扩张和渗透，有力地推动边缘学科和跨学科的产生、发展、深化。

1.什么叫极限法？所谓极限法就是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学方法。

极限法的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这一结果。

极限法不同于一般的代数方法，代数中的加、减、乘、除等运算都是用两个数来确定另一个数，而在极限中则是用无限个数来确定一个数。

很多问题用常量数学的方法无法解决，却可用极限法解决。

2.极限思想的发展过程。

古希腊时代欧多克斯提出的“穷竭法”和芝诺的“二分法”可以说是极限论的雏形。

我国古代杰出的数学家刘徽于魏景元四年注《九章算术》时，订正了圆周率（圆的周长与直径之比）是“圆三径一”之误。

他在计算圆周率的过程中创立并使用了极限方法。

在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆和体而无所失矣”。

他的这段话是对极限思想的生动描述。

到了16世纪，荷兰科学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法。

他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归谬法证明步骤。

如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用的概念的方向”。

19世纪大数学家柯西抛弃了物理和几何直观，通过变量首次给出了建立在数和函数上的极限定义：“当一个变量逐次所取的值无限趋向于某一数值，最终使变量的值与该定值之差要多小有多小，这个定值就叫做其他值的极限。

极限思想的辩证思考与理解【摘要】极限思想是一种重要的思维方式，在各个领域都有广泛的应用。

本文首先简要介绍了极限思想的概念，然后探讨了极限思想的辩证性质，指出其在思维中的灵活性和多维度性。

接着讨论了极限思想在各个应用领域中的作用，以及与哲学思考的关联。

最后分析了极限思想对人类认识和实践的影响，表明其在推动人类社会进步和科学发展中的重要作用。

通过对极限思想的辩证思考和理解，我们可以更好地应对复杂问题，促进自身的成长与发展。

【关键词】极限思想、辩证思考、理解、概念、辩证性质、应用领域、哲学思考、人类认识、实践、影响、引言、结论1. 引言1.1 引言极限思想是人类思维的一种重要方式，它在各个领域有着广泛的应用和深远的影响。

通过对极限思想的辩证思考和理解，我们可以更好地把握事物的本质和发展规律，推动认识的深化和实践的创新。

本文将从不同角度探讨极限思想的概念、辩证性质、应用领域、与哲学思考的关系以及对人类认识和实践的影响，旨在为读者提供一个全面而深入的认识与思考。

在对极限思想进行深入探讨之前，我们首先需要明确什么是极限思想。

极限思想是指在一定条件下，随着某一变量逐渐趋近于某一特定值或趋势时所表现出的一种特殊思维模式。

它通过对事物变化发展过程中的极限状态进行观察和分析，揭示事物本质蕴含的规律和趋势，帮助人们更好地把握事物发展的规律性和必然性。

极限思想的本质是在变化中寻找恒定，在无限中寻找有限，是一种以极端状态为基准的辩证思维方式。

极限思想的辩证性质在于它不仅关注现象表面的变化，更注重事物内在的规律性和趋势性。

通过对变量逐渐趋近于极限值时的极端情况进行分析，人们可以发现事物发展的潜在规律和动力，为认识事物的本质和发展趋势提供一个新的视角和方法。

极限思想是一种开放性和综合性思维模式，能够帮助人们理解事物的复杂性和多样性，促进认识的跨越和超越。

极限思想在各个领域都有着重要的应用价值。

在科学研究中，极限思想可以帮助科学家更好地理解自然现象和规律，推动科技创新和发展。

谈数学中的极限思想摘要极限思想谈的是数学中的思维问题，它的广泛使用是由数学本身的发展所决定的。

本文以数学发展史为基础，从一些典型例子中寻找极限思想的产生与发展，主要是以历史辩证唯物主义观来重新分析、概述有关极限思想的问题和函数极限概念小结极限思想应用的举例。

