2019年浙江省中考数学分类汇编专题05：函数及其图象(反比例函数)

第11讲 反比例函数考纲要求命题趋势1．理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式．2．会画反比例函数图象，根据图象和解析式探索并理解其基本性质． 3．能用反比例函数解决简单实际问题.反比例函数是中考命题热点之一，主要考查反比例函数的图象、性质及解析式的确定，也经常与一次函数、二次函数及几何图形等知识综合考查．考查形式以选择题、填空题、解答题都有可能.一、反比例函数的概念一般地，形如y ＝kx(k 是常数，k ≠0)的函数叫做反比例函数．1．反比例函数y ＝k x 中的kx是一个分式，所以自变量x ≠0，函数与x 轴、y 轴无交点．2．反比例函数解析式可以写成xy ＝k(k ≠0)，它表明在反比例函数中自变量x 与其对应函数值y 之积，总等于已知常数k. 二、反比例函数的图象与性质1．图象反比例函数的图象是双曲线． 2．性质(1)当k ＞0时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别在二、四象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交．(2)双曲线是轴对称图形，直线y ＝x 或y ＝－x 是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形，对称中心是坐标原点． 三、反比例函数的应用1．利用待定系数法确定反比例函数解析式由于反比例函数y ＝kx 中只有一个待定系数，因此只要一对对应的x ，y 值，或已知其图象上一个点的坐标即可求出k ，进而确定反比例函数的解析式．2．反比例函数的实际应用解决反比例函数应用问题时，首先要找出存在反比例关系的两个变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决．1．关于x 的函数y=k （x+1）和y=（k ≠0）在同一坐标系中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+2与反比例函数y=的图象有唯一公共点，若直线y=﹣x+b 与反比例函数y=的图象有2个公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．b ＞2B ．﹣2＜b ＜2C ．b ＞2或b ＜﹣2D ．b ＜﹣23．若点A(1，y 1)，B(2，y 2)是双曲线y ＝3x 上的点，则y 1 y 2(填“＞”“＜”或“＝”)．4．如图，在函数y 1=（x ＜0）和y 2=（x ＞0）的图象上，分别有A 、B 两点，若AB ∥x 轴，交y 轴于点C ，且OA ⊥OB ，S △AOC =，S △BOC =，则线段AB 的长度= ．5．如图，两个反比例函数y=和y=在第一象限的图象如图所示，当P 在y=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交y=的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交y=的图象于点B ，则四边形PAOB 的面积为 ．6.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使kx+b＜成立的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．答案1． D2． C3. ＞4．解：∵S△AOC=，S△BOC=，∴|k1|=，|k2|=，∴k1=﹣1，k2=9，∴两反比例解析式为y=﹣，y=，设B点坐标为（，t）（t＞0），∵AB∥x轴，∴A点的纵坐标为t，把y=t代入y=﹣得x=﹣，∴A点坐标为（﹣，t），∵OA⊥OB，∴∠AOC=∠OBC，∴Rt△AOC∽Rt△OBC，∴OC：BC=AC：OC，即t：=：t，∴t=，∴A点坐标为（﹣，），B点坐标为（3，），∴线段AB的长度=3﹣（﹣）=．故答案为．5．1解：由于P点在y=上，则S□PCOD=2，A、B两点在y=上，则S△DBO=S△ACO=×1=．∴S四边形PAOB=S□PCOD﹣S△DBO﹣S△ACO=2﹣﹣=1．∴四边形PAOB的面积为1．故答案为：1．6.解：（1）∵点A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴m=1，n=2，即A（1，6），B（3，2）．又∵点A（m，6），B（3，n）两点在一次函数y=kx+b的图象上，∴．解得，则该一次函数的解析式为：y=﹣2x+8；（2）根据图象可知使kx+b＜成立的x的取值范围是0＜x＜1或x＞3；（3）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．令﹣2x+8=0，得x=4，即D（4，0）．∵A（1，6），B（3，2），∴AE=6，BC=2，∴S△AOB=S△AOD﹣S△BOD=×4×6﹣×4×2=8．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（）A．217B．25C．42D．72．若y=x+2–b是正比例函数，则b的值是( )A．0 B．–2 C．2 D．–0.53．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．2x2+3＝0 B．x2＝2x C．x2+4x﹣1＝0 D．x2﹣8x+16＝04．如图，经过点B（﹣2，0）的直线y＝kx+b与直线y＝4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），4x+2＜kx+b＜0的解集为（）A.x＜﹣2B.﹣2＜x＜﹣1C.x＜﹣1D.x＞﹣15．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长32m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（）A．3m B．33 m C．23 m D．4m6．-4的倒数是( ).A．4 B．-4 C．14D．-147．方程22111x xx x-=-+的解是（）A ．x ＝12B ．x ＝15C ．x ＝14D ．x ＝148．下列运算正确的是（ ） A.222()x y x y +=+ B.632x x x ÷=C.2(3)3-=D.32361126xy x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭9．一个不透明的袋子中装有4个标号为1，2，3，4的小球，它们除标号外其余均相同，先从袋子中随机摸出一个小球记下标号后放回搅匀，再从袋子中随机摸出一个小球记下标号；把第一次摸出的小球标号作为十位数字，第二次摸出的小球标号作为个位数字，则所组成的数是3的倍数的概率是（ ） A ．14B ．13C ．512D ．51610．一元二次方程经过配方后可变形为（ ）A. B.C.D.11．某市测得一周PM2.5的日均值(单位：)如下：50，40，75，50，37，50，40，这组数据的中位数和众数分别是( ) A ．50和50B ．50和40C ．40和50D ．40和4012．已知边长为m 的正方形面积为12，则下列关于m 的说法中：①m 2是有理数；②m 的值满足m 2﹣12＝0；③m 满足不等式组4050m m ->⎧⎨-<⎩；④m 是12的算术平方根. 正确有几个（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，AB =10，34tanA =，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为_____.14．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC 是正方形，点A 的坐标为(1,1)，弧1AA 是以点B 为圆心，BA 为半径的圆弧；弧12A A 是以点O 为圆心，1OA 为半径的圆弧，弧23A A 是以点C 为圆心，2CA 为半径的圆弧，弧34A A 是以点A 为圆心，3AA 为半径的圆弧.继续以点B ，O ，C ，A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A …称为正方形的“渐开线”，则点2019A 的坐标是__________．15．如图，△ABC 中，如果AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，M 为AC 中点，AD 与BM 交于点G ，那么S △GDM ：S △GAB 的值为_____．16．如图，在⊙O 中，圆周角∠ACB ＝150°，弦AB ＝4，则扇形OAB 的面积是_____．17．如图，在中，，点为的中点，将绕点按顺时针方向旋转，当经过点时得到，若，，则的长为___．18．如果关于x 的方程kx 2﹣6x+9＝0有两个相等的实数根，那么k 的值为_____． 三、解答题19．先化简，再求值：24()224a a a a a a ÷---- ，其中a ＝2+2． 20．已知抛物线y ＝ax 2+bx+3与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）过点D （0，74）作x 轴的平行线交抛物线于E ，F 两点，求EF 的长； （3）当y≤74时，直接写出x 的取值范围是 ． 21．蔬菜基地为选出适应市场需求的西红柿秧苗，在条件基本相同的情况下，将甲、乙两个品种的西红柿秧苗各500株种植在同一个大棚．对市场最为关注的产量进行了抽样调查，随机从甲、乙两个品种的西红柿秧苗中各收集了50株秧苗上的挂果数（西红柿的个数），并对数据（个数）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.a. 甲品种挂果数频数分布直方图（数据分成6组：25≤x<35，35≤x<45，45≤x<55，55≤x<65，65≤x<75，75≤x<85）.b. 甲品种挂果数在45≤x<55这一组的是：45，45，46，47，47，49，49，49，49，50，50，51，51，54c. 甲、乙品种挂果数的平均数、中位数、众数如下：品种平均数中位数众数方差甲49.4 m 49 1944.2乙48.6 48.5 47 3047根据以上信息，回答下列问题:(1)表中m= ；(2)试估计甲品种挂果数超过49个的西红柿秧苗的数量；(3)可以推断出品种的西红柿秧苗更适应市场需求，理由为（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）.22．如图在由边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，已知点A，B，C，D均为网格线的交点（1）在网格中将△ABC绕点D顺时针旋转90°画出旋转后的图形△A1B1C1；（2）在网格中将△ABC放大2倍得到△DEF，使A与D为对应点．23．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车在相遇之前同时改变了一次速度，并同时到达各自目的地，两车距B地的路程y（km）与出发时间x（h）之间的函数图象如图所示．（1）分别求甲、乙两车改变速度后y与x之间的函数关系式；（2）若m＝1，分别求甲、乙两车改变速度之前的速度；（3）如果两车改变速度时两车相距90km，求m的值．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=mx（m≠0）交于点A（2，-3）和点B（n，2）；（1）求直线与双曲线的表达式；（2）点P是双曲线y=mx（m≠0）上的点，其横、纵坐标都是整数，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点Q，当点P位于点Q下方时，请直接写出点P的坐标．25．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，（1）作出△APC的PC边上的高；（2）若∠2＝51°，求∠3；（3）若直尺上点P处刻度为2，点C处为8，点M处为3，点N处为7，求S△BMN：S△BPC的值．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C A B B D B C D D A C二、填空题13．217或4514．(2019,1)-15．1：4．16．83π 17．318．三、解答题19．2,1222a a ++- 【解析】【分析】先把括号内通分，再把除法转化为乘法约分化简，然后把a ＝2+2代入计算即可.【详解】 解：24()224a a a a a a ÷---- ＝(2)42(2)(2)a a a a a a a +-÷-+- ＝(2)2(2)(2)a a a a a a -÷-+- ＝22a a a a+⋅- ＝22a a +-， 当a ＝2+2时，原式222222++==+-＝122+． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，以及二次根式的混合运算，解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分，并熟练掌握二次根式的运算法则.20．（1）y ＝﹣x 2+2x+3；（2）EF 长为2；（312x ≤或32x ≥． 【解析】【分析】（1）把A （-1，0），B （3，0）代入y=ax 2+bx+3，即可求解；（2）把点D 的y 坐标74代入y=-x 2+2x+3，即可求解； （3）直线EF 下侧的图象符合要求．【详解】（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，解得：a＝﹣1，b＝2，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）把点D的y坐标y＝74，代入y＝﹣x2+2x+3，解得：x＝12或32，则EF长312 22⎛⎫=--=⎪⎝⎭；（3）由题意得：当y≤74时，直接写出x的取值范围是：12x≤或32x≥，故答案为：12x≤或32x≥．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程，利用图像解不等式及数形结合的数学思想，是一道基本题，难度不大．21．(1)m = 50.5； (2)估计甲品种挂果数超过49个的小西红柿秧苗的数量有270株；(3)甲，理由为：①甲品种挂果数的平均数高，说明甲品种平均产量高；②甲品种挂果数的中位数比乙高，说明甲品种有一半秧苗的产量高于乙品种；③甲品种产量的方差小于乙品种，说明甲品种的产量比较稳定，挂果数相差不大.【解析】【分析】（1）根据中位数和众数的含义：把这组数按从小到大的顺序排列，因为数的个数是偶数个（50个），即中间两个数（25和26个数）的平均数是中位数；（2）样品中，甲品种挂果数超过49个的西红柿秧苗有27株，由样本估计总体可得答案；（3）根据平均数、中位数、方差等数据的比较可以得出甲品种更适应市场需求.【详解】(1) 把这组数按从小到大的顺序排列，因为数的个数是偶数个（50个），即中间两个数（25和26个数）的平均数= 50512+＝50.5，故中位数m=50.5；(2)样品中，甲品种挂果数超过49个的西红柿秧苗有27株，2750027050⨯=∴估计甲品种挂果数超过49个的小西红柿秧苗的数量有270株.(3)可以推断出甲品种的小西红柿秧苗更适应市场需求，理由为：①甲品种挂果数的平均数高，说明甲品种平均产量高；②甲品种挂果数的中位数比乙高，说明甲品种有一半秧苗的产量高于乙品种；③甲品种产量的方差小于乙品种，说明甲品种的产量比较稳定，挂果数相差不大.【点睛】本题考查了平均数、中位数以及众数和方差，掌握众数、中位数以及平均数、方差的定义以及用样本估计总体思想是解题的关键．