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2021-2022学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期中数学试卷一、填空题（本大题满分44分）本大题共有10题，第1－6题每题4分，第7－10题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果，并按要求拍照上传．1．空间两点()1,2,3A 、()2,0,5B 之间的距离为______．2．棱长为1的正方体中，异面直线1A D 与BC 之间的距离为______．3．正四棱台的上、下底面分别为边长为1和2的正方形，侧棱长为1，则该棱台的侧面积为______．4．已知a ，b 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列命题：①a α∥，b a b α⇒∥∥；②a b ∥，b a αα⇒∥∥；③αβ∥，a α⊂，b a b β⊂⇒∥． 其中假命题．．．的序号是______．（写出所有假命题．．．的序号） 5．若一个圆锥的母线长为4，其侧面积为过圆锥轴的截面面积的2π倍，则该圆锥的高为______．6．如图所示，在三棱锥D －ABC 中，AC ＝BD ＝2，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，2EF =，则异面直线AC 与BD 所成角的大小是______．7．在矩形ABCD 中，AB ＝2，23BC =，沿对角线AC 将矩形折成直二面角D －AC －B ，则线段BD 的长为______．8．如图所示，过三棱台上底面的一边11AC ，作一个平行于棱1BB 的截面，与下底面的交线为DE ．若D 、E 分别是AB 、BC 的中点，则11111i A B C DBEA B C ABC V V −−=______．9．已知如下的定理：“夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面之比均为一定值()0λλ>，则这两个几何体的体积之比也为λ”．设a 、b 为两个常数，且满足0a b >>，则半椭圆()222210x y y a b+=≥绕x 轴旋转一圈所得的几何体体积为______． 10．已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，其内切球（即该球与正方体的六个面均有且仅有一个公共点）上有两个动点M 、N ，点P 为正方体表面上一动点，当线段MN 长度最大时，PM PN ⋅的取值范围是______．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，请直接在智学网上作答．11．已知a 、b 是平面α的两条斜线，则“a 、b 与平面α所成角相等”是“a b ∥”的（ ）条件．A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既非充分又非必要12．设A 、B 、C 、D 是空间中不共面的四点，令u AD BC =+，v AB CD =+，w AC BD =+，则u 、v 、w 三个向量（ ）． A ．互不相等 B ．有且仅有两个相等 C ．都相等 D ．以上均有可能13．如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ 和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A 、B ，AB 与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ 与直线AB 垂直的次数为（ ）．A ．2B ．4C ．6D ．814．为提高学生数学学习的积极性，复旦附中联合浦东分校、青浦分校、复旦中学组织了复旦附中月度数学学科知识竞赛．本次比赛的年度总冠军奖杯由一个铜球O 和一个底座组成，如图（1）所示，已知球的体积为36π，底座由边长为12的正三角形铜片ABC 沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示．则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（ ）．A ．CD 与BE 是异面直线B ．异面直线AB 与CD 所成角的大小为45°C ．由A 、B 、C 三点确定的平面截球所得的截面面积为3πD ．球面上的点到底座底面DEF 的最大距离为336++三、解答题（本大题共有5题，本大题满分56分）解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤，并按要求拍照上传．15．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分．在长方体1111ABCD A B C D −中，AB ＝1，AD ＝2，14AA =，E 、F 分别为线段BC 、1CC 上的点，且CE ＝1，CF ＝1．（1）求证：EF ∥平面11ADD A ；（2）求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值．16．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分．如图所示，某农户拟在院子的墙角处搭建一个谷仓，墙角可以看作如图所示的图形，其中OA 、OB 、1OO 两两垂直（OA 、OB 、1OO 均大于2米）．该农户找了一块长、宽分别为2米和1米的矩形木板．将木板的一边紧贴地面，另外一组对边紧贴墙面，围出一个三棱柱（无盖）形的谷仓．（1）若木板较长的一边紧贴地面，且围成的谷仓体积为32立方米，问：此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为多少？（2）应怎样摆放木板，才能使得围成的谷仓容积最大？并求出该最大值． 17．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分．在平面直角坐标系内，我们知道ax ＋by ＋c ＝0（a 、b 不全为0）是直线的一般式方程．而在空间直角坐标系内，我们称ax ＋by ＋cz ＋d ＝0（a 、b 、c 不全为0）为平面的一般式方程．．．．．．．．． （1）求由点()2,0,0A ，()0,3,0B ，()0,0,4C 确定的平面的一般式方程；（2）证明：(),,n a b c =为平面ax ＋by ＋cz ＋d ＝0（a 、b 、c 不全为0）的一个法向量；（3）若平面α的一般式方程为ax ＋by ＋cz ＋d ＝0（a 、b 、c 不全为0），()000,,P x y z 为平面α外一点，求点P 到平面α的距离．18．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分． 如图所示，圆柱1OO 内有一个三棱柱111ABC A B C −，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB 是圆O 的直径，12AB AA ==，点C 为底面圆周O 上的动点．记三棱锥1B ABC −的体积为V ．（1）证明：平面11A ACC ⊥平面11B BCC ；（2）求V 的最大值；（3）当V 取最大值时，求直线11AC 与平面1B OC 所成角的正弦值．19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 如图所示，已知球O 的半径为2，在球O 的表面上有三点A 、B 、C ，且O 、A 、B 、C 四点不共面，∠AOB ＝120°．（1）若CO ⊥平面AOB ，求球心O 到平面ABC 的距离；（2）若CO ⊥平面AOB ，一个经过点A 、B 、C 的球O '也经过点O ，求球O '的表面积；（3）若线段AB 上存在一点D ，使得AD ＝CD ，求三棱锥O －BCD 体积的最大值．参考答案一、填空题1．3 2．1 3． 4．①②③ 5．2 6．2π78．37 9．243ab π 10．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题11．B 12．B 13．A 14．C三、解答题15．（1）法一：因为平面11BCC B ∥平面11ADD A ，EF ⊂平面11BCC B ，故EF ∥平面11ADD A ；法二：取AD 的中点M ，棱1DD 上取点N 使得DN ＝1，可得NF EM ∥且NF ＝EM ，四边形EFNM 为平行四边形，所以EF MN ∥，又因为EF 不在平面11ADD A 上，MN ⊂平面11ADD A ，所以EF ∥平面11ADD A ；法三：以A 为原点，分别以AB 、AD 、1AA 为x 、y 、z 轴正方向，建立空间直角坐标系， ()0,1,1EF =，平面11ADD A 的方向向量为()1,0,0n =，因为0EF n ⋅=，且EF 不在平面11ADD A 上，故EF ∥平面11ADD A ．（2）法一：依据（1）中的法二，取1AA 的中点P ，连接MP ，则∠PMN 为异面直线EF 与1A D 的所成角，因为MN =PM PN ==，所以222cos 2PM MN PN PMN PM MN +−∠==⋅， 故异面直线EF 与1A D． （或取1BB 的中点G ，连接EG ，因为1EG A D ∥，所以∠GEF 为异面直线EF 与1A D 的所成角，因为EF =FG GE ==cos GEF ∠=） 法二：依据（1）中的法三，()0,1,1EF =，()10,2,4A D =−，设异面直线EF 与1A D 所成角为θ，111cos cos ,102EF A DEF A D EF A D θ⋅====故异面直线EF 与1A D． 16．（1）法一：设其中一个锐二面角的大小为θ，则三棱柱底面的两条直角边长分别为2cos θ、2sin θ，高为1，体积12cos 2sin 1sin 222V Sh θθθ==⋅⋅⋅==，解得6πθ=或3π， 所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为6π和3π． 法二：设三棱柱底面的一条直角边长为()02x x <<，高为1，体积1122V Sh x ==⋅=x ＝1所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为6π和3π． （2）法一：同（1）中法一所设， 若长边紧贴底面，体积12cos 2sin 1sin 212V Sh θθθ==⋅⋅⋅=≤，等号当且仅当4πθ=时成立； 若短边紧贴底面，体积111cos sin 2sin 2222V Sh θθθ==⋅⋅⋅=≤，等号当且仅当4πθ=时成立； 显然112>，所以体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地，与两个墙面所成锐二面角均为45°． 法二：同（1）中法二所设，若长边紧贴底面，体积22141124x x V Sh x +−==⋅≤=，等号当且仅当x =若短边紧贴底面，体积221112222x x V Sh x +−==⋅≤=，等号当且仅当2x =时成立； 显然112>，所以体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地，与两个墙面所成锐二面角均为45°（也可描述底面两条直角边长）．17．（1）代入解得10234x y z ++−=，即6x ＋4y ＋3z －12＝0； （2）记平面α的方程为ax ＋by ＋cz ＋d ＝0，在平面α上任取一条直线，该直线上任取两个不同的点()111,,M x y z 和()222,,N x y z ，则M α∈，N α∈，故有11122200ax by cz d ax by cz d +++=⎧⎨+++=⎩；因为()212121,,MN x x y y z z =−−−，(),,n a b c =，所以()()()2121210n MN a x x b y y c z z d d ⋅=−+−+−=−+=，故n MN ⊥所以n 垂直于平面α上的任意一条直线，所以n 是平面α的一个法向量．（3）任取平面α上一点()111,,Q x y z ，则1110ax by cz d +++=，点P 到平面α的距离d 是向量PQ 在n 的方向上的投影的模，于是(n PQa x d n ⋅=−=，所以点P 到平面α18．（1）因为1111AC B C ⊥且111AC CC ⊥，所以11AC ⊥平面11BCC B ，又11AC ⊂平面11AACC ，所以平面11A ACC ⊥平面11B BCC ． （2）三棱锥1B ABC −以△ABC 为底面，12BB =为高，体积V 最大时，底面积ABC S △最大，易知当OC ⊥AB 时ABC S △最大，故体积的V 最大值为max 111122123323ABC V S BB =⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=△，此时C 为弧AB 的中点． （3）法一：以O 为原点，分别以OC ，OB ，1OO 为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系， ()10,1,2A −，()11,0,2C ，()10,1,2B ，()1,0,0C ，()111,1,0AC =，设平面1B OC 的法向量为n ，则00n OB n OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，不妨取()0,2,1n =−，设11AC 与平面1B OC 所成角为θ，111111sin cos ,55AC nAC n AC n θ⋅====， 所以直线11AC 与平面1B OC 所成角的正弦值为5． 法二：设11AC 与平面1B OC 所成角为θ，点A 到平面1B OC 的距离为d ，因为11ACAC ∥， 所以11AC 与平面1B OC 的所成角等于AC 与平面1B OC 所成角，故sin d AC θ=， 由11112A B OC B AOC B ABC V V V −−−==，知11133B OC S d ⋅⋅=△，又11122B OC S OC OB =⋅=△，所以d =sin 5d AC θ===，所以直线11AC 与平面1B OC 所成角的正弦值为5．19．（1）设球心O 到平面ABC 的距离为d ，由AB =AC BC ==，得ABC S =△；因为C OAB O ABC V V −−=，所以1112223223d ⋅⋅⋅⋅=，解得5d =．。
复旦大学附属中学2022学年第二学期高二年级数学期中考试试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.事件A 与事件B 是独立的，且11(),()23P A P B ==，则()P A B = ________.2.在100个人中，其中45人为女性，55人为男性，计划抽取20人测量身高.若按性别进行分层随机抽样，则应该抽取________位男性测量身高。
3.已知随机变量X 服从正态分布()2N 1,σ，若()()P X a P X a >=<，则=a _____________．4.7(13)x -的展开式中，2x 项的系数为________.5.已知一组数据12,,,n a a a …的平均数为6，那么1225,25,,25n a a a ++⋯+的平均数为_______.6.若曲线()2sin 384y f x x ==+在点ππ,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线383y ax =+垂直，则实数=a _____.7.从所有三位数中随机取一个，并假设取到每个三位数的可能性是相同的，则取到的是无重复数字的三位数的概率是___________.8.已知函数()7cos(37)y f x x n x ==++在定义域R 上不单调，则正整数n 的最小值是_________.9.以下是一些城市的海拔高度与该城市的大气压的对照表.我们已知大气压与海拔高度是近似线性的关系．城市海拔高度/m 大气压/Pa 北京31.299.86哈尔滨171.798.51上海4.5100.53昆明1891.480.80拉萨3658.065.23则我们可以利用一元线性回归分析（其中海拔高度为解释变量，大气压为反应变量），估计珠穆朗玛峰顶（海拔8848.9米）的大气压为________Pa （近似到小数点后两位）．10.现有a 个白球、b 个黑球（其外观、大小完全一致），从中不放回地摸出k 个球，用(,,)X a b k 表示摸出的白球个数,则使得3((4,6,)2)4P X k ≥≥的k 的最小值为_______.11.已知()e ,0xf x a a =>，对于数列{}n a ，有()110,n n a a f a +==，若存在常数0M >使得对于任意的N n *∈，都有n a M≤，则a 的取值范围是________.12.小明同时掷3个骰子，在掷完后，小明有一次重掷的机会，即可以选择三个骰子中的任意多个进行重掷（可以是0个），并保留剩下骰子的点数，若最后点数之和为7则取得胜利．为了取得胜利，则小明会选择2个骰子进行重掷的概率为_______．二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.“3k =”是“2277C C k k -=”的（）条件A.充要B.充分非必要C.必要非充分D.非充分非必要14.在实验“利用单摆周期估计重力加速度”中，我们依据的理论是单摆的周期公式T =，其中T 为单摆周期，g 为重力加速度，l 为单摆的摆长.改变单摆的摆长，并多次记录数据.若对以下各组数据做相关分析，相关系数最大的一组是（）A .T 与lB.2T 与lC.ln T 与lD.cos T与l15.讲桌上放有两摞书，一摞3本，另一摞4本。
