例谈极限思想在高考中的应用

极限法（特殊值法）在物理高考中的应用“极限法”是一种特殊的方法，它的特点是运用题中的隐含条件，或已有的概念，性质，对选项中的干扰项进行逐个排除，最终达到选出正确答案的目的。

极限法在物理解题中有比较广泛的应用,将貌似复杂的问题推到极端状态或极限值条件下进行分析，问题往往变得十分简单。

利用极限法可以将倾角变化的斜面转化成平面或竖直面。

可将复杂电路变成简单电路，可将运动物体视为静止物体，可将变量转化成特殊的恒定值，可将非理想物理模型转化成理想物理模型，从而避免了不必要的详尽的物理过程分析和繁琐的数学推导运算，使问题的隐含条件暴露，陌生结果变得熟悉，难以判断的结论变得一目了然。

1.（12安徽）如图1所示，半径为R 均匀带电圆形平板，单位面积带电量为σ，其轴线上任意一点P （坐标为x ）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：E =2πκσ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-21221x r x，方向沿x 轴。

现考虑单位面积带电量为0σ的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r 的圆板，如图2所示。

则圆孔轴线上任意一点Q （坐标为x ）的电场强度为 ( ) A. 2πκ0σ()2122x r x+B. 2πκ0σ()2122xrr+C. 2πκ0σr x D. 2πκ0σxr【解析】当→∝R 时，22xR x +=0，则0k 2E δπ=，当挖去半径为r 的圆孔时，应在E中减掉该圆孔对应的场强）（220r xr x -12E +=πκδ，即21220x r x2E ）（+='πκδ。

选项A正确。

2.（11福建）如图，一不可伸长的轻质细绳跨过滑轮后，两端分别悬挂质量为m 1和m 2的物体A 和B 。

若滑轮有一定大小，质量为m且分布均匀，滑图1图2轮转动时与绳之间无相对滑动，不计滑轮与轴之间的磨擦。

设细绳对A 和B 的拉力大小分别为T 1和T 2，已知下列四个关于T 1的表达式中有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析判断正确的表达式是（ ） A.21112(2)2()m m m g T m m m +=++ B. 12112(2)4()m m m gT m m m +=++C. 21112(4)2()m m m g T m m m +=++ D. 12112(4)4()m m m gT m m m +=++【解析】利用极限的思维方式，若滑轮的质量m =0，则细绳对A 和B 的拉力大小T 1和T 2相等为T 。

极限思想在高中数学解题中的应用摘要：极限思想在函数、方程、不等式、三角函数﹑数列、立体几何等众多问题中都可巧妙运用。

在高中数学解题中,教师应渗透有关极限思想的教学,让极限思想进入学生数学思维领域，其次学生需善于总结发现运用极限思想解决相关题型。

下面就如何让极限思想应用于解高中几大类型题目,展开叙述。

关键词：极限思想；解题；应用；一、在日常教学中渗透,逐步形成认知在高中阶段,许多知识和方法和“无限趋近”相关﹐如区间的无穷远处、数列的项数﹑柱锥台之间的关系、函数图像的渐进线、曲边图形的面积及曲线的切线等。

因此,教师要在日常教学中进行渗透,让学生逐步形成对它的认知。

教科书这样呈现区间表示:实数集可以用区间表示为。

我们可以把满足, ,,的实数的集合分别表示为,,,。

二、在概念教学中渗透,深化理解与认识教科书虽然没有正面提及极限的概念,但是在导数的定义中,已经很紧密地把导数和极限概念关联在一起了。

当时，(为常数),把称为在点的导数,记作。

在这里,“无限趋近”的实质就是高等数学中的极限概念﹐实际教学中教师通常是借助导数的几何意义来帮助学生理解“无限趋近”,让学生直观地体验“无限趋近”,然后引导学生逐步认识“无限趋近”在解题中的作用。

三、在优化解题中渗透,体验巧妙解题的魅力数学思想的魅力在于能巧妙运用,优化解题思路，提升解题效率。

极限思想也不例外,它在函数、方程、不等式、三角函数﹑数列、立体几何等众多问题中都可巧妙运用。

尤其在解决带参数的超越函数的零点问题上,可利用参变量分离方法和极限思想对所构造超越函数的图像进行定位,从而避开繁杂的讨论,大大优化解题过程。

1.极限思想在立体几何中的应用立体几何很考验同学们的空间想象和计算能力，同学们一般会花费大量时间解答这类题,但如果能够恰当地运用极限思想,就可以将复杂图形简单化,计算也随之变得容易。

例1、圆台的上底面和下底面的半径分别是和,作一个平行于圆台底面的截面将圆台分为体积相等的两部分,则截面圆的半径为（）。

极限思想在高中数学解题中的应用极限思想在高中数学解题中的应用极限思想作为一个重要的数学概念在高中数学教学中得到了培训，影响着后来数学解题的过程，也对提升高中数学解题水平比较有意义。

因此，如何应用极限思想在高中数学解题中显得尤为重要。

首先，要认识到极限中的关系。

极限的基本概念是“当x的值逐渐接近某个特定的值，y的值也会逐渐靠近某个特定的值”，换句话说，所谓的“靠近”，就是指每次减小x的值时，y的值也会靠近某个极限值。

根据极限的定义，某一极限存在时，x的关系可以抽象成一个方程，即极限=f（x）。

其次，要学会把握极限的推导过程，比如一些分式除以越来越小的常数，我们往往会把这样的分式将其多次连乘，并且把和分母相特殊的项放到分母里，最终将这样的分式简化成一个极限式。

再次，要学会利用极限的思想来解决实际问题，比如高中生求解一元二次方程，可以先进行联立方程求值，再使用极限的思想，当a，b极限的值为1的时候，极限的解为2a+db。

这样就可以轻松求出一元二次方程的解。

比如，当方程为：ax2+bx+c=0时，极限值为2a+db，从而得到方程的解。

最后，要保持极限思想的正确认识和理解，比如说，在一般条件下，极限的值及其对应的x的值是有限的，而不是无穷的，那么也就意味着，在一定的条件范围下，有些函数的极限就是有限的，所以，当c取不同值时，极限也就有所变化，从而达到解决数学问题的目的。

极限思想作为一个数学思想，最重要的还是要正确理解和运用。

极限思想是对极端情况的分析，也可以帮助我们在解决数学问题中节省不少时间和精力。

因此，广大高中生要加强极限思想的学习，用正确的思想来解决高中数学中的各种问题，从而提高数学解题的水平。

高等数学中的极限概念在高考数学中的表现在高考数学中，极限概念是非常重要的一个概念。

在数学领域中，极限概念是非常基础而又重要的一个概念，而在高等数学领域中，极限概念的应用更加广泛深入。

在高考数学中，极限概念的考察通常体现在函数极限、数列极限等方面。

下面将从基本概念、性质和应用等方面详细论述高等数学中的极限概念在高考数学中的表现。

一、基本概念极限概念是指随着自变量趋近于某一个值时，函数值或者数列中的数值趋近于一个确定的值或趋于无限大或趋于无穷小。

在高考数学中，研究的对象是数列或函数趋近一个数或无限大或无穷小的一种状态或方向。

因此，高考数学中的极限通常是指数列或函数趋近某一数值、无限大或无穷小时的极限。

二、极限的性质1. 唯一性：若存在极限，那么它是唯一的。

2. 保序性：若a＜b且对于一切n，有an＜bn，则liman＜limbn。

3. 夹逼准则：设数列an≤bn≤cn，若an和cn的极限都是a，则bn的极限也是a。

4. 有界性：如果数列有极限，则必定是有界的。

5. 收敛数列的四则运算：设数列{an}和{bn}都收敛，且liman＝a，limbn＝b，那么有以下结论：(1) lim{an＋bn}＝a＋b；(2) lim{an－bn}＝a－b；(3) lim{an×bn}＝ab；(4) lim{an/bn}＝a/b（前提是bn≠0，b≠0）。