22．（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据旋转变换的定义和性质求解可得；（2）根据位似变换的定义和性质求解可得．【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△DEF即为所求．【点睛】本题主要考查作图﹣位似变换与旋转变换，解题的关键是掌握位似变换与旋转变换的定义与性质．23．（1）y＝100x﹣40；（2）甲车改变速度之前的速度为120km/h，乙车改变速度之前的速度为60km/h；（3）m的值为1.3【解析】【分析】（1）利用待定系数法解得即可；（2）分别求出甲、乙两车改变速度之后行驶的路程即可；（3）把y＝90代入（1）的解析式即可．【详解】（1）设y＝kx+b，根据题意得：2160 4360 k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得10040k b =⎧⎨=-⎩， ∴y ＝100x ﹣40；（2）当m ＝1时，甲车改变速度之前的速度为：360﹣160÷2×3＝120（km/h ）；乙车改变速度之前的速度为：360﹣（360﹣160）÷2×3＝60（km/h ）；答：甲车改变速度之前的速度为120km/h ，乙车改变速度之前的速度为60km/h ；（3）当y ＝90时，100x ﹣40＝90，解得x ＝1.3，如果两车改变速度时两车相距90km ，则m 的值为1.3【点睛】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．24．(1) 反比例函数的解析式为y=-6x ，一次函数的解析式为y=-x-1．(2) （-6，1）或（1，-6）． 【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题．(2)由题意点P 在点B 的左侧或在y 轴的右侧点A 的左侧，再根据点P 的横坐标与纵坐标为整数，即可确定点P 坐标．【详解】(1)双曲线y=m x (m≠0)经过点A(2，-3)， ∴m=-6，∴反比例函数的解析式为y=-6x ， ∵B(n ，2)在y=-6x 上， ∴n=-3，∴B(-3，2)，则有：{2k b 33k b 2+=--+=， 解得：{k 1b 1=-=-，∴一次函数的解析式为y=-x-1；(2)由题意点P 在点B 的左侧或在y 轴的右侧点A 的左侧，∵点P 的横坐标与纵坐标为整数，∴满足条件点点P 坐标为(-6，1)或(1，-6)．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题．25．（1）详见解析；（2）21°；（3）49【解析】【分析】 （1）根据过直线外一点作该直线的垂线的作图方法，即可作出PC 边上的高；（2）由题意得：DG ∥EF ，推出∠APD=∠2=51°，再由∠1=30°，根据外角的性质，即可推出∠3的度数；（3）由题意推出MN 、PC 的长度，再根据平行线的性质，推出△BMN 与△BPC 相似，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可推出S △BMN ：S △BPC 的值．【详解】（1）作法：①以点A 为圆心，任意长为半径画弧，设弧与直线PC 交于点I 、G ，②分别以点I 、G 为圆心大于IG 为半径作弧，设两弧交于点R ，③连接AR ，设AR 与直线PC 交于点H ，④则AH 为所求作的PC 边上的高，（2）∵将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∴DG ∥EF ，∴∠APD ＝∠2，∵∠2＝51°，∴∠APD ＝51°，∵∠1＝30°，∴∠3＝∠APD ﹣∠1＝51°﹣30°＝21°，（3）∵EF ∥DG ，∴△BMN ∽△BPC ，∵直尺上点P 处刻度为2，点C 处为8，点M 处为3，点N 处为7，∴MN ＝7﹣3＝4，PC ＝8﹣2＝6， ∴24()9BMN BPC S MN S PC ∆∆==． 【点睛】本题主要考查过直线外一点作该直线的垂线、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，关键在于能够充分的理解和熟练地运用相关的性质定理，认真的进行计算．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．某市今年约有140000人报名参加初中学业水平考试，用科学记数法表示140000为( )A ．41410⨯B ．31410⨯C ．41.410⨯D ．51.410⨯2．我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别叫做“平行四边形数”和“正六边形数”．设第n 个“平行四边形数”和“正六边形数”分别为a 和b ，若a+b ＝103，则a b的值是( )A.619B.837C.1093D.12913．如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝70°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接DF ，则∠CDF 等于（ ）A ．75°B ．70°C ．60°D ．55°4．下列说法正确的是（ ）A.了解全国中学生最喜爱哪位歌手，适合全面调查．B.甲乙两种麦种，连续3年的平均亩产量相同，它们的方差为：S 甲2＝5，S 乙2＝0.5，则甲麦种产量比较稳．C.某次朗读比赛中预设半数晋级，某同学想知道自己是否晋级，除知道自己的成绩外，还需要知道平均成绩．D.一组数据：3，2，5，5，4，6的众数是5．5．如图，一块直角三角板和一张光盘竖放在桌面上，其中A 是光盘与桌面的切点，∠BAC ＝60°，光盘的直径是80cm ，则斜边AB 被光盘截得的线段AD 长为（ ）A.20cmB.40cmC.80cmD.80cm6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且经过点（﹣1，0），则下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③a＜﹣23；④若方程ax2+bx+c﹣2＝0的两个根为x1和x2，则（x1+1）（x2﹣3）＜0，正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．47．用半径为8的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于( )A．16πB．4 C．6 D．88．下列命题中是真命题的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C．旋转对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角D．圆的任意一条直径都是它的对称轴9．在算式2009201020112012⨯⨯⨯中，你估计哪一个因数值减小1导致乘积减小最大？( ) A．2009B．2010C．2011D．201210．如图，菱形ABCD的边长为1，点M、N分别是AB、BC边上的中点，点P是对角线AC上的一个动点，则MP PN+的最小值是（）A．12B．1 C．2D．211．有甲、乙两个不同的水箱，容量分别为a升和b升，且已各装了一些水．若将甲中的水全倒入乙箱之后，乙箱还可以继续装20升水才会满；若将乙箱中的水倒入甲箱，装满甲箱后，乙箱里还剩10升水，则a，b之间的数量关系是( )A．b＝a+15 B．b＝a+20 C．b＝a+30 D．b＝a+4012．已知，⊙O的半径是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．平行二、填空题13．如图①，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若直角三角形一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”设AB＝a，则图中阴影部分面积为_____(用含a的代数式表示)14．如果一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是________边形.15．不等式1﹣x≥2的解集是_____．16．分解因式：33a b ab -=___________．17．“任意打开一本100页的书，正好是第30页”，这是__事件（选填“随机”或“必然”或“不可能”）．18．如图，AB ∥CD ，若∠E ＝34°，∠D ＝20°，则∠B 的度数为_____．三、解答题19．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 、BD 是半圆的弦，且∠PDA ＝∠PBD ．（1）求证：PD 是⊙O 的切线；（2）如果tan 3BDE ∠=，PD ＝3，求PA 的长．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴上，点B 在第一象限内，∠OAB ＝90°，OA ＝AB ，△OAB 的面积为2，反比例函数y ＝k x 的图象经过点B ． （1）求k 的值；（2）已知点P 坐标为（a ，0），过点P 作直线OB 的垂线l ，点O ，A 关于直线l 的对称点分别为O′，A′，若线段O′A′与反比例函数y ＝k x的图象有公共点，直接写出a 的取值范围．21．计算：112tan 602|3|︒--+--．22．为了增强体质，小明计划晚间骑自行车调练，他在自行车上安装了夜行灯．如图，夜行灯A 射出的光线AB 、AC 与地面MN 的夹角分别为10°和14°，该夜行灯照亮地面的宽度BC 长为149米，求该夜行灯距离地面的高度AN 的长． （参考数据：179611010141410050254sin ,tan ,sin ,tan ︒︒︒︒≈≈≈≈）23．根据某网站调查，2016年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下：根据所给信息解答下列问题：（1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；（2）若成都市约有880万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．24．如图，已知()()()3,3,2,1,1,2A B C ------是直角坐标平面上三点.（1）将ABC ∆先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，画出平移后的图形111A B C ∆；（2）以点()0,2为位似中心，位似比为2，将111A B C ∆放大，在y 轴右侧画出放大后的图形222A B C ∆；（3）填空：222A B C ∆面积为 .25．家访是学校与家庭沟通的有效渠道，是形成教育合力的关键，是转化后进生的催化剂．某市教育局组织全市中小学教师开展家访活动活动过程中，教育局随机抽取了部分教师调查其近两周家访次数，将采集到的数据按家访次数分成五类，并分别绘制了下面的两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整；（2）所抽取的教师中，近两周家访次数的众数是 次，平均每位教师家访 次；（3）若该市有12000名教师，请估计近两周家访不少于3次的教师有多少名？【参考答案】***一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D D A D B C B C A BC A 二、填空题13．(23+)a 214．八15．x≥316．ab （a+b ）（a ﹣b ）．17．随机18．54°三、解答题19．（1）证明见解析；（2）PA=1.【解析】【分析】（1）连接OD ，由AB 是圆O 的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD 为⊙O 的切线；（2）根据BE 是⊙O 的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD 为⊙O 的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD ，由勾股定理得OP ，即可得出PA.【详解】（1）证明：如图1，连接OD ，∵AB 是圆O 的直径，∴∠ADB=90°∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO ，∴∠BDO=∠PBD∵∠PDA=∠PBD ，∴∠BDO=∠PDA∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD ⊥OD∵点D 在⊙O 上，∴直线PD 为⊙O 的切线．（2）∵BE 是⊙O 的切线，∴∠EBA=90°∵∠BED=60°，∴∠P=30°∵PD 为⊙O 的切线，∴∠PDO=90°在Rt △PDO 中，∠P=30°，PD ＝3 ∴tan30°＝OD PD，解得OD=1 ∴PO ＝22PD OD ＝2∴PA=PO-AO=2-1=1【点睛】此题考查了切线的判定及三角函数的有关计算等知识点，难度中等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．20．（1）k ＝4；（2）﹣2≤a≤1﹣5 或 2≤a≤1+5【解析】【分析】（1）运用反比例函数的几何意义，求出k ＝4；（2）运用对称的点坐标关系，分别表示O′、A′，在第三象限，当点O′在双曲线上时a取最小值，当点A′在双曲线上时，a取最大值；在第一象限，同理可求a的取值范围【详解】解：（1）∵∠OAB＝90°，OA＝AB，∴设点B的坐标为（m，m），则OA＝AB＝m，∵△OAB的面积为2，∴12m m＝2，解得：m＝2（负值舍去），∴点B的坐标为（2，2），代入反比例函数y＝kx中，得k＝4；（2）∵B（2，2）∴∠BOA＝45°，∵l⊥OB，∴O′A′⊥x轴∴P、O′、A′三点共线，且点O′在直线OB上∴O′（a，a）、A′（a，a﹣2）当O′在反比例函数图象上时，有a×a＝4解得：a1＝﹣2，a2＝2当A′在反比例函数图象上时，有a×（a﹣2）＝4 解得：a3＝1+5，a4＝1﹣5若线段O′A′与反比例函数y＝kx的图象有公共点，a的取值范围是：﹣2≤a≤1﹣5或2≤a≤1+5【点睛】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键21．1 2【解析】【分析】根据负整数指数幂和tan60°＝3得到原式＝23﹣3+12﹣3，然后合并即可．【详解】原式＝23﹣3+12﹣3＝12．【点睛】本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行加减运算．也考查了负整数指数幂以及特殊角的三角函数值．22．该夜行灯距离地面的高度AN的长为1m．【解析】【分析】过点A作AD⊥MN于点D，在Rt△ADB与Rt△ACD中，由锐角三角函数的定义可知tan10°14919,tan14504ADDCAD ADDC BC DC︒+====+=，即可得出AD的长．【详解】过点A作AD⊥MN于点D，在Rt△ADB与Rt△ACD中，由锐角三角函数的定义可知：tan10°＝914509AD ADDC BC DC==++，tan14°＝14 ADDC=，故4AD＝DC，则91450 49ADAD=+解得：AD＝1，答：该夜行灯距离地面的高度AN的长为1m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．23．（1）详见解析；（2）88；（3）16．