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第三章 正运动学方程

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第三章机器人运动学

第三章机器人运动学

第三章机器人运动学机器人运动学是研究机器人如何在二维或三维空间中进行运动的学科。

它涉及到机器人的轨迹规划、运动控制和路径规划等重要内容。

本章将介绍机器人运动学的基本概念和常用模型，帮助读者全面了解机器人的运动规律和控制原理。

1. 机器人运动学的基本概念机器人运动学是研究机器人位置和姿态变化的学科，包括正运动学和逆运动学两个方面。

正运动学研究机器人的末端执行器的位置和姿态如何由关节变量确定；逆运动学则研究机器人如何通过末端执行器的位置和姿态来确定关节变量的值。

机器人的运动学建模一般采用DH（Denavit-Hartenberg）参数表示方法。

DH 参数是由Denavit和Hartenberg提出的一种机器人坐标系的选择和旋转轴的确定方法。

通过定义一系列关节坐标系，建立起机器人的坐标系链，并确定各个关节的旋转轴和约定的方向，可以方便地描述机器人的运动学特性。

2. 机器人正运动学机器人正运动学是研究机器人末端执行器位置和姿态如何由关节变量确定的问题。

在机器人的正运动学中，常用的方法有几何法和代数法。

2.1 几何法几何法是一种较为直观的方法，通过对机器人各个关节坐标系的位置和旋转进行推导，得到机器人末端执行器的位置和姿态。

几何法适用于无约束和无外力干扰的情况，可以简单快速地推导出机器人的正运动学方程。

2.2 代数法代数法是一种基于运动学链的代数运算的方法，通过DH参数建立起机器人的坐标系链，并通过矩阵运算推导出机器人的正运动学方程。

代数法在机器人正运动学的推导和计算过程中更具有普适性和灵活性。

3. 机器人逆运动学机器人逆运动学是研究机器人如何通过末端执行器的位置和姿态来确定关节变量的值的问题。

机器人逆运动学在机器人运动规划和路径控制中起到重要的作用。

机器人逆运动学的求解一般采用迭代方法，通过迭代计算来逼近解析解，实现对机器人关节变量的求解。

逆运动学的求解过程中可能会出现奇异点和多解的情况，需要通过约束条件和优化方法来处理。

第3章 机器人运动

第3章 机器人运动


3 齐次坐标变换 3.1齐次坐标变换 3.1齐次坐标变换 假设机器人手部拿一个钻头在 工件上实施钻孔作业，已知钻 头中心P点相对于手腕中心的 位置，求P点相对于基座的位 置。
x i o
zb kb yb jb o, ib xb P
z
k
j
y
分别在基座和手部设置为固定坐标系和动坐标系， 如图所示。
P点 相对于固定坐标系
1 4 0 −3 0 7 0 1
T中第一列的三个元素（0，1，0）T表示活动坐标系的u轴与 固定坐标系三个坐标轴之间的投影，故u轴平行于y轴；T中第 二列的三个元素（0，0，1）T表示活动坐标系的v轴与固定坐 标系三个坐标轴之间的投影，故v轴平行于z轴；T中第三列的 三个元素（1，0，0）T表示活动坐标系的w轴与固定坐标系三 个坐标轴之间的投影，故轴w平行于x轴；T中第四列的三个元 素（4，-3，7）T表示活动坐标系的原点与固定坐标系原点之 间的距离。
b
3.3.2 举例 ⋅ i i
z kb k o, xb i o xi y j y j
1 0 0 R = 0 1 0 0 0 1
所以
x0 X 0 = y0 z0
0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 A = Trans( x0 , y0 , z0 ) = 0 0
上面所述的坐标变换每步都是相对于固定坐标系进行的，也可以 相对于动坐标系进行变换： 坐标系 {o , : u , v, w} 初始与固定坐标系 {o:x, y, z} 相重合，首先相对于固定坐标系平移
4i − 3 j + 7 k ；然后绕活动系的v轴旋转900；最后绕w轴旋转900。
变换的几何表示如图所示。这是合成变换矩阵为
第三章：火箭的运动方程

第三章：火箭的运动方程


ω
d r δ r δr m 2 = m 2 + 2 mω e × + m ω e × (ω e × r ) dt δt δt
2 2
将其代入式（3－1－2）并整理得：
δ r δr m 2 = P + R + Fc + mg + Fk′ − mω e × (ω e × r ) − 2mω e × δt δt
转动时引起阻尼力矩。
（3.3）
为作用在火箭上的气动力矩；为控制力矩；为火箭相对大气有 我们即可得到用矢量描述的火箭绕质心转动的动力学方程为：
dω T I⋅ + ωT × (I ⋅ ωT ) = M st + M c + M d + M ′ + M ′ rel k dt （3.4）
3.2 地面发射坐标系中空间弹道的方程
（3.13）
A0 μ0
为发射方位角， 为发射点地理纬度与地心纬度之差， μ 0 = B 0 − φ 0
由于假设地球为一两轴旋转椭球体，故可由子午椭圆方 程求取：
R0 =
aebe a sin φ0 + b cos φ0
2 e 2 2 e 2
ρ 在发射坐标系的三分量为 x、 y、 z 。
由式（3.12）可得
a12 a22 a32
a13 ⎤ ⎡ x + Rox ⎤ ⎥ ⎢y + R ⎥ a23 ⎥ ⎢ oy ⎥ ⎢ ⎥ a33 ⎥ ⎣ z + Roz ⎦ ⎦
（3.21）
其中
2 a11 = ωex − ωe2 , a12 = a21 = ωexωey 2 a22 = ωey − ωe2 , a23 = a32 = ωeyωez 2 a33 = ωez − ωe2 , a13 = a31 = ωezωex
运动学方程及应用

