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2018-2019学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷一.填空题1.已知(0,0)O 、(1,1)A ，则直线OA 的倾斜角为_____ 【答案】4π 【解析】【分析】本题首先可以根据两点坐标求出直线的斜率，然后根据直线的斜率与直线的倾斜角之间的关系即可写出它的倾斜角。
【详解】由题意可知点()()0,01,1O A 、，则直线OA 的斜率为10110k -==-， 令直线的倾斜角为θ，因为tan θk =，所以直线OA 的倾斜角为4π，故答案为4π。
【点睛】本题考查了直线的相关性质，主要考查了直线的斜率与倾斜角的计算问题，考查了推理能力，斜率与倾斜角之间的关系为tan θk =，是基础题。
2.经过点()10P ，，且与y 轴平行的直线方程为_____ 【答案】1x =【解析】【分析】本题首先可以根据直线与y 轴平行得出直线方程的斜率不存在，直线方程为0x x =，然后根据点p 坐标即可得出直线方程的解析式。
【详解】过点()1,0P ，且与y 轴平行的直线方程为1x =，故答案为：1x =．【点睛】本题考查了直线的相关性质，主要考查了直线方程的求法与应用问题，考查与y 轴平行的直线的相关性质，考查推理能力，是基础题．3.抛物线24y x =的准线方程为_____．【答案】1x =-【解析】【分析】本题利用抛物线的标准方程得出抛物线的准线方程。
【详解】由抛物线方程可知，抛物线24y x =的准线方程为：1x =-．故答案：1x =-． 【点睛】本题考查抛物线的相关性质，主要考查抛物线的简单性质的应用，考查抛物线的准线的确定，是基础题。
4.圆心为()1,1C ，半径为1的圆的方程是_____【答案】()()22111x y -+-=【解析】【分析】本题利用圆的标准方程以及题意中给出的圆心坐标和半径即可得出结果。
【详解】圆心为()1,1C ，半径为1的圆的方程是：()()22111x y -+-=． 故答案为：()()22111x y -+-=． 【点睛】本题考查圆的相关性质，主要考查圆的标准方程的求法，根据圆心以及半径即可写出圆的标准方程，是简单题。
2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高二（下）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．半径为1的球的体积为．2．棱长都是2的三棱锥的表面积为．3．已知＝（3，0，2），＝（x，0，4），若∥，则x＝．4．二面角α﹣l﹣β为60°，异面直线a、b分别垂直于α、β，则a与b所成角的大小是．5．直线PA与平面ABC所成角为，则直线PA与平面ABC内的任意一条直线所成角的取值范围是6．已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且，用，，表示，则＝．7．长方体的12条棱的总长度为56m，表面积为112m2，那么长方体的对角线长为m．8．一斜坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是30°，斜坡上有一道直道，它和坡脚水平线成60°角，沿这条直道向上行走100米后升高米．9．侧棱长为2的正三棱锥V﹣ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面AEF，则截面△AEF周长的最小值为．10．圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高是．11．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为．12．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点．点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是・二、选择题13．已知α、β是两个不同平面，m为α内的一条直线，则“m∥β”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．下列四种说法中：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；②相等的线段在直观图中仍然相等；③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥．正确的个数是（）A．0B．1C．2D．315．已知平面α∩β＝l，B，C∈l，A∈α且A∉l，D∈β且D∉l，则下列叙述错误的是（）A．直线AD与BC是异面直线B．直线CD在α上的射影可能与AB平行C．过AD有且只有一个平面与BC平行D．过AD有且只有一个平面与BC垂直16．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1上的动点，且BE＝D1F＝λ．设EF与AB所成的角为α，与BC所成的角为β，则α+β的最小值（）A．不存在B．等于60C．等于90D．等于120三、解答题17．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长AB＝2，若异面直线A1A与B1C所成角的大小为arctan，求正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧面积和体积．18．如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O﹣xyz的原点，半径为1，且球O分别与x、y、z轴的正半轴交于A、B、C三点，已知球面上一点D（0，﹣，）．（1）求证：CD⊥OA；（2）求D、C两点在球O上的球面距离．19．如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知∠ACB＝90°，AA'＝，BC＝AC＝1，O为AB的中点．求：（1）圆柱的全面积和体积；（2）求直线A'C与平面ABB'A'所成的角的大小．20．在三棱锥中P﹣ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O是AC的中点，PO⊥底面ABC．（1）求证：OB⊥平面PAC；（2）当k＝，AB＝2时，求点A到平面PBC的距离；（3）当k为何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？21．如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2．（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣F的正弦值；（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．参考答案一、填空题1．半径为1的球的体积为．解：半径为1的球的体积为：＝．故答案为：．2．棱长都是2的三棱锥的表面积为．解：棱长都是2的三棱锥的各个面都为等边三角形，且等边三角形的边长为2，∴每个面的面积都是×2×2×＝，∴表面积S＝4．故答案为：4．3．已知＝（3，0，2），＝（x，0，4），若∥，则x＝6．解：∵＝（3，0，2），＝（x，0，4），∥，∴，解得x＝6．故答案为：6．4．二面角α﹣l﹣β为60°，异面直线a、b分别垂直于α、β，则a与b所成角的大小是60°．解：根据二面角的定义则线面垂直的性质，∵二面角α﹣l﹣β的平面角为60°，有两条异面直线a，b分别垂直于平面，设异面直线a，b的夹角为θ则θ＝60°．故答案为：60°．5．直线PA与平面ABC所成角为，则直线PA与平面ABC内的任意一条直线所成角的取值范围是[]解：∵一条直线PA与平面ABC成角为，∴根据“最小角定理”，可得这条直线与平面内的直线所成角中最小值为，再根据线线夹角的定义，得到这条直线与平面内的直线所成角中最大值为，这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是[]．故答案为：[]．6．已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且，用，，表示，则＝．解：＝．故答案为：7．长方体的12条棱的总长度为56m，表面积为112m2，那么长方体的对角线长为2m．解：设长方体的长、宽、高分别为：a，b，c，长方体的12条棱的总长度为56m，表面积为112m2，可得4（a+b+c）＝56，2（ab+bc+ac）＝112，可得a+b+c＝14，所以a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝196，所以a2+b2+c2＝84，所以长方体的对角线长为：＝＝2．故答案为：2．8．一斜坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是30°，斜坡上有一道直道，它和坡脚水平线成60°角，沿这条直道向上行走100米后升高米．解：如图，已知CD＝100米，作DH⊥过BC的平面，垂足为H，线段DH的长度就是所求的高度，在平面DBC内，过点D作DG⊥BC，垂足为G，连接GH，∵DH⊥平面BCH，∴DH⊥BC，∵DG⊥BC，DG∩DH＝D，∴GB⊥平面DGH，又GH⊂平面DGH，∴GH⊥BC，∴∠DGH为坡面DGC与水平面BCH所成二面角的平面角，则∠DGH＝30°，依题意，∠DCG＝60°，则米．故答案为：．9．侧棱长为2的正三棱锥V﹣ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面AEF，则截面△AEF周长的最小值为6．解：如图所示：沿着侧棱VA把正三棱锥V﹣ABC展开在一个平面内，如图（2），则AA′即为截面△AEF周长的最小值，且∠AVA′＝3×40＝120°．△VAA′中，由余弦定理可得AA'＝＝＝6，故答案为6．10．圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高是2．解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr＝，r＝1；圆锥的高为：＝2．故答案为：2．11．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为2π．解：设内切球的半径为r，则利用轴截面，根据等面积可得×2×＝×（3+3+2）r，∴r＝，∴该圆锥内切球的表面积为4πr2＝＝2π，故答案为：2π．12．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点．点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是・解：如图，连结D1A，AC，D1C，∵E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，∴AC∥EF，EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，∴EF∥平面ACD1，∵EG∥AD1，EG⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，∴EG∥平面ACD1，∵EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面ACD1，∵D1P∥平面EFG，∴点P在直线AC上，在△ACD1中，AD1＝，AC＝2，CD1＝2，＝＝，∴当D1P⊥AC时，线段D1P的长度最小，最小值为＝．故答案为：．二、选择题13．已知α、β是两个不同平面，m为α内的一条直线，则“m∥β”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：α、β表示两个不同的平面，直线m⊂α，m∥β，不一定得到直线与平面平行，还有一种情况可能是直线和平面相交，需要有另一条和它相交的直线也平行于平面，当两个平面平行时，一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在m∥β∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件故选：B．14．下列四种说法中：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；②相等的线段在直观图中仍然相等；③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥．正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：①根据棱柱的定义知，有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，所以①不正确，②相等的线段在直观图中不一定相等，故②不正确；③一个直角三角形绕其直角边中的一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥．所以③不正确；故选：A．15．已知平面α∩β＝l，B，C∈l，A∈α且A∉l，D∈β且D∉l，则下列叙述错误的是（）A．直线AD与BC是异面直线B．直线CD在α上的射影可能与AB平行C．过AD有且只有一个平面与BC平行D．过AD有且只有一个平面与BC垂直解：对于A，若直线AD与BC是共面直线，设AD与BC共面γ，∵不共线的三点B，C，D均在β与γ内，∴β与γ重合，又不共线的三点A，B，C均在α与γ内，∴α与γ重合，则α与β重合，与α∩β＝l 矛盾，故直线AD与BC是异面直线，A正确；对于B，当AB⊥l，CD⊥l，且二面角α﹣l﹣β为锐二面角时，直线CD在α上的射影与AB平行，B正确；对于C，在AD上任取一点，过该点作BC的平行线l′，则由AD与l′确定一个平面，该平面与BC平行，若过AD另外有平面与BC平行，由直线与平面平行的性质，可得过直线BC外的一点A 有两条直线与BC平行，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，故C正确；对于D，只有当AD与BC异面垂直时，过AD有且只有一个平面与BC，否则，不存在过AD与BC垂直的平面，故D错误．故选：D．16．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1上的动点，且BE＝D1F＝λ．设EF与AB所成的角为α，与BC所成的角为β，则α+β的最小值（）A．不存在B．等于60C．等于90D．等于120解：在AA1上取一点M，使EM∥AB，连接MF，则∠MEF＝α，同理可判断α＝β．在△MFE中，，所以，所以αmin＝45°，因此（α+β）min＝90°．故选：C．三、解答题17．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长AB＝2，若异面直线A1A与B1C所成角的大小为arctan，求正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧面积和体积．解：在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，有A1A∥B1B，则∠BB1C为异面直线A1A与B1C所成角，等于arctan，即tan∠BB1C＝tan（arctan）＝＝＝，得BB1＝4，∴正四棱柱的高为4．∴正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧面积S＝4×2×4＝32，体积V＝2×2×4＝16．18．如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O﹣xyz的原点，半径为1，且球O分别与x、y、z轴的正半轴交于A、B、C三点，已知球面上一点D（0，﹣，）．（1）求证：CD⊥OA；（2）求D、C两点在球O上的球面距离．解：（1）由题得A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），故重心坐标为（），∴平面ABC的法向量为＝（），∵＝（0，﹣，﹣），＝（1，0，0）∴＝0，即CD⊥OA；（2）由题意，cos∠COD＝＝，∴∠COD＝，∴D，C两点在球O上的球面距离为DC＝．19．如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知∠ACB＝90°，AA'＝，BC＝AC＝1，O为AB的中点．求：（1）圆柱的全面积和体积；（2）求直线A'C与平面ABB'A'所成的角的大小．解：（1）∵直三棱柱内接于高为的圆柱中，∠ACB＝90°，AA'＝，BC＝AC＝1，O为AB的中点．∴圆柱的半径r＝AB＝＝，∴圆柱的全面积S＝+＝3π．圆柱的体积为V＝＝．（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC′为z轴，建立空间直角坐标系，A′（1，0，），C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），＝（﹣1，0，﹣），＝（0，0，），＝（﹣1，1，0），设平面ABB'A'的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，0），设直线A'C与平面ABB'A'所成的角为θ，则sinθ＝＝＝，∴直线A'C与平面ABB'A'所成的角的大小为．20．在三棱锥中P﹣ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O是AC的中点，PO⊥底面ABC．（1）求证：OB⊥平面PAC；（2）当k＝，AB＝2时，求点A到平面PBC的距离；（3）当k为何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？【解答】（1）证明：连接OB，因为AB＝BC，点O是AC的中点，所以OB⊥AC，因为PO⊥底面ABC，OB⊂平面ABC，所以PO⊥OB，因为AC∩PO＝O，所以OB⊥平面PAC；（2）解：因为k＝，AB＝2，所以PA＝4，因为BC＝AB＝2，AB⊥BC，所以OA＝OB＝OC＝，所以PO＝＝，PB＝PC＝PA＝4，取BC中点D，连接PD，PD＝＝，设点A到平面PBC的距离为h，因为V P﹣ABC＝V A﹣PBC，所以，解得h＝，所以点A到平面PBC的距离为；（3）建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设PA＝2，则AB＝BC＝2k，因为AB⊥BC，所以OA＝OB＝OC＝k，PO＝，PB＝PC＝PA＝2，P（0，0，），B（k，0，0），C（0，k），△PBC的重心E（，，），＝（（k，0，﹣），＝（，，），因为O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心E，所以•＝0，于是2k2﹣（4﹣2k2）＝0，解得k＝1，所以当k＝1时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心．21．如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2．（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣F的正弦值；（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．【解答】（Ⅰ）证明：依题意，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．设为平面CDE的法向量，则，不妨令z＝﹣1，可得；又，可得．又∵直线MN⊄平面CDE，∴MN∥平面CDE；（Ⅱ）解：依题意，可得，，．设为平面BCE的法向量，则，不妨令z＝1，可得．设为平面BCF的法向量，则，不妨令z＝1，可得．因此有cos＜＞＝，于是sin＜＞＝．∴二面角E﹣BC﹣F的正弦值为；（Ⅲ）解：设线段DP的长为h，（h∈[0，2]），则点P的坐标为（0，0，h），可得，而为平面ADGE的一个法向量，故|cos＜＞|＝．由题意，可得，解得h＝∈[0，2]．∴线段DP的长为．。