【解析】【分析】（1）根据关注消费的人数是420人，所占的比例式是30%，即可求得总人数，然后利用总人数乘以关注教育的比例求得关注教育的人数；（2）利用总人数乘以对应的百分比即可得到最关注环保问题的人数；（3）利用列举法画树状图，即可求得抽取的两人恰好是甲和乙的概率．【详解】（1）调查的总人数是：420÷30%＝1400（人），关注教育的人数是：1400×25%＝350（人）．如图所示：；（2）最关注环保问题的人数为：880×10%＝88万人；（3）画树形图得：则P （抽取的两人恰好是甲和乙）＝21=126． 【点睛】 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）6.【解析】【分析】（1）分别画出A 、B 、C 三点的对应点即可解决问题；（2）由（1）得111A B C ∆各顶点的坐标，然后利用位似图形的性质，即可求得222A B C ∆各点的坐标，然后在图中作出位似三角形即可．（3）求得222A B C ∆所在矩形的面积减去三个三角形的面积即可.【详解】（1）如图，111A B C ∆即为所求作；（2）如图，222A B C ∆即为所求作；（3）222A B C ∆面积=4×4-12×2×4-12×2×2-12×2×4=6. 【点睛】本题主要考查了利用平移变换作图、位似作图以及求三角形的面积，作图时要先找到图形的关键点，把这几个关键点按平移的方向和距离确定对应点后，再顺序连接对应点即可得到平移后的图形.25．（1）补图见解析；（2）3，3.24；（3）9120名.【解析】【分析】（1）家访总人数：54÷36%＝150（人），家访4次的人数：150×28%＝42（人），家访2次的人数：150﹣6﹣54﹣42﹣18＝30（人）；（2）根据统计图可知，家访3次的人数最多，所以众数为3，平均每位教师家访：（6×1+30×2+54×3+42×4+18×5）÷150＝3.24（次）；（3）近两周家访不少于3次的教师有12000×544218150++ ＝9120（名）． 【详解】解：（1）家访总人数：54÷36%＝150（人），家访4次的人数：150×28%＝42（人）家访2次的人数：150﹣6﹣54﹣42﹣18＝30（人）条形统计图补全如下：（2）根据统计图可知，家访3次的人数最多，所以众数为3，平均每位教师家访：（6×1+30×2+54×3+42×4+18×5）÷150＝3.24（次），故答案为3，3.24；（3）近两周家访不少于3次的教师有12000×544218150++＝9120（名）． 【点睛】本题考查了统计图与概率，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键．。

(十二) 反比例函数|夯实基础|1.[2017·枣庄] 如图K12-1,O是坐标原点,菱形OABC的顶点A的坐标为(-3,4),顶点C在x轴的负半轴上,函数y=(x<0)的图象经过顶点B,则k的值为()图K12-1A.-12B.-27C.-32D.-362.[2018·威海] 若点(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)在双曲线y=(k<0)上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1<y2<y3B.y3<y2<y1C.y2<y1<y3D.y3<y1<y23.[2018·临沂] 如图K12-2,正比例函数y1=k1x与反比例函数y2=的图象相交于A,B两点,其中点A的横坐标为1,当y1<y2时,x的取值范围是()图K12-2A.x<-1或x>1B.-1<x<0或x>1C.-1<x<0或0<x<1D.x<-1或0<x<14.[2018·广州] 一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一直角坐标系中大致图象是()K12-35.[2018·重庆A卷] 如图K12-4,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上,横坐标分别为1,4,对角线BD∥x轴.若菱形ABCD的面积为,则k的值为()图K12-4A.B.C.4 D.56.[2018·温州] 如图K12-5,点A,B在反比例函数y=(x>0)的图象上,点C,D在反比例函数y=(x>0)的图象上,AC∥BD∥y轴,已知点A,B的横坐标分别为1,2,△OAC与△ABD的面积之和为,则k的值为()图K12-5A.4B.3C.2D.7.[2017·泰州] 如图K12-6,P为反比例函数y=(k>0)在第一象限内图象上的一点,过点P分别作x轴,y轴的垂线交一次函数y=-x-4的图象于点A,B,若∠AOB=135°,则k的值是()图K12-6A.2B.4C.6D.88.已知点P(3,-2)在反比例函数y=(k≠0)的图象上,则k= ;在第四象限中,函数值y随x的增大而.9.[2017·连云港] 设函数y=与y=-2x-6的图象的交点坐标为(a,b),则+的值是.10.[2018·盐城] 如图K12-7,点D为矩形OABC的边AB的中点,反比例函数y=(x>0)的图象经过点D,交BC边于点E.若△BDE的面积为1,则k= .图K12-711.[2017·温州] 如图K12-8,矩形OABC的边OA,OC分别在x轴、y轴上,点B在第一象限,点D在边BC上,且∠AOD=30°,四边形OA'B'D与四边形OABD关于直线OD对称(点A'和A,B和B'分别对应),若AB=1,反比例函数y=(k≠0)的图象恰好经过点A',B,则k的值为.图K12-812.[2018·衢州] 如图K12-9,点A,B是反比例函数y=(x>0)图象上的两点,过点A,B分别作AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D,连结OA,BC,已知点C(2,0),BD=2,S△BCD=3,则S△AOC= .图K12-913.[2018·杭州] 已知一艘轮船上装有100吨货物,轮船到达目的地后开始卸货,设平均卸货速度为v(单位:吨/时),卸完这批货物所需的时间为t(单位:时).(1)求v关于t的函数表达式;(2)若要求不超过5小时卸完船上的这批货物,那么平均每小时至少要卸货多少吨?14.[2018·南充] 如图K12-10,直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y=(m≠0)交于点A-,2,B(n,-1).(1)求直线与双曲线的解析式;(2)点P在x轴上,如果S△ABP=3,求点P的坐标.图K12-1015.[2018·天水] 如图K12-11所示,在平面直角坐标系中,直线y=x-1与y轴相交于点A,与反比例函数y=(k≠0)的图象在第一象限内相交于点B(m,1).(1)求反比例函数的解析式;(2)将直线y=x-1向上平行移动后与反比例函数的图象在第一象限内相交于点C,且△ABC的面积为4,求平行移动后的直线的解析式.图K12-11|拓展提升|16.[2018·宁波] 如图K12-12,平行于x轴的直线与函数y=(k1>0,x>0),y=(k2>0,x>0)的图象分别相交于A,B 两点,点A在点B的右侧,C为x轴上的一个动点.若△ABC的面积为4,则k1-k2的值为()图K12-12A.8B.-8C.4D.-417.[2017·湖州] 如图K12-13,在平面直角坐标系xOy中,已知直线y=kx(k>0)分别交反比例函数y=和y=在第一象限的图象于点A,B,过点B作BD⊥x轴于点D,交函数y=的图象于点C,连结AC.若△ABC是等腰三角形,则k的值是.图K12-1318.[2017·金华] 如图K12-14,已知点A(2,3)和点B(0,2),点A在反比例函数y=的图象上.作射线AB,再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°,交反比例函数图象于点C,则点C的坐标为.图K12-1419.[2017·德州] 有这样一个问题:探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y=x与y=(k≠0)的图象性质.小明根据学习函数的经验,对函数y=x与y=,当k>0时的图象性质进行了探究.下面是小明的探究过程:(1)如图K12-15所示,设函数y=x与y=图象的交点为A,B.已知A点的坐标为(-k,-1),则B点的坐标为.图K12-15(2)若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点.①设直线PA交x轴于点M,直线PB交x轴于点N.求证:PM=PN.证明过程如下:设P m,,直线PA的解析式为y=ax+b(a≠0).则解得∴直线PA的解析式为.请你把上面的解答过程补充完整,并完成剩余的证明.②当P点坐标为(1,k)(k≠0)时,判断△PAB的形状,并用k表示出△PAB的面积.参考答案1.C[解析] ∵A(-3,4),∴OA==5,∵四边形OABC是菱形,∴AO=CB=OC=AB=5,则点B的横坐标为-3-5=-8,故B的坐标为(-8,4),将点B的坐标代入y=得,=4,解得k=-32.故选C.2.D3.D[解析] 由正比例函数图象、反比例函数图象的中心对称性,以及正比例函数y1=k1x与反比例函数y2=的图象交点A的横坐标为1,可得另一个交点B的横坐标为-1,结合图象知,当y1<y2时,x的取值范围是x<-1或0<x<1,故选D.4.A[解析] 由选项A,B中直线的位置,可知a>0,b>0,而当x=-1时,y=-a+b<0,从而a-b>0,故反比例函数y=的图象应该在第一,三象限,故选项B错误;由选项C,D中直线的位置,可知a<0,b>0,而当x=-1时,y=-a+b>0,从而a-b<0,反比例函数y=的图象应该在第二,四象限,故选项C,D错误.故答案为A.5.D[解析] 设点A(1,k),则由点A,B均在双曲线y=上,得B(4,),由菱形ABCD的面积为,得AC·BD=×2(k-)×6=,解得k=5,故选D.6.B[解析] 因为点A,B在反比例函数y=上,所以A(1,1),B(2,),又因为AC∥BD∥y轴,平行于y轴的直线上的点的横坐标相等,所以利用A点的横坐标是1求出C点的横坐标是1,同理,B点的横坐标是2,所以D点的横坐标是2.则得到C(1,k),D(2,),所以AC=k-1,BD=-,因为△OAC和△ABD中,AC和BD上的高都是1,所以△OAC的面积=(k-1),△ABD 的面积=(-),所以△OAC与△ABD的面积之和=(k-1)+(-)=,解得k=3.故选B.7.D[解析] 如图,设直线AB与x轴交于点G,与y轴交于点K,则G(-4,0),K(0,-4).∴OG=OK=4,在Rt△GOK中,∠OGK=∠OKG=45°,∴∠OBG+∠BOG=45°,∠OGB=∠OKA=135°.又∵∠BOA=135°,∠GOK=90°,∴∠BOG+∠AOK=45°,∴∠OBG=∠AOK ,∴△BOG ∽△OAK ,∴=,设P 点坐标为(x ,y ),则BG=y ,AK=x ,故=,∴2xy=16,xy=8,∴k=xy=8.8.-6 增大 [解析]∵点P (3,-2)在反比例函数y=(k ≠0)的图象上,∴k=3×(-2)=-6. ∵k=-6<0,∴反比例函数y=的图象在第二、四象限,且在每个象限内y 随x 的增大而增大,∴在第四象限中,函数值y 随x 的增大而增大.9.-2 [解析] 根据函数图象的交点为(a ,b ),可代入两个函数的解析式得ab=3,b=-2a-6,即b+2a=-6,所以+===-2.10.4 [解析] 设D (a ,),∵点D 为矩形OABC 的AB 边的中点,∴B (2a ,),∴E (2a ,),∵△BDE 的面积为1,∴·a ·(-)=1,解得k=4.11. [解析] 由点B 在反比例函数图象上且AB=1,可得OA=k ,由对称性可知OA'=OA=k ,∠AOA'=2∠AOD=60°,∴点A'的坐标为(k ,k ),由点A'在反比例函数图象上,得k×k=k,∴k=.12.5[解析] ∵△BCD的面积=3,BD=2,∴CD=3, 又∵点C坐标为(2,0),∴OD=5,连结OB,则△BOD的面积=OD·BD=5,根据反比例函数的性质可得:△AOC的面积也是5.13.解:(1)v=(t>0).(2)由题意得0<t≤5,当t=5时,v=20,∵k=100>0,∴v≥20,∴平均每小时至少要卸货20吨.14.解:(1)∵点A-,2在双曲线y=上,∴2=,∴m=-1,∴y=-.∴B(1,-1).又∵直线y=kx+b经过A,B两点,∴解得∴y=-2x+1.(2)直线y=-2x+1与x轴交点为C(,0),S△ABP=S△ACP+S△BCP=×2·CP+×1·CP=3,解得CP=2.∴P的坐标为(,0)或(-,0).15.解:(1)∵点B(m,1)在直线y=x-1上,∴1=m-1,解得m=2,∴点B(2,1).∵点B(2,1)在反比例函数y=的图象上,∴k=2,∴反比例函数的解析式为y=.(2)如图标注各点,设平移后直线与y轴交于点D,过点D作DE⊥直线AB,交AB于点E.对于直线y=x-1,当x=0时,y=-1,当y=0时,x=1,∴点A(0,-1),点F(1,0),∴AO=FO.∵∠AOF=90°,∴∠FAO=45°.∵点B(2,1),点A(0,-1),∴AB=2.由S△ABC=AB·DE=4,AB=2,可知DE=2.在Rt△ADE中,∠DAE=45°,DE=2,∴AD=4,则点D的坐标为(0,3).将直线AB平移得直线CD,设直线CD的关系式为y=x+a,∵点D在直线y=x+a上,∴a=3,则平移后的直线的解析式为y=x+3.16.A[解析] 设点A的坐标为(x A,y A),点B的坐标为(x B,y B),点C的坐标为(x C,0).∵AB∥x轴,∴y A=y B.过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D(x D,y D).∵AB=x A-x B,CD=y D-y C=y A-y C,∴S△ABC=AB·CD=(x A-x B)(y A-y C)=(x A-x B)y A=(x A y A-x B y B)=(|k1|-|k2|)=(k1-k2), 即4=(k1-k2),∴k1-k2=8.17.或[解析] 设出B,A两点的坐标,并表示出C点坐标,得到BC的长度,然后分三种情况讨论k值.设B(a,),A(b,),∴C(a,),∵A,B在直线y=kx上,∴ka=,kb=.∴a2=,b2=.又∵BD⊥x轴,∴BC=.分类一:当AB=BC时,∵AB=,∴(a-b)=,∴(-)=,∴k=.分类二:当AC=BC时,∵AC=,∴(1+)(-)2=,∴k=.分类三:当AB=AC时,1+=1+k2,∴k=0(舍去).综上所述k=或.18.(-1,-6)[解析] 设AC与x轴交于点D.如图,过点A作HA⊥AB交x轴于点H,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AH,垂足分别为E,F,AB与x轴交点为G.设直线AB的解析式为y=kx+b,把点A(2,3)和点B(0,2)的坐标分别代入,得解得∴y=x+2.令y=0,则x+2=0,得x=-4.∴G(-4,0).∴OG=4,OB=2.∵点A(2,3),OG=4,可得AG=3.∵∠BGO=∠HGA,∠GOB=∠GAH=90°,∴△BOG∽△HAG,∴=,即=,∴AH=.由△AGH的面积,可得×3GH=AG·AH,即3GH=3×,得GH=,∴OH=GH-OG=.∵AH⊥AB,∠GAC=45°,∴AD平分∠GAH.∵DE⊥AB,DF⊥AH,∴DE=DF=AF.由△AGH的面积,可得DE·AG+DF·AH=AG·AH,即(3+)DF=×3×,∴DF=,∴AF=,FH=-=,∴DH==,∴OD=OH-DH=-=1,∴D(1,0).设直线AD的解析式为y=mx+n,把点A(2,3),D(1,0)的坐标代入,得解得∴y=3x-3.把点A(2,3)的坐标代入y=,得y=.由得或∴点C的坐标为(-1,-6).19.[解析] (1)根据正比例函数图象与反比例函数图象的对称性可知点A与点B关于原点O对称,据此可求B点的坐标;(2)①利用加减消元法易求a,b的值(用含m,k的式子表示);利用直线PA的解析式,确定点M的坐标,过点P作PH⊥x轴于H,可得MH=NH,继而可得结论PM=PN.②当P点坐标为(1,k)(k≠0)时,有MH=HN=PH,从而可求∠APB=90°,故△PAB为直角三角形.分k>1,0<k<1两种情况,利用相关三角形的面积和差计算△PAB的面积.解:(1)B点的坐标为(k,1).(2)①证明过程如下:设P(m,),直线PA的解析式为y=ax+b(a≠0),则解得∴直线PA的解析式为y=x+-1.令y=0,得x=m-k,∴M点的坐标为(m-k,0).过点P作PH⊥x轴于H,∴点H的坐标为(m,0).∴MH=x H-x M=m-(m-k)=k.同理可得HN=k.∴PM=PN.②由①知,在△PMN中,PM=PN,△PMN为等腰三角形,且MH=HN=k,当P点坐标为(1,k)时,PH=k,∴MH=HN=PH,∴∠PMH=∠MPH=45°,∠PNH=∠NPH=45°,∴∠MPN=90°,即∠APB=90°,∴△PAB为直角三角形.当k>1时,如图①,S△PAB=S△PMN-S△OBN+S△OAM=MN·PH-ON·y B+OM·|y A|=×2k×k-(k+1)·1+(k-1)·1=k2-1.当0<k<1时,如图②,S△PAB=S△OBN-S△PMN+S△OAM=ON·y B-k2+OM·|y A|=(k+1)·1-k2+(1-k)·1=1-k2.。