运动学方程及应用

运动学方程及应用运动学是物理学中研究物体运动的学科，是研究物体位置、速度和加速度与时间之间关系的一门学科。

运动学方程是描述物体运动状态的方程，通过运动学方程可以计算物体的位移、速度和加速度等参数，进而揭示物体运动的规律和特点。

运动学方程及其应用在物理学、工程学等领域具有重要的意义。

一维运动学方程是研究物体沿着一条直线运动时的方程。

其中最基本的方程是位移-时间关系方程，即x = x0 + v0t + (1/2)at^2。

这里x0表示起始位置，v0表示起始速度，t表示时间，a表示加速度。

该方程表达了物体的位移与时间的关系，可以计算在给定初始条件下物体的具体位置。

在应用中，运动学方程可以用于解决诸如自由落体、匀速直线运动、匀加速直线运动等问题。

例如，可以利用x = x0 + v0t + (1/2)at^2来计算一个物体自由落体的高度。

如果物体自由落体时没有起始速度，即v0为0，方程简化为x = (1/2)gt^2，其中g为重力加速度。

通过该方程，可以计算物体在任意时间下的高度，从而揭示物体自由落体运动的规律。

另一方面，运动学方程也可用于解决匀速直线运动的问题。

在匀速直线运动中，物体的加速度为0，所以运动学方程可以写成x = x0 + v0t。

这里x0表示起始位置，v0表示起始速度，t表示时间。

通过该方程，可以计算物体在匀速直线运动中的位置。

运动学方程在匀加速直线运动中的应用也非常广泛。

在匀加速直线运动中，物体的加速度是恒定的，所以运动学方程可以写成x = x0 + v0t + (1/2)at^2。

这里x0表示起始位置，v0表示起始速度，t表示时间，a表示加速度。

通过该方程，可以计算物体在匀加速直线运动中的位置。

除了一维运动之外，运动学方程还可以推广到二维和三维运动中。

在二维和三维运动中，物体在平面或空间中的位置可以用矢量表示。

对于二维运动，可以用位矢r = xi + yj来表示物体的位置，其中i和j分别是x轴和y轴的单位矢量。

大学物理 第1-3章 经典力学部分归纳总结

大学物理 第1-3章 经典力学部分归纳总结

t r r r v − v0 = ∫ a ⋅ dt t0 t r r r r − r0 = ∫ v ⋅ dt t0
运用
分
和
dv dv dx dv a= = ⋅ =v dt dx dt dx
3
知识点回顾
第二章 质点动力学
2、牛顿三定律？ 、牛顿三定律？
r ∑Fi = ma
i →
—— 为什么动？ 为什么动？ 力？
功是能量交换或转换的一种度量
v v 2、变力作功 、 元功： 元功： dW = F ⋅ dr = Fds cosθ b b v v b W = ∫ F cosθ ds = ∫ F ⋅ dr = ∫ (Fxdx + Fy dy + Fz dz)
a( L) a( L) a( L)
3、功率 、
v v dW F ⋅ dr v v P= = = F ⋅ v = Fv cosθ dt dt
隔离木块a在水平方向绳子张力t和木块b施于的摩擦力?根据牛顿第二定律列出木块a的运动方程?同样隔离木块b分析它在水平方向受力情况列出它的运动方程为17一个质量为m的梯形物体块置于水平面上另一质量为m的小物块自斜面顶端由静止开始下滑接触面间的摩擦系数均忽略不计图中hh均为已知试求m与m分离时m相对水平面的速度及此时m相对于m的速度
15
•解：以地面为参考系。隔离木块A，在水平方向 解 以地面为参考系。隔离木块 ， 绳子张力T 和木块B施于的摩擦力 绳子张力 和木块 施于的摩擦力
v t2 v v v v v 动量定理： 动量定理： I = ∫ ∑ F dt = ∑ p2 − ∑ p1 = ∑ mv2 − ∑ mv1
t1
v v v v 角动量定理： 角动量定理： M ⋅ dt = dL = d ( r × mv )
第三章飞行器运动方程(0901)

第三章飞行器运动方程(0901)

第三章飞行器的运动方程 刚体动力学方程的推导 1.刚体飞行器运动的假设1)认为飞行器不仅是刚体,而且质量是常数；2)假设地面为惯性参考系，即假设地面坐标为惯性坐标； 3）忽略地面曲率，视地面为平面； 4）假设重力加速度不随飞行高度而变化；5）假设机体坐标系的z o x --平面为飞行器对称平面，且飞行器不仅几何外形对称，而且内部质量分布亦对称，惯性积0==zy xy I I 2.旋转坐标系中向量的导数设活动坐标系b b b z y Ox 具有角速度ω （见图）。

向量ω在此坐标系中的分量为r q p ,,，即k r j q i p++=ω （） 其中i 、j、k 是b x 、b y 、b z 轴的单位向量。

图设有一个可变的向量)(t a，它在此坐标系中的分量为z y x a a a ,,，即k a j a i a a z y x++= （）由上式求向量)(t a对时间t 的导数：b xωb yb zOijkdtkd a dt j d a dt i d a k dt da j dt da i dt da dt a d z y x z y x +++++= （） 从理论力学知，当一个刚体绕定点以角速度ω旋转时，刚体上任何一点P的速度为r dt r d⨯=ω （） 其中r是从O 点到P 点的向径。

现在，把单位向量i看作是活动坐标系中一点P 的向径，于是可得：i dtid⨯=ω （） 同理可得： j dtj d⨯=ω （） k dtkd⨯=ω （） 将式（）、（）及（）代入式（）中，可得：)(k a j a i a k dtda j dt da i dt da dt a d z y x z y x ++⨯+++=ω （） 或写为： a t a dt a d⨯+=