2019-2020学年上海市虹口区高二下学期期末数学试题解析

2020年下海市虹口区数学高二第二学期期末复习检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数()1ln f x x ax x=++在[)1,+∞上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A ．1(,0][,)4-∞⋃+∞ B ．1(,][0,)4-∞-⋃+∞C ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(,1]-∞【答案】B 【解析】 【分析】由求导公式和法则求出()'f x ，由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a 的取值范围． 【详解】由题意得，()211'f x a x x=+-， 因为()f x 在[)1,+∞上是单调函数，所以()'0f x ≥或()'0f x ≤在[)1,+∞上恒成立， 当()'0f x ≥时，则2110a x x+-≥在[)1,+∞上恒成立， 即211a x x≥-， 设()221111124g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，因为[)1,x ∈+∞，所以(]10,1x∈， 当11x=时，()g x 取到最大值为0， 所以0a ≥； 当()'0f x ≤时，则2110a x x+-≤在[)1,+∞上恒成立， 即211a x x≤-， 设()221111124g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，因为[)1,x ∈+∞，所以(]10,1x∈， 当112x =时，()g x 取到最小值为14-，所以14a -≤， 综上可得，14a -≤或0a ≥， 所以数a 的取值范围是][1,0,4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭， 故选B. 【点睛】本题主要考查导数研究函数的的单调性，恒成立问题的处理方法，二次函数求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．设f （x ）＝2x ＋x ﹣4，则函数f （x ）的零点位于区间（ ） A ．（﹣1，0） B ．（0，1） C ．（1，2） D ．（2，3）【答案】C 【解析】 【分析】根据零点的判定定理，结合单调性直接将选项的端点代入解析式判正负即可． 【详解】∵f （x ）＝2x +x ﹣4中，y ＝2x 单增，y=x-4也是增函数，∴f （x ）＝2x +x ﹣4是增函数，又f （1）＝﹣1＜0，f （2）＝2＞0， 故选C ． 【点睛】本题考查了函数零点存在定理的应用，考查了函数单调性的判断，属于基础题．3．自2020年起,高考成绩由“33+”组成，其中第一个“3”指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目，某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】D 【解析】分析：直接利用组合数进行计算即可.详解：某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为21339C C =种.故选D.点睛：本题考查组合的应用，属基础题..4．设函数()()()ln f x x x ax a R =-∈在区间()0,2上有两个极值点，则的取值范围是 A ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B ．ln210,4+⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭D ．ln211,42+⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】令()'()ln 21g x f x x ax ==-+，则()0g x =在(0,2)上有两个不等实根，1'()20g x a x=-=有解，故0a >,10221{()02(2)0ag a g <<∴>⇒<ln 211(,)42a +∈ 点晴:本题主要考查函数的单调性与极值问题，要注意转化，函数()()ln f x x ax =-(a R ∈)在区间()0,2上有两个极值点，则()0g x =在(0,2)上有两个不等实根，所以1'()20g x a x=-=有解，故0a >,只需要满足10221{()02(2)0a g a g <<><解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，注意分类讨论和数形结合思想的应用 5．已知函数()()sin 0f x x ωω=>的图象关于直线34x π=对称，且()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为单调函数，下述四个结论：①满足条件的ω取值有2个 ②3,02π⎛⎫⎪⎝⎭为函数()f x 的一个对称中心 ③()f x 在,08π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 ④()f x 在()0,π上有一个极大值点和一个极小值点 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①④ B ．②③C ．①②④D ．①②③【答案】D 【解析】 【分析】依照题意找出ω的限制条件，确定ω，得到函数()f x 的解析式，再根据函数图像逐一判断以下结论是否正确． 【详解】因为函数()()sin 0f x x ωω=>的图象关于直线34x π=对称，所以3+k 42ππωπ= 41()0,32k k Z ω=+>∈，又()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为单调函数，24ππω∴≤，即2ω≤，所以23ω=或2ω=，即()2sin 3f x x =或()sin 2f x x =所以总有3()02f π=，故①②正确；由()2sin3f x x =或()sin 2f x x =图像知，()f x 在,08π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故③正确； 当(0,)x π∈时，()2sin3f x x =只有一个极大值点，不符合题意，故④不正确； 综上，所有正确结论的编号是①②③． 【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，意在考查学生综合分析解决问题的能力． 6．曲线33y x x =-和直线y x =所围成图形的面积是（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】C 【解析】分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为2，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可.详解：曲线33y x x =-和直线y x =的交点坐标为（0,0）,(2,2),(-2,-2),根据题意画出图形，曲线33y x x =-和直线y x =所围成图形的面积是 3322=2[(3)]2(4)00S x x x dx x x dx ⎰--=⎰-24212(2)2(84)804x x =-⎰=-=.故选C.点睛：该题所考查的是求曲线围成图形的面积问题，在解题的过程中，首先正确的将对应的图形表示出来，之后应用定积分求得结果，正确求解积分区间是解题的关键.7．已知函数，若函数与函数有相同的值域，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由题意首先确定函数的单调性和值域，然后结合题意确定实数的取值范围即可.【详解】由函数的解析式可得：，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，易知当时，，且，故函数的值域为，函数与函数有相同的值域，则函数在区间上的值域为，结合函数的定义域和函数的单调性可得：，解得：.故实数的取值范围是.本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的值域，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．下列点不在直线212222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)上的是( )A ．(－1，2)B ．(2，－1)C ．(3，－2)D ．(－3，2)【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线l 的普通方程，再把点的坐标代入检验，满足则在直线l 上，否则不在. 【详解】直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x ＋y －1＝0. 故答案为D 【点睛】(1)本题主要考查参数方程和普通方程的互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 参数方程消参常用的方法有三种:加减消参、代入消参、恒等式消参法. 9．已知06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，为()()sin 2f x x ϕ=-+2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭的一个对称中心，则()f x 的对称轴可能为（ ）A ．2x π=B ．12x π=-C ．3x π=-D ．23x π=【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定ϕ的值，然后求解函数的对称轴即可. 【详解】由题意可知，当6x π=时，()226x k k Z πϕϕπ-+=-⨯+=∈，据此可得：()3k k Z πϕπ=+∈，令0k =可得3πϕ=，则函数的解析式为()2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 函数的对称轴满足：()232x k k Z πππ-=+∈，解得：()5212k x k Z ππ=+∈， 令1k =-可知函数的一条对称轴为12x π=-，且很明显选项ACD 不是函数()f x 的对称轴.本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数对称轴方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．已知实数,x y 满足条件00220x y x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，且2z x y =-，则z 的取值范围是（ ）A ．[6,)-+∞B ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．2,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．26,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，画出可行域和目标函数，根据平移得到答案. 【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线y 轴截距的相反数，根据图像知：当直线过()2,2-，即2x =-，2y =时有最小值为6-；当直线过22,33⎛⎫⎪⎝⎭，即23x y ==时有最大值为23，故26,3z ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：D .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.11．设~(,)B n p ξ，12E ξ=，4D ξ=，则,n p 的值分别为 （ ） A ．18，23B ．36,13C ．36，23D ．18，13【答案】A 【解析】 【分析】由ξ～B （n ，p ），E ξ＝12，D ξ＝4，知np ＝12，np （1﹣p ）＝4，由此能求出n 和p ． 【详解】∵E ξ＝12，D ξ＝4，∴np ＝12，np （1﹣p ）＝4， ∴n ＝18，p 23=． 故选A ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差，解题时要注意二项分布的性质和应用．12．在平行四边形ABCD 中，E 为线段BC 的中点，若AB AE AD λμ=+，则λμ+=（ ） A ．12-B ．12C ．32D ．32-【答案】B 【解析】分析：利用向量的平行四边形法则，向量共线定理即可得出.详解：111222AB AE CB AE BC AE AD =+=-=-， 111,,22λμλμ∴==-+=，故选：B.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 二、填空题：本题共4小题13．设函数()y f x =图象在0x =处的切线方程是10x y -+=，则函数()xy f x e =+的图象在0x =处的切线方程是__________． 【答案】220x y -+= 【解析】分析：先根据导数几何意义得(0)f '，再根据点斜式求切线方程.详解：因为函数()y f x =图象在0x =处的切线方程是10x y -+=，，所以(0)1,(0)1f f '==,因此函数()xy f x e =+的图象在0x =处的切线斜率等于0(0)2f e +='，切线方程是(11)2(0)220y x x y -+=-∴-+=.点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化 14．已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A ，B ，C ，D ，E 这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）. 【答案】45 【解析】 【分析】通过分步乘法原理即可得到答案. 【详解】对于英文字母来说，共有5种可能，对于数字来说，共有9种可能，按照分步乘法原理，即可知道共有5945⨯=个不同的编号.【点睛】本题主要考查分步乘法原理的相关计算，难度很小.15．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒10粒豆子，10粒中有6粒落在阴影区域，则阴影区域的面积约为__________．【答案】125. 【解析】分析：利用几何概型的概率公式进行求解. 解析：正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率S 35P S ==阴影正方形，∴312455S =⨯=阴影． 点睛：本题考查几何概型的应用，处理几何概型问题的关键在于合理选择几何模型（长度、角度、面积和体积等），一般原则是“一个变量考虑长度、两个变量考虑面积、三个变量考虑体积）.16．如图所示是世界20个地区受教育程度的人口百分比与人均收入的散点图，样本点基本集中在一个条型区域，因此两个变量呈线性相关关系．利用散点图中的数据建立的回归方程为ˆ 3.19388.193yx =+，若受教育的人口百分比相差10%，则其人均收入相差_________．【答案】31.93美元 【解析】 【分析】设所受教育百分比分别为%,%a b ，且10a b -=，利用回归方程计算即可． 【详解】设所受教育百分比分别为%,%a b ，且10a b -= 根据回归方程为 3.19388.193y x ∧=+， 收入相差大约为：()3.19388.193 3.19388.193 3.1931031.93a b ⨯+-⨯+=⨯=，即受教育的人口百分比相差10%，则其人均收入相差约31.93美元． 故答案为：31.93美元． 【点睛】本题考查了线性回归方程的应用问题，属于中档题． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020年上海虹口区教育学院实验中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数，给出下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为B．f（x）的一条对称轴为C．f（x）的一个对称中心为D．是奇函数参考答案：D【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期T，判断出A错误；把x=代入2x+中计算，根据正弦函数图象的对称性，判断出B、C错误；化简f（x﹣），得出f（x﹣）是定义域R上的奇函数，判断出D正确．【解答】解：函数=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π，A错误；又当x=时，2x+=≠kπ+，k∈Z，∴x=不是f（x）的对称轴，B错误；同理x=时，2x+=≠kπ，k∈Z，∴（，0）不是f（x）的对称中心，C错误；又f（x﹣）=sin[2（x﹣）+]=sin2x，∴f（x﹣）是定义域R上的奇函数，D正确．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换问题，是基础题目．2. 古田一中学校路口,红灯时间为30秒,黄灯时间为5秒, 绿灯时间为45秒,当你到这个路口时,看到黄灯的概率是( )A. ;B. ;C. ;D.参考答案：D3. 已知且，则的最大值是A．2 B．4 C．8 D．16参考答案：B4. 若直线与曲线有交点，则（）A．有最大值，最小值 B．有最大值，最小值C．有最大值0，最小值 D．有最大值0，最小值参考答案：C5. 已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为A．f（x）=2cos（） B．f（x）=cos（）C．f（x）=2sin（） D．f（x）=2sin（）参考答案：A6. 抛物线的焦点坐标是（）A．B．C．D．参考答案：C略7. 已知点M(x，y)在上，则的最大值为( )A、 B、 C、 D、参考答案：D8. 一条直线在一个面内射影可能是（）A.一个点B.一条线段C.一条直线D.可能是一点，也可能是一条直线参考答案：D略9. 设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】我们先画出满足约束条件：的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=x﹣3y的最小值．【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8故选D．10. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒。

