极限思想的辩证思考与理解

摘要：极限理论贯穿整个微积分学，是微积分的重要内容和难点。

认识极限思想是把握和理解极限理论的前提。

通过极限思想与辨证哲学的紧密联系，加强极限思想的辨证理解，有助于数学思维的培养和数学素养的提高。

关键词：极限思想；辨证哲学；对立统一0 引言。

微积分是研究客观世界运动现象的一门学科，我们引入极限概念对客观世界运动过程加以描述，用极限方法建立其数量关系并研究其运动结果[1]。

极限理论是微积分学的基础理论，贯穿整个微积分学。

要学好微积分，必须认识和理解极限理论，而把握极限理论的前提，首先要认识极限思想。

极限思想蕴涵着丰富的辩证思想，是变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变以及否定与肯定的对立统一。

1 极限思想与辩证哲学的联系。

1.1 极限思想是变与不变的对立统一。

“变”与“不变”反映了客观事物运动变化与相对静止两种不同状态，不变是相对的，变是绝对的，但它们在一定条件下又可相互转化。

例如，平面内一条曲线C上某一点P 的切线斜率为kp。

除P 点外曲线上点的斜率k 是变量，kp是不变量，曲线上不同的点对应不同的斜率K，斜率k 不可能等于kp，k 与kp是变与不变的对立关系；同时，它们之间也体现了一种相互联系相互依赖的关系。

当曲线上的点无限接近P 点过程中，斜率k无限接近kp，变化的量向不变的量逐渐接近。

当无限接近的结果产生质的飞跃时，变量转化为不变量，即“变”而“不变”，这体现了变与不变的统一关系。

1.2 极限思想是过程与结果的对立统一。

过程和结果在哲学上是辩证统一的关系，在极限思想中也充分体现了结果与过程的对立统一。

在上例中，当曲线上的点无限接近点P 的变化过程中，k 是变化过程，kp是变化结果。

一方面，无论曲线上点多么接近点P，都不能与点P 重合，同样曲线上变化点的斜率k 也不等于kp，这体现了过程与结果的对立性；另一方面，随着无限接近过程的进行，斜率k 越来越接近kp，二者之间有紧密的联系，无限接近的变化结果使得斜率k 转化为kp，这体现了过程与结果的统一性。

极限思想的辩证思考与理解
极限思想是近代西方哲学史上重要的思想实践，也是现代哲学中一个重要的分支。

它
探索了人对自我、对他者、对整个世界的理解。

极限思想的发展指出，超越自我认识中的
短暂且不理性的体验，它只有通过一种解释他者的知识才能加深，从释放的局部感知出发，在所有的生活体验中认识具体的自我，在考虑他者时进行社会分析，还有对整个世界的不
断持续探索。

极限思想坚持一种辩证思考和理解的方法，强调从体验角度去形成解释。

首先，它要
求我们在思考过程中更加理解、客观，把当时遇到的问题当成一个谜团，将答案变成多种
可能性，并通过辩证思考实现谜团的破解。

其次，要求我们把实际问题和所发生的事情以
多种视角来考虑，考虑不同的方面和因素，而不是以上位者的视角解释整个现象，在考虑
过程中用经验积累去获得知识，形成逻辑性，最终得出一个客观的观点。

最后，极限思想
也要求我们注重功利性，在任何一次思考过程中，都要站在受众人的角度去评估，根据自
己的理论和观点，制定出有意义的思路，实现把问题的核心想法讲清楚，发掘有效的解决
方案。

极限思想的辩证思考和理解，让我们能够更好地理解问题的关键，从内部的各个层面
去看待问题，而不是仅仅表面上的一层，真切地感受到自我、他者和整个世界的存在，避
免被表层现象所局限，更深入、更全面地发现生活真谛并尝试打破以往的思维框架，让我
们拓展自己的思维深度，获得更多的解决方案。