2021-2022学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知,R a b ∈，则“1a >或1b >”是“2a b +>”的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分C ．充分必要D ．既非充分义非必要 【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】当1a >或1b >时，如2a =，3b =-，此时1a b +=2<，因此不充分， 若1a ≤且1b ≤，则2a b a b +≤+≤，因此是必要的． 即为必要不充分条件． 故选：B ．2．已知函数()y f x =（a x b <<）的导函数是()y f x ='（a x b <<），导函数()y f x ='的图象如图所示，则函数()y f x =在(),a b 内有（ ）A ．3个驻点B ．4个极值点C ．1个极小值点D ．1个极大值点【答案】C【分析】由()y f x ='图象判断区间符号和零点个数，进而判断()y f x =的驻点、极值点个数.【详解】由题图知：()y f x ='从左到右依次分为5个区间，区间符号依次为：正、负、正、正、负，且共有4个零点，即()y f x =有4个驻点， 综上，对于()y f x =中的4个驻点有2个极大值点，1个极小值点，且0x =为拐点. 所以C 正确，A 、B 、D 错误. 故选：C3．已知函数()y f x =及其导函数()y f x '=的定义域都是R .命题p ：“若函数()y f x =是奇函数，则()y f x '=是偶函数”：命题q ：“若函数()y f x '=是周期函数，则()y f x =也是周期函数”.则下列说法正确的是（ ） A ．p 是真命题，q 是假命题 B ．p 是假命题，q 是真命题 C ．p 与q 都是真命题 D ．p 与q 都是假命题【答案】A【分析】根据导数的运算性质，结合函数的性质，分析计算，即可得答案. 【详解】若()y f x =是奇函数，则()()f x f x -=-， 所以[][]()()()f x f x f x '''-=-=-， 所以()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=， 所以()y f x '=是偶函数，故命题p 是真命题；若函数()y f x '=是周期函数，不妨令()sin 1f x x '=+是周期函数， 则()cos f x x x C =-++（C 为常数）不是周期函数，故命题q 为假命题， 故选：A4．小明同学用两个全等的六边形木板和六根长度相同的木棍搭成一个直六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -，由于木棍和木板之间没有固定好，第二天他发现这个直六棱柱变成了斜六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -，如图所示.设直棱柱的体积和侧面积分别为1V 和1S ，斜棱柱的体积和侧面积分别为2V 和2S ，则（ ）.A ．1212V V S S > B ．1212V V S S < C ．1212V V S S = D ．11V S 与22V S 的大小关系无法确定 【答案】A【分析】根据柱体体积、表面积的求法，分别表示出11V S 和22V S ，分析即可得答案.【详解】设底面面积为S ，底面周长为C ， 则11V S AA =⋅，11S C AA =⋅，所以11V SS C=， 设斜棱柱的高为h ，则2V S h =⋅，2AB BC CD DE EF FA S AB h BC h CD h DE h EF h FA h =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()AB BC CD DE EF FA h Ch >+++++⨯=,所以2121V V Sh S S Ch C S <==. 故选：A 二、填空题5．已知集合{}|30A x x =-<<，{}|21,Z B x x x =-<≤∈，则A B =___________. 【答案】{}1-【分析】根据交集定义计算．【详解】由已知{|20,}{1}A B x x x Z =-<<∈=-． 故答案为：{}1- 6．不等式12x≥-的解集为___________. 【答案】1(,](0,)2-∞-+∞．【分析】移项，通分，一边化为0，然后转化为整式不等式求解． 【详解】原不等式化为120x+≥，即120xx +≥，(21)0x x +≥且0x ≠， 所以12x ≤-或0x >．故答案为：1(,](0,)2-∞-+∞．7．有9张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9.从这9张卡片中不放回地依次取2张卡片，事件A ：“第一次取到的卡片标有奇数数字”，事件B ：“第二次取到的卡片标有偶数数字”，则()|P B A =___________. 【答案】120.5【分析】利用条件概率公式计算可得；【详解】解：依题意()59P A =，()115429A A 20A 72P AB ==，所以()()()20172|529P AB P B A P A ===； 故答案为：128．在()723x y z -+的展开式中，43x y 项的系数为___________. 【答案】280-【分析】分析43x y 包含于717C (2)kkk k T x y z -+=-中的哪一项，再应用对应项展开式通项求43x y 项的系数.【详解】由题设，展开式通项可写为717C (2)k kk k T x y z -+=-，而43x y 项中z 的指数为0，故43x y 项包含于7(2)x y -，所以()()77177C 22C rrr r r r rr T x y x y --+=-=-， 则3r =有334343472C 280T x y x y =-=-.故答案为：280- 9．函数3e xxy =-的驻点为___________. 【答案】1【分析】求出导函数y '，由0y '=解确定结果． 【详解】2e e 1e ex x xx x x y --'=-= 由0y '=得1x =，1x <时，0y '<，1x >时，0y '>，因此1x =是函数的驻点． 故答案为：1．10．袋中有大小､质地完全相同8个球，其中黑球5个､红球3个，从中任取3个球，则红球个数不超过1的概率为___________. 【答案】57【分析】由题意得，所求为红球1个或没有红球的概率，根据概率公式，即可得答案. 【详解】由题意得，所求为红球1个或没有红球的概率，所以120335353388C C C C 5C C 7P =+=.故答案为：5711．已知随机变量X 服从二项分布()12,0.25B ，且()33E aX -=（R a ∈），则()3D aX -=___________.【答案】9【分析】由二项分布的期望和方差公式求出()E X ，()D X ，再根据期望的性质求出a ，最后根据方差的性质计算可得； 【详解】解：因为()12,0.25XB ，所以()120.253E X =⨯=，()()9120.2510.254D X =⨯⨯-=又()()333E aX aE X -=-=， 即333a -=，解得2a =，所以()()()293232494D aX D X D X -=-==⨯=.故答案为：912．已知实数a ､b 满足2222a b +=，则()()2211a b ++的最大值为___________.【答案】258【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为2222a b +=，所以()()221215a b +++=，所以()()221215a b +++=≥即()()22252114a b ++≤，即()()2225118a b ++≤，当且仅当()22121a b +=+， 即2514b +=，2512a +=时取等号，故()()2211a b ++的最大值为258. 故答案为：25813．设()2sin f x x x =+，若()()20221120210f x f x ++-≥，则x 的取值范围是___________. 【答案】2x ≥-【分析】奇偶性定义判断()f x 奇偶性，利用导数研究()f x 的单调性，再应用奇偶、单调性求x 的范围.【详解】由()2sin (2sin )()f x x x x x f x -=--=-+=-且R x ∈，易知：()f x 为奇函数，所以(20221)(20211)f x f x +≥-，又()2cos 0f x x =+>'，故()f x 在R x ∈上递增， 所以2022120211x x +≥-，可得2x ≥-. 故答案为：2x ≥-14．已知0α>，将函数sin y x =,[]0,x π∈的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ，得到曲线C .若对于每一个[]0,θα∈.曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为___________. 【答案】π445°【分析】利用运动是相对的，函数sin y x =,[]0,x π∈的图像绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作直线0x =绕坐标原点顺时针方向旋转，再根据函数的定义，即可求解. 【详解】解：利用运动是相对的，函数sin y x =,[]0,x π∈的图像绕坐标原点逆时针方向旋转（左图）， 可以看作直线0x =绕坐标原点顺时针方向旋转（右图），根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量x ，都有唯一确定的y 与之对应， 即直线0x =绕坐标原点顺时针方向旋转过程中，只能与sin y x =的图像有且只有一个交点，故只需求函数在原点处的切线方程，0|cos 01x k y ='===，此时切线方程为y x =， 故直线0x =最多绕坐标原点顺时针方向旋转4π， 则函数sin y x =,[]0,x π∈的图像只能绕坐标原点逆时针方向旋转244πππ-=，故α的最大值为4π， 故答案为：4π15．已知,R a b ∈，()af x x b x=++，若函数()y f x =在区间()2,3上有两个不同的零点，则()1f -的取值范围是___________. 【答案】()16,9--【分析】依题意可得方程20x bx a ++=在区间()2,3上两个不相等的实根，即可得到关于a 、b 的不等式组，画出可行域，数形结合即可得解； 【详解】解：函数()af x x b x=++在区间()2,3上有两个不同的零点， 即20a x bx ax b x x++++==在区间()2,3上有两个不相等的实数根， 即方程20x bx a ++=在区间()2,3上两个不相等的实根1x ，2x ， 所以223240930420b b a b a b a ⎧<-<⎪⎪⎪->⎨⎪++>⎪++>⎪⎩，即2644930420b b a b a b a -<<-⎧⎪>⎪⎨++>⎪⎪++>⎩，由24204b a b a ++=⎧⎨=⎩解得44a b =⎧⎨=-⎩，即()4,4A -，由29304b a b a ++=⎧⎨=⎩解得69b a =-⎧⎨=⎩，即()6,9B -，可得可行域如下所示：由()11f a b -=-+-，令1z a b =-+-，则1a b z =--，平移直线1a b z =--， 可知在()4,4A -时直线的截距最小，此时()max 4419z =-+--=-， 在()6,9B -时直线的截距最大，此时()min 96116z =-+--=- 所以()116,9a b -+-∈--，()1f ∴-的取值范围为()16,9--，故答案为：()16,9--． 16．已知集合[]1,,16A s s t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，其中1A ∉且16s t +<，记()11x f x x +=-，且对任意x A ∈，都有()f x A ∈，则s t +的值是___________. 【答案】112或32【分析】根据两端区间和1x =的关系分三种情况讨论：1x =在[]1,,16s s t t ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦左边，在1,6s s ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦和[],1t t +之间，在[]1,,16s s t t ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦右边三种情况，根据单调性可得()f x 的值域，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可. 【详解】①当1s >时，区间[]1,,16s s t t ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦在1x =的右侧，且()211f x x =+-在区间1,,[,1]6s s t t ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单调递减，易得()22221,11,15116f x t t s s ⎡⎤⎢⎥⎡⎤∈++++⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥-⎣⎦，故此时2121116s t s t ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪-⎩且21562111t s t s ⎧+≥⎪-⎪⎨⎪+≤+⎪-⎩，即212156t s t s ⎧≤⎪-⎪⎨+≤⎪-⎪⎩且215621t s t s ⎧+≥⎪-⎪⎨⎪≤⎪-⎩，所以212156t s t s ⎧=⎪-⎪⎨+=⎪-⎪⎩，故212516s tst ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪-⎩，故252116t t +=+-，即21216t t t +=-，2120t t --=，因为1t >，故4t =，代入可得32s =，此时112s t += ②当116s t +<<，即56s <时，1x =在1,6s s ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦和[],1t t +之间.因为()11x f x x +=-在区间1,6s s ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上为减函数，故当1,6x s s ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，()716,516s s f x s s ⎡⎤+⎢⎥+∈⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，因为111s s +<-，而1t >，故此时7116,,5166s s s s s s ⎡⎤+⎢⎥+⎡⎤⊆+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦，即11167656s s s s s s +⎧≤+⎪-⎪⎪⎨+⎪≥⎪-⎪⎩，因为56s <，故22511667566s s s s s s ⎧+≥--⎪⎪⎨⎪+≤-⎪⎩即22117066117066s s s s ⎧--≤⎪⎪⎨⎪--≥⎪⎩，故261170s s --=，即()()21370s s +-=，因为56s <，故12s =-.因为此时[,1]t t +在1x =右侧.故当[,1]x t t ∈+时，()21,1t t f x t t ++⎡⎤∈⎢⎥-⎣⎦，因为21t t +>，故[]21,,11t t t t t t ++⎡⎤⊆+⎢⎥-⎣⎦，所以1112t t t t tt+⎧≤+⎪⎪-⎨+⎪≥⎪⎩ ，此时()()2210t t t ≥⎧⎨-+≤⎩，故2t =，满足1t >，此时32s t +=③当11t +<，即0t <时，1x =在[]1,,16s s t t ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦右边.此时()211f x x =+-在区间1,,[,1]6s s t t ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单调递减，易得()22221,11,15116f x t t s s ⎡⎤⎢⎥⎡⎤∈++++⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥-⎣⎦，故此时2121116s t s t ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪-⎩且21562111t s t s ⎧+≥⎪-⎪⎨⎪+≤+⎪-⎩，即212156t s t s ⎧≤⎪-⎪⎨+≤⎪-⎪⎩且215621t s t s ⎧+≥⎪-⎪⎨⎪≤⎪-⎩，所以212156t s t s ⎧=⎪-⎪⎨+=⎪-⎪⎩，故212516s ts t ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪-⎩，故252116t t +=+-，即21216t t t +=-，2120t t --=，因为1t <，故3t =-，代入可得13s =，不满足16s t +<.综上所述，有112s t +=或32s t +=故答案为：112或32【点睛】本题主要考查了根据单调性求解值域的问题，需要根据题意，结合分式函数的图象，依据端点与特殊值之间的关系进行分类讨论，同时需要根据值域的包含关系确定参数的取值范围.求解过程中需要统一分析，注意不等式之间相似的关系整体进行求解.属于难题. 三、解答题17．如图所示，1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体.(1)设11BAC △的重心为O ，求证：直线OD ⊥平面11BA C ；(2)设E ､F 分别是棱AD ､11D C 上的点，且1DE D F a ==，M 为棱AB 的中点，若异面直线DM 与EF 2，求a 的值. 