下海市虹口区2020年高二第二学期数学期末监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知x 与y 之间的一组数据，则y 与x 的线性回归方程y bx a =+必过点（ ）A ．()2,2B ．()1,2C ．()1.5,4D ．()1.5,0【答案】C 【解析】 【分析】计算出x 和y ，即可得出回归直线必过的点(),x y 的坐标. 【详解】 由题意可得0123 1.54x +++==，135744y +++==，因此，回归直线y bx a =+必过点()1.5,4，故选：C. 【点睛】本题考查回归直线必过的点的坐标，解题时要熟悉“回归直线过样本中心点(),x y ”这一结论的应用，考查结论的应用，属于基础题.2．双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为60︒的直线与圆222x y b +=相交的，则椭圆C 的离心率为( )A BC ．7D 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线方程,利用过过点1F 作倾斜角为60的直线与圆222x y b +=相交的弦长为列出方程求解即可.【详解】双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的左焦点1(,0)F c -过点1F 作倾斜角为60的直线3()y x c =+与圆222x y b +=相交的弦长为3a ,可得：222222233,1(3)c a b a b c ⎛⎫⎛⎫⎪+=+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭, 可得:227a c =则双曲线的离心率为: 7ce a== 故选:B. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用,直线与圆的位置关系的应用,考查离心率的求法,考查计算能力. 3．如图，在ABC ∆中， ,,BC a AC b AB c ===． O 是ABC ∆的外心， ODBC 于D ， OE AC⊥于E ， OF AB ⊥于F ，则::OD OE OF 等于 （ ）A ．::a b cB ．111::a b cC ．sin :sin :sin A B CD ．cos :cos :cos A B C【答案】D 【解析】 由正弦定理有2sin aR A= ,R 为三角形外接圆半径,所以2sin a R A =,在RtBOD ∆中,22221cos 4OD OB BD R a R A =-=-= ,同理cos ,cos OE R B OF R C ==,所以::cos :cos :cos OD OE OF A B C = ,选D.4．两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲射中的概率()0.8P A =，乙射中的概率()0.9P B =，则目标被击中的概率为（ ） A ．1.7 B ．1C ．0.72D ．0.98【答案】D 【解析】 【分析】先计算没有被击中的概率，再用1减去此概率得到答案.()()110.20.10.98p p A p B =-=-⨯=.故选：D . 【点睛】本题考查了概率的计算，先计算没有被击中的概率是解题的关键.5． “夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”是以我国哪位数学家命名的数学原理（ ） A ．杨辉 B ．刘微C ．祖暅D ．李淳风【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得求不规则几何体的体积的求法，即运用祖暅原理. 【详解】“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”的意思是“夹在两平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果两个截面面积仍然相等，那么这两个几何体的体积相等”，这就是以我国数学家祖暅命名的数学原理，故选：C. 【点睛】本题考查祖暅原理的理解，考查空间几何体体积的求法，考查对概念的理解，属于基础题.6．已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（ ） A ．3 B ．6C ．8D ．10【答案】D 【解析】列举法得出集合()()()()()()()()()(){}2,1314151324252435354B =，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共含10个元素． 故答案选D7．若数据123,,x x x 的均值为1，方差为2，则数据123,s,x s x x s +++的均值、方差为（ ） A ．1，2 B ．1+s ，2C ．1，2+sD ．1+s ，2+s【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用均值和方差的性质即可确定新的数据的方差和均值. 【详解】由题意结合均值、方差的定义可得：数据123,s,x s x x s +++的均值、方差为1s +,2122⨯=.本题主要考查离散型数据的均值与方差的性质和计算，属于中等题. 8．设2iz i=+，则||z =（ ）A B C ．15D ．125【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算得到1255z i =+，根据复数模长定义可求得结果. 【详解】()()()21212222555i i i i z i i i i -+====+++-，5z ∴==.故选：A . 【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.9．用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至多有一个实根”时，要做的假设是 A ．方程20x ax b ++=没有实根 B ．方程20x ax b ++=至多有一个实根 C ．方程20x ax b ++=至多有两个实根 D ．方程20x ax b ++=恰好有两个实根【答案】D 【解析】 【分析】反证法证明命题时，首先需要反设，即是假设原命题的否定成立. 【详解】命题“设,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至多有一个实根”的否定为“设,a b 为实数，则方程20x ax b ++=恰好有两个实根”；因此，用反证法证明原命题时，只需假设方程20x ax b ++=恰好有两个实根. 故选D 【点睛】本题主要考查反证法，熟记反设的思想，找原命题的否定即可，属于基础题型. 10．282()x x+的展开式中4x 的系数是（ ）【解析】 【分析】 【详解】设含4x 的为第2816316621,()()2rrr r r r r r T C x C x x--++==，1634r -= 所以4r =，故系数为：44821120C =，选D ．11．已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件【答案】C 【解析】解：令导数y′=-x 2+81＞0，解得0＜x ＜9； 令导数y′=-x 2+81＜0，解得x ＞9， 所以函数y=-13x 3+81x-234在区间（0，9）上是增函数， 在区间（9，+∞）上是减函数，所以在x=9处取极大值，也是最大值，故选C ． 12．在极坐标系中，设圆:4cos C ρθ=与直线:()4l R πθρ=∈交于A B ，两点，则以线段AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ）A ．)4πρθ=+B ．)4πρθ=-C ．)4πρθ=+ D ．)4πρθ=--【答案】A 【解析】试题分析：以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得圆C 的直角坐标方程2240x y x +-=，直线l 的直角坐标方程y x =．由2240{x y x y x +-==，解得0{0x y ==或22x y =⎧⎨=⎩，所以()()0022A B ，，，，从而以AB 为直径的圆的直角坐标方程为()()22112x y -+-=，即2222x y x y +=+．将其化为极坐标方程为：()22cos sin 0ρρθθ-+=，即()2cos sin 4πρθθθ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭故选A ．考点：简单曲线的极坐标方程． 二、填空题：本题共4小题 13．若11abi i=--，其中,a b 都是实数，i 是虚数单位，则a bi +=__________．【解析】 【分析】首先进行复数的乘法运算，得到a ，b 的值，然后代入求解即可得到结果 【详解】()()()1111122a i a a a i bi i i i +==-=---+ 解得2a =，1b =-a bi +=【点睛】本题是一道关于考查复数概念的题目，熟练掌握复数的四则运算是解题的关键，属于基础题． 14．某地区共有4所普通高中，这4所普通高中参加2018年高考的考生人数如下表所示：现用分层抽样的方法在这4所普通高中抽取144人，则应在D 高中中抽取的学生人数为_______． 【答案】24 【解析】 【分析】计算出D 高中人数占总人数的比例，乘以144得到在D 高中抽取的学生人数. 【详解】应在D 高中抽取的学生人数为6001442480012001000600⨯=+++．【点睛】本小题主要考查分层抽样，考查频率的计算，属于基础题.15．已知平面向量3,2,(21,4)2a b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，若//a b ，则||b =__________. 【答案】5 【解析】【分析】由向量平行关系求出b ，利用向量模的公式即可得到答案． 【详解】 因为//a b ，所以342(21)02x ⨯--=，解得2x =，则(3,4)b =，故2345b =+=． 【点睛】本题考查向量平行以及向量模的计算公式，属于基础题．16．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11B C 和11C D 的中点，点1A 到平面DBEF 的距离为________________． 【答案】1 【解析】 【分析】以D 点为原点，1,,DA DC DD 的方向分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出平面BDEF 的法向量，代入向量点到平面的距离公式，即可求解． 