2020-2021学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）n→∞n2n+1=___ ．2.（填空题，4分）半径为2的球的表面积为___ ．3.（填空题，4分）抛物线x 2=-4y 的准线方程为___ ．4.（填空题，4分）已知集合A={x|x ＞0}，B={x|x 2≤1}，则A∩B=___ ．5.（填空题，4分）已知复数z 满足z （1-i ）=4（i 为虚数单位），则|z|=___ ．6.（填空题，4分）在△ABC 中，若AB=2，∠B= 5π12 ，∠C= π4 ，则BC=___ ． 7.（填空题，5分）函数f （x ）=1+log 2x （x≥4）的反函数的定义域为___ ．8.（填空题，5分）在（x+ √2 ）7的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为___ ．（用数字作答）9.（填空题，5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE=AF ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ． 10.（填空题，5分）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足 |an+1S n11|=2 ，则数列{a n }的前n 项和为S n 为___ ．11.（填空题，5分）设函数f （x ）=|x-a|- 2x +a ，若关于x 的方程f （x ）=1有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为___ ． 12.（填空题，5分）对于任意的正实数a ，b ，则2√2a+√a 2+9b 25a+3b的取值范围为___ ． 13.（单选题，5分）若a 、b 是实数，则a ＞b 是2a ＞2b 的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.（单选题，5分）若某线性方程组的增广矩阵为 (1282416) ，则该线性方程组的解的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.无数个D.不确定15.（单选题，5分）下列命题中正确的是（ ） A.三点确定一个平面B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥αD.若a 、b 、c 是三条直线，a || b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面 16.（单选题，5分）已知函数 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，则以下4个命题：① f （x ）是偶函数；② f （x ）在[0，+∞）上是增函数； ③ f （x ）的值域为R ；④ 对于任意的正有理数a ，g （x ）=f （x ）-a 存在奇数个零点． 其中正确命题的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.317.（问答题，14分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB=AC=1， ∠BAC =π2，A 1A=4，点M 为线段A 1A 的中点．（1）求直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积；（2）求异面直线BM 与B 1C 1所成的角的大小．（结果用反三角表示）18.（问答题，14分）已知函数 f (x )=sin (ωx +π6) （ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω与f （x ）的单调递增区间；（2）在△ABC 中，若 f (A2)=1 ，求sinB+sinC 的取值范围．19.（问答题，14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前n （n=1，2，3，…，12）个月对某种食材的需求总量S n （公斤）近似地满足S n ={635n (1≤n ≤6)−6n 2+774n −618(7≤n ≤12) ．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量．（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．20.（问答题，16分）已知椭圆C 1： x 24+y 2 =1，F 1、F 2为C 1的左、右焦点．（1）求椭圆C 1的焦距；（2）点Q （ √2 ， √22 ）为椭圆C 1一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆C 1交于两点A 、B ，若△QAB 面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆C 1与双曲线C 2：x 2-y 2=1在第一象限的交点为M （x M ，y M ），椭圆C 1和双曲线C 2上满足|x|≥|x M |的所有点（x ，y ）组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域是D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），则称函数f （x ）在D 上为非减函数．（1）判断f 1（x ）=x 2-4x ，（x∈[1，4]）与f 2（x ）=|x-1|+|x-2|，（x∈[1，4]）是否是非减函数？（2）已知函数g （x ）=2x + a2x−1 在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围．（3）已知函数h （x ）在[0，1]上为非减函数，且满足条件： ① h （0）=0， ② ℎ(x 3)=12h （x ）， ③ h （1-x ）=1-h （x ），求 ℎ(12020) 的值．2020-2021学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）n→∞n2n+1=___ ．【正确答案】：[1] 12 【解析】：由 n 2n+1 = 12+1n，再利用极限运算法则即可得出．【解答】：解： lim n→∞n 2n+1 = lim n→∞12+1n= 12 ， 故答案为： 12 ．【点评】：本题考查了极限运算法则、乘法公式，属于基础题． 2.（填空题，4分）半径为2的球的表面积为___ ． 【正确答案】：[1]16π【解析】：利用球的面积公式，直接求解即可．【解答】：解：球的半径为2，所以球的表面积为：4πr 2=16π 故答案为：16π【点评】：本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题． 3.（填空题，4分）抛物线x 2=-4y 的准线方程为___ ． 【正确答案】：[1]y=1【解析】：由抛物线x 2=-4y 焦点在y 轴的负半轴上，则 p2 =1，即可求得抛物线的准线方程．【解答】：解：抛物线x 2=-4y 焦点在y 轴的负半轴上，则 p 2 =1， ∴抛物线的焦点坐标为（0，-1），准线方程：y=1， 故答案为：y=1．【点评】：本题考查抛物线的方程，考查抛物线的简单几何性质，属于基础题．4.（填空题，4分）已知集合A={x|x＞0}，B={x|x2≤1}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]（0，1]【解析】：可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|x＞0}，B={x|-1≤x≤1}，∴A∩B=（0，1]．故答案为：（0，1]．【点评】：本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．5.（填空题，4分）已知复数z满足z（1-i）=4（i为虚数单位），则|z|=___ ．【正确答案】：[1]2 √2【解析】：直接利用复数的模的运算求出结果．【解答】：解：复数z满足z（1-i）=4，则z=41−i，所以|z|=4|1−i|=√2=2√2．故答案为：2 √2【点评】：本题考查的知识要点：复数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.（填空题，4分）在△ABC中，若AB=2，∠B= 5π12，∠C= π4，则BC=___ ．【正确答案】：[1] √6【解析】：由三角形的内角和即B，C的值，求出A角的值，再由正弦定理可得边BC的值．【解答】：解：A=π−B−C=π−5π12−π4=π3，由正弦定理得ABsinC =BCsinA，所以BC=ABsinAsinC=2sinπ3sinπ4=√6．故答案为：√6．【点评】：本题考查正弦定理的应用，属于基础题．7.（填空题，5分）函数f（x）=1+log2x（x≥4）的反函数的定义域为___ ．【正确答案】：[1][3，+∞）【解析】：直接利用反函数的定义域和值域的关系求出结果．【解答】：解：函数f （x ）=1+log 2x （x≥4）的值域为[3，+∞）， 故其反函数的定义域为[3，+∞）．【点评】：本题考查的知识要点：反函数的定义域与原函数的值域的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.（填空题，5分）在（x+ √2 ）7的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为___ ．（用数字作答） 【正确答案】：[1] 12【解析】：先求出展开式的通项公式，然后根据通项公式判断系数为有理数的情况的个数，再根据古典概率的求法艰苦求解．【解答】：解：因为 (x +√2)7展开式的通项为 T r+1=C 7r x 7−r(√2)r =C 7r 2r2x 7−r，当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数， 而r∈[0，7]（r∈N ），故有r=0，2，4，6满足题意， 所以所求概率 P =48=12 ， 故答案为： 12 ．【点评】：本题考查了二项式定理的简单应用，涉及到古典概率的求法，属于基础题． 9.（填空题，5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE=AF ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ． 【正确答案】：[1][0，1]【解析】：由题意取EF 中点为，然后结合图形的性质和平面向量的运算法则即可求得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【解答】：解：取EF 中点为O ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO 2−OE 2 ， 因为正方形的边长为2，所以 AO =√2，OE ∈[1，√2] ， 所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[0，1] ．故答案为：[0，1]．【点评】：本题主要考查平面向量的运算法则，平面向量的数量积运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．10.（填空题，5分）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足 |an+1S n11|=2 ，则数列{a n }的前n 项和为S n 为___ ． 【正确答案】：[1]S n =2n+1-2【解析】：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，由 |an+1S n11|=2 变形可得a n+1-S n =2，令n=1和n=2可得a 2-S 1=a 2-a 1=2和a 3-S 2=a 3-（a 1+a 2）=2，联立两式可得a 1、q ，由等比数列的前n 项和公式可得答案．【解答】：解：根据题意，数列{a n }为等比数列，设等比数列{a n }的公比为q ， 数列{a n }满足 |a n+1S n11|=2 ，则有a n+1-S n =2， 当n=1时，有a 2-S 1=a 2-a 1=2，即a 1q-a 1=2 ①当n=2时，有a 3-S 2=a 3-（a 1+a 2）=2，即a 1q 2-（a 1+a 1q ）=2 ② 联立 ① ② 可得：a 1=2，q=2， 则数列{a n }的前n 项和为S n = a 1(1−q n )1−q =2n+1-2，故答案为：S n =2n+1-2．【点评】：本题考查等比数列的前n 项和，涉及数列的递推公式的应用，属于基础题． 11.（填空题，5分）设函数f （x ）=|x-a|- 2x +a ，若关于x 的方程f （x ）=1有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为___ ． 【正确答案】：[1] {1−2√22，1+2√22，2} 【解析】：由题意，转化为两个函数问题，即设 ℎ(x )=|x −a |+a ，g (x )=2x +1 ，作出图，即可求解实数a 的取值构成的集合．【解答】：解：由方程f （x ）=1，得 |x −a |+a =2x +1 有两个不同的解， 令 ℎ(x )=|x −a |+a ，g (x )=2x +1 ， 则h （x ）=|x-a|+a 的顶点（a ，a ）在y=x 上，而y=x 与 g (x )=2x +1 的交点坐标为（2，2），（-1，-1），联立 {y =−x +2a y =2x +1 得x 2+（1-2a ）x+2=0，由Δ=（1-2a ）2-8=0，解得 a =1−2√22 或 1+2√22， 作出图象，数形结合，要使得 |x −a |+a =2x +1 有两个不同的解， 则实数a 的取值范围是 a =1−2√22 或 1+2√22或2．故答案为 {1−2√22，1+2√22，2} ．【点评】：本题考查了方程有实根问题转化为有交点问题，数形结合思想，和作图的能力，属于中档题． 12.（填空题，5分）对于任意的正实数a ，b ，则2√2a+√a 2+9b 25a+3b的取值范围为___ ．【正确答案】：[1] [√22，1)【解析】：首先利用直线和曲线的位置关系，求出直线的斜率的最小值，进一步求出结果．【解答】：解： 2√2a+√a 2+9b 25a+3b =2√2+√1+9(b a)25+3⋅b a，故可看作 A (3×ba，√1+9(b a)2) 与 B(−5，−2√2) 两点的斜率，其中点A 在y 2-x 2=1（x ＞0，y ＞0）上，故k AB 最小值在相切时取得， 设 y +2√2=k (x +5) ，联立 {y +2√2=k (x +5)y 2−x 2=1，消去y ，可得（k 2-1）x 2+2k （5k-2 √2 ）x+（5k-2 √2 ）2-1=0， 由Δ=26k 2-20 √2 k+7=0，解得 k 1=√22，k 2=713√2 （舍）当 ba →+∞时， k AB =2√2+√1+9(b a)25+3×b a →1，故 2√2a+√a 2+9b 25a+3b 的取值范围是 [√22，1) ． 故答案为： [√22，1) ．【点评】：本题考查的知识要点：基本不等式，关系式的变换，极限的求法，属于中档题．13.（单选题，5分）若a、b是实数，则a＞b是2a＞2b的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：C【解析】：根据题意，结合指数函数的性质，分析可得若a＞b，必有2a＞2b，反之若2a＞2b，必有a＞b，由充分必要条件的定义即可得答案．【解答】：解：根据题意，因为y=2x是增函数，若a＞b，必有2a＞2b，反之若2a＞2b，必有a＞b，则a＞b是2a＞2b的充要条件，故选：C．【点评】：本题考查充分必要条件的判断，涉及指数函数的性质，属于基础题．)，则该线性方程组的解的个数14.（单选题，5分）若某线性方程组的增广矩阵为(1282416为（）A.0个B.1个C.无数个D.不确定【正确答案】：C【解析】：首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y即可．【解答】：解：该线性方程组可化为方程x+2y=8，故有无数组解；故选：C．【点评】：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的含义，计算量小，属于较容易的题型．15.（单选题，5分）下列命题中正确的是（）A.三点确定一个平面B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥αD.若a 、b 、c 是三条直线，a || b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面 【正确答案】：D【解析】：利用平面的基本性质及推论可知A ，B 错误，D 正确，再利用直线与平面垂直的判定定理可知选项C 错误．【解答】：解：对于选项A ：不共线的三点确定一个平面，故A 错误， 对于选项B ：由墙角模型可知，显然B 错误，对于选项C ：根据线面垂直的判定定理，若直线l 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l 与平面α垂直，若直线l 与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l 与平面α不垂直，故C 错误，对于选项D ：因为a || b ，所以a 与b 唯一确定一个平面，设为平面α，又c 与a 和b 都相交，所以c 也在平面α内，即直线a 、b 、c 共面，故选项D 正确， 故选：D ．【点评】：本题主要考查了平面的基本性质及推论，考查了空间中线与线的位置关系，是基础题．16.（单选题，5分）已知函数 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，则以下4个命题：① f （x ）是偶函数；② f （x ）在[0，+∞）上是增函数； ③ f （x ）的值域为R ；④ 对于任意的正有理数a ，g （x ）=f （x ）-a 存在奇数个零点． 其中正确命题的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3【正确答案】：B【解析】： ① 由偶函数的定义，举例即可判断； ② 举例即可判断； ③ F （x ）的值域中不含负无理数，故可判断； ④ 根据函数零点即是方程的解，观察解的个数即可判断．【解答】：解： ① 因为 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，所以f （1）=1，f （-1）=-1，所以f （x ）不是偶函数，故错误；② 因为f （3）=3＜f （ √5 ）=5，所以f （x ）在[0，+∞）不是增函数，故错误； ③ 因为 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，显然F （x ）的值域中不含负无理数，故f （x ）的值域不为R ，故错误；④ g （x ）=f （x ）-a 的零点即x=a ，x 为有理数或x 2=a ，x 为无理数， 对于x=a ，x 为有理数，必有解x=a ，对于x 2=a ，x 为无理数，必有解x=± √a 或无解， 故g （x ）=f （x ）-a 有三个零点或一个，故正确； 故选：B ．【点评】：本题主要考查了特殊函数的性质的理解和运用，函数的奇偶性和周期性，属于中档题．17.（问答题，14分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB=AC=1， ∠BAC =π2 ，A 1A=4，点M 为线段A 1A 的中点．（1）求直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积；（2）求异面直线BM 与B 1C 1所成的角的大小．（结果用反三角表示）【正确答案】：【解析】：（1）由V=S △ABC •A 1A ，即可得解；（2）易知∠MBC 或其补角即为所求，再在△MBC 中，由余弦定理求得cos∠MBC 的值，即可．【解答】：解：（1）∵ S △ABC =12×1×1=12 ， ∴V=S △ABC •A 1A= 12 ×4=2． （2）∵BC || B 1C 1，∴∠MBC 或其补角是异面直线BM 与B 1C 1所成的角， 在△MBC 中，BM=CM= √5 ，BC= √2 ，由余弦定理得，cos∠MBC= BM 2+BC2−CM22BM•BC= √1010，∴∠MBC=arccos √1010，故异面直线BM与B1C1所成的角为arccos√1010．【点评】：本题考查棱柱的体积、异面直线夹角的求法，利用平移的思想找出异面直线的夹角是解题的额关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．18.