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第 2 章静电场2.3 电位2.3.1 电位的定义一. 电位的引入标量电位的物理意义:∵ ∇⨯E = 0 ∴ 可令 E = -∇Φ E 和Φ的 微分关系 式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。
)()(d d d d d )(d )(d B A l l l A BAB A B A B A B A Φ-Φ=Φ-=Φ-=∙Φ-∇=∙Φ-∇=∙=⎰⎰⎰⎰⎰l a l l E l E ⎰∙=-=B AB A AB ΦΦU d A 、B 两点之间电位差: 将单位点电荷从 A 点移到 B 点电场力所作的功:取 ΦB = 0，则A 点电位定义为电位的物理意义：将单位点电荷从当前点移到参考点 电场力所作的功。
当电荷分布已知时，可求出场中任一点的电位：E 和Φ的 积分关系1. 点电荷： ⎰⎰=∙=B B R R R R R RR qR qΦ2020d 4d 4πεπεl a C R q R R qB +=-=004)11(4πεπεl E ⎰∙=-BA B A ΦΦd ⎰∙=参考点A A Φl E d2. 体电荷： C R Φ+'=⎰τπετρ04d 3. 面电荷： C RS ΦS S +'=⎰04d περ4. 线电荷： C R l Φl l +'=⎰04d περC 与零电位点的选取有关。
电位参考点的选择原则场中任意两点的电位差与参考点无关。
同一个物理问题，只能选取一个参考点。
电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点； 电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。
工程上多用大地、机壳为参考点。
二.电力线与等位线（面）∙ E 线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E的方向一致，若d l是电力线的长度元，E矢量将与d l方向一致，故电力线微分方程E ld0⨯=∙在静电场中电位相等的点连成的线（曲面）称为等位线（面），即等位线(面)方程: C,(,Φ)yx=z当取不同的C 值时，可得到不同的等位线（面）。
电工基础第2版第2章-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN电工基础习题册标准答案（第二版）全国中等职业技术2010-04-12 02:05:34| 分类：电工基础2版习题 | 标签： |字号大中小订阅全国中等职业技术（电子类）专业通用教材第二章直流电路§2-1 电阻的连接一、填空题1、在电路中，将两个或两个以上的电阻依次连接构成中间无分支的连接方式叫做电阻的串联。
电阻串得越多，等效电阻阻值越大；串联的电阻阻值越大，分得电压越大，消耗的功率越多。
2、电阻串联，可以用来构成分压器以提供几种不同的电压，也可限制和调节电路中电流的大小，还可以扩大电压表的量程。
3、在电路中，将两个或两个以上的电阻连接在、在电路中，将两个或两个以上的电阻连接在相同两点之间的连接方式叫电阻的并联，电阻并得越多，等效电阻越小；并联的电阻阻值越大，分得电流越小，消耗功率少。
4、电阻并联可以用来获得阻值较小的电阻，还可以扩大电流表的量程。
5、需要分压时，可选用电阻的串联；需要分流时可采用电阻的并联。
6、在电路中，既有电阻串联又有电阻并联的连接方式叫做电阻的混联。
在混联电路中为了便于计算电路等效电阻，可采用画等效电路图的方法，把原电路整理成易于判别串、并联关系的电路，然后进行计算。
7、在下列各图中，指出电流表或电压表的读数（电流表内阻无穷小、电压表内阻无穷大）。
（1）在图2-1中，PV1的读数为 4V ，PV2的读数为 12V ，PV3的读数为24V 。
（2）在图2-2中，PA1的读数为 3A ，PA2的读数为 2A ，PV的读数为12V 。
（3）在图2-3中，PV1的读数为，PV2的读数为 8V ，PA的读数为 1.6A 。
二、判断并改错1、在电阻的串联电路中，总电阻上的电压一定大于其中任何一个电阻上的电压。
（√）2、电阻并联后的总电阻一定小于其中任何一个电阻的阻值。
（√）3、在串联电路中，电阻串得越多，消耗的功率越大；在并联电路中，电阻并联得越多，消耗的功率越小。
电位的概念及计算电位是物体在电场中由于电荷分布产生的电势能与单位正电荷相对的大小。
在物理学中，电位常常使用V来表示，单位是伏特（Volt，V）。
电位的产生是由于电荷之间的相互作用。
电场是由电荷产生的，而电荷在电场中受到电场力的作用。
电场力的大小与电荷的大小和电势差有关。
当电荷在电场中移动时，如果其所受到的电场力没有消耗掉全部的势能，那么剩余的部分将被转化为运动能。
这个转化的过程就是电位的产生。
电位的计算可以使用库仑定律来进行。
库仑定律描述了两个电荷之间的相互作用力。
根据库仑定律可以得出两个电荷之间的电场强度，从而可以计算出电场力对电荷所做的功。
电场力对电荷所做的功就是电位能。
具体来说，我们可以通过以下公式来计算电位：V=k*Q/r其中，V表示电位，k是库仑常数，Q表示电荷的大小，r表示电荷与参考点之间的距离。
在实际应用中，通常将地球作为参考点，即地球的电势为零。