【详解】以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz ，则1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(0,,1)2F ， 所以(1,1,0)DB =，1(0,,1)2DF，1(1,0,1)A D =--， 设 (,,)x y z =m 是平面BDFE 的法向量，则m DB m DF ⎧⊥⎨⊥⎩，即012m DB x y m DF y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令1y =，可得112x z =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，故1(1,1,)2m =--， 设点A 在平面BDFE 上的射影为H ，连接1A D ，则1A D 是平面BDFE 的斜线段，所以点1A 到平面BEFE的距离1111A D m d m+⋅===．【点睛】本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020年下海市虹口区数学高二第二学期期末复习检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．若2131aii i+=--+，a R ∈，则a =（ ） A ．4-B ．3-C ．3D ．42．若,a b ∈R ，且0ab ≠，则“11()()22a b >”是“方程221x y a b+=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．一物体做直线运动，其位移 (单位: )与时间 (单位: )的关系是，则该物体在时的瞬时速度是 A ．B ．C ．D ．4．下列不等式成立的是（ ） A ．231.2 1.2> B ．321.2 1.2--<C ． 1.2 1.2log 2log 3>D ．0.20.2log 2log 3<5．在二项式26()2a x x+的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a +=及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）A ．146π+B ．146π- C ．4π D ．166．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．3(8)6π+ B 32)π+C ．3(82)6π+ D ．3(6)6π+ 7．()512x x +的展开式中3x 的系数为（ ） A ．100B ．80C ．60D ．408．在复平面内，复数()21i i -对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．设()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()(),f x g x ''分别是()(),f x g x 的导数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''+>且()60g =，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）A ．(6,0)(6,)-+∞UB ．(6,0)(0,6)-UC ．(,6)(0,6)-∞-UD ．(,6)(6,)-∞-+∞U10．PQ 是异面直线,a b 的公垂线，,, , a b A a B b C ⊥∈∈在线段PQ 上(异于,P Q )，则ABC V 的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．三角形不定11．设0x >，y R ∈，则“x y >”是“x y >”的（ ） A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．数列{}n a 中， 122,3a a ==， 11n n n a a a +-=-（2n ≥），那么2019a =（ ） A ．1B ．-2C ．3D ．-3二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知实数x,y 满足不等式组002839x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则3z x y =+的最大值是__________．14．定义方程()()f x f x '=的实数根叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（()2x ππ∈，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是15．已知地球的半径约为6371千米，上海的位置约为东经121︒、北纬31︒，开罗的位置约为东经31︒、北纬31︒，两个城市之间的距离为______．（结果精确到1千米） 16．函数的图象在点处的切线方程为__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率有题测试的平均成绩（均取整数）如下表所示：60分及以下 61～70分 71～80分 81～90分 91～100分 甲班（人数） 3 6 12 15 9 乙班（人数）4716126现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀.（1）由以上统计数据填写22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助；（2）对甲乙两班60分及以下的同学进行定期辅导，一个月后从中抽取3人课堂检测，X 表示抽取到的甲班学生人数，求()E X 及至少抽到甲班1名同学的概率.18．2019年春节档有多部优秀电影上映，其中《流浪地球》是比较火的一部.某影评网站统计了100名观众对《流浪地球》的评分情况，得到如下表格： 评价等级 ★ ★★ ★★★ ★★★★ ★★★★★ 分数 0～20 21〜40 41〜60 61～80 81〜100 人数5212675(1)根据以上评分情况，试估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上(包括四星)的频率； (2)以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立. (i)若从全国所有观众中随机选取3名，求恰有2名评价为五星1名评价为一星的概率； (ii)若从全国所有观众中随机选取16名，记评价为五星的人数为X ，求X 的方差. 19．（6分）已知2220122(12)nn n x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+*()n N ∈.（1）求0242n a a a a +++⋅⋅⋅+的值；（2）当5n =时，求(0,1,2,,2)k a k n =⋅⋅⋅的最大值. 20．（6分）已知函数（1）若在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值；（2）若函数()f x 有三个不同零点，求a 的取值范围.21．（6分）某鲜花批发店每天早晨以每支2元的价格从鲜切花生产基地购入某种玫瑰，经过保鲜加工后全部装箱（每箱500支，平均每支玫瑰的保鲜加工成本为1元），然后以每箱2000元的价格整箱出售．由于鲜花的保鲜特点，制定了如下促销策略：若每天下午3点以前所购进的玫瑰没有售完，则对未售出的玫瑰以每箱1200元的价格降价处理．根据经验，降价后能够把剩余玫瑰全部处理完毕，且当天不再购进该（1）若某天此鲜花批发店购入并加工了6箱该种玫瑰，在下午3点以前售出4箱，且6箱该种玫瑰被6位不同的顾客购买．现从这6位顾客中随机选取2人赠送优惠卡，求恰好一位是以2000元价格购买的顾客且另一位是以1200元价格购买的顾客的概率：（2）此鲜花批发店统计了100天该种玫瑰在每天下午3点以前的销售量t （单位：箱），统计结果如下表所示（视频率为概率）： t/箱456频数 30 x s①估计接下来的一个月（30天）该种玫瑰每天下午3点前的销售量不少于5箱的天数并说明理由； ②记2log x s b x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，64x ≤，若此批发店每天购进的该种玫瑰箱数为5箱时所获得的平均利润最大，求实数b 的最小值（不考虑其他成本，2log x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为2log x x 的整数部分，例如：[]2.12=，[]0.10=）． 22．（8分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥底面ABCD ，1PD =．（1）求直线PB 与直线CD 所成的角的大小； （2）求四棱锥P ABCD -的侧面积；参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数2ai+，然后利用复数相详解：因为()()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i a a +-+=++- ()()22i2a a ++-=13i =--，所以212232aa +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得4a =-，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 2．B 【解析】 【分析】由指数函数的单调性可得a b <；由椭圆方程可得0a b <<，再由充分必要条件的定义，即可得到所求结论． 【详解】解：若1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a b <， 若方程221x y a b+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则0b a >>，即“1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程221x y a b +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件.故选：B 【点睛】本题考查指数函数的单调性以及椭圆方程，考查充分必要条件的定义，考查推理能力，属于基础题． 3．A 【解析】 【分析】先对求导，然后将代入导数式，可得出该物体在时的瞬时速度。

