宜宾市高三“二诊”数学文科答案

四川省宜宾市普通高中2025届高三第二次诊断性检测数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为40，则输出的n 的值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．112．已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则3=3f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．22B ．12C ．3log 2-D ．3log 23．51(1)x x-+展开项中的常数项为 A ．1B ．11C ．-19D ．514．已知复数12iz i-=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭5．一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，高为2，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ） A ．43πB ．4πC ．42πD ．3π6．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．1B ．43C ．3D ．47．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -8．集合{}2|4,M y y x x ==-∈Z 的真子集的个数为( )A ．7B ．8C ．31D ．329．复数1z 在复平面内对应的点为()22,3,2,z i =-+则12z z =（ ） A ．1855i -+ B ．1855i -- C ．815i -+D ．815i --10．已知向量()1,3a =，b 是单位向量，若3a b -=，则,a b =（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 11．20201i i=-（ ） A ．22B ． 2C ．1D ．1412．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣4＜0}，B＝N，则A∩B＝（）A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，01}D．{x|﹣2＜x＜2} 2．若复数z满足（2+i）z＝4，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知{a n}为等差数列，a4＝﹣5，a7＝7，则其前10项和S10＝（）A．40B．20C．10D．84．若l，m是平面α外的两条不同直线，且m∥α，则“l∥m”是“l∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．某学校调查了高三1000名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，以下结论不正确的是（）A．估计这1000名学生每周的自习时间的众数是23.85B．估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75C．估计这1000名学生每周的自习时间小于22.5小时的人数是300D．估计这1000名学生每周的自习时间不小于25小时的人数是3006．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入x＝2，n＝2，依次输入a的值为1，2，3，则输出的s＝（）A．10B．11C．16D．177．设a＝0.60.4，b＝log0.64，c＝log23，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 8．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．已知直线l：y＝x+2与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，则•的值为（）A．8B．4C．4D．210．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n+a n＝3，则＝（）A．364B．543C．728D．102211．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足＝3，则点A的横坐标为（）A．1B．C．2D．312．已知函数f（x）＝﹣1，下列说法正确的是（）A．f（x）既不是奇函数也不是偶函数B．f（x）的图象与y＝sin x有无数个交点C．f（x）的图象与y＝2只有一个交点D．f（﹣2）＜f（﹣1）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．若实数x，y满足约束条件，则z＝x+3y的最大值为．14．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（1，3），则C的离心率为．15．将函数y＝3cos（2x+）的图象向右平行移动个单位长度得到函数y＝f（x）的图象，若f（α）＝，则f（2α﹣）＝．16．在三棱锥D﹣ABC中，平面ABC⊥平面ABD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，∠ACB＝，若三棱锥D﹣ABC的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin A＝a cos（B﹣）．（1）求B；（2）设a＝2，b＝，延长AC到点D使AC＝2CD，求△BCD的面积．18．某高校筹办大学生运动会，设计两种赛事方案：方案一、方案二、为了了解运动员对活动方案是否支持，对全体运动员进行简单随机抽样，抽取了100名运动员，获得数据如表：方案一方案二支持不支持支持不支持男运动员20人40人40人20人女运动员30人10人20人20人假设所有运动员对活动方案是否支持相互独立．（1）根据所给数据，判断是否有99%的把握认为方案一的支持率与运动员的性别有关？（2）在抽出的100名运动员中，按是否支持方案二分层抽样抽出了5人，从这5人中随机抽取2人，求抽取的2人都支持方案二的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82819．已知四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠C＝45°，AB＝2，CD＝4，E，F分别为CD，BC的中点（如图1），以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点S的位置且平面SAE⊥平面ABCE（如图2）．（1）求证：EF⊥SE；（2）求点C到平面SEF的距离．20．已知A，B分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，F为右焦点，点P 为C上的一点，PF恰好垂直平分线段OB（O为坐标原点），|PF|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）过F的直线l交C于M，N两点，若点Q满足＝+（Q，M，N三点不共线），求四边形OMQN面积的取值范围．21．已知函数f（x）＝在x＝1处取得极值．（1）求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）+x+＞0．四、（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答.如果多做则按所做的第一题计分.[选修44：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝2．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）已知点P（3，1），直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．五、[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣5|．（1）解不等式f（x）≤6；（2）若正实数a，b满足a+b＝ab，且函数f（x）的最小值为m，求证：a+b≥m．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣4＜0}，B＝N，则A∩B＝（）A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，01}D．{x|﹣2＜x＜2}解：∵A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝N，∴A∩B＝{0，1}．故选：B．2．若复数z满足（2+i）z＝4，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：因为（2+i）z＝4，所以，故复数z在复平面内对应的点为，位于第四象限．故选：D．3．已知{a n}为等差数列，a4＝﹣5，a7＝7，则其前10项和S10＝（）A．40B．20C．10D．8解：由等差数列的性质可得：a1+a10＝a4+a7＝﹣5+7＝2，则其前10项和S10＝＝5×2＝10，故选：C．4．若l，m是平面α外的两条不同直线，且m∥α，则“l∥m”是“l∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：∵l，m是平面α外的两条不同的直线，m∥α，若l∥m，则推出“l∥α”，若l∥α，则l∥m或l与m相交，故若l，m是平面α外的两条不同直线，且m∥α，则“l∥m”是“l∥α”的充分不必要条件．故选：A．5．某学校调查了高三1000名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，以下结论不正确的是（）A．估计这1000名学生每周的自习时间的众数是23.85B．估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75C．估计这1000名学生每周的自习时间小于22.5小时的人数是300D．估计这1000名学生每周的自习时间不小于25小时的人数是300解：对于A，在频率直方图中，众数即为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，故估计这1000名学生每周的自习时间的众数是（22.5+25）÷2＝23.75，故选项A错误；对于B，在频率直方图中，中位数即为把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标，设中位数为x，则有0.02×2.5+0.1×2.5+（x﹣22.5）×0.16＝0.5，解得x＝23.75，所以估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75，故选项B正确；对于C，每周的自习时间小于22.5小时的频率为（0.02+0.1）×2.5＝0.3，所以估计这1000名学生每周的自习时间小于22.5小时的人数是0.3×1000＝300，故选项C正确；对于D，每周的自习时间不小于25小时的频率为（0.08+0.04）×2.5＝0.3，所以估计这1000名学生每周的自习时间不小于25小时的人数是0.3×1000＝300，故选项D正确．故选：A．6．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入x＝2，n＝2，依次输入a的值为1，2，3，则输出的s＝（）A．10B．11C．16D．17解：∵输入的x＝2，n＝2，当输入的a为1时，S＝1，k＝1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S＝4，k＝2，不满足退出循环的条件；当输入的a为3时，S＝11，k＝3，满足退出循环的条件；故输出的S值为11，故选：B．7．设a＝0.60.4，b＝log0.64，c＝log23，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 解：∵y＝0.6x为减函数，∴0＜0.60.4＜0.60，即0＜a＜1，∵y＝为减函数，∴b＝＜，即b＜0，∵y＝为增函数，∴c＝＞＝1，即c＞1，∴c＞a＞b，故选：D．8．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．解：∵f（﹣x）＝＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，排除选项B和C，当x→+∞时，e x比x增长的快，∴f（x）→0，排除选项D，故选：A．9．已知直线l：y＝x+2与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，则•的值为（）A．8B．4C．4D．2解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立得x2+2x＝0，解得x＝0，x＝﹣2，设A（0，2），则B（﹣2，0），则•＝（﹣2，﹣2）•（0，﹣2）＝﹣2×0+2×2＝4．故选：C．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n+a n＝3，则＝（）A．364B．543C．728D．1022解：∵2S n+a n＝2S n+（S n﹣S n﹣1）＝3，∴S n﹣＝（S n﹣1﹣）（n≥2），由2a1+a1＝3⇒a1＝1⇒a1﹣＝﹣，∴数列{S n﹣}是以﹣为首项，为公比的等比数列，∴S n＝﹣•，∴S6＝﹣．a6＝3﹣2S6＝，∴＝＝（729﹣1）＝364，故选：A．11．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足＝3，则点A的横坐标为（）A．1B．C．2D．3解：设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为：y＝k（x﹣1），联立方程组，消元得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝1．∵＝3，F（1，0），∴1﹣x1＝3（x2﹣1），解方程组，可得x1＝3，x2＝，故选：D．12．已知函数f（x）＝﹣1，下列说法正确的是（）A．f（x）既不是奇函数也不是偶函数B．f（x）的图象与y＝sin x有无数个交点C．f（x）的图象与y＝2只有一个交点D．f（﹣2）＜f（﹣1）解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数f（x）＝﹣1，其定义域为{x|x≠0}，则f（﹣x）+f（x）＝﹣1+﹣1＝﹣﹣2＝0，则f（x）为奇函数，A错误；对于B，函数f（x）＝﹣1，当x＞0时，有f（x）＞﹣1＝2﹣1＝1，又由f（x）为奇函数，则当x＜0时，f（x）＜﹣1，即f（x）在R上值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），则f（x）的图象与y＝sin x没有交点，B错误，对于C，若f（x）＝2，则有﹣1＝2，即log3（9x+1）＝3x，变形可得9x+1＝27x，即（）x+（）x＝1，设g（x）＝（）x+（）x，则g（x）为减函数且其值域为（0，+∞），则g（x）＝1有且只有1解，即f（x）的图象与y＝2只有一个交点，C正确，对于D，f（﹣2）＝﹣1＝﹣﹣1＝﹣（）＝﹣×log3＝﹣log3，f（﹣1）＝﹣log3（+1）﹣1＝﹣（log3+1）＝﹣log3，则有f（﹣2）＞f（﹣1），D错误，故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．若实数x，y满足约束条件，则z＝x+3y的最大值为4．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），由z＝x+3y，得y＝，由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4．故答案为：4．14．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（1，3），则C的离心率为．解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（1，3），可得双曲线的一条渐近线方程bx﹣ay＝0，∴b＝3a，∴c＝＝，∴e＝＝．故答案为：．15．将函数y＝3cos（2x+）的图象向右平行移动个单位长度得到函数y＝f（x）的图象，若f（α）＝，则f（2α﹣）＝﹣．解：将函数y＝3cos（2x+）的图象向右平行移动个单位长度，得到函数y＝f（x）＝3cos（2x﹣）的图象，若f（α）＝3cos（2α﹣）＝，∴cos（2α﹣）＝，则f（2α﹣）＝3cos[2（2α﹣）﹣]＝3cos（4α﹣）＝3×[2﹣1]＝3×（2×﹣1）＝﹣，故答案为：﹣．16．在三棱锥D﹣ABC中，平面ABC⊥平面ABD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，∠ACB＝，若三棱锥D﹣ABC的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为80π．．解：设△ABC的外心为O1，半径r，三棱锥D﹣ABC的外接球球心O，半径R，过O1作AD的平行线，过D作AO1的平行线，两条直线交于E，因为平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AB⊥AD，所以AD⊥平面ABC，因为OO1⊥平面ABC，所以OO1∥AD，则四边形ADEO1为矩形，易得O为EO1中点，△ABC中，由正弦定理得，2r＝＝＝8，所以r＝4，R2＝AO2＝＝16+4＝20，故S＝4πR2＝80π．故答案为：80π．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin A＝a cos（B﹣）．（1）求B；（2）设a＝2，b＝，延长AC到点D使AC＝2CD，求△BCD的面积．解：（1）∵b sin A＝a cos（B﹣）．由正弦定理，可得b sin A＝a sin B，∴可得：a sin B＝a cos（B﹣），可得：sin B＝cos（B﹣），化简可得：tan B＝，∵B∈（0，π），∴B＝．（2）由，可得sin A＝＝＝，可得cos A＝，sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝，所以S△ABC＝2S△BCD＝ab sin C＝×2××＝，可得S△BCD＝．18．某高校筹办大学生运动会，设计两种赛事方案：方案一、方案二、为了了解运动员对活动方案是否支持，对全体运动员进行简单随机抽样，抽取了100名运动员，获得数据如表：方案一方案二支持不支持支持不支持男运动员20人40人40人20人女运动员30人10人20人20人假设所有运动员对活动方案是否支持相互独立．（1）根据所给数据，判断是否有99%的把握认为方案一的支持率与运动员的性别有关？（2）在抽出的100名运动员中，按是否支持方案二分层抽样抽出了5人，从这5人中随机抽取2人，求抽取的2人都支持方案二的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828解：（1）K2＝≈16.667＞10.828，∴有99%的把握认为方案一的支持率与运动员的性别有关．（2）由表中数据可得，抽取100人中，支持方案二的有60人，不支持方案二的有40人，所以采用分层抽样抽出的5人中，支持方案二有＝3人，不支持方案二有5×＝2人，支持方案二的3人记为A，B，C，不支持方案二的2人记为a，b，从这5人中随机抽取2人，所有可能情况有：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b）共10种，其中抽取的2人都支持方案二的3种，所以所求的概率P＝．19．已知四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠C＝45°，AB＝2，CD＝4，E，F分别为CD，BC的中点（如图1），以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点S的位置且平面SAE⊥平面ABCE（如图2）．（1）求证：EF⊥SE；（2）求点C到平面SEF的距离．【解答】（1）证明：连结BE，因为CD＝4，E为CD的中点，所以DE＝AB＝2，因为四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，所以ABCD是矩形，所以BE⊥CD，又∠C＝45°，EC＝2，所以AD＝BE＝EC＝2，所以四边形ABED是正方形，△BEC是等腰直角三角形，又F为BC的中点，所以EF⊥BC，又∠C＝45°，所以△ADE与△EFC都是等腰直角三角形，所以∠DEA＝∠CEF＝45°，所以EF⊥AE，因为平面SAE⊥平面ABCE，平面SAE∩平面ABCE＝AE，EF⊂平面ABCE，所以EF⊥平面SAE，又SE⊂平面SAE，所以EF⊥SE；（2）解：设AE的中点为O，连结SO，因为平面SAE⊥平面ABCE，所以点S到AE的距离SO＝，又S△EFC＝1，所以，由（1）可知，EF⊥SE，所以，设点C到平面SEF的距离为h，由等体积法可得，V S﹣EFC＝V C﹣SEF，所以，解得h＝1，所以点C到平面SEF的距离为1．20．已知A，B分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，F为右焦点，点P 为C上的一点，PF恰好垂直平分线段OB（O为坐标原点），|PF|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）过F的直线l交C于M，N两点，若点Q满足＝+（Q，M，N三点不共线），求四边形OMQN面积的取值范围．解：（1）由题意可知F（c，0），B（a，0），∵PF恰好垂直平分线段OB，∴a＝2c，令x＝c，代入+＝1得：y＝，∴，∴，解得，∴椭圆C的方程为：．（2）由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：x＝my+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程，消去x得：（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，∴△＝36m2+36（3m2+4）＞0，∴，，设MN的中点为E，则＝+＝2，∴MN与OQ互相平分，四边形OMQN为平行四边形，∴S平行四边形OMQN＝2S△OMN＝2×＝|y1﹣y2|＝＝＝，令t＝≥1，则S平行四边形OMQN＝＝（t≥1），∵y＝3t+＝3（t+）在[1，+∞）上单调递增，∴3t+≥4，∴∈（0，3]，∴0＜S平行四边形OMQN≤3．综上所述，四边形OMQN面积的取值范围为（0，3]．21．已知函数f（x）＝在x＝1处取得极值．（1）求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）+x+＞0．解：（1）∵f（x）＝，∴f′（x）＝，由题意，f′（1）＝﹣1﹣a＝0，即a＝﹣1，则f′（x）＝（x＞0），当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）的减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）；（2）要证f（x）+x+＞0，即证＞0，∵x＞0，即证＞0，令g（x）＝x﹣1﹣lnx，则g′（x）＝1﹣，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x）≥g（1）＝0，即lnx≤x﹣1，则ln2x≤2x﹣1，得ln2+lnx≤2x﹣1，∴lnx≤2x﹣1﹣ln2，则，令h（x）＝，∵ln2＞ln＝，∴，则h（x）＞0，故＞0成立，则f（x）+x+＞0．四、（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答.如果多做则按所做的第一题计分.[选修44：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝2．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）已知点P（3，1），直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．解：（1）曲线C的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝2，根据，转换为直角坐标方程为x﹣y﹣2＝0．（2）直线l的直线坐标方程转换为参数方程为：（t为参数），代入，得到，所以，，所以：|PA|+|PB|＝．五、[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣5|．（1）解不等式f（x）≤6；（2）若正实数a，b满足a+b＝ab，且函数f（x）的最小值为m，求证：a+b≥m．解：（1）因为f（x）＝|x﹣1|+|x﹣5|，f（x）≤6，所以当x＜1时，不等式即为﹣x+1﹣x+5≤6，解得x≥0，得0≤x＜1．当1≤x≤5时，不等式即为x﹣1﹣x+5≤6⇒4≤6，得1≤x≤5．当x＞5时，不等式即为x﹣1+x﹣5≤6，解得x≤6，得5＜x≤6．综上，不等式f（x）≤6的解集为[0，6]．（2）证明：f（x）＝|x﹣1|+|x﹣5|≥|（x﹣1）﹣（x﹣5）|＝4，所以m＝4．正实数a，b，a+b＝ab⇒，所以，（当且仅当，即a＝b＝2时等号成立）所以a+b≥m．。