专题06 方程及其应用反比例函数1．（2019·浙江温州）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为近视眼镜的度数y（度）200 250 400 500 1000 镜片焦距x（米）0.50 0.40 0.25 0.20 0.10A．y100x=B．y100x=C．y400x=D．y400x=【答案】A【解析】由表格中数据可得：xy=100，故y关于x的函数表达式为：y100x =．故选A．【名师点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．2．（2019·浙江台州）已知某函数的图象C与函数y3x=的图象关于直线y=2对称．下列命题①图象C与函数y3x=的图象交于点（32，2）；②点（12，–2）在图象C上；③图象C上的点的纵坐标都小于4；④A（x1，y1），B（x2，y2）是图象C上任意两点，若x1>x2，则y1>y2．其中真命题是A．①②B．①③④C．②③④D．①②③④【答案】A【解析】∵函数y3x=的图象在第一、三象限，函数y3x=的图象关于直线y=2对称，则点（32，2）是图象C与函数y3x=的图象的交点；∴①正确；点（12，–2）关于y=2对称的点为点（12，6），∵（12，6）在函数y3x=上，∴点（12，–2）在图象C上；∴②正确；∵y 3x=中y ≠0，x ≠0， 取y 3x=上任意一点为（x ，3x ），则点（x ，3x ）与y =2对称点的纵坐标为43x-；当x <0时，43x->0，∴③错误；A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）关于y =2对称点为（x 1，4–y 1），B （x 2，4–y 2）在函数y 3x=上， ∴4–y 113x =，4–y 223x =，只有当x 1>x 2>0或0>x 1>x 2时，4–y 1<4–y 2，即y 1>y 2， ∴④不正确； 故选A ．【名师点睛】本题考查反比例函数图象及性质；熟练掌握函数关于直线后对称时，对应点关于直线对称是解题的关键．3．（2019·浙江绍兴）如图，矩形ABCD 的顶点A ，C 都在曲线y kx=（常数k >0，x >0）上，若顶点D 的坐标为（5，3），则直线BD 的函数表达式是__________．【答案】y 35=x 【解析】∵D （5，3）， ∴A （3k ，3），C （5，5k）， ∴B （3k ，5k）， 设直线BD 的解析式为y =mx +n ，把D （5，3），B （3k ，5k）代入， 得5335m n k k m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得350m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BD 的解析式为y 35=x ． 故答案为y 35=x ． 【名师点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y kx=（k 为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy =k ．也考查了矩形的性质．4．（2019·浙江衢州）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，Y ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，点C 在第一象限，将△AOD 沿y 轴翻折，使点A 落在x 轴上的点E 处，点B 恰好为OE 的中点，DE 与BC 交于点F ．若y kx=（k ≠0）图象经过点C ，且S △BEF =1，则k 的值为__________．【答案】4【解析】如图，连接OC ，BD ，∵将△AOD 沿y 轴翻折，使点A 落在x 轴上的点E 处，∴OA =OE ， ∵点B 恰好为OE 的中点，∴OE =2OB ，∴OA =2OB ， 设OB =BE =x ，则OA =2x ，∴AB =3x ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD =AB =3x ，∵CD ∥AB ，∴△CDF ∽△BEF ， ∴133BE EF x CD DF x ===， ∵S △BEF =1，∴S △BDF =3，S △CDF =9，∴S△BCD=12，∴S△CDO=S△BDC=12，∴k=2S△CDO=24．【名师点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5．（2019·浙江宁波）如图，过原点的直线与反比例函数ykx=（k>0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限．点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D．AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连结DE．若AC=3DC，△ADE的面积为8，则k的值为__________．【答案】6【解析】如图，连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，∵过原点的直线与反比例函数ykx=（k>0）的图象交于A，B两点，∴A与B关于原点对称，∴O 是AB 的中点， ∵BE ⊥AE ， ∴OE =OA ， ∴∠OAE =∠AEO ， ∵AE 为∠BAC 的平分线， ∴∠BAE =∠DAE ， ∴∠DAE =∠AEO ， ∴AD ∥OE ， ∴S △ACE =S △AOC ，∵AC =3DC ，△ADE 的面积为8， ∴S △ACE =S △AOC =12， 设点A （m ，km）， ∵AC =3DC ，DH ∥AF ， ∴3DH =AF ， ∴D （3m ，3km）， ∵CH ∥GD ，AG ∥DH ， ∴△DHC ∽△AGD ， ∴S △HDC 14=S △ADG ， ∵S△AOC =S △AOF +S梯形AFHD +S△HDC1122k =+⨯（DH +AF ）×FH +S △HDC 114223k k m=+⨯⨯2m 112142243236k k km k m +⨯⨯⨯=++=12， ∴2k =12，∴k =6； 故答案为6．【名师点睛】本题考查反比例函数k 的意义；借助直角三角形和角平分线，将△ACE 的面积转化为△AOC 的面积是解题的关键．6．（2019·浙江湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y 12=x ﹣1分别交x 轴，y 轴于点A 和点B ，分别交反比例函数y 1k x =（k >0，x >0），y 22k x=（x ＜0）的图象于点C 和点D ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，连结OC ，OD ．若△COE 的面积与△DOB 的面积相等，则k 的值是__________．【答案】2【解析】令x =0，得y 12=x ﹣1=﹣1， ∴B （0，﹣1）， ∴OB =1， 把y 12=x ﹣1代入y 22k x =（x ＜0）中得，12x ﹣12k x=（x ＜0），解得x =1∴1D x =，∴1122OBD D S OB x =⋅=V ， ∵CE ⊥x 轴， ∴12OCE S k =V ， ∵△COE 的面积与△DOB 的面积相等，1122k =， ∴k =2，或k =0（舍去）． 故答案为：2．【名师点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，反比例函数“k ”的几何意义，一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，关键是根据两个三角形的面积相等列出k 的方程．7．（2019·浙江杭州）方方驾驶小汽车匀速地从A 地行驶到B 地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t （单位：小时），行驶速度为v （单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时． （1）求v 关于t 的函数表达式；（2）方方上午8点驾驶小汽车从A 地出发．①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．【答案】（1）v关于t的函数表达式为：v480t=（t≥4）．（2）①可得小汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤100．方方不能在当天11点30分前到达B地．【解析】（1）因为vt=480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，②所以v关于t的函数表达式为：v480t=（t≥4）．理由见解析.（2）①8点至12点48分，时间长为245小时；8点至14点，时间长为6小时．将t=6代入v480t=，解得v=80；将t245=代入v480t=，解得v=100．综上可得小汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤100．②方方不能在当天11点30分前到达B地．理由如下：8点至11点30分，时间长为72小时，将t72=代入v480t=，解得v=9607．因为9607>120，所以超速了．故方方不能在当天11点30分前到达B地．【名师点睛】本题考查反比例函数在行程问题中的应用，根据时间速度和路程的关系可以求解，本题难度不大．8．（2019·浙江金华）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数yk x =（k>0，x>0）的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD=2．（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；（2）若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．【答案】（1）点A在该反比例函数的图象上，理由见解析；（2）Q；【解析】（1）点A在该反比例函数的图象上，理由如下：如图，过点P作x轴垂线PG，连接BP，∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD=2，∴BP=2，G是CD的中点，∴PG=∴P（2），∵P在反比例函数ykx=上，∴k∴y=，由正六边形的性质，A（1，），∴点A在反比例函数图象上；（2）由题易得点D的坐标为（3，0），点E的坐标为（4），设直线DE的解析式为y=ax+b，∴304a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩， ∴y =﹣，联立方程y y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 解得x =∴Q点横坐标为32+； （3）A （1，B （0），C （1，0），D （3，0），E （4），F （3，设正六边形向左平移m 个单位，向上平移n 个单位，则平移后点的坐标分别为∴A （1﹣m ，n ），B （﹣mn ），C （1﹣m ，n ），D （3﹣m ，n ），E （4﹣mn ）， F （3﹣m ，n ），①将正六边形向左平移两个单位后，E （2F （1，）； 则点E 与F 都在反比例函数图象上；②将正六边形向左平移–1C （2），B （1，则点B 与C 都在反比例函数图象上；③将正六边形向左平移2个单位，再向上平移–个单位后，B （﹣2，，C （﹣1，﹣； 则点B 与C 都在反比例函数图象上．【名师点睛】本题主要考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标结合是解题的关系．9．（2019·浙江舟山）如图，在直角坐标系中，已知点B （4，0），等边三角形OAB 的顶点A 在反比例函数y k x=的图象上． （1）求反比例函数的表达式．（2）把△OAB 向右平移a 个单位长度，对应得到△O 'A 'B '，当这个函数图象经过△O 'A 'B '一边的中点时，求a 的值．【答案】（1）反比例函数的解析式为y =；（2）a 的值为1或3．【解析】（1）如图1，过点A 作AC ⊥OB 于点C ， ∵△OAB 是等边三角形， ∴∠AOB =60°，OC 12=OB ，∵B （4，0）， ∴OB =OA =4， ∴OC =2，AC把点A （2，y k x =，解得k∴反比例函数的解析式为y =；（2）分两种情况讨论：①当点D 是A ′B ′的中点，如图2，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ．由题意得A ′B ′=4，∠A ′B ′E =60°，在Rt △DEB ′中，B ′D =2，DE，B ′E =1．∴O′E=3，把y=y=，得x=4，∴OE=4，∴a=OO′=1；②如图3，点F是A′O′的中点，过点F作FH⊥x轴于点H．由题意得A′O′=4，∠A′O′B′=60°，在Rt△FO′H中，FH=O′H=1．把y=y=，得x=4，∴OH=4，∴a=OO′=3，综上所述，a的值为1或3．【名师点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，掌握直角三角形、等边三角形的性质以及分类讨论思想是解题的关键．。