6. 收敛数列的夹逼原理：如果数列{an}、{bn}、{cn}满足an≤bn≤cn，且liman＝limcn＝a，则{bn}收敛，其极限为a。

三、极限的应用1. 数列极限的应用数列极限的应用很广，如证明数列的单调性、求极限和数列求和等。

例如，在一些综合类的题目中，考生需要使用递推公式求出一个数列的第n项，若数列发散，则完全可以利用数列的单调性以及极限的定义来证明其发散。

而另外一些题目则需要考生求出数列的极限值来进一步求出其总和等其他性质。

2. 函数极限的应用函数极限的应用也非常广泛，如判断函数的连续性、求导数及求曲线等。

极限思想在高中解题中的运用 多伦县第三中学 刘洪庆极限的思想是近代数学的一种重要思想，我们在大学所学的数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。

而在高中一些数学问题的解答上如运用极限的思想，会使我们的解答简单而高效。

所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。

下面将用例题举出极限思想的妙处。

尝试将极限思想和方法渗透、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视。

数学思想方法是数学的灵魂，没有数学思维就没有真正的数学学习。

要让学生学好数学，用好数学，就要让学生走进数学的“灵魂深处”。

给大家介绍说明本文要用到的数学符号:”。

“负向趋近于”表示③“”。

“正向趋近于”表示②““趋近于”。

”表示①“a :a a :a :-→+→→ 举例: 大”。

且比“正向趋近于”表示“11:1+→小”。

且比“负向趋近于”表示“11:1-→例1、函数xx xx e e e e y ---+=的图象大致为（ ）解析：x x x x x x x x e e e e e e ee y 11-+=-+=--当 +→0x 时，+→1x e ，-→11x e ，∴+→-0)1(x x e e 、2)1(→+x x e e ， +∞→+=∴02y 。

故排除B 、C 、D 。

选A 例2、函数x x x y --=226cos 的图象大致为（ ）解析：当 +→0x 时，+→12x ，-→121x ，∴+→-0)212(x x ，16cos →x ， ∴+∞→+=01y 。

当 -→0x 时，-→12x ，+→121x ，∴-→-0)212(x x ，16cos →x ， ∴-∞→-=01y 。

排除A 、B 又应为x 6cos 是值域[]1,1-上的周期函数，所以选D例3、函数x x x f tan 2)(-=在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上的图象大致为（ ）解析: 当-→2πx 时,+∞→x tan ,-∞→-x tan ,-∞→-x x tan 2,-∞→∴)(x f ,排除B 、D 选项当 +-→)2(πx 时, -∞→x tan ,+∞→-x tan ,+∞→-x x tan 2,+∞→∴)(x f 排除A 选项故选C例4、函数x e e y x x sin )(--=的图象（部分）大致是（ ）解析：当+→0x 时，+→1x e ，-→11x e ，∴+→-0)1(xx e e ，+→0sin x ， +→+⨯+=∴0)0()0(y 。