【答案】(1)证明见解析； 2【分析】（1）由正方体性质证明1B D ⊥平面11A BC ，1B D 与平面11A BC 的交点即为重心O ，从而证得结论成立；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角，从而求得a 值． 【详解】(1)设1111AC B D N =，连接1DB ，首先1DD ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，则111DD AC ⊥， 又1111B D A C ⊥，1111DD B D D =，111,DD B D ⊂平面11BDD B ，所以11A C ⊥平面11BDD B ，而1B D ⊂平面11BDD B ，所以111AC B D ⊥， 同理11A B B D ⊥，1111A C A B A =，111,A C A B ⊂平面11A BC ，所以1B D ⊥平面11A BC ， 连接BN 交1B D 于O ，因为11DA DB DC ==，所以O 是等边11A BC 的中心也是重心， 所以DO ⊥平面11A BC ，(2)如图，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(,0,0)E a ，1(1,,0)2M ，(0,,1)F a ，1(1,,0)2DM =，(,,1)EF a a =-，由题意22122cos ,101114a aDM EF DM EF DM EFa a -+⋅<>===+⨯++，解得：24a =（负值舍去）．18．为了更好地帮助高二学生准备生物地理的等级考试，复旦附中就“住校备考”还是“回家备考”问题进行了抽样调查，调查数据如下表（单位：人）： 住校备考 回家备考 合计 男 4 8 12 女103 13 合计 14 1125(1)根据表中数据回答，能否有95%以上的把握判定是否回家备考与性别有关？ (2)从“回家备考”的11人中选出4人进行座谈，设参加座谈的男生人数为X ，求X 的分布和期望.说明：解答本题，可以参考如下资料：()2P k χ≥0.25 0.15 0.10 0.05 0.01k 1.323 2.072 2.706 3.841 6.635()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.【答案】(1)答案见解析； (2)分布列见解析，期望为3211. 【分析】（1）由列联表，应用题设卡方公式求卡方值，并比较参照值即可得结论. （2）由题设X 可能值为{1,2,3,4}，利用古典概型的概率求法求各对应值的概率，即可得分布列，进而求期望.【详解】(1)由2225(81043) 4.812 3.84114111213χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%以上的把握判定回家备考与性别有关. (2)由题设，X 可能值为{1,2,3,4}，1383411C C 8(1)C 330P X ===，2283411C C 84(2)C 330P X ===，3183411C C 168(3)C 330P X ===，4083411C C 70(4)C 330P X ===，X 分布列为8841687032()123433033033033011E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19．低碳环保，新能源汽车逐渐走进千家万户.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车､纯电动汽车.为了提高生产质量，有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速80km/h .经数次测试，得到纯电动汽车每小时耗电量Q （单位：wh ）与速度x （单位：km/h ）的数据如下表所示：为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量Q 与速度x 的关系，现有以下三种函数模型供选择：①()321140Q x x bx cx =++；②()2210003xQ x a ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭；③()3300log a Q x x b =+. (1)当080x ≤≤时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式：(2)现有一辆同型号纯电动汽车从A 地行驶到B 地，其中，国道上行驶30km ，高速上行驶200km .假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量Q 与速度x 的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速v （单位：km/h ）满足[]80,120v ∈，且每小时耗电量N （单位：wh ）与速度v （单位：km/h ）的关系满足()2210200N v v v =-+（80120v ≤≤）.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？【答案】(1)符合数据的模型为①，理由见解析，()3211215040Q x x x x =-+； (2)国道和高速上的车速分别为40km/h 、80km/h 时，最少总耗电量为33800wh . 【分析】（1）根据对数函数的性质、单调性判断②③不满足要求，应用待定系数法求函数表达式；（2）由国道、高速耗电函数为()30Q v v ⋅、()200N v v⋅，结合二次函数、对勾函数性质求最小值即可.【详解】(1)由0x =时，()3300log a Q x x b =+无意义，不满足；而()2210003xQ x a ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭为减函数，不满足要求；所以最符合表格中所列数据的函数模型为()32140Q x x bx cx =++， 323211010101325401404040440040b c b c ⎧⨯+⨯+⨯=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯+⨯=⎪⎩，可得2150b c =-⎧⎨=⎩， 所以()321215040Q x x x x =-+. (2)由题意，国道上耗电总量为()322301303(2150)604500404Q v v v v v v v v ⋅=-+⋅=-+， 所以，当[]60400,80324v ==∈⨯km/h 时，国道上耗电总量最小为3300wh ； 高速上耗电总量为()2200200100(210200)400()2000N v v v v v v v⋅=-+⋅=+-， 由对勾函数性质知：函数在[]80,120v ∈上递增，所以，当80v =km/h 时，高速上耗电总量最小为30500wh .综上，当国道和高速上的车速分别为40km/h 、80km/h 时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为33800wh .20．记()()522f x x ax =-+，其中R a ∈，已知1x =是函数()y f x =的极值点.(1)求实数a 的值；(2)()f x 的表达式展开可以得到()21001210f x a a x a x a x =++++，求123102310a a a a ++++的值.(3)设函数()y g x =定义域为R ，且函数()1y g x =+和函数()()y f x g x =+都是偶函数，若()032g =-，求()8g 的值 【答案】(1)2a = (2)0 (3)550-【分析】（1）求出函数的导数，依题意可得()10f '=，即可得到方程，求出a ，再代入检验即可；（2）由（1）可得()()5222f x x x =-+，求出函数的导函数，再令1x =，即可得解；（3）首先判断()g x 、()f x 的对称性，令()()()h x f x g x =+，即可得到()h x 也关于1x =对称，且()h x 为偶函数，即可得到其周期，从而得解；【详解】(1)解：因为()()522f x x ax =-+，所以()()()42522f x x ax x a '=-+-，依题意()10f '=，即()()45320a a --=，解得2a =或3a =，当2a =时()()()()()44225222251122f x x x x x x ⎡⎤'=-+-=-+-⎣⎦，当1x <时()0f x '<，当1x >时()0f x '>，所以()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，在1x =处取得极小值，符合题意；当3a =时，()()()()()()44425322352312f x x x x x x x '=-+-=---，当32x <时()0f x '≤，当32x >时()0f x '≥，所以()f x 在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，不符合题意； 综上可得：2a =.(2)解：因为()21001210f x a a x a x a x =++++，所以()29123102310f x a a x a x a x '=++++，又()()5222f x x x =-+，则()()()4252222f x x x x '=-+-， 令1x =，则()10f '=，则()12310123100f a a a a '=++++=(3)解：因为()1y g x =+为偶函数，即()()11g x g x +=-+， 所以()g x 关于1x =对称，又()()()55222211f x x x x ⎡⎤=-+=-+⎣⎦，则()()()552211111f x x x ⎡⎤-=--+=+⎣⎦，()()()552211111f x x x ⎡⎤+=+-+=+⎣⎦，即()()11f x f x +=-，所以()f x 关于1x =对称， 令()()()h x f x g x =+，则()()()h x f x g x =+也关于1x =对称，即()()2h x h x =-又()()()h x f x g x =+为偶函数，即()()h x h x =-，所以()()2h x h x -=-，即()()2h x h x +=，所以()h x 是以2为周期的周期函数，所以()()80h h =，即()()()()8800f g f g +=+，即()()()()55580082325050g f g f =+-=--=-.21．记()2f x x px q =++（,R p q ∈），()2g x x mx n =++（,R m n ∈）.(1)若()f x x =的解集为{}0，求p 和q 的值；(2)若方程()()0f g x =和()()0g f x =都没有实数根，求证：方程()()0f f x =和()()0g g x =至少有一个没有实数根；(3)若()1118g =，对任意的,R p q ∈，都存在[]01,2x ∈-使得关于x 的不等式()()0f x g x ≥有解，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)1p =，0q = (2)证明见解析 (3)答案见解析【分析】（1）根据二次方程解的情况直接可得参数值；（2）分别设两函数值域，可得函数()f x 在[),b +∞上以及()g x 在[),a +∞上均无实数根，分别讨论a b ≥与a b <，即可得证；（3）分情况讨论函数()0f x 的最大值情况，将不等式转化为{}()min maxminf xg x ≥（）.【详解】(1)()f x x =，即()2210x px q x x p x q ++=⇒+-+=，解集为{}0，即()2Δ1400p q q ⎧=--=⎪⎨=⎪⎩，解得10p q =⎧⎨=⎩；(2)设函数()2f x x px q =++的值域为[),a +∞，()2g x x mx n =++的最小为[),b +∞，由方程()()0f g x =和()()0g f x =都没有实数根， 故函数()f x 在[),b +∞上以及()g x 在[),a +∞上均无零点， 若a b ≥，则[)[),,a b +∞⊆+∞，从而()f x 在[),a +∞上也无零点， 即()()0f f x =无实数根，同理，若a b <，则()()0g g x =无实数根，即方程()()0f f x =和()()0g g x =至少有一个没有实数根； (3)由()1118g =，得1118m n ++=，38n m =-，所以()2222333824848m m m g x x mx m x m m ⎛⎫=++-=+--+≥--+ ⎪⎝⎭，所以不等式()()0f x g x ≥有解即为()20348m f x m ≥--+，又对任意的,R p q ∈，都存在[]01,2x ∈-使得关于x 的不等式()()0f x g x ≥有解， 则{}2348maxminm f x m ≥--+（），因为{}111292228max minf x +-==｜（）（）｜（）， 又239488m m --+≤，所以13m m ≥-≤-或，。
高二年级数学期中考试试卷一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.用两个1，两个2能排出个不同的四位数___________种.【答案】62.甲､乙､丙三个人玩“剪刀､石头､布”游戏一次游戏中可以出现的不同结果数为___________种.【答案】273.2n 个人排成一个n 行，n 列的方阵，现要从中选出n 个代表，要使得每一行，每一列都有代表，则有___________种不同的选法.【答案】!n 4.已知某个几何体的三视图如下所示：侧视图是边长为2的正方形，俯视图是半圆，则这个几何体的体积是___________.【答案】π5.若(1,2,2)AB = ，(0,1,0)BC =，则平行四边形ABCD 的面积为___________.【答案】6.360的正约数共有___________个.【答案】247.若21421111x x C C +-=，则x 的可能的值是___________.【答案】1或2或3.8.学校组织春游活动，每个学生可以选择去四个地方：崇明､朱家角､南汇和嘉定，有四位同学恰好分别来自这四个地方，若他们不去家乡，且分别去了不同地方，则四位同学去向的所有可能结果数为___________.【答案】99.设地球的半径为R ，在北纬6π圏上的两地A ､B 的经度差为1arccos 3，则A ，B 两地的球面距离为___________.【答案】3R π10.曲线22x y =，22x y =-，2x =，2x =-固成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ；满足224x y +≤，22(1)1x y +-≥，22(1)1x y ++≥的点组成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，通过考查1V 与2V 的关系，可得1V 的值为___________.【答案】8π11.一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数2(0)1x y x x=>+的图象上，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值为___________.【答案】4π12.设{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，若A C U ⊆⊆，B C U ⊆⊆，则不同的有序集合组(,,)A B C 的总数是___________.【答案】105二､选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.汽车牌照由4个数字（可以重复）和2个字母（也不一定要不相同）构成，这6个字符可以任何顺序呈现，但两个字母必须相邻，则可以形成的不同的牌照有（）种.A .4261026⨯⨯ B.4251026⨯⨯ C.241026⨯ D.421026⨯【答案】B14.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°；④DM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（）A.①②③B.②④C.③④D.②③④【答案】C 15.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定【答案】D16.连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB ，CD 的长度分別等于7､3，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB ，CD 可能相交于点M ；②弦AB ，CD 可能相交于点N ；③MN 的最大值为5；④MN 的最小值为1；其中真命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C 三､解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若M ，N 分別是111,CC A D 的中点，作出过M ，N ，B 三点的截面，并求出这截面的周长.【答案】作图答案见解析，周长为253513623++.18.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是BC 的中点，点F 是CD 上的动点.（1）试确定点F 的位置，使得1D E ⊥平面1AB F ；（2）若F 是CD 的中点，求二面角1C EF A --的大小；（3）若F 是CD 的中点，求1D 到面1AB F 的距离.【答案】（1）F 为中点；（2）1arccos()3-；（3）2.19.（1的正四面体的体积，有如下未完成的解法，请你将它补充完成.解：构造一个棱长为1的正方体—我们称之为该四面体的“生成正方体”，如左下图：则四面体11ACB D 为棱长是___________的正四面体，且有1111111111B ACB A AB D C B CD D ACD ACB D V V V V V V ----=----=四面体正方体___________.（2）模仿（1），对一个已知四面体，构造它的“生成平行六面体”，记两者的体积依次为V 四面体和V 生成平行六面体，试给出这两个体积之间的一个关系式，不必证明；（3）如1图，一个相对棱长都相等的四面体（通常称之为等腰四面体），其三组棱长分别为，，类比（1）（2）中的方法或结论，求此四面体的体积.【答案】（1，13；（2） 13V =四面体生成平行四面体；（3）2.20.家有重物，爸､妈､孩三人合力拉拍，用力依次为123,,f f f ，三个力的方向两两成60°角，大小依次为3，2，1，在这三个力的共同拉抬下，重物恰好被沿竖直方向抬离地面.（1）求物重；（2）求孩子用力方向与竖直方向所成的角.【答案】（1）5；（2）7arccos 10.21.已知正三棱锥N ABC -，顶点为N ，底面是ABC .（1）若该三棱锥的侧棱长为1，且两两成角为π9，设质点P 自A 出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至回到出发点A ，求质点移动路程的最小值；（2）若该三棱锥的所有棱长均为1，试求以N 为顶点，以ABC 内切圆为底面的圆锥的侧面积和体积；（3）若该棱锥的体积为定值V ，求该三棱锥侧面与底面所成的角θ，使该三棱锥的表面积S 最小.【答案】（1）1；（2）侧面积为π4，体积为6π108；（3）1arccos 3.。