（问答题，14分）已知函数f(x)=sin(ωx+π6)（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω与f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，若f(A2)=1，求sinB+sinC的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由函数的最小正周期可得ω的值，进而求出函数的单调递增区间；（2）由（1）及f（A2）=1可得A的值，由三角形的内角和为π及A的值可得B用C的角表示，再由B的范围，求出sinB+sinC的取值范围范围．【解答】：解：（1）因为f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)的最小正周期为π，所以T=2πω=π，所以ω=2，f（x）=sin（2x+ π6），令2kπ- π2≤2x+ π6≤2kπ+ π2，k∈Z，解得：kπ- π3≤x≤kπ+ π6，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间是[kπ- π3，kπ+ π6]，k∈Z．（2）在△ABC中，若f(A2)=1，由（1）得，f(x)=sin(2x+π6)，所以sin(A+π6)=1因为0＜A＜π，所以A+π6=π2，解得：A= π3，即sinB+sinC=sinB+sin(2π3−B)=32sinB+√32cosB=√3sin(B+π6)，因为0＜B＜2π3，所以π6＜B+π6＜5π6；所以12＜sin(B+π6)≤1，√32＜√3sin(B+π6)≤√3，所以sinB+sinC 的取值范围 (√32，√3] ．【点评】：本题考查三角函数的性质，三角形的角的求法，属于中档题．19.（问答题，14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前n （n=1，2，3，…，12）个月对某种食材的需求总量S n （公斤）近似地满足S n ={635n (1≤n ≤6)−6n 2+774n −618(7≤n ≤12) ．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量．（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）当1≤n≤6时，每月食材显然都够用，当n=7时，因为646×7-S 7=16＞0，第7个月该食材够用，所以，前7个月每月该食材都够用．（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式pn≥S n 对n=1，2，…，12恒成立，分两种情况，分别求出p 的最小值，再取较大者即可求出结果．【解答】：解：（1）当1≤n≤6时，每月需求量635公斤，每月进货646公斤，1到6月都够用，当n=7时，因为646×7-S 7=646×7-（-6×49+774×7-618）=16＞0，第7个月该食材够用， 所以，前7个月每月该食材都够用．（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式pn≥S n 对n=1，2，…，12恒成立， ① 当1≤n≤6时，pn≥635n 恒成立，可得p≥635，② 当7≤n≤12时，pn≥-6n 2+774n-618恒成立，即 p ≥774−6(n +103n) 恒成立， 因为774-6（n+ 103n） ≤774−6×2√n •103n≈652.2，当且仅当n=103n，即n= √103 ≈10.15时，等号成立，又因为n∈N *，且n≤12，所以当n=10时， 774−6(n +103n) 的最大值为652.2，综上所述，p≥652.2，所以为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．【点评】：本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题． 20.（问答题，16分）已知椭圆C 1： x 24+y 2 =1，F 1、F 2为C 1的左、右焦点． （1）求椭圆C 1的焦距；（2）点Q （ √2 ， √22）为椭圆C 1一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆C 1交于两点A 、B ，若△QAB 面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆C 1与双曲线C 2：x 2-y 2=1在第一象限的交点为M （x M ，y M ），椭圆C 1和双曲线C 2上满足|x|≥|x M |的所有点（x ，y ）组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求得椭圆的a ，b ，c ，可得焦距2c ；（2）设 l ：y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，三角形的面积公式，解方程可得m ，进而得到直线方程；（3）求得M 的坐标，设N （x ，y ）是曲线C 上一点，运用向量的坐标运算，可得 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3 ，分别讨论M 在椭圆上和双曲线上，化简整理可得所求范围．【解答】：解：（1）由椭圆C 1： x 24+y 2 =1， 可得a=2，b=1，c= √a 2−b 2 = √3 ， 则椭圆C 1的焦距为 2c =2√3 ；（2）由k OQ = 12 ，设 l ：y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4得x 2+2mx+2m 2-2=0， 由Δ=4m 2-8（m 2-1）=8-4m 2＞0，得 |m |＜√2 ， x A +x B =-2m ，x A x B =2m 2-2，所以|AB|= √1+14 • √(−2m )2−4(2m 2−2) = √5 • √2−m 2 ， 又Q 到直线l 的距离为 d =√52由 S △QAB =12d |AB |=|m |√2−m 2=1，m =±1 ，所以 l ：y =12x ±1 ；（3）由 { x 2+4y 2=4 x 2−y 2=1 ，解得 {x M =2√105 y M =√155 ，设N （x ，y ）是曲线C 上一点，则 F 1(−√3 ， 0) ， F 2(√3 ， 0) ， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3−x ， −y) ， NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3−x ， −y) ， 所以 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3 ；当点N 在曲线x 2+4y 2=4（|x|≥|x M |）上时， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1−3y 2 ， 当 y =√155时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−45 ，当y=0时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )max =1 ，所以 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， 1] ；当点N 在曲线x 2-y 2=1（|x|≥|x M |）上时， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y 2−2 ； 当 y =√155时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−45， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， +∞) ；综上， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， +∞) ．【点评】：本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域是D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），则称函数f （x ）在D 上为非减函数．（1）判断f 1（x ）=x 2-4x ，（x∈[1，4]）与f 2（x ）=|x-1|+|x-2|，（x∈[1，4]）是否是非减函数？（2）已知函数g （x ）=2x + a2x−1 在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围．（3）已知函数h （x ）在[0，1]上为非减函数，且满足条件： ① h （0）=0， ② ℎ(x3)=12 h （x ）， ③ h （1-x ）=1-h （x ），求 ℎ(12020) 的值．【正确答案】：【解析】：（1）结合非减函数的定义，即可得出答案．（2）根非减函数的定义，推出2≤x 1＜x 2≤4，则g （x 1）-g （x 2）≤0恒成立，即可得a 的取值范围．（3）由h（1）+h（0）=1，推出h（1）=1，h（13）=h（23）= 12，根据题意可得12≤h（x）≤ 12，推出∀x∈[ 13，23]，h（x）≡ 12，再结合由② 推出，h（12020）= 12h（32020）=…= 164h（7292020）的值．【解答】：解：（1）f1（x）不是，f2（x）是．因为f1（1）＞f1（2），则f1（x）不是[1，4]上的非减函数，f2（x）= {1，1≤x≤2 2，2＜x≤4，∀x1，x2∈[1，2]，且设1≤x1＜x2≤2，则f2（x1）=f2（x2），显然满足f2（x1）≤f2（x2），∀x1，x2∈（2，4]，且设2＜x1＜x2≤4，则f2（x1）=2x1-3＜2x2-3=f2（x2），显然满足f2（x1）≤f2（x2），∀x1∈[1，2]，∀x2∈（2，4]，则f2（x1）=1，f2（x2）=2x2-3＞1，显然满足f2（x1）≤f2（x2），综上所述，f2（x）是[1，4]上的非减函数．（2）∀x1，x2∈[2，4]，设2≤x1＜x2≤4，则g（x1）-g（x2）≤0，g（x1）-g（x2）=2 x1 + 2a2x1 -（2 x2 + 2a2x2）=2 x1 -2 x2 +（2a2x1 - 2a2x2）=2 x1 -2 x2 + 2a2x12x2（2 x2 -2 x1）=（2 x1 -2 x2）（1- 2a2x12x2）≤0，则∀x1，x2∈（2，4]，设2≤x1＜x2≤4，不等式1- 2a2x12x2≥0恒成立，即2a≤2 x1 2 x2，则a≤8．（3）h（1）+h（0）=1，所以h（1）=1，所以h（13）= 12h（1）= 12，h（23）=1-h（13）= 12，得出h（13）=h（23）= 12，∀x∈（13，23），因为函数h（x）在[0，1]上为非减函数，所以h（13）≤h（x）≤h（23），所以12≤h（x）≤ 12，得到∀x∈[ 13，23]，h（x）≡ 12，由② h（x3）= 12h（x）知，h（x）= 12h（3x），h（12020）= 12h（32020）=…= 164h（7292020），所以h（12020）= 1128．【点评】：本题考查函数的非减函数的定义，函数的单调性，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．。
2015-2016学年某某市浦东新区高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是．4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z=．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是．9．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值=．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是米．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值X围是．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的X围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π） D．[0，π]14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣116．对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0，y0）在抛物线的内部．若点M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y=2（x+x0）与曲线C （）A．恰有一个公共点B．恰有2个公共点C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D．没有公共点三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．18．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．19．已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．20．已知F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|=d．（1）证明：b2=ad；（2）若M的坐标为（，1），求椭圆C的方程．21．已知双曲线C1：．（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当•=3时，某某数m 的值．2015-2016学年某某市浦东新区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则抛物线x2=﹣8y的准线方程即可得到．【解答】解：由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则有抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2．故答案为：y=2．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出．【解答】解：由ax+y+1=0得y=﹣ax﹣1，直线3x﹣y﹣2=0得到y=3x﹣2，又直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，∴﹣a•3=﹣1，∴a=，故答案为：3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是y=±x ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的标准方程，结合双曲线渐近线的方程进行求解即可．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|= 10 ．【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的模的平方等于复数的模的乘积，直接计算即可．【解答】解：复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=|3+i||3+i|==10．故答案为：10．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y+3）2=29 ．【考点】圆的标准方程．【分析】由点A和点B的坐标，利用中点坐标公式求出线段AB的中点C的坐标，因为线段AB为所求圆的直径，所以求出的中点C的坐标即为圆心坐标，然后由圆心C的坐标和点A 的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的长即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，﹣3），即圆心的坐标为C（1，﹣3）；，故所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．故答案为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z= 3+5i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】等式两边同乘2+i，然后化简，即可求出复数z．【解答】解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故答案为：3+5i．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．【考点】椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的顶点和焦点坐标，可得椭圆C的焦点和顶点坐标，从而可得椭圆C 的方程【解答】解：双曲线的顶点和焦点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∵椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，∴椭圆C的焦点和顶点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∴a=3，c=∴∴椭圆C的方程是故答案为：8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是x2+y2﹣3x+2=0 ．【考点】轨迹方程；中点坐标公式．【分析】设出中点坐标，利用中点坐标公式求出与之有关的圆上的动点坐标，将圆上的动点坐标代入圆的方程，求出中点轨迹方程．【解答】解：设中点坐标为（x，y），则圆上的动点坐标为（2x﹣3，2y）所以（2x﹣3）2+（2y）2=1即x2+y2﹣3x+2=0故答案为：x2+y2﹣3x+2=09．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值= 10 ．【考点】复数求模．【分析】由复数模的几何意义可得复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，由此可得|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径 5．【解答】解：由|z+3i|=5，所以复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，所以|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径5，点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离： =5．|z+4|的最大值：5+5=10故答案为：10．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是 1 ．【考点】双曲线的应用；双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=x，|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x﹣y的值，再根据∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，进而根据2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，进而可求得△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）根据双曲线性质可知x﹣y=4，∵∠F1PF2=90°，∴x2+y2=20∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4∴xy=2∴△F1PF2的面积为xy=1故答案为：1．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是4米．【考点】双曲线的标准方程．【分析】以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，由此能求出当水面上升米后，水面的宽度．