2019-2020学年下海市虹口区数学高二下期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由半圆及矩形组成，俯视图由正方形及其内切圆组成，则该几何体的表面积等于（ ）A ．488π+B ．484π+C ．648π+D ．644π+【答案】D 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体由上下两部分组成，下面是一个底面边长为4的正方形，高为2的直四棱柱，上面是一个大圆与四棱柱的底面相切的半球，据此可以计算出结果. 【详解】解：由三视图可知，该几何体由上下两部分组成，下面是一个底面边长为4的正方形， 高为2的直四棱柱，上面是一个大圆与四棱柱的底面相切的半球.∴S 表面积224421644222644πππ=⨯+⨯+⨯-⨯+⨯=+.故选：D. 【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，属于基础题. 2．某班4名同学参加数学测试，每人通过测试的概率均为12，且彼此相互独立，若X 为4名同学通过测试的人数，则D （X ）的值为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】由题意知X ～B （4，12），根据二项分布的方差公式进行求解即可． 【详解】∵每位同学能通过该测试的概率都是12，且各人能否通过测试是相互独立的，∴X ～B （4，12）， 则X 的方差D （X ）＝412⨯⨯（112-）＝1， 故选A ． 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的方差的计算，根据题意得到X ～B （4，12）是解决本题的关键． 3．已知函数()3211132xf x xe ax ax =--+，()0,x ∈+∞，若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[),e +∞ B ．(),e +∞C ．322,3e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．322,3e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】对函数()y f x =求导得出()()()1xf x x e ax '=+-，由题意得出函数()y f x =在()0,∞+上存在极小值点，然后对参数a 分类讨论，在a e ≤时，函数()y f x =单调递增，无最小值；在a e >时，根据函数()y f x =的单调性得出()()0f x f ≤极小值，从而求出实数a 的取值范围.【详解】()3211132x f x xe ax ax =--+，()()()()211x x f x x e ax ax x e ax '∴=+--=+-，构造函数()xg x e ax =-，其中0x >，则()xg x e a '=-.①当1a ≤时，对任意的0x >，()0g x '>，则函数()y g x =在()0,∞+上单调递减， 此时，()()010g x g >=>，则对任意的0x >，()0f x '>. 此时，函数()y f x =在区间()0,∞+上单调递增，无最小值； ②当1a >时，解方程()0xg x e a '=-=，得ln x a =.当0ln x a <<时，()0g x '<，当ln x a >时，()0g x '>， 此时，()()()min ln ln 1ln g x g a a a a a a ==-=-.（i ）当1ln 0a -≥时，即当1a e <≤时，则对任意的0x >，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =在区间()0,∞+上单调递增，无最小值；（ii ）当1ln 0a -<时，即当a e >时，()01g ∴=，当x →+∞时，()g x →+∞， 由零点存在定理可知，存在()10,ln t a ∈和()2ln ,t a ∈+∞，使得()()120g t g t ==，即12120t te at e at -=-=，且当10x t <<和2x t >时，()0g x >，此时，()0f x '>；当12t x t <<时，()0g x <，此时，()0f x '<.所以，函数()y f x =在1x t =处取得极大值，在2x t =取得极小值， 由题意可知，()()()201f x f t f =≤=极小值，()2222223222222222222111111111323232t t t t t t f t t e at at t e t e t e t e t e ∴=--=--+=--+≤，可得232t ≥，又220t e at -=，可得22t e a t =，构造函数()x e h x x=，其中32x ≥，则()()210x e x h x x-'=>，此时，函数()y h x =在区间3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， 当32x ≥时，则()3322323232e h x h e ⎛⎫≥== ⎪⎝⎭，3223a e ∴≥.因此，实数a 的取值范围是322,3e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：C. 4．设 ξ是服从二项分布(),B n p 的随机变量,又()15E ξ=,45()4D ξ=,则n 与p 的值分别为( ) A ．60。