2020-2021学年上海市复旦附中高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．不等式＜1的解集为．2．设集合A＝{y|y＝3x，x∈R}，B＝{x|y＝，x∈R}，则A∩B＝．3．若，则＝．4．若复数z满足，其中i为虚数单位，则z＝．5．设函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）﹣k存在两个零点，则实数k 的取值范围是．6．已知某圆锥的体积是12π，底面半径等于3，则该圆锥的侧面积为．7．x（x﹣2）5展开式中的x4项的系数为．8．5名志愿者进入3个不同的场馆参加工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为．9．若数列{a n}的通项公式，则＝．10．已知数列{a n}的前n项和，若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n对任意n∈N*恒成立，则λ的取值范围为．11．已知不等式在x∈[0，1]上恒成立，则实数a的取值范围为．12．若关于x的不等式的解集为R，且存在实数x0，使得，则a的取值集合为．二、选择题13．下列命题中，错误的是（）A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B．平行于同一平面的两个不同平面平行C．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．若直线l不平行平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线14．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：cm）为（）A．32B．36C．40D．4815．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），方向向量为＝（1，1）的直线与C交于两点A、B，若线段AB的中点为（4，1），则双曲线C的渐近线方程是（）A．2x±y＝0B．x±2y＝0C．x±y＝0D．x±y＝016．已知数列{a n}的通项公式为，a5是数列{a n}的最小项，则实数a的取值范围是（）A．[﹣40，﹣25]B．[﹣40，0]C．[﹣25，25]D．[﹣25，0]三、解答题17．在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求cos2﹣sin cos的取值范围．18．在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入G（x）（万元）与年产量x（万台）满足如下关系式：．（1）写出年利润W（x）（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润＝销售收入﹣成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．20．已知函数f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a﹣x）＝b恒成立，则称f（x）为“J﹣函数”．（1）判断函数f1（x）＝x，是否是“J﹣函数”；（2）若g（x）＝tan x是一个“J﹣函数”，求出所有满足条件的有序实数对（a，b）；（3）若定义域为R的函数f（x）是“J﹣函数”，且存在满足条件的有实数对（0，1）和（1，4），当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，求当x∈[﹣2020，2020]时，函数f （x）的值域．21．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，数列{b n}的前n项和为T n，求T n的取值范围；（3）若（n∈N*），从数列{c n}中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．参考答案一、填空题1．不等式＜1的解集为（﹣∞，）∪（6，+∞）．解：不等式＜1，即＞0，即（x﹣6）（2x﹣3）＞0，求得x＜或x＞6，故答案为：（﹣∞，）∪（6，+∞）．2．设集合A＝{y|y＝3x，x∈R}，B＝{x|y＝，x∈R}，则A∩B＝．解：因为集合A＝{y|y＝3x，x∈R}＝{y|y＞0}，B＝{x|y＝，x∈R}＝{x|}，所以A∩B＝．故答案为：．3．若，则＝．解：∵，∴sin x＝﹣3cos x，tan x＝﹣3，∴＝﹣sin x•cos x＝＝．故答案为：．4．若复数z满足，其中i为虚数单位，则z＝1+2i．解：设z＝a+bi（a，b∈R），则＝a﹣bi，代入得2（a+bi）+a﹣bi＝3+2i，即3a+bi＝3+2i，∴a＝1且b＝2．∴z＝1+2i．故答案为：1+2i．5．设函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）﹣k存在两个零点，则实数k 的取值范围是（0，1]．解：由g（x）＝f（x）﹣k＝0，得f（x）＝k令y＝k与y＝f（x），作出函数y＝k与y＝f（x）的图象如图：当x≤0时，0＜f（x）≤1，当x＞0时，f（x）∈R，∴要使函数g（x）＝f（x）﹣k存在两个零点，则k∈（0，1]．故答案为：（0，1]．6．已知某圆锥的体积是12π，底面半径等于3，则该圆锥的侧面积为15π．解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，则，解得h＝4，所以，故圆锥的侧面积为＝15π．故答案为：15π．7．x（x﹣2）5展开式中的x4项的系数为40．解：∵（x﹣2）5展开式中的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x5﹣r，∴x（x﹣2）5展开式中的通项公式为T r+1＝x••（﹣2）r•x5﹣r＝（﹣2）r••x6﹣r，令6﹣r＝4，求得r＝2，∴x4项的系数为•（﹣2）2＝40，故答案为：40．8．5名志愿者进入3个不同的场馆参加工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为．解：5名志愿者进入3个不同的场馆的方法数为35＝243种，每个场馆至少有一名志愿者的情况可分两类考虑：第一类，一个场馆去3人，剩下两场馆各去1人，此类的方法数为＝3×10×2＝60种；第2类，1个场馆去1人，剩下两场馆各2人，此类的方法数为＝90种，所以每个场馆至少有一名志愿者的概率为P＝＝．故答案为：．9．若数列{a n}的通项公式，则＝．解：数列{a n}的通项公式，可得S n＝2+4+＝6+（1﹣），＝[6+（1﹣）]＝6+＝．故答案为：．10．已知数列{a n}的前n项和，若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n对任意n∈N*恒成立，则λ的取值范围为（﹣∞，）．解：当n＝1时，有，得a1＝4，当n≥2时，，，两式相减得，即，∴＝，又，∴数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列．∴，则，不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n等价于5−λ＞＝，记，n≥2时，，∴当n≥3时，＜1，则，∴5−λ＞，即λ＜5−，∴λ的取值范围是：（﹣∞，）．故答案为：（﹣∞，）．11．已知不等式在x∈[0，1]上恒成立，则实数a的取值范围为a≠0且a≠1．解：当0＜x＜1时，＜0，|a﹣|≥0恒成立，此时a∈R；当x＝0或1时，＝0，|a﹣|＞0恒成立，只需a﹣≠0，可得a≠0且a≠1．综上可得，a的取值范围是a≠0且a≠1．故答案为：a≠0且a≠1．12．若关于x的不等式的解集为R，且存在实数x0，使得，则a的取值集合为．解：由题意可得，f（x）＝|x+1|+|ax+1|的最小值为，∵f（x）的图像是一条折线，∴f（x）的最小值在折点处，即满足x+1＝0或ax+1＝0，函数f（x）才可能取到最小值，当a＝0时，f（x）＝|x+1|+1≥1，当x＝﹣1时，f（x）的最小值为1，故a≠0，①当x＝﹣1时，则|﹣a+1|＝，解得a＝或，∴f（x）＝或，∵f（x）的最小值为，∴，②当x＝时，则，解得a＝﹣2或，∴或，∴a＝﹣2，综上所述，a的取值集合为{}．故答案为：{}．二、选择题13．下列命题中，错误的是（）A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B．平行于同一平面的两个不同平面平行C．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．若直线l不平行平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线解：由直线与平面相交的性质，知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交，故A正确；由平面平行的判定定理知，平行于同一平面的两个不同平面平行，故B正确；由直线与平面垂直的判定定理，知如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，故C正确；若直线l不平行平面α，则当l⊂α时，在平面α内存在与l平行的直线，故D不正确．故选：D．14．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：cm）为（）A．32B．36C．40D．48解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA⊥底面ABC．则BC⊥PC．∴该几何体的表面积S＝．故选：A．15．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），方向向量为＝（1，1）的直线与C交于两点A、B，若线段AB的中点为（4，1），则双曲线C的渐近线方程是（）A．2x±y＝0B．x±2y＝0C．x±y＝0D．x±y＝0解：设方向向量为＝（1，1）的直线方程为y＝x+m，联立，消去y，得：（b2﹣a2）x2﹣2a2mx﹣a2m2﹣a2b2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的中点为（4，1），∴x1+x2＝＝8，y1+y2＝8+2m＝2，解得m＝﹣3，∴，∴a＝2b，∴双曲线C的渐近线方程为y＝x，即x±2y＝0．故选：B．16．已知数列{a n}的通项公式为，a5是数列{a n}的最小项，则实数a的取值范围是（）A．[﹣40，﹣25]B．[﹣40，0]C．[﹣25，25]D．[﹣25，0]解：由条件有对任意的n∈N*，由a n≥a5恒成立，即，整理得．当n≤4时，不等式化简为a≥5n（n﹣6）恒成立，所以a≥﹣25；当n≥6时，不等式化简为a≤5n（n﹣6）恒成立，所以a≤0；综上：﹣25≤a≤0．故选：D．三、解答题17．在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求cos2﹣sin cos的取值范围．解：（1）由＝．得＝．即2sin A cos B＝sin（B+C），即2sin A cos B＝sin A，又A为三角形内角，∴sin A≠0，所以cos B＝，从而B＝；（2）cos2﹣sin cos＝﹣＝，＝，＝+，∵，∴，所以cos2﹣sin cos的取值范围为（）．18．在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入G（x）（万元）与年产量x（万台）满足如下关系式：．（1）写出年利润W（x）（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润＝销售收入﹣成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．解：（1）．（2）当0＜x⩽20时，W（x）＝﹣2x2+100x﹣50＝﹣2（x﹣25）2+1200，∴W（x）max＝W（20）＝1150，当x＞20时，，当且仅当，即x＝29时等号成立，∴W（x）＝W（29）＝1360，∵1360＞1150，当年产量为29万台时，该公司获得的利润最大为1360万元．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．解：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，由PO⊥平面ABCD，得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO＝60°．在Rt△AOB中BO＝AB sin30°＝1，由PO⊥BO，于是，PO＝BO tan60°＝，而底面菱形的面积为2．∴四棱锥P﹣ABCD的体积V＝×2×＝2．（2）解法一：以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系．在Rt△AOB中OA＝，于是，点A、B、D、P的坐标分别是A（0，﹣，0），B（1，0，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，）．E是PB的中点，则E（，0，）于是＝（，0，），＝（0，，）．设与的夹角为θ，有cosθ＝，θ＝arccos，∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos；解法二：取AB的中点F，连接EF、DF．由E是PB的中点，得EF∥PA，∴∠FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角），在Rt△AOB中AO＝AB cos30°＝＝OP，于是，在等腰Rt△POA中，PA＝，则EF＝．在正△ABD和正△PBD中，DE＝DF＝，cos∠FED＝＝∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos．20．已知函数f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a﹣x）＝b恒成立，则称f（x）为“J﹣函数”．（1）判断函数f1（x）＝x，是否是“J﹣函数”；（2）若g（x）＝tan x是一个“J﹣函数”，求出所有满足条件的有序实数对（a，b）；（3）若定义域为R的函数f（x）是“J﹣函数”，且存在满足条件的有实数对（0，1）和（1，4），当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，求当x∈[﹣2020，2020]时，函数f （x）的值域．解：（1）函数f1（x）＝x，因为（a﹣x）（a+x）＝a2﹣x2＝b不可能恒成立，故f1（x）不是“J﹣函数”；函数，因为2a﹣x•2a+x＝22a＝b恒成立，故f2（x）是“J﹣函数”；（2）因为g（x）＝tan x是一个“J﹣函数”，所以g（a+x）g（a﹣x）＝＝恒成立，则tan a＝±1，解得，又b＝1，故所有的有序实数对为；（3）由题意，f（x）f（﹣x）＝1，f（1+x）f（1﹣x）＝4，故f（x+1）＝，当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，故x∈[﹣1，0]时，f（x）的值域为[，1]，所以x∈[﹣1，1]时，f（x）的值域为[，2]，故x∈[1，3]时，f（x）的值域为[2，8]，x∈[3，5]时，f（x）的值域为[23，25]，x∈[﹣3，﹣1]时，f（x）的值域为[2﹣3，2﹣1]，x∈[﹣5，﹣3]时，f（x）的值域为[2﹣5，2﹣3]，以此类推，可得当x∈[﹣2020，2020]时，函数f（x）的值域为[2﹣2020，22020]．21．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，数列{b n}的前n项和为T n，求T n的取值范围；（3）若（n∈N*），从数列{c n}中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．解：（1）当n＝1时，由得，，得a1＝1，当n≥2时，由得，，两式相减得，，即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0，∵数列{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1＝2，∴数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1；（2）由（1）知，，∴＝，∴＝＝，令，则＝，∴f（n）是单调递增函数，数列{T n}递增，∴，又，∴T n的取值范围为；（3），设奇数项取了s项，偶数项取了k项，其中s，k∈N+，s≥2，k≥2，因为数列{c n}的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相等的项必定一个是奇数，一个是偶数，假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数，设抽出的三个偶数从小到大依次为2i，2j，2p（1≤i＜j＜p），则为奇数，而i≥1，j≥2，则2j﹣1为偶数，2i﹣1为奇数，所以i＝1，又为奇数，而j≥2，p≥3，则2j﹣1，2p﹣1均为偶数，矛盾，又∵k≥2，∴k＝2，即偶数项只有两项，则奇数项最多有3项，即s+k的最大值为5，设此等差数列为d1，d2，d3，d4，d5，则d1，d3，d5为奇数，d2，d4为偶数，且d2＝2，由d1+d3＝2d2＝4得d1＝1，d3＝3，此数列为1，2，3，4，5．同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1．综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5或5，4，3，2，1．。