关键词极限函数导数综述极限思想的发展过程、简介极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。

所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。

极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。

1.极限思想的产生与发展（1）极限思想的由来与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。

极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。

如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”（2）极限思想的发展极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。

16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。

引言极限的思想是近代数学的一种重要思想.所谓极限的思想,是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想.极限思想蕴含着丰富的辩证法思想,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的完美应用,同时也为辩证法论证世界提供了丰富的表现例证.有了极限思想,常数和变数、有限和无限、精确和近似、任意和确定、抽象和具体、量变与质变、直线与曲线等矛盾问题在这里都得到了完美的科学体现和辩证的统一.用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量,先设法构思一个与它有关的变量,确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果.极限思想作为一种哲学和数学思想,其发展经历了思想萌芽、理论发展和理论完善时期.在其漫长曲折的演变历程中,布满了众多哲学家和数学家们的奋斗足迹,闪烁着人类智慧的光芒.极限理论的形成为微积分提供了理论基础,为人类认识无限提供了强有力的工具,它从方法论上凸显出来高等数学不同于初等数学的魅力,是近现代数学发展的一种重要思想和数学方法.理清极限思想的发展过程,熟练掌握极限解题方法,揭示极限思想的核心内容与哲学思想的内在联系,对理解和解决数学史和数学哲学史上的一些疑难问题问将有重大的帮助.1 产生与发展庞加莱说过：能够作出数学发现的人,是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人,而且只限于这种人.一切数学概念都来自于社会实践,经过千锤百炼从而被提炼为概念,再经过使用、推敲、充实、拓展,不断完善为经典的理论.毫无疑问,极限也是社会实践的产物.1.1 极限思想的产生极限思想的产生可以追溯到古代,战国时代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》中就有关于原始的极限思想的应用:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.意思是一尺长的木棒,第一天取去一半,剩下二分之一尺,第二天再取去二分之一尺的一半,剩下四分之一尺…….按照这样的分法分下去,长度越来越小,但无论多小,永远分不完.也就是说随着分割的次数增加,棰会越来越短 ,长度接近于零,但又永远不会等于零.墨家观点与惠施不同,提出一个“非半”的命题,墨子说“非半弗,则不动,说在端”.意思是说将一线段按一半一半地无限分割下去,就必将出现一个不能再分割的“非半”,这个“非半”就是点.墨家有无限分割最后会达到一个“不可分”的思想,名家则有“无限分割”的思想.名家的命题论述了有限长度“无限可分”性,墨家的命题指出了无限分割的变化和结果.显然名家和墨家的讨论,对数学理论的发展具有巨大推动作用.已反映出极限思想的萌芽,这无疑成为极限概念产生的丰厚的沃土.但从现有的史料来看,这种思想主要局限于哲学领域,还没有应用到数学上,更加谈不上应用极限的方法来解决数学问题.公元3世纪,我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”.他创造性地将极限思想应用到数学领域.所谓割圆术,具体的方法是把圆周分割得越细,内接多边形的边数越多,其内接正多边形的周长就越是接近圆周.如此不断地分割下去,一直到圆周无法再分割为止,当到了圆内接正多边形的边数无限多的时候,它的周长就与圆周几乎“吻合”,进而完全一致了.刘徽将正多边形的面积算到了3072边形,由此求出的圆周率为3.1416,是当时世界上最早也是最准确的数据.后来祖冲之用这个方法把圆周率的值计算到小数点后七位,这种对于某个值无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础.在国外,古希腊时期也有极限思想.古希腊的巧辩派中有相当一批人对几何三大问题感兴趣.