簧最大压缩量为４ｘ０.或将物体图像延长ꎬ物体所受合力做功为零ꎬ图像与ｘ轴上所包面积与ｘ轴下方所包面积相等ꎬ同样可得物体Ｐ所在弹簧最大压缩量为２ｘ０ꎬＱ所在弹簧最大压缩量为４ｘ０.则Ｑ下落过程中ꎬ弹簧最大压缩量是Ｐ物体下落过程中弹簧最大压缩量的２倍ꎬ故选项Ｄ错误.能力考查和错因分析㊀本题Ａ选项ꎬ要求考生清楚认识万有引力与重力关系ꎬ要求考生灵活运用物理规律结合图像纵坐标截距处理问题ꎬ考查学生的理解能力ꎬ部分同学对物理规律不能灵活运用ꎬ不能计算出Ａ选项ꎻ本题Ｂ选项ꎬ要求考生结合图像横坐标截距ꎬ应用胡克定律和平衡条件列平衡方程求解ꎬ考查学生推理能力.部分考生忘记胡克定律或不能从图像中读取加速度为零的平衡信息ꎬ不能计算并甄别Ｂ选项ꎻ本题Ｃ选项ꎬ要求考生能够从图像中读取面积信息ꎬ结合动能定理解题.要求考生深刻理解动能定理ꎬ并应用动能定理逻辑推理求解ꎬ难度较大ꎻ本题Ｄ选项ꎬ部分考生选学选修３－４ꎬ熟悉简谐运动对称性ꎬ能够较快得出正确答案.部分考生未学选修３－４ꎬ只能将图像中直线延长ꎬ依据图像解题ꎬ试题难度增加ꎬ不能判别此选项.本题以ａ－ｘ图像为背景ꎬ要求学生结合图像等综合分析ꎬ要求学生结合图像推导一次函数关系ꎬ考查学生对于图像斜率㊁横纵坐标截距㊁图像与横轴所夹面积等物理意义的理解ꎬ考查学生理解能力㊁推理能力㊁综合分析能力.充分凸显高考试题选拔人才功能ꎬ同时引导后期教学ꎬ应着重关注 培养学生获取㊁理解文字和图像信息ꎬ调动物理知识解决实际问题的能力 .应着重培养学生应用物理知识解决实际问题的物理观念ꎬ培养学生依据实际情景建构模型㊁科学推理和科学论证的科学思维.把提高学生学科核心素养作为教学的核心目标.㊀㊀参考文献:[１]廖伯琴.«普通高中物理课程标准»解读[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０１８:１－２２４.[责任编辑:颜卫东]试论极限思维在高中物理解题中的有效应用周庆武(甘肃省甘南州合作一中㊀７４７０００)摘㊀要:在高中阶段ꎬ物理学习困难ꎬ知识分散内容多等多种问题ꎬ严重影响了学生的学习兴趣和解决问题的能力ꎬ老师可以通过使用极限思维的方式ꎬ来让学生了解它在高中物理的使用方式ꎬ应用情况ꎬ并进一步实践ꎬ对应用进行详细分析ꎬ包括使用极限思维解决问题突破极限思维方式ꎬ利用极限思维来解决面临的问题.现如今ꎬ在物理的教学过程中ꎬ极限思维已经成了常用的方式.本文讨论的就是在高中物理中对极限思维方式的应用ꎬ仅供参考.关键词:极限思维ꎻ高中物理ꎻ物理教学中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)３４－００７５－０２收稿日期:２０１９－０９－０５作者简介:周庆武(１９７６.１２－)ꎬ男ꎬ陕西省汉阴人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中物理教学研究.㊀㊀一㊁极限思维在高中物理中的应用价值极限思维方法又被称为极点思维法ꎬ是指某一空间中的两个量ꎬ一般来说ꎬ单调递增与单调递减函数关系的变化ꎬ以及数量的连续变化ꎬ可以在空间领域的变化范围ꎬ获得极点或限制思维过程的问题解决方法应用于高中物理问题的解决ꎬ这一思维在对培养学生解决问题有着重要作用.在高中物理解决问题中极限思维具有重要的应用价值ꎬ通过科学创新的逻辑思维和问题解决方法ꎬ这种思维变化的东西可以限制在两个极端ꎬ无论什么空间什么东西ꎬ都可以设置ꎬ以便在发展规律之间从一端到另一端的变化过程中分析事物ꎬ并找到解决问题的方法.极限思维应用于高中物理问题解决ꎬ使得问题可以５７从复杂到简单ꎬ使得问题解决的物理分析明确逻辑严谨ꎬ学生在解决过程中从极端的思想ꎬ不仅可以大大增加学生的理解关于解决问题的主题信息和方法ꎬ还要从整体上了解步骤.极限思维在不断的受到学生的认同ꎬ主要是体现在ꎬ不仅仅能使得学生们的成绩提升和改善他们的学习方法ꎬ还可以让学生得到全面的发展ꎬ使得他们在高中的学习生活中不断的得到成长.㊀㊀二㊁极限思维在高中物理中的体现高中生知道应用物理公式解决问题ꎬ可以提高他们的推理能力ꎬ能够快速妥善地解决问题ꎬ可见物理公式的重要性和使用微积分公式的推导ꎬ显然是使用相应的极限思想ꎬ例如ꎬ当导出均匀变量线性运动位移公式时ꎬ可用极限思维ꎬ物体的运动可以分为一个小截面ꎬ然后在ｖ－ｔ图像上的所有小位移位对于矩形区域的识别ꎬ在积累矩形区域后ꎬ可以通过位移过程得到所需要的ꎬ可以看出ꎬ利用思维的极限ꎬ是无限时间区域分割的整个过程的核心ꎬ所以时间间隔几乎接近于零ꎬ此时梯形区域上无限图像的值的累积和.㊀㊀三㊁极限思维在解决高中物理问题的应用１.极限思维在高中物理解题中定量计算的定性检测应用高中生在分析物理问题上ꎬ往往习惯性地思考ꎬ所以很多物理学科的问题不仅难以解决ꎬ而且还要纠正错误的解决方案ꎬ使用极限思维方法不仅可以提高解决问题的时间ꎬ提高解决问题的效率ꎬ在实际解决物理问题的过程中ꎬ极限思维具有很强的科学性和应用性.例如ꎬ如果电梯中有某个物体ꎬ如果电梯以ａ＝６ｇ/５的恒定加速度上升ꎬ则要计算物体在电梯地板上形成的压力值.解决这个问题ꎬ一般的想法是把物体作为研究对象ꎬ物体的向下重力是ｍｇ.地板产生的向上支撑力是Ｎꎬ物体减速ꎬ并且加速方向是向下的.根据牛顿第二定律ꎬｍｇ－Ｎ＝ｍａꎬＮ＝ｍｇ－ｍａ＝－ｍｇ/５.升力的加速度临界值ａ１＝ｇ.由于此时绝对完全处于失重状态ꎬ地板上的物体压力值为０ꎬ极限思维在提高学生解决物理习得的效率和准确性方面起着重要作用.２.利用极限思维的解题方法用极限思维求解问题方法ꎬ可以解决常规方法无法解决的问题ꎬ如在标题中出现大量数据和复杂信息ꎬ在应用上限制思考问题的解决方法ꎬ找到解决问题突破ꎬ消除无关信息解决问题ꎬ从而获得解决问题的方法ꎬ找到正确的答案.例如ꎬＡ和Ｂ是串联电路的两个电阻ꎬＡ和Ｂ的两个电阻是Ｒ和Ｒ１.其中Ｒ２是电路的总电阻ꎬＲ是可变电阻.Ｒ增大ꎬ正确的是(１)Ａ和Ｂ两点之间的电压(Ｕ)减小ꎻ(２)两点Ａ和Ｂ之间的Ｕ增加ꎻ(３)通过可变电阻的Ｒ电流(Ｉ)增加ꎻ(４)经过可变电阻Ｒ的电流(Ｉ)减小.在传统的思维方式中ꎬ如果ＲＡＢ增加ꎬ电路的总电流将减小ꎬ但ＵＡＢ的增加将增加通过Ｒ１的电流Ｉ.因此ꎬ结论(２)和(４)是正确的答案.但是ꎬ如果解决方法不到位ꎬ学生将花费大量时间来解决此问题.他们将使用极限思维来解决问题ꎬ并根据增加Ｒ值的持久性原则将Ｒ值增加到无穷大.然后Ａ和Ｂ的总电阻最大ꎬＵＡＢ的最大值可以通过分压原理获得.当Ｒ为无穷大时ꎬ电路中的电流为０ꎬ因此选择(２)和(４)是正确的答案.在传统的教学结构中ꎬ由于对学习的程度不断加深ꎬ新知识和旧知识的不断交替ꎬ加上学生思维结构的局限和日常生活经验积累的不足ꎬ使得物理学习过程中常常存在错误.学生ꎬ尤其是不断的犯错中ꎬ不断地纠正ꎬ教师应该面对学生发生错误ꎬ听取学生的想法ꎬ理解他们为什么会犯错误ꎬ毕竟他们的逻辑思维与我们大人差别很大ꎬ有效开发和利用学生的错误ꎬ突出了 虚假问题 的价值和意义.世界上存在的事物是合理的ꎬ因此学生犯错是有价值的.教师希望在教学资源有效ꎬ有针对性ꎬ高效率的教学过程中不犯错ꎬ同时ꎬ在物理教学过程中应当注重实践的应用ꎬ将极限思维在实践中体现可以使得学生更好更快的接受ꎬ并在学习的过程中尽快的能够融汇贯通的使用ꎬ老师也应当促进发散思维ꎬ实现高质量的教学.极限思维的实用性在于问题主体中间和两端的定位ꎬ使得物理问题的解决趋于简洁ꎬ使学生能够从中找到正确的价值信息和解决方法.复杂的物理问题用极限思维的方式ꎬ使得对学生解决问题是干扰因素减少ꎬ更加快捷的解决问题.如今ꎬ在高中物理教学中ꎬ极限思维方法引起了教师的思考ꎬ不仅提高了学生的问题解决效率ꎬ而且提高了学生的解决问题的能力ꎬ对高中生的物理学习具有重要意义.㊀㊀参考文献:[１]杜志成.试论极限思维在高中物理解题中的有效应用[Ｊ].科研ꎬ２０１７ꎬ１２(０３):２８.[２]冯平.小学数学教学中 错误 资源的开发与利用[Ｊ].学周刊ꎬ２０１８(１３):１００－１０１.[３]黄璜.极限思维在高中物理解题中的应用探讨[Ｊ].考试周刊ꎬ２０１８(３１):１５３－１５４.[责任编辑:颜卫东]６７。

高中物理解题中极限思想的应用作者：佟魁星来源：《中学生数理化·高考理化》2020年第06期同学们在面对一些不能直接进行验证或实验的物理题目时，可以用极限思想梳理题目中的物理规律和物理意义，分析物理定律的适用条件。