2023年四川省宜宾市叙州一中高考数学二诊试卷（文科）1. 集合，集合，则( )A. B. C. D.2.在复平面内，复数，对应的点关于直线对称，若，则( )A. B. 2 C. D. 43. 设，下列向量中，可与向量组成基底的向量是( )A. B.C. D.4. 设a，，则“”是“”的( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图是函数图像的一部分，设函数，，则可以表示为( )A. B. C. D.6. 在区间上随机取一个数k，使直线与圆相交的概率为( )A. B. C. D.7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，点D为BC的中点，，且的面积为，则( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象．若的图象关于直线对称，则( )A. B. C. D.9. 古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯在《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，s表示平面图形的面积，l表示重心绕旋转轴旋转一周的周长如图，直角梯形ABCD，已知，，，，则其重心G到AB的距离为( )A. B. C. D. 110. 过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.11. 已知，，，则( )A. B. C. D.12. 已知x，y满足约束条件，则的最小值为______.13. 若，，则______ .14. 已知是定义在上的偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为______ .15. 在三棱锥中，已知平面ABC，且为正三角形，，点O为三棱锥的外接球的球心，则点O到棱DB的距离为______.16. 为研究男、女生的身高差异，现随机从高二某班选出男生、女生各10人，并测量他们的身高，测量结果如下单位：厘米：男：164 178 174 185 170 158 163 165 161 170女：165 168 156 170 163 162 158 153 169 172根据测量结果完成身高的茎叶图单位：厘米，并分别求出男、女生身高的平均值．请根据测量结果得到20名学生身高的中位数中位数单位：厘米，将男、女生身高不低于h和低于h的人数填入下表中，并判断是否有的把握认为男、女生身高有差异？人数男生女生身高身高参照公式：若男生身高低于165厘米为偏矮，不低于165厘米且低于175厘米为正常，不低于175厘米为偏高．假设可以用测量结果的频率代替概率，试求从高二的男生中任意选出2人，恰有1人身高属于正常的概率．17. 已知数列中，，判断数列是否为等差数列，并说明理由；求数列的前n项和18. 底面ABCD为菱形且侧棱底面ABCD的四棱柱被一平面截取后得到如图所示的几何体.若，求证：；求三棱锥的体积.19. 设函数，其中当时，在时取得极值，求a；当时，若在上单调递增，求b的取值范围；20. 已知椭圆C：，A为椭圆C的上顶点，过A的直线l与椭圆C交于另一点B，与x轴交于点D，O点为坐标原点．若，求l的方程；已知P为AB的中点，y轴上是否存在定点Q，使得，若存在，求Q的坐标；若不存在，说明理由．21. 在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A在直线l上求a的值和直线l的直角坐标方程及l的参数方程；已知曲线C的参数方程为，为参数，直线l与C交于M，N两点，求的值22. 已知函数当，时，解不等式；若函数的最小值是2，证明：答案和解析1.【答案】C【解析】解：由得：或，即，故选：解不等式可求得集合A，由交集定义可得结果．本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：对应的点为，其中关于的对称点为，故，故故选：根据对称性得到，从而计算出，求出模长．本题主要考查复数的模公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：对于AB项，若时，，不满足构成基向量的条件，所以AB都错误；对于D项，若时，不满足构成基向量的条件，所以D错误；对于C项，因为，，又因为恒成立，说明与不共线，构成基底向量的条件，所以C正确．故选：根据已知条件，结合基底的定义，即可求解．本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由，可得，所以有，又，所以“”是“”的充要条件．故选：根据充分条件，必要条件的定义，结合指数函数的单调性解决即可．本题考查了充分条件必要条件的判断、指数函数的单调性等知识，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，用排除法分析：由图象可知：，，对于A，若，有，不符合题意；对于B，若，有，不符合题意；对于C，若，有，不符合题意；故选：根据题意，用排除法分析：由函数的解析式观察、的值，验证选项中解析式是否符合，即可得答案．本题考查函数的图象分析，此类问题一般用排除法分析，属于基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键是弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于较易题．利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k的范围，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【解答】解：圆的圆心为，圆心到直线的距离为，要使直线与圆相交，则，解得在区间上随机取一个数k，使与圆相交的概率为故选：7.【答案】A【解析】解：，在中，由余弦定理得，即，又，解得①，，即，，即②，将②代入①得，解得或不合题意，舍去，故选：利用余弦定理得到，再由三角形面积公式得到，求解即可得出答案．本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：，因为的图象关于直线对称，所以，即，解得，故故选：先求出平移后的函数式，然后根据关于对称，则函数取得最大值，构造方程即可．本题考查三角函数图象的变换和性质，注意将对称轴与函数的最值关联，对称中心与函数的零点关联列方程求解．属于较简单的中档题．9.【答案】C【解析】解：设，，直角梯形绕AB旋转一周所得的几何体的体积为；梯形ABCD的面积，故记重心G到AB的距离为，则重心绕旋转轴旋转一周的周长为，则，则，故选：根据题意，用式子分别表示出直角梯形绕AD旋转一周所得的几何体的体积、梯形面积以及重心绕旋转轴旋转一周的周长，进而求解答案．本题主要考查点到直线的距离的求法，旋转体的有关知识，考查运算求解能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：设切点为，则切线方程为，切线过点，，过点可作三条直线与曲线相切，有三个不等根．令，则，令，则或，当或时，；当时，，在和上单调递增，在上单调递减，，，由有三个不等根，可知函数与有三个交点，则，的取值范围为故选：切点为，求出切线方程，再切线过点，求出a，然后根据过点可作三条直线与曲线相切，求出a的范围即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性、切线方程和极值，考查了方程思想和转化思想，属中档题．11.【答案】A【解析】解：，，两边取对数得：，，，令，，则，令，，则在上恒成立，所以在上为增函数，因为当时，恒成立，所以在上恒成立，故在上恒成立，故在上单调递增，所以，故，即，因为在上单调递增，所以故选：对a，b，c两边取对数，得到，，，构造，，求导后再令，研究其单调性，得到在上单调递增，从而得到，结合在上的单调性求出答案．本题主要考查了导数与单调性在函数值大小比较中的应用，构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对，，两边取对数得：，，前后两个对数中真数之和为11，从而达到构造出适当函数的目的．12.【答案】【解析】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，，令，得，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为故答案为：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．13.【答案】【解析】解：因为，①又②，联立①②可得，所以，因为，所以，所以为第二象限角，则故答案为：由已知结合和差角公式及同角平方关系即可求解．本题主要考查了和差角公式及同角平方关系的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由是定义在上的偶函数，当时，，可得时，，所以当时，的导数为，则曲线在点处的切线的斜率为，切点为，则切线的方程为，故答案为：根据是定义在上的偶函数，以及当时，等条件求出时，的导数为，进而求出时，，代入即可求出答案．本题主要考查导数和函数的切线方程，属于中档题．15.【答案】【解析】解：设为的中心，M为AD中点，连结OM，，AO，则，，得，作平面ODA交BC于E，交于设平面ODA截得外接球是，D，A，F是表面上的点，又平面ABC，，是的直径，，因为，，，所以，所以，AF是的直径，连结，，平面DAB，，作，又，是的中位线，故故答案为：作图，设为的中心，连结OM，，AO，作平面ODA交BC于E，根据条件可证得平面DAB，作，得到OH是的中位线．所以，可得所求值．本题考查了棱锥与外接球的位置关系，属于中档题．16.【答案】解：茎叶图为：平均身高为：男：，女：名学生身高的中位数，男、女身高的列联表：人数男生女生身高65身高45，没有把握认为男、女身高有差异．由测量结果可知，身高属于正常的男生概率，因为选2名男生，恰好一名身高属于正常的男生的概率：从高二的求法男生中任意选出2人，恰有1人属于正常的概率为【解析】根据测量结果完成身高的茎叶图单位：厘米，由此能求出求出男、女生身高的平均值．名学生身高的中位数，列出男、女身高的列联表，从而，没有把握认为男、女身高有差异．由测量结果可知，身高属于正常的男生概率，由此能求出选2名男生，恰好一名身高属于正常的男生的概率．本题考查平均数、中位数、概率的求法，考查茎叶图、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：数列中，，，整理得，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列；由知：数列的通项公式为：，则，所以①，②，①-②得：，则【解析】直接利用关系式的变换，得到数列为等差数列；利用的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，乘公比错位相减法在数列中的求和，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．18.【答案】证明：连接AC，由，且，可知四边形AEGC为平行四边形，所以因为底面ABCD为菱形，所以，又，所以，，因为，平面BDHF，平面BDHF，所以平面BDHF，又平面BDHF，所以解：设，，因为平面平面BCGF，平面平面，平面平面，所以，同理可得：，所以四边形EFGH为平行四边形，所以P为EG的中点，O为AC的中点，所以，且，所以，，所以所以因为，平面BCGF，平面BCGF，所以平面BCGF，所以点A到平面BCGF的距离等于点E到平面BCGF的距离，为所以【解析】证明平面BDHF即可；首先证明四边形EFGH为平行四边形，然后可得到，然后证明平面BCGF，然后利用算出即可．本题主要考查直线与直线垂直的证明，棱锥体积的求法，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：当时，，，因为在处取得极值，所以，即，解得，此时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，故在处取得极值，故符合题意．当时，，，所以，令，因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为图象开口向上，对称轴为，所以要使在上恒成立，则，解得，即b的取值范围是【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．代入b的值，求出函数的导数，由，从而求出a的值即可；代入a的值，求出函数的导数，由函数的单调性可得在上恒成立，从而确定b的范围即可．20.【答案】解：由椭圆C：，得，由题意，直线l的斜率存在且不为0，设为k，则直线方程为联立，得则，由，解得直线l的方程为；当直线l的斜率不存在时，，AB的中点为P与O点重合，D与O重合，，对于任意点Q，都有；当直线l的斜率存在时，由可知，，则的中点，设y轴上存在定点，使得，则，得点Q为即y轴上存在定点，使得【解析】本题考查直线与椭圆位置关系，考查平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，是中档题．由椭圆方程得，由题意知直线l的斜率存在且不为0，设直线方程为联立直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求解k，则直线方程可求；当直线l的斜率不存在时，，AB的中点为P，与O点重合，D与O重合，可知对于任意点Q，都有；当直线l的斜率存在时，由求得AB的中点坐标，又，设y轴上存在定点，使得，由数量积为0列式求得m值，则结论可求．21.【答案】解：点，；由，得于是l的直角坐标方程为l：，l的参数方程为：；由C：，消去参数，得，将l的参数方程代入，得，设该方程的两根为，，由直线l的参数t的几何意义及曲线C知，，，【解析】把点A的坐标代入直线l求得a值，代入直线l的极坐标方程，展开两角差的余弦，再由极坐标与直角坐标的互化公式得直线l的直角坐标方程，进一步化为参数方程；求出曲线C的直角坐标方程，把直线l的参数方程代入，化为关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t的几何意义求解．本题考查解得曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．22.【答案】解法一：当，时，不等式为当时不等式化为得，故；当时不等式化为得故；当时不等式化为故综上可知，不等式的解集为，解法二：用图象解，作出与的图象：由，由，所以不等式的解集为证明：易知，因为的最小值是2且，所以，故所以当且仅当时取等号【解析】解法一：去掉绝对值符号，求解不等式的解集即可．解法二：化简函数为分段函数，用图象解不等式的解集．通过结合函数的最小值，利用基本不等式转化求解证明即可．本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。