安提芬在研究“化圆为方”的问题时想到用边数不断增加的内接正多边形来接近圆面积,当多边形的边数不断加倍时内接正多边形与圆周之间存在的空隙就被逐渐“穷竭”,不过没有具体计算的记载.公元前4世纪,古希腊数学家欧多克斯创立了较严格的确定面积和体积的一般方法—“穷竭法”,这种方法假定量的无限可分性,并且以下面命题为基础:“如果从任何量中减去一个不小于它的一半的部分,从余部中再减去不小于他的一半的另一部分,等等,则最后将留下一个小于任何给定的同类量的量.”应用穷竭法,欧多克斯正确地证明了“圆面积与直径的平方成正比例”以及“球的体积与直径的立方成正比例等结论”.欧多克斯的穷竭法,也已体现出了极限论思想.古希腊最伟大的数学家阿基米德巧妙地运用欧多克斯等人的穷竭法,通过严密的计算,解决了求几何图形的面积、体积、曲线长、计算二值等大量的计算问题.它突破了传统的有限运算,采用了无限逼近的思想,将需要求积的量分成许多微小单元,再利用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较,他的无穷小量概念到17世纪被牛顿作为微积分的基础.由此,我们可以看到在数学无穷思想发展之初,古人就己在极限领域开创了一个光辉的起点.1.2极限思想的发展极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相连的.16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期,生产力发展,生产和技术中大量的问题,只用初等数学的方法已经无法解决,这就要求数学突破传统常量范围,来提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具,这是促进极限发展的社会背景.16世纪,荷兰人斯泰文在考察三角形重心的过程中借助几何直观用极限思想思考问题,将极限概念向前推进了一步,但极限思想仍只停留在思想的层面,没有形成系统的理论体系.进入17世纪,特别是牛顿在建立微积分的过程中,由于极限没有准确的概念,也就无法确定无穷小的概念,利用无穷小运算时,牛顿做出了自相矛盾的推导：在用“无穷小”作分母进行除法时,无穷小量不能为零；而在一些运算中又把无穷小量看作零,约掉那些包含它的项,从而得到所要的公式,显然这种数学推导在逻辑上是行不通的.那么,无穷小量是零还是非零？这个问题困然牛顿也困扰着与x +,()()00y f x x f x =+-,则（ ()()(00,00limlim x x f x x f x yf x x→→+-==导数是函数增量y 与自变量增量x 之比yx的极限函数关于自变量的平均变化率,而导数(),0f x 则为f 在0x 处关于）式极限不存在,则称f 在点0x 处不可导.可见,微分学的基本概念，试证()lim f ax ,()00x x x +∈时,相应地得到函数的增量为 ()()00y f x x f x =+-. 如果存在常数A ,使得y 能表示成()o y A x x =+, （可微,并称（3）式中的第一项A x 为f 在点A x 或 ()x x df x A x -.在点0x 可微的充要条件是函数f 在点0x 可导【必要性】若f 在点）式有 (0yA x=+(000limlim x x yA x→→==+()(),00y f x x x =+表明函数增量y 可表示为x 的线性部分()(),0f x x 与较x 高阶的无穷小在点x 可微,且有()0,0x x dyf x x -=这个定理的证明就充分利用了极限的思想.微分学的另一基本概念积分也是用极限来定义的.是定义在区间]上的有界函数个子区间[1,i i i x x -=子区间及其长度记作i x .在每个子区间上,1,2,...,i i ∈=)i x .如果当最大的子区间的长度和式()1ni i i f x ξ=∑的极限存在并且其极限值与的分发及在区间[],a b 上可积,此极限值称为f 在区间()(1nbi i ai f x f ξ==∑⎰为平面上可求长度的曲线段个可求长度的小曲线段为i s ,分割T max i ns ,在i L 上任取一点()01lim ,ni i i f s J ξ→==∑,切的值与分割(),x y 在L 上的第一型曲线积分,记作由上充分体现了极限思想在微积分中无可替代的重要地位微积分中还有许多重要的定义也离不开极限思想（3） 若()1r A n =-,()r B n =时,可知在矩阵A 中至少有一个元素的代数余12122212n n n n nn a aa a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭, 此时()A ε为可逆矩阵,又因为()A ε*由定义6可得：当ε→,(01000=000101n a b ab b n a b ab a b +⎧⎪⎨⎪+⎩+阶证明:已知1000000101n n a b ab a b abD a b ab a b ++=++阶1111b a b a++-=-；2ab b ++=101000000101k k a b ab b b a b ab a b ++=++阶1+时：101000000101k a b ab a b ab a b ++++阶按第一行展开=()()12-11k k a b D ab D +++-=()a b D +(01000000101n b x bxf x b x bx b x +=++阶)x 为关于x 的连续幂函数,且当x b ≠时,同样有：)11n n b x x ++-=根据连续函数的性质有：(01000=0001001n a b ab b n a b ab a b +⎧⎪⎨⎪+⎩+阶3 极限思想的哲学意义极限理论的建立,使数学摆脱了许多与无穷有关的悖论的困扰,悖论思想是一种探索性的辩证思维,这种思维的追索可以揭示一个概念、一种学说中存在的深刻的内在矛盾性.