高等数学中极限思想的浅析微积分学教育教学中构建学生“数学极限思想”的研究微积分学作为数学学科的重要组成部分，对于培养学生的数学素养和解决实际问题具有重要意义。

然而，微积分学具有一定的难度，学生在学习过程中经常遇到困难。

为了帮助学生更好地理解和掌握微积分学知识，本文将探讨在微积分学教育教学中如何构建学生的“数学极限思想”。

数学极限思想是指通过研究变量在无限变化过程中的趋势，用极限值来描述变量的变化规律。

在微积分学中，极限概念是非常重要的基础知识，许多微积分学概念和定理都涉及到极限思想。

因此，构建学生的数学极限思想对于学好微积分学具有重要意义。

在微积分学教育教学过程中，可以从以下几个方面入手构建学生的数学极限思想：引入极限概念在微积分学教学中，首先要让学生了解极限的概念。

教师可以介绍一些实际例子，如速度、加速度、曲线斜率等，通过这些例子让学生感受到极限的思维方式。

无限与有限的对立统一教师要帮助学生理解无限和有限的对立统一。

虽然学生在初学微积分学时很难理解无限的概念，但可以通过有限次运算来获得无限次运算的结果。

例如，利用极限的运算性质求出函数在某一点的极限值，这个极限值是无限次运算的结果，但可以通过有限次的计算得到。

理解极限的思维方式学习微积分学需要掌握极限的思维方式。

极限思想是通过研究变量在无限变化过程中的趋势，用极限值来描述变量的变化规律。

教师可以通过具体例子帮助学生理解极限的思维方式，例如利用极限的定义证明函数的连续性、导数和定积分等微积分学基本概念。

应用极限思想解决实际问题学习微积分学的目的是为了解决实际问题。

教师可以通过一些实际例子来让学生感受到极限思想的应用。

例如，利用极限的思想解决经济增长、人口增长等问题；又如，利用极限的定义证明物理中的基本定理，如能量守恒定律等。

在实际教学过程中，教师可以根据具体的教学内容和学生的实际情况选择合适的教学方法。

例如，可以采用探究式教学法、案例分析法、问题解决法等多种教学方法，帮助学生深入理解极限思想，并培养其应用微积分学知识解决实际问题的能力。

§1.0 序 论一、极限思想的起源以及它的大意极限是高等数学中一个起着基础作用的重要概念，整个高等数学的体系都建立在这一概念基础之上。

【例1】中国古代有句古语：一尺之槌，日截其半，永世不竭。

设原槌之长为一个单位长，用 n x 表示第 n 次截取之后所剩下的长度，则x n n =12。

显然，当n 无限地增大时，n x 趋近于零。

所谓“永世不竭”，意指它可以无限地接近于零，但总不会等于零。

对 n x 的这一变化趋势，我们一般采用记号0lim =x 来表示。

x -1，【例3】( 芝诺悖论 )龟兔相距一个单位长，设乌龟的爬行速度为1，而兔子的奔跑速度是乌龟速度的2倍，则兔子永远也追不上乌龟。

其理由是：当兔子追到乌龟的第一个出发点时，乌龟爬行了12的距离；当兔子追到乌龟的第二个起点时，乌龟又爬行了122距离，…，如此下去。

这一悖论十分地迷惑人，但如果是考虑龟兔赛跑的时间，不难发现这一悖论的错误。

最初龟兔之间的相距11=x第一段路程兔子所用时间为t 112=，龟兔之间还相距x 212= 第二段路程兔子所用时间为t 2212=，龟兔之间还相距x 3212=………第n 段路程兔子所用的时间为t n n =12，龟兔之间还相距x n n +=112前n 段路程兔子所用时间的总和为)(1211211212121212112n T n n n n 对任意的<-=--=+++=+显然，当n →∞时，1→n T ，这表明兔子追不上乌龟是指在单位时间内追不上，并非永远追不上。