极限思想运用的要点是在分析的过程中将某个物理量可能发生的变化推到最大、最小或临界值，根据物理量和其他变量的合理关系分析假设是否准确，下面举例分析。

一、运用极限法寻找思维突破口例1 如图l所示，质量m=50 kg的直杆竖直放在水平面上，直杆和地面间的动摩擦力因数μ=0.3。

将一根绳索一段固定在地面上，另一端拉住直杆上部，保持两者之间的夹角θ=30°。

设水平力F作用于杆上，杆长为L，力F距离地面h1=2/5L，要保证杆子不滑倒，则F的最大值为多少？（取g=10 m/s2）解析：面對这样的问题，很多同学找不到解题的切人点，无从下手。

而运用极限法能轻松地找到思维突破口。

在分析直杆不滑倒这一条件时，应该从两方面考虑，一是直杆和地面的静摩擦力处在极限状态，二是^和力的大小之间的关系。

二、运用极限法提高解题效率例2如图2所示，某滑轮装置处于平衡状态，此时如果将AC换成一条长绳，让C移到C'，AB保持竖直，滑轮仍旧处于平衡状态，那么AC'绳受到的力T和AB杆受到的压力N同之前相比有什么样的变化？解析：用常规解法求解这道题时，需要先考虑以点A为分析对象，综合考虑点A受到的AC绳的拉力T '、AB杆的支撑力N'和AD绳的拉力T0共三个力的作用时处于平衡状态，列出方程，求出T'和N'的大小，再运用牛顿第三定律得出T和N的大小，然后分析T和N大小之间的关系。

不仅过程烦琐，而且计算麻烦，稍不注意还有可能出现计算错误，影响正确判断。

而运用极限法求解，不用设立方程，只要考虑极限状态下T和N的大小就可以。

设AC绳和水平面间的夹角为θ，当θ无限趋近于0时，N=0，T=G;当θ=90°时，N增大，T=N也会增大。

极限思想在高等数学中的应用
极限思想在高等数学中的应用
极限思想是高等数学的基础理论之一。

它的概念深刻，在高等数学的应用中也
有着重要的意义，比如微分学、积分学等。

首先，极限思想用于定义一个函数的极限，可以描述这个函数的表现变化趋势，当函数收敛到某一极限时，它的表现就会趋于稳定。

其次，在微分学方面，极限思想也有着重要用处。

微分学归纳出来的大部分公式都是由极限概念获得的，比如基于极限思想可以得出微积分中的极限中值定理、牛顿近似积分准则等。

简而言之，极限思想是科学研究过程中具有重要价值的一个概念。

极限思想还可以应用于微分方程求解、定积分计算中。

极限思想在微分方程解
法中有着大量的应用，比如变步长Euler法、欧拉法、龙格库塔法等，都是极限思想的应用。

另外，定积分计算中，极限思想也有重要作用，比如把函数的积分计算分解成若干极限，每一步极限可以简便的得出结果，最终把所有的结果求和后可以得到最终的结果。

总结来说，极限思想在高等数学中应用极为广泛。

极限思想既可以用来定义函
数的极限，也可以用来微分方程的求解，定积分的计算等，它能够在很大程度上提高计算效率，简化高等数学的研究。

极限思想在高考中的体现作者：牟佩芳杜收圣来源：《试题与研究·教学论坛》2014年第05期极限思想是分析问题常用的科学思维方法。

“一个变化过程在极短时间内可以认为是不变的”，这是一种极限思想的体现。

如：在力学中，一个变速运动在极短时间内可以当做匀速运动来处理，一段变力做功在极短位移内可以当做恒力做功来处理；在电磁学中，一个变化的电场（或磁场），在极短的时间内可以把它当做恒定电场（或磁场）来处理，这常常是对待复杂物理问题的一种科学方法。

在讲瞬时速度的概念时，用某一极短时间内的△x与△t的比值来表示变速运动的瞬时速度，其中就包含着极限思想，随后在学习匀变速直线运动的位移与时间的关系时，通过v-t图像，运用把变速运动的全过程分割成无数小段匀速运动的思路，得出v-t 图线下面四边形的面积就代表匀变速直线运动的位极限思想还有另一种体现形式，就是在分析问题时“将呈单一变化的某个物理量推向某个极值；或者将非理想物理模型转化成理想物理模型”。

这样可使问题的隐含条件暴露，使问题容易分析判断。

这种科学思维方法常用于解答定性判断题和选择题，或者在解答某些大题时，确定解题方向。

正确、合理地利用这种思维方法，常常能独辟蹊径、化繁为简，达到事半功倍的效果。

下面以近几年高考中出现过的试题为例，领略利用极限思想解决物理问题的妙处。

例1：（2011年高考福建理综第18题）如图，一不可伸长的轻质细绳跨过定滑轮后，两端分别悬挂质量为m1和m2的物体A和B。

若滑轮有一定大小，质量为m且分布均匀，滑轮转动时与绳之间无相对滑动，不计滑轮与轴之间的摩擦。

设细绳对A和B的拉力大小分别为T1和T2，已知下列四个关于T1的表达式中有一个是正确的。

请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是（）。

分析：题目中滑轮有质量而且还转动，超出了高中的大纲要求，高中接触的题目都是轻质滑轮，质量不计的理想化模型，再加上选项中关于T1的表达式很麻烦，所以学生感觉无从下手。