【解答】解：以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，当水面上升米后，y=﹣2+=﹣，x2=（﹣8）•（﹣）=12．解得x=2，或x=﹣2，∴水面宽为4（米）．故答案为：4．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值X围是（﹣∞，1）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出圆的圆心，由题意圆心在直线上，求出a，b的关系，然后确定a﹣b的X围．【解答】解：圆的方程变为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，∴其圆心为（﹣1，2），且5﹣a＞0，即a＜5．又圆关于直线y=2x+b成轴对称，∴2=﹣2+b，∴b=4．∴a﹣b=a﹣4＜1．故答案为：（﹣∞，1）二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的X围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π） D．[0，π]【考点】直线的倾斜角．【分析】根据直线倾斜角的定义判断即可．【解答】解：直线倾斜角的X围是：[0，π），故选：C．14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数）成立是定值．若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B．15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣1【考点】复数相等的充要条件．【分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项【解答】解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0∴，解得b=﹣2，c=3故选B16．对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0，y0）在抛物线的内部．若点M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y=2（x+x0）与曲线C （）A．恰有一个公共点B．恰有2个公共点C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D．没有公共点【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把直线与抛物线方程联立消去y，进而根据y02＜4x0判断出判别式小于0进而判定直线与抛物线无交点．【解答】解：由y2=4x与y0y=2（x+x0）联立，消去x，得y2﹣2y0y+4x0=0，∴△=4y02﹣4×4x0=4（y02﹣4x0）．∵y02＜4x0，∴△＜0，直线和抛物线无公共点．故选D三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】设直线l的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．利用l 与两坐标轴围成的三角形的面积为24，可得=24，解得m即可．【解答】解：设直线l的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．∵l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴=24，解得m=±24．∴直线l的方程为3x+4y±24=0．18．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．【考点】复数的基本概念；复数求模．【分析】设出复数z，|z|=1可得一个方程，化简（3+4i）•z是纯虚数，又得到一个方程，求得z，然后求．【解答】解：设z=a+bi，（a，b∈R），由|z|=1得；（3+4i）•z=（3+4i）（a+bi）=3a﹣4b+（4a+3b）i是纯虚数，则3a﹣4b=0，，．19．已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．【分析】由圆心在直线x﹣3y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，然后过圆心作出弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为弦的中点，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y=x的距离d，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心为（3t，t），半径为r=|3t|，则圆心到直线y=x的距离d==|t|，由勾股定理及垂径定理得：（）2=r2﹣d2，即9t2﹣2t2=7，解得：t=±1，∴圆心坐标为（3，1），半径为3；圆心坐标为（﹣3，﹣1），半径为3，则（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．20．已知F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|=d．（1）证明：b2=ad；（2）若M的坐标为（，1），求椭圆C的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）x=c代入椭圆方程求得y，进而求得d，可知d×a=b2，原式得证；（2）由M坐标可得c，再把M再把代入椭圆方程求得a和b的关系，结合隐含条件得到a 和b的方程组，求得a，b，则椭圆的方程可求．【解答】（1）证明：把x=c代入椭圆方程： +=1，得，则d=|y|=，∴d×a=b2，即b2=ad；（2）解：∵M的坐标为（，1），∴c=，则，解得b2=2，a2=4．故椭圆的方程为．21．已知双曲线C1：．（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当•=3时，某某数m 的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．【分析】（1）先确定双曲线C1：的焦点坐标，根据双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，），建立方程组，从而可求双曲线C2的标准方程；（2）直线方程与双曲线C1的两条渐近线联立，求出A、B两点的坐标用坐标，利用数量积，即可求得实数m的值．【解答】解：（1）∵双曲线C1：，∴焦点坐标为（，0），（，0）设双曲线C2的标准方程为（a＞0，b＞0），∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）∴，解得∴双曲线C2的标准方程为（2）双曲线C1的两条渐近线为y=2x，y=﹣2x由，可得x=m，y=2m，∴A（m，2m）由，可得x=﹣m，y=m，∴B（﹣m， m）∴∵∴m2=3∴。
2020-2021学年上海市浦东新区高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.抛物线y2=12x的准线与双曲线x24−y212=1的两条渐近线围成的三角形的面积为()A. 6B. 6√3C. 9D. 9√32.阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为6√2π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为()A. x236+y22=1 B. x218+y216=1 C. x212+y26=1 D. x29+y28=13.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点按逆时针排列顺序依次为A，B，C，D，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为()A. 3−√52B. 3+√58C. √5−12D. 1+√584.已知双曲线mx2−ny2=1(m>0,n>0)的离心率为2，则mn的值为()A. √33B. √3 C. 3 D. 13二、单空题（本大题共11小题，共33.0分）5.设i是虚数单位，则复数i−1+i的虚部是______．6.已知复数z1满足(z1−2)(1+i)=1−i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1⋅z2是实数．则z2=______．7.若复数z=a−2+ai(a∈R)为纯虚数，则|a+i|=______ ．8.设点P在直线y=2x+1上运动，过点P作圆C：(x−2)2+y2=1的切线，切点为A，则△CAP面积的最小值是______．9.若a1−i=1−bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则a+b=______．10.若复数(1+ai)2(i为虚数单位，a∈R)是纯虚数，则复数的模是______ ．11.已知动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程是．12.已知圆x2+y2−6x−7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切，则p=__________．13.设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为________程序框图如图所示，若，输入，则输出结果为______________已知，则=__________________已知双曲线G：与抛物线H：在第一象限相交于点A，且有相同的焦点F，轴，则双曲线G的离心率是．14.能说明“若m(n+2)≠0，则方程x2m +y2n+2=1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值是______．15.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则p的值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共55.0分）16.已知点A(2,3)，B(−5,2)，若直线l过点P(−1,6)，且与线段AB不相交，求直线l的斜率的取值范围．17.已知ω=z+i(i∈C)，z−2是纯虚数，又|ω+1|2+|ω−1|2=16，求ω．z+218..已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为，右焦点，双曲线的实轴为，为双曲线上一点(不同于)，直线，分别与直线交于两点(1)求双曲线的方程；(2)是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由。
2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高二（下）期末数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，0分）不等式 2−x x+3 ＞0的解集为___ ．2.（填空题，0分） lim n→∞ 5+3n+14+3n=___ ． 3.（填空题，0分）设m 是常数，若点F （0，5）是双曲线 y 2m −x 29=1 的一个焦点，则m=___ ． 4.（填空题，0分）直线3x+2y+5=0的一个法向量为（a ，a-2），则实数a=___ ．5.（填空题，0分）已知e ix =cosx+isinx ，则e 2022i 对应的点位于复平面的第 ___ 象限．6.（填空题，0分）空间一线段AB ，若其主视图、左视图、俯视图的长度均为 √2 ，则线段AB 的长度为 ___ ．7.（填空题，0分）若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是___ ．8.（填空题，0分）若直线mx+2ny-4=0（m ，n∈R ）始终平分圆x 2+y 2-4x-2y=0的周长，则mn 的取值范围是 ___ ．9.（填空题，0分）已知（x+ 2x 2 ）n 展开式中的常数项是第五项，则系数最大项为第 ___ 项．10.（填空题，0分）从7张印有数字0、1、2、3、4、5、6的卡片中取出4张（数字6的卡片可以倒过来9用），可以组成 ___ 个无重复数字的被4整除的四位数．11.（填空题，0分）已知集合U={1，2，3，4，5}，集合X 1、X 2、…、X n 为集合U 的所有子集，从这些子集中任取两个不同的集合X i 、X j ，则X i ∩X j 中恰有三个元素的概率为 ___ ．12.（填空题，0分）若不等式λ2sin 2B-9sinBsinC+sinAsinC ＞0对于任意△ABC 恒成立，则|λ|的最小值为 ___ ．13.（单选题，0分）“x ＞1”是“ 1x ＜1”的（ ）条件．A.充分不必要B.必要不充分C.充要条件D.既不充分也不必要14.（单选题，0分）空间中有四点A ，B ，C ，D ，其中 AB⃗⃗⃗⃗⃗ =（2m ，m ，2）， CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（m ，m+1，-5），且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（5， 133 ，-3），则直线AB 和CD （ ） A.平行B.异面C.必定相交D.必定垂直15.（单选题，0分）一段时间内没有大规模集体流感的标志为“连续10天，每天新增病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增病例数据，一定符合该标志的是（）A.甲地：总体均值为3，中位数为4B.乙地：总体均值为1，总体方差大于0C.丙地：中位数为2，众数为3D.丁地：总体均值为2，总体方差为316.（单选题，0分）双曲线x23-y2=1绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题，其中真命题的个数为（）① f（x）是奇函数；② f（x）的图象过点（√32，32）或（√32，- 32）；③ f（x）的值域是（-∞，- 32]∪[ 32，+∞）；④ 函数y=f（x）-x有两个零点．A.4个B.3个C.2个D.1个17.（问答题，0分）已知四棱锥P-ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E、F分别为AB、CD的中点，PE⊥平面ABCD，若PF与平面ABCD所成角为45°．（1）求四棱锥P-ABCD的体积；（2）求二面角P-BC-D的大小．18.（问答题，0分）已知函数f （x ）= √3 sinωx+cosωx ．（1）当f （- π3 ）=0，且|ω|＜1，求ω的值；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a= √3 ，b+c=3，当ω=2，f （A ）=1时，求bc 的值．19.（问答题，0分）无穷数列{a n }满足：a n+1a n +3a n+1+a n +4=0且a 1≠-2．（1）求证：{ 1a n +2 }为等差数列； （2）若a 2021为数列{a n }中的最小项，求a 1的取值范围．20.（问答题，0分）已知函数f （x ）=x 2-（a-2）x+a-3．（1）若f （a+1）=f （2a ），求a 的值；（2）若函数y=f （x ）在x∈[2，3]的最小值为5-a ，求实数a 的取值范围；（3）是否存在整数m 、n 使得关于x 的不等式m≤f （x ）≤n 的解集恰为[m ，n]？若存在，请求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由．21.（问答题，0分）已知椭圆Γ： x 2a 2 +y 2b 2 =1（a ＞b ＞0），F 1、F 2分别为其左、右焦点．（1）若T 为椭圆上一点，△TF 1F 2面积最大值为4 √3 ，且此时△TF 1F 2为等边三角形，求椭圆的方程；（2）若椭圆焦距长为短轴长的 √2 倍，点P 的坐标为（2a ， √2 a-b ），Q 为椭圆上一点，当|PQ|+|QF 1|最大时，求点Q 的坐标；（3）若A 为椭圆Γ上除顶点外的任意一点，直线AO 交椭圆于B ，直线AF 1交椭圆于C ，直线BF 1交椭圆于D ，若 AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λF 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = μF 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ+μ．（用a 、b 代数式表示）2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，0分）不等式2−xx+3＞0的解集为___ ．【正确答案】：[1]（-3，2）【解析】：把不等式2−xx+3＞0化为等价的不等式组{2−x＞0x+3＞0，或{2−x＜0x+3＜0，求出解集即可．【解答】：解：不等式2−xx+3＞0可化为{2−x＞0x+3＞0，或{2−x＜0x+3＜0，解得-3＜x＜2，或∅；∴不等式的解集为（-3，2）．故答案为：（-3，2）．【点评】：本题考查了不等式的解法与应用问题，解题时应把不等式2−xx+3＞0化为等价的不等式（组），求出解集即可，是基础题．2.（填空题，0分）limn→∞5+3n+14+3n=___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：利用数列极限的运算法则求解即可．【解答】：解：limn→∞5+3n+14+3n= limn→∞53n+343n+1=3，故答案为：3．【点评】：本题考查数列极限的运算法则的应用，是基础题．3.（填空题，0分）设m是常数，若点F（0，5）是双曲线y2m −x29=1的一个焦点，则m=___ ．【正确答案】：[1]16【解析】：根据双曲线的焦点坐标判断双曲线的焦点位置是解决本题的关键，利用双曲线标准方程中的分母与焦点非零坐标的关系，列出关于m的方程，通过解方程求出m的值．【解答】：解：由于点F（0，5）是双曲线y 2m −x29=1的一个焦点，故该双曲线的焦点在y轴上，从而m＞0．从而得出m+9=25，解得m=16．故答案为：16．【点评】：本题考查双曲线标准方程中的分母几何意义的认识，考查双曲线焦点位置与方程的关系、考查学生对双曲线中a，b，c关系式的理解和掌握程度，考查学生的方程思想和运算能力，属于基本题型．4.（填空题，0分）直线3x+2y+5=0的一个法向量为（a，a-2），则实数a=___ ．【正确答案】：[1]6【解析】：先求出直线的方向向量，然后利用法向量与方向向量垂直，由向量垂直的坐标表示列出关于a的方程，求解即可．【解答】：解：因为直线3x+2y+5=0的一个法向量为（a，a-2），又直线3x+2y+5=0的一个方向向量为（-2，3），所以-2a+3（a-2）=0，解得a=6．故答案为：6．【点评】：本题考查了空间向量的理解与应用，空间向量垂直的坐标表示，直线的方向向量与直线的法向量的理解与应用，考查了运算能力与逻辑推理能力，属于基础题．5.（填空题，0分）已知e ix=cosx+isinx，则e2022i对应的点位于复平面的第 ___ 象限．【正确答案】：[1]四【解析】：由题意，表示出e2022i对应的点的坐标，然后确定e2022i对应的点所在的象限即可．【解答】：解：因为e ix=cosx+isinx，所以e2022i=cos2022+isin2022对应的点的坐标为（cos2022，sin2022），因为2022÷2π≈320•••1.9π，所以cos2022＞0，sin2022＜0，所以e2022i对应的点位于复平面的第四象限．故答案为：四．【点评】：本题考查了复数的新定义和复数的几何意义，属于基础题．6.（填空题，0分）空间一线段AB，若其主视图、左视图、俯视图的长度均为√2，则线段AB的长度为 ___ ．【正确答案】：[1] √3【解析】：根据三视图得出，正方体的体对角线，符合题意，根据图形求解即可．【解答】：解：∵空间一线段AB，若其主视图、左视图、俯视图的长度均为√2，∴把它放到正方体中研究得出：可判断出正方体的棱长为1，体对角线为√3，∴线段AB为√3故答案为：√3．【点评】：本题考查了简单几何体的三视图的知识，构建常见的几何体，镶嵌其中即可，属于中档题，需要很好的空间思维能力．7.（填空题，0分）若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是___ ．