四川省宜宾市第四中学校2023届高三二诊模拟文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________根据统计图分析，下列结论最恰当的一项为（）A．2021年第二、三季度的各月制造业在逐月收缩B．2021年第四季度各月制造业在逐月扩张C．2022年1月至4月制造业逐月收缩D．2022年6月PMI重回临界点以上，制造业景气水平呈恢复性扩张5．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的一条渐近线方程为52y x=-，则双曲线C的离二、填空题三、解答题17．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机（Ⅰ）证明：BC ⊥平面PAE ；（Ⅱ）点Q 在棱PB 上，且13PQ PB =，证明：20．已知函数3211()32m f x x x +=-,（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值,求m （Ⅱ）若()f x 在区间(2,)+∞为增函数参考答案：则1(0,0,0),(1,0,1),(1,2,0),D A B C 11(1,2,1),(0,2,B D A B =---=- 设平面1A BC 的法向量为(,,n x y =则1200n A B y z n BC x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取(0,1,n =12．D【分析】利用导数求出函数的单调区间，从而可画出函数的大致图象，令令()f x t =，则方程210et at --=必有两个不等根，设两根分别为121t t e⋅=-，1可得四边形DEBO为矩形，OD=，由于AB∥OD，异面直线由6CO⊥平面ABOD,故∠CDO【点睛】本题考查了线面垂直和线面平行，意在考查学生的空间想象能力和推断能力20．（Ⅰ）0m =；（Ⅱ）1m ≤；（Ⅲ）m 【详解】试题分析：（1）先求出函数的导数，由()2(1)f x x m x =-+'，得()0f x '≥在区间得到1m ≤；（3）求出()(1)(h x x x =-'-【点睛】方法点睛：在已知直角坐标方程求曲线的交点、距离、线段长度等几何问题时，如果不能直接用直角坐标解决，或用直角坐标解决较为麻烦，方程解决.23．(1)1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦；(2)证明见解析.。

2020届四川省宜宾市高三第二次诊断检测数学（文科)试题1．设i 是虚数单位，则()()2332i i +-=（ ） A ．125i +B ．66i -C ．5iD ．132．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}260B x x x =--<，则A B =I （ ）A ．{}1,0,1,2-B ．{}2,1,0,1,2--C ．{}2,1,0,1,2,3--D ．{}2,1,0,1--3．2020年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎.为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人心抗击疫情.下图表示1月21日至3月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错误．．的是（ ）A ．2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势B ．随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数C ．2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大D ．我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2月12日左右达到峰值4．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>的一条渐近线方程为4y x 3=，则双曲线的离心率为( )A ．53B C ．54D 5．如图，为了估计函数2y x =的图象与直线1x =-，1x =以及x 轴所围成的图形面积（阴影部分），在矩形ABCD 中随机产生1000个点，落在阴影部分的样本点数为303个，则阴影部分面积的近似值为（ ）A ．0.698B ．0.606C ．0.303D ．0.1516．函数()cos 2f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为40，则输出的n 的值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．118．已知1tan 242θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin θ=（ ）A B C ．35D ．139．四棱锥P ABCD -所有棱长都相等，M 、N 分别为PA 、CD 的中点，下列说法错误的是（ ） A ．MN 与PD 是异面直线 B ．//MN 平面PBC C ．//MN ACD ．MN PB ⊥10．在ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD △的面积是（ ）A B ．C ．1D ．311．过抛物线212x y =的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交抛物线的准线于点C ，若3AF FB =uu u r uu r，则BC =（ ）A ．4B ．C ．6D ．812．若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=．当[]0,1x ∈，()21f x x =-，则（ ）A ．()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．()2135log 3log 22f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭13．函数()32142333f x x x x =+++的零点个数为__________． 14．已知()sin f x x x m =++为奇函数，则2f π⎛⎫=⎪⎝⎭__________． 15．在ABC ∆中，已知3AB =，2AC =，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅=u u u r u u u r__________.16．已知圆锥的顶点为S ，过母线SA 、SB 的切面切口为正三角形，SA 与圆锥底面所成角为30o ，若SAB V的面积为__________．17．流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染．某幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）计算变量x 、y 的相关系数r （计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强？（若[]0.75,1r ∈，则x 、y 相关性很强；若[)0.3,0.75r ∈，则x 、y 相关性一般；若[]0,0.25r ∈，则x 、y 相关性较弱．） 57.47≈．参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx====---==--∑∑∑∑，相关系数()()niix x y y r --=∑．18．已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a +++⋅⋅⋅+=----．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ． 19．将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -后得到如图所示几何体，O 为11A C 的中点．（1）求证：//OB 平面1ACD ； （2）求几何体111ACB A D 的体积．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为()1,0F -．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，T 为直线2x =-上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P 、Q ．当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积． 21．已知函数()212xf x e x x =-+． 证明：（1）函数()f x 在R 上是单调递增函数；（2）对任意实数1x 、2x ，若()()122f x f x +=，则120x x +<．22．在极坐标系Ox 中，曲线C2sin ρθ=，直线l 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ-=，设l 与C 交于A 、B 两点，AB 中点为M ，AB 的垂直平分线交C 于E 、F .以O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系xOy . （1）求C 的直角坐标方程与点M 的直角坐标； （2）求证：MA MB ME MF ⋅=⋅. 23．已知函数()123f x x x =--+. （1）求不等式()1f x <的解集；（2）若存在实数x ，使得不等式()230m m f x --<成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．A 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算可求得结果. 【详解】由复数的乘法法则得()()22332656125i i i i i +-=+-=+.故选：A. 【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】求出集合B ，利用交集的定义可得出集合A B I . 【详解】{}{}26023B x x x x x =--<=-<<Q ，{}2,1,0,1,2A =--，因此，{}1,0,1,2A B ⋂=-.故选：A. 【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】根据新增确诊曲线的走势可判断A 选项的正误；根据新增确诊曲线与新增治愈曲线的位置关系可判断B 选项的正误；根据2月10日至2月14日新增确诊曲线的走势可判断C 选项的正误；根据新增确诊人数的变化可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，由图象可知，2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势，A 选项正确； 对于B 选项，由图象可知，随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数，B 选项正确；对于C 选项，由图象可知，2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大，C 选项正确； 对于D 选项，在2月16日及以前，我国新型冠状病毒肺炎新增确诊人数大于新增治愈人数，我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数不在2月12日左右达到峰值，D 选项错误. 故选：D. 【点睛】本题考查统计图表的应用，考查数据处理能力，属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】结合渐近线方程得到43b a =，根据,,a bc 关系可求得离心率. 【详解】Q 双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上∴设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>由此可得双曲线的渐近线方程为by x a =± 结合题意一条渐近线方程为43y x =，得43b a =设4b t =，3a t =，则()50c t t ==>∴该双曲线的离心率是53c e a == 本题正确选项：A 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，关键是能够构造出关于,,a b c 的齐次关系式，属于基础题. 5．B 【解析】 【分析】先求出矩形面积为2，设区域面积为x ，利用几何概型的概率公式列等式求出x 的值，即可得出结果.【详解】设阴影部分区域的面积为x ，由几何概型概率公式知，则30310002x=，解得0.606x =， 则该阴影部分区域面积的近似值为0.606. 故选：B ． 【点睛】本题考查利用几何概型求区域面积，考查计算能力，属于基础题． 6．A 【解析】 【分析】分析函数()y f x =的奇偶性以及函数()y f x =在区间()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项. 【详解】根据题意，()cos sin 2f x x x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，定义域为R ，定义域关于原点对称. 有()()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，即函数()y f x =为偶函数，排除B 、D ； 当()0,x π∈时，0x >，sin 0x >，有()0f x >，排除C. 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性以及特殊值，属于基础题． 7．C 【解析】 【分析】列出循环的每一步，可得出输出的n 的值. 【详解】1n =，输入40m =，112n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则40202m ==； 213n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则20102m ==； 314n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则1052m ==；415n =+=，1m =不成立，m 是偶数不成立，则35116m =⨯+=； 516n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则1682m ==； 617n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则842m ==； 718=+=n ，1m =不成立，m 是偶数成立，则224m ==； 819n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则212m ==；9110n =+=，1m =成立，跳出循环，输出n 的值为10.故选：C. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题. 8．C 【解析】 【分析】由已知结合两角和的正切公式可求tan2θ，然后利用22tan2sin 1tan 2θθθ=+，代入即可求解． 【详解】 因为1tan 242θπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以1tan tan 12442tan tan 31224411tan tan 2244θππθθππθππ⎛⎫-++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦--- ⎪⎝⎭，所以2222sin cos 2tan63222sin 2sin cos 22195cos sin 1tan 222θθθθθθθθθ=====+++．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式及同角基本关系在求解三角函数值的应用，属于基础试题． 9．C【分析】画出图形，利用异面直线以及直线与平面平行的判定定理，判断选项A 、B 、C 的正误，由线线垂直可判断选项D ． 【详解】由题意可知四棱锥P ABCD -所有棱长都相等，M 、N 分别为PA 、CD 的中点，MN 与PD 是异面直线，A 选项正确；取PB 的中点为H ，连接MH 、HC ，四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴且AB CD =，M Q 、H 分别为PA 、PB 的中点，则//MH AB 且12MH AB =， N Q 为CD 的中点，//CN MH ∴且CN MH =，则四边形CHMN 为平行四边形，//MN CH ∴，且MN ⊄平面PBC ，CH ⊂平面PBC ，//MN ∴平面PBC ，B 选项正确； 若//MN AC ，由于//CH MN ，则//CH AC ，事实上AC CH C ⋂=，C 选项错误；PC BC =Q ，H 为PB 的中点，CH PB ∴⊥，//MN CH Q ，MN PB ∴⊥，D 选项正确.故选：C ． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及直线与平面的平行与垂直的位置关系的判断，是中档题. 10．A 【解析】 【分析】先根据正弦定理求得DC ，再结合余弦定理求得cos B ，进而求出ABD S V ，即可求得结论．如图：()sin sin sin ADC ADB ADB π∠=-∠=∠，在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB BAD ADB=∠∠，同理可得sin sin CD ACCAD ADC =∠∠，因为ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，上述两个等式相除得BD ABCD AC=， 4AB =Q ，8AC =，2BD =，8244AC BD CD AB ⋅⨯∴===，6BC ∴=.2222224681cos 22464AB BC AC B AB BC +-+-∴===-⋅⨯⨯，sin 4B ==. 1sin 2ABD S AB BD B ∴=⋅⋅=V 故选：A ． 【点睛】本题考查三角形面积的求法以及角平分线的性质应用，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用，考查计算能力，属于中等题. 11．D 【解析】 【分析】作出图象，作BM CP ⊥，AN CP ⊥，BH AN ⊥，设BF x =，根据抛物线的性质可得BM BF HN x ===，3AN AF x ==，进而得到1sin 2ACN ∠=，则可求出x 的值，进而得到BC 的值. 【详解】作BM CP ⊥，AN CP ⊥，BH AN ⊥，如图，因为3AF FB =uu u r uu r，不妨设BF x =，所以33AF BF x ==，4AB x =，根据抛物线的定义可得BM BF HN x ===，3AN AF x ==，6FP p ==， 则32AH AN HN x x x =-=-=，所以1sin sin 2AH ABH ACN AB ∠=∠==，则212CF FP ==，2CB x =， 则312CF CB BF x =+==，所以4x =，则28BC x ==， 故选：D ． 【点睛】本题考查抛物线的性质，涉及抛物线定义的应用，考查数形结合思想，属于中档题． 12．A 【解析】 【分析】推导出函数()y f x =的周期为4，根据题意计算出51022f f ⎛⎫⎛⎫=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()224log 3log 03f f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()133log 2log 20f f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，再利用函数()y f x =在区间[]0,1上的单调性可得出结论.