例析极限、特殊化思想在解题中的运用高群安(湖北省襄州一中㊀４４１１０４)摘㊀要:极限思想㊁特殊化思想ꎬ在历年高考中都占有重要的地位.在解题中ꎬ它具有排除否定功能ꎬ具有探求导向作用ꎬ它给我们观察㊁猜想㊁发现提供了有力的依据ꎬ使我们的求解过程有明确的努力方向ꎬ从而增强目标意识ꎬ提高我们的思维水平和解题效率.关键词:极限思想ꎻ特殊化思想ꎻ广泛应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－００７２－０３收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:高群安(１９６３－)ꎬ男ꎬ湖北省襄阳人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁数学思想概要特殊化思想㊀就是用特殊值㊁特殊点㊁特殊函数㊁特殊数列㊁特殊方程㊁特殊图形 去探求未知的题设结论ꎬ或验证已给题设结论的正误.错误的结论可当即否定ꎬ正确的结论则需要进一步的证明.极限思想㊀就是用极限的概念㊁理论去分析问题和解决问题的一种重要的数学思想ꎬ它在探究㊁解决有关数学问题中有着非常广泛的应用.极限思想㊁特殊化思想在历年的高考中占有重要的地位.运用极限㊁特殊化思想解决有关数学问题ꎬ可以迅速排除错误结论ꎬ缩小目标范围ꎬ优化解题过程ꎬ提高解题效率.㊀㊀二㊁数学思想应用举例特殊化思想是解决选择题的一种常用的方法.然而ꎬ对一些解答题ꎬ若先用特值法探求结论ꎬ就能使我们的求解过程有明确的努力方向ꎬ提高解题的效率.极限思想是运动与静止相互转化的观点在数学中的体现ꎬ如三角形可以看作是梯形上底趋向于零的极限情况ꎻ点可以看作是圆的半径趋向于零的极限情况.１.求值问题例１㊀抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的顶点坐标为(ｍꎬ１)ꎬ与ｘ轴的两交点为Ａ㊁Ｂꎬ求｜ＡＢ｜的值.分析㊀取ｍ＝０ꎬ则抛物线方程为ｙ＝－ｘ２＋１ꎬ易得｜ＡＢ｜＝２.解法一㊀把抛物线按向量(－ｍꎬ０)平移后ꎬ顶点坐标为(ｍꎬ１)ꎬ此时抛物线方程为ｙ＝－ｘ２＋１ꎬ｜ＡＢ｜的长度不变ꎬ易得｜ＡＢ｜＝２.解法二㊀ȵ抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的顶点坐标为(ｍꎬ１)ꎬ所以抛物线方程可化为ｙ＝－(ｘ－ｍ)２＋１ꎬ令ｙ＝－(ｘ－ｍ)２＋１＝０得ｘ１＝ｍ－１ꎬｘ２＝ｍ＋１ꎬ｜ＡＢ｜＝｜ｘ２－ｘ１｜＝２.例２㊀求３ｘ＋ｘ＋８３ｘ－１３＋３ｘ－ｘ＋８３ｘ－１３之值.分析㊀当ｘȡ１时ꎬ原式有意义ꎬｘ＝１时ꎬ原式＝１＋１＝２ꎻｘ＝４时ꎬ原式＝３４＋４＋０＝２.由此猜想:原式的值是一个与ｘ无关的常数２.题中根式过多ꎬ能否通过换元转化ꎬ简化求解过程呢?解㊀设ｘ－１３＝ｔȡ０ꎬ则ｘ＝３ｔ２＋１ꎬｘ＋８３＝ｔ２＋３.ʑ原式＝３３ｔ２＋１＋ｔ(ｔ２＋３)＋３３ｔ２＋１－ｔ(ｔ２＋３)＝３(１＋ｔ)３＋３(１－ｔ)３＝１＋ｔ＋１－ｔ＝２.图１例３㊀如图１所示ꎬ在әＡＢＣ中ꎬ点Ｏ是ＢＣ的中点ꎬ过点Ｏ的直线分别交直线ＡＢꎬＡＣ于不同的两点ＭꎬＮꎬ若ＡＢң＝ｍＡＭңꎬＡＣң＝ｎＡＮңꎬ则ｍ＋ｎ的值为(㊀㊀).Ａ.１㊀Ｂ.２㊀Ｃ.３㊀Ｄ.４解法一㊀当点Ｍ与Ｂ重合时ꎬＮ与Ｃ重合ꎬ此时ｍ＝ｎ＝１ꎬｍ＋ｎ＝２.故选Ｂ.解法二㊀ȵＯ为ＢＣ的中点ꎬʑＡＯң＝１２(ＡＢң＋ＡＣң)＝１２(ｍＡＭң＋ｎＡＮң)＝ｍ２ＡＭң＋ｎ２ＡＮң.ȵＭꎬＯꎬＮ三点共线ꎬʑｍ２＋ｎ２＝１ꎬʑｍ＋ｎ＝２.故选Ｂ.例４㊀如图２ꎬ在四边形ＡＢＣＤ中ꎬＡＢ＝ＡＤꎬøＢＡＤ＝øＢＣＤ＝９０ʎꎬ四边形ＡＢＣＤ的面积为８ꎬ则ＡＣ的长为.思路一㊀(利用极限思想探求答案)当ＣңＤ时ꎬＡＣңＡＤꎬ四边形ＡＢＣＤң等腰直角三角形ＡＢＤ.２７由１２ＡＢ ＡＤ＝１２ＡＤ２ң８⇒ＡＤң４ꎬＡＣң４.图２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图３思路二㊀(利用特殊图形探求答案)取满足条件的正方形ＡＢＣＤꎬ则由ＡＢ２＝８⇒ＡＣ２＝２ＡＢ２＝１６⇒ＡＣ＝４ꎬ由此猜想ＡＣ＝４.解法一㊀如图３ꎬ连接ＢＤꎬ作ＡＯʅＢＤ于点Ｏꎬ作ＣＨʅＡＯ于点Ｈ.连接ＯＣ.依题意可设ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＤ＝ＯＣ＝ａꎬＯＨ＝ｂꎬＣＨ＝ｃꎬ则因为四边形ＡＢＣＤ的面积为８ꎬ所以１２ＢＤˑＡＨ＝８⇒ａ(ａ＋ｂ)＝８ꎬ于是ＡＣ２＝(ａ＋ｂ)２＋ｃ２＝ａ２＋２ａｂ＋(ｂ２＋ｃ２)＝２ａ２＋２ａｂ＝２ａ(ａ＋ｂ)＝１６ꎬ故所求ＡＣ的长为４.点评㊀解答的关键是作辅助线由面积关系导出ａ(ａ＋ｂ)＝８ꎬ再由勾股定理㊁整体代换求出ＡＣ＝４.不作辅助线能否求出ＡＣ呢?解法二㊀在四边形ＡＢＣＤ中ꎬ设ＡＢ＝ＡＤ＝ａꎬＢＣ＝ｂꎬＣＤ＝ｃꎬＡＣ＝ｘꎬ由题设易得ａ２＋ｂｃ＝１６.由余弦定理得ｘ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓＢꎬｘ２＝ａ２＋ｃ２－２ａｃｃｏｓＤꎬｃｏｓＢ＋ｃｏｓＤ＝０{⇒(ｃ＋ｂ)ｘ２＝ｃ(ａ２＋ｂ２)＋ｂ(ａ２＋ｃ２)⇒ｘ２＝ａ２＋ｂｃ＝１６ꎬｘ＝４ꎬ即ＡＣ＝４.２.参数范围问题例５㊀(２０１５课标１ 理１６)在平面四边形ＡＢＣＤ中ꎬøＡ＝øＢ＝øＣ＝７５ʎꎬＢＣ＝２ꎬ则ＡＢ的取值范围是.分析㊀如图４ꎬ四边形ＡＢＣＤ中ꎬＢＣ＝２ꎬ角ＡꎬＢꎬＣꎬＤ的大小确定ꎬ当ＤңＡ时ꎬｘ递增ꎻＤңＣ时ꎬｘ递减.图４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图５解㊀如图５ꎬøＡ＝øＢ＝øＣ＝７５ʎꎬＢＣ＝２.设ＡＢ＝ｘꎬ则当ＡＤң０时ꎬｘң６＋２ꎻＤＣң０时ꎬｘң６－２.ʑＡＢɪ(６－２ꎬ６＋２).点评㊀本题是运用正弦定理解三角形ꎬ求取值范围问题.本解答抓住Ｄ点的动态变化ꎬ运用数形结合的思想㊁极限的思想ꎬ巧妙地解决了问题.３.求单调区间例６㊀已知偶函数ｆ(ｘ)ꎬ当ｘɪ(－ɕꎬ０]时单调递减ꎬ求ｆ(２ｘ－ｘ２)的单调递增区间.分析㊀若取满足条件的特殊函数ｆ(ｘ)＝｜ｘ｜ꎬ则ｆ(２ｘ－ｘ２)＝｜ｘ２－２ｘ｜.画出图象ꎬ由图可知ꎬ递增区间为[０ꎬ１]和[２ꎬ＋ɕ).解㊀利用复合函数的单调性.