【正确答案】：[1]30°【解析】：根据圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l=2R，进而解母线与底面所成角，然后求解母线与轴所成角即可．【解答】：解：设圆锥的底面半径为R，母线长为l，则：其底面积：S底面积=πR2，2πRl=πRl，其侧面积：S侧面积= 12∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍，∴l=2R，故该圆锥的母线与底面所成的角θ有，cosθ= Rl = 12，∴θ=60°，母线与轴所成角的大小是：30°．故答案为：30°．【点评】：本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的底面积公式和侧面积公式，是解答的关键．8.（填空题，0分）若直线mx+2ny-4=0（m，n∈R）始终平分圆x2+y2-4x-2y=0的周长，则mn的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1]（-∞，1]【解析】：由圆的方程求得圆心坐标，把圆心坐标代入直线方程，可得m+n=2，再由不等式的性质求解mn的取值范围．【解答】：解：圆x2+y2-4x-2y=0化为（x-2）2+（y-1）2=5，可得圆心坐标为（2，1），∵直线mx+2ny-4=0（m，n∈R）始终平分圆x2+y2-4x-2y=0的周长，∴直线过圆心，则2m+2n=4，即m+n=2．又m，n∈R，∴mn≤ (m+n2)2=1，即mn的取值范围是（-∞，1]．故答案为：（-∞，1]．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系，考查不等式性质的应用，是基础题．9.（填空题，0分）已知（x+ 2x2）n展开式中的常数项是第五项，则系数最大项为第 ___ 项．【正确答案】：[1]9【解析】：由题意利用二项展开式的通项公式，先求得n的值，可得系数最大项．【解答】：解：∵（x+ 2x2）n展开式中的通向公式为 T r+1= C n r•2r•x n-3r，令n-3r=0，求得n=3r，∵常数项是第五项，即r=4，可得n=12，则通向公式为 T r+1= C12r•2r•x12-3r，故第r+1项的系数为C12r•2r，检验可得，当r=8时，第r+1项的系数C12r•2r最大，故答案为：9．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．10.（填空题，0分）从7张印有数字0、1、2、3、4、5、6的卡片中取出4张（数字6的卡片可以倒过来9用），可以组成 ___ 个无重复数字的被4整除的四位数．【正确答案】：[1]256【解析】：根据题意，按四位数的后两位数字分3种情况讨论，求出每种情况下四位数的数目，由加法原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意，分3种情况讨论：① 四位数的后两位数字为04、20、40、60，有（20+8）×3=84个符合题意的四位数； ② 四位数的后两位数字为12、24、32、52，有（5+12+6）×4=92个符合题意的四位数； ③ 四位数的后两位数字为16、36、56、64、92，有（4+12）×5=80个符合题意的四位数； 则共有84+92+80=276个符合题意的四位数；故答案为：256．【点评】：本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．11.（填空题，0分）已知集合U={1，2，3，4，5}，集合X 1、X 2、…、X n 为集合U 的所有子集，从这些子集中任取两个不同的集合X i 、X j ，则X i ∩X j 中恰有三个元素的概率为 ___ ．【正确答案】：[1] 562【解析】：求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．【解答】：解：因为集合U={1，2，3，4，5}，所以U 的子集个数为25=32个，从这些子集中任取两个不同的集合X i 、X j ，则共有 C 322=16×31 种不同的取法，X i ∩X j 中恰有三个元素，这三个元素可能有 C 53 种选法， 假设这三个元素是{3，4，5}，则{X i ，X j }的情况有：{{3，4，5}，{1，3，4，5}}，{{3，4，5}，{2，3，4，5}}，{{3，4，5}，{1，2，3，4，5}}，{{1，3，4，5}，{2，3，4，5}}，共4种，所以X i ∩X j 中恰有三个元素，则共有 C 53×4=10×4 种不同的取法，故X i ∩X j 中恰有三个元素的概率为 10×416×31 = 562 ．故答案为：562．【点评】：本题考查了古典概型的概率问题，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于基础题．12.（填空题，0分）若不等式λ2sin2B-9sinBsinC+sinAsinC＞0对于任意△ABC恒成立，则|λ|的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：直接利用正弦定理的应用，三角函数的关系式的变换，恒成立问题的应用求出结果．【解答】：解：根据正弦定理：不等式λ2sin2B-9sinBsinC+sinAsinC＞0转换为λ2b2-9bc+ac＞0，由于对于任意三角形恒成立，故λ2＞((9b−a)cb2)max，由于(9b−a)cb2＜(9b−a)(a+b)b2= −(ab−4)2+25≤25，所以λ2≥25，故|λ|≥5，故最小正值为5．故答案为：5．【点评】：本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的关系式的变换，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．13.（单选题，0分）“x＞1”是“ 1x＜1”的（）条件．A.充分不必要B.必要不充分C.充要条件D.既不充分也不必要【正确答案】：A【解析】：求出分式不等式的解，利用充要条件的判断方法判断即可．【解答】：解：因为1x ＜1的解为：x＜0或x＞1，所以“x＞1”是“ 1x＜1”的充分不必要条件．故选：A．【点评】：本题考查分式不等式的解法，充要条件的判断方法．14.（单选题，0分）空间中有四点A ，B ，C ，D ，其中 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2m ，m ，2）， CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（m ，m+1，-5），且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（5， 133 ，-3），则直线AB 和CD （ ）A.平行B.异面C.必定相交D.必定垂直 【正确答案】：D【解析】：利用向量坐标运算、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】：解：∵ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2m ，m ，2）， CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（m ，m+1，-5），且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（5， 133 ，-3），∴（3m ，2m+1，-3）=（5， 133 ，-3）， ∴3m=5，2m+1= 133 ， 解得m= 53．∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = (103，53，2) ， CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = (53，83，−5) ，而 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：D ．【点评】：本题考查了向量坐标运算、向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题．15.（单选题，0分）一段时间内没有大规模集体流感的标志为“连续10天，每天新增病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增病例数据，一定符合该标志的是（ ） A.甲地：总体均值为3，中位数为4 B.乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C.丙地：中位数为2，众数为3 D.丁地：总体均值为2，总体方差为3 【正确答案】：D【解析】：对于AB，通过总体均值可知10天新增病例总数，以此可判断；对于C，知道中位数及众数不能确定某一天新增病例是否超过7人，以此可判断C；对于D，知道总体均值与方差，假设某一天新增病例超过7人，通过计算方差可判断D．【解答】：解：对于A，通过总体均值可知10天新增病例总数为30，又知中位数是4，所以没法确定某一天新增病例是否超过7人，∴不选A；对于B，通过总体均值可知10天新增病例总数为10，又知总体方差大于0，所以没法确定某一天新增病例是否超过7人，∴不选B；对于C，知道中位数及众数不能确定某一天新增病例是否超过7人，∴不选C；对于D，知道总体均值为2，假设某一天新增病例超过7人，则方差会大于3，所以可以判断“连续10天，每天新增病例不超过7人”，∴选D．故选：D．【点评】：本题考查数据的均值、方差、中位数、众数，考查数据分析能力，属于基础题．16.（单选题，0分）双曲线x23-y2=1绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题，其中真命题的个数为（）① f（x）是奇函数；② f（x）的图象过点（√32，32）或（√32，- 32）；③ f（x）的值域是（-∞，- 32]∪[ 32，+∞）；④ 函数y=f（x）-x有两个零点．A.4个B.3个C.2个D.1个【正确答案】：C【解析】：求出双曲线的对称中心和顶点坐标和渐近线方程，画出f（x）的图象（位于一三象限），对选项逐一判断，由对称性可得f（x）的图象在二四象限的情况，即可得出答案．【解答】：解：对于① ：双曲线x 23-y2=1关于原点对称，可得旋转后得到的函数f（x）的图象关于原点对称，所以f（x）是奇函数，故① 正确；对于② ：由双曲线的顶点为（± √3，0），渐近线方程为y=± √33x，可得f（x）的图象的渐近线为x=0和y=± √33x，图象关于直线y= √3 x对称，可得f（x）的图象过点（√32，32）或（√32，- 32），由对称性可得f（x）的图象按逆时针60°旋转位于一三象限，按顺时针旋转60°位于二四象限，故② 正确；对于③ ：f（x）的图象按逆时针旋转60°位于一三象限，由图象可得顶点为点（√32，32）或（√32，- 32），不是极值点，则f（x）的值域不是（-∞，- 32]∪[ 32，+∞），f（x）的图象按顺时针旋转60°位于二四象限，由对称性可得f（x）的值域也不是（-∞，- 32]∪[ 32，+∞），故③ 不正确；对于④ ：当f（x）的图象位于一三象限时，f（x）的图象与直线y=x有两个交点，函数y=f（x）-x有两个零点，当f（x）的图象唯一二四象限时，f（x）的图象与直线y=x没有交点，函数y=f（x）-x没有零点，故④ 不正确；故选：C．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质，函数的性质，属于中档题．17.（问答题，0分）已知四棱锥P-ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E、F分别为AB、CD的中点，PE⊥平面ABCD，若PF与平面ABCD所成角为45°．（1）求四棱锥P-ABCD的体积；（2）求二面角P-BC-D的大小．【正确答案】：【解析】：（1）利用线面角定义得到∠PFE即为PF与平面ABCD所成角，在Rt△PFE中，由边角关系求出PE，再利用锥体的体积公式求解即可；（2）利用线面垂直的判定定理证明BC⊥平面PAB，从而得到PB⊥BC，又AB⊥BC，则∠PBE即为二面角P-BC-D的平面角，在三角形中由边角关系求解即可．【解答】：解：（1）因为PE⊥平面ABCD，所以∠PFE即为PF与平面ABCD所成角，所以∠PFE=45°，因为EF⊂平面ABCD，则PE⊥EF，又E、F分别为AB、CD的中点，则EF || BC，EF=BC，在Rt△PFE中，EF=4，∠PFE=45°，所以PE=4，故四棱锥P-ABCD的体积为V=13S ABCD•PE=13×42×4 = 643；（2）因为底面ABCD为正方形，则BC⊥AB，又PE⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，则BC⊥PE，因为AB∩PE=E，AB，PE⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，则PB⊥BC，所以∠PBE即为二面角P-BC-D的平面角，在Rt△PBE中，PE=4，BE= 12AB=2，则tan∠PBE= PEBE =42=2，所以二面角P-BC-D的大小为arctan2．【点评】：本题考查了锥体体积公式的应用，二面角的求解，线面垂直的判定定理和性质定理的应用，解题的关键是利用二面角的平面角的定义确定对应的角，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．18.（问答题，0分）已知函数f（x）= √3sinωx+cosωx．（1）当f（- π3）=0，且|ω|＜1，求ω的值；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a= √3，b+c=3，当ω=2，f（A）=1时，求bc的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用辅助角公式化简，f（- π3）=0，且|ω|＜1，即可求解ω的值；（2）由a= √3，b+c=3，当ω=2，f（A）=1时，利用余弦定理即可求解bc的值．【解答】：解：（1）函数f（x）= √3sinωx+cosωx=2sin（ωx +π6）．∵f（- π3）=0，即−πω3+π6=kπ，k∈Z且|ω|＜1，∴ ω=12．（2）由ω=2，f（A）=1，即2sin（2A +π6）=1 ∵0＜A＜π∴A= π3由余弦定理，cosA= b 2+c2−a2 2bc即bc=（b+c）2-bc-a2解得：bc=2．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质和余弦定理的计算，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．19.（问答题，0分）无穷数列{a n}满足：a n+1a n+3a n+1+a n+4=0且a1≠-2．（1）求证：{ 1a n+2}为等差数列；（2）若a2021为数列{a n}中的最小项，求a1的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）通过计算1a n+1+2−1a n+2的值即可得到解答；（2）由（1）的结论可得：a n=−2+1n−(1−1a1+2)，再根据f(n)=1n−a(n∈N)的增减性可以得到解答．【解答】：（1）证明：由已知可得：a n+1=−1a n+3−1，∴ 1 a n+1+2−1a n+2=11−1a n+3−1a n+2= a n+3a n+2−1a n+2=a n+2a n+2=1，∴{ 1a n+2}是公差为1的等差数列；（2）解：由（1）可得1a n+2=1a1+2+n−1，∴a n=-2+ 1n−(1−1a1+2)，结合图象易知函数f(n)=1n−a(n∈N)在n-a＜0，n+1-a＞0时取到最小值，∴由a2021为数列{a n}中的最小项，有{2021−(1−1a1+2)＜02021+1−(1−1a1+2)＞0，解得：−40412020＜a1＜−40432021，∴a1的取值范围是：(−40412020，−40432021)．【点评】：本题考查数列与函数的综合应用，熟练掌握等差数列的性质和数列的函数特性是解题关键．20.（问答题，0分）已知函数f（x）=x2-（a-2）x+a-3．（1）若f（a+1）=f（2a），求a的值；（2）若函数y=f（x）在x∈[2，3]的最小值为5-a，求实数a的取值范围；（3）是否存在整数m、n使得关于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰为[m，n]？若存在，请求出m、n的值；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据已知条件，得到（a+1）2-（a-2）（a+1）+a-3=（2a ）2-2a （a-2）+a-3解方程即可求出结果； （2）由于f （x ）的对称轴为 x =a−22，根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，判断单调性求出最小值即可；（3）根据题意转化为 m ，n 是方程 x 2-（a-2）x+a-3=x 的两个根，结合韦达定理得到 m+n=2+mn ，分离常数，根据m ，n 为整数即可求解．【解答】：解：（1）因为f （x ）=x 2-（a-2）x+a-3，且 f （a+1）=f （2a ）， 所以（a+1）2-（a-2）（a+1）+a-3=（2a ）2-2a （a-2）+a-3， 整理得2a 2+a-3=0，解得a=1或 −32； （2）f （x ）=x 2-（a-2）x+a-3 的对称轴为 x =a−22， 因为 x∈[2，3]， ① 当a−22≤2 ，即 a≤6，则f （x ）在x∈[2，3]上单调递增，所以f （x ）min =f （2）=22-2（a-2）+a-3=5-a ，符合题意； ② 当 2＜a−22＜3 ，即6＜a ＜8，则f （x ）在 (2，a−22) 上单调递减，在 (a−22，3) 单调递增， 所以 f (x )min =f (a−22)=(a−22)2−a−22(a −2)+a −3=−a 2+8a−164=5-a ， 则a=6，与6＜a ＜8矛盾，不符合题意； ③a−22≥3 ，即a≥8，则f （x ）在x∈[2，3]上单调递减，所以 f (x )min =f (3)=32−3(a −2)+a −3=12−2a =5−a ， 则a=7，与a≥8矛盾，不符合题意，综上a≤6，因此实数a 的取值范围为（-∞，6]；（3）因为关于x 的不等式m≤f （x ）≤n 的解集恰为[m ，n]， ① 若a−22≤m ，则f （x ）在[m ，n]上单调递增，所以 {f (m )=mf (n )=n，即m ，n 是方程x 2-（a-2）x+a-3=x ，即x 2-（a-1）x+a-3=0的两个根， 由韦达定理得 {m +n =a −1mn =a −3 ，所以 m+n=2+mn ，所以m （1-n ）=2-n ，当n=1时，m 不存在，舍去， 当n≠1时， m =2−n1−n =11−n +1 ，所以当n=0时，m=2；当n=2时，m=0，又因为m ＜n ，所以n=2，m=0，经检验，此时a=3，关于x 的不等式m≤f （x ）≤n 的解集不是[m ，n]，故不符合题意舍去；② 若 m ＜a−22≤n ，则f （x ）在 (m ，a−22) 上单调递减，在 (a−22，n) 上单调递增， 所以 {f (a−22)≥m f (n )=n f (m )=n，即 {(a−22)2−(a −2)⋅a−22+a −3≥mn 2−(a −2)⋅n +a −3=n m 2−(a −2)⋅m +a −3=n，所以{−a 2+8a −16≥4mn 2−(a −2)⋅n +a −3=n m 2−(a −2)⋅m +a −3=n， 即x 2-（a-2）x+a-3-n=0有两个不相等的实数根，且m+n=a-2，mn=a-3-n ， 由于m ，n 为整数，则a 为整数，由m+n=a-2，mn=a-3-n 消去n 可得 a =n 2+n−3n−1=n +2−1n−1， 当n=0时，a=3，m=-1，经检验关于x 的不等式m≤f （x ）≤n 的解集不是[m ，n]，故不符合题意舍去；当n=2时，a=3，m=-1，经检验符合题意； 故m=-1，n=2； ③ 若a−22≥n ，则f （x ）在[m ，n]上单调递减，所以 {f (m )=nf (n )=m，即 {m 2−(a −2)⋅m +a −3=n n 2−(a −2)⋅n +a −3=m ，则m=n ，不合题意舍去．综上：存在这样的m ，n 为整数，且m=-1，n=2．