极限思想正是在这种悖论思维中得以发展和完善的.学习极限思想对于培养人的思维方法、思维品质,提高其分析问题和解决问题的能力,形成正确的世界观和人生价值观都有极好的作用.极限思想的哲学意义主要表现在以下几个方面:（1）极限思想是变与不变的对立统一.“变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止的两种不同状态,是事物两种对立的矛盾状态.辩证唯物主义观点认为,它们在一定条件下可以相互转化.极限思想的研究提供了“变”与“不变”相互转化的方法和理论依据.使得人们能够由“不变”认识了“变”,实现了“变”中求得“不变”.因为有了极限的思想和方法,为人们解决事物变化中的问题提供了科学方法,形成了实用有效的“微元法”.（2）极限思想是有限与无限的对立统一.有限与无限有着本质的不同,但二者又有联系,无限是有限的发展,同时借助极限法,从有限认识无限.例如,在极限式n x a →,a →∞中n x 对应数列中的每一项,这些不同的数值n x 既有相对静止性,又有绝对的运动性.数列中的每一项n x 和a 是确定不变的量,是有限数；随着n 无限增大,有限数n x 向a 无限接近,正式这些有限数的n x 无限变化,体现了无限运动的变化过程,这种无限运动变化结果是数值.因此在极限思想中无限是有限的发展,有限是无限的结果,他们既是对立又是统一的.（3）极限思想是近似与精确的对立统一.近似与精确在一定条件下可以相互转化,这种转化是理解数学运算的重要方法.在极限抽象的概念中,引入“圆内接正多边形面积”,其内接多边形面积的近似值是该圆面积,当多边形的边数无限增大时,内接多边形的面积无限接近于圆的面积,取极限值后就可以得到圆面积的精确值,这就是借助极限法,从近似认识精确.虽然近似与精确是两个性质不同、完全对立的概念,但是通过极限法,建立两者之间的联系,在一定条件下可以相互转化.因此,近似与精确既是对立又是统一的.（4）极限思想是量变与质变的对立统一.辩证唯物主义认为,事物是处于不断变化过程中的,是量变和质变的统一.量变是事物发生变化的前提和准备条件,质变是事物变化的必然结果.当事物的量积累到一定的基础、达到事物变化的度时就一定发生质变.极限思想生动地诠释了马克思主义这一科学原理.例如对任何一个圆内接正多边形来说,当它边数加倍后,得到的还是内接正多边形,是量变,不是质变.但是,不断地让边数加倍,无限地进行下去的时候,多边形就质变为圆,多边形面积就转化为圆的面积.极限的思想方法让我们从量变认识到了质变.（5）极限思想是过程与结果的对立统一.过程和结果在哲学上是辩证统一的关系,在极限思想中也充分体现了结果与过程的对立统一.例如,平面内一条曲k.当曲线上的点无限接近于P点的过程中,k是变线C上某点P的切线斜率为pk是变化结果.一方面,无论曲线上点多么接近点P,都不能与点P重合,化过程,pk,这体现了过程和结果的对立性；另一方同样曲线上变化点的斜率k也不等于pk,二者之间有紧密的联系,无面,随着无限接近过程的进行,斜率k越来越接近pk,这体现了过程与结果的统一性.所以,极限接近的变化结果使得斜率k等于了p限思想是过程与结果的对立统一.（6）极限思想是否定与肯定的对立统一.任何事物的内部都包含着肯定因素和否定因素,都是肯定方面和否定方面的对立统一.单位圆和它的内接正多边形分别是两个事物的对立面,内接正多边形是事物对自身的肯定,其中也包含着否定,这种内在的否定因素是通过圆内接正多边形的边数的改变来体现的.随着圆内接正多边形的边数逐渐增加到无穷时,内接正多边形的面积转化为圆的面积,促使该事物转化为自己的对立面.由肯定达到自身的否定,这体现了否定与肯定的对立；圆的内接正多边形和圆虽然是两个对立的事物,但是二者之间有紧密的联系,圆内接正多边形的面积可以转化为圆的面积,而圆是通过逐步增加内接正多边形的边数来实现的,从而建立了两者的联系,体现了否定与肯定的统一.小结极限的思想方法作为人类发现数学问题和解决数学问题的一种重要手段,它不仅是我们学习极限或高等数学所必须理解的,也是我们解决数学问题或实际问题所必须掌握的思想方法.它使得局部与整体,微观与宏观,过程与状态,瞬间与阶段的联系更加明确.使我们既可以居高临下,从整体角度考虑问题,又可以析理入微,从微分角度考虑问题.它的产生为数学的发展增加了新的动力,使数学得以在新的领域不断开拓新的道路,也使哲学找到了更多新的用以描述和论证世界的工具.本文从极限的产生与发展入手，描述了极限思想产生的背景，前进的过程，再到完善。