【详解】因为定义在R 上的偶函数()y f x =满足()()20f x f x +-=，即()()20f x f x +-=， 即()()2f x f x =--，()()()24f x f x f x ∴=--=-，所以，函数()y f x =的周期为4，因为当[]0,1x ∈时，()21f x x =-单调递减，因为5110222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()224log 3log 03f f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， ()()1333log 2log 2log 20f f f ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭， 因为2410log 132<<<，所以241log 32f f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，12314log 2log 23f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫>->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，属于中等题. 13．2 【解析】 【分析】先求出导函数()f x '，令()0f x '=求出极值点，进而求出函数的极值，根据单调性和极值画出函数的大致图象，从而得到函数的零点个数． 【详解】Q 函数()32142333f x x x x =+++，()()()24313f x x x x x '∴=++=++， 令()0f x '=得：3x =-或1-，当(),3x ∈-∞-时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增； 当()3,1x ∈--时，()0f x '<，函数()y f x =单调递减； 当()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增. 所以，函数()y f x =的极大值为()433f -=，极小值为()10f -=，则函数()y f x =的大致图象如图所示：由图象可知，函数()y f x =有2个零点. 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值，以及函数的零点，是中档题． 14．12π+【解析】 【分析】由()00f =可求出m ，然后代入计算即可得出2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值． 【详解】由奇函数的性质可得()00f m ==，故()sin f x x x =+，所以122f ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 故答案为：12π+． 【点睛】本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数解析式及求解函数值，属于基础试题． 15．52-【解析】 【分析】作出图形，设点E 为线段BC 的中点，可得出()12AE AB AC =+u u u r u u u r u u u r 且AP AE EP =+u u u r u u u r u u u r，进而可计算出AP BC ⋅u u u r u u u r的值.【详解】设点E 为线段BC 的中点，则EP BC ⊥，0EP BC ∴⋅=u u u r u u u r，()()111222AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()()()12AP BC AE EP BC AE BC EP BC AC AB AC AB ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()222211523222AC AB =-=⨯-=-u u u r u u u r . 故答案为：52-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，涉及平面向量数量积运算律的应用，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.16． 【解析】 【分析】设AC 是圆锥底面圆的一条直径，设SA SB SC l ===，30SAC ∠=o ，AC =，AB l =，根据三角形的面积求得l ，由此能求出该圆锥的侧面积． 【详解】依题意画图，如图：设AC 是圆锥底面圆的一条直径，设SA SB SC l ===，30SAC ∠=o ，则30SCA ∠=o ，120ASC ∴∠=o，由正弦定理得sin120sin 30AC SA=o o，AC ∴=， 由题意可知，SAB V 是等边三角形，则AB SA l ==，SAB Q △的面积为221sin 602l =⋅=o ，解得4l =，AC ∴=则该圆锥的底面圆半径为r =因此，该圆锥的侧面积为rl π=．故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17．（1）$ 3.229.8y x =-+；（2）相关系数为0.97-，可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强． 【解析】 【分析】（1）结合已知数据和参考公式求出$a、ˆb 这两个系数，即可得回归方程； （2）根据相关系数的公式求出r 的值，再结合r 的正负性与r 的大小进行判断即可． 【详解】（1）由题意得，2345645x ++++==，2222171410175y ++++==，()()()()()()()()()51522222212515001327ˆ 3.221012iii ii x x y y b x x ==---⨯+-⨯+⨯+⨯-+⨯-===--+-+++-∑∑，$ˆ17 3.2429.8ay bx =-=+⨯=， 故y 关于x 的线性回归方程为$ 3.229.8y x =-+；（2）()()0.97niix x y y r --===≈-∑，0r ∴<，说明x 、y 负相关，又[]0.75,1r ∈，说明x 、y 相关性很强．因此，可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法、相关系数的计算与性质，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题． 18．（1）352n n a +=；（2）616n nT n =+. 【解析】 【分析】 （1）先令25n n n b a =-，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则3n nS =，再利用公式11,1,2n nn S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可计算出数列{}n b 的通项公式，再计算出数列{}n a 的通项公式；（2）根据第（1）题的结果计算出数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，然后对通项公式进行转化，再运用裂项相消法计算出n T ． 【详解】（1）由题意，令25n n n b a =-，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则3n nS =．当1n =时，1113b S ==；当2n ≥时，111333n n n n n b S S --=-=-=. ∴数列{}n b 是常数列，即1253n n n b a ==-，故352n n a +=，*n N ∈；（2）由（1）知，()()()()11441133531535315n n a a n n n n +⎡⎤==-⎢⎥++++++⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 12231111n n n T a a a a a a +∴=++⋅⋅⋅+ ()41141141133153253325335335315n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯++++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()4111111331532532533535315n n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⨯+⨯+⨯+⨯++++⎣⎦()()411411143315315383156924616n n n n n ⎡⎤⎡⎤=-=-=-=⎢⎥⎢⎥⨯+++++++⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，运用裂项相消法求前n 项和，考查了转化与化归思想，构造思想，逻辑推理能力和数学运算能力，本题属中档题． 19．（1）见解析；（2）4. 【解析】 【分析】（1）取AC 中点为1O ，连接1OO ，11B D ，11O D ，推导出四边形11O BOD 为平行四边形，可得出11//BO O D ，再由线面平行的判定可得//OB 平面1ACD ； （2）由正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，求得11118ABCD A B C D V -=，1112223243D ACD V -=⨯⨯⨯⨯=，111143A BCB C B C D V V --==，再由体积作差可得几何体111ACB A D 的体积．【详解】（1）取AC 中点为1O ，连接1OO 、11B D 、11O D ．在正方形1111D C B A 中，O Q 为11A C 的中点，O ∴为11B D 的中点． 在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC Q 且11AA CC =，∴四边形11AAC C 为平行四边形，11//AC AC ∴且11AC A C =，O Q 、1O 分别为11A C 、AC 的中点，11//AO AO ∴且11AO A O =， 所以，四边形11AAOO 为平行四边形，11//OO AA ∴且11OO AA =，11//AA BB Q 且11AA BB =，11//OO BB ∴且11OO BB =，所以，四边形11OO BB 为平行四边形，11//O B OB ∴且11O B OB =，O Q 为11B D 的中点，11//OD O B ∴且11OD O B =，则四边形11O BOD 为平行四边形，11//OB O D ∴，又BO ⊄平面1ACD ，11O D ⊂平面1ACD ，因此，//OB 平面1ACD ； （2）∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，1111328ABCD A B C D V -∴==，1112223243D ACD V -=⨯⨯⨯⨯=．又11111111111ACB A D ABC C D A B A BCB C B C D V V V V ---=--，且111111111420833ABC C D A B ABCD A B C D D ACD V V V ---=-=-=，而111143A BCBC B CD V V --==， 1112042433ACB A D V ∴=-⨯=． 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20．（1）2212x y +=；（2【解析】 【分析】（1）由焦点坐标和离心率及a 、b 、c 之间的关系求出a 、b 的值，进而可得椭圆C 的标准方程；（2）由题意设T 的坐标为()2,m -，由（1）得左焦点F 的坐标，可得直线TF 的斜率，由题意可得PQ 的方程，将直线PQ 与椭圆C 的方程联立求出两根之和，运用韦达定理求得1212,y y y y +，再由四边形OPTQ 是平行四边形，可得OP QT =u u u r u u u r，由此求出m 的值，从而可得,OT PQ 的长，进而求出四边形OPTQ 的面积． 【详解】 （1）由已知得：2c a =，1c =，所以a =222a b c =+，解得1b =， 所以椭圆C 的标准方程为：2212x y +=；（2）设T 点的坐标为()2,m -，则直线TF 的斜率()21TF m k m -==----，当0m ≠时，直线PQ 的斜率1PQ k m=，直线PQ 的方程是1x my =-； 当0m =时，直线PQ 的方程也符合1x my =-的形式．由22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()222210m y my +--=（*），其判别式()()222442810m m m ∆=++=+>，设()11,P x y 、()22,Q x y ，则1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()12122422x x m y y m +=+-=-+，因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP QT =u u u r u u u r，即()()1122,2,x y x m y =---，所以12212222422m y y m m x x m ⎧+==⎪⎪+⎨⎪+=-=-⎪+⎩，解得0m =，此时，方程（*）为2210y -=，得y =，则PQ =此时OPTQ Y的面积11222OPTQ S OT PQ =⋅=⨯=Y 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程及直线与椭圆的综合，及平行四边形的性质，考查了四边形面积的计算，属于中档题． 21．（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）依题意可得()1x f x e x '=-+，()1xf x e ''=-，通过()y f x ''=的函数值符号的分析，可求得()()min 020f x f ''==>，于是可证得函数()y f x =在R 上是单调递增函数； （2）由（1）知函数()y f x =在R 上是单调递增函数，设120x x <<，再构造函数()()()()20x x g x f x f x e e x x -=+-=+-<，利用导数分析其单调性即可证得120x x +<成立．【详解】（1）()212xf x e x x =-+Q ，()1x f x e x '∴=-+，()1x f x e ''=-， 令()0f x ''>，得0x >，即函数()y f x '=在区间()0,∞+上单调递增；()0f x ''<，得0x <，函数()y f x '=在区间(),0-∞上单调递减.所以，函数()y f x '=的最小值为()()min 020f x f ''==>， 故函数()y f x =在R 上是单调递增函数；（2）因()()()12202f x f x f +==，()y f x =在R 上是单调递增函数，不妨设120x x <<， 构造()()()()20xxg x f x f x e ex x -=+-=+-<，则()2x x g x e e x -'=--，()220x x g x e e -''∴=+->=，所以()y g x '=在(),0-∞上单调递增，所以()()00g x g ''<=，所以()y g x =在(),0-∞上单调递减，因10x <，()()()()()()1111202g x f x f x g f x f x =+->==+，有()()12f x f x ->． 由（1）知，函数()y f x =在R 上是单调递增函数，有12x x ->，即120x x +<． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，根据函数的单调性构造合适的函数是关键，考查逻辑推理与运算能力，属于难题．22．（1）22:12x C y +=，21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）见解析.【解析】 【分析】（1）将曲线C 的极坐标方程变形为()22sin 2ρρθ+=，再由222sin x y y ρρθ⎧=+⎨=⎩可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，求出点A 、B 的坐标，即可得出线段AB 的中点M 的坐标；（2）求得MA MB ==，写出直线EF 的参数方程，将直线EF 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，利用韦达定理求得ME MF ⋅的值，进而可得出结论. 【详解】（1）曲线C 的极坐标方程可化为()222sin ρρθ=-，即()22sin 2ρρθ+=，将222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩代入曲线C 的方程得2222x y +=， 所以，曲线C 的直角坐标方程为22:12x C y +=.将直线l 的极坐标方程化为普通方程得1x y -=，联立22112x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得01x y =⎧⎨=-⎩或4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点()0,1A -、41,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因此，线段AB 的中点为21,33M ⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）由（1）得3MA MB ==，89MA MB ∴⋅=，易知AB 的垂直平分线EF的参数方程为23213x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入C的普通方程得234023t -=，483392ME MF -∴⋅==， 因此，MA MB ME MF ⋅=⋅. 【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数几何意义的应用，涉及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 23．（1）()(),62,-∞--+∞U ；（2）()1,4-. 【解析】 【分析】（1）将函数()y f x =的解析式表示为分段函数，然后分3x ≤-、31x -<<、1x ≥三段求解不等式()1f x <，综合可得出不等式()1f x <的解集；（2）求出函数()y f x =的最大值()max f x ，由题意得出()2max 3m m f x -<，解此不等式即可得出实数m 的取值范围. 【详解】()7,312335,317,1x x f x x x x x x x +≤-⎧⎪=--+=---<<⎨⎪--≥⎩Q .（1）当3x ≤-时，由()71f x x =+<，解得6x <-，此时6x <-； 当31x -<<时，由()351f x x =--<，解得2x >-，此时21x -<<； 当1x ≥时，由()71f x x =--<，解得8x >-，此时1x ≥. 综上所述，不等式()1f x <的解集()(),62,-∞--+∞U ；（2）当3x ≤-时，函数()7f x x =+单调递增，则()()34f x f ≤-=； 当31x -<<时，函数()35f x x =--单调递减，则()()()13f f x f <<-，即()84f x -<<；当1x ≥时，函数()7f x x =--单调递减，则()()18f x f ≤-=-. 综上所述，函数()y f x =的最大值为()()max 34f x f =-=， 由题知，()2max 34m m f x -<=，解得14-<<m .因此，实数m 的取值范围是()1,4-. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了绝对值不等式中的参数问题，考查分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题.。