在这一悖论中，正是由于存在着“龟兔之间的距离 x n n +=112无限地趋近于零，但总达不到零”这一认识上的难点，使得它容易迷惑人。

三、极限思想在数学史上所取得的成就在初等数学中，往往只研究变量的状态性质（静态的性质），而极限是研究变量变化过程中的一种变化趋势（动态的性质）。

因此，极限思想帮助我们解决了许多初等数学无法解决的问题，获得了一些令人激动不已的结果，使数学进入了一个辉煌的时期。

数学极限思想总结在数学中，极限是一个非常重要的概念，也是数学分析中的核心思想之一。

极限可以说是数学思想中的一座高峰，它无处不在，贯穿着整个数学的发展历程。

首先，极限思想的提出是为了克服一些数学问题中存在的困难。

许多问题在有限的条件下是无法解决的，需要考虑无穷大或无穷小的情况。

通过引入极限的概念，我们可以将这些无穷的情况变得有限，从而处理问题更加简便。

其次，极限思想对于数列和函数的研究起到了至关重要的作用。

数列和函数是数学中最基础的概念之一，通过极限思想，我们可以研究它们的性质和行为。

例如，通过极限思想，我们可以研究数列的收敛性和发散性，判断函数在某一点的连续性，进而求得它们的极值和最值等。

可以说，极限思想是数学分析的基础，也是数学研究的重要工具。

此外，极限思想与计算方法紧密相关。

通过极限思想，我们可以建立一些重要的计算方法，例如泰勒展开、泰勒级数等。

这些计算方法在数学和物理中有着广泛的应用，可以用来近似计算复杂的函数和曲线，从而解决实际问题。

不仅如此，极限思想还与无穷小和无穷大相关联。

极限思想将无限的概念抽象成了有限，使得我们可以通过一些数学手段来处理无穷大和无穷小的情况。

例如，利用极限思想，我们可以定义微分和积分，从而建立微积分的理论框架，解决一些求导、求积分等问题。

最后，极限思想在数学证明中也起着重要的作用。

在证明过程中，我们往往需要利用极限思想来推导出一些结论，以此来证明定理的正确性。

极限思想为我们提供了一种严谨、准确地证明数学命题的方法，使得数学证明更加严密。

总之，极限思想是数学中一种重要的思维方式和工具，贯穿于数学的各个领域。

它不仅帮助我们解决数学问题，还为数学的发展提供了理论支持和方法基础。

在实际应用中，极限思想也具有广泛的应用价值。

因此，研究和掌握极限思想对于学习数学和发展数学思维能力是至关重要的。

我们应该注重培养学生的极限思维，让他们学会运用极限思想解决实际问题，从而提高他们的数学素养和求解问题的能力。

关于极限思想的思考摘要：极限的思想方法作为人类发现数学问题并解决数学问题的一种重要手段，不仅是对数学本质的反映，而且是把知识转化为能力的一种纽带。

本文给出了极限法的定义，探讨了极限的发展过程，以及研究极限在一些学科中的简单应用。

关键词：极限法定义极限思想发展过程极限思想的应用极限思想作为一种重要的数学思想，在整个数学发展史上占有重要的地位，是研究数学，应用数学，推动数学发展必不可少的有力工具。

不仅如此，极限思想还向现代学科扩张和渗透，有力地推动边缘学科和跨学科的产生、发展、深化。

1.什么叫极限法？所谓极限法就是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学方法。

极限法的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这一结果。

极限法不同于一般的代数方法，代数中的加、减、乘、除等运算都是用两个数来确定另一个数，而在极限中则是用无限个数来确定一个数。

很多问题用常量数学的方法无法解决，却可用极限法解决。

2.极限思想的发展过程。

古希腊时代欧多克斯提出的“穷竭法”和芝诺的“二分法”可以说是极限论的雏形。

我国古代杰出的数学家刘徽于魏景元四年注《九章算术》时，订正了圆周率（圆的周长与直径之比）是“圆三径一”之误。

他在计算圆周率的过程中创立并使用了极限方法。

在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆和体而无所失矣”。

他的这段话是对极限思想的生动描述。

到了16世纪，荷兰科学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法。

他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归谬法证明步骤。

如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用的概念的方向”。

19世纪大数学家柯西抛弃了物理和几何直观，通过变量首次给出了建立在数和函数上的极限定义：“当一个变量逐次所取的值无限趋向于某一数值，最终使变量的值与该定值之差要多小有多小，这个定值就叫做其他值的极限。

极限思想的辩证思考与理解【摘要】极限思想是一种重要的思维方式，在各个领域都有广泛的应用。

本文首先简要介绍了极限思想的概念，然后探讨了极限思想的辩证性质，指出其在思维中的灵活性和多维度性。

接着讨论了极限思想在各个应用领域中的作用，以及与哲学思考的关联。

最后分析了极限思想对人类认识和实践的影响，表明其在推动人类社会进步和科学发展中的重要作用。

通过对极限思想的辩证思考和理解，我们可以更好地应对复杂问题，促进自身的成长与发展。

【关键词】极限思想、辩证思考、理解、概念、辩证性质、应用领域、哲学思考、人类认识、实践、影响、引言、结论1. 引言1.1 引言极限思想是人类思维的一种重要方式，它在各个领域有着广泛的应用和深远的影响。