第14讲 反比例函数及其图象1．反比例函数的概念、图象与性质考试内容考试要求反比例函数的概念一般地，形如y ＝kx (k 为常数，k ≠____________________)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数．自变量的取值X 围是____________________．b确定反比例函数的解析式常用方法：待定系数法．cy ＝kx(k≠0) 图象所在象限 性质 k>0一、三象限(x 、y同号) 在每个象限内，y随x 增大而____.k<0二、四象限(x 、y异号)在每个象限内，y随x 增大而____.反比例函数y ＝kx(k≠0)的图象是，且关于对称．注意点在应用反比例函数的性质时，要注意“在每个象限内”这几个字的含义，切忌说k ＞0时，y 就随x 的增大而减小．2．反比例函数中k 的几何意义考试内容考试要求k 的几 何意义反比例函数图象上的点(x ，y)具有两数之积(xy ＝k)为这一特点，则过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴c围成的矩形的面积为常数．结论的推导如图，过双曲线上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积S＝PM·PN＝____________________·____________________＝____________________．∵y＝kx，∴xy＝____________________，∴S＝____________________．拓展在上图中，易知S△POM＝S△PON＝．所以过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，则以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为常数．3.反比例函数的实际应用考试内容考试要求步骤①根据实际情况建立反比例函数模型；②利用待定系数法或其他学科的公式等确定函数解析式；③根据反比例函数的性质解决实际问题．c注意点在实际问题中，求出的解析式要注意自变量和函数的取值X围．考试内容考试要求基本思想1.反比例函数值的大小比较时，应分x＞0与x＜0两种情况讨论，而不能笼统地说成“k＜0时，y随x的增大而增大”．c ，要把x的取值以两交点横坐标、原点为分界点分成四部分进行分析．1．(2017·某某)已知电流I(安培)、电压U(伏特)、电阻R(欧姆)之间的关系为I ＝UR ，当电压为定值时，I 关于R 的函数图象是( )2．如图，函数y 1＝k 1x 与y 2＝k 2x 的图象相交于点A(1，2)和点B ，当y 1<y 2时，自变量x的取值X 围是( )A ．x ＞1B ．－1＜x ＜0C ．－1＜x ＜0或x ＞1D ．x ＜－1或0＜x ＜13．(2017·某某)如图，Rt △ABC 的两个锐角顶点A ，B 在函数y ＝kx (x ＞0)的图象上，AC∥x 轴，AC ＝2，若点A 的坐标为(2，2)，则点B 的坐标为____________________．4．(2016·某某)某某市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为2000平方米的长方形鱼塘．(1)求鱼塘的长y(米)关于宽x(米)的函数表达式；(2)由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米，当鱼塘的宽是20米，鱼塘的长为多少米？【问题】如图是反比例函数y ＝kx(k≠0)的图象．(1)请你根据图象写出相关的信息．(2)若直线y ＝k′x 与反比例函数图象交于P(3，4)、Q 两点，你又能得出哪些相关信息．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理反比例函数的相关概念和性质．类型一 反比例函数的图象与性质例1 已知反比例函数y ＝kx(k≠0)，(1)若该函数的图象经过点A(1，－2)，则k ＝________.(2)若k ＞0，点A(－1，y 1)，B(1，y 2)和C(2，y 3)都在该函数的图象上．则________＜________＜________(填y 1，y 2，y 3)．(3)若该函数的图象与y ＝6x 的图象关于y 轴成轴对称，则该函数的解析式为________．(4)若该函数的图象与函数y ＝－4x 的图象交于A(x ，4)、B 两点，则点B 的坐标为________．(5)若该函数的图象的每一条曲线上，y 都随x 的增大而减小，且k ＝1－m ，则m 的取值X 围是________．【解后感悟】解答问题的关键是数形结合，利用函数图象特点解决，如增减性、对称性．1．(1)(2017·某某模拟)已知反比例函数y ＝－8x ，则有：①它的图象在一、三象限；②点(－2，4)在它的图象上；③当1＜x ＜2时，y 的取值X 围是－8＜y ＜－4；④若该函数的图象上有两个点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，那么当x 1＜x 2时，y 1＜y 2.以上叙述正确的是____________________．(2)(2017·某某模拟)函数y 1＝x(x≥0)，y 2＝9x (x ＞0)的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点A 的坐标为(3，3)；②当x ＞3时，y 2＞y 1；③当x ＝1时，BC ＝8；④当x 逐渐增大时，y 1随着x 的增大而增大，y 2随着x 的增大而减小．其中正确结论的序号是____________________．(3)(2017·某某模拟)在反比例函数y ＝1－3mx图象上有两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，x 1＜0＜x 2，y 1＜y 2，则m 的取值X 围是____________________． 类型二 反比例函数y ＝kx (k≠0)的解析式及其k 的几何意义 例2 反比例函数y ＝kx(k≠0)，(1)如图，点A 是该函数图象上一点，过点A 作AB⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上，△ABP 面积为2，则该函数的解析式为________．第(1)题图第(2)题图(2)如图，该函数图象与函数y ＝x 图象相交于A 、C(－1，y)两点．AB⊥x 轴于B ，CD ⊥x 轴于D(如图)，则四边形ABCD 的面积为________．(3)如图，点A 在双曲线y ＝1x 上，点B 在双曲线y ＝3x 上，且AB∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为________．【解后感悟】反比例函数y ＝kx 中k 的几何意义：如图，点P 是双曲线上任意一点，过点P 作PA⊥x 轴于点A ，作PB⊥y 轴于点B ，设点P 的坐标为(x ，y)，则PA ＝|y|，PB ＝|x|.S 矩形PAOB ＝|x||y|＝|xy|，∵y ＝kx，∴xy ＝k ，∴S 矩形PAOB ＝|k|.即过双曲线上任意一点分别作坐标轴的垂线段，两条垂线段以及两坐标轴围成的矩形的面积为|k|，同时注意数形结合思想、运动思想的运用．2．(1)(2017·某某模拟)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的中心在原点，顶点A ，C 在反比例函数y ＝kx 的图象上，AB ∥y 轴，AD ∥x 轴，若ABCD 的面积为8，则k ＝____________________.(2) (2017·某某模拟)如图，直线x ＝2与反比例函数y ＝2x 和y ＝－1x 的图象分别交于A 、B 两点，若点P 是y 轴上任意一点，则△PAB 的面积是____________________．(3)(2015·某某)如图，直线y ＝2x 与反比例函数y ＝kx (k≠0，x>0)的图象交于点A(1，a)，点B 是此反比例函数图形上任意一点(不与点A 重合)，BC ⊥x 轴于点C.①求k 的值； ②求△OBC 的面积．类型三 反比例函数与其他函数、方程和不等式的问题 例3 反比例函数y ＝kx(k≠0)，(1)如图，该函数的图象(x ＞0)与直线y ＝ax 交于点A(1，2)，则不等式ax ＞kx 的解集是________．(2)设k ＝3，该函数的图象与y ＝－2x －6的图象的交点坐标为(a ，b)，则1a ＋2b 的值是________．(3)如图，设k ＝3，该函数的图象与一次函数y ＝ax ＋b 的图象交于A ，B 两点，当一次函数的值大于反比例函数的值时，－1＜x ＜0或x ＞3，则一次函数的解析式为________．【解后感悟】一次函数与反比例函数的交点坐标求法，以及正确地识别图象是解题的关键；注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．3．(1)(2017·某某市邗江区模拟)点A(a ，b)是一次函数y ＝x －1与反比例函数y ＝4x 的交点，则a 2b －ab 2＝____________________.(2)(2015·某某)如图，已知点A(a ，3)是一次函数y 1＝x ＋b 图象与反比例函数y 2＝6x 图象的一个交点．①求一次函数的解析式；②在y 轴的右侧，当y 1＞y 2时，直接写出x 的取值X 围．类型四 反比例函数 图象与几何图形的相关问题 例4(1) (2017·某某)如图，直线y ＝x ＋2与反比例函数y ＝kx 的图象在第一象限交于点P ，若OP ＝10，则k 的值为________．(2)(2017·某某模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(1，1)，B(2，2)，双曲线y ＝kx与线段AB 有公共点，则k 的取值X 围是________．(3)(2017·某某)已知△ABC 的三个顶点为A(－1，1)，B(－1，3)，C(－3，－3)，将△ABC 向右平移m(m ＞0)个单位后，△ABC 某一边的中点恰好落在反比例函数y ＝3x 的图象上，则m的值为________．(4)(2017·某某模拟)如图，点A 在双曲线y ＝3x 上，点B 在双曲线y ＝kx (k≠0)上，AB∥x 轴，过点A 作AD⊥x 轴于D ，连结OB ，与AD 相交于点C ，若AC ＝2CD ，则k 的值为________．【解后感悟】解题的关键是灵活转换点的坐标与长度之间的关系，充分利用k 的几何意义，数形结合，函数方程思想．4．(1)(2017·某某模拟)如图，若正方形OABC 的顶点B 和正方形ADEF 的顶点E 都在函数y ＝1x(x ＞0)的图象上，则点E 的坐标是()，.(2) (2017·某某模拟)如图，一次函数y ＝－x ＋4的图象与反比例函数y ＝kx (k 为常数，且k≠0)的图象交于A(1，a)、B 两点．①求反比例函数的表达式及点B 的坐标；②在x 轴上找一点P ，使PA ＋PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标及△PAB 的面积．类型五 反比例函数的应用例5 (2015·某某)某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x 小时之间的函数关系如图所示(当4≤x≤10时，y 与x 成反比)．(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与x 之间的函数关系式； (2)问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？【解后感悟】这是一道关于反比例函数的简单的图象信息题，解这类问题既要能根据图象信息理解其实际意义，又要能根据实际问题想象出其图象的特点．另外，还要关注一些特殊点的位置和坐标运用等．5．(2016·某某)我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15～20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y(℃)随时间x(h )变化的函数图象，其中AB 段是恒温阶段，BC 段是双曲线y ＝kx 的一部分，请根据图某某息解答下列问题：(1)求k 的值；(2)恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有多少小时？【探索研究题】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝kx (x>0)的图象和矩形ABCD 在第一象限，AD 平行于x 轴，且AB ＝2，AD ＝4，点A 的坐标为(2，6)．(1)直接写出B 、C 、D 三点的坐标；(2)若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．【方法与对策】把线段的长转化为点的坐标，在求k 的值的时候，由于k 的值等于点的横坐标与纵坐标之积，所以直接可得方程2(6－a)＝6(4－a)，求出平移距离a 后再由坐标求k ，实际上也可把A′，C ′两点坐标代入y ＝kx 中，得到关于a 、k 的方程组从而直接求得k 的值．该题型是图形变换，是中考的常见题型．【忽视反比例函数图象所在象限，求k 时出现错解现象】如图，反比例函数y ＝kx (k≠0)的图象上有一点A ，AB 平行于x 轴交y 轴于点B ，△ABO的面积是1，则k 的值为________．参考答案第14讲 反比例函数及其图象【考点概要】1．0x≠0 减小 增大 双曲线 原点 2.常数 |k||y||x||xy|k|k|12|k|12|k|【考题体验】1．C2.C3.(4，1) 4.(1)由长方形面积为2000平方米，得到xy ＝2000，即y ＝2000x；(2)当x ＝20(米)时，y ＝200020＝100(米)，所以当鱼塘的宽是20米时，鱼塘的长为100米．【知识引擎】【解析】(1)不唯一，如k ＞0，图象在一、三象限等．(2)不唯一，如k ＝12，直线y ＝43x ，OP ＝OQ 等． 【例题精析】例1 (1)－2 (2)y 1，y 3，y 2 (3)y ＝－6x (4)(1，－4) (5)m ＜1 例2 (1)y ＝4x ； (2)2；(3)2. 例3 (1)x ＞1；(2)－2；(3)y ＝x －2. 例4 (1)3； (2)1≤k≤4； (3)AB 边的中点(－1，2)，BC 边的中点(－2，0)，AC 边的中点(－2，－1)，向右平移m(m ＞0)个单位后，∴AB 边的中点(－1＋m ，2)，AC 边的中点(－2＋m ，－1)．∴2(－1＋m)＝3或－1×(－2＋m)＝3.∴m＝2.5或m ＝－1(舍去)．故答案为2.5. (4)过点B 作BE⊥x 轴于E ，延长线段BA ，交y 轴于F ，四边形AFOD 是矩形，四边形OEBF 是矩形，而DE ＝2OD ，∴S 矩形OEBF ＝3S矩形AFOD＝9，∴k ＝9，故答案为9.例5 (1)由图象可知，当0≤x≤4时，y 与x 成正比例关系，知，当x ＝4时，y ＝8，∴4k ＝8，解得：k ＝2；∴y＝2x(0≤x≤4)．又由题意可知：当4≤x≤10时，y 与x 成反比，设y ＝m x .由图象可知，当x ＝4时，y ＝8，∴m ＝4×8＝32；∴y＝32x (4≤x≤10)．即：血液中药物浓度上升时y ＝2x(0≤x≤4)；血液中药物浓度下降下时y ＝32x (4≤x≤10)． (2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升即：y≥4，∴2x ≥4且32x≥4，解得x≥2且x≤8；∴2≤x≤8，即持续时间为6小时．【变式拓展】1．(1)②③ (2)①③④ (3)m ＜132. (1)－2(2)32(3)①∵直线y ＝2x 与反比例函数y ＝kx (k≠0，x>0)的图象交于点A(1，a)，先将A(1，a)代入直线y ＝2x ，得：a ＝2，∴A(1，2)，将A(1，2)代入反比例函数y ＝k x 中得：k ＝2；②∵B 是反比例函数y ＝kx图象上的点，且BC⊥x 轴于点C ，∴△BOC的面积＝12|k|＝12×2＝1.3. (1)4 (2)①将A(a ，3)代入y 2＝6x 得a ＝2，∴A(2，3)，将A(2，3)代入y 1＝x＋b 得b ＝1，∴y 1＝x ＋1；②∵A(2，3)，∴根据图象得在y 轴的右侧，当y 1>y 2时，x>2.4.(1)5＋125－12(2)①由已知可得，a ＝3，k ＝3，∴反比例函数的表达式为y＝3x，B(3，1)；②如图，点B 关于x 轴对称，得到B′(3，－1)，PA ＋PB ＝PA ＋PB′≥AB′，当P 点和P′点重合时取到等号．易得直线AB′：y ＝－2x ＋5，∴P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，即满足条件的P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，设y ＝－x ＋4交x 轴于点C ，则C(4，0)，∴S △PAB ＝S △APC －S △BPC ＝12×PC ×(y A －y B )，即S △PAB ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－52×(3－1)＝32.5.(1)把B(12，20)代入y ＝kx中得：k ＝12×20＝240 (2)设AD 的解析式为：y ＝mx ＋n ，把(0，10)、(2，20)代入y ＝mx ＋n 中得：⎩⎪⎨⎪⎧n ＝10，2m ＋n ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝10.∴AD 的解析式为：y ＝5x ＋10，当y ＝15时，15＝5x ＋10，x ＝1，15＝240x ，x ＝24015＝16，∴16－1＝15h .答：恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有15小时．【热点题型】【分析与解】(1)先根据矩形的对边平行且相等的性质得到B 、C 、D 三点的坐标，B(2，4)，C(6，4)，D(6，6)．(2)从矩形的平移过程发现只有A ，C 两点能同时在双曲线上(这是一种合情推理，不必证明)，设平移距离为a ，把A ，C 两点坐标代入y ＝kx 中，得到关于a ，k 的方程组从而求得k 的值．如图，矩形ABCD 平移后得到矩形A′B′C′D′，平移距离为a ，则A′(2，6－a)，C ′(6，4－a)．∵点A′，点C′在y ＝kx 的图象上，∴2(6－a)＝6(4－a)，解得a ＝3，∴点A′(2，3)，∴反比例函数的解析式为y ＝6x.【错误警示】如图，，∴S △ABO ＝S △AOC ＝1，∴|k|＝S矩形ABOC＝S △ABO ＋S △AOC ＝2，∴k ＝2或k ＝－2.又∵函数图象位于第二象限，∴k ＜0，∴k ＝－2.。