四川省宜宾市2022届高三数学下学期第二次诊断性测试（二模）试题 文（考试时间：120分钟 全卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合2{|2}A x x x ==，{12}B =，，则A B =A ．{012}，，B ．{0,1}C ．{2}D ．{12}，2．已知i 是虚数单位，复数z 满足(1i)1i z ⋅+=-，则z 的虚部是 A ．i -B ．iC ．1-D ．13．若,x y 满足311x x y y ⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≥，≤，则x y -的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．54．为落实的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试．右图是该次考 试成绩随机抽样样本的频率分布直方图，则下列关于这次考试成绩的估计错误．．的是A ．众数为82.5B ．中位数为85C ．平均数为86D ．有一半以上的成绩在80～90分之间5．在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点P ,则P 到正方形各个顶点距离均大于1的概率为 A ．π4B ．π14-C ．π24-D ．π44-6．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23n n a S -=，则5a =o频率/组距70B 1C 1MDBA1A 1A ．96B ．64C ．48D ．327．已知一个直角三角形的两条直角边分别为2和23 余两边旋转一周所围成的旋转体的表面积为 A ．(123)π+B ．(623)π+C ．(433)π+D ．(33)π+8．物理学家和数学家牛顿（Issac Newton ）提出了物体在常温下温度变化的冷却模型：设物体的初始温度是1T (单位：℃)，环境温度是0T (单位：℃)，且经过一定时间t (单位：min)后物体的温度T (单位：℃)满足10e kt T T T T -=-（k 为正常数）．现有一杯100℃的热水，环境温度为20℃，冷却到40℃需要16min ，那么这杯热水要从40℃继续冷却到30℃，还需要的时间为A ．6minB ．7minC ．8minD ．9min9．已知2()2sin 32f x x x =+，将函数()f x 的图象向右平移ϕ(0)ϕ>个单位得到()g x ，则使得函数()g x 是偶函数的ϕ的最小值是 A ．π12 B ．π6 C ．π４ D ．π310．设12F F ，是双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的左右焦点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，与另一条渐近线交于点Q ，22QP PF =，则C 的离心率为 A 3B ．2C ．3D 1011．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中， M 是线段11A C 上的动点，有下列结论： ①AM BD ⊥； ②M ∃，使//AM BC ；③三棱锥1A MB C -体积为定值；④三棱锥1A MB C -在平面11BCC B 上的正投影的面积为常数． 其中正确的是A ．①②③B ．①③C ．②③④D ．①④12．已知1011910911a b c ===，，，则,,a b c 的大小关系为A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c b a <<二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．在数列{}n a 中，若212n n n a a a +++=，21a a -=１，则7550a a -=_______ 14．在平行四边形ABCD 中，若 14DP DC =，AP xAB y AD =+，则x y +=． 15．若函数()||1xf x a x =-+为奇函数，则关于x 的不等式2()(23)f x f x a ->＋的解集为______． 16．过抛物线22y x =的焦点F 作两条相互垂直的直线12l l ，，若 1l 和2l 分别交该抛物线于AB ， 和CD ，两点，则FA FB FC FD ⋅+⋅的最小值为_______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）铁路作为交通运输的重要组成部分，是国民经济的大动脉，在我国经济发展中发挥着重要的作用．截止2022年，中国铁路营业里程达到15.3万公里．下图是我国～2022年铁路营业里程折线图，其中x 表示年份数与的差，y (单位：万公理)表示各年的营业里程数． （1）由折线图易知y 与x 具有较强的线性关系，试用最小二乘法求y 关于x 的回归直线方程，并预测2022年营业里程为多少万公里？（2）从～2022年的五个营业里程数中随机抽取两个数，求所取得的两个数中，至少有一个超过14的概率． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()ˆ()niii nii x x yy bxx ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．18．（12分）在①cos2cos()C A B =+，②sin 3cos a C c A =这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．15.314.9y (万公里)x问题：在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，______． （1）求A ；（2）24b c ==，，求ABC ∆的BC 边上的中线AD 的长． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，AD PD ⊥，12AB AD CD ===，，3PD =，E 为线段PB 的中点，且DE BC ⊥．（1）求证：PD ⊥平面ABCD ；（2）若过三点C D E ，，的平面将四棱锥P ABCD －分成上，下两部分，求上面部分的体积V ．20．（12分）已知函数()ln f x a x x =-（1）若2a =，求曲线()f x 在点1x =处的切线方程； （2）若函数()f x 在(0,16]上有两个零点，求a 的取值范围．21．（12分）已知椭圆E ：2221(1)x y a a+=>的左右焦点分别为12F F ，，G 为E 的上顶点，且122F G F G ⋅=-．（1）求E 的方程；（2）过坐标原点O 作两直线1l ，2l 分别交E 于AB ，和CD ，两点，直线1l ，2l 的斜率分别为12k k ，，是否存在常数t ，使12k k t ⋅=时，四边形ACBD 的面积S 为定值？如果存在，求出t 的值；DBPE如果不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做,则按所做的第一题计分． 22．（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线m 的极坐标方程为sin 2ρθ=-，动点P 在直线m 上，将射线OP 按逆时针旋转π2得到射线OP '，射线OP '上一点Q 满足8OQ OP ⋅=，设点Q 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程为)(4R ∈=ρθπ，l 与曲线C 相交于点A （与O 不重合），若OAB ∆的顶点B 也在曲线C 上，求AOB ∆面积的最大值，并求这时点B 的直角坐标．23．（10分）[选修4-5：不等式选讲]已知,,a b c +∈R ，3a b c ++=．（1111a b c +++的最大值； （2）求证：2222226a c b a c b b c a+++++≥．文科数学参考答案一、选择题：ACDC ，BCBC ，BABA 二、填空题：13．25；14．54；15．(3,1)-；16．４ 三、解答题：17．解（1）由已知得1234535x ++++==，………………1分1(12.713.114.014.915.3)145y =++++=，………………2分5122222225215112.7213.1314414.9515.35314ˆ12345535i ii ii x yx ybxx==-⋅⋅⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯∴==++++-⨯-⋅∑∑12.726.24259.676.521070.714916254510++++-===++++-………………４分ˆ140.7311.9a∴=-⨯=，0.711.9y x ∴=+，………………5分 ∴2022年的营业里程数为0.7611.916.1⨯+=（万公里）………………6分（2）将12.7,13.1,14.0,14.9,15.3这五个数由小到大排列为,,,,a b c d e ，其中,d e 超过14万公里，从中任取两个数得：,,,,,,,,,.ab ac ad ae bc bd be cd ce de ，共10个………………8分 其中至少有一个超过14万公里的有7个，………………10分 设至少有一个超过14万公里的事件为A ，则7()10P A =．………………12分 18．解：（１）若选①，即cos2cos()C A B =+，得22cos 1cos A A -=-………………..2分22cos cos 10A A ∴+-=，cos 1A ∴=-１或２， ……………………..4分π(0,π),3A A ∈∴=， ……………………..6分 （２）AD 是ABC ∆的边BC 上的中线1()2AD AB AC ∴=+，……………………..8分2222211π(22)(2cos )443AD AB AB AC AC c c b b ∴=+⋅++⋅+=221π(4242cos 2)743+⨯⨯⨯+== ……………………..11分7AD ∴＝ ……………………..12分 注：若用余弦定理解参照给分.若选②，即sin 3cos a C c A =，由正弦定理得sin sin 3cos A C c A =， ……………..3分EPABDF,(0,π),tan 3A C A ∈∴= π3A ∴=．……………………..6分 （２）同①．19（1）证明：连接BD ，AB AD ⊥，1AB AD ==，2PD =//,45,AB CD BDC ABD ∴∠=∠=︒ ………..１分2222,(2)2222cos 452CD BC =∴=+-︒=,222,BC BD BC BC BD ∴+=∴⊥ ………..３分,,BC DE DEDB D DE PBD ⊥=⊂平面，. BC PBD BC PD ∴⊥∴⊥平面，，………..５分 ,AD PD AD BC ⊥与相交，PD ABCD ∴⊥平面， ………..６分 （2）证明：作PA 的中点F ，连接,,EF EC DFE 为PB 的中点,1//2EF AB ∴＝． ………..７分11////,,2AB CD EF CD EF CD ∴∴与共面，＝＝４ ∴平面,,CDFE C D E 为过三点的截面 ………..９分12P CDE B CDE P BCD V V V ---==，PD ABCD ⊥平面，P CDE V -∴1111()332=⨯⨯=２２２２P DFE P CDE P DFE V V V ---=∴=１１，４８ ………..10分115828V ∴=+= ………..12分20．解（1）()f x 定义域为(0,)+∞，2a =时2()f x x x'=,(1)1f '∴=………………2分 (1)2ln112f =-=-２∴曲线()f x 在点1x =处的切线方程为21,y x +=-30x y --=即………………4分 （2）①0a ≤时，()f x 单调递减，不合题意.………………6分②0()0a f x a x>==２时，由得，分12321ln 2ln 2()()2x x x x x g x g x x xx --⋅-'===令则………………8分 22()2ln e ()2ln 0eg x x x g x x x '=-='>-><<由０得＝０，由０得０，2()2ln e g x x x '<-<>由０得０，………………10分2222(e ),(16)ln 2e 16eg g ==== 222()ln 2(0,16]()e g x f x a a x≤<=由的图象得，当时，有两个根，有两个零点 2(,]ln 2a ∴的范围是e ………………12分 注：若用换元法,直接求()f x '求解,等参照给分． 21.解：（1）解：(0,1)G ，12(,0),(,0)F c F c -，∴1(,1)F G c =，2(,1)F G c =-………１分21212F G F G c ⋅=-=-，2231c a ∴==-24a ∴=………………3分∴E ：2214x y += ………………４分（2）设AB l :1y k x =，CD l :2y k x =，不妨设11(,)A x kx （10x >），22(,)C x kx （20x >）由22144x y y k x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩联立得：221(41)4k x +=， 得12114x k =+，同理22214x k =+……6分又2111OA k x =+ …………7分 点C 到10AB l k x y -=：的距离1222212221111k x k x x k k d k k -⋅-=++ …………8分21221112122114421221AOC x k k S S OA d k x x x k k k ∆⋅-∴==⨯⋅⋅=+=⋅-+221212122222212121288()2141414()16()k k k k k k k k k k k k -+-==+++++2222121222222212128()24()214()(161)()(4)4k k tk k tk k t k k t +-+-==++++++…………10分当21424t t +=-，即存在14t =-，使四边形ACBD 的面积为定值4.…………12分 （二）选考题：22解：（1）设(,)Q ρθ，11(,)P ρθ，由已知得 11sin 2ρθ=-，18ρρ=，1π2θθ=+ ………………3分 则8πsin()22θρ-=-, ∴曲线C 的极坐标方程为4cos ρθρ=≠（０）……………5分 （2）l 的直角坐标方程为y x =C 的直角坐标方程为22(2)4(0)x y x -+=≠由22(2)4(0)y x x y x =⎧⎪⎨-+=≠⎪⎩得点A 的直角坐标为(2,2)． ……………６分 由已知可设B 的直角坐标为(22cos ,2sin ),(π,π)ααα+∈-,则B 到0l x y -=：的距离π22sin()|42d α==-……………７分1π||22sin()224AOB S OA d α∆∴=⋅- ……………8分 当ππsin()1,44αα-=-即＝-时AOB ∆面积有最大值为222+ ……………９分这时点B 的直角坐标为(22,2)+- ………………10分 23. 解：（1）,,a b c +∈R ，3a b c ++=2(111)a b c ∴+++(3)211211211a b c a b b c a c =++++++++++.………………2分6211211211a b b c a c =+++++++6(2)(2)(2)18a b b c a c ≤+++++++++=.………………4分 ∴11132a b c +++1a b c ===时取等）111a b c ∴+++32 .………………5分 （2）222222222a c b a c b ac ab bcb c a b c a+++++≥++.………………7分又222()4ac ab c b a ab c b c +=+≥,同理：224ab bc b c a +≥,224ac bcc b a +≥.………………8分 2222()6ac ab bc a b c b c a∴++≥++=,, 2222226a c b a c b b c a+++∴++≥………………10分23.解：（1）法一：柯西不等式2(111)[(1)(1)(1)](111)18a b c a b c ++++≤+++++++=………………２分∴11132a b c +++1a b c ===时取等）…………5分（2）222222222222()()()a c b a c b a b c b a c b c a b a b c c a +++++=+++++ 222()()()a b b a a b b a++≥+， ∴22()()a b a b b a +≥+（当且仅当a b =时取等）…………7分同理可得：22()()b c b c c b+≥+（当且仅当b c =时取等）……8分22()()c a c a a c+≥+（当且仅当c a =时取等）…………9分 222222222222+()()()2()6a c b a c b a b c b a c a b c b c a b a b c c a+++∴+=+++++≥++=（当且仅当a b c ==时取等）……………………10分。