这样，计算物体的电位时，只需要计算物体与地球之间的电势差即可。
电势差的计算公式为：ΔV=V2-V1其中，ΔV表示电势差，V2表示物体2的电势，V1表示物体1的电势。
如果需要计算对于其中一点的电势，可以通过积分来进行。
积分路径为从无穷远处到所选点。
积分的结果即为该点的电势。
在电路中，电位也具有重要的意义。
电位差可以用来表示电路中电能的转换情况。
电路中的电源可以提供电势差，而电器元件则可以消耗电势差，并将其转化为其他形式的能量，如热能、光能等。
除了平静的电位，还存在静电位（静电势）和动电位（动电势）的概念。
静电位是指电位不随时间变化的电位。
静电位通常是由静电场产生的。
而动电位则是指由于电磁感应或电流变化引起的电位变化，具有时间上的变化。
总之，电位是物体在电场中由于电荷分布产生的电势能与单位正电荷相对的大小。
通过库仑定律可以计算电位。
电位在物理学和电路中均有重要应用。
静电位和动电位描述了电位的不同情况。
1.静电场的无旋性§2.2 静电场的无旋性·电位()()()V d V '--'=⎰'r'r r'r r r E 3π41ρε利用矢量恒等式31r'r r'r r'r ---=-∇()()V d V '⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∇-'=⎰'r'r r r E 1π41ρε()V d V '-'∇-=⎰'r'r r ρε0π41()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-'∇-=⎰V d V 'r'r r ρε0π411) 静电场旋度表明静电场是一个无旋场。
()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-'-∇=⎰V d V 'r'r r r E ρε0π41()()0π410=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-'∇-⨯∇=⨯∇⎰V d V 'r'r r r E ρε0)(≡⨯∇r E 即2）静电场的环量①在静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。
②静电场是保守场,电场力作功与路径无关。
无旋场一定是保守场，保守场一定是无旋场。
s E l E d d l⋅⨯∇=⋅⎰⎰S由斯托克斯定理，得③⎰=⋅=⨯∇ld 0l E 0E 二者等价。
?=⋅⎰ld l E 0≡两点说明：1) 电位的引出=⨯∇E 根据矢量恒等式0≡∇⨯∇ϕ2. 电位及其物理意义上式中ϕ称为电位，单位为伏特。
式中负号表明电场强度的方向就是电位最大减少率的方向。
ϕ-∇=E 定义：①电位是空间坐标的函数，也是表征电场特性的基本物理量；②在静电场中，通过求解电位函数，再利用上式可方便地求得电场强度E 。
2）电位的物理意义q t 在静电场内移动d l 距离时，电场力所做的功为：l F d A d ⋅=研究电场力对试验电荷q t 做功。
d lEQPq t l电场力将q t 从P 点沿任意路径l 移到Q 点时所做的功为：lE d q A QP⋅=⎰t电场力对单位正电荷做的功：l E d q AQP⋅=⎰tl d QP⋅∇-=⎰ϕϕ-∇=E ϕd QP⎰-=l d ⋅∇-ϕ][dz z dy y dx x ∂∂+∂∂+∂∂-=ϕϕϕϕd -=lE d q t ⋅=ϕd QP⎰-=l E d q A QP⋅=⎰tQ P ϕϕ-=①单位正电荷从电位为ϕP 的点,经l 路径移至电位为ϕQ 的点时，电场力对该电荷所做的功就是两点的电位差，即电压。
结论：② E 的线积分只与积分起点电位和终点电位有关，与积分路径无关，体现了静电场为保守场这一特征。
③当E 给定后，只能求出空间P 、Q 两点的电位差，即两点电位的相对值，ϕP 和ϕQ 的值具体为多少不能由(1)式确定。
PQU =（1）ϕ-∇=E ()C +-∇=ϕ说明ϕ和ϕ+ C 代表同一个电场，电位具有多值性。
令ϕQ =0 ，即Q 点为电位参考点。
ϕd QP⎰-=lE d QP⋅⎰Q P ϕϕ-=电位物理意义：空间某一点的电位就是电场力移动单位正电荷,从该点至参考点时所作的功，作功的结果导致单位正电荷位能的减少。
⎰⋅=参考点Pd P lE )(ϕPϕ=3．E 与ϕ的微分关系和积分关系在静电场中，任意一点的电场强度 E 的方向总是指向该点电位减少最快的方向，其大小等于该点电位的最大变化率。
在直角坐标系中：][z y x zy x e e e E ∂∂+∂∂+∂∂-=ϕϕϕ)(?00=→=ϕE ∙)(?00=→=E ϕ∙问题：根据 E 与ϕ的微分关系，试问静电场中的某一点ϕ-∇=E ⎰⋅=参考点Pd P lE )(ϕ在静电场中，任意一点的电位ϕ为单位正电荷所具有的位能。
4．静电场的图示曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E 的方向一致，若d l 是电力线的长度元，E 矢量将与d l 方向一致，0d =⨯l E 故电力线微分方程dzE dy E dx E z y x ==在直角坐标系中：微分方程的解即为电力线E 的方程。
当取不同的C 值时，可得到不同的等位面（线）。