上海复旦大学第二附属中学 2021年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的性质．【专题】计算题；综合题；压轴题．【分析】四面体ABCD的体积的最大值，AB与CD是对棱，必须垂直，确定球心的位置，即可求出体积的最大值．【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则有，当直径通过AB与CD的中点时，，故．故选B．【点评】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力．2. 利用“直接插入排序法”给按从大到小的顺序排序，当插入第四个数时，实际是插入哪两个数之间（）A．与 B．与 C．与 D．与参考答案：B 解析：先比较与，得；把插入到，得；把插入到，得；3. 已知，则（）A．B．C．D．参考答案：C4. 圆与直线的位置关系是（）A．相交 B. 相切 C.相离 D.直线过圆心参考答案：C5. 数据的平均数为1，标准差为2，则数据，，，…，的平均数与标准差分别为（）A．-1，4 B．-1，-1 C．2，4 D．2，-1参考答案：A略6. 下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个参考答案：D7. 已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率（）A．B．C．D．参考答案：B略8. 若复数z的虚部小于0，，且，则（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据可得，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解【详解】由，得，因为，所以.又z的虚部小于0，所以，.故选：C【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.9. 等于 ( )A．B． C．D．参考答案：B略10. 若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上的点到直线4x-3y-2=0的最近距离等于1,则半径r值是( )A. 4B. 5C. 6D. 9参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知A（1，1），B（﹣2，3），O为坐标原点，若直线l：ax+by+1=0与△ABO所围成的区域（包括边界）没有公共点，则a﹣3b的取值范围为．参考答案：（﹣∞，）【分析】根据所给的三个点的坐标和直线与△ABO所围成的区域（包括边界）没有公共点，得到关于a，b的不等式组，根据不等式组画出可行域，求出目标函数的取值范围．【解答】解：A（1，1），B（﹣2，3），O为坐标原点，直线l：ax+by+1=0与△ABO所围成区域（包含边界）没有公共点，得不等式组，令z=a﹣3b，画出不等式组表示的平面区域，判断知，z=a﹣3b在A取得最大值，由，解得M（﹣，﹣），可得a﹣3b＜．∴a﹣3b的取值范围是（﹣∞，）．故答案为：（﹣∞，）．12. 在平面几何中,已知“正三角形内一点到三边的距离和是一个定值”，类比到空间中，写出你认为合适的结论________参考答案：正四面体内的一点到四个面的距离之和是一个定值13. 圆台的较小底面半径为，母线长为，一条母线和底面的一条半径有交点且成,则圆台的侧面积为____________。
上海大学附属中学2021-2022学年高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知△的顶点、分别为双曲线的左右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于（）A． B．C．D．参考答案：D2. 数据，，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别是（）Ａ．和Ｂ．和Ｃ．和Ｄ．和参考答案：C3. 已知等差数列，公差，，则使前项和取最大值的正整数的值是A．5 B． 6 C．7 D．8参考答案：B 4. 设长方体的三条棱长分别为、、，若长方体所有棱长度之和为，一条对角线长度为，体积为，则等于( ).A. B.C. D.参考答案：A5. 已知f(e x+e-x+1)=e2x+e-2x,则f(x)=( )A.x2+2(x≥2)B.x2-2(x≥2)C.x2-2x(x≥3)D.x2-2x-1(x≥3)参考答案：D6. .已知集合P={0,1,2}，，则P∩Q=（）A. {0}B. {0,1}C. {1,2}D. {0,2}参考答案：B【分析】根据集合交集的概念，可直接得出结果.【详解】因为集合，，所以.故选B【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.7. 已知（）A. B. C. D.参考答案：C8. 在等差数列{a n}中，若，则的值为（）A. 24B. 36C. 48D. 60参考答案：C【分析】先设等差数列的公差为，根据题中条件求出，进而可求出结果.【详解】设等差数列的公差为，因为，由等差数列的性质得，所以.故选C【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的通项公式与性质即可，属于基础题型.9. 对任意实数x，若不等式|x+2|+|x+1|＞k恒成立，则实数k的取值范围是（）A．k＞1 B．k=1 C．k≤1D．k＜1参考答案：D【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式．【分析】若不等式|x+2|+|x+1|＞k恒成立，只需 k小于|x+2|+|x+1|的最小值即可．由绝对值的几何意义，求出|x+2|+|x+1|取得最小值1，得k＜1【解答】解：若不等式|x+2|+|x+1|＞k恒成立，只需 k小于|x+2|+|x+1|的最小值即可．由绝对值的几何意义，|x+2|+|x+1|表示在数轴上点x到﹣2，﹣1点的距离之和．当点x在﹣2，﹣1点之间时（包括﹣1，﹣2点），即﹣2≤x≤﹣1时，|x+2|+|x+1|取得最小值1，∴k＜1故选D10. 已知过点和的直线与直线垂直，则的值为( )A． B． C． D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的定义域是_________________参考答案：12. 若x（1﹣mx）4=a+a，其中a2=﹣8，则a1+a2+a3+a4+a5= ．参考答案：1考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由a2=﹣8列式求得m值，代入x（1﹣mx）4=a+a，取x=1得答案．解答：解：由题意得：，得m=2．∴x（1﹣2x）4=a+a，令x=1，则a1+a2+a3+a4+a5=1．故答案为：1．点评：本题考查二项式系数的性质，训练了特值法求二项展开式的系数问题，是基础题．13. 已知函数f（x）=﹣x2+2x+b2﹣b+1（b∈R），若当x∈时，f（x）＞0恒成立，则b的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】考查函数f（x）的图象与性质，得出函数f（x）在上是单调增函数，由f（x）min＞0求出b 的取值范围即可．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+2x+b2﹣b+1的对称轴为x=1，且开口向下，∴函数f（x）在上是单调递增函数，而f （x ）＞0恒成立，∴f（x ）min =f （﹣1）=﹣1﹣2+b 2﹣b+1＞0， 解得b ＜﹣1或b ＞2，∴b 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了利用函数的图象与性质求不等式的解集的问题，解题时应熟记基本初等函数的图象与性质，是基础题． 14. 在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为_____．参考答案：15. 函数的定义域为______．参考答案：(0,2] 【分析】根据定义域的求法：（为偶数）、。
复旦附中2022学年第二学期高二年级数学月考2023.6一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 双曲线的渐近线方程为______.22194x y -=【答案】 23y x =±【解析】 【分析】由双曲线方程可得，由此可得渐近线方程.,a b 【详解】由双曲线方程知：， 渐近线方程为： 3a =2b =∴23y x =±故答案为： 23y x =±【点睛】本题考查由双曲线方程求解渐近线方程的问题，属于基础题.2. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件. 【答案】18 【解析】【详解】应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为18． 30060181000⨯=点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ． 3. 等比数列满足：，则___________． {}n a 12232,4a a a a +=+=45a a +=【答案】 16【解析】【分析】根据题意求得，结合，即可求解.23122a a q a a +==+14325)(a a a a q +=⋅+【详解】由等比数列满足：，可得公比，{}n a 12232,4a a a a +=+=23122a a q a a +==+所以.143352)2(216a a q a a +=⋅⨯=+=故答案为：.164. 为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顾序排列，单位：）kg 56 56 57 58 59 59 61 63 64 65 66 68 69 70 73 74 83 据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为______ kg 【答案】 69【解析】【分析】根据百分位数的求法求得正确答案. 【详解】， 170.7512.75⨯=数据从小到大第个数是， 1369所以第75百分位数为 69kg 故答案为：695. 若某圆锥侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为___________． 【答案】 60 【解析】【分析】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则，求得，进而得到圆锥的母线与底l r π2πl r =2l r =面所成的角的大小.【详解】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则，可得， l r π2πl r =2l r =设圆锥的母线与底面所成的角为，则，， θ0θ180<< 1cos 2r l θ==所以圆锥的母线与底面所成的角为. 60 故答案为：.60 6. 已知，，且，则_______． {},0,1A a =-1,,1B c b a b ⎧⎫=+⎨⎬+⎩⎭A B =a b c ++=【答案】 1【解析】【分析】根据集合相等可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出的a b c a b c ++值.【详解】因为，，且，则，解得， {},0,1A a =-1,,1B c b a b ⎧⎫=+⎨⎬+⎩⎭A B =0111b c a b a +=⎧⎪⎪=-⎨+⎪=⎪⎩122a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩因此，. 1a b c ++=故答案为：.17. 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建1111ABCD A B C D -D D 立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________1DB (4,3,2)1AC【答案】 (4,3,2)-【解析】【详解】 如图所示，以长方体的顶点为坐标原点， 1111ABCD A B C D -D 过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，D 因为的坐标为，所以, 1DB(4,3,2)()()14,0,0,0,3,2A C 所以.1(4,3,2)AC =-8. 如图，在长方体中，是的中点，则三棱锥1111ABCD A B C D -13,4,5,AB BC AA O ===11AC 的体积为______.1O AB C -【答案】10 【解析】【分析】由题意可得，然后分别求出111111111O AB C ABC A B C B AA O B CC O B ABC V V V V V -----=---的值，从而可求得答案.11111111,,,ABC A B C B AA O B CC O B ABC V V V V ----【详解】由题意可得， 111111111O AB C ABC A B C B AA O B CC O B ABC V V V V V -----=---因为是的中点， 13,4,5,AB BC AA O ===11AC 所以，， 1111345302ABC A B C V -=⨯⨯⨯=1111512553225B AA O V -=⨯⨯⨯⨯=，， 1111512553225B CC OV -=⨯⨯⨯⨯=1113451032B ABC V -=⨯⨯⨯⨯=所以， 11111111130551010O AB C ABC A B C B AA O B CC O B ABC V V V V V -----=---=---=故答案为：10.9. 设为坐标原点，是以为焦点的拋物线上任意一点，是线段上的点，且O P F 24y x =M PF ，则直线的斜率的最大值为______.||2||PM MF =OM【解析】【分析】设点，，根据题意得出，则，利用几何意义得00(,)P x y (,)M a b 002,33x y M +⎛⎫ ⎪⎝⎭002OM y k x =+出：当直线的斜率取最大值时为过点的直线与与抛物线相切，设出直线方程，与抛OM ()2,0-24y x =物线方程联立，利用判别式等于零即可求解.【详解】设，，由，00(,)P x y (,)M a b 22PM MF PM MF =⇒=则，所以，解得：，00(,)2(1,)a x b y a b --=--002(1)2a x a b y b -=-⎧⎨-=-⎩00233x a y b +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则点坐标，直线的斜率为表示点与002,33x y M +⎛⎫⎪⎝⎭OM 0000032203OM y y k x x -==++-()00,P x y 点的斜率，由图可知：直线的斜率取最大值时为过点的直线与与抛物线(2,0)Q -OM ()2,0-相切，设此时直线的方程为，24y x =(2)y k x =+联立方程组，整理可得：，24(2)y x y k x ⎧=⎨=+⎩2222(44)40k x k x k +-+=则有，解得：，2222(44)440k k k ∆=--⨯⨯=k=所以max ()OM k =10. 某游戏的得分为，小明玩该游戏得分为的概率为，若1,2,3,4,5i (1,2,3,4,5)i p i =，则小明得5分的概率至少为______.123452345 4.2p p p p p ++++=5p 【答案】## 0.215【解析】【分析】根据所有的概率之和等于1可得：，与题干条件中的式子结合12345444444p p p p p ++++=得到，利用不等式的性质即可求解.51230.2(32)p p p p =+++【详解】因为，所以，123451p p p p p ++++=12345444444p p p p p ++++=又因为，两式相减可得：， 123452345 4.2p p p p p ++++=5321230.2p p p p ---=所以（当且仅当，时取等）， 51230.2(32)0.2p p p p =+++≥1230p p p ===40.8p =所以小明得5分的概率至少为， 5p 0.2故答案为：.0.211. 已知，是椭圆:（）的左，右焦点，是的左顶点，点在过1F 2F C 22221x y a b+=0a b >>A C P A的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为_______. 