【点评】：本题考查二次函数，二次方程，二次不等式的综合问题，考查分类讨论的数学思想，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于难题． 21.（问答题，0分）已知椭圆Γ： x 2a 2 +y 2b 2 =1（a ＞b ＞0），F 1、F 2分别为其左、右焦点．（1）若T 为椭圆上一点，△TF 1F 2面积最大值为4 √3 ，且此时△TF 1F 2为等边三角形，求椭圆的方程；（2）若椭圆焦距长为短轴长的 √2 倍，点P 的坐标为（2a ， √2 a-b ），Q 为椭圆上一点，当|PQ|+|QF 1|最大时，求点Q 的坐标；（3）若A 为椭圆Γ上除顶点外的任意一点，直线AO 交椭圆于B ，直线AF 1交椭圆于C ，直线BF 1交椭圆于D ，若 AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λF 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = μF 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ+μ．（用a 、b 代数式表示）【正确答案】：【解析】：（1）当T 为短轴顶点时△TF 1F 2面积最大，可得一个a ，b ，c 的方程，再根据△TF 1F 2为等边三角形建立一个关于a ，b ，c 的方程，解方程可得椭圆的方程；（2）利用定义转化可得|PQ|+|QF 1|=|PQ|+2a-|QF 2|=2a+（|PQ|-|QF 2|）≤2a+|PF 2|，当Q 在PF 2延长线上时，取等号，用直线PF 2与椭圆联立可得点Q 的坐标； （3）先利用余弦定理证明焦半径公式，进而得到 λ=|AF 1||F 1C|=a+ccosαa−ccosα，μ=|BF 1||F1D|=a+ccosβa−ccosβ，再利用余弦定理可得又 ccosα=a −b 2x，同理 ccosβ=a −b 22a−x ，代入即可求出定值．【解答】：解：（1）因为△TF 1F 2面积最大值为4 √3 ， 所以点T 为短轴的顶点，所以S △TF 1F 2 = 12•|F 1F 2|•b=bc=4 √3 ① ， 因为△TF 1F 2为等边三角形， 所以∠TF 1F 2=60°，所以tan∠TF 1F 2=tan60°= √3 = bc ② ， 又a 2=b 2+c 2 ③ ，由 ① ② ③ ，解得a 2=16，b 2=12，c 2=4，所以椭圆的方程为 x 216 + y 212=1．（2）因为椭圆焦距长为短轴长的 √2 倍， 所以2c=2b× √2 ，即c= √2 b ， 又a 2=b 2+c 2=b 2+2b 2=3b 2，即a= √2 b ，因为P 点坐标（2a ， √2 a-b ），则（2 √2 b ，b ）， 所以点P 在第一象限，由椭圆的定义可得|PQ|+|QF 1|=|PQ|+2a-|QF 2|=2a+（|PQ|-|QF 2|）≤2a+|PF 2|， 当且仅当点Q 在PF 2延长线上时，取等号， 直线PF 2的方程为y= 2√2b−cx-c ）， 所以y= 2√2b−√2b （x- √2 b ），即y= √22 x-b ，联立 {y =√22x −b x 22b 2+y 2b 2=1 ，解得 x=0或x= √2 b ，当x=0时，y=-b 或当x= √2 b 时，y=0，所以Q（0，-b）或（√2 b，0），因为点Q在PF2延长线上，所以Q（0，-b）．（3）设|AF1|=x，∠AF1F2=α，则|AF2|=2a-x，在△AF1F2中，由余弦定理可得cosα=|AF1|2+|F1F2|2−|AF2|22|AF1||F1F2|=x2+4c2−(2a−x)22x⋅2c，解得x=b 2a−ccosα，即|AF1|=b2a−ccosα，同理可得|CF1|=b2a+ccosα，设∠AF2F1=β，则∠DF1F2=π-β，所以|DF1|=b2a−ccos(π−β)=b2a+ccosβ，|BF1|=b2a+ccos(π−β)=b2a−ccosβ，故λ=|AF1||F1C|=a+ccosαa−ccosα，μ=|BF1||F1D|=a+ccosβa−ccosβ，又cosα=x 2+4c2−(2a−x)22x⋅2c⇒ccosα=a−b2x，同理ccosβ=a−b22a−x，所以λ+μ=a+ccosαa−ccosα+a+ccosβa−ccosβ=a+a−b2xa−(a−b2x)+a+a−b22a−xa−(a−b22a−x)= 2a−b2xb2x+2a−b22a−xb22a−x=2axb2−1+2a(2a−x)b2−1=4a2b2−2．【点评】：本题考查椭圆的定义及其标准方程，考查焦半径的求法，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于难题．。
高二下学期期中考试 数学（理科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，若复数z 满足()23z i i -=+，则Z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．将4封信投入3个信箱，可能的投放方法共有（ ）种 A ．12B ．24．C ．81D ．643．甲乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概率为0.55，那么甲不输的概率为（ ） A ．0.25B ．0.3C ．0.55D ．0.854．今有8件不同的奖品，从中选6件分成三份，两份各1件，另一份4件，不同的分法有（ ） A ．420B ．840C ．30D ．1205．若随机变量X 服从正态分布(8,1)N ，则(910)P X <<=（ ）附：随机变量()()2,0x Nμσσ->，则有如下数据：()0.6826P x μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=A ．0.4472B ．0.3413C ．0.1359D ．16．若3nx x ⎛+ ⎝展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（ ）A ．9B ．18C ．135D ．12157．5人排成一排，要求甲乙两人之间至多有1人，则不同的排法有（ ）种． A ．84B ．72C ．96D ．488．某人射击一次击中目标的概率为0.5，则此人射击3次至少2次击中目标的概率为（ ） A ．38B ．34C ．18D ．129．已知随机变量X 的分布列为：X 0 1P1P - P若()(01)4D X p =<<，则P 的值为（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．2310．在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是（ ） A ．100个心脏病患者中至少有99人打鼾B ．在100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有C ．1个人患心脏病，那么这个人有99%的概率打鼾D ．在100个心脏病患者中一定有打鼾的人11．现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）A ．150种B ．180种C ．240种D ．120种12．某公司过去五个月的广告费支出X 与销售额Y （单位：万元）之间有下列对应数据：x2 4 5 6 8y▲ 40 60 50 70工作人员不慎将表格中y 的第一个数据丢失，已知y 对x 呈线性相关关系，且回归方程为 6.517.5y x =+，则下列说法：①销售额y 与广告费支出x 正相关：②丢失的数据（表中▲处）为30；③该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元；④若该公司下月广告投入8万元，则销售额为69.5万元．其中，正确说法有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知，(234022342 5x a a x a x a x a x -=++++4，则()()202423a a a a a ++-+=__________．14．设随机变量ξ服从正态分布()5,3N ，若()(3)1P a P a ξξ>+=<-，则实数a =__________． 15．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站3人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是__________．（用数字作答）．16．甲、乙两人参加知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为35和13，且两人是否获得一等奖相互独立，则两人中恰有一个人获得一等奖的概率是__________． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知复数()()2212433()Z i m i m i m R =+-+-+∈（1）当m 为何值时，Z 为纯虚数?（2）当m 为何值时，Z 对应的点在21y x =+上?18．已知2nx x ⎫⎪⎭的展开式中，第3项和第10项的二项式系数相等．（1）求n ；（2）求展开式中4x 项的系数．19．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是12和25假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间没有影响． （1）求甲射击5次，至少1次未击中目标的概率；（2）求两人各射击3次，甲恰好比乙多击中目标2次的概率20．某校准备从报名的6位教师（其中男教师3人，女教师3人）中选3人去边区支教． （I ）设所选3人中女教师的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；（II ）若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率． 21．某中学研究性学习小组为了考察高中学生的作文水平与爱看课外书的关系，在本校高三年级随机调查了50名学生．调查结果表明，在爱看课外书的24人中有18人作文水平好，另6人作文水平一般；在不爱看课外书的26人中有7人作文水平好，另19人作文水平一般．（I ）试根据以上数据完成以下2×2列联表，并运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系?高中学生的作文水平与爱看课外书的2×2列联表爱看课外书不爱看课外书总计 作文水平好 作文水平一般总计（Ⅱ）将其中某4名爱看课外书且作文水平好的学生分别编号为1、2、3、4，某4名爱看课外书且作文水平一般的学生也分别编号为1、2、3、4，从这两组学生中各任选1人进行学习交流，求被选取的两名学生的编号之和为2的倍数或3的倍数的概率．参考公22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++·参考数据：()20P k k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x 和销售量y 之间的一组数据如下表所示：月份 1 2 3 4 5 6 销售单价x （元） 9 9.5 10 10.5 11 8 销售量y （件）111086514.2（1）根据1至5月份的数据，求出y 关于x 的回归直线方程；（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）．附：回归直线方程y bx a =+，其中1221ni ii nii x y nxyb xnx==-=-∑∑，ˆa y bx =-，55211392502.5i i ii i x y x ====∑∑1、在最软入的时候，你会想起谁。
2020-2021学年度第二学期高二理科数学期中考试卷第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共60分）.1．如果复数2+bii(b∈R)的实部与虚部相等，那么b=（）A．2 B．1C．2D．42．某公司将180个产品，按编号为001，002，003，…，180从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用系统抽样方法抽取一个样本进行检测，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是（）A．168B．167C．153D．1353．小明同学从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有（）A．261种B．360种C．369种D．372种4．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下根据上表可得回归方程ŷ=9.4x+9.1，则实数a的值为（）A．37.3B．38C．39D．39.55．某人午睡醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不多于15分钟的概率是（）A．12B．13C．14D．166．如图是某高三学生14次模考数学成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，2A，…，A14.将14次成绩输入程序框图，则输出的结果是（）本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
A．8B．9C．10D．117．已知(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a7x7，则（）A．a0=0B．a3=−280C．a1+a2+⋅⋅⋅+a7=−3D．a1+2a2+⋅⋅⋅+7a7=−7 8．从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（）A．51个B．54个C．12个D．45个9．武威创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传.某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶.一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（）A．19B．16C．13D．1210．若m,n,l为空间三条不同的直线，α,β,γ为空间三个不同的平面，则下列为真命题的是（）A．若m⊥l,n⊥l，则m//n B．若m⊥β,m//α，则α⊥βC．若α⊥γ,β⊥γ,则α//βD．若α∩β=m,β∩γ=n,m//n,则α//β11．已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点在直线x+y−1=0上，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A､B两点，则|AB|=（）A ．12B ．14C ．16D ．1812．定义在R 上的函数()y f x =满足()6()f x f x -=，()()3'()03x f x x ->≠，若()()010f f ⋅<，则函数()f x 在区间()5,6内（ ）A ．没有零点B ．有且仅有1个零点C ．至少有2个零点D ．可能有无数个零点第II 卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共20分）.13．袋中有2个黄球3个白球，甲乙两人分别从中任取一球，取得黄球得1分，取得白球得2分，两个总分和为X ，则X =3的概率是______．14．二项式(3x +2x )6(n ∈N ∗)的展开式中的x 2系数为_________.(用数字作答)15．如图所示的茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为__________．16．由下面的茎叶图可知，甲组37．如图，一环形花坛分成A ，B ，C ，D 四个区域，现有5种不同的花供选种，要求在每个区域种1种花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为______． 四、解答题（共70分）17（10分）．袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外都相同．（1）从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率；（2）从袋中任取2个球，记取到红球的个数为ξ，求ξ的分布列．18（12分）．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：40,50)，50,60)，60,70)，…，[90,100]，得到如下频率分布直方图．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
2020-2021学年上海市浦东新区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）解析版一、选择题：（本大题共6小题，每小题2分，满分12分）1．在下面四个式子中，为单项式的是（）A．y＝x2B．C．﹣D．（x﹣y）2【分析】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，逐一判断即可．【解答】解：A．y＝x2是y关于x的函数，不是单项式；B．是数与字母的商，不是数与字母的积，不是单项式；C．﹣是单项式；D．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，是多项式，不是单项式；故选：C．2．在下列运算中，计算正确的是（）A．x3+x3＝x6B．x2•x3＝x6C．2x2•3x＝6x3D．（2x）3＝6x3【分析】直接利用合并同类项法则以及单项式乘单项式分别计算得出答案．【解答】解：A、x3+x3＝2x3，故原题计算错误；B、x2•x3＝x5，故原题计算错误；C、2x3•3x＝6x3，故原题计算正确；D、（2x）3＝8x3，故原题计算错误；故选：C．3．如果（4n）3＝224，那么n的值是（）A．2B．4C．6D．8【分析】幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此计算即可．【解答】解：∵（4n）3＝（22n）3＝26n＝224，∴6n＝24，解得n＝4．故选：B．4．如果x2+mx+是一个关于x的完全平方式，那么m的值为（）A．B．±C．D．±【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．【解答】解：∵x2+mx+＝x2+mx+（）2，∴mx＝±2x•，解得m＝±．故选：B．5．已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2020的值为（）A．2019B．2020C．2021D．2022【分析】利用因式分解法将原式进行分解，再整体代入即可求解．【解答】解：∵x2+x＝1，∴x4+2x3﹣x2﹣2x+2020＝x4+x3+x3﹣x2﹣2x+2020＝x2（x2+x）+x3﹣x2﹣2x+2020＝x2+x3﹣x2﹣2x+2020＝x（x2+x）﹣x2﹣2x+2020＝x﹣x2﹣2x+2020＝﹣x2﹣x+2020＝﹣（x2+x）+2020＝﹣1+2020＝2019．故选：A．6．如图，一张长方形硬纸片的长为12厘米，宽为10厘米，将它的四角各剪下一个边长为x厘米的正方形（阴影部分），然后沿虚线将Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ这四个部分折起，构成一个无盖的长方体纸盒，这个纸盒的体积是（）A．（12﹣x）（10﹣x）B．x（12﹣x）（10﹣x）C．（12﹣2x）（10﹣2x）D．x（12﹣2x）（10﹣2x）【分析】确定纸盒的长、宽、高，进而表示体积即可．【解答】解：由折叠可知，纸盒的长为（12﹣2x）cm，宽为（10﹣2x）cm，高为xcm，根据体积的计算方法得，x（12﹣2x）（10﹣2x），故选：D．二、填空题：（本大题共14小题，每小题2分，满分28分）7．单项式﹣的系数是﹣，次数是7．【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．据此解答即可．【解答】解：单项式﹣的系数是﹣，次数是7．故答案为：﹣，7．8．用代数式表示x的平方的倒数减去2的差是﹣2．