通过对极限思想的辩证思考和理解，我们可以更好地把握事物的本质和发展规律，推动认识的深化和实践的创新。

本文将从不同角度探讨极限思想的概念、辩证性质、应用领域、与哲学思考的关系以及对人类认识和实践的影响，旨在为读者提供一个全面而深入的认识与思考。

在对极限思想进行深入探讨之前，我们首先需要明确什么是极限思想。

极限思想是指在一定条件下，随着某一变量逐渐趋近于某一特定值或趋势时所表现出的一种特殊思维模式。

它通过对事物变化发展过程中的极限状态进行观察和分析，揭示事物本质蕴含的规律和趋势，帮助人们更好地把握事物发展的规律性和必然性。

极限思想的本质是在变化中寻找恒定，在无限中寻找有限，是一种以极端状态为基准的辩证思维方式。

极限思想的辩证性质在于它不仅关注现象表面的变化，更注重事物内在的规律性和趋势性。

通过对变量逐渐趋近于极限值时的极端情况进行分析，人们可以发现事物发展的潜在规律和动力，为认识事物的本质和发展趋势提供一个新的视角和方法。

极限思想是一种开放性和综合性思维模式，能够帮助人们理解事物的复杂性和多样性，促进认识的跨越和超越。

极限思想在各个领域都有着重要的应用价值。

在科学研究中，极限思想可以帮助科学家更好地理解自然现象和规律，推动科技创新和发展。

归纳总结极限思想极限思想是数学中的重要概念，用于描述函数、数列等在某个特定点或趋于某个特定值时的行为。

它在数学许多领域中被广泛应用，如微积分、数值计算等。

通过归纳总结，我们可以深入理解极限思想的本质和应用。

首先，极限思想可以用于描述函数在某点的行为。

例如，我们可以通过函数的极限来判断函数在该点是否连续，是否可导等。

函数在某点x=a的极限表示当自变量x无限接近于a时，函数的值趋于的某个特定数值L。

如果函数在x=a的左右两侧的极限都存在且相等，那么该函数在x=a处连续。

如果函数在x=a的两侧的极限存在但不相等，那么该函数在x=a处发生跳跃。

通过研究函数的极限，我们能够深入理解函数的性质。

其次，极限思想被广泛应用于数列的理论中。

数列是一组按照特定顺序排列的数的集合。

极限可以描述数列随着项的增加而趋于无穷或某个特定值的行为。

例如，我们可以通过数列的极限来确定数列的收敛性和发散性。

如果一个数列的极限存在且有限，那么该数列是收敛的；如果数列的极限不存在或为无穷大，那么该数列是发散的。

通过研究数列的极限，我们能够深入理解数列的性质和行为。

此外，极限思想也在微积分中扮演着重要的角色。

微积分研究函数的变化率、面积、体积等概念，而极限思想为微积分提供了坚实的理论基础。

微积分中的导数和积分都可以通过极限的定义来进行计算。

例如，导数可以定义为函数在某点的极限，表示函数在该点的变化率。

而积分可以定义为无穷小区间上函数的极限和。

通过将微积分问题转化为极限问题，我们能够更加深入地理解微积分的概念和应用。

总结起来，极限思想是数学中一个非常重要的概念，在函数、数列和微积分等领域中都有广泛的应用。

通过研究极限，我们可以更深入地理解数学中的各种概念和问题。

无论是在学术研究中还是实际应用中，极限思想都发挥着关键的作用。

因此，对于学习和掌握极限思想，我们需要通过归纳总结和练习来加深理解，从而运用它来解决各种数学问题。

引言极限的思想是近代数学的一种重要思想.所谓极限的思想,是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想.极限思想蕴含着丰富的辩证法思想,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的完美应用,同时也为辩证法论证世界提供了丰富的表现例证.有了极限思想,常数和变数、有限和无限、精确和近似、任意和确定、抽象和具体、量变与质变、直线与曲线等矛盾问题在这里都得到了完美的科学体现和辩证的统一.用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量,先设法构思一个与它有关的变量,确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果.极限思想作为一种哲学和数学思想,其发展经历了思想萌芽、理论发展和理论完善时期.在其漫长曲折的演变历程中,布满了众多哲学家和数学家们的奋斗足迹,闪烁着人类智慧的光芒.极限理论的形成为微积分提供了理论基础,为人类认识无限提供了强有力的工具,它从方法论上凸显出来高等数学不同于初等数学的魅力,是近现代数学发展的一种重要思想和数学方法.理清极限思想的发展过程,熟练掌握极限解题方法,揭示极限思想的核心内容与哲学思想的内在联系,对理解和解决数学史和数学哲学史上的一些疑难问题问将有重大的帮助.1 产生与发展庞加莱说过：能够作出数学发现的人,是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人,而且只限于这种人.一切数学概念都来自于社会实践,经过千锤百炼从而被提炼为概念,再经过使用、推敲、充实、拓展,不断完善为经典的理论.毫无疑问,极限也是社会实践的产物.1.1 极限思想的产生极限思想的产生可以追溯到古代,战国时代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》中就有关于原始的极限思想的应用:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.意思是一尺长的木棒,第一天取去一半,剩下二分之一尺,第二天再取去二分之一尺的一半,剩下四分之一尺…….按照这样的分法分下去,长度越来越小,但无论多小,永远分不完.也就是说随着分割的次数增加,棰会越来越短 ,长度接近于零,但又永远不会等于零.墨家观点与惠施不同,提出一个“非半”的命题,墨子说“非半弗,则不动,说在端”.