12PF F △12120F F P ∠=︒C 【答案】14【解析】 【分析】求得直线AP 的方程，根据题意求得P 点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率. 【详解】如图所示，由题意知：， ()()()12,0,,0,,0A a F c F c --直线AP 的方程为， )y x a =+由， 12212120,2F F P PF F F c ∠===则(2)P c代入直线AP ， )2c a =+整理得，4a c =所求的椭圆离心率为. ∴14c e a ==故答案为：14【点睛】本题考查了椭圆的几何性质与直线方程的应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题. 12. 已知函数，若对任意的，都存在，使得()||f x x x a =--1(2,)x ∈+∞2(1,0)x ∈-，则实数的最大值为_________．()()124f x f x ⋅=-a 【答案】 1【解析】【分析】当时，问题转化为当时，，由于，2a ≥2(1,0)x ∈-()()20,f x ∈+∞2(1,0)x ∈-，矛盾，故不满足；当时，问题转化为当时，()()()()20,10,1f f a x ∈-=+02a <<2(1,0)x ∈-，由于，，进而得，解不()220,2a f x -⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭2(1,0)x ∈-()()()()20,10,1f f a x ∈-=+212a a -≤+-等式，进而得实数的最大值(]0,1a ∈a 【详解】解：当时，取绝对值得，作出函数的图像如2a≥()(),,(),,x x a x a f x x x a x a x x a --≥⎧⎪=--=⎨--<⎪⎩()f x 图1，此时，，，1(2,)x ∈+∞()(]1,0f x ∈-∞故对任意的，都存在，使得成立则需满足， 1(2,)x ∈+∞2(1,0)x ∈-()()124f x f x ⋅=-()()20,f x ∈+∞由于，，显然不满足，； 2(1,0)x ∈-()()()()20,10,1f f a x ∈-=+当时，函数图像如图2所示，02a <<此时，，，1(2,)x ∈+∞()()1,42x a f ∈-∞-+故对任意的，都存在，使得成立则需满足1(2,)x ∈+∞2(1,0)x ∈-()()124f x f x ⋅=-，()220,2a f x -⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭由于，， 2(1,0)x ∈-()()()()20,10,1f f a x ∈-=+所以当时，才能满足对任意的，都存在，使得212a a -≤+-1(2,)x ∈+∞2(1,0)x ∈-()()124f x f x ⋅=-成立， 整理不等式得：，解得：， 212a a -≤+-20a a -≤[]0,1a ∈由于，所以.02a <<(]0,1a ∈由于所求为实数的最大值，故不需要再讨论的情况.a 0a ≤所以，若对任意的，都存在，使得，则实数的最大值为. 1(2,)x ∈+∞2(1,0)x ∈-()()124f x f x ⋅=-a 1故答案为：1【点睛】本题考查分段函数的分类讨论思想，化归转化思想，考查综合分析问题与解决问题的能力，是中档题.本题解题的关键在于分时和时两种情况分别讨论求解.2a ≥02a <<二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，其中第13、14题每题4分，第14、15题每题5分）13. 如图是6株圣女果植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株圣女果植株挂果个数的中位数为（ ）A. 21B. 21.5C. 22D. 22.5【答案】B 【解析】【分析】根据中位数的知识求得正确答案. 【详解】个数据为， 616,18,21,22,22,31所以中位数为. 212221.52+=故选：B14. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”，该问题中，善走男第5日所走的路程里数是（ ） A. 120 B. 130C. 140D. 150【答案】C 【解析】【分析】设第天走步里，则是等差数列，问题转化为已知等差数列的前9项和为1260，要求n n a {}n a ，利用等差数列的性质求解即可．5a 【详解】由题意设此人第一天走步里，第二天走步里．第天走步里，是等差数列，已知1a 2a n n a {}n a ，要求， 91260S =5a ，∴． ()195959929126022a a a S a +⨯====5140a =故选：C. 15. 已知，且，若把，，按从小到大的顺序排列，则排在中间的数0a b >>1ab =4b a ()2a b -+4a b （ ）A. 一定是B. 一定是4b a()2a b -+C. 一定是D. 不能确定，与的值有关4a b,a b 【答案】B【解析】【分析】先得到，利用作商法，结合指数运算和指数函数性质比较出大小. 1,01a b ><<【详解】因为，且，所以，0a b >>1ab =1,01a b ><<故， ()0,20,044a b b a a b -+>>>， ()()421422a b a a a ab b a a a --+-+÷=⋅⋅=⋅⋅因为，所以，所以， 0,1a b a ->>21a b a -⋅>()1124a ab a -+÷>⋅故， ()2414a b aa ba -+>=⋅， ()()421422a b a b b bb a b b b --+-+÷=⋅⋅=⋅⋅因为，所以，所以， 0,01b a b -<<<102b a b -<⋅<()10124a bb b -+⋅<÷<故， ()2414a b bb a b -+<=⋅综上：， ()244a b a b b a -+<<故选：B16. 在正方体中，点，分别是线段上的点（不为端点），给出如下两个111ABCD A BC D -P Q 111,AB AC 命题：①对任意点，均存在点，使得； P Q 1PQ CD ⊥②存在点，对任意点，均有. P Q 1PQ DB ⊥下面判断正确的是（ ） A. ①②均正确 B. ①②均不正确 C. ①正确，②不正确 D. ①不正确，②正确【答案】D 【解析】【分析】本题以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，设，A (),0,P x x (),,1Q y y ，写出相关向量，利用空间向量解决线线垂直关系问题.【详解】以为原点，以AB 、AD 、AA 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体A 棱长为1，由题意可设，，其中，(),0,P x x (),,1Q y y ()()0,1,0,1x y ∈∈，，则， ()1,1,0C ()10,1,1D ()()1,,1,1,0,1PQ y x y x CD =--=-若，则，则，1PQ CD ⊥1PQ CD ⊥ 10PQ CD ⋅=即，解得，，故舍去， ()10y x x --+-=1y =()0,1y ∈ 故①错误，，则，若，则，()()10,1,0,1,0,1D B ()11,1,1DB - 1PQ DB ⊥1PQ DB ⊥即，解得，此时， 10y x y x --+-=12x =11,0,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭故只需点位于中点，对任意点，均有.故②正确， P 1AB Q 1PQ DB ⊥故选：D .三、解答题（本大题共5题，满分78分）17. 已知一个袋子中有4个红球（标号为1，2，3，4）、2个黑球（标号为5，6），这些球的大小和质地都相同（即每个球被摸到的可能性相同）．现在不放回的摸出两个球，用表示第()(),1,6,i j i j i j ≤≤≠一次摸到号球，第二次摸到号球，样本空间．记事件：恰有一次摸到i j (){}Ω,1,6,i j i j i j =≤≤≠A 红球；事件：至少有一次摸到红球；事件：第一次摸到球的标号小于第二次摸到球的标号． B C （1）写出事件相应的样本空间的子集（用列举法），并求出事件的概率； A A ()P A （2）判断事件与事件的是否为相互独立？并说明理由． B C 【答案】（1）样本空间见解析； 815（2）相互独立；理由见解析 【解析】【分析】（1）根据题意，求得不放回地摸出2个球的总数，再利用列举法求得恰有一次摸到红球所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；（2）根据题意，利用列举法，结合古典摡型的概率公式，分别求得事件和事件的概率，由,B C B C ⋂，得到事件与事件相互独立.()()()P B C P B P C = B C 【小问1详解】根据题意，不放回地摸出2个球有种不同的摸法，5630⨯=其中恰有一次摸到红球所包含的基本事件的空间为{(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),A =，共有16种情况，(3,6),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)}所以事件的概率为. A 168()3015P A ==【小问2详解】根据题意，不放回地摸出2个球有种不同的摸法，5630⨯=其中至少有一次摸到红球，有{(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),B =(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(2,1),，共有28种情况，所以， (3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3)}2814()3015P B ==第一次摸到球的标号小于第二次摸到球的标号，有 {(1,2),(1,3),(1,4),(1,3),(1,6),(2,3),C =，共有15种情况，(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(4,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)}所以, 151()302P C ==又由事件中所包含的基本事件空间为B C ⋂{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),，共有14种情况，可得， (2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)}147()3015P B C == 所以，所以事件与事件相互独立.()()()P B C P B P C = B C18. 已知四边形是矩形，平面，在线段ABCD PA ⊥,1,ABCD PA AB AD ===M N ,PB DC上（不为端点），且满足，其中,BM MP DN NC λλ==0.λ>（1）若，求直线与直线所成角的大小.1λ=MN PD （2）是否存在,使是，的公垂线，即同时垂直?说明理由.λMN PB DC MN ,PB DC【答案】（1）（2）不存在. 【解析】【分析】（1）根据给定条件，以点A 为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答. （2）利用（1）中坐标系，假定存在符合条件的，再借助空间向量列式求解判断作答. λ【小问1详解】因为平面，且四边形是矩形，则直线两两垂直， PA ⊥ABCD ABCD ,,AB AD AP 以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，A AB x AD y APz则，(1,0,0),(0,0,1)B D C P 当时，分别是的中点，则有，1λ=,M N ,PBDC 111(,0,(222M N 1)2MN =- ，，设直线与直线所成的角为，1)PD =-MN PD θ，||cos |cos ,|||||MN PD MN PD MN PD θ⋅=〈〉===θ=所以直线与直线所成角的大小为. MN PD 【小问2详解】假设存在，使是，的公垂线，由（1）知，λMN PB DC (1,0,1),(1,0,0)BP DC =-=，BC =因为，，则有，BM MP λ= DN NC λ= (,0,111BM BP λλλλλλ==-+++ ，11(,0,0)11CN CD λλ==-++ ，1()11MN MB BC CN BM BC CN λλλλ-=++=-++=-++ 于是得，显然此方程组无解，即假设不成立， 2101101MN BP MN DC λλλλ-⎧⋅=-=⎪⎪+⎨-⎪⋅==⎪+⎩所以不存在正数，使是，的公垂线.λMN PB DC 19. 经市场调查，某商品每吨的价格为万元时，该商品的月供给量为吨，(114)x x <<1y ；月需求量为吨，，当该商品的需求量大于供给217(0)2y ax a a a =+->2y 22111224112y x x =--+量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积. （1）已知，若某月该商品的价格为x =7，求商品在该月的销售额（精确到1元）； 17a =（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6万元，求实数的a 取值范围.【答案】（1）该月销售额为：（元）（2） 50313107a <≤【解析】【分析】（1）将和x =7代入销量方程中，可得到该月的销售额；（2）均17a =217(0)2y ax a a a =+->衡价格即为时的价格，设，因为该商品120y y -=2212117()12241122f x y y x a x a a ⎛⎫=-=+++-- ⎪⎝⎭均衡价格不低于每吨6万元，并且每吨的价格为万元，结合函数单调性，故有(114)x x ∈<<(6)0f …，，解不等式即得。
上海复旦大学第二附属中学 2021-2022学年高二数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.参考答案：BA，，故错误；B，，正确；C，，故错误；D，，故错误.故选B.点睛：常用求导公式：.2. 定义域的奇函数,当时恒成立,若,,,则( )A. B. C. D.参考答案：B3. 两个数 1与5的等差中项是( )A．1 B． 3 C．2 D．参考答案：B4. 已知，则（）A．e2 B．e C． D．不确定参考答案：B略5. “”是“”的什么条件？ ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件参考答案：A考点：充分必要条件6. 若抛物线上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为（）A．B。
C。
D参考答案：C略7. 是等比数列，且，则（）A．8 B．-8 C．8或-8 D．10参考答案：A略8. 设a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是（）A．a﹣b＜0 B．0＜＜1 C．D．ab＞a+b参考答案：C【考点】基本不等式；不等式比较大小．【分析】由不等式的性质易判A、B、D错误，由基本不等式可得C正确．【解答】解：∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，故A错误；由a＞b＞0可得＞1，故B错误；当a=，b=时，有ab＜a+b，故D错误；由基本不等式可得≤，由a＞b＞0可知取不到等号，故C正确．故选：C9. 在△ABC中，若∠B为钝角，则sinB﹣sinA的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定参考答案：A【考点】三角函数值的符号．【分析】由三角形内角和定理得到A+B+C=π，表示出B，代入原式利用诱导公式化简，根据B为钝角，得到A+C的范围，利用正弦函数的单调性确定出原式的正负即可．【解答】解：∵在△ABC中，A+B+C=π，∴B=π﹣（A+C），∴sinB﹣sinA=sin[π﹣（A+C）]﹣sinA=sin（A+C）﹣sinA，∵B为钝角，∴A＜A+C＜，∵正弦函数在（0，）是增函数，∴sin（A+C）＞sinA，即sin（A+C）﹣sinA＞0，则sinB﹣sinA大于零，故选：A．10. 函数y=的定义域为（）A．(，＋∞) B．［1，＋∞C．( ，1D．(－∞，1)参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2=a2+ac+c2，则角B= ．参考答案：120°【考点】余弦定理的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】根据题意由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可求得cosB的值，再利用B为△ABC中的角，即可求得B．【解答】解：∵在△ABC中，b2=a2+ac+c2，又b2=a2+c2﹣2accosB∴﹣2accosB=ac，∴cosB=﹣，又∠A为△ABC中的角，∴A=120°．故答案为：120°．【点评】本题考查余弦定理，考查学生记忆与应用公示的能力，属于基础题．12. 已知x>0，y>0，且x+4y=1,则的最小值为▲参考答案：13. 函数的定义域是____________参考答案：【分析】无次幂，对数的真数大于，分母不为 ，结合上述原则列式求解即可。
上海市复旦大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
二、单选题
三、解答题
17．已知3
()395
f x x x
=-+．
第1页共4页◎第2页共4页
）
）
第3页共4页◎第4页共4页
参考答案：
根据图象可知，T与l，2
T与l，ln T与l都是正相关，相关系数都是正数，图象越接近直线，相关程度越强，相关系数越接近于1，cos T与l相关程度最弱，相关系数的绝对值最接近0.所以相关系数最大的一组是2
T与l.