2019-2020年高二下学期期末考试数学含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

1. 已知集合6,2,0,4,2,1B A ，则B A _________。

2. 如果复数mi i 11是实数，则实数m _________。

3. 已知2053cos x x ，则x 2sin 的值为_________。

4. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数n m,作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线5y x 上的概率为_________。

5. 已知函数0,log 0,22xx x x x f ，则2f f 的值为_________。

6. 执行下边的程序框图，若4p ，则输出的S _________。

7. 直线b x y平分圆082822y x y x 的周长，则b __________。

8. 等比数列n a 的各项均为正数，31a ，前三项的和为21，则654a a a __________。

9. 已知实数y x,满足2211y x y x xy ，若y x z 3在y x,处取得最小值，则此时y x,__________。

10. 在R 上定义运算⊙：a ⊙b b a ab 2，则满足x ⊙02x 的实数x 的取值范围是__________。

11. 在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，D 为斜边BC 的中点，则AD AB 的值为__________。

12. 已知函数2,0,6sin 2x x x f ，则该函数的值域为__________。

13. 把数列n 21的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第k 行有12k 个数，第k 行的第s 个数（从左数起）记为s k,，则20121可记为__________。

14. 如图放置的边长为1的正三角形PAB 沿x 轴滚动，设顶点y x P ,的纵坐标与横坐标的函数关系式是x f y ，x f y 在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积记为S ，则S=__________。

2019-2020年高二下学期期末考试数学试题 含答案一、选择题（共12小题，共60分） 1．设，则下列不等式一定成立的是（ ） (A) (B) (C) (D)2．已知实数x ，y 满足，则z ＝4x ＋y 的最大值为( ) A 、10 B 、8 C 、2 D 、03．若不等式组0220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，表示的平面区域是一个三角形区域，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.或4．等差数列99637419,27,39,}{S a a a a a a a n 项和则前已知中=++=++的值为（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．2975．已知，则“”是“成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．等差数列99637419,27,39,}{S a a a a a a a n 项和则前已知中=++=++的值为（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．297 7．已知，则“”是“成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 8．已知变量x,y 满足约束条件 则的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．(3,6] 9．当时，的最小值为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．16 10．已知实数满足，则目标函数的最大值为（ ） A ． B ． C ． D ． 11．在中，内角的对边分别为，若,,,则等于( )A ．1B ．C ．D ．2 12．已知数列是公比为2的等比数列，若，则= ( )A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷（非选择题）二、填空题（4小题，共20分）13．已知向量，若⊥，则16x +4y 的最小值为 ．14．在锐角中,，三角形的面积等于，则的长为___________. 15．已知数列中，，，则=___________. 16．不等式的解是___________. 三、解答题（8小题，共70分）17．已知等比数列{a n }满足：a 1=2，a 2•a 4=a 6． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）记数列b n =，求该数列{b n }的前n 项和S n ．18．已知数列的各项均为正数，是数列的前n 项和，且． （1）求数列的通项公式；（2）n n n nn b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值．19．在中，已知内角，边.设内角,面积为. (1)若，求边的长； (2)求的最大值. 20．等差数列中，，（），是数列的前n 项和. （1）求；（2）设数列满足（），求的前项和．21．已知的三个内角成等差数列，它们的对边分别为，且满足，． （1）求；（2）求的面积．22．已知函数，且的解集为． （1）求的值；（2）若，且，求证：． 23．已知数列满足首项为，，．设，数列满足． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 24．已知正实数、、满足条件， （1）求证：；（2）若，求的最大值．参考答案 1．D 【解析】试题分析：本题主要考查不等式的性质，在不等式的性质中，与乘除相关的性质中有条件“均为正数”，否则不等式不一定成立，如本题中当都是负数时，都不成立，当然只能选D ，事实上由于函数是增函数，故是正确的． 考点：不等式的性质． 2．B 【解析】试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 取得最大值为8考点：线性规划. 3．D【解析】根据0220x y x y y -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪⎩画出平面区域（如图1所示），由于直线斜率为，纵截距为，自直线经过原点起，向上平移，当时，0220x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形区域（如图2所示）；当时，0220x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形区域（如图3所示），当时，220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所示），故选D.图1 图2 图3 考点：平面区域与简单线性规划. 4．B【解析】由已知及等差数列的性质得， 所以，19464699(a a )9(a a )13,9,S 99,22a a ++=====选B. 考点：等差数列及其性质，等差数列的求和公式.5．B【解析】解得其解集，解得， 因为，所以，”是“成立”的必要不充分条件，选. 考点：充要条件，一元二次不等式的解法. 6．B【解析】由已知及等差数列的性质得， 所以，19464699(a a )9(a a )13,9,S 99,22a a ++=====选B. 考点：等差数列及其性质，等差数列的求和公式.7．B【解析】解得其解集，解得， 因为，所以，”是“成立”的必要不充分条件，选. 考点：充要条件，一元二次不等式的解法. 8．A 【解析】试题分析：画出可行域，可理解为可行域中一点到原点的直线的斜率,可知可行域的边界交点为临界点（），（）则可知k ＝的范围是. 考点：线性规划，斜率. 9．D 【解析】试题分析：因为所以＝16.考点：基本不等式的应用.10．C【解析】试题分析：作出可行域如图：再作出目标函数线，并平移使之经过可行域，当目标函数线过点时纵截距最小但最大，此时.故C正确.考点：线性规划问题.11．A【解析】试题分析：由正弦定理得，即。