设ｕ＝ｕ(ｘ)＝２ｘ－ｘ２＝－(ｘ－１)２＋１ꎬ则ｕȡ０⇔０ɤｘɤ２ꎬｕɤ０⇔ｘɤ０或ｘȡ２ꎬｕ(ｘ)在(－ɕꎬ１]单调递增ꎬ[１ꎬ＋ɕ)单调递减ꎬ函数ｙ＝ｆ(２ｘ－ｘ２)可看作是由ｙ＝ｆ(ｕ)ꎬｕ＝２ｘ－ｘ２复合而成的复合函数.根据复合函数同增异减的性质得 ｆ(２ｘ－ｘ２)的单调递增 等价于 ｆ(ｕ)递增ꎬｕ(ｘ)递增ꎬ{或ｆ(ｕ)递减ꎬｕ(ｘ)递减{ ⇔ｕȡ０ꎬｘɤ１ꎬ{或ｕɤ０ꎬｘȡ１{⇔０ɤｘɤ１或ｘȡ２ꎬ即ｆ(２ｘ－ｘ２)的单调递增区间是[０ꎬ１]和[２ꎬ＋ɕ).４.比较大小例７㊀әＡＢＣ中ꎬｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎ２Ｃ>２ꎬ试判断әＡＢＣ的形状.分析㊀由对称性不妨设ＡɤＢɤＣꎬ试判断әＡＢＣ的形状实际上就是比较角Ｃ与直角的大小关系ꎬ取Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝６０ʎꎬ则左边＝３ˑ３/４＝９/４>右边ꎬ满足条件ꎻ取Ａ＝Ｂ＝４５ʎꎬＣ＝９０ʎꎬ则左边＝２ꎬ不满足条件ꎻ取Ａ＝Ｂ＝３０ʎꎬＣ＝１２０ʎꎬ则左边＝５/４<２ꎬ不满足条件.由此猜想әＡＢＣ为锐角三角形ꎬ因此问题转化为证明最大角Ｃ<９０ʎ.５.否定错误选项例８㊀(２０１４课标１ 文１１)设ｘꎬｙ满足约束条件ｘ＋ｙȡａꎬｘ－ｙɤ－１ꎬ{且ｚ＝ｘ＋ａｙ的最小值为７ꎬ则ａ等号(㊀㊀).Ａ.－５㊀㊀Ｂ.３㊀㊀Ｃ.－５或３㊀㊀Ｄ.５或－３图６解析㊀画出不等式组对应的平面区域ꎬ如图所示.当ａɤ０时ꎬ在直线ｘ＋ｙ＝ａ上ꎬｘң－ɕꎬｙң＋ɕ时ꎬｚ＝ｘ＋ａｙң－ɕꎬｚ＝ｘ＋ａｙ无最小值ꎬ否定Ａ㊁Ｃ㊁Ｄ.故选Ｂ.点评㊀本解答的关键是利用极限思想ꎬ结合图形直观.当ａɤ０时ꎬ目标函数ｚ＝ｘ＋ａｙ没有最小值ꎬ否定选项ＡＣＤ.６.不等式问题例９㊀(襄阳市２０２０年５月高三月考试题１１)ｆ(ｘ)是Ｒ上的偶函数ꎬｘȡ０时ꎬｘｆᶄ(ｘ)＋２ｆ(－ｘ)ɤ０ꎬ则不等式４ｘ２ｆ(ｘ３)>(１２－ｘ)２ｆ(－ｘ６)的解集是.３７Ａ.(４ꎬ＋ɕ)㊀㊀㊀Ｂ.(－ɕꎬ－１２)ɣ(４ꎬ＋ɕ)Ｃ.(－１２ꎬ４)㊀Ｄ.(－ɕꎬ－１２)解法一(特值法)㊀取满足条件的特殊函数ｆ(ｘ)＝－ｘ２ꎬ则由４ｘ２ｆ(ｘ３)>(１２－ｘ)２ｆ(２－ｘ６)得４ｘ２[－(ｘ３)２]>(１２－ｘ)２[－(２－ｘ６)２]⇒１６ｘ４<(ｘ－１２)４⇒４ｘ２<(ｘ－１２)２⇒ｘɪ(－１２ꎬ４).选Ｃ.如果是求解题ꎬ该怎么办呢?解法二(构造法)㊀构造函数ｇ(ｘ)＝ｘ２ｆ(ｘ)ꎬ因为ｆ(ｘ)是Ｒ上的偶函数ꎬｘȡ０时ꎬｘｆᶄ(ｘ)＋２ｆ(－ｘ)ɤ０ꎬ即ｘｆᶄ(ｘ)＋２ｆ(ｘ)ɤ０ꎬ所以当ｘȡ０时ꎬｇᶄ(ｘ)＝ｘ２ｆᶄ(ｘ)＋２ｘｆ(ｘ)＝ｘ[ｘｆᶄ(ｘ)＋２ｆ(ｘ)]ɤ０ꎬ所以偶函数ｇ(ｘ)＝ｘ２ｆ(ｘ)在[０ꎬ＋ɕ)递减ꎬ４ｘ２ｆ(ｘ３)>(１２－ｘ)２ｆ(２－ｘ６)⇔３６(ｘ３)２ｆ(ｘ３)>３６(１２－ｘ６)２ｆ(１２－ｘ６)⇔ｇ(ｘ３)>ｇ(１２－ｘ６)⇔｜ｘ３｜<｜１２－ｘ６｜⇒－１２<ｘ<４.选Ｃ.点评㊀本题主要考查依据题设条件ꎬ构造函数模型ꎬ解决不等问题的能力.７.利用极限思想回避讨论例１０㊀过点Ｐ(－１ꎬ２)的直线ｌ被圆Ｏ:ｘ２＋ｙ２＝４截得的弦长为２２ꎬ求直线ｌ的方程.解㊀由题设可得圆心Ｏ(０ꎬ０)到直线ｌ的距离ｄ＝１ꎬ设ｌʒｙ－２＝ｋ(ｘ＋１)ꎬ则由ｄ＝｜ｋ＋２｜ｋ２＋１＝１⇒ｋ＝－３４或ｋ＝ɕꎬ故所求直线ｌ的方程为ｘ＝１或３ｘ－４ｙ＋５＝０.点评㊀按常规解答本题应分直线ｌ的斜率存在与不存在两种情况讨论ꎬ本解答巧妙地应用了极限的思想: ｋңɕ时ｄң１ 得斜率不存在的情况满足条件ꎬ回避了分类讨论ꎬ简化了解答过程.８.利用极限思想优化解题过程例１１㊀(２０１２四川 文１２)㊀已知设函数ｆ(ｘ)＝(ｘ－３)３＋ｘ－１ꎬ{ａｎ}是公差不为０的等差数列ꎬｆ(ａ１)＋ｆ(ａ２)＋ ＋ｆ(ａ７)＝１４ꎬ则ａ１＋ａ２＋ ＋ａ７＝(㊀㊀).㊀Ａ.０㊀㊀Ｂ.７㊀㊀Ｃ.１４㊀㊀Ｄ.２１分析㊀明知山有虎ꎬ偏向虎山行.若取{ａｎ}为常数列ꎬ则易得ａｎ＝３ꎬ答案选Ｄꎬ但题设中{ａｎ}不是常数列呀!能否利用极限的思想和连续函数的性质快速解答呢?解㊀ｆ(ｘ)是Ｒ上的连续函数ꎬ公差ｄң０时ꎬａｎңａ４ꎬ１４＝ｆ(ａ１)＋ｆ(ａ２)＋ ＋ｆ(ａ７)ң７ｆ(ａ４)⇒ｆ(ａ４)ң２⇒(ａ４－３)３＋ａ４－１＝(ａ４－３)[(ａ４－３)２＋１]＋２ң２⇒ａ４ң３ꎬʑａ１＋ａ２＋ ＋ａ７ң７ａ４ң２１.观察答案ꎬ选Ｄ.㊀９.利用极限思想解决定值问题例１２㊀(见文[２])已知椭圆Ｍ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的焦距为２３ꎬ点Ｐ(０ꎬ２)关于直线ｙ＝－ｘ的对称点在椭圆上.(１)求椭圆Ｍ的方程ꎻ(２)如图ꎬ椭圆Ｍ的上下顶点分别为ＡꎬＢꎬ过点Ｐ的直线ｌ与椭圆交于不同两点ＣꎬＤꎬ①求线段ＰＤ长度的最大值ꎻ②当ＡＤ与ＢＣ相交于点Ｑ时ꎬ试问:点Ｑ的纵坐标是否定值?若是ꎬ求出该定值ꎻ若不是ꎬ请说明理由.解㊀(１)椭圆Ｍ的方程是ｘ２４＋ｙ２＝１.(过程略)(２)①ＰＤ长度的最大值是２２１３.(过程略)②当点ＣңＡ时ꎬＤңＢꎬ四边形ＡＣＤＢң直角梯形ꎬ利用相似形的性质易得ｙＱ＝１２ꎻ当点ＣңＤ时ꎬ椭圆的割线ＰＣＤң切线ＰＴꎬ点Ｑң切点Ｔꎬ利用方程易求得ｙＱ＝１２.下面证明:点Ｑ的纵坐标是定值１２.设直线ｌʒｙ＝ｋｘ＋２ꎬＣ(ｘ１ꎬｋｘ１＋２)ꎬＤ(ｘ２ꎬｋｘ２＋２)ꎬ由ｙ＝ｋｘ＋２ꎬｘ２＋４ｙ２＝４{⇒(４ｋ２＋１)ｘ２＋１６ｋｘ＋１２＝０ꎬʑｘ１ｘ２ｘ１＋ｘ２＝１２－１６ｋ⇒ｋｘ１ｘ２＝－３４(ｘ１＋ｘ２).设Ｑ(ｘꎬｙ)ꎬ由ＡꎬＱꎬＤ共线及ＣꎬＱꎬＢ共线得ｙ－１ｘ＝ｋｘ２＋１ｘ２ꎬｙ＋１ｘ＝ｋｘ１＋３ｘ１{⇒ｙ－１ｙ＋１＝ｋｘ１ｘ２＋ｘ１ｋｘ１ｘ２＋３ｘ２＝－３４(ｘ１＋ｘ２)＋ｘ１－３４(ｘ１＋ｘ２)＋３ｘ２＝－１３⇒ｙ＝１２.可见ꎬ极限特殊化思想ꎬ具有排除否定功能.在求解题中ꎬ具有探求导向作用ꎬ它给我们观察㊁猜想㊁发现提供了有力的依据ꎬ使我们的求解过程有明确的努力方向ꎬ从而增强目标意识ꎬ提高我们的思维水平和解题效率.㊀㊀参考文献:[１]２０１２年全国及各省市高考试题解析[Ｍ].西安:陕西人民教育出版社ꎬ２０１２:１４８.[２]翟金成.高二数学测试题[Ｊ].中学生数理化(高二版)ꎬ２００９(０６):１９－２４.[责任编辑:李㊀璟]４７。