故选：B
15．C
由上图可知，乙同学获胜的情况更单一，故先计算乙同学获胜的概率，
由上图分析可知，无论甲获胜还是乙获胜，都必须出现H ，故出现第一个H 的概率为假设开始后，出现HTT 即乙同学获胜，则概率为11
122
⨯⨯，
假设开始后，出现HTHTT 即乙同学获胜，则概率为1111
()()2222⨯⨯⨯，
假设开始后，出现
(1)n TH
H THT HTH TT
- 个即乙同学获胜，则概率为11()22
n
⨯，。
复旦大学附属中学2021学年第二学期高一数学线上教学阶段性评估（评估时间90分钟，满分120分，所有答案均应写在答题纸相应位置）一、填空题（每题4分，共40分）1.已知向量,a b ，则2()(2)a b a b +-+=___________．2.已知i 为虚数单位，则复数2i +的虚部是___________．3.已知πtan 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan x =__________．4.函数3cos 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的严格减区间为___________．5.已知||2,||1,1a b a b ==⋅=，则|2|a b +=__________．6.将函数()y f x =图象上的点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍后得到函数1()y f x =的图象，再将1()y f x =的图象向上平移1个单位后得到函数sin y x =的图象，则()y f x =的函数表达式是y =________．7.设平行四边形ABCD 中，BCD △的重心为H ，AH AB AD λμ=+，则3λμ=____________．8.已知i 为虚数单位，||1z =，则Re[(3)(3)]i z i z +-++=_______．9.设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω．且1(0),0263f f f ππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的最小值为________．10.设锐角ABC 的外心为O ，且，1cos cos 04cos sin sin B C OA AB AC A C B ++= ，则tan cot A A +=__________．二、选择题（每题5分，共20分）11.①加速度是向量；②若//a b 且//b c ，则//a c ；③若AB CD = ，则直线AB 与直线CD 平行．上面说法中正确的有（）个．A.0B.1C.2D.312.在ABC 中，下列说法中错误的是（）．A.sin 0A > B.cos cos 0A B +>C.sin sin sin A B C +> D.cos 2cos 2cos 21A B C +-<，则ABC 为锐角三角形13.设函数()tan33y f x x x π==+-，则()f x 在[,7]ππ-上所有零点的和为（）．A.36πB.39πC.72πD.75π14.有下面两个命题：①若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =是周期函数；②若(())y f f x =是周期函数，则()y f x =是周期函数，则下列说法中正确的是（）．A.①②都正确B.①正确②错误C.①错误②正确D.①②都错误三、解答题（共60分）15.已知向量()2(2,1),2,2a b m m m ==--++ ，（1）若0a b ⋅=，求实数m 的值；（2）若,a b可以构成平面上的一个基底，求实数m 的取值范围．17.设m 是实数，关于x 的方程22(2)310x m x m m -++++=有两根12,x x ，（1）若12x x =，求m 的取值范围；（2）若122x x -=，求m 的取值范围．19.在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角A 为4π的扇形铝板（足够大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为A 的三角形工件ABC ．（1）小宋的师傅拿出了一个工件样品ABC ，其中3sin cos 4B B =，求sin ,sin B C 的值；（2）师傅在小宋的扇形铝板的顶角A 的角平分线上打了一个点D ，且1AD =，并要求小宋加工的工件ABC 的BC 边经过点D ，则①用角B 表示工件ABC 的面积S ；②求S 的最小值，以及取得最小值时角B 的大小．21.已知函数(),y f x x D =∈．若存在0a >使得()()g x f x ax =+是严格增函数，那么称()f x 为“缓降函数”．（本题可以利用以下事实：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin x x <．）（1）判断以下函数是否是“缓降函数”①210y x =--②3y x =-（无需写出理由）；（2）求证：()cos y g x x ==是“缓降函数”；（3）已知0m ≥，求证：1()sin,(,)y h x x m x==∈+∞是“缓降函数”的充要条件是0m >．复旦大学附属中学2021学年第二学期高一数学线上教学阶段性评估（评估时间90分钟，满分120分，所有答案均应写在答题纸相应位置）一、填空题（每题4分，共40分）1.已知向量,a b ，则2()(2)a b a b +-+=___________．【1题答案】【答案】a【解析】【分析】根据向量的运算法则，即可求解.【详解】根据向量的运算法则，可得2()(2)222a b a b a b a b a +-+=+--=.故答案为：a.2.已知i 为虚数单位，则复数2i +的虚部是___________．【2题答案】【答案】1【解析】【分析】根据虚部的定义得到答案.【详解】复数2i +的虚部是1，故答案为：13.已知πtan 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan x =__________．【3题答案】【答案】13【解析】【详解】∵πtan tanπtan 14tan 2π41tan 1tan tan 4x x x x x ++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-⋅，∴可得1tan 3x =，故答案为13．4.函数3cos 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的严格减区间为___________．【4题答案】【答案】32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据余弦函数的性质计算可得.【详解】 余弦函数的减区间为：[2k π，2]()k k Z ππ+∈∴函数3cos 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭减区间满足[2,2]()4x k k k Z ππππ+∈+∈即224k x k ππππ≤+≤+，k Z∈解得32244k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈即函数3cos 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递减区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，k Z∈故答案为：32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，k Z ∈5.已知||2,||1,1a b a b ==⋅= ，则|2|a b +=__________．【5题答案】【解析】【分析】由|2|a b +=，结合数量积的运算律即可得出答案.【详解】因为||2,||1,1a b a b ==⋅=，则|2|a b +=..6.将函数()y f x =图象上的点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍后得到函数1()y f x =的图象，再将1()y f x =的图象向上平移1个单位后得到函数sin y x =的图象，则()y f x =的函数表达式是y =________．【6题答案】【答案】sin 21x -【解析】【分析】根据三角函数图象的变换规律，即可得到答案.【详解】由题意可知将函数sin y x =的图象向下平移1个单位后得到函数sin 1y x =-的图象，再将sin 1y x =-的图象横坐标变为原来的12，纵坐标不变，得到sin 21y x =-的图象，即()sin 21f x x =-，故答案为：sin 21x -7.设平行四边形ABCD 中，BCD △的重心为H ，AH AB AD λμ=+，则3λμ=____________．【7题答案】【答案】49【解析】【分析】根据向量的加法运算以及三角形重心定理，表示出向量2()3AH AB AD =+,结合条件得到,λμ的值，求得答案.【详解】设平行四边形ABCD 中对角线交点为O ,则1111223263AH AO AC OC AC C A OH A C=+==++= 2()3AB AD =+,又AH AB AD λμ=+ ，故22,33λμ==，故3224()39λμ==，故答案为：498.已知i 为虚数单位，||1z =，则Re[(3)(3)]i z i z +-++=_______．【8题答案】【答案】9【解析】【分析】设出i z a b =+，化简得到()()()3i 3=26i i 9z z a b +++-+-，从而求出实部.【详解】设i z a b =+，则221a b +=，()()3i 31i z a b +-=-+-，()()33i i 1z a b =+-+++，则()()()()()()33i 3i 131i i z z a b a b =+-+-+++-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()221026i=926i a b a b a b =--+-+-，所以Re[(3)(3)]9i z i z +-++=故答案为：99.设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω．且1(0),0263f f f ππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的最小值为________．【9题答案】【答案】23【解析】【分析】由1(0)2f =，求得126k πϕπ=+或1152,6k k Z πϕπ=+∈，根据063f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到函数()f x 关于(,0)4π对称，结合sin()04ωπϕ+=，所以22,4k k Z ωπϕπ+=∈，结合0>ω，分类讨论，即可求解.【详解】由题意，函数()sin()f x x ωϕ=+，因为1(0)sin 2f ϕ==，可得126k πϕπ=+或1152,6k k Z πϕπ=+∈，因为063f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要使得ω取得最小值，且1()2634πππ+=，所以函数()f x 关于(,0)4π对称，可得sin()04ωπϕ+=，所以22,4k k Z ωπϕπ+=∈，若112,6k k Z πϕπ=+∈时，可得12246k k ωππππ+=+，其中12,k k Z ∈，所以211(2)46k k ω=-+-，其中12,k k Z ∈，所以2124(2)3k k ω=-+-，其中12,k k Z ∈，因为0>ω，当2121k k -=时，可得min 210433ω=-+=；若1152,6k k Z πϕπ=+∈时，可得125246k k ωππππ+=+，其中12,k k Z ∈，所以215(2)46k k ω=-+-，其中12,k k Z ∈，所以21104(2)3k k ω=-+-，其中12,k k Z ∈，因为0>ω，当2121k k -=时，可得min 102433ω=-+=.故答案为：23.10.设锐角ABC 的外心为O ，且，1cos cos 04cos sin sin B C OA AB AC A C B++= ，则tan cot A A +=__________．【10题答案】【答案】8【解析】【分析】设外接圆的半径为R ；平面向量数量积的运算律及三角形外心的性质得到12sin cos 4A A =，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，从而得解；【详解】解：因为点O 为ABC 外接圆的圆心，设外接圆的半径为R ；所以1cos cos 04cos sin sin B C OA AB AC A C B⋅+⋅+⋅= ，整理得1cos cos ()()04cos sin sin B C OA OB OA OC OA A C B⋅+⋅-+⋅-= ，所以2221cos cos ()()04cos sin sin B C OA OB OA OA OC OA OA A C B⋅+⋅⋅-+⋅⋅-= ，故2221cos cos (cos 21)(cos 21)04cos sin sin B C R R C R B A C B ⋅+⋅⋅-+⋅⋅-=，则1cos cos (cos 21)(cos 21)04cos sin sin B CC B A C B +⋅-+⋅-=，所以12sin cos 2sin cos 2sin()2sin 4cos C B B C B C A A=+=+=，所以12sin cos 4A A =，即222sin cos 1sin cos 4A A A A =+所以22tan 11tan 4A A =+，所以2114tan tan A A=+，则1tan 8tan A A +=，即tan cot 8A A +=．故答案为：8二、选择题（每题5分，共20分）11.①加速度是向量；②若//a b 且//b c ，则//a c ；③若AB CD = ，则直线AB 与直线CD 平行．上面说法中正确的有（）个．A.0B.1C.2D.3【11题答案】【答案】B【解析】【分析】由由向量的定义可判断①；当0b = ，②不成立；AB CD =，则直线AB 与直线CD 平行或在一条直线上，可判断③.【详解】由向量的定义知，加速度是向量，所以①正确；当0b =，满足//a b 且//b c，但,a c不一定平行，所以②不正确；若AB CD =，则直线AB 与直线CD 平行或在一条直线上，所以③不正确.故选：B.12.在ABC 中，下列说法中错误的是（）．A.sin 0A > B.cos cos 0A B +>C.sin sin sin A B C +> D.cos 2cos 2cos 21A B C +-<，则ABC 为锐角三角形【12题答案】【答案】D 【解析】【分析】对于A ，在三角形ABC 中，0A π<<，所以sin 0A >，可判断A ；对于B ，根据内角和余弦定理得单调性判断即可；对于C ，根据正弦定理和三角形中的两边之和大于第三边可判断；对于D ，化简cos 2cos 2cos 21A B C +-<为2220a b c +->，则222cos 02a b c C ab+-=>，所以角C 为锐角，即可判断.【详解】对于A ，在三角形ABC 中，0A π<<，所以sin 0A >，故A 正确；对于B ，A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，所以()cos cos cos A B B π>-=-即cos cos 0A B +>，故B 正确；对于C ，在三角形ABC 中，a b c +>，由正弦定理得：2sin 2sin 2R A R B RsinC +>，所以sin sin sin A B C +>，故C 正确；对于D ，cos 2cos 2cos 21A B C +-<得：()22212sin 12sin 12sin 1A B C -+---<，则222sin sin sin 0A B C --+<，则2220a b c +->，则222cos 02a b c C ab+-=>，所以角C 为锐角，三角形不一定是锐角三角形，所以D 错误.故选：D.13.设函数()tan33y f x x x π==+-，则()f x 在[,7]ππ-上所有零点的和为（）．A.36πB.39πC.72πD.75π【13题答案】【答案】D 【解析】【分析】将函数()tan33y f x x x π==+-的零点问题，转化为函数图象的交点问题，根据对称性，可求得答案.【详解】令()tan 330y f x x x π==+-=，则tan 33x x π=-，故()f x 在[,7]ππ-上所有零点问题，即为函数tan 3,3y x y x π==-的图象的交点问题；作出函数tan 3y x =在[,3]ππ-上的大致图象，如图示：由于tan 3y x =的最小正周期3T π=,故在517[,66ππ-上正好有tan 3y x =的11个周期，每个周期内图象和直线3y x π=-都有一个交点，故在[,3)ππ-上共有11112+=个交点，由于点(3,0)π为tan 3,3y x y x π==-的对称中心，故在(3,7]ππ上，tan 3,3y x y x π==-图象的交点也有12个，且[,3)ππ-和(3,7]ππ上的交点两两关于(3,0)π对称，因此tan 3,3y x y x π==-图象所有交点的横坐标之和为126375πππ⨯+=，即()f x 在[,7]ππ-上所有零点的和为75π，故选：D14.有下面两个命题：①若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =是周期函数；②若(())y f f x =是周期函数，则()y f x =是周期函数，则下列说法中正确的是（）．A.①②都正确B.①正确②错误C.①错误②正确D.①②都错误【14题答案】【答案】B【解析】【分析】由周期函数的定义判断两个命题即可.【详解】若()y f x =是周期函数，设周期为T ，则()()f x T f x +=，则(())(())f f x T f f x +=也是周期函数，故①正确；若(())y f f x =是周期函数，设周期为T ，则(())(())f f x T f f x +=，()()f x T f x +=不一定成立，故②错误.故选：B.三、解答题（共60分）15.已知向量()2(2,1),2,2a b m m m ==--++ ，（1）若0a b ⋅=，求实数m 的值；（2）若,a b 可以构成平面上的一个基底，求实数m 的取值范围．【15题答案】【答案】（1）1m =或2（2）2m ≠且32m ≠-【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算得到方程求解；（2）根据基底的定义，利用向量共线的坐标表示求解.【小问1详解】22420m m m --++=得到1m =或2【小问2详解】由已知得,a b 不平行，得到22224m m m -≠-++，所以2m ≠且32m ≠-.17.设m 是实数，关于x 的方程22(2)310x m x m m -++++=有两根12,x x ，（1）若12x x =，求m 的取值范围；（2）若122x x -=，求m 的取值范围．【17题答案】【答案】（1）8,[0,)3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦；（2）{,23-2,-44}33---+．【解析】【分析】(1)由题可知，0∆≤，解不等式即可得m 的范围；(2)分方程有两个实根和两个虚根分别求出m 的取值即可﹒当方程有两个不等实根时，根据韦达定理和122x x -=即可求解；当方程有两个虚根时，设两个虚根为1i x a b =+，2x a bi =-，根据韦达定理求出关于a 、b 、m 的方程组，再结合122x x -=求出2b 的值即可求出m 的值．【小问1详解】∵12x x =，∴方程有两个相等实根或一对共轭虚根，∴∆≤0，即()22(2)431m m m +-++≤0，即m (3m ＋8)≥0，解得8,[0,)3m ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦；【小问2详解】若方程有两个不等实根，由(1)可知∆＞0解得m 8,03⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()()()22212121224424314x x x x x x m m m -=⇒+-=⇒+-++=，即23840m m ++=，解得23m =-或2-均满足∆＞0；若方程有两个虚根，则∆＜0，()8,0,3m ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭ ，设两个虚根为1i 0x a b a b R b =+∈≠，，，，则2i x a b =-，根据韦达定理得，122222m x x a m a ++==+⇒=，2221231x x a b m m =+=++(*)由21222i 2221x x b b b -=⇒=⇒=⇒=，将21b =、22m a +=代入(*)得，2221312m m m +⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，化简得23840m m +-=，解得43m -±=均满足∆＜0，综上，m 取值的集合为{,23-2,-44,}33---+．