四川省宜宾市2021届高三二模（文科）试题参考答案1．B 【思路点拨】解一元二次不等式求集合A ，利用集合的交运算求A B .【解析】∵{|22}A x x =-<<，B N =， ∴{0,1}AB =.故选：B.2．D 【思路点拨】由复数运算可求得z ，由此可得z 对应点的坐标，从而确定结果.【解析】()24i z +=，()()()4248484222555i i z i i i i --∴====-++-， z ∴在复平面内对应的点为84,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限.故选：D.3．C 【思路点拨】利用等差数列下标性质，结合等差数列前n 项和公式可得结果. 【解析】由等差数列的性质可得：11047572a a a a ++-+===， 则其前10项和()110101052102a a S +==⨯=，故选：C .4．A 【思路点拨】根据线线、线面的平行关系，结合条件间的推出关系，判断“//l m ”、“//l α”之间的充分、必要关系.【解析】∵l ，m 是平面α外的两条不同的直线，//m α， ∴若//l m ，则推出“//l α”；若//l α，则//l m 或l 与m 相交；∴若l ，m 是平面α外的两条不同直线，且//m α，则“//l m ”是“//l α”的充分不必要条件. 故选：A.5．A 【思路点拨】根据频率分布直方图计算众数和中位数，可判断AB 选项的正误；利用频率直方图估计这1000名学生每周的自习时间小于22.5小时和25小时的人数，可判断CD 选项的正误.【解析】对于A ，在频率直方图中，众数即为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，故估计这1000名学生每周的自习时间的众数是()22.525223.75+÷=，故选项A 错误； 对于B ，在频率直方图中，中位数即为把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y 轴的直线横坐标，设中位数为x ，则有()0.02 2.50.1 2.522.50.160.5x ⨯+⨯+-⨯=，解得23.75x =， 所以估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75，故选项B 正确； 对于C ，每周的自习时间小于22.5小时的频率为()0.020.1 2.50.3+⨯=，所以估计这1000名学生每周的自习时间小于22.5小时的人数是0.31000300⨯=，故选项C 正确；对于D ，每周的自习时间不小于25小时的频率为()0.080.04 2.50.3+⨯=，所以估计这1000名学生每周的自习时间不小于25小时的人数是0.31000300⨯=，故选项D 正确. 故选：A.【名师指导】方法点睛：从频率分布直方图中得出相关数据的方法 （1）频率：频率分布直方图中横轴表示样本数据，纵轴表示频率组距，=⨯频率频率组距组距，即每个小长方形的面积表示相应各组的频率．（2）众数：频率分布直方图中最高的小长方形底边中点对应的横坐标．（3）中位数：平分频率分布直方图中小长方形的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．（4）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的乘积之和．6．B 【思路点拨】根据循环结构，令1,2,3a =依次进入循环系统，计算输出结果. 【解析】∵ 输入的2x =，2n =，当输入的a 为1时，1S =，1k =，不满足退出循环的条件； 当再次输入的a 为2时，4S =，2k =，不满足退出循环的条件； 当输入的a 为3时，11S =，3k =，满足退出循环的条件； 故输出的S 值为11． 故选：B7．D 【思路点拨】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值0,1可比较出大小关系. 【解析】0.6x y =为减函数，∴0.4000.60.6<<，即01a <<，0.6log y x =为减函数，∴0.60.6log 4log 1b =<，即0b <，2log y x =为增函数，∴22log 3log 21c =>=，即1c >，b ac ∴<<.故选：D.8．A 【思路点拨】先判断函数的奇偶性，再考虑x →+∞时，()f x 的取值情况，即可作出选择. 【解析】()()2x xxf x f x e e---==-∴+，函数()f x 为奇函数，排除选项B 和C ， 当x →+∞时，x e 比x 增长的快，()0f x ∴→，排除选项D ， 故选：A .9．C 【思路点拨】联立直线与圆的方程求A 、B 的坐标，再由向量数量积的坐标表示即可求AB AO ⋅.【解析】由题意，联立2224y x x y =+⎧⎨+=⎩，有220x x +=，解得0x =，2x =-， ∴若()0,2A ，则()2,0B -，则()()2,20,220224AB AO ⋅=--⋅-=-⨯+⨯=. 故选：C.10．A 【思路点拨】由已知递推关系构造数列32n S ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭，结合等比数列的定义判断其为等比数列，进而求得6S 、6a ，即可求66S a . 【解析】∵()1223n n n n n S a S S S -+=+-=， ∴()13132232n n S n S -⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭，而当1n =时，1123a a +=，即11a =，则13122S -=-， ∴数列32n S ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12-为首项，13为公比的等比数列，∴1311223n n S -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，即有63122243S =-⨯，而66132243a S =-=， ∴()6631122243729136412243S a -⨯==⨯-=，故选：A.【名师指导】关键点点睛：通过,n n a S 的递推关系构造数列32n S ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭，并确定其为等比数列，进而求6S 、6a .11．D 【思路点拨】设AB 为()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线方程，应用韦达定理可得121=x x ，根据向量的关系有()12131x x -=-，即可求A 的横坐标. 【解析】由题意，A 、F 、B 共线且直线AB 的斜率存在，可设直线AB 为()1y k x =-，联立方程()214y k x y x⎧=-⎨=⎩，消元得：()2222240k x k x k -++=，且216160k ∆=+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则121=x x . ∵3AF FB =，又()1,0F ， ∴()12131x x -=-， 综上，有()12121131x x x x =⎧⎨-=-⎩，可得13x =，213x =，故选：D.【名师指导】关键点点睛：设直线方程及交点坐标，联立抛物线，应用韦达定理求12x x ，结合向量的数量关系，列方程组求交点横坐标.12．C 【思路点拨】A 根据函数奇偶性的定义即可判断()f x 的奇偶性；B 利用放缩法，当0x >易证()1f x >，由奇函数的对称性知0x <时()1f x <-，即可知()f x 与sin y x =的交点情况；C ：由()2f x =变形可得112713x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()11327x xg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭只需判断()1g x =解得个数即可；D 根据函数解析式求出()()2,1f f --比较大小即可.【解析】A ：()f x 定义域为{|0}x x ≠且()()()()()()333391log log 91log 91log 9191120x x x x x f x f x x x x x -⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭-+=-+-=--=-，故()f x 为奇函数，错误；B ：当0x >时有()3log 91211xf x x>-=-=，又()f x 为奇函数，则当0x <时，()1f x <-，即在R 上()f x ∈()(),11,-∞-⋃+∞，则()f x 的图象与sin y x =没有交点，错误，C ：若()2f x =，则有()3log 9112x x+-=，即()3log 913x x +=，变形得9127x x+=，即112713xx⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设()11327xxg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 为减函数且其值域为0,，则()1g x =有且只有一个解，即()f x 的图象与2y =只有一个交点，正确， D ：()()2333182log 1log 2log 918181211222f -⎛⎫⎛⎫++ ⎪+ ⎪⎝⎭-=-=--=- ⎪- ⎪⎝⎭3182log 29=-⨯3log =-，而()333110101log 11log 1log 993f ⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有()()21f f ->-，错误. 故选：C.【名师指导】关键点点睛：A 利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，B 放缩法及奇函数的对称性，结合正弦函数的性质判断交点情况，C 将交点问题，通过恒等变形转化为方程是否有解的问题，D 通过函数解析式求函数值，进而比较大小.13．4【思路点拨】由约束条件画出可行域，要使3z x y =+有最大值，即直线33x z y =-+与可行域有交点时在y 轴的截距最大，即可求z 的最大值. 【解析】由约束条件作出可行域如图，联立1y x y =⎧⎨-=⎩，解得()1,1A ，由3z x y =+，得33x z y =-+， 由图可知，当直线33x zy =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为4.1410【思路点拨】根据双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线过点()1,3，求得a ，b 的关系即可.【解析】因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线过点()1,3，所以双曲线的一条渐近线方程是0bx ay -=， 又因为该渐近线过点()1,3，所以3b a =，则2210c a b a =+=， 所以10ce a==15．53-【思路点拨】本题首先可根据图像变换得出()3cos 26y f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，然后根据()2fα得出2cos 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.【解析】将函数3cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平行移动6π个单位长度， 得到函数()3cos 26y f x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭的图像， 因为()fα=cos 263πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 则23cos 223cos 4121263f ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 22532cos 21321693πα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯--=⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，16．80π【思路点拨】设ABC 的外心为1O ，半径r ，三棱锥D ABC -的外接球球心O ，半径R ，应用线面垂直的性质及矩形、外接球的性质，结合正弦定理即可求1OO 、r ，由2221R r OO =+求出R ，即可求外接球表面积.【解析】设ABC 的外心为1O ，半径r ，三棱锥D ABC -的外接球球心O ，半径R ， 过1O 作AD 的平行线，过D 作1AO 的平行线，两条直线交于E ， ∵面ABC ⊥面ABD ，面ABC面ABD AB =，AB AD ⊥，AD ⊂面ABD ，∴AD ⊥平面ABC ，又1OO ⊥平面ABC ，∴1//OO AD ，则四边形1ADEO 为矩形，而OD OA =，即O 为1EO 中点，即12OO =，在ABC 中，由正弦定理得：428sin sin6ABr ACBπ===∠，所以4r =，∵2222116420R AO r OO ==+=+=，∴2480S R ππ==.【名师指导】关键点点睛：利用线面垂直、矩形、外接球的性质求点面距，再利用正弦定理求外接圆半径，进而求球体的半径.17．【思路点拨】（1）根据正弦定理可得sin cos 6B B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而得tan 3B =解；（2）根据正弦定理解得sin A ，再根据同角关系和()sin sin C A B =+，得sin C ，再由2ABCBCDSS=可得解.【解析】（1）∵sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，∴可得：sin cos 6a B a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 可得：31sin cos sin 62B B B B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，化简可得：tan 3B = ∵()0,B π∈，∴3B π=.（2）由sin sin a b A B=，可得32sin 212sin 77a B Ab ⨯⋅===， 可得cos 727=A ， ()321sin sin sin cos cos sin 14C A B A B A B =+=+=，所以112sin 222ABCBCDSSab C ===⨯⨯=，可得BCD S =△18．【思路点拨】（1）根据表中数据求得2K ，再对照临界值表下结论；.（2）由表中数据得到采用分层抽样抽出的5人中，支持方案二有3人，不支持方案二有2人，这是一个古典概型，先求得从这5人中随机抽取2人，所有可能情况，再找出2人都支持方案二的情况，代入公式求解； 【解析】（1）()221002010403016.66710.82850504060K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为方案一的支持率与运动员的性别有关.（2）由表中数据可得，抽取100人中，支持方案二的有60人，不支持方案二的有40人， 所以采用分层抽样抽出的5人中，支持方案二有6053100⨯=人，不支持方案二有4052100⨯=人，支持方案二的3人记为A ，B ，C ，不支持方案二的2人记为a ，b ， 从这5人中随机抽取2人，所有可能情况有：(),A B ，(),A C ，(),A a ，(),A b ，(),B C ，(),B a ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，(),a b 共10种，其中抽取的2人都支持方案二的3种， 所以所求的概率310P =. 19．【思路点拨】（1）要证明线线垂直，需线证明线面垂直，利用垂直关系，首先证明EF AE ⊥，再根据条件平面SAE ⊥平面ABCE ，即可证明EF ⊥平面SAE ，即可证明；（2）利用等体积转化S EFC C SEF V V --=，即可求解点到平面的距离.【解析】（1）证明：连结BE ，因为4CD =，E 为CD 的中点，所以2DE AB ==， 因为四边形ABCD 是直角梯形，AB CD ∥，所以ABCD 是矩形，所以BE CD ⊥， 又45C ∠=︒，2EC =，所以2AD BE EC ===，所以四边形ABED 是正方形，BEC △是等腰直角三角形，又F 为BC 的中点，所以EF BC ⊥，又45C ∠=︒，所以ADE 与EFC 都是等腰直角三角形，所以45DEA CEF ∠=∠=︒， 所以EF AE ⊥，因为平面SAE ⊥平面ABCE ，平面SAE平面ABCE AE =，EF ⊂平面ABCE ，所以EF ⊥平面SAE ，又SE ⊂平面SAE ，所以EF SE ⊥； （2）设AE 的中点为O ，连结SO ， 因为平面SAE ⊥平面ABCE ， 所以点S 到AE 的距离2SO =，又1EFC S =△，所以1233S EFC EFC V S SO -=⋅=△， 由（1）可知，EF SE ⊥，所以12222SEF S =⨯⨯=△， 设点C 到平面SEF 的距离为h ， 由等体积法可得，S EFC C SEF V V --=，所以21233h =⨯⋅，解得1h =， 所以点C 到平面SEF 的距离为1.【名师指导】本题考查面面垂直的证明和点到平面的距离，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型，本题的关键是第一问，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.20．【思路点拨】（1）根据条件得2222232a c b aa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，从而得解； （2）由题意可知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为：1x my =+，设MN 的中点为E ，则2OQ OM ON OE =+=，知四边形OMQN 为平行四边形，由OMQN S 平行四边形2OMN S =△12122OF y y =⨯⨯⨯-，结合韦达定理可得表达式，进而可得范围.【解析】（1）由题意可知(),0F c ，(),0B a ，∵PF 恰好垂直平分线段OB ，∴2a c =，令x c =，代入22221x y a b+=得：2b y a =±，∴232b a =， ∴2222232a c b aa b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ∴椭圆C 的方程为：22143x y +=. （2）由题意可知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为：1x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ， 联立方程221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得：()2234690m y my ++-=， ∴()223636340m m ∆=++>， ∴122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， 设MN 的中点为E ，则2OQ OM ON OE =+=，∴MN 与OQ 互相平分，四边形OMQN 为平行四边形，∴OMQN S 平行四边形2OMN S =△12122OF y y =⨯⨯⨯-12y y =-==234m =+， 令1t =≥，则()2121211313OMQN t S t t t t==≥++平行四边形， ∵11333y t t t t ⎛⎫ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭在[1,)+∞上单调递增， ∴134t t +≥，∴(]120,313t t∈+， ∴03OMQN S <≤平行四边形.综上所述，四边形OMQN 面积的取值范围为(0,3].【名师指导】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围；（4）利用代数基本不等式： 代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性.：直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式. 因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式求解.21．【思路点拨】（1）首先求出原函数的导数，利用()10f '=求出a 的值，然后求出原函数的单调区间；（2）利用分析法将问题转化为证明22ln 103x x x +-->，进一步转化为证明24ln 203x x -+≥，再由配方法证明该不等式成立，即可得到结论. 【解析】（1）∵()()ln 0a x f x x x -=>，∴()21ln a x f x x --+'=， 由题意，()110f a '=--=，即1a =-，则()()2ln 0x f x x x '=>， 当()0,1∈x 时，0f x ，当()1,∈+∞x 时，0f x ，∴()f x 的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,； （2）要证()203f x x ++>，即证1ln 203x x x --++>， ∵0x >，即证22ln 103x x x +-->， 令()1ln g x x x =--，则()111x g x x x -'=-=， 当()0,1∈x 时，0g x，()g x 单调递减， 当()1,∈+∞x 时，0g x ，()g x 单调递增，∴()()10g x g ≥=，即ln 1≤-x x ，则ln 221x x ≤-，即ln 2ln 21x x +≤-， ∴ln 21ln 2x x ≤--， 则222224ln 121ln 21ln 2333x x x x x x x x +--≥+-++-=-+， 令()22424ln 2ln 2339h x x x x ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，∵1ln 2ln 2>=，∴4ln 209->，则()0h x >， 故22ln 103x x x +-->成立， 则()203f x x ++>. 【名师指导】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用.22．【思路点拨】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【解析】解：（1）曲线C 的参数方程为1121x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，转换为直角坐标方程为2214y x -=， 直线l 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ-=，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，转换为直角坐标方程为20x y --=.（2）直线l的直线坐标方程转换为参数方程为：312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 代入2214y x -=，得到233102t -+=，所以123t t +=，12623t t =，所以：123t P B t A P +=+=. 【名师指导】若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为12,t t ，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为0t ，则以下结论在解题中经常用到： (1) 1202t t t +=；(2) 1202t t PM t +==；(3) 21AB t t ＝－；(4) 12··PA PB t t ＝． 23．【思路点拨】（1）分类讨论：1x <、15x ≤≤、5x >求()6f x ≤的解集，然后取并集即可；（2）由绝对值的几何意义可知()4f x ≥，即4m =，再由已知条件等式，应用基本不等式“1”的代换可证4a b +≥，即结论得证.【解析】（1）∵()15f x x x =-+-，要使()6f x ≤，∴当1x <时，则156x x -+-+≤，解得0x ≥，得01x ≤<.当15x ≤≤时，则156x x --+≤，即46≤恒成立，得15x ≤≤.当5x >时，则156x x -+-≤，解得6x ≤，得56x <≤.综上，不等式()6f x ≤的解集为[]0,6.（2）证明：由()()()15154f x x x x x =-+-≥---=，∴4m =，又正实数a ，b 满足a b ab +=，可得111a b +=，∴()11224a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭当且仅当a b b a =，即2a b ==时等号成立，∴a b m +≥得证.【名师指导】关键点点睛：（1）应用分类讨论的方法求绝对值不等式的解集；（2）根据绝对值的几何含义求()f x 最小值，再根据条件等式结合基本不等式“1”的代换求证a b m +≥即可.。