2019-2020学年上海市中学高二期末数学试题及答案一、单选题1．已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,32)a b m m ==-,且平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+(,λμ为实数),则实数m 的取值范围是( ) A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】根据平面向量基本定理只需,a b 不共线即可. 【详解】由题意得,平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+(,λμ为实数),则,a b 一定不共线,所以1(32)2m m ⨯-≠⨯,解得2m ≠, 所以m 的取值范围是(,2)(2,)-∞⋃+∞. 故选：D. 【点睛】此题考查平面向量基本定理的辨析，平面内一组基底必须不共线，求解参数只需考虑根据平面向量共线的坐标运算求出参数即可得解.2．椭圆22:1169x y C +=与直线:(21)(1)74,l m x m y m m R +++=+∈的交点情况是（ ）A ．没有交点B ．有一个交点C ．有两个交点 D ．由m 的取值而确定【答案】C【解析】先将(21)(1)74,+++=+m x m y m 转化为：()2730x y m x y +-++-=，令30,270xy x y +-=+-=，解出直线过定点()3,1A ，再将()3,1A 代入22:1169x y C +=，判断点与椭圆的位置关系. 【详解】已知(21)(1)74,+++=+m x m y m 可转化为：()2740x y m x y +-++-= ，令+-=+-=40,270xy x y ，解得3,1x y ==，所以直线过定点()3,1A ，将()3,1A 代入22:1169x y C += 可得911169+<，所以点()3,1A 在椭圆的内部， 所以直线与椭圆必相交， 所以必有两个交点. 故选：C 【点睛】本题主要考查了点与椭圆，直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.3．过点(1,1)P 作直线与双曲线2212yx -=交于,A B 两点，使点P为AB 的中点，则这样的直线（ ）A ．存在一条，且方程为210x y --=B ．存在无数条C ．存在两条，且方程为2(1)0x y ±+=D ．不存在 【答案】D【解析】分当直线的斜率不存在时，将直线方程为1x = 代入2212y x -=，得0y =，与双曲线只有一个交点，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为()11y k x -=-代入2212y x -=，得()()222221320k x k k x k k ----+-=，分220k -=和22k -≠0两种情况讨论求解.【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为1x = 代入2212y x -=，得0y = ，与双曲线只有一个交点，不符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线方程为()11y k x -=-，代入2212y x -=，得()()222221320k x k k x k k ----+-=，当220k -=时，直线()11y x -=-与双曲线只有一个交点，不符合题意.当22k -≠0时，因为点P 为AB 的中点， 由韦达定理得()1222122k k x x k-+==- ，解得2k = 而当2k =时，222[2(1)]4(2)(32)24160k k k k k k ∆=----+-=-<，所以直线与双曲线不相交. 故选：D 【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，还考查了分类讨论的思想方法，属于中档题.4．已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点,,A B C ，其中0OA OB ⋅=，存在实数,λμ满足0OC OA uOB λ++=，则实数,λμ的关系为A ．221λμ+=B ．111λμ+= C ．1λμ= D ．1λμ+=【答案】A【解析】由题意得1OA OB OC ===，且0OA OB ⋅=.因为0OC OA uOB λ++=，即OC OA uOB λ=--.平方得：221λμ+=. 故选A.二、填空题5．直线l 的倾斜角范围是__________； 【答案】0,【解析】由直线的倾斜角定义来确定. 【详解】由直线倾斜角的定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度.范围：倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 故答案为：0,【点睛】本题主要考查了直线倾斜角的定义及范围，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．方程2214x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆，其焦点坐标是_________；【答案】(0,【解析】根据方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，确定22,4a m b ==，再由,,a b c 的关系求出c ，写出坐标即可.【详解】因为方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，所以22,4a m b == ，所以c==所以焦点坐标为：(0,.故答案为：(0,.【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7．抛物线()20y ax a =<的焦点坐标为____________.【答案】10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】将抛物线的方程化为标准方程，可得出该抛物线的焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为21x y a=，因此，该抛物线的焦点坐标为10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查抛物线焦点坐标的求解，解题的关键就是要将抛物线的方程表示为标准形式，考查计算能力，属于基础题. 8i -对应点的直线的倾斜角为_________； 【答案】56π【解析】先利用复数的几何意义，i -对应点的坐标，直线又经过原点()0,0，根据斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】i -对应点)1- ，直线又经过原点()0,0 ，所以斜率103k ==-，所以tan α= ，又因为[0,)απ∈ ， 所以56πα=.故答案为：56π.【点睛】本题主要考查了直线的斜率，倾斜角及其关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．下面四个命题：①,a b 是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；②任何两个负数不能比较大小；③12,z z C ∈，且22120z z +=，则120z z ==；④两个共轭虚数的差为纯虚数.其中正确的序号为_________； 【答案】④【解析】①采用特殊值法，当,a b 都是零时来判断.②通过负数也是实数来判断.③采用特殊值法，当121,z z i ==时来判断.④根据题意，是两个共轭虚数，则虚部不为零来判断. 【详解】 当0ab 时，则()()0a b a b i -++=，不是纯虚数，故错误.②因为负数是实数，实数可以比较大小，故错误. ③当121,z z i ==时，符合12,z z C ∈，且22120z z +=，而120z z ==不成立，故错误.④因为是两个共轭虚数，所以设()0z a bi b =+≠ ，其共轭复数是()0za bib =-≠，则()20z z bi b -=≠所以是纯虚数，故正确. 故答案为：④ 【点睛】本题主要考查了复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.10．已知点A 为双曲线221x y -=的左顶点，点B 和点在C 双曲线的右支上，ABC ∆是等边三角形，则ABC ∆的面积为_________； 【答案】【解析】根据题意得()1,0A -，再根据双曲线和等边三角形的对称性，得到AB k =AB 的方程，求出点(B ，从而可求ABC ∆的面积. 【详解】由题意得，()1,0A - ，因为点B 和C 在双曲线的右分支上，ABC ∆是等边三角形，根据对称性得，AB k =，所以直线AB 的方程是)1y x =+ ，代入双曲线方程，得220x x --= ， 解得2x = 或1x =- （舍去），所以(B ， 所以1233332∆ABCS .故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和三角形面积的计算，还考查了分析解决问题的能力，属于基础题.11．直线l 经过点()2,1P -，且点()1,2--A 到l 的距离为1，则直线l 的方程为______． 【答案】2x =-或4350x y ++=【解析】当直线l 斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l 的方程为4350x y ++=；当直线与x 轴垂直时，l 方程为2x =-也符合题意．由此即可得到此直线l 的方程． 【详解】设直线l 的方程为()12y k x -=+，即210kx y k -++= ∵点()1,2--A 到l 的距离为1，1=，解之得43k =-， 得l 的方程为4350x y ++=．当直线与x 轴垂直时，方程为2x =-，点()1,2--A 到l 的距离为1，∴直线l 的方程为2x =-或4350x y ++=． 故答案为：2x =-或4350x y ++= 【点睛】本题主要考查求经过定点，且到定点的距离等于定长的直线l 方程，着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式等知识，属于基础题． 12．直线2y k =与曲线2222918(,0)k x y k x k R k +=∈≠的公共点的个数为_________； 【答案】4个【解析】将直线方程2y k =与曲线方程2222918+=k x y k x联立得，291840xx -+= ，根据方程根的个数来判断.【详解】将直线方程2y k =与曲线方程2222918+=kx y k x 联立得，291840x x -+=，解得13x =-或13x =+，所以13x=-或13x =-或13x =+或13x=--，故直线与曲线的公共点有4个. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13．当实数,a b 变化时，两直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=与22:20l m x y n ++=都通过一个定点，则点(,)m n 所在曲线的方程为_________； 【答案】226n m =-【解析】将(2)()()0++++-=a b x a b y a b 变形为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ，令210x y ++=且10x y +-=，求得定点坐标，再代入直线2l 的方程求解. 【详解】因为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ，对任意的实数,a b 都成立，所以21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =-⎧⎨=⎩，所以直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=过定点()2,3-， 因为 2l 也通过定点()2,3-， 将()2,3-代入220++=m x y n ， 得226n m =-. 故答案为：226n m =- 【点睛】本题主要考查了直线系及其应用，还考查了分析，解决问题的能力，属于基础题.14．动点P 到点(1,0)F -的距离比到它到y 轴的距离大1，动点P 的轨迹方程是_________；【答案】20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩【解析】设(),P x y 1x =+，两边平方化简，再去绝对值求解. 【详解】 设(),P x y ，1x =+， 两边平方化简整理得222y x x=- ，当0x > 时，20y =， 当0x ≤ 时，24y x =-，综上：20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩.故答案为：20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的求解，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．椭圆2214x y +=的一个焦点是F ，动点P 是椭圆上的点，以线段PF 为直径的圆始终与一定圆相切，则定圆的方程是_________； 【答案】224x y +=【解析】先设1F 是椭圆的另一个焦点，M 是线段PF 的中点，根据三角形的中位线及椭圆的定义可得1111||||(2||)||222MO PF a PF a PF ==-=- ，再根据两圆的位置关系得到结论. 