一、选择题1. （2019山东滨州，12，3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象经过对角线OB 的中点D 和顶点C ．若菱形OABC 的面积为12，则k 的值为（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C【思路分析】连接AC ，由菱形的性质得出D 是AC 的中点，用字母分别表示A 和C 的坐标，利用中点公式表示出点D 的坐标，在由点C 和点D 都在反比例函数的图象上，代入坐标求出k 的值．【解题过程】如图，连接AC ，∵四边形OABC 是菱形，∴AC 经过点D ，且D 是AC 的中点．设点A 的坐标为（a ，0），点C 坐标为（b ，c ），则点D 坐标为（2a b +，2c）．∵点C 和点D 都在反比例函数y=kx的图象上，∴bc=2a b +×2c，∴a=3b ；∵菱形的面积为12，∴ac=12，∴3bc=12，bc=4，即k=4．故选C ．法2：设点A 的坐标为（a ，0），点C 的坐标为（c ，），则，点D 的坐标为（），∴，解得，k ＝4，故选C ．【知识点】菱形的性质；反比例函数k 的几何意义2. （2019江苏省无锡市，9，3）如图，已知A 为反比例函数k y x=（x <0）的图像上一点，过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B .若△OAB 的面积为2，则k 的值为（ ） A.2 B. -2 C. 4D.-4【答案】D【思路分析】本题考查了反比例函数的比例系数k 的几何意义，根据k 的几何意义直接求k . 【解题过程】如图，∵AB ⊥y 轴， S △OAB ＝2，而S △OAB 12=|k |，∴12|k |＝2，∵k ＜0，∴k ＝﹣4．故选D ．【知识点】反比例函数性质3. （2019山东省济宁市，9，3分）如图，点A 的坐标是(－2，0)，点B 的坐标是(0，6)，C 为OB 的中点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A 'BC '．若反比例函数y ＝kx的图象恰好经过A 'B 的中点D ，则k 的值是（ ） A ．9 B ．12 C ．15 D ．18【答案】C【思路分析】中点公式表示AB 的中点，旋转求D 得坐标，最后由一点求反比例函数k 【解题过程】取AB 的中点（－1，3），旋转后D （3，5）∴k ＝3×5＝15，选C 【知识点】反比例函数系数k 的几何意义；反比例函数的图象和性质．4. (2019山东枣庄,9,3分) 如图,在平面直角坐标系中等腰直角三角形ABC 的顶点A,B 分别在x 轴,y 轴的正半轴上,∠ABC ＝90°,CA ⊥x 轴,点C 在函数ky x=(x>0)的图象上,若AB ＝1,则k 的值为 A.1D.2x y -6O第9题图 【答案】A【解析】在等腰直角三角形ABC 中,AB ＝1,∴AC ∵CA ⊥x 轴,∴y C △ABC 中,∠BAC ＝45°,CA ⊥x轴,∴∠BAO ＝45°,∴∠ABO ＝45°,∴△ABO 是等腰直角三角形,∴OA ,∴x C ,k ＝x C `y C ＝1,故选A 【知识点】等腰直角三角形,反比例函数5. （2019山东淄博，12，4分）如图，11122233,,,OA B A A B A A B ∆∆∆…是分别以123,,,A A A …为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点111222333(,),(,),(,),C x y C x y C x y …均在反比例函数4y x=（x ＞0）的图象上，则12100y y y +++的值为（ ）A .B .6C .D .【答案】20【思路分析】根据△OC 1A 1是等腰直角三角形，过点C 1作C 1M ⊥x 轴，则C 1M ＝OM ＝MA 1，所以可设C 1的坐标是（a ，a ），把（a ，a ）代入解析式得到a ＝2，从而求出A 1的坐标是（4，0），再根据△C 2A 1A 2是等腰直角三角形，设C 2的纵坐标是b ，则C 2的横坐标是4＋b ，把（4＋b ，b ）代入函数解析式得到b 的值，故可得出C 2的纵坐标y 2，同理可以得到C 3的纵坐标，…C 100的纵坐标，根据规律可以求出y 1＋y 2＋…＋y 100． 【解题过程】如图，过点C 1作C 1M ⊥x 轴，∵△OC 1A 1是等腰直角三角形，∴C 1M ＝OM ＝MA 1， 设C 1的坐标是（a ，a ）（a ＞0），，把（a ，a ）代入解析式4y x=（a ＞0）中，得a ＝2， ∴y 1＝2,∴A 1的坐标是（4，0），又∵△C 2A 1A 2是等腰直角三角形， ∴设C 2的纵坐标是b （b ＞0），则C 2的横坐标是4＋b ，把（4＋b ，b ）代入函数解析式得b ＝44b+，解得b ＝2﹣2，∴y 2＝﹣2，∴A 2的坐标是（4，0），设C3的纵坐标是c （c ＞0），则C 3横坐标为4＋c ，把（＋c ，c ）代入函数解析式得c解得c ＝﹣，∴y 3＝﹣.∵y 1＝，y 2＝﹣y 3＝﹣，…∴y 100＝∴y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 100＝2＋22﹣2＋2﹣22＋…＋2100﹣299＝2100＝20.【知识点】规律探究问题，反比例函数图象和性质，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，二次根式的计算6.（2019四川省凉山市，8，4）如图，正比例函数y =kx 与反比例函数y =x4的图象相交于A 、C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ，连接BC ，则△ABC 的面积等于（ ▲ ） A.8 B.6 C.4 D .2第8题图【答案】C【思路分析】根据点A 在反比例函数图像上假设点A 坐标，利用对称性求出C 的坐标，最后求得△ABC 的面积. 【解题过程】设A 点的坐标为（m ，4m ），则C 点的坐标为（-m ，-4m），∴1414422ABC OBC OAB S S S m m m m∆∆∆=+=⨯+-⨯-=，故选C. 【知识点】正比例函数与反比例函数图像的对称性；三角形的面积7. （2019天津市，10，3分） 若点A(-3，y 1),B(-2,y 2),C(1,y 3)都在反比例函数xy 12-=的图像上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是(A) y 2<y 1<y 3 (B) y 3 <y 1 <y 2 (C) y 1 <y 2<y 3 (D) y 3 <y 2<y 1 【答案】B【解析】因为反比例函数x y 12-=的图像在二四象限， 如图，将A,B,C 三点在图像上表示，答案为B【知识点】反比例函数图像的性质.8. (2019浙江台州,9题,4分)已知某函数的图象C 与函数3y x=的图象关于直线y ＝2对称.下列命题:①图象C 与函数3y x =的图象交于点(32,2);②点(12,－2)在图象C 上;③图象C 上的点的纵坐标都小于4;④A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是图象C 上任意两点,若x 1>x 2,则y 1>y 2.其中真命题是( )A.①②B.①③④C.②③④D.①②③④ 【答案】A【解析】令y ＝2,得x ＝32,这个点在直线y ＝2上,∴也在图象C 上,故①正确;令x ＝12,得y ＝6,点(12,6)关于直线y ＝2的对称点为(12,－2),∴点(12,－2)在图象C 上,②正确;经过对称变换,图象C 也是类似双曲线的形状,没有最大值和最小值,故③错误;在同一支上,满足x 1>x 2,则y 1>y 2,但是没有限制时,不能保证上述结论正确,故④错误.综上所述,选A.【知识点】反比例函数图象的性质,对称变换,交点坐标,增减性9.（2019重庆市B 卷，9，4）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴上，点A （10,0），sin ∠COA =45.若反比例函数y =kx(k ﹥0,x ﹥0)经过点C ，则k 的值等于（ ）【答案】C9题图【思路分析】根据菱形的性质得出OC=OA =10.过点C 作CD ⊥OA .由sin ∠COA =45可得 OD =6，CD =8 ∴C （6,8） 根据发反比例函数图像过点C ，求出k =48【解题过程】解：过C 作CD ⊥OA 交x 轴于D ∵OABC 为菱形，A （10,0）∴OC=OA =10.∵sin ∠COA =45 ∴CD OC =45 即10CD =45∴CD =8, ∴OC =6, ∴C （6,8） ∵反比例函数y =kx(k ﹥0,x ﹥0)经过点C , k =6×8=48. 故选Ｃ．【知识点作】反比例函数图像上点的特征；菱形的性质；锐角三角函\数10. （2019重庆A 卷，9，4）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴上，对角线BD ∥x 轴，反比例函数y ＝kx（k ＞0，x ＞0)的图象经过矩形对角线的交点E ．若点A （2，0），D （0，4），则k 的值为 （ ）A ．16B ．20C ．32D ．40【答案】B ．【解析】如答图，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ，则∠AFB ＝∠DOA ＝90°．∵四边形ABCD 是矩形， ∴ED ＝EB ，∠DAB ＝90°．∴∠OAD ＋∠BAF ＝∠BAF ＋∠ABF ＝90°． ∴∠OAD ＝∠FBA ． ∴△AOD ∽△BF A ．∴OA ODBF AF． ∵BD ∥x 轴，A （2，0），D （0，4）， ∴OA ＝2，OD ＝4＝BF ．∴244AF =．∴AF＝8．∴OF＝10，E(5，4)．∵双曲线y＝kx过点E，∴k＝5×4＝20．故选B．【知识点】反比例函数；矩形的性质；相似三角形的判定与性质11.（2019安徽省，5，4分）已知点(1,3)A-关于x的对称点A'在反比例函数kyx=的图象上，则实数k的值为()A．3B．13C．3-D．13-【答案】A【解析】解：点(1,3)A-关于x轴的对称点A'的坐标为(1,3)，把(1,3)A'代入kyx=得133k=⨯=，故选B．【知识点】反比例函数的系数12.（2019广东广州，8，3分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y1＜y2＜y3【答案】C【解析】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y的图象上，∴y16，y23，y32，又∵﹣6＜2＜3，∴y1＜y3＜y2．故选：C．【知识点】反比例函数的图象13.（2019贵州黔东南，9，4分）若点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2【答案】C【解析】解：∵点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y的图象上，∴y1，y2，y3，又∵＜＜，∴y3＜y1＜y2．故选：C．【知识点】反比例函数的图象14.（2019湖北鄂州，8，3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+k与y（k为常数，且k≠0）的图象大致是（）【答案】C【解析】解：∵函数y＝﹣x+k与y（k为常数，且k≠0），∴当k＞0时，y＝﹣x+k经过第一、二、四象限，y经过第一、三象限，故选项A、B错误，当k＜0时，y＝﹣x+k经过第二、三、四象限，y经过第二、四象限，故选项C正确，选项D错误，故选：C．【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象15.（2019江苏宿迁，8，3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A与原点O重合，顶点B落在x轴的正半轴上，对角线AC、BD交于点M，点D、M恰好都在反比例函数y（x＞0）的图象上，则的值为（）A．B．C．2 D．【答案】A【解析】解：设D（m，），B（t，0），∵M 点为菱形对角线的交点， ∴BD ⊥AC ，AM ＝CM ，BM ＝DM ， ∴M （，），把M （，）代入y得•k ，∴t ＝3m ，∵四边形ABCD 为菱形， ∴OD ＝AB ＝t ，∴m 2+（）2＝（3m ）2，解得k ＝2 m 2，∴M （2m ， m ），在Rt △ABM 中，tan ∠MAB，∴．故选：A ．【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的图象；菱形的性质16.（2019江苏扬州，8，3分）若反比例函数2y x=-的图象上有两个不同的点关于y 轴的对称点都在一次函数y x m =-+的图象上，则m 的取值范围是( )A．m > B．m <-C．m >或m <-D．m -<<【答案】C【解析】解：反比例函数2y x =-的图象上有两个不同的点关于y 轴的对称点在反比例函数2y x=的图象上，∴解方程组2y x y x m⎧=⎪⎨⎪=-+⎩得220x mx -+=， 2y x=的图象与一次函数y x m =-+有两个不同的交点， ∴方程220x mx -+=有两个不同的实数根，∴△280m =->，m∴>m<-故选：C．【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系17.