宜宾市普通高中2021级第二次诊断性测试文科数学（考试时间：120分钟全卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.已知集合{33},{14}∣∣=-<<=-<<A xx B x x ，则A B = （）A.{34}xx -<<∣ B.{13}xx -<<∣C.{31}xx -<<-∣ D.{14}x x -<<∣2.命题“1,ln 0x x ∀>>”的否定是（）A.1,ln 0x x ∀><B.1,ln 0x x ∀>≤C .1,ln 0x x ∃>≤ D.1,ln 0∃≤≤x x 3.盒中有3个大小质地完全相同的球，其中1个白球、2个红球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸出红球的概率为（）A.13B.12C.23D.564.已知向量()()1,2,3,1a b == ，向量c 满足c a ⊥ ，()//a c b + ，则c =（）A.()2,1-- B.()2,1- C.()2,1- D.()2,15.已知0.356log 2,5,log 2===a b c ，则（）A.c<a<bB.a c b <<C.c b a<< D.a b c<<6.根据调查统计，某市未来新能源汽车保有量基本满足模型011e -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭pxNy N y ，其中y （单位：万辆）为第x 年底新能源汽车的保有量，p 为年增长率，N 为饱和度，0y 为初始值.若该市2023年底的新能源汽车保有量是20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为12%，饱和度为1300万辆，那么2033年底该市新能源汽车的保有量约为（）（结果四舍五入保留整数，参考数据：ln0.8870.12,ln0.30 1.2≈-≈-）A.65万辆B.64万辆C.63万辆D.62万辆7.已知点P 是直线30x y ++=上一动点，过点P 作圆22:(1)1C x y ++=的一条切线，切点为A ，则线段PA 长度的最小值为（）A.B.C.D.18.若π25cos 65⎛⎫-= ⎪⎝⎭x ，则πsin 26x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.15-B.15C.35-D.359.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（）A.4B.C.D.10.在数列{}n a 中，已知122,1a a ==，且满足21n n n a a a +++=，则数列{}n a 的前2024项的和为（）A.3B.2C.1D.011.设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，P 是渐近线:b l y x a=-上位于第二象限的点，若23,cos 3∠==OP a F PO ，则双曲线C 的离心率为（）A.B.C.2D.312.已知不等式e 1ln +>-x ax x x 有解，则实数a 的取值范围为（）A.21,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.1,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C.21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知复数11iz i-=+（i 为虚数单位），则|z |＝__.14.数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知131,7==a a ，数列(){}2log 1n a +为等差数列，则5S =__________.15.所有棱长均为6的三棱锥，其外接球和内切球球面上各有一个动点M N ､，则线段MN 长度的最大值为__________.16.已知F 为抛物线2:8C x y =-的焦点，过直线:4l y =上的动点M 作抛物线的切线，切点分别是,P Q ，则直线PQ 过定点__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必做题：共60分.17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos cos cos b A c A a C =+（1）求角A 的大小；（2）若4a b c =+=，求bc 的值．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面,//ABCD AB DC ，,2224,AB AD AB PD CD AD E ⊥====是PA 的中点.（1）求证：DE ⊥平面PAB ；（2）求三棱锥P BCE -的体积.19.某企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新产品进行合理定价，该企业将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据()(),i 1,2,,5= i i x y ，如表所示：单价x （千元）45678销量y （百件）6764615850（1）若变量,x y 具有线性相关关系，求产品销量y （百件）关于试销单价x （千元）的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+；（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与i x 对应的产品销量的估计值ˆi y.当销售数据(),i i x y 对应的残差的绝对值ˆ1i i yy - 时，则将销售数据(),i i x y 称为一个“精准销售”.现从5个销售数据中任取2个，求“精准销售”至少有1个的概率.参考数据：552111760,190====∑∑iii i i x yx 参考公式：线性回归方程中ˆˆ,b a 的估计值分别为1221ˆˆˆ,niii nii x ynx y bay bx xnx ==-⋅==--∑∑20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上下顶点分别为12,B B ，左右顶点分别为12,A A ，四边形1122A B A B 的面积为，若椭圆C 上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0-且斜率不为0的直线l 与C 交于,P Q （异于12,A A ）两点，设直线2A P 与直线1AQ 交于点M ，证明：点M 在定直线上.21.已知函数()e ,,R =++∈xf x ax b a b .（1）若()f x 是R 上的单调递增函数，求a 的取值范围；（2）当0a =时，()sin 0+>f x x 对x ∈R 恒成立，求b 的取值范围.（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，点P 是曲线133cos :3sin x tC y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）上的动点，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将线段OP 逆时针旋转90 得到OQ ，设点Q 的轨迹为曲线2C .（1）求曲线12,C C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，点M 的坐标为π8,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，射线π:(0)3θρ=>l 与曲线12C C ､分别交于,A B 两点，求MAB △的面积.[选修4-5：不等式选讲]23.已知定义在R 上的函数()2122=++-f x x x .（1）若对任意x ∈R ，不等式()12f x m m ≥-++恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若()f x 的最小值为n ，设,,R a b c ∈，满足2225322++=a b c n ，求证：53210a b c ++≤.宜宾市普通高中2021级第二次诊断性测试文科数学（考试时间：120分钟全卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.已知集合{33},{14}∣∣=-<<=-<<A xx B x x ，则A B = （）A.{34}xx -<<∣ B.{13}xx -<<∣C.{31}xx -<<-∣ D.{14}x x -<<∣【答案】B【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】因为集合{33},{14}∣∣=-<<=-<<A x x B x x ，所以{13}A B xx =-<< ∣.故选：B.2.命题“1,ln 0x x ∀>>”的否定是（）A.1,ln 0x x ∀><B.1,ln 0x x ∀>≤C.1,ln 0x x ∃>≤D.1,ln 0∃≤≤x x 【答案】C 【解析】【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题.【详解】根据全称量词命题的否定有：命题“1,ln 0x x ∀>>”的否定是：1,ln 0x x ∃>≤.故选：C3.盒中有3个大小质地完全相同的球，其中1个白球、2个红球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸出红球的概率为（）A.13B.12C.23D.56【答案】A 【解析】【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】记1个白球为A ，2个红球分别为a 、b ，现从中不放回地依次随机摸出2个球，则可能结果有Aa 、Ab 、aA 、ab 、bA 、ba 共6个，其中两次都摸出红球的有ab 、ba ，所以所求概率2163P ==.故选：A4.已知向量()()1,2,3,1a b == ，向量c 满足c a ⊥ ，()//a c b + ，则c =（）A.()2,1-- B.()2,1- C.()2,1- D.()2,1【答案】C【分析】设出(),c x y =，根据题意利用向量的坐标运算列式运算求解.【详解】设(),c x y = ，则()3,1c b x y +=++，由c a ⊥，得20x y +=，又()//a c b +，得()1230y x +-+=，即25y x =+，联立2025x y y x +=⎧⎨=+⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩.()2,1c ∴=-.故选：C.5.已知0.356log 2,5,log 2===a b c ，则（）A.c<a<bB.a c b <<C.c b a <<D.a b c<<【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的性质结合中间量法求解即可.【详解】0.356log 21,5,log 211a b c =>=<=<，又562211log 2,log 2log 5log 6a c ====，且221log 5log 6<<，所以221110log 5log 6>>>，即01c a <<<，所以c<a<b .故选：A.6.根据调查统计，某市未来新能源汽车保有量基本满足模型011e -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭px Ny N y ，其中y （单位：万辆）为第x 年底新能源汽车的保有量，p 为年增长率，N 为饱和度，0y 为初始值.若该市2023年底的新能源汽车保有量是20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为12%，饱和度为1300万辆，那么2033年底该市新能源汽车的保有量约为（）（结果四舍五入保留整数，参考数据：ln0.8870.12,ln0.30 1.2≈-≈-）A.65万辆B.64万辆C.63万辆D.62万辆【答案】B 【解析】【分析】把已知数据代入模型011e pxNy N y -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭，求出对应的值即可．【详解】根据题中所给模型，代入有关数据，注意以2023年的为初始值，则2033年底该省新能源汽车的保有量为1.20.1210130013001300164e 11e20y --⨯==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，因为ln 0.30 1.2≈-，所以 1.20.30e -≈，所以 1.21300130064164e 1640.30y -=≈≈++⨯，所以2033年底该市新能源汽车的保有量约为64万辆.故选：B.7.已知点P 是直线30x y ++=上一动点，过点P 作圆22:(1)1C x y ++=的一条切线，切点为A ，则线段PA 长度的最小值为（）A.B.C.D.1【答案】D 【解析】【分析】由题意可得PA =PC 取得最小值时，线段PA 长度的最小，利用点到直线的距离公式求出PC 的最小值即可得解.【详解】圆22:(1)1C x y ++=的圆心()1,0C -，半径1r =，由题意可得PA AC ⊥，则PA ===，则当PC 取得最小值时，线段PA长度的最小，min PC ==，所以min1PA =.故选：D.8.若π25cos 65⎛⎫-= ⎪⎝⎭x ，则πsin 26x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.15-B.15C.35-D.35【答案】D 【解析】【分析】化πsin 26x ⎛⎫+⎪⎝⎭为πcos 26x ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用二倍角公式即可即可求解.【详解】因为πππ22662x x ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππππsin 2sin 2cos 26266x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22π2532cos 121655x ⎛⎫⎛⎫=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D9.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（）A.4B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件，将三视图还原成直观图，根据几何体中的线面关系，分别求出各棱长即可求解.【详解】根据几何体的三视图，将几何体还原成直观图如图：根据已知条件有2AB =，2SB =，SB ⊥平面ABC ；过C 作AB 的垂线垂足为D ，2BD =，3CD =，在Rt ACD 中，有4=AD ，3CD =，222161228AC AD CD =+=+=，所以27AC =；在Rt BCD △中，3CD =，2BD =，22241216BC BD CD =+=+=，所以4BC =；因为SB ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以SB AB ⊥，同理SB BC ⊥；在Rt SBA 中，2SB =，2AB =，2224148SA SB AB =+=+=，所以22SA =Rt SBC △中，2SB =，4BC =，22241620SC SB BC =+=+=，所以25SC =综上所述，三棱锥中最长棱的长度为27AC =.故选：C10.在数列{}n a 中，已知122,1a a ==，且满足21n n n a a a +++=，则数列{}n a 的前2024项的和为（）A.3B.2C.1D.0【答案】A 【解析】【分析】用1n +去换21n n n a a a +++=中的n ，得321n n n a a a +++=-，相加即可得数列的周期，再利用周期性运算得解.【详解】由题意得21n n n a a a ++=-，用1n +替换式子中的n ，得321n n n a a a +++=-，两式相加可得3n n a a +=-，即63n n n a a a ++=-=，所以数列{}n a 是以6为周期的周期数列.又12a =，21a =，34561,2,1,1a a a a ∴=-=-=-=.所以数列{}n a 的前2024项和()2024126123373S a a a a a =+++++= .故选：A.11.设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，P 是渐近线:b l y x a=-上位于第二象限的点，若2,cos 3∠==OP a F PO ，则双曲线C 的离心率为（）A.B.C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求出2sin POF b c ∠=，2cos aPOF c∠=-，进而求出2sin PF O ∠，在2 POF 中，由正弦定理列式求得ba=.【详解】如图，根据题意可得2tan bPOF a∠=-，2sin b POF c ∴∠=，2cos aPOF c∠=-，又23cos 3F PO ∠=，26sin 3F PO ∴∠=，()222πPF O OPF POF ∠=-∠+∠ ，()222sin sin 333a bPF O OPF POF c c c⎛⎫∴∠=∠+∠=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，在2 POF 中，由正弦定理可得，222sin sin OP OF PF OOPF =∠∠，33c=ba=，3e ∴===.故选：D.12.已知不等式e 1ln +>-x ax x x 有解，则实数a 的取值范围为（）A.21,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.1,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C.21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】分离参数转化为1ln e xx xa x -->，构造函数()1ln e x x x f x x --=，利用导数法求出()min f x ，()min a f x >即为所求.【详解】不等式e 1ln x ax x x +>-有解，即1ln e xx xa x -->，0x >，只需要min1ln e x x x a x --⎛⎫> ⎪⎝⎭，令()1ln e xx xf x x --=，()()()212ln e xx x x f x x +-+∴='，0x >，令()2ln g x x x =-+，0x >，()110g x x∴=+>'，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，又()110g =-<，()2ln 20g =>，所以存在()01,2x ∈，使得()00g x =，即002ln 0x x -+=，()00,x x ∴∈，()0g x <，即()0f x '<；()0,x x ∞∈+，()0g x >，即()0f x '>，所以函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，()000001ln e x x x f x x --∴=，又由002ln 0x x -+=，可得020e e x x =，()0000002201ln 121e e e x x x x xf x x ---+-∴===-.21e a ∴>-.故选：A.【点睛】思路点睛：由题意问题转化为1ln exx xa x -->，0x >，构造函数()1ln e x x x f x x --=，利用导数求出()f x 的最小值，即只要()min a f x >.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知复数11iz i-=+（i 为虚数单位），则|z |＝__.【答案】1【解析】【分析】根据复数的除法运算计算得z i =-，再根据复数的模长公式可得结果.【详解】∵21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，∴|z |＝1.故答案为：1.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的模长公式，属于基础题.14.数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知131,7==a a ，数列(){}2log 1n a +为等差数列，则5S =__________.【答案】57【解析】【分析】根据题意，求出数列(){}2log 1n a +的通项，进而求得n a ，利用分组求和得解.【详解】令()2log 1n n b a =+，131,7a a ==Q ，11b ∴=，33b =，又数列{}n b 为等差数列，所以公差1d =，11n b n n ∴=+-=，即()2log 1n a n +=，21n n a ∴=-，()()5255125212222555712S a a a -∴=+++=+++-=-=-L L .