【详解】设1F 是椭圆的另一个焦点，M是线段PF 的中点，根据题意得，1111||||(2||)||222MO PF a PF a PF ==-=-，即以长轴长为直径的圆与以线段PF 为直径的圆相内切， 所以定圆的圆心是()0,0O ，半径r a 2== ，所以定圆的方程为224x y +=， 故答案为：224x y += 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及两圆的位置关系，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 16．若实数x 、y 满足42x y x y -=-，则x 的取值范围是______.【答案】{}0[4,20]⋃ 【解析】【详解】 令(),0y a x y b a b =-=≥、，此时，()22x y x y a b =+-=+，且题设等式化为2242a b a b +-=. 于是，a b 、满足方程()()()222150a b a b -+-=≥、.如图，在aOb 平面内，点(),a b 的轨迹是以()1,2D 为圆心、5为半径的圆在0a b ≥、的部分，即点O 与弧ACB 并集. 故{}2202,25a b ⎡⎤+∈⋃⎣⎦.从而，{}[]2204,20x ab =+∈⋃.三、解答题17．已知x ∈R ，设22log (3)log (3)z x i x =++-，当x 为何值时： （1）在复平面上z 对应的点在第二象限？ （2）在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上. 【答案】（1）32x -<<-；（2）5x =【解析】（1）由复平面上z 对应的点在第二象限，根据复数的几何意义，则有22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩求解.（2）由复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上.，则复数对应点的坐标()22log (3),log (3)+-x x 在直线上，代入直线方程求解即可. 【详解】（1）因为复平面上z 对应的点在第二象限，所以22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩，所以03131x x <+<⎧⎨->⎩，解得32x -<<-.（2）因为在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上， 所以22log (3)(3)l 4og +-=x x ，所以3030(3)(3)4x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+-=⎩，解得x =.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及对数方程和对数不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．已知直线与抛物线交于两点.（1）求证：若直线l 过抛物线的焦点，则212y y p ⋅=-； （2）写出（1）的逆命题，判断真假，并证明你的判断. 【答案】（1）证明见解析；（2）逆命题：若212y y p =-，则直线过抛物线的焦点；真命题.见解析【解析】（1）不妨设抛物线方程为22y px = ，则焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，直线方程为2px =代入22y px =，验证.当直线的斜率存在时，设直线方程为()2py k x =- 代入22y px =，得2220ky py kp --=，再由韦达定理验证.（2）逆命题：直线l 过抛物线的焦点. 是真命题.证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为(),0xm m =>代入22y px =，解得12y y == ，再由212y y p ⋅=-，求解.当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+ 代入22y px =，得2220ky py pb -+= ，由韦达定理得122pby y k⋅=再由212y y p ⋅=-，求得k 与b 的关系现求解.【详解】（1）设抛物线方程为22y px = ，则焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭， 两个交点()()1122,,,A x y B x y ，当直线的斜率不存在时，直线方程为2px =，代入22y px =，得1,2y p y p==- ，所以212y y p ⋅=-.当直线的斜率存在时，设直线方程为()2py k x =-， 代入22y px =， 得2220ky py kp --= ，由韦达定理得 212y y p ⋅=-.所以若直线l 过抛物线的焦点时，则212y y p ⋅=-.（2）逆命题：若212y y p ⋅=-，则直线l 过抛物线的焦点. 是真命题证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为(),0x m m =>代入22y px =得12y y ==因为212y y p ⋅=-，所以22p -=-，解得2pm =，所以直线过抛物线的焦点.当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+， 代入22y px =， 得2220ky py pb -+=，由韦达定理得122pby y k⋅=，又因为212y y p ⋅=-， 所以2pkb =-，所以直线的方程2p y kx b k x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 所以直线过定点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭即直线过抛物线的焦点. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．（1）若圆C 的方程是222x y r +=，求证：过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为200x x y y r +=.（2）若圆C 的方程是222()()x a y b r -+-=，则过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为_______，并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析；（2）200()()()()x a x a y b y b r --+--=；证明见解析；【解析】（1）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PM x x y y CM x y =--=，再由点00(,)M x y 为圆上的切点，则有PM CM⊥ ，即有0PM CM ⋅=求解即可.（2）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PM x x y y CM x a y b =--=--由点00(,)M x y 为圆上的切点，则有PM CM⊥ ，即有0PM CM ⋅=求解即可.【详解】（1）设(),P x y 为切线上任一点， 有()()0000,,,PMx x y y CM x y =--= ，因为PM CM⊥ ，所以0PM CM ⋅= ， 即()()0000,,0x x y y x y --⋅=，又点00(,)M x y 在圆上， 所以22200+=x y r 整理得200x x y y r +=.（2）设(),P x y 为切线上任一点， 则()()0000,,,PMx x y y CM x a y b =--=--，因为PMCM⊥ ，所以0PM CM ⋅= ， 即()()0000,,0x x y y x a y b --⋅--=，又点00(,)M x y 在圆上， 所以22200()()-+-=xa yb r .整理得200()()()()x a x a y b y b r --+--=. 【点睛】本题主要考查了圆的切线方程问题，还考查推理论证的能力，属于中档题.20．已知双曲线2212x y -=的两焦点为12,F F ，P 为动点，若124PF PF +=.（1）求动点P 的轨迹E 方程；（2）若12(2,0),(2,0)(1,0)A A M -，设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R Q 、两点，直线1A R 与2A Q 交于S 点.试问：当直线l 在变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）是，4x =【解析】（1）根据124PF PF +=，且124F F >，由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，再求出,a b ，写出方程.（2）先设直线的方程为1x my =+，如果存在，则对任意m 都成立，首先取特殊情况，当0m =时，探究出该直线为:4l x =，再通过一般性的证明即可. 【详解】（1）双曲线2212x y -=的两焦点为())12,F F ，设动点P (),x y ， 因为124PF PF +=，且124F F > ，所以动点P 的轨迹E 是以12,F F 为焦点的椭圆.因为22,1ac b ===，所以的轨迹E 方程；2214x y +=.（2）由题意设直线的方程为1x my =+，取0m =，得,1,22R Q ⎛⎛- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 直线1A R的方程是63y x =+，直线2A Q的方程是2y x =-交点为(1S .若1,,R Q ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，由对称性可知：交点为(24,S .若点S 在同一条直线上，则该直线只能为:4l x =. 以下证明 对任意的m ，直线1A R 与2A Q 交点S 均在直线:4l x =上.由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224230m y my ++-= ，设()()1122,,,R x y Q x y ，由韦达定理得：12122223,44m y y y y m m +=-⋅=-++ 设直线1A R 与l 交点为()004,s y ，由011422y y x =++ ，得10162y y x =+.设直线1A R 与l 交点为()004,s y '' ， 由022422y y x '=-- ，得20222y y x '=-，因为()()()12121200121246622222my y y y y y y y x x x x -+'-=-=+-+-，()()2212121244022m m m m x x ---++==+- .所以()004,s y 与()004,s y ''重合.所以当直线l 在变化时，点S 恒在直线:4l x =上. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，还考查了特殊与一般的思想，运算求解的能力，属于难题. 21．已知椭圆E 两焦点12(1,0),(1,0)F F -，并经过点. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设,M N 为椭圆E 上关于x 轴对称的不同两点，12(,0),(,0)A x B x 为x 轴上两点，且122x x =，证明：直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上；（3）你能否将（2）推广到一般椭圆中？写出你的结论即可.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析；（3）若椭圆22221x y a b +=，若212x x a =，则直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上； 【解析】（1）已知焦点12(1,0),(1,0)F F -，利用椭圆的定义，求得椭圆的长轴长，再求得2b ，写出方程即可.（2）设()(),,,M m n N m n -，得到直线AM 的方程为()11n y xx m x =--，直线BN的方程为()22n y x x X m=--，设设交点()00,P x y ，分别代入直线AM ，BN 的方程得()0100yn x my nx -=- ，()0200y n x my nx +=+，两式化简得到220022x y +=，说明交点在椭圆上.（3）根据（2）的论证过程，推知规律是212x x a =. 【详解】根据题意，椭圆的长轴长：2a =+，解得22a = ， 又2211b a =-=，所以椭圆的方程是2212x y +=.（2）设()(),,,M m n N m n - ，则直线AM 的方程为()11n y x x m x =--①，直线BN的方程为()22ny xx X m=--②设交点()00,P x y ，代入①②得()0100y n x my nx -=-③，()0200yn x my nx +=+④，③与④两边分别相乘得()22222201200yn x x m y n x -=-，又因为2212m n +=，122x x =，所以220022x y +=，所以直线,AM NB 的交点P 的坐标适合椭圆的方程， 所以直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上.（3）若椭圆22221x y a b +=，若212x x a =，则直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上； 【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，以及点与椭圆的位置关系，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于难题.。