浅谈极限思想在函数题型中的应用在高中学习中，我们接触了极限这一概念.极限在高中第一次被真正应用是在选修2-2（理科）中，用于引入导数.极限思想是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。

如果接触足够多的函数与导数有关题目时，会发现极限的使用不仅仅局限于极限的定义，而是更为广泛，如求函数值域、最值等。

在解题过程中用好极限思想，能大大减少运算量，优化解题过程，降低解题难度.因此我认为，有必要对极限有更进一步的认识。

一、求简单函数极限的方法极限的严格定义我们会在大学学习，在这里我们的目标只是求出函数某个值的极限。

（1）简单的极限题目如下：此类题只需将值代入计算即可。

（2）还有一些极限略显复杂，如：，由于0不能做分母，而x=1时，x3-x=0.但x2-2x+1与x3-x有公因式x-1，故先因式分解再约分最后代入计算：但如果分子与分母没有公因式呢？我们将会在第三部分一起探究。

二、运用极限的运算法则求一些复杂函数的极限设，存在，且令则有以下运算法则，加减：数乘：乘除：冥运算有了运算法则，我们可以进行一些复杂函数的极限运算，如：对于分子分母都是多项式的函数，求x→∞的极限，我们可以分子分母同除以自变量的最高次幂：由此，我们还可以得出结论：同类题目只需比较两个多项式最高次幂的系数。

除此之外，还有许多不同类型的求极限题目，有不同的解题思路，如出现了根号，且出现了无穷减无穷，则可以考虑分子有理化等。

三、巧用洛必达法则，化繁为简洛必达法则是利用导数来计算或形式的极限的方法，巧用洛必达法则求函数极限，可以使问题简化。

洛必达法则：设函数满足：以下是洛必达法则在高考中的应用：（2010年全国新课标理）设函数综合得a的取值范围为原解在处理第（2）问时较难想到，利用洛必达法则可简便处理：由洛必达法则知故综上，可知a的取值范围为.对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中求分离出来的函数式的最值问题有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值。

极限思想在高中解题中的运用宜宾县一中 雷勇极限的思想是近代数学的一种重要思想，我们在大学所学的数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。

而在高中一些数学问题的解答上如运用极限的思想，会是我们的解答简单而高效。

所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。

下面将用例题举出极限思想的妙处。

尝试将极限思想和方法渗透、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视。

例1、过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与QF 的长分别是p 、q ,那么q p 11+等于（ ）(A)a 2 (B) a 21(C) a 4 (D) a4分析：本题是有关不变性的问题，常规解法是探求a q p 、、的关系，过程繁琐，且计算较复杂。

若能充分借助于极限思想即取PQ 的极限位置可使问题变得简便易行：将直线PQ 绕点F 顺时针方向旋转到与y 轴重合，此时Q 与O 重合，点P运动到无穷远处，虽不能再称它为抛物线的弦了，它是弦的一种极限情形，因为a OF p QF 41===，而+∞→=q PF ，所以a qp 411→+，故选择（C ）。