（2019浙江温州，6，4分）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度)与镜片焦距x（米)的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为()A．100yx=B．100xy=C．400yx=D．400xy=【答案】A【解析】解：由表格中数据可得：100xy=，故y关于x的函数表达式为：100yx=．故选：A．【知识点】反比例函数的应用二、填空题1.（2019山东省潍坊市，15，3分）如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，顶点A，B分别在反比例函数1(0) y xx=>与5(0)y xx-=<的图象上．则tan∠BAO的值为．【解析】分别过点A、B作x轴的垂线AC和BD，垂足为C、D.则△BDO∽△OCA，∴2S =()S BDO OCA BD OA∵S △BDO =52，S △ACO =12， ∴2()=5BD OA， ∴tan ∠BAO =BDOA=．【知识点】反比例函数，反比例函数k 的几何意义，相似三角形的判定和性质2. (2019四川巴中,13,4分)如图,反比例函数ky x=(x>0)经过A,B 两点,过点A 作AC ⊥y 轴于点C,过点B 作BD ⊥y 轴于点D,过点B 作BE ⊥x 轴于点E,连接AD,已知AC ＝1,BE ＝1,S 矩形BDOE ＝4,则S △ACD ＝________.第13题图【答案】32【解析】连接AO,由反比例函数k 的几何意义可知,S △AOC ＝12S 矩形BDOE ＝2,因为AC ＝1,所以CO ＝4,因为DO ＝BE＝1,所以CD ＝3,所以S △ACD ＝32.第13题答图【知识点】反比例函数k 的几何意义3. （2019四川达州，题号15，3分） 如图，A 、B 两点在反比例函数xk y 1=的图像上，C 、D 两点在反比例函数xk y 2=的图像上，AC ⊥x 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点F ，AC=2，BD=4，EF=3，则12k k -=___________.〈【答案】4【解析】设A （m ，m k 1） B （m ，m k 2） C （n ，n k 1） D （n ，n k 2） 由题意得：m-n=3 212=-m k k 421=-nk k联立三个式子，解得：412=-k k【知识点】反比例函数、二元一次方程组的解法4. （2019四川省眉山市，18，3分）如图，反比例函数()0ky x x=>的图像经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别交AB 、BC 于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为12，则k 的值为 ．【答案】4【思路分析】本题可从反比例函数图象上的点E 、M 、D 入手，分别找出△OCE 、△OAD 、矩形OABC 的面积与|k|的关系，列出等式求出k 值.【解题过程】解：由题意得：E 、M 、D 位于反比例函数图象上，则S △OCE =12|k|，S △OAD =12|k|，过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S 矩形ONMG =|k|，又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，则S 矩形ABCO =4S 矩形ONMG =4|k|，由于函数图象在第一象限，∴k ＞0，则12422k kk ++=，∴k=4．故选：B.【知识点】反比例函数中k 的几个意义，矩形的性质5. （2019浙江湖州，15，4）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝12x －1分别交x 轴、y 轴于点A 和点B ，分别交反比例函数y 1＝k x （k ＞0，x ＞0），y 2＝2k x（x ＜0）的图像于点C 和点D ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，连结OC ，OD ．若△COE 的面积与△DOB 的面积相等，则k 的值是 ．【答案】2．【解析】如答图，过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，则由CE ⊥x 轴于点E 可知：S △OCE ＝k ，S △ODF ＝2k ．∵△COE 的面积与△DOB 的面积相等，∴S △OBD ＝S △FBD ．易知A (2，0)，B (0，－1)，从而OB ＝BF ＝1，OF ＝2．令D (m ，－2)，则由D 点在直线y ＝12x －1上，得－2＝12m －1，解得m ＝－2，故D (－2，－2)，从而2k ＝(－2)×(－2)，解得k ＝2．【知识点】一次函数；反比例函数；面积桥法．6.(2019浙江宁波,18题,4分) 如图,过原点的直线与反比例函数ky x(k>0)的图象交于A,B 两点,点A 在第一象限,点C 在x 轴正半轴上,连接AC 交反比例函数图象于点D.AE 为∠BAC 的平分线,过点B 作AE 的垂线,垂足为E,连接DE,若AC ＝3DC,△ADE 的面积为8,则k 的值为________.第18题图【答案】6【思路分析】连接OE,利用直角三角形斜边中线等于斜边一半,得到等腰三角形,结合平分线得到平行,将△ADE的面积转化为△ADO的面积,再利用反比例函数的性质,将△ADO的面积转化为梯形AMND的面积,再根据相似三角形和反比例函数的性质,可依次得到△AMC和△AOM的面积,则k值可求.【解题过程】连接OE,在Rt△ABE中,点O是AB的中点,∴OE＝12AB＝OA,∴∠OAE＝∠OEA,∵AE为∠BAC的平分线,∴∠OAE＝∠DAE,∴∠OEA＝∠DAE,∴AD∥OE,∴S△ADE＝S△ADO,过点A作AM⊥x轴于点M,过点D作DN⊥x轴于点N,易得S梯AMND＝S△ADO,∵△CAM∽△CDN,CD:CA＝1:3,∴S△CAM＝9,延长CA交y轴于点P,易得△CAM∽△CPO,可知DC＝AP,∴CM:MO＝CA:AP＝3:1,∴S△CAM:S△AMO＝3:1,∴S△AMO＝3,∵反比例函数图象在一,三象限,∴k＝6.第18题答图【知识点】直角三角形斜边中线等于斜边一半,等边对等角,平行线判定,反比例函数k的几何意义,三角形面积转化,相似三角形的性质7. （2019浙江省衢州市，15，4分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，口ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F.若y=kx（k≠0）图象经过点C.且S△BEF=1，则k的值为。

一、选择题1．（2019·温州）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）的对应数据如下表．根据表中数据，可得y 关于x 的函数表达式为 （ ）A ．y x =B ．100y =C ．y x =D ．400y = 【答案】A【解析】从表格中的近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）的对应数据可以知道，它们满足xy=100，因此，y 关于x 的函数表达式为100y x=．故选A. 2．（2019·株洲）如图所示，在直角坐标系xOy 中，点A 、B 、C 为反比例函数(0)ky k x=>上不同的三点，连接OA 、OB 、OC ，过点A 作AD ⊥y 轴于点D ，过点B 、C 分别作BE ，CF ⊥x 轴于点E 、F ，OC 与BE 相交于点M ，记△AOD 、△BOM 、四边形CMEF 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则（ ） A ．S 1＝S 2＋S 3 B ．S 2＝S 3 C ．S 3＞S 2＞S 1 D ．S 1S 2＜S 32第9题【答案】B【解析】由题意知S 1=2k ，S △BOE =S △COF =2k,因为S 2=S △BOE -S △OME ,S 3=S △COF -S △OME ，所以S 2＝S 3 ，所以选B 。

3．（2019·娄底）将1y x=的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图（3）．则所得图象的解析式为（ ）A.111yx=++B．111yx=-+C．111yx=+-D．111yx=--【答案】C．【解析】二次函数平移的规律“左加右减，上加下减”对所有函数的图象平移均适合．∵将1yx=的图象向右平移1个单位长度后所得函数关系式为11yx=-，∴将1yx=的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象的解析式为111yx=+-．故选C．4．（2019·娄底）如图（1），⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为1yx=和1yx=-，则阴影部分的面积为( )A．4π B．3π C．2π D．π【答案】C【解析】根据反比例函数1y x =，1y x=-及圆的中心对称性和轴对称性知，将二、四象限的阴影部分旋转到一、三象限对应部分，显然所有阴影部分的面积之和等于一、三象限内两个扇形的面积之和，也就相当于一个半径为2的半圆的面积． ∴21222S ππ=⨯=阴影． 故选C ．5．（2019·衡阳）如图，一次函数y 1＝kx ＋b （k ≠0）的图象与反比例函数y 2＝mx（m 为常数且m ≠0）的图象，都经过A （－1，2），B （2，－1），结合图象，则不等式kx ＋b ＞mx的解集是（ ）． A. x ＜－1 B. －1＜x ＜0 C. x ＜－1或0＜x ＜2 D.－1＜x ＜0或x ＞2【答案】C ．【解析】由图象得，不等式kx ＋b ＞mx的解集是x ＜－1或0＜x ＜2，故选C ． 6. （2019·滨州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象经过对角线OB 的中点D 和顶点C ．若菱形OABC 的面积为12，则k 的值为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C【解析】如图，连接AC ，∵四边形OABC 是菱形，∴AC 经过点D ，且D 是AC 的中点．设点A 的坐标为（a ，0），点C 坐标为（b ，c ），则点D 坐标为（2a b，2c ）．∵点C 和点D 都在反比例函数y=kx的图象上，∴bc=2ab×2c，∴a=3b ；∵菱形的面积为12，∴ac=12，∴3bc=12，bc=4，即k=4．故选C ．法2：设点A 的坐标为（a ，0），点C 的坐标为（c ，），则，点D 的坐标为（），∴，解得，k ＝4，故选C ．7. （2019·无锡）如图，已知A 为反比例函数ky x（x <0）的图像上一点，过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B .若△OAB 的面积为2，则k 的值为（ ）B. -2C. 4【答案】D【解析】如图，∵AB ⊥y 轴， S △OAB ＝2，而S △OAB 12|k |，∴12|k |＝2，∵k ＜0，∴k ＝﹣4．故选D ．xy-6O8. （2019·济宁）如图，点A的坐标是(－2，0)，点B的坐标是(0，6)，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A'BC'．若反比例函数y＝kx的图象恰好经过A'B的中点D，则k的值是（）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】C【解析】取AB的中点（－1，3），旋转后D（3，5）∴k＝3×5＝15，故选C.9. (2019·枣庄) 如图,在平面直角坐标系中等腰直角三角形ABC的顶点A,B分别在x轴,y轴的正半轴上,∠ABC＝90°,CA⊥x轴,点C在函数kyx(x>0)的图象上,若AB＝1,则k的值为【答案】A【解析】在等腰直角三角形ABC中,AB＝1,∴AC∵CA⊥x轴,∴y C,Rt△ABC中,∠BAC＝45°,CA⊥x轴,∴∠BAO＝45°,∴∠ABO＝45°,∴△ABO是等腰直角三角形,∴OA,∴x C,k＝x C`y C＝1,故选A10. （2019·淄博）如图，11122233,,,OA B A A B A A B ∆∆∆…是分别以123,,,A A A …为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点111222333(,),(,),(,),C x y C x y C x y …均在反比例函数4y x=（x ＞0）的图象上，则12100y y y +++的值为（ ）A .10C .42D .7【答案】20【解析】如图，过点C 1作C 1M ⊥x 轴，∵△OC 1A 1是等腰直角三角形，∴C 1M ＝OM ＝MA 1，设C 1的坐标是（a ，a ）（a ＞0），，把（a ，a ）代入解析式4y x=（a ＞0）中，得a ＝2， ∴y 1＝2,∴A 1的坐标是（4，0），又∵△C 2A 1A 2是等腰直角三角形，∴设C 2的纵坐标是b （b ＞0），则C 2的横坐标是4＋b ，把（4＋b ，b ）代入函数解析式得b ＝44b+，解得b ＝2﹣2， ∴y 2＝2﹣2，∴A 2的坐标是（2，0），设C 3的纵坐标是c （c ＞0），则C 3横坐标为42＋c ，把（42＋c ，c ）代入函数解析式得c ＝42c，解得c ＝23﹣22，∴y 3＝23﹣22.∵y 1＝21﹣20，y 2＝22﹣21，y 3＝23﹣22，…∴y 100＝2100﹣299，∴y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 100＝2＋22﹣2＋2﹣22＋…＋2100﹣299＝2100＝20.11.（2019·凉山）如图，正比例函数y =kx 与反比例函数y =x4的图象相交于A 、C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ，连接BC ，则△ABC 的面积等于（ ）【答案】C【解析】设A 点的坐标为（m ，4m），则C 点的坐标为（-m ，-4m），∴1414422ABC OBC OAB S S S m m m m ∆∆∆=+=⨯+-⨯-=，故选C.12. （2019·天津） 若点A(-3，y 1),B(-2,y 2),C(1,y 3)都在反比例函数xy 12-=的图像上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是A. y 2<y 1<y 3B. y 3 <y 1 <y 2C. y 1 <y 2<y 3D. y 3 <y 2<y 1 【答案】B【解析】因为反比例函数x y 12-=的图像在二四象限， 将A,B,C 三点在图像上表示，答案为B13. (2019·台州)已知某函数的图象C 与函数3y x =的图象关于直线y ＝2对称.下列命题:①图象C 与函数3y x=的图象交于点(32,2);②点(12,－2)在图象C 上;③图象C 上的点的纵坐标都小于4;④A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是图象C 上任意两点,若x 1>x 2,则y 1>y 2.其中真命题是( )A.①②B.①③④C.②③④D.①②③④【答案】A【解析】令y ＝2,得x ＝32,这个点在直线y ＝2上,∴也在图象C 上,故①正确;令x ＝12,得y ＝6,点(12,6)关于直线y ＝2的对称点为(12,－2),∴点(12,－2)在图象C 上,②正确;经过对称变换,图象C 也是类似双曲线的形状,没有最大值和最小值,故③错误;在同一支上,满足x 1>x 2,则y 1>y 2,但是没有限制时,不能保证上述结论正确,故④错误.