意思是说将一线段按一半一半地无限分割下去,就必将出现一个不能再分割的“非半”,这个“非半”就是点.墨家有无限分割最后会达到一个“不可分”的思想,名家则有“无限分割”的思想.名家的命题论述了有限长度“无限可分”性,墨家的命题指出了无限分割的变化和结果.显然名家和墨家的讨论,对数学理论的发展具有巨大推动作用.已反映出极限思想的萌芽,这无疑成为极限概念产生的丰厚的沃土.但从现有的史料来看,这种思想主要局限于哲学领域,还没有应用到数学上,更加谈不上应用极限的方法来解决数学问题.公元3世纪,我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”.他创造性地将极限思想应用到数学领域.所谓割圆术,具体的方法是把圆周分割得越细,内接多边形的边数越多,其内接正多边形的周长就越是接近圆周.如此不断地分割下去,一直到圆周无法再分割为止,当到了圆内接正多边形的边数无限多的时候,它的周长就与圆周几乎“吻合”,进而完全一致了.刘徽将正多边形的面积算到了3072边形,由此求出的圆周率为3.1416,是当时世界上最早也是最准确的数据.后来祖冲之用这个方法把圆周率的值计算到小数点后七位,这种对于某个值无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础.在国外,古希腊时期也有极限思想.古希腊的巧辩派中有相当一批人对几何三大问题感兴趣.安提芬在研究“化圆为方”的问题时想到用边数不断增加的内接正多边形来接近圆面积,当多边形的边数不断加倍时内接正多边形与圆周之间存在的空隙就被逐渐“穷竭”,不过没有具体计算的记载.公元前4世纪,古希腊数学家欧多克斯创立了较严格的确定面积和体积的一般方法—“穷竭法”,这种方法假定量的无限可分性,并且以下面命题为基础:“如果从任何量中减去一个不小于它的一半的部分,从余部中再减去不小于他的一半的另一部分,等等,则最后将留下一个小于任何给定的同类量的量.”应用穷竭法,欧多克斯正确地证明了“圆面积与直径的平方成正比例”以及“球的体积与直径的立方成正比例等结论”.欧多克斯的穷竭法,也已体现出了极限论思想.古希腊最伟大的数学家阿基米德巧妙地运用欧多克斯等人的穷竭法,通过严密的计算,解决了求几何图形的面积、体积、曲线长、计算二值等大量的计算问题.它突破了传统的有限运算,采用了无限逼近的思想,将需要求积的量分成许多微小单元,再利用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较,他的无穷小量概念到17世纪被牛顿作为微积分的基础.由此,我们可以看到在数学无穷思想发展之初,古人就己在极限领域开创了一个光辉的起点.1.2极限思想的发展极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相连的.16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期,生产力发展,生产和技术中大量的问题,只用初等数学的方法已经无法解决,这就要求数学突破传统常量范围,来提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具,这是促进极限发展的社会背景.16世纪,荷兰人斯泰文在考察三角形重心的过程中借助几何直观用极限思想思考问题,将极限概念向前推进了一步,但极限思想仍只停留在思想的层面,没有形成系统的理论体系.进入17世纪,特别是牛顿在建立微积分的过程中,由于极限没有准确的概念,也就无法确定无穷小的概念,利用无穷小运算时,牛顿做出了自相矛盾的推导：在用“无穷小”作分母进行除法时,无穷小量不能为零；而在一些运算中又把无穷小量看作零,约掉那些包含它的项,从而得到所要的公式,显然这种数学推导在逻辑上是行不通的.那么,无穷小量是零还是非零？这个问题困然牛顿也困扰着与x +,()()00y f x x f x =+-,则（ ()()(00,00limlim x x f x x f x yf x x→→+-==导数是函数增量y 与自变量增量x 之比yx的极限函数关于自变量的平均变化率,而导数(),0f x 则为f 在0x 处关于）式极限不存在,则称f 在点0x 处不可导.可见,微分学的基本概念，试证()lim f ax ,()00x x x +∈时,相应地得到函数的增量为 ()()00y f x x f x =+-. 如果存在常数A ,使得y 能表示成()o y A x x =+, （可微,并称（3）式中的第一项A x 为f 在点A x 或 ()x x df x A x -.在点0x 可微的充要条件是函数f 在点0x 可导【必要性】若f 在点）式有 (0yA x=+(000limlim x x yA x→→==+()(),00y f x x x =+表明函数增量y 可表示为x 的线性部分()(),0f x x 与较x 高阶的无穷小在点x 可微,且有()0,0x x dyf x x -=这个定理的证明就充分利用了极限的思想.微分学的另一基本概念积分也是用极限来定义的.是定义在区间]上的有界函数个子区间[1,i i i x x -=子区间及其长度记作i x .在每个子区间上,1,2,...,i i ∈=)i x .