2020年下海市虹口区数学高二第二学期期末复习检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．函数2()ln sin 1f x x x x =+++的导函数是（）A ．12cos 1x x x +++ B ．12cos x x x -+ C ．12cos x x x+-D ．12cos x x x++【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的公式即可得到结论． 【详解】解：由2()ln sin 1f x x x x =+++，得1()2cos f x x x x'=++ 故选：D ． 【点睛】本题考查了导数的基本运算，属基础题．2．已知0>ω，函数()cos24cos 3f x a x x a ωω=-+，若对任意给定的[1,1]a ∈-，总存在1212,[0,]()2x x x x π∈≠，使得12()()0f x f x ==，则ω的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】D 【解析】分析：先化简函数的解析式得212()2(cos )2(0)f x a wx a a aa=-+-≠，再解方程f(x)=0得到1cos wx a =±，再分析得到4w ≥，再讨论a=0的情况得到w 的范围，再综合即得w 的最小值. 详解：当a≠0时，2212()(2cos 1)4cos 32(cos )2f x a wx wx a a wx a aa=⋅--+=-+-，由f(x)=0得222111(cos ),cos a wx wx a a a --=∴=±， 因为[1,1],0,a a ∈-≠所以111,1a a +≤， 根据三角函数的图像得只要coswx=1满足条件即可， 这时1220,x x w π==，所以2, 4.2w w ππ≤∴≥当a=0时，()4cos f x x ω=-，令f(x)=0，所以coswx=0，须满足23, 3.42w w ππ⋅≤∴≥ 综合得 4.w ≥故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查函数的零点和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合思想方法.(2)解答本题的难点在讨论a≠0时，分析推理出22w ππ≤. 3．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点A （3，2），P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则△PAF 周长的最小值为（ ） A．4 B ．5C ．4+D ．5+【答案】C 【解析】 【分析】求PAF ∆周长的最小值，即求PA PF +的最小值，设点P 在准线上的射影为点D ，则根据抛物线的定义，可知PF PD =，因此问题转化为求PA PD +的最小值，根据平面几何知识，当P 、A 、D 三点共线时，PA PD+最小，即可求出PA PF +的最小值，得到答案。