综上所述,选A.【知识点】反比例函数图象的性质,对称变换,交点坐标,增减性14.（2019·重庆B 卷）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴上，点A （10,0），sin ∠COA =45.若反比例函数y =kx(k ﹥0,x ﹥0)经过点C ，则k 的值等于（ ）【答案】C【解析】过C 作CD ⊥OA 交x 轴于D ∵OABC 为菱形，A （10,0）∴OC=OA =10.∵sin ∠COA =45 ∴CD OC =45即10CD =45∴CD =8, ∴OC =6, ∴C （6,8） ∵反比例函数y =kx(k ﹥0,x ﹥0)经过点C , k =6×8=48. 故选Ｃ．15. （2019·重庆A 卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴上，对角线BD ∥x 轴，反比例函数y ＝kx（k ＞0，x ＞0)的图象经过矩形对角线的交点E ．若点A （2，0），D （0，4），则k 的值为 （ ）A ．16B ．20C ．32D ．409题图【答案】B．【解析】如图，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠AFB＝∠DOA＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴ED＝EB，∠DAB＝90°．∴∠OAD＋∠BAF＝∠BAF＋∠ABF＝90°．∴∠OAD＝∠FBA．∴△AOD∽△BFA．∴OA OD BF AF=．∵BD∥x轴，A（2，0），D（0，4），∴OA＝2，OD＝4＝BF．∴244AF =．∴AF＝8．∴OF＝10，E(5，4)．∵双曲线y＝kx过点E，∴k＝5×4＝20．故选B．二、填空题1．（2019·威海）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在反比例函数()0ky k x=≠的图像上运动，且始终保持线段AB =长度不变，M 为线段AB 的中点，连接OM .则线段OM 的长度的最小值是 （用含k 的代数式表示）.【解析】过点A 作x 轴⊥AC ，过点B 作y 轴⊥BD ，垂足为C ,D ，AC 与BD 相交于点F ，连接OF .当点O 、F 、M 在同一直线上时OM 最短.即OM 垂直平分AB .设点A 坐标为（a ，a ＋4），则点B 坐标为（a ＋4，a ），点F 坐标为（a ，a ）.由题意可知△AFB 为等腰直角三角形， ∵AB＝∴AF ＝BF ＝4，∵点A 在反比例函数y ＝的图像上，∴a (a ＋4)＝k ， 解得a ＝2，在RT △OCF 中，OFa ＝2)＝，∴OM ＝OF ＋FM ＝2．（2019·山西）如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,菱形ABCD 的顶点B 在x 轴的正半轴上,点A 的坐标为(－4,0),点D 的坐标为(－1,4),反比例函数y ＝kx(x>0)的图象恰好经过点C,则k 的值为________.第14题图 【答案】16【解析】分别过点D,C 作x 轴的垂线,垂足为E,F,则AD ＝5,∴AB ＝CB ＝5,∴B(1,0),由△DAE ≌△CBF,可得BF ＝AE ＝3,CF ＝DE ＝4,∴C(4,4),∴k ＝xy ＝16.第14题答图3．（2019·黄冈） 如图，一直线经过原点0，且与反比例函数y ＝kx(k ＞0)相交于点A ，点B ，过点A 作AC ⊥y 轴，垂足为C.连接B C.若△ABC 的面积为8，则k ＝ .【答案】8【解析】因为反比例函数与正比例函数的图象相交于A 、B 两点，∴A、B 两点关于原点对称，∴OA＝OB ，∴△BOC 的面积=△AOC 的面积=8÷2=4， 又∵A 是反比例函数y ＝kx图象上的点，且AC ⊥y 轴于点C ， ∴△AOC 的面积＝12|k |，∴12|k |＝2，∵k ＞0，∴k ＝8．4．（2019·益阳）反比例函数xky =的图象上有一点P(2，n)，将点P 向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q.若点Q 也在该函数的图象上，则k ＝ . 【答案】6【解析】∵P(2，n)向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q （3，n-1），且点P 、Q 均在反比例函数xky =的图象上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=312kn k n ，∴312k k =-，解得k=6.5. （2019·潍坊）如图，Rt △AOB 中，∠AOB =90°，顶点A ，B 分别在反比例函数1(0)y x x =>与5(0)y x x-=<的图象上．则tan ∠BAO 的值为 ．【解析】分别过点A 、B 作x 轴的垂线AC 和BD ，垂足为C 、D .则△BDO ∽△OCA ，∴2S =()SBDO OCABD OA∵S △BDO =52，S △ACO =12， ∴2()=5BD OA， ∴tan ∠BAO =BDOA．6. (2019·巴中)如图,反比例函数kyx(x>0)经过A,B 两点,过点A 作AC ⊥y 轴于点C,过点B 作BD ⊥y 轴于点D,过点B 作BE ⊥x 轴于点E,连接AD,已知AC ＝1,BE ＝1,S 矩形BDOE ＝4,则S △ACD ＝________.【答案】32【解析】连接AO,由反比例函数k 的几何意义可知,S △AOC ＝12S 矩形BDOE ＝2,因为AC ＝1,所以CO ＝4,因为DO ＝BE ＝1,所以CD ＝3,所以S△ACD ＝32.7. （2019·达州） 如图，A 、B 两点在反比例函数x k y 1=的图像上，C 、D 两点在反比例函数xky 2=的图像上，AC ⊥x 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点F ，AC=2，BD=4，EF=3，则12k k -=___________..〈【答案】4【解析】设A （m ，m k 1） B （m ，m k 2） C （n ，n k 1） D （n ，nk2） 由题意得：m-n=3 ,212=-m k k ,421=-n kk , 联立三个式子，解得：412=-k k . 8．（2019·长沙）如图，函数ky x=(k 为常数，k ＞0)的图象与过原点的O 的直线相交于A ，B 两点，点M 是第一象限内双曲线上的动点（点M 在点A 的左侧），直线AM 分别交x 轴，y 轴于C ，D 两点，连接BM 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ．现有以下四个结论：①△ODM 与△OCA 的面积相等；②若BM ⊥AM 于点M ，则∠MBA=30°；③若M 点的横坐标为1，△OAM 为等边三角形，则k =2；④若MF=25MB ，则MD=2MA ．其中正确的结论的序号是 ．【答案】①③④9. （2019·眉山）如图，反比例函数()0ky x x=>的图像经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别交AB 、BC 于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为12，则k 的值为 ．【答案】4【解析】由题意得：E 、M 、D 位于反比例函数图象上，则S △OCE =12|k|，S △OAD =12|k|， 过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S 矩形ONMG =|k|，又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，则S 矩形ABCO =4S矩形ONMG=4|k|，由于函数图象在第一象限，∴k ＞0，则12422k kk ++=，∴k=4．故选：B.10. （2019·湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝12x －1分别交x 轴、y 轴于点A 和点B ，分别交反比例函数y 1＝k x （k ＞0，x ＞0），y 2＝2k x（x ＜0）的图像于点C 和点D ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，连结OC ，OD ．若△COE 的面积与△DOB 的面积相等，则k 的值是 ．【答案】2．【解析】如答图，过点D作DF⊥y轴于点F，则由CE⊥x轴于点E可知：S△OCE＝k，S△ODF＝2k．∵△COE的面积与△DOB的面积相等，∴S△OBD＝S△FBD．易知A(2，0)，B(0，－1)，从而OB＝BF＝1，OF＝2．令D(m，－2)，则由D点在直线y＝12x－1上，得－2＝12m－1，解得m＝－2，故D(－2，－2)，从而2k＝(－2)×(－2)，解得k＝2．11.(2019·宁波)如图,过原点的直线与反比例函数kyx(k>0)的图象交于A,B两点,点A在第一象限,点C在x轴正半轴上,连接AC交反比例函数图象于点为∠BAC的平分线,过点B作AE的垂线,垂足为E,连接DE,若AC ＝3DC,△ADE的面积为8,则k的值为________.【答案】6【解析】连接OE,在Rt △ABE 中,点O 是AB 的中点,∴OE ＝12AB ＝OA,∴∠OAE ＝∠OEA,∵AE 为∠BAC 的平分线,∴∠OAE ＝∠DAE,∴∠OEA ＝∠DAE,∴AD ∥OE,∴S △ADE ＝S △ADO ,过点A 作AM ⊥x 轴于点M,过点D 作DN ⊥x 轴于点N,易得S 梯AMND ＝S △ADO ,∵△CAM ∽△CDN,CD:CA ＝1:3,∴S △CAM ＝9,延长CA 交y 轴于点P,易得△CAM ∽△CPO,可知DC ＝AP,∴CM:MO ＝CA:AP ＝3:1,∴S △CAM :S △AMO ＝3:1,∴S △AMO ＝3,∵反比例函数图象在一,三象限,∴k ＝6.12. （2019·衢州） 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，口ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，点C 在第一象限，将△AOD 沿y 轴翻折，使点A 落在x 轴上的点E 处，点B 恰好为OE 的中点，DE 与BC 交于点F.若y=kx（k ≠0）图象经过点C.且S △BEF =1，则k 的值为 .【答案】24【解析】连接OC ，作FM ⊥AB 于M ，延长MF 交CD 于N ，设BE= a ，FM=b ，由题意知OB=BE=a ，OA=2a ，DC=3a,因为四这形ABCD 为平行四边形，所以DC∥AB,所以△BEF ∽△CDF,所以BE ：CD=EF:DF=1:3，所以NF=3b ，OD=FM+FN=4b ，因为S △BEF =1，即12ab=1，S △CDO =12CD ·OD=123a ×4b=6ab=12，所以k=xy=2S △CDO =24.三、解答题FNF1．（2019浙江省杭州市，20，10分）(本题满分10分)方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t(单位:小时)，行驶速股为v(单位:千米/小时)，且全程速度限定为不超过120千米/小时.(1)求v关于t的函数表达式.(2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发.①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地.求小汽车行驶速度v的范围.②方方能否在当天11点30分前到达B地说明理由.【解题过程】（1）∵ vt=480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，∴ v关于t的函数表达式为：v=480t（0≤t≤4）；（2）① 8点至12点48分时间长为245小时，8点至14点时间长为6小时，将t=6代入v=480t得v=80；将t=245代入v=480t得v=100．∴小汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤100．②方方不能在当天11点30分前到达B地．理由如下：8点至11点30分时间长为72小时，将t=72代入v=480t得v=9607＞120千米/小时，超速了．故方方不能在当天11点30分前到达B地．2．（2019·苏州，25，8）如图，A为反比例函数y=kx(其中k>0)图像上的一点，在上轴正半轴上有一点B，OB=4连接OA，A B．且OA =AB （1）求K的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y=kx(其中k>0)的图像于点C，连接OC交AB于点D，求ADDB的值．第25题图【解题过程】解：（1）过点A 作AE ⊥OB 于E ．∵ OA =AB = 2OB =4，∴ OE =BE =12OB =2， 在Rt △OAE 中，AE =6=，∴点A 坐标为(2，6)， ∵点A 是反比倒函数k y x=图像上的点，∴ 6=2k，解得k =12．第25题答图(2)记AE 与OC 的交点为F ．∵OB =4且BC ⊥OB ，点C 的横坐标为4，又∵点C 为反比例函数y =12x图像上的点，∴点C 的坐标为(4，3)，∴BC =3. 设直线OC 的表达式y =mx ，将C (4，3)代入可得m =34，∴直线OC 的表达式y =34x ，∵AE ⊥OB ，OE =2，∴点F 的横坐标为2．将x =2代入y =34x 可得y =32，即EF =32；∴AF =A E -EF =6 -32=92.∵AE ，BC 都与x 轴垂直，∴AE ∥BC ，∴△ADF ∽△BD C ．∴32AD AF EB BC ==． 3．（2019山东威海，21，8分） （1）阅读理解如图，点A ，B 在反比例函数的图象上，连接AB ，取线段AB 的中点C ，分别过点A ，C ，B 作x 轴的垂线，1y x=垂足为E ，F ，G ，CF 交反比例函数的图象于点D ，点E ，F ，G 的横坐标分别为n -1，n ，n ＋1（n ＞1）. 小红通过观察反比例的图象，并运用几何知识得到结论： AE ＋BG ＝2CF ，CF ＞DF .由此得出一个关于之间数量关系的命题： 若n ＞1，则（2）证明命题小东认为：可以通过“若≥0，则≥”的思路证明上述命题.小晴认为：可以通过“若＞0，＞0，且≥1，则≥”的思路证明上述命题.请你选择一种方法证明（1）中的命题.【解题过程】（1）∵A ，D ，B 都在反比例的图象上，且点E ，F ，G 的横坐标分别为n -1，n ，n ＋1（n ＞1）， ∴AE ＝BG ＝DF ＝. 又∵AE ＋BG ＝2CF ，∴CF ＝ 又∵CF ＞DF ，n ＞1，1y x =1y x =112,,11n n n-+a b -a b a b a b ÷a b 1y x=1,1n -1,1n +1n111(),211n n +-+∴＞，即＞. 故答案为＞. （2）选择选择小东的思路证明结论＞， ∵n ＞1，∴＞0， ∴＞. 4、（2019江苏盐城卷，19，8） 如图，一次函数y =x +1的图像交y 轴于点A ，与反比例函数x k y =（x >0）图像交于点B （m ，2）.（1）求反比例函数的表达式.（2）求△AOB 的面积.【思路分析】（1）根据已知条件，可以求出点A 的坐标，在根据一次函数与反比例函数交于点B ，就可以求出点B 点的横坐标m ，则点B 的坐标就有了，所以就可以求出反比例函数的表达式。