如果当最大的子区间的长度和式()1ni i i f x ξ=∑的极限存在并且其极限值与的分发及在区间[],a b 上可积,此极限值称为f 在区间()(1nbi i ai f x f ξ==∑⎰为平面上可求长度的曲线段个可求长度的小曲线段为i s ,分割T max i ns ,在i L 上任取一点()01lim ,ni i i f s J ξ→==∑,切的值与分割(),x y 在L 上的第一型曲线积分,记作由上充分体现了极限思想在微积分中无可替代的重要地位微积分中还有许多重要的定义也离不开极限思想（3） 若()1r A n =-,()r B n =时,可知在矩阵A 中至少有一个元素的代数余12122212n n n n nn a aa a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭, 此时()A ε为可逆矩阵,又因为()A ε*由定义6可得：当ε→,(01000=000101n a b ab b n a b ab a b +⎧⎪⎨⎪+⎩+阶证明:已知1000000101n n a b ab a b abD a b ab a b ++=++阶1111b a b a++-=-；2ab b ++=101000000101k k a b ab b b a b ab a b ++=++阶1+时：101000000101k a b ab a b ab a b ++++阶按第一行展开=()()12-11k k a b D ab D +++-=()a b D +(01000000101n b x bxf x b x bx b x +=++阶)x 为关于x 的连续幂函数,且当x b ≠时,同样有：)11n n b x x ++-=根据连续函数的性质有：(01000=0001001n a b ab b n a b ab a b +⎧⎪⎨⎪+⎩+阶3 极限思想的哲学意义极限理论的建立,使数学摆脱了许多与无穷有关的悖论的困扰,悖论思想是一种探索性的辩证思维,这种思维的追索可以揭示一个概念、一种学说中存在的深刻的内在矛盾性.极限思想正是在这种悖论思维中得以发展和完善的.学习极限思想对于培养人的思维方法、思维品质,提高其分析问题和解决问题的能力,形成正确的世界观和人生价值观都有极好的作用.极限思想的哲学意义主要表现在以下几个方面:（1）极限思想是变与不变的对立统一.“变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止的两种不同状态,是事物两种对立的矛盾状态.辩证唯物主义观点认为,它们在一定条件下可以相互转化.极限思想的研究提供了“变”与“不变”相互转化的方法和理论依据.使得人们能够由“不变”认识了“变”,实现了“变”中求得“不变”.因为有了极限的思想和方法,为人们解决事物变化中的问题提供了科学方法,形成了实用有效的“微元法”.（2）极限思想是有限与无限的对立统一.有限与无限有着本质的不同,但二者又有联系,无限是有限的发展,同时借助极限法,从有限认识无限.例如,在极限式n x a →,a →∞中n x 对应数列中的每一项,这些不同的数值n x 既有相对静止性,又有绝对的运动性.数列中的每一项n x 和a 是确定不变的量,是有限数；随着n 无限增大,有限数n x 向a 无限接近,正式这些有限数的n x 无限变化,体现了无限运动的变化过程,这种无限运动变化结果是数值.因此在极限思想中无限是有限的发展,有限是无限的结果,他们既是对立又是统一的.（3）极限思想是近似与精确的对立统一.近似与精确在一定条件下可以相互转化,这种转化是理解数学运算的重要方法.在极限抽象的概念中,引入“圆内接正多边形面积”,其内接多边形面积的近似值是该圆面积,当多边形的边数无限增大时,内接多边形的面积无限接近于圆的面积,取极限值后就可以得到圆面积的精确值,这就是借助极限法,从近似认识精确.虽然近似与精确是两个性质不同、完全对立的概念,但是通过极限法,建立两者之间的联系,在一定条件下可以相互转化.因此,近似与精确既是对立又是统一的.（4）极限思想是量变与质变的对立统一.辩证唯物主义认为,事物是处于不断变化过程中的,是量变和质变的统一.量变是事物发生变化的前提和准备条件,质变是事物变化的必然结果.当事物的量积累到一定的基础、达到事物变化的度时就一定发生质变.极限思想生动地诠释了马克思主义这一科学原理.例如对任何一个圆内接正多边形来说,当它边数加倍后,得到的还是内接正多边形,是量变,不是质变.但是,不断地让边数加倍,无限地进行下去的时候,多边形就质变为圆,多边形面积就转化为圆的面积.极限的思想方法让我们从量变认识到了质变.（5）极限思想是过程与结果的对立统一.过程和结果在哲学上是辩证统一的关系,在极限思想中也充分体现了结果与过程的对立统一.例如,平面内一条曲k.当曲线上的点无限接近于P点的过程中,k是变线C上某点P的切线斜率为pk是变化结果.一方面,无论曲线上点多么接近点P,都不能与点P重合,化过程,pk,这体现了过程和结果的对立性；另一方同样曲线上变化点的斜率k也不等于pk,二者之间有紧密的联系,无面,随着无限接近过程的进行,斜率k越来越接近pk,这体现了过程与结果的统一性.所以,极限接近的变化结果使得斜率k等于了p限思想是过程与结果的对立统一.（6）极限思想是否定与肯定的对立统一.任何事物的内部都包含着肯定因素和否定因素,都是肯定方面和否定方面的对立统一.单位圆和它的内接正多边形分别是两个事物的对立面,内接正多边形是事物对自身的肯定,其中也包含着否定,这种内在的否定因素是通过圆内接正多边形的边数的改变来体现的.随着圆内接正多边形的边数逐渐增加到无穷时,内接正多边形的面积转化为圆的面积,促使该事物转化为自己的对立面.由肯定达到自身的否定,这体现了否定与肯定的对立；圆的内接正多边形和圆虽然是两个对立的事物,但是二者之间有紧密的联系,圆内接正多边形的面积可以转化为圆的面积,而圆是通过逐步增加内接正多边形的边数来实现的,从而建立了两者的联系,体现了否定与肯定的统一.小结极限的思想方法作为人类发现数学问题和解决数学问题的一种重要手段,它不仅是我们学习极限或高等数学所必须理解的,也是我们解决数学问题或实际问题所必须掌握的思想方法.它使得局部与整体,微观与宏观,过程与状态,瞬间与阶段的联系更加明确.使我们既可以居高临下,从整体角度考虑问题,又可以析理入微,从微分角度考虑问题.它的产生为数学的发展增加了新的动力,使数学得以在新的领域不断开拓新的道路,也使哲学找到了更多新的用以描述和论证世界的工具.本文从极限的产生与发展入手，描述了极限思想产生的背景，前进的过程，再到完善。