逻辑学：极限思想的辩证思考 逻辑学论文：极限思想的辩证思考 0引言。

 微积分是研究客观世界运动现象的一门学科，我们引入极限概念对客观世界运动过程加以描述，用极限方法建立其数量关系并研究其运动结果[1]。

极限理论是微积分学的基础理论，贯穿整个微积分学。

要学好微积分，必须认识和理解极限理论，而把握极限理论的前提，首先要认识极限思想。

极限思想蕴涵着丰富的辩证思想，是变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变以及否定与肯定的对立统一。

 1极限思想与辩证哲学的联系。

 1.1极限思想是变与不变的对立统一。

 变与不变反映了客观事物运动变化与相对静止两种不同状态，不变是相对的，变是绝对的，但它们在一定条件下又可相互转化。

例如，平面内一条曲线C上某一点P的切线斜率为kp。

除P点外曲线上点的斜率k是变量，kp是不变量，曲线上不同的点对应不同的斜率K，斜率k不可能等于kp，k与kp是变与不变的对立关系;同时，它们之间也体现了一种相互联系相互依赖的关系。

当曲线上的点无限接近P点过程中，斜率k无限接近kp，变化的量向不变的量逐渐接近。

当无限接近的结果产生质的飞跃时，变量转化为不变量，即变而不变，这体现了变与不变的统一关系。

 1.2极限思想是过程与结果的对立统一。

 过程和结果在哲学上是辩证统一的关系，在极限思想中也充分体现了结果与过程的对立统一。

在上例中，当曲线上的点无限接近点P的变化过程中，k是变化过程，kp 是变化结果。

一方面，无论曲线上点多么接近点P，都不能与点P重合，同样曲线上变化点的斜率k也不等于kp，这体现了过程与结果的对立性;另一方面，随着无限接近过程的进行，斜率k越来越接近kp，二者之间有紧密的联系，无限接近的变化结果使得斜率k转化为kp，这体现了过程与结果的统一性。

所以，通过研究曲线上点斜率k 的变化过程得到P点的斜率kp就是过程与结果的对立统一。

 1.3极限思想是有限与无限的对立统一。

 在辨证法中，有限与极限是对立统一的。