【分析】x的平方的倒数是：，则x的平方的倒数减去2的差即可列出．【解答】解：x的平方的倒数是：，则x的平方的倒数减去2的差是：﹣2．故答案是：﹣2．9．将多项式﹣x4+2x3y﹣3x2y3+6xy2按y的降幂排列是﹣3x2y3+6xy2+2x3y﹣x4．【分析】根据多项式的项的概念和降幂排列的概念，可知多项式的项为：﹣x4，2x3y，﹣3x2y3，6xy2，将各项按y的指数由大到小排列可得．【解答】解：多项式﹣x4+2x3y﹣3x2y3+6xy2按y的降幂排列是：﹣3x2y3+6xy2+2x3y﹣x4；故答案为：﹣3x2y3+6xy2+2x3y﹣x4．10．如果单项式﹣x4y m与x n y3是同类项，那么（m﹣n）2020＝1．【分析】根据同类项的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：m＝3，n＝4，∴m﹣n＝3﹣4＝﹣1，∴（m﹣n）2020＝（﹣1）2020＝1，故答案为：1．11．计算：（﹣x2y）3（﹣3xy2）2＝﹣x8y7．【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式计算得出答案．【解答】解：（﹣x2y）3（﹣3xy2）2＝（﹣x6y3）×（9x2y4）＝﹣x8y7．故答案为：﹣x8y7．12．计算：（3x+2）（2x﹣3）＝6x2﹣5x﹣6．【分析】运用多项式乘多项式的法则计算即可．【解答】解：原式＝6x2﹣9x+4x﹣6＝6x2﹣5x﹣6．故答案为：6x2﹣5x﹣6．13．计算：（3x+2y﹣1）（3x﹣2y+1）＝9x2﹣4y2+4y﹣1．【分析】根据平方差公式计算即可．【解答】解：（3x+2y﹣1）（3x﹣2y+1）＝[3x+（2y﹣1）][3x﹣（2y﹣1）]＝（3x）2﹣（2y﹣1）2＝9x2﹣4y2+4y﹣1．故答案为：9x2﹣4y2+4y﹣1．14．分解因式：6xy2﹣8x2y3＝2xy2（3﹣4xy）．【分析】直接找出公因式2xy2，进而提取公因式分解因式即可．【解答】解：6xy2﹣8x2y3＝2xy2（3﹣4xy）．故答案为：2xy2（3﹣4xy）．15．分解因式4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2．【分析】直接利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2分解即可．【解答】解：4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2．16．计算：（﹣2）2020×（）2019＝2．【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可求解．【解答】解：原式＝2×22019×（）2019＝2×（2×）2019＝2×1＝2．故答案为2．17．已知x m＝2，y n＝5，那么（x m y n）2＝100．【分析】根据积的乘方的运算法则计算即可．【解答】解：∵x m＝2，y n＝5，∴（x m y n）2＝x2m•y2n＝（x m）2•（y n）2＝22×52＝4×25＝100．故答案为：100．18．如果x+＝4，那么x2+＝14．【分析】根据完全平方公式即可求出答案．【解答】解：∵（x+）2＝x2+2+且x+＝4，∴x2+2+＝16，∴x2+＝14．故答案为：14．19．将关于x的多项式x2+2x+3与2x+b相乘，若积中不出现一次项，则b＝﹣3．【分析】根据题意，利用多项式乘多项式法则计算，确定出b的值即可．【解答】解：根据题意得：（x2+2x+3）（2x+b）＝2x3+（4+b）x2+（6+2b）x+3b，由积中不出现一次项，得到6+2b＝0，解得：b＝﹣3．故答案为：﹣3．20．如图，用长度相等的小木棒搭成的三角形网格，当层数为n时，所需小木棒的根数为n（n+1）．【分析】分别列出一层、二层、三层、四层这四个图形中所含小三角形个数和所需小木棒的根数，得出n层时，所需小木棒的根数为3×（1+2+…+n）即可．【解答】解：∵一层时，所需小木棒的根数为3，二层时，所需小木棒的根数为9＝3×（1+2），三层时，所需小木棒的根数为18＝3×（1+2+3），四层时，所需小木棒的根数为30＝3×（1+2+3+4），……∴n层时，所需小木棒的根数为3×（1+2+…+n）＝3×＝n（n+1），故答案为：n（n+1）．三、解答题：（本大题共10小题，每小题6分，满分60分）21．（6分）计算：（3a）2•a4+a•a5﹣（﹣a3）2．【分析】首先利用积的乘方的性质、同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则进行计算，再算加减即可．【解答】解：原式＝9a2•a4+a6﹣a6＝9a6+a6﹣a6＝9a6．22．（6分）计算：（3x2﹣y+）•6xy．【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝（3x2）•6xy+（﹣y）•6xy+•6xy＝18x3y﹣8xy2+3xy．23．（6分）计算：（x+3）（x﹣3）﹣（2﹣x）2．【分析】根据平方差公式和完全平方公式展开后，再合并同类项即可．【解答】解：（x+3）（x﹣3）﹣（2﹣x）2．＝x2﹣9﹣（4﹣4x+x2）＝x2﹣9﹣4+4x﹣x2＝4x﹣13．24．（6分）99.82．【分析】根据完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2来求99.82＝（100﹣0.2）2的值．【解答】解：99.82＝（100﹣0.2）2，＝1002﹣2×100×0.2+0.22，＝10000﹣40+0.04，＝9960.04．25．（6分）计算：（2a﹣3b）2﹣（3a﹣2b）2．【分析】利用完全平方公式将其展开，然后合并同类项．【解答】解：原式＝4a2﹣12ab+9b2﹣9a2+12ab﹣4b2＝﹣5a2+5b2．26．（6分）分解因式：（2x﹣y）（x+3y）﹣（x+y）（y﹣2x）．【分析】直接提取公因式（2x﹣y），进而分解因式即可．【解答】解：原式＝（2x﹣y）（x+3y）+（x+y）（2x﹣y）＝（2x﹣y）（x+3y+x+y）＝（2x﹣y）（2x+4y）＝2（2x﹣y）（x+2y）．27．（6分）已知A＝﹣2x3+2x+3，B＝x3﹣3x+，求：A﹣2B．【分析】代入两个整式，然后去括号，再合并同类项即可．【解答】解：∵A＝﹣2x3+2x+3，B＝x3﹣3x+，∴A﹣2B＝﹣2x3+2x+3﹣2（x3﹣3x+）＝﹣2x3+2x+3﹣2x3+6x﹣1＝﹣4x3+8x+2．28．（6分）已知a＝1，b＝2，求代数式（3a﹣b）（2a﹣b）﹣（3a﹣b）2+3a2的值．【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而把a，b的值代入得出答案．【解答】解：（3a﹣b）（2a﹣b）﹣（3a﹣b）2+3a2＝6a2﹣3ab﹣2ab+b2﹣（9a2﹣6ab+b2）+3a2＝6a2﹣5ab+b2﹣9a2+6ab﹣b2+3a2＝ab，当a＝1，b＝2时，原式＝2．29．（6分）已知：如图，长方形ABCD与正方形BEFG中，点E在边AB的延长线上，点G在边BC上，若BC ＝a，AB＝2a，BE＝b（a＞b）．（1）请用含有a、b的代数式表示图中阴影部分的面积．（2）当a＝5，b＝2时，求阴影部分的面积．【分析】（1）根据面积的和与差，表示阴影部分的面积即可；（2）代入求值即可．【解答】解：（1）如图，延长DC、EF相交于点M，则DM＝2a+b，MF＝a﹣b，∴S阴影＝S矩形AEMD﹣S△ABD﹣S△BEF﹣S△DMF＝a（2a+b）﹣×2a×a﹣×b×b﹣（2a+b）（a﹣b）＝；（2）当a＝5，b＝2时，S阴影＝＝15．30．（6分）如图所示，正方形ABCD分割成四个长方形AMFQ、QFPD、MBNG、GNCP，它们的面积分别为3a2+4ab、6a2+8ab、3b2、b2，图中阴影部分是正方形EFGH．请用含有a、b的代数式分别表示正方形ABCD和正方形EFGH的边长．（其中a＞0，b＞0）【分析】由于正方形ABCD分割成四个长方形AMFQ、QFPD、MBNG、GNCP，所以四个长方形面积的和为正方形ABCD的面积，进而求出正方形ABCD的边长；再根据S长方形AMFQ：S长方形QFPD＝1：2，求出MF＝AQ ＝，根据S长方形MBNG：S长方形GNCP＝3：1，求出PG＝，然后利用FG＝MP﹣MF﹣PG求出正方形EFGH的边长．【解答】解：由题意可得，S正方形ABCD＝3a2+4ab+6a2+8ab+3b2+b2＝9a2+12ab+4b2＝（3a+2b）2，∴正方形ABCD的边长为3a+2b．S长方形AMFQ：S长方形QFPD＝（3a2+4ab）：（6a2+8ab）＝1：2，∴MF＝AQ＝，又∵S长方形MBNG：S长方形GNCP＝3b2：b2＝3：1，∴PG＝，∴FG＝MP﹣MF﹣PG＝（3a+2b）﹣﹣＝+，∴正方形EFGH的边长为+．。
2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高二（下）期中数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，3分）抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是___ ．2.（填空题，3分）从a、b、c、d、e五个字母中任选三个，共有___ 种不同的选法（结果用数字作答）．＞1的解集为___ ．3.（填空题，3分）不等式1x4.（填空题，3分）A、B是半径为R的球面上两点，设O是球心，且△AOB是等腰直角三角形，则A、B的球面距离为 ___ ．5.（填空题，3分）用1、2、3三个数字能组成不同三位数的个数是___ （结果用数字作答）．6.（填空题，3分）已知圆锥的轴截面PAB是等边三角形，C为底面弧AB̂的中点，D为母线PB的中点，则异面直线PA和CD所成角的大小为___ ．7.（填空题，3分）从四棱锥P-ABCD的5个顶点中任选4个不同的点，则这四点能够构成不同三棱锥的个数是___ （结果用数字作答）．8.（填空题，3分）长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=2，则二面角A1-BD-C1的大小为___ （结果用反三角函数表示）．9.（填空题，3分）在3个不同的红球中任取2个，在3个不同的白球中任取1个，把所取出的3个球排成一列，要求2个红球必须相邻，则不同的排列个数为___ 个（用数字作答）．10.（填空题，3分）设a1、a2、a3、a4、a5、a6是2、3、4、5、6、7的一个排列，则a1a2a3+a4a5a6的最小值为 ___ ．11.（填空题，3分）正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是线段AD1上的一个动点，则直线PB与平面BC1D所成角的范围是___ （结果用反三角函数表示）．12.（填空题，3分）已知等差数列{a n}满足：|a1|+|a2|+⋅⋅⋅+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+⋅⋅⋅+|a n+1|=|a1-1|+|a2-1|+⋅⋅⋅+|a n-1|=2021，则正整数n的最大值为___ ．13.（单选题，3分）组合数C n r（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（）A. r+1n+1C n−1 r−1B.（n+1）（r+1）C n−1r−1 C.nr C n−1r−1D. nr C n−1 r−114.（单选题，3分）记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人照相，要求排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有（）种．A.240B.360C.480D.72015.（单选题，3分）以下关于多面体的命题中，真命题为（）A.所有侧面均为正三角形的四棱锥是正四棱锥B.所有侧面均为正方形的四棱柱是正四棱柱C.所有侧面均为正三角形的多面体是正四面体D.所有侧面均为正方形的多面体是正方体16.（单选题，3分）已知函数f（x）在定义域R上单调，且x∈（0，+∞）时均有f（f（x）+2x）=1，则f（-2）的值为（）A.3B.1C.0D.-117.（问答题，0分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．（1）分别取侧棱PB、PD中点E、F，证明：直线EF与平面ABCD平行；（2）求四棱锥P-ABCD的表面积．18.（问答题，0分）设函数f（x）=a x-（k-1）a-x（a＞0，a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求实数k的值；（2）若f(1)=32，且f（2x）≥mf（x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．19.（问答题，0分）设正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长和高均为1．（1）求点C1与平面A1B1C之间的距离；（2）设D是棱CC1的中点，求证：AB1⊥BD．20.（问答题，0分）已知双曲线Γ：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，左、右两顶点分别是A1、A2，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P（如图）．（1）若是d⃗=(1，2)是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的方程；（2）若|PA|=1，|PB|=5，|PC|=2，|PD|=6，试求双曲线Γ的方程；（3）在（1）的条件下，且|A1A2|=4，点C与双曲线的顶点不重合，直线CA1和直线CA2与直线l：x=1分别相交于点M和N，试问：是否存在定点T，使得TM⊥TN恒成立？若是，请求出定点的坐标，若不是，试说明理由．21.（问答题，0分）已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为R，母线长为l．（1）当R=1，l=2时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示）（2）如图，当R=1，l=12时，平面α与圆柱T底面所成锐二面角为45°，且平面α只与圆柱T侧面相交，设平面α与圆柱T侧面相交的轨迹为曲线C，半径为1的两个球分别在圆柱内平面α上下两侧且分别与平面α相切于点F1、F2，若以点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，求证：曲线C是椭圆并写出椭圆标准方程；（3）在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半2的值．（结果用数字表示）径为r的同样大小的小球n个，当n取得最大值n0时，求C n0−202020-2021学年上海市浦东新区建平中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，3分）抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．【解答】：解：根据题意可知焦点F（1，0），准线方程x=-1，∴焦点到准线的距离是1+1=2故答案为2．【点评】：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用．属基础题．2.（填空题，3分）从a、b、c、d、e五个字母中任选三个，共有___ 种不同的选法（结果用数字作答）．【正确答案】：[1]10【解析】：根据题意，由组合数公式计算可得答案．【解答】：解：根据题意，从a、b、c、d、e五个字母中任选三个，是组合问题，有C53=10种选法，故答案为：10．【点评】：本题考查组合数公式的应用，注意组合、排列的不同，属于基础题．＞1的解集为___ ．3.（填空题，3分）不等式1x【正确答案】：[1]{x|0＜x＜1}＞1移项后通分，即可求得不等式的解集．【解析】：将不等式1x【解答】：解：∵ 1x＞1，∴ 1 x -1= 1−xx＞0，∴ (1−x)xx2＞0，∴0＜x＜1．∴不等式1x＞1的解集为{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．【点评】：本题考查不等式的解法，移项后通分是关键，属于基础题．4.（填空题，3分）A、B是半径为R的球面上两点，设O是球心，且△AOB是等腰直角三角形，则A、B的球面距离为 ___ ．【正确答案】：[1] πR2【解析】：根据△AOB是等腰直角三角形，求出∠AOB=π2，再利用弧长公式l=|θ|•R，求出A、B的球面距离．【解答】：解：∵△AOB是等腰直角三角形，∴ ∠AOB=π2，∵弧长公式l=|θ|•R，∴A、B的球面距离为π2×R = πR2，故答案为：πR2．【点评】：本题考查球面距离的相关计算，属于基础题．5.（填空题，3分）用1、2、3三个数字能组成不同三位数的个数是___ （结果用数字作答）．【正确答案】：[1]27【解析】：根据题意，分析百位、十位和个位数字的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意，用1、2、3三个数字能组成不同三位数，百位、十位和个位数字都有3种情况，则有3×3×3=27个不同的三位数，故答案为：27．【点评】：本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．6.（填空题，3分）已知圆锥的轴截面PAB是等边三角形，C为底面弧AB̂的中点，D为母线PB的中点，则异面直线PA和CD所成角的大小为___ ．【正确答案】：[1] π4【解析】：取AB的中点O，连接OC，OD，知∠ODC即为所求，设PA=AB=PB=2，结合轴截=1，即可面的性质和面面垂直的性质定理可得OC⊥OD，再在Rt△OCD中，由tan∠ODC= OCOD得解．【解答】：解：取AB的中点O，连接OC，OD，∵D为母线PB的中点，∴OD || AP，∴∠ODC为异面直线PA和CD所成的角，设底面圆O的半径为r，∵圆锥的轴截面PAB是等边三角形，∴设PA=AB=PB=2，AB=1，∴OC= 12PA=1，∴OD= 12由轴截面的性质知，平面PAB⊥平面ABC，∵C为底面弧AB̂的中点，∴OC⊥AB，又平面PAB∩平面ABC=AB，∴OC⊥平面PAB，∴OC⊥OD，=1，在Rt△OCD中，tan∠ODC= OCOD．∴∠ODC= π4．故答案为：π4【点评】：本题考查异面直线夹角的求法，利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．7.（填空题，3分）从四棱锥P-ABCD的5个顶点中任选4个不同的点，则这四点能够构成不同三棱锥的个数是___ （结果用数字作答）．【正确答案】：[1]4【解析】：根据题意，用排除法分析：先分析从四棱锥P-ABCD的5个顶点中任选4个不同的点的取法，排除其中共面的情况，分析可得答案．【解答】：解：根据题意，从四棱锥P-ABCD的5个顶点中任选4个不同的点，有C54=5种取法，其中共面，不能构成不同三棱锥的情况有1种，则取出的四点能够构成不同三棱锥的个数是4；故答案为：4．【点评】：本题考查排列组合的应用，涉及棱锥的结构特征，属于基础题．8.（填空题，3分）长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=2，则二面角A1-BD-C1的大小为___ （结果用反三角函数表示）．【正确答案】：[1] π−arccos13【解析】：取BD的中点O，连结A1O，C1O，A1C1，利用勾股定理可得A1O⊥BD，C1O⊥BD，则∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，利用余弦定理结合反三角函数求解即可．【解答】：解：取BD的中点O，连结A1O，C1O，A1C1，因为长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=2，所以A1D=A1B=C1D=C1B= √42+22=2√5，BD=A1C1= √42+42=4√2，A1O=C1O= √(2√5)2−(2√2)2=2√3，由勾股定理可得，A1O⊥BD，C1O⊥BD，所以∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，则cos∠A1OC1= A1O2+C1O2−A1C122A1O×C1O =12+12−322×2√3×2√3=−13，所以二面角A1-BD-C1的余弦值为−13，则二面角A1-BD-C1的大小为π−arccos13．