为什么强调极限思维强调极限思维的重要性极限思维，即以最大限度地突破自身极限为目标的思考方式，在当今社会中越来越受到重视。

这是因为在这个快速发展的时代，迎接各种挑战和机遇，只有拥有强调极限思维的能力，才能够充分发挥自己的潜力，取得成功。

首先，强调极限思维可以使个人不断突破自己的能力边界。

人的潜能是无限的，只有不断挑战自己，尝试新的事物，才能够发现自己的潜能到底有多大。

一个人如果总是在自己的舒适区内，不愿尝试新事物和面对挑战，那么永远也发现不了自己的极限。

而强调极限思维可以让人们勇敢地面对挑战，并通过尝试突破自己的个人极限，不断提高自己的能力和素质。

其次，强调极限思维可以激发个人的创造力和创新意识。

只有不断挑战自己，尝试新的方法和思维方式，才能够培养和激发个人的创造力和创新意识。

在竞争激烈的现代社会中，创造力和创新是成功的关键。

只有拥有强调极限思维的人，才会不断寻求突破自己和站在他人之上的方法和思路，从而取得更大的成功。

最后，强调极限思维可以培养个人的坚韧和抗压能力。

在现实生活中，每个人都会面临各种各样的困难和挑战。

只有有了强调极限思维的能力，才能够在困难面前坚持不懈，战胜困难，迎接新的挑战。

而没有强调极限思维的人，很容易在遇到困难时选择放弃，无法坚持走下去。

因此，强调极限思维的能力是培养个人坚韧和抗压能力的关键。

总之，强调极限思维的重要性在于它可以激发个人的潜能，培养创造力和创新意识，以及锻炼个人坚韧和抗压能力。

在当今竞争激烈的社会中，只有不断挑战自己的极限，才能够立于不败之地，取得成功。

所以，我们应该时刻强调并培养极限思维的能力，以应对未来的挑战和机遇。

强调极限思维的重要性极限思维是指在追求卓越的过程中，不断突破自身能力极限的思考方式。

它强调挑战自我、超越自我，并寻求创新和突破。

在当今快速发展的社会中，强调极限思维的重要性越来越被人们所认识和重视。

下面将从三个方面探讨为什么强调极限思维至关重要。

极限思维是一种重要的思维方式，它强调在思考问题时将事物推至极限状态进行考虑，从而更深入地理解事物的本质和规律。

坚持极限思维具有重要的意义：
首先，极限思维可以帮助人们更准确地把握事物的本质和规律。

通过将事物推至极限状态进行考虑，可以更好地揭示其内在矛盾和问题，进而深入理解事物的本质和规律。

例如，物理学中的一些公式和原理常常是通过理想化模型得到的，这些理想化模型实际上就是在极限条件下的推论。

其次，极限思维有助于人们在处理实际问题时更好地寻找解决问题的关键点和突破口。

通过极限思维，可以将问题的条件推向极致，从而更容易发现问题的本质和核心，找到解决问题的关键点和突破口。

例如，在数学和工程领域中，极限和优化的方法常常被用来寻找最优解或最小化成本。

此外，极限思维还有助于培养人们的创新意识和创造力。

在极限条件下进行思考，需要人们打破常规、敢于挑战、勇于创新，寻找新的思路和方法。

这种思维方式有助于培养人们的创新意识和创造力，从而在各个领域中实现新的突破和创新。

总之，坚持极限思维具有重要的意义，可以帮助人们更深入地理解事
物的本质和规律，寻找解决问题的关键点和突破口，培养创新意识和创造力。

因此，我们应该积极培养和运用极限思维，以更好地应对各种复杂的问题和挑战。

逻辑学：极限思想的辩证思考 逻辑学论文：极限思想的辩证思考 0引言。

 微积分是研究客观世界运动现象的一门学科，我们引入极限概念对客观世界运动过程加以描述，用极限方法建立其数量关系并研究其运动结果[1]。

极限理论是微积分学的基础理论，贯穿整个微积分学。

要学好微积分，必须认识和理解极限理论，而把握极限理论的前提，首先要认识极限思想。

极限思想蕴涵着丰富的辩证思想，是变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变以及否定与肯定的对立统一。