故答案为：57.15.所有棱长均为6的三棱锥，其外接球和内切球球面上各有一个动点M N ､，则线段MN 长度的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，正四面体的外接球和内切球的球心重合且在正四面体的内部，求出外接球半径R ，内切球半径r ，线段MN 长度的最大值为R r +得解.【详解】由正四面体的棱长为6，则其外接球和内切球的球心重合且在正四面体的内部，设球心为O ，如图，连接AO 并延长交底面BCD 于H ，则AH ⊥平面BCD ，且H 为底面BCD △的中心，所以363BH =⨯=，在Rt AHB △中，可求得AH ==，设外接球半径为R ，内切球半径为r ，则()222212R BH OH R =+=+，解得2R =，62r OH R ===，所以线段MN 长度的最大值为R r +=.故答案为：.16.已知F 为抛物线2:8C x y =-的焦点，过直线:4l y =上的动点M 作抛物线的切线，切点分别是,P Q ，则直线PQ 过定点__________.【答案】()0,4-【解析】【分析】设()()()1122,,,,,4P x y Q x y M t ，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点M ，从而可确定直线PQ 的方程，进而可得出答案.【详解】设()()()1122,,,,,4P x y Q x y M t ，由28x y =-，得218y x =-，则14y x '=-，则抛物线C 在点P 处得切线方程为()11114y y x x x -=--，即21111144y x x x y =-++，又2118x y =-，所以1114y x x y =--，又因为点(),4M t 在切线MP 上，所以11144x t y =--，①同理可得22144x t y =--，②由①②可得直线PQ 的方程为144xt y =--，所以直线PQ 过定点()0,4-.故答案为：()0,4-.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必做题：共60分.17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos cos cos b A c A a C =+（1）求角A 的大小；（2）若4a b c =+=，求bc 的值．【答案】（1）3π（2）3【解析】【分析】（1）利用正弦定理将已知的式子统一成角的形式，再利用三角函数恒等变换公式化简计算可求出角A ，（2）利用余弦定理结合已知条件直接求解【小问1详解】因为2cos cos cos b A c A a C =+，所以由正弦定理得，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+,所以()()2sin cos sin sin sin B A A C B B π=+=-=，因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =，因为(0,)A π∈，所以3A π=【小问2详解】因为4a b c =+=，3A π=，所以由余弦定理得22222cos ()22cos 3a b c bc A b c bc bc π=+-=+--，所以7163bc =-，解得3bc =18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD⊥平面,//ABCD AB DC ，,2224,AB AD AB PD CD AD E ⊥====是PA 的中点.（1）求证：DE ⊥平面PAB ；（2）求三棱锥P BCE -的体积.【答案】（1）证明见详解（2）43【解析】【分析】（1）先证明AB ⊥平面PAD ，再根据线面垂直的判定定理证明；（2）根据题意P BCE C PBE V V --=，又//CD 平面PAB ，所以P BCE C PBE D PBE V V V ---==得解.【小问1详解】因为PD AD =，E 是PA 的中点，所以DE PA ⊥，又PD⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，PD AB ∴⊥，又AB AD ⊥，,AD PD ⊂平面PAD ，AB ∴⊥平面PAD ，DE ⊂平面PAD ，DE AB ⊥∴，,PA AB ⊂平面PAB ，DE ∴⊥平面PAB .【小问2详解】根据题意，得P BCE C PBE V V --=，又//CD AB ，CD⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以//CD 平面PAB ，所以点C 到平面PAB 的距离等于点D 到平面PAB 的距离，又11422PBE S PE AB =⋅==V ，又DE ⊥平面PAB，DE =1433P BCEC PBED PBE V V V ---∴===⨯.19.某企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新产品进行合理定价，该企业将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据()(),i 1,2,,5= i i x y ，如表所示：单价x （千元）45678销量y （百件）6764615850（1）若变量,x y 具有线性相关关系，求产品销量y （百件）关于试销单价x （千元）的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+；（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与i x 对应的产品销量的估计值ˆi y.当销售数据(),i i x y 对应的残差的绝对值ˆ1i i yy - 时，则将销售数据(),i i x y 称为一个“精准销售”.现从5个销售数据中任取2个，求“精准销售”至少有1个的概率.参考数据：552111760,190====∑∑iii i i x yx 参考公式：线性回归方程中ˆˆ,b a 的估计值分别为1221ˆˆˆ,ni ii n ii x ynx ybay bx x nx ==-⋅==--∑∑【答案】19.4ˆ84yx =-+20.910【解析】【分析】（1）按照所给的参考公式，计算可得到线性回归方程；（2）先求出5个销售数据中精准销售的个数，再根据古典概型的概率公式计算.【小问1详解】由题意，5n =，6x =，6764615850605y ++++==，结合参数数据得217605660419056b -⨯⨯==--⨯$，()6064ˆ48a ∴=--⨯=，所以线性回归方程为484yx =-+$.【小问2详解】当4x =时，168y =$，167y =，则11ˆ11y y -=≤，所以()11,x y 为一个精准销售，当5x =时，264y =$，264y =，则22ˆ01y y -=≤，所以()22,x y 为一个精准销售，当6x =时，360y =$，361y =，则33ˆ11y y -=≤，所以()33,x y 为一个精准销售，当7x =时，456y =$，458y =，则44ˆ21y y -=>，所以()44,x y 不是一个精准销售，当8x =时，552y =$，550y =，则55ˆ21y y -=>，所以()33,x y 不是一个精准销售.记三个精准销售为,,A B C ，两个非精准销售为,m n ，则从5个销售数据中任选2个，对应的基本事件有：AB ，AC ，Am ，An ，BC ，Bm ，Bn ，Cm ，Cn ，mn ，其中满足要求的共有9个，所以“精准销售”至少有1个的概率为910p =.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上下顶点分别为12,B B ，左右顶点分别为12,A A ，四边形1122A B A B 的面积为，若椭圆C 上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0-且斜率不为0的直线l 与C 交于,P Q （异于12,A A ）两点，设直线2A P 与直线1AQ 交于点M ，证明：点M 在定直线上.【答案】20.22195x y +=21.证明见解析【解析】【分析】（1）设椭圆C 上的一点(),T m n ，则a m a -≤≤，表达出(),T m n 到右焦点的距离cmd a a=-，从而得到最大值，最小值，得到方程，求出3a =，根据四边形1122A B A B 的面积求出ab =，得到b =，求出椭圆方程；（2）先考虑过点()1,0-且斜率不存在时，得到点M 在直线9x =-，再考虑过点()1,0-且斜率存在且不为0时，设直线l 方程为1x my =-+，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，得到121244my y y y =--，表达出12,A P A Q 的方程，联立后结合121244my y y y =--得到()()12290y y x +--=，求出点M 在直线9x =-上，证毕.【小问1详解】设右焦点坐标为()2,0F c ，椭圆C 上的一点(),T m n ，则a m a -≤≤，故22221m n a b +=，即22222b m n b a =-，则(),T m n 到右焦点的距离d ==cm a a==-，因为c m c -≤≤，所以cm c c a -≤≤，cmc a a c a a--≤-≤-，故cma c a a c a-≤-≤+，即椭圆C 上的点到右焦点距离的最大值为a c +，最小值为a c -，故26a c a c a ++-==，解得3a =，又四边形1122A B A B 的面积为12121122222A AB B a b ab ⋅=⨯⋅==，故ab =，所以b =，椭圆方程为22195x y +=；【小问2详解】当过点()1,0-且斜率不存在时，直线l 方程为10x +=，22195x y +=中，令=1x -得，2103y =±，不妨设10101,,1,33P Q ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线()22103:313A P y x =---，即()210:36A P y x =--，同理可得()110:33A Q y x =-+，联立12,A P A Q 得，9x =-，故点M 在直线9x =-上，当过点()1,0-的直线斜率存在且不为0时，设直线l 方程设为1x my =-+，联立22195x y +=得()225910400m y my +--=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则1212221040,5959m y y y y m m -+==++，两式相除得121244my y y y =--，直线()121:33y A P y x x =--，直线()212:33yA Q y x x =++，联立12,A P A Q 得，()()12123333y yx x x x -=+-+，故()()1212331313y y x x my my -=+-+--++，解得()()()()1211222343my y y x my y y x +-=-+，将121244my y y y =--代入上式中，得()()12290y y x +--=，要想()()12290y y x +--=恒成立，则9x =-，故点M 在定直线9x =-上，综上，点M 在定直线9x =-上.【点睛】方法点睛：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21.已知函数()e ,,R =++∈xf x ax b a b .（1）若()f x 是R 上的单调递增函数，求a 的取值范围；（2）当0a =时，()sin 0+>f x x 对x ∈R 恒成立，求b 的取值范围.【答案】21.[)0,+∞22.[)1,+∞【解析】【分析】（1）根据函数解析式，求出导函数，利用导数与函数单调性的关系求解即可；（2）根据已知条件先对函数放缩，探究1b ≥时，()sin 0f x x +>对x ∈R 恒成立；再利用换元法探究当1b ≥与1b <时的情况，从而求得b 的取值范围.【小问1详解】因为()e ,,R x f x ax b a b =++∈，所以()e x f x a '=+，若()f x 是R 上的单调递增函数，则在R 上有()0f x '≥恒成立，即e 0+≥x a ，所以有e x a ≥-()R x ∈，令()e xg x =-，根据指数函数e x y =的性质有：e 0x >，则e 0x -<，所以()(),0g x ∞∈-()R x ∈，所以0a ≥，综上，a 的取值范围为[)0,+∞.【小问2详解】当0a =时，令()()sin e sin xF x f x x x b =+=++，()sin 0f x x +>对x ∈R 恒成立，即()0F x >对x ∈R 恒成立，()e sin e 11x x F x x b b b =++≥+->-，当1b ≥时，()0F x >对x ∈R 恒成立，即()sin 0f x x +>对x ∈R 恒成立；当1b <时，令12π2x k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，12π212πe 12k F k b ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为12π2F k ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦是关于k 的单调递增函数，令12π2e 10k b ⎛⎫- ⎪⎝⎭+-=，解得()ln 1112π2b k ⎡⎤-=+⎢⎥⎣⎦，0Z k ∃∈，()0ln 1112π2b k ⎡⎤-<+⎢⎥⎣⎦，012π2012πe 102k F k b ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫-=+-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，此时，()0F x >不恒成立，即()sin 0f x x +>不恒成立；综上，b 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】方法点睛：利用分离参数法确定不等式(),0f x λ≥（x D ∈，λ为参数）恒成立问题中参数范围的步骤：1.将参数与变量分离，不等式化为()()12f f x λ≥或()()12f f x λ≤的形式；2.求()2f x 在x D ∈时的最大值或者最小值；3.解不等式()()12max f f x λ≥或()()12min f f x λ≤，得到λ的取值范围.（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，点P 是曲线133cos :3sin x t C y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数）上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将线段OP 逆时针旋转90 得到OQ ，设点Q 的轨迹为曲线2C .（1）求曲线12,C C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，点M 的坐标为π8,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，射线π:(0)3θρ=>l 与曲线12C C ､分别交于,A B 两点，求MAB △的面积.【答案】（1）曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为6sin ρθ=（2）)61-【解析】【分析】（1）先求出曲线1C 的普通方程，再根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩即可求出曲线1C 的极坐标方程，结合已知，即可求得曲线2C 的极坐标方程；（2）先求出点M 到射线π:(0)3θρ=>l 的距离，再分别求出,A B ρρ，即可求出AB ，进而可得出答案.【小问1详解】将曲线133cos :3sin x t C y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）转化为直角坐标方程，得()2239x y -+=，又cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以()222cos 3sin 9ρθρθ-+=，整理得6cos ρθ=，即曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=，以极点O 为中心，将线段OP 逆时针旋转90 得到OQ ，设Q 点的极坐标为(),ρθ，则P 点的极坐标为π,2ρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点P 在曲线1C 上，所以π6cos 6sin 2ρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭即曲线2C 的极坐标方程为6sin ρθ=；【小问2详解】由题意点M 到射线π:(0)3θρ=>l 的距离π8sin 46d ==，联立π36cos θρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得3A ρ=，联立π36sin θρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得B ρ=，故)31B A AB ρρ=-=，所以MAB △的面积为)1612d AB =.[选修4-5：不等式选讲]23.已知定义在R 上的函数()2122=++-f x x x .（1）若对任意x ∈R ，不等式()12f x m m ≥-++恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若()f x 的最小值为n ，设,,R a b c ∈，满足2225322++=a b c n ，求证：53210a b c ++≤.【答案】（1）[]3,2-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先利用绝对值的三角不等式求出()min f x ，在分类讨论去绝对值符号即可得解；（2）利用柯西不等式求证即可.【小问1详解】()()()2122212421245f x x x x x x x =++-=++-≥+--=，当且仅当()()21240x x ++≤，即122x -≤≤时取等号，所以()min 5f x =，因为对任意x ∈R ，不等式()12f x m m ≥-++恒成立，所以125m m -++≤，则2125m m m ≤-⎧⎨---≤⎩或21125m m m -<<⎧⎨-++≤⎩或1125m m m ≥⎧⎨-++≤⎩，解得32m -≤≤-或21m -<<或12m ≤≤，所以实数m 的取值范围为[]3,2-；【小问2详解】由（1）可得()min 5f x =，所以5n =，则22253210a b c ++=，由柯西不等式可得))))()2222532a b c ⎡⎤++++≥++⎢⎥⎣⎦，即()21010532a b c ⨯≥++，所以53210a b c ++≤，当且仅当1a b c ===时取等号.。

宜宾市2019届高三第二次诊断性诊断测试题数 学（文史类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 回答非选择题时,将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3。

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知}2|{>=x x A ，{N |4}B x x =∈≤，则=B AA. {|24}x x <≤B. ,3,4}2{C. }4{3，D 。

}2|{>x x 2．已知i 是虚数单位，复数i)1(i 2+-=z ,则z 的虚部为A. 2 B 。

i 2- C 。

i 2 D. 2-3．一个袋子中有4个红球,2个白球,若从中任取2个球,则这2个球中有白球的概率是 A 。

95B 。

53C 。

158D 。

324．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是20x y ±=，则该双曲线的离心率是A.6 B 。

5 C. 2 D 。

35．一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为A 。

3:1 B. 4:1C. 5:1 D 。

6:16．已知4.02=a ,2.09=b ，343）（=c ,则A. c b a <<B. b c a <<C. b a c << D 。

a b c <<7．等比数列}{n a 的各项均为正数，已知向量a ),54a a （=，b ),67a a （=，且a ⋅b 4=,则 =+++1022212log log log a a a1正视图第5题图11俯视图A. 12B. 10 C 。