故答案为：π−arccos13．【点评】：本题考查了二面角的大小的求解，余弦定理的应用，勾股定理的运用，反三角函数的应用，解题的关键是利用二面角的平面角的定义找到对应的角，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．9.（填空题，3分）在3个不同的红球中任取2个，在3个不同的白球中任取1个，把所取出的3个球排成一列，要求2个红球必须相邻，则不同的排列个数为___ 个（用数字作答）．【正确答案】：[1]36【解析】：根据题意，分3步进行分析：① 在3个不同的红球中任取2个，将其看成一个整体，② 在3个不同的白球中任取1个，③ 将选出的2个红球与白球全排列，有分步计数原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意，分3步进行分析：① 在3个不同的红球中任取2个，将其看成一个整体，有C32A22=6种情况，② 在3个不同的白球中任取1个，有C31=3种选法，③ 将选出的2个红球与白球全排列，有A22=2种情况，则有6×3×2=36种不同的排列，故答案为：36．【点评】：本题考查排列组合的应用，涉及分步分类计数原理的应用，属于基础题．10.（填空题，3分）设a1、a2、a3、a4、a5、a6是2、3、4、5、6、7的一个排列，则a1a2a3+a4a5a6的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]142【解析】：利用基本不等式得到a1a2a3+a4a5a6≥ 2√a1a2a3a4a5a6=2√2×3×4×5×6×7 = 24√35＞142，结合142=72+70=3×4×6+2×5×7，即可得到答案．【解答】：解：因为a1、a2、a3、a4、a5、a6是2、3、4、5、6、7的一个排列，所以a1a2a3+a4a5a6≥ 2√a1a2a3a4a5a6=2√2×3×4×5×6×7 = 24√35＞142，因为142=72+70=3×4×6+2×5×7，所以a1a2a3+a4a5a6≥142，故a1a2a3+a4a5a6的最小值为142．故答案为：142．【点评】：本题考查了最值问题的求解，主要考查了利用基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．11.（填空题，3分）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是线段AD 1上的一个动点，则直线PB 与平面BC 1D 所成角的范围是___ （结果用反三角函数表示）．【正确答案】：[1] [arcsin 13，arcsin √33] 【解析】：建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，设点P （1，t ，1-t ），求出直线BP 的方向向量，由向量的夹角公式，然后由t 的范围求解即可．【解答】：解：设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以点C 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则B （0，1，0），C 1（0，0，1），D （1，0，0），所以 BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−1，1)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1，−1，0) ， 设平面BC 1D 的法向量为 n ⃗⃗=(x ，y ，z) ，则 {n ⃗⃗•BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0n ⃗⃗•BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，即 {−y +z =0x −y =0 ， 令x=1，则y=1，z=1，故 n ⃗⃗=(1，1，1) ，设点P （1，t ，1-t ），（0≤t≤1），则 BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1，t −1，1−t) ， 设直线PB 与平面BC 1D 所成的角为θ，则sinθ= |cos ＜BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，n ⃗⃗＞|=|BP⃗⃗⃗⃗⃗⃗•n ⃗⃗||BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗|=1√3•√2(t−1)2+1 ，因为0≤t≤1，所以 2(t −1)2+1∈[1，√3] ，故 sinθ∈[13，√33] ， 故 arcsin 13≤θ≤arcsin √33， 直线PB 与平面BC 1D 所成角的范围是 [arcsin 13，arcsin√33] ． 故答案为： [arcsin 13，arcsin√33] ．【点评】：本题考查了空间角的求解，主要考查了线面角的求解，对于空间角问题，经常选择建立空间直角坐标系，将问题转化为空间向量进行研究，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．12.（填空题，3分）已知等差数列{a n}满足：|a1|+|a2|+⋅⋅⋅+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+⋅⋅⋅+|a n+1|=|a1-1|+|a2-1|+⋅⋅⋅+|a n-1|=2021，则正整数n的最大值为___ ．【正确答案】：[1]62【解析】：由题意可以构造函数f（x）=|x|+|x+d|+••+|x+（n-1）d|，结合函数的图像和性质以及等差数列的性质求解即可．【解答】：解：设等差数列{a n}的公差为d（不妨设d＞0），首项为a，可得|a|+|a+d|+…+|a+（n-1）d|=|a+1|+|a+1+d|+•…+|a+1+（n-1）d|=|a-1|+|a-1+d|+…+|a-1+（n-1）d|=2021，记函数f（x）=|x|+|x+d|+••+|x+（n-1）d|，可得函数f（x）=2021至少有三个根a-1，a，a+1．可知绝对值和f（x）=|x|+|x+d|+…+|x+（n-1）d|为平底型图像，如下图所示，故n为偶数，记n=2k，要使f（x）=2021，所以a-1，a，a+1对的点都在平底上即a-1，a，a+1∈[-kd，-（k-1）d]，所以 f（-kd）=f（-（k-1）d）=2021，即|-kd|+|-kd+d|+|-kd+2d|+…+|-kd+（n-1）d|=2021，所以[k+（k-1）+（k-2）+…+1+0+1+…+（k-1）]d=2021，所以k2d=2021，而（a+1）-（a-1）≤d，所以d≥2．故k2≤20212，即k≤ √20212≈31.7，所以正整数n的最大值为62，故答案为62．【点评】：此题主要考查等差数列的性质及其应用，解题的关键是构造函数f（x）=|x|+|x+d|+••+|x+（n-1）d|，然后利用函数的图像和性质求解，此题是一道难题．13.（单选题，3分）组合数C n r（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（）A. r+1n+1C n−1 r−1B.（n+1）（r+1）C n−1r−1 C.nr C n−1r−1D. nr C n−1 r−1【正确答案】：D【解析】：由组合数公式，C n r进行运算、化简，找到其与c n-1r-1的关系，即可得答案．【解答】：解：由C n r=n!r!(n−r)!=nr•(n−1)!(r−1)![(n−1)−(r−1)]!=nrC n−1r−1，故选：D．【点评】：本题考查组合数公式的运用，须准确记忆公式，另外如本题的一些性质需要学生了解．14.（单选题，3分）记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人照相，要求排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有（）种．A.240B.360D.720【正确答案】：C【解析】：本题是一个分步问题，采用插空法，先将4名志愿者排成一列，再将2位老人插到4名志愿者形成的5个空中，根据分步计数原理得到结果．【解答】：解：由题意知本题是一个分步问题，采用插空法，先将4名志愿者排成一列，再将2位老人插到4名志愿者形成的5个空中，则不同的排法有A44A52=480种，故选：C．【点评】：本题考查分步计数原理，是一个基础题，正确运用插空法是关键．15.（单选题，3分）以下关于多面体的命题中，真命题为（）A.所有侧面均为正三角形的四棱锥是正四棱锥B.所有侧面均为正方形的四棱柱是正四棱柱C.所有侧面均为正三角形的多面体是正四面体D.所有侧面均为正方形的多面体是正方体【正确答案】：A【解析】：直接利用正棱柱和正棱锥体的定义判定A、B、C、D的结论．【解答】：解：对于A：所有侧面均为正三角形的四棱锥是正四棱锥，故A正确；对于B：所有侧面均为正方形的四棱柱不一定是正四棱柱，底面不一定为正方形，故B错误；对于C：所有侧面均为正三角形的多面体是正四面体，也可能为正四棱锥，故C错误；对于D：所有侧面均为正方形的多面体是直棱柱，故D错误．故选：A．【点评】：本题考查的知识要点：正棱柱和正棱锥体的定义，主要考查学生对几何定义的理解，属于基础题．16.（单选题，3分）已知函数f（x）在定义域R上单调，且x∈（0，+∞）时均有f（f（x）+2x）=1，则f（-2）的值为（）A.3B.1C.0【正确答案】：A【解析】：根据题意，分析可得f（x）+2x为常数，设f（x）+2x=t，分析可得f（t）=-2t+t=1，解可得t的值，即可得函数的解析式，将x=-2代入计算可得答案．【解答】：解：根据题意，函数f（x）在定义域R上单调，且x∈（0，+∞）时均有f（f（x）+2x）=1，则f（x）+2x为常数，设f（x）+2x=t，则f（x）=-2x+t，则有f（t）=-2t+t=1，解可得t=-1，则f（x）=-2x-1，故f（-2）=4-1=3；故选：A．【点评】：本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的单调性的性质以及应用，属于基础题．17.（问答题，0分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．（1）分别取侧棱PB、PD中点E、F，证明：直线EF与平面ABCD平行；（2）求四棱锥P-ABCD的表面积．【正确答案】：【解析】：（1）连接BD，由E、F是PB、PD中点，可得EF || BD，进而根据线面平行的判定即可证明EF || 平面ABCD．（2）由题意利用线面垂直的判定和性质可得CD⊥PD，CB⊥PB，由已知利用勾股定理求出PB，PD，PC的值，利用三角形的面积公式，正方形的面积公式求出各个面的面积，然后求解四棱锥P-ABCD的表面积【解答】：解：（1）如图，连接BD，∵E、F是PB、PD中点，∴EF || BD ，又∵EF⊄底面ABCD ，BD⊂底面ABCD ， ∴EF || 平面ABCD ．（2）由底面ABCD 是正方形，PA⊥平面ABCD ，PA=2，AB=1， 得PA⊥AD ，PA⊥AB ，AD⊥AB ．又PA∩AD=A ， ∴AB⊥平面PAD ， 又PD⊂平面PAD ， ∴AB⊥PD ， ∵CD || AB ，∴CD⊥PD ，同理可得CB⊥PB ，∴PB=PD= √22+12 = √5 ，PC= √22+12+12 = √6 ， ∴S △PAB = 12×2×1 =1，S △PAD = 12×2×1 =1，同理S △PCB = 12× √5 ×1= √52 ，S △PCD = 12× √5 ×1= √52 ，S ABCD =1×1=1，∴四棱锥P-ABCD 的表面积S=S △PAB +S △PAD +S △PCB +S △PCD +S ABCD =1+1+ √52+ √52+1=3+ √5 ．【点评】：本题考查几何体的表面积的求法，考查线面平行的判定，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．18.（问答题，0分）设函数f （x ）=a x -（k-1）a -x （a ＞0，a≠1）是定义域为R 的奇函数． （1）求实数k 的值；（2）若 f (1)=32 ，且f （2x ）≥mf （x ）对任意x∈[2，+∞）恒成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由奇函数在R 上有定义，可得f （0）=0，解得k ；（2）若 f (1)=32 ，求得a ，由参数分离和指数函数和对勾函数的单调性，可得最值，进而得到所求范围．【解答】：解：（1）由函数f（x）=a x-（k-1）a-x（a＞0，a≠1）是定义域为R的奇函数，可得f（0）=a0-（k-1）a0=1-（k-1）=0，解得k=2；（2）由（1）可得f（x）=a x-a-x，若f(1)=32，则a- 1a= 32，解得a=2，由f（2x）≥mf（x），可得4x-4-x≥m（2x-2-x），因为y=2x-2-x在x∈[2，+∞）递增，可得y=2x-2-x＞0，所以m≤2x+2-x在x∈[2，+∞）恒成立，由y=2x+2-x在x∈[2，+∞）递增，可得y=2x+2-x的最小值为174，所以m≤ 174，即m的取值范围是（-∞，174]．【点评】：本题考查函数的奇偶性的性质和不等式恒成立问题解法，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．19.（问答题，0分）设正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长和高均为1．（1）求点C1与平面A1B1C之间的距离；（2）设D是棱CC1的中点，求证：AB1⊥BD．【正确答案】：【解析】：（1）用等体积法求解即可；（2）只需证明AB1垂直于BD所在平面BDO即可．【解答】：（1）解：取A1B1中点M，因为B1C=A1C= √2，所以CM⊥A1B1，于是S△A1B1C =12•A1B1•CM = 12•1•√(√2)2−(12)2= √74，设点C1与平面A1B1C之间的距离为h，因为V C−A1B1C1=V C1−A1B1C，所以13•12•12•sin60°•1=13•√74•ℎ，解得h= √217，所以点C1与平面A1B1C之间的距离√217；（2）证明：连接A1B，交AB1于O，连接OD、AD、B1D，因为四边形AA1B1B为正方形，所以AB1⊥A1B，O为AB1中点，又因为D是棱CC1的中点，所以AD=B1D，所以DO⊥AB1，因为A1B∩DO=O，所以AB1⊥平面BDO，又因为BD⊂平面BDO，所以AB1⊥BD．【点评】：本题考查了点到直线距离问题，考查了直线与平面的位置关系，属于中档题．20.（问答题，0分）已知双曲线Γ：x2 a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，左、右两顶点分别是A1、A2，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P（如图）．（1）若是d⃗=(1，2)是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的方程；（2）若|PA|=1，|PB|=5，|PC|=2，|PD|=6，试求双曲线Γ的方程；（3）在（1）的条件下，且|A1A2|=4，点C与双曲线的顶点不重合，直线CA1和直线CA2与直线l：x=1分别相交于点M和N，试问：是否存在定点T，使得TM⊥TN恒成立？若是，请求出定点的坐标，若不是，试说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由直线的方向向量可得渐近线的斜率，进而得到渐近线方程；（2）求得A（2，2），C（3，4），代入双曲线的方程，可得a ，b ，进而得到双曲线的方程；（3）求得双曲线的方程，运用三点共线的条件：斜率相等，可得M ，N 的坐标，假设存在T ，运用两直线垂直的条件：斜率乘积为-1，化简整理，结合恒等式，可得定点T 的坐标．【解答】：解：（1）由 d ⃗=(1，2) 是Γ的一条渐近线的一个方向向量，可得渐近线的斜率为±2，所以渐近线方程为y=±2x ；（2）由|PA|=1，|PB|=5，|PC|=2，|PD|=6，可得|AB|=4，|CD|=8， 则A （2，2），C （3，4），代入双曲线的方程可得 4a 2 - 4b 2 =1， 9a 2 - 16b 2 =1， 解得a 2= 73，b 2= 285，所以双曲线的方程为3x 27−5y 228=1 ；（3）由（1）可得a=2，b=4，双曲线的方程为 x 24 - y 216 =1，即4x 2-y 2=16， 设C （m ，n ），可得n 2=4（m 2-4），由A 1（-2，0），C （m ，n ），M （1，y M ）三点共线，可得k CA 1 =k A 1M ， 即有 nm+2 =y M3，可得y M = 3nm+2 ；同理可得，由A 2（2，0），C （m ，n ），N （1，y N ）三点共线，可得y N = −nm−2， 假设存在定点T （x 0，y 0），使得TM⊥TN 恒成立． 可得k TM •k TN =-1， 即为y 0−3n m+2x 0−1•y 0−−n m−2x 0−1=-1，化为（x 0-1）2+y 02- 3n 2m 2−4 -y 0• 2n (m−4)m 2−4=0， 即为（x 0-1）2+y 02-12-y 0•2n (m−4)m 2−4=0， 令y 0=0，（x 0-1）2=12，解得x 0=1±2 √3 ，所以存在定点T ，且为 T(1+2√3，0) 或 T(1−2√3，0) ．【点评】：本题双曲线的方程和性质，以及直线与双曲线的综合，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.（问答题，0分）已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为R ，母线长为l ． （1）当R=1，l=2时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示）（2）如图，当R=1，l=12时，平面α与圆柱T底面所成锐二面角为45°，且平面α只与圆柱T侧面相交，设平面α与圆柱T侧面相交的轨迹为曲线C，半径为1的两个球分别在圆柱内平面α上下两侧且分别与平面α相切于点F1、F2，若以点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，求证：曲线C是椭圆并写出椭圆标准方程；（3）在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为r的同样大小的小球n个，当n取得最大值n0时，求C n0−202的值．（结果用数字表示）【正确答案】：【解析】：（1）分别计算出圆柱和球的体积得到空余部分的体积；（2）利用椭圆的基本定义（到两定点距离之和为定值）得到轨迹为椭圆，然后计算a和b的值；（3）先利用条件得到小圆的半径，然后计算每个小圆占整个空间的圆心角，最后得到最多圆的个数．【解答】：（1）解：V圆柱=sl=πR²l=π×1×2=2π，V球== 43πR3= 43π×1³= 43π，所以圆柱内空余部分的体积为V圆柱-V球=2π- 43π= 2π3．（2）证明：如图，取上方球上一点A，下方球上一点C，连接AC，则直线AC交阴影截面于B点，连接BF1，BF2，设截面的两端点为M，N，过M点作平行于底面，过N点垂直于底面交于D点．由题意得，因为斜截面和圆柱分别与球相切，所以AB=BF2，BC=BF1，所以定值AC=AB+BC=BF2+BF1，所以曲线C为椭圆，因为平面α与圆柱底面二面角为45°，所以∠NMD=45°，在△NMD中，因为R=1，所以MD=2R=2，所以MN=2 √2 =2a，所以a= √2，又因为y轴平行于底面，所以短轴长2b=2R=2，所以b=1，所以椭圆的标准方程为x 22+y²=1．（3）解：垂直底面截面如图所示，AF=AC=1，BC=BG=R，∠BAF=45°，在△ABD中，AD=AF-DF=1-r，AB=AC+BC=1+r．因为∠BAF=45°，所以AB= √2 AD，所以解得r=3-2 √2．平行底面截面如图所示，O1M=r=3-2 √2．O1O=1-r=2 √2 -2，所以θ=arcsin √2−12≈11.95°，所以下方空余位置可以放n1= 360°2θ=15.06，因为n1为整数，所以n1=15，所以整个空余空间最多可以放n0=2n1=30个，所以 C n 0−202 = C 102 =45．【点评】：本题考查圆柱和球的体积计算公式，立体几何和平面解析几何的综合，椭圆的定义，考查数形结合思想与运算求解能力，属于难题．。