19.在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角A 为4π的扇形铝板（足够大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为A 的三角形工件ABC ．（1）小宋的师傅拿出了一个工件样品ABC，其中sin cos 4B B =，求sin ,sin B C 的值；（2）师傅在小宋的扇形铝板的顶角A 的角平分线上打了一个点D ，且1AD =，并要求小宋加工的工件ABC 的BC 边经过点D ，则①用角B 表示工件ABC 的面积S ；②求S 的最小值，以及取得最小值时角B 的大小．【19题答案】【答案】（1）1sin 2B =或32，62sin 4C =（2）①2sin 284sin sin 4B S B B ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；②38B π=时，S1-【解析】【分析】（1）由题意，得到3sin 22B =，求得6B π=或3π和512C π=或712π，即可求解；（2）①利用正弦定理，求得sin sin 88,sin sin 4B B c b B B πππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合面积公式，即可求解；②利用二倍角公式和积化和差公式，得到21214cos cos 244S B ππ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⋅+⎛⎫⎢⎥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合三角函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：因为3sin cos 4B B =，可得3sin 22B =，又因为(0,)B π∈，可得23B π=或223B π=，所以6B π=或3π，由4A π=，可得512C π=或712π，所以1sin 2B =或3sin 2B =，75232162sin sin(sin(sin(12124622224C ππππ===+=⨯+⨯=．【小问2详解】解：①在ABD △和ACD △中使用正弦定理，可得sin sin 88,sin sin 4B B c b B B πππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭于是2sin 128sin 24sin sin 4B S bc A B B ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭．②利用二倍角公式和积化和差公式可得：21cos 212242144cos cos 2cos cos 24444B S B B πππππ⎡⎤⎛⎫-+- ⎪⎢⎥⎝⎭=⋅=⋅+⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎢⎥-+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由题意可得30,4B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 242B π⎡⎫⎛⎫+∈-⎪⎢ ⎪⎝⎭⎣⎭，当cos 214B π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即38B π=时，S取到最小值1-．21.已知函数(),y f x x D =∈．若存在0a >使得()()g x f x ax =+是严格增函数，那么称()f x 为“缓降函数”．（本题可以利用以下事实：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin x x <．）（1）判断以下函数是否是“缓降函数”①210y x =--②3y x =-（无需写出理由）；（2）求证：()cos y g x x ==是“缓降函数”；（3）已知0m ≥，求证：1()sin,(,)y h x x m x ==∈+∞是“缓降函数”的充要条件是0m >．【21题答案】【答案】（1）①是；②不是；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）直接判断得解；（2）取211,a x x ≥>，利用“缓降函数”定义证明；（3）先证明充分性，再利用反证法证明必要性得证.【小问1详解】解：①是；②不是.【小问2详解】证明：当,2x π⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，我们显然有sin 2x x π≥>，所以再结合所给事实可得：当,()0x ∈+∞时，sin x x <．令()cos g x x ax =+，再取211,a x x ≥>，于是()()()212121cos cos g x g x x x a x x -=-+-()()212121212sin sin (1)022x x x x a x x a x x +-=-+->--≥这说明cos y x =是“缓降函数”．【小问3详解】证明；令1()sin g x ax x=+充分性：已知0m >，取2121,x x m a m >>>则()()()()21212121212111111111sin sin 2cos sin 22g x g x a x x a x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+-=+-+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()212112*********a x x a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫>-⋅-+-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是1sin ,(,)y ax x m x =+∈+∞是严格增函数，所以1sin ,(,)y x m x=∈+∞是缓降函数．必要性：用反证法，当0m =时，若存在0a >使()()g x f x ax =+是严格增函数，令[]1k a =+，这里[]a 代表不大于a 的最大整数取1211222x x k k πππ=<=+．此时()()21211111111224222g x g x ax ax a a k k k k ππππ⎛⎫ ⎪-=--=⋅--=⋅- ⎪⎛⎫+ ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭我们知道101,011422a k k π<<<<⎛⎫+ ⎪⎝⎭，这说明()()210g x g x -<与严格增函数矛盾．此即说明1sin,(0,)y x x=∈+∞不是缓降函数．证毕．。
上海复旦实验中学2022年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0垂直，则a等于（）A．1 B．C．D．﹣1参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线垂直它们的斜率乘积等于﹣1列方程求解．【解答】解：∵y=ax2，∴y'=2ax，于是切线的斜率k=y'|x=1=2a，∵切线与直线2x﹣y﹣6=0垂直，∴2a×2=﹣1∴a=﹣故选：C．2. 已知双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，则椭圆mx2+ny2=1的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线、椭圆方程分别化为标准方程，利用双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，可得m=3n，从而可求椭圆mx2+ny2=1的离心率．【解答】解：双曲线mx2﹣ny2=1化为标准方程为：∵双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，∴∴m=3n椭圆mx2+ny2=1化为标准方程为：∴椭圆mx2+ny2=1的离心率的平方为=∴椭圆mx2+ny2=1的离心率为故选C．【点评】本题考查椭圆、双曲线的离心率，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3. 若向量满足，与的夹角为600，则的值为（）A. B. C. D. 2参考答案：B略4. 已知tan(α＋β)=，tan(α＋)=, 那么tan(β－)的值是（）A． B． C．D．参考答案：B略5. 已知平面与两条直线，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要参考答案：C根据线面垂直的性质定理可知，为充要条件，故选C.6. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（）A．若K2的观测值为k=6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系；那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B．从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C．若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误D．以上三种说法都不正确参考答案：C【考点】独立性检验的应用．【分析】由独立性检验知，概率值是指我们认为我的下的结论正确的概率，从而对四个命题判断．【解答】解：若K2的观测值为k=6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系；而不是在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故不正确；从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指吸烟与患肺病有关系的概率，而不是吸烟人就有99%的可能患有肺病，故不正确；若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误，正确；故选C．7. 一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的表面积（单位：）为（）A．B．C．D．参考答案：，选D．8. 在△ABC中，已知成等比数列，且, ,则（）A. B . C. 3 D .-3参考答案：B9. 命题“若A=B，则A?B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A．0 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后由原命题和逆否命题是等价命题，逆命题和否命题是等价命题来判断逆否命题和否命题的真假．【解答】解：原命题：“若A=B，则A?B”是真命题，∵原命题和逆否命题是等价命题，∴逆否命题一定是真命题；逆命题：“若A?B，则A=B”是假命题，∵逆命题和否命题是等价命题．∴否命题一定是假命题．故选B．10.参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 直角三角形ABC 中，AB 为斜边，，，设P 是（含边界）内一点，P 到三边的距离分别是，则的范围是 ．参考答案：略12. 与椭圆有公共准线，且离心率为的椭圆的标准方程为 ；参考答案：13. ．参考答案：14. 已知扇形AOB 半径为1，∠AOB=60°，弧AB 上的点P 满足(λ，μ∈R)，则λ+μ的最大值是 ；最小值是 ．参考答案：，【考点】平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．【分析】建立坐标系，设∠BOP=θ，用θ表示出P 点坐标，得出λ+μ及关于θ的表达式，根据θ的范围和三角函数的性质得出答案．【解答】解：以O 为原点，以OB 为x 轴建立平面直角坐标系， 设∠BOP=θ，则P （cosθ，sinθ），B （1，0），A （，），∵，∴，即．∴λ+μ=cosθ+sinθ=sin （θ+），∵P 在上，∴0，∴当时，λ+μ取得最大值． =（，﹣sinθ），=（1﹣cosθ，﹣sinθ），∴=（）（1﹣cosθ）+（﹣sinθ）（﹣sinθ）=﹣cosθ﹣sinθ=﹣sin（θ+）． ∵0≤θ≤，∴≤≤．∴当=时，取得最小值﹣．故答案为：，．15. 将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同盒子中的3个中，使得有1个空盒且其他3个盒子中球的颜色齐全的不同放法共有 种.（用数字作答）参考答案：720试题分析：本题可以分步来做：第一步：首先从4个盒子中选取3个，共有4种取法；第二步：假定选取了前三个盒子，则第四个为空，不予考虑。
2020-2021学年上海市复旦附中高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共16.0分）1.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=()．A. 8B. 9C. 10D. 112.i是虚数单位，复数=()A. B. C. D.3.已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若S n=S9−n(n∈N∗且n<9)，有以下结论：①S2=0；②a5=0；③{a n}为递增数列；④a9=0．则正确的结论的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 44.命题“∀x∈R，sinx>1”的否定是()A. ∀x∈R，sinx≤1B. ∀x∈R，sinx>1C. ∃x0∈R，sinx0≤1D. ∃x0∈R，sinx0>1二、单空题（本大题共12小题，共48.0分）5.直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面为正三角形，AB=2，D是AB的中点，异面直线AC1与CD所，则三棱柱ABC−A1B1C1的表面积等于______．成角的余弦值是√34=0，则|z|=．6.已知复数z满足z+3z7.．8.已知长方体ABCD−A1B1C1D1各个顶点都在球面上，AB=3，AD=2，A1A=2，过棱AD作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为______．9.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若平面A1B1CD⊥平面AEP，则线段AP长度的取值范围是______．10.正四棱锥S−ABCD中，SA=AB，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为．11.已知为虚数单位，复数的虚部是______．12.直线(为实常数)与曲线的两个交点A、B的横坐标分别为、，且，曲线E在点A、B处的切线PA、PB与y轴分别交于点M、N.下列结论：①；②三角形PAB可能为等腰三角形；③若点P到直线的距离为，则的取值范围为；④当是函数的零点时，(为坐标原点)取得最小值．其中正确结论的序号为．13.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，AA1=2，则二面角A−DD1−B的大小是______．14. 若实数x ，y 满足{x +y ≥−2x ≤0y ≤0，则x −y 的最大值是______ ． 15. 已知复数z =1+2i i(i 是虚数单位)，则复数z 的模为______16. 从集合{0,1，2，3，4，5}中任取两个互不相等的数组成复数，其中虚数有 个(用数字作答)三、解答题（本大题共5小题，共56.0分）17. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC ⊥AB ，A 1A =AB =AC =2，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，B 1B 的中点． (1)证明：A 1F ⊥平面B 1DE ；(2)求直线BE 与平面B 1DE 所成角的正弦值．18. 如图，若OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别表示复数Z 1=1+2√3i ，Z 2=7+√3i ，求∠Z 2OZ 1，并判断△OZ 1Z 2的形状．19.如图，AO为圆锥的高，B、C为圆锥底面圆周上两个点，∠OAB=π，6∠BOC=π，AB=4，D是AB的中点．2(1)求该圆锥的全面积；(2)求异面直线AO与CD所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)20.已知复数z0=lg(a2−4a+4)+(a2−3a+2)i(i为虚数单位，a∈R)为纯虚数，z0和b是关于x的方程x2−(3+2i)x+6i=0的两个根．(1)求a，b的值；(2)若复数z满足1≤|z|≤|a+bi|，说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形？并求该图形的面积．21.设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|=m|DA|(m>0且m≠1)，当点A在单位圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．【答案与解析】1.答案：A解析：由CE与AB共面，且与正方体的上底面平行，则与CE相交的平面个数m=4.作FO⊥底面CED，一定有面EOF平行于正方体的左、右侧面，即FE平行于正方体的左、右侧面，所以n=4，m+n=8.故选A．2.答案：B解析：试题分析：考点：复数代数形式的乘除运算点评：本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，注意复数分母实数化，考查计算能力．3.答案：A解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S n=S9−n(n∈N∗且n<9)，∴na1+n(n−1)2d=(9−n)a1+(9−n)(8−n)2d，化为：(9−2n)a1+(36−8n)d=0．n=1时，可得：a1+4d=0.∴a5=0．a1<0时，d>0.a1=0时，d=0.a1>0时，d<0．因此①③④不正确．则正确的结论的个数为1．故选：A．设等差数列{a n}的公差为d，S n=S9−n(n∈N∗且n<9)，利用求和公式可得：a1+4d=0.进而判断出正误．本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：C解析：解：∵全称命题否定是特称命题，∴命题“∀x ∈R ，sinx >1”的否定是：∃x 0∈R ，sinx 0≤1． 故选：C ．通过全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．5.答案：解析：解：设三棱柱高为h ，以A 为坐标原点，建立如图坐标系， 则A(0,0，0)，B(1,√3,0)，C(2,0，0)，D(12,√32,0)，C 1，(2,0，ℎ)，∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，ℎ)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12−2,√32,0)=(−32,√32,0)， 异面直线AC 1与CD 所成角的余弦值是√34，∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 所成角的余弦值的绝对值为√34，∴√34=|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC 1|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ×|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+ℎ2×√94+34，解得ℎ=2√3，∴三棱柱的表面积为：S =2×√34×22+(2+2+2)×2√3=14√3．故填：14√3．设三棱柱的高为h ，建立坐标系后，根据异面直线AC 1与CD 所成角的余弦值是√34，求出h ，即可求出表面积．本题适合用坐标法处理，但是要注意向量夹角与直线夹角的区别，属于基础题．6.答案：√3解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题． 设z =a +bi(a,b ∈R)，代入z 2=−3，由复数相等的条件列式求得a ，b 的值得答案．解：由z +3z =0， 得z 2=−3，设z =a +bi(a,b ∈R)，由z 2=−3，得(a +bi)2=a 2−b 2+2abi =−3，即{a 2−b 2=−32ab =0，解得：{a =0b =±√3． ∴z =±√3i ． 则|z|=√3． 故答案为：√3．7.答案：2解析：试题分析：根据题意结合复数的乘法运算可知，，可知结论为2，答案为2．考点：复数的乘法运算点评：解决的关键是根据复数的乘法运算来得到，属于基础题。