针对客观选择题题型的特点，这种解法体现出思维的灵活性和敏捷性，凸现了试题的选拔功能。

例2、正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值X 围是（ ） A （2,n n ππ-） B （1,n nππ-） C （0,2π） D （21,n n n nππ--） 分析：当正棱锥的顶角无限接近底面时，两侧面所成的二面角无A 1A 3限接近π.当正棱锥的高无限增大时，两侧面所成的二面角无限接近正n 多边形的一个内角，即为2n n π-，因此，所求二面角的X 围应为（2,n nππ-）例3、已知长方形的四个项点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 坐标为),0,(4x 若,2x 14<<那么θtg 的取值X 围是（ ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(分析：本题命制得很有趣，它把人们常见的台球活动模型迁移到数学试题中，考查了处理几何、代数问题的能力，是一个小型综合题，我们可以充分利用几何关系通过“极端位置”找出θtg 的取值X 围，根据极限的观点，令14→x ，不妨令4P 与0P 重合，依据入射角等于反射角，即知1P 、2P 、3P 均为各边中点，此时21tan =θ，而四个选择项中仅有选择项（C ）与此数据有关，故选（C ）例4、已知函数21()(1)4f x x =+，若存在,t t 为实数，只要[1,]x m ∈(1)m >，就有()f x x ≤，那么m 的最大值是分析：作函数y x =与21(1)4y x =+的图像，平移f(x)的图像.使之与直线y x =交于（1，1）和(,),(1)m m m >两点，此时所得的图像是()y f x t =+，图像的极端位置；于是解方程组(1)1()f t f m t m +=⎧⎨+=⎩，再由1m >，得49t m =-⎧⎨=⎩，所以max 9m =例5、已知数列{}n a 中，51=a 且对于任意正整数n ，总有21-=+n nn a a a ，是否存在实数b a ,，使得n n b a a )43(--=，对于任意正整数n 恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由。

极限与趋势思想在高中数学中的应用情形归纳极限与趋势思想是一种在高中数学中广泛应用的数学工具和概念。

它们可以帮助学生更好地理解和解决各种数学问题。

本文将总结几个在高中数学中常见的应用情形，并探讨极限与趋势思想在这些情况下的具体应用方式。

1. 函数的极限在高中数学中，极限是一个重要的概念。

当讨论函数在某一点的性质时，我们通常会利用极限的概念。

比如，我们可以通过计算函数在某一点的极限来确定函数的连续性、变化趋势等。

极限思想可以帮助我们理解函数在不同点的行为，并通过计算极限来解决相关的问题。

2. 数列的极限数列也是高中数学中常见的概念。

在研究数列的性质和行为时，极限思想可以提供有力的工具。

比如，我们可以通过计算数列的极限来判断数列的敛散性，以及数列的增长趋势和收敛速度等。

极限思想可以帮助我们深入理解数列的性质，并解决与数列相关的各种问题。

3. 函数的渐近线函数的渐近线是指函数在无穷大或某个特定点处趋近于的直线。

在高中数学中，我们经常需要探讨函数的渐近线及其性质。

学生可以运用极限与趋势思想来研究函数的渐近线。

通过研究函数在无穷大或某特定点的极限，我们可以确定函数的渐近线的斜率和截距，并进一步推导出函数在不同情况下的渐近线方程。

4. 求解极值问题在高中数学中，求解函数的极值问题是一个常见的任务。

极大值和极小值问题需要运用极限与趋势思想来解决。

通过计算函数在特定区间内的极限，我们可以确定函数的极值点，并求得相应的最大值或最小值。

极限与趋势思想可以帮助我们解决各种与极值相关的问题，并提供有效的解决方法。

综上所述，极限与趋势思想在高中数学中扮演着重要的角色。

通过运用极限与趋势思想，我们能够更深入地理解数学问题，并解决与之相关的各种情况。

在教学实践中，我们应注意培养学生的极限思维和趋势感知能力，以帮助他们更好地应用这些概念和工具解决实际问题。

50科技2018年•第5期极限思想在高考数学中的应用探究◊成都师范学院王成强本文探析极限思想在高考数学一类确定参数取值范围问 题中的应用。

近几年，高考数学中常出现求参数取值或取值范围的问题，它们综合性高、能力立意突出、具有高度挑战性。

本文尝 试给出解决这类问题的几种办法，以期在该方向带来更多思考。

引理一：总成立着不等式点< (-l，〇)u(〇, +°°)。

证明：令A(x)=ln(l+:t)-^，则=，故函数在区间(-1,0]上严格递减、在区间[〇，+~)上严格递增，故 *(:«:)>0,W0 ,即+ 。

利用同样的方法还可、十，、1+ *引理二（根的存在性定理，见[1]):若区间k，d上的连 续函数；；(：《：)满足7〇*〇 )”0*1) < 〇,则存在*2 e(〜A)使得77(A)=〇 〇引理三（极限的保不等式性，见[1]):若(fl，3〇，则n i L气^若则an,'|^〇1用“夹逼”法求参数{以2017年全国卷III理21题为例）已知函数 /W-1-a In j：。

(1)若/(*>〇,求《的值;(2)略。

解：因/»0,故以0且v*e{o,i),由引理三，士=细吾=(ln:e)’|广1，由此可得^ =1,_/(:〇=x—1—ln x。

接下来g确实^着_/(岣奐0。

不难M，,M= y，由此可知，函数/(*)在区间（〇，1)上严格递减、在区间(U+^)上严格递增，进而可得/-=/⑴=〇。

僻哋，总有/〇〇彡/m ta=〇。

2用图像分析法求参数（以2017年全国卷III理11題为例）已知函数_/^)=彡只有一个零点，贝!=解析：不难发现，函数/⑷=^-2：^+^+，）的图像关 于直线x=l对称。

因此，所考察函数的唯一零点只能是^=1，否则，由对称性，2-\卜;〇是另一零点，这与零点的唯一性矛 盾。

最后，根据，(1)=〇可知《=去。

教学实践JIAOXUESHIJIAN极限思想在高中数学中的应用广西壮族自治区北海市北海中学宁德芬【摘要】极限思想作为社会实践的产物，其渊源甚至可以追溯到古代。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，再确认这个变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;最后用极限计算来得到结果。

在高中数学的学习过程中，极限思想可以给学生提供一条意想不到的解题思路,让原本烦琐的题目以相对简易的方式求得答案。

本文将围绕可以运用极限思想的几道例题阐述极限思想在高中数学中的妙用。

【关键词】极限思想高中数学解题思路一、极限思想对部分求范围的题目有奇效在解决高中数学选择题时,极限思想是必须掌握的一种解题技巧，它本质上是特殊值法的延伸，利用极限思想来解决小题不仅可以透析题目的深刻本质,还可以达到化繁为简的目的。

1.已知定义在(-8,+8)上的函数/(%) = [(3;1)%-4：严<1,是减函数，那么a的取值范围是Uog,%),%>1()。

A.(0,1)B.(0,1/3)C.(1/7,1/3)D.(1/7,1)解析:本题的关键在于讨论函数在分界点x=l的领域内，使得(3a-l)%-4a>log必，即前者图象在后者之上,然后再结合图象去求a的取值范围。

此时,利用极限思想就可以很快地确定满足这一条件下的a的取值范围，之后交集范围便是题目所求。

而又因为/(%)在R 上的减函数，所以解得l/7<a<l/3，故选择C o从这道题中，我们显然可以看到极限思想帮助我们省去不少烦琐的计算过程,而是透析这道题所求范围的本质,从而达到了快速高效解题的目的。

所以,充分掌握极限思想,并在做题时时刻保持对数学思想的“敏锐嗅觉”，将会成为解题制胜的一大法宝。

二、极限思想能处理复杂的无穷等比数列问题极限本质上是从微积分中剥离出来的基本概念，它从数量上描述变量在变化过程中的一种状态或者趋势,而我们知道无穷等比数列中,g代表了该数列的变化规律，所以克制无穷等比数列是按照特定规律g变化的一种不定状态。