静电场中，由电位相等的点构成的曲面称为等位面，等位面(线)方程:Cz y x =)(,,ϕ1）电力线（E 线）：2）等位面（线）E 线E d lP3）电力线与等位面（线）的特点：①E线不能相交；不同值的等位面(线)不能相交，但同一条等位面(线)可以相交；②E线起始于正电荷，终止于负电荷；③ E 线愈密处，场强愈大；等位面愈密，说明电位梯度愈大；④E线与等位面（线）处处正交, E线的方向从高电位指向低电位；⑤导体表面为等位面。
点电荷与接地导体的电场点电荷与不接地导体的电场均匀场中放进了介质球的电场均匀场中放进了导体球的电场5．已知电荷分布，求电位：由电场强度的场源关系推导电位：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-'-∇=⎰V d V 'r'r r r E ρε0π41ϕ-∇=E 与电位定义式比较()CV d V +'-=⎰'r'r r'r ρεϕ0π41)(可得电位函数的场源关系：C 为积分常数，与参考点的选择有关。
C q Ni i i+-=∑=1π41)('r r r εϕ点电荷群C dqΓ+-=⎰'r'r r 0π41)(εϕ连续分布电荷l d S d V d dq '''τσρ :,,Cqr +-='π4)(0r r εϕ点电荷l S V Γ'''',,:电位参考点的选择原则①参考点可以任意选择，但同一个物理问题，只能选取一个参考点。
②选择参考点尽可能使电位表达式简单，且要有意义。
③电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点可使电位表达式最简；④电荷分布在无限区域时，选择有限远处为参考点。
注意：场中任意两点的电位差与参考点无关。
例如：点电荷产生的电场：Crq+=0π4εϕ0r ==ϕ∞→C 0r =∞→ϕrq0π4εϕ=C =表达式无意义==R r ϕ00π4π4R q r q εεϕ-=00π4R q C ε-=-q+q d ()20π4rqd r p εθθϕcos ,=代入上式，得因为，得d r >>θθθcos cos 2cos 212d d r d r r r =⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈-解：选球坐标系：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210114r r q r p πεθϕ,例2-3 两个大小相等，符号相反的点电荷+q 和-q ，其间拉开一个小位移d ，方向由负电荷指向正电荷，由此构成了一个电偶极子。
求电偶极子在真空中产生的ϕ、E 。
221rr r ≈211204r r r r q -=πε)(φθ,,P r -q+qzd r 1r 2rθ( r >> d )o θϕ-∇=E 2020π4π4rr qd r pεεθϕe p cos ⋅==（库∙米）表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。
d p q =()θθθe e sin cos 2π430+=r rεp⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=φϕθθϕϕφθsin 1r r r re e e等位线方程：'cos r C θ=电力线微分方程：C rqd p ==204πεθϕcos ()θθθe e E sin cos 2π430+=r rεpθθE rd E dr r =θsin D r =解得Ｅ线方程为将和代入左式，θE r E zϕ<0ϕ>0E+q-q电偶极子的等位线和电力线电偶极子的场图例2-4 真空中有一无限长均匀线电荷，其电荷密度为τ，求电位ϕ。
解：选圆柱坐标，应用电场强度与电位的积分关系计算电位，ρρτe εE 02π=⎰⎰=⋅=∴0d π2d 0ρρρρτϕεll E ρρτ00ln π2ε=∞→0=ρρ→0ϕ→∞E →∞ρ0ρ→∞ϕ→-∞ρ→∞E →0oz无限长均匀线电荷的电位与电场Eϕ例2-5 真空中有两条等值异号的无限长直平行线电荷，线电荷密度分别为+τ和-τ，相距为2b ，试分析电位ϕ的分布特性o r 1+τy-τP (x ,y )(-b ,0)(b ,0)r 2xz解采用直角坐标系,电场为平行平面场,讨论xoy 平面上的电场分布。
(1)计算电位,设r 0点为电位参考点1101ln π2π201C r εr dr εr r +-==⎰ττϕ2202ln π2C r ε+=τϕ应用叠加原理，P 点的电位为Cr r ε+=+=12021ln π2τϕϕϕ令, ϕ=0, 即电位参考点选在y 轴上，则C= 0，21r r =120lnπ2r r ετϕ=(2)电位的分布特性ydb b h haa-+x120lnπ2r r ετϕ=当时，ϕ为常数，得等位线方程K r r =12222222221()()r x b y K r x b y ++==-+经整理后得222222)12()11(-=+-+-K Kb y b K K x 在xoy 平面上等位线是一族圆)011(22,b K K -+圆心坐标：半径：122-=K Kb a bK K h 1122-+=令或))((222b h b h b h a -+=-=222b a h +=则反演关系。