 1极限思想与辩证哲学的联系。

 1.1极限思想是变与不变的对立统一。

 变与不变反映了客观事物运动变化与相对静止两种不同状态，不变是相对的，变是绝对的，但它们在一定条件下又可相互转化。

例如，平面内一条曲线C上某一点P的切线斜率为kp。

除P点外曲线上点的斜率k是变量，kp是不变量，曲线上不同的点对应不同的斜率K，斜率k不可能等于kp，k与kp是变与不变的对立关系;同时，它们之间也体现了一种相互联系相互依赖的关系。

当曲线上的点无限接近P点过程中，斜率k无限接近kp，变化的量向不变的量逐渐接近。

当无限接近的结果产生质的飞跃时，变量转化为不变量，即变而不变，这体现了变与不变的统一关系。

 1.2极限思想是过程与结果的对立统一。

 过程和结果在哲学上是辩证统一的关系，在极限思想中也充分体现了结果与过程的对立统一。

在上例中，当曲线上的点无限接近点P的变化过程中，k是变化过程，kp 是变化结果。

一方面，无论曲线上点多么接近点P，都不能与点P重合，同样曲线上变化点的斜率k也不等于kp，这体现了过程与结果的对立性;另一方面，随着无限接近过程的进行，斜率k越来越接近kp，二者之间有紧密的联系，无限接近的变化结果使得斜率k转化为kp，这体现了过程与结果的统一性。

所以，通过研究曲线上点斜率k 的变化过程得到P点的斜率kp就是过程与结果的对立统一。

 1.3极限思想是有限与无限的对立统一。

 在辨证法中，有限与极限是对立统一的。

浅论高等数学中的极限思想浅论高等数学中的极限思想谷亮（辽宁铁道职业技术学院辽宁锦州 121000 中国）摘要：极限是高等数学最基本的概念之一，极限思想是近代数学的一种很重要的数学思想，是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，本文从极限的定义、极限思想的价值、教学中如何渗透极限思想几个方面进行了简要论述。

关键词：高等数学，极限，极限思想、教学一、极限的概念1、数列极限：设{x }n 为一个数列，a 为一常数，若0ε?>，总存在一个正整数N ，使得当n N >时，有n x a ε-<，称a 是数列{x }n 的极限。

记作lim n n x a →∞=2、函数极限：设函数(x)f 在点a 的某去心邻域内有定义，A 为一常数，若0ε?>，总存在一个正数δ，使得当0x a δ<-<时，有(x)f A ε-<，称A 是当x 趋向于a 时函数(x)f 的极限。

记作lim (x)x af A→=。

自变量变化过程还包括：,,,x a x a x x +-→→→+∞→-∞，极限的定义类似。

在数学发展的过程中,出于不同需要,还引进了不同意义下的极限概念,比如在集论中引进了集列的上、下极限的概念,在无穷级数论中引进级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及在函数逼近论中引进了一致逼近、平均逼近等的极限概念.无论怎样定义，其本质都是一样的，都是从有限观念发展到无限观念的过程。

二、极限思想的价值极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的关系，通过极限思想，我们可以从有限来认识无限，以直线近似代替曲线，以不变认识变化，从量变认识质变。

因此，极限思想具有由此及彼的创新作用，极限思想方法也广泛用于微分方程、积分方程、函数论、概率极限理论、微分几何、泛函分析、函数逼近论、计算数学、力学等领域。

生活中也有这样的例子：一张饼，第一天吃它的一半，第二天吃它的一半的一半，第三天吃它的一半的一半的一半，……如此这样，这张饼能吃得完吗？显然是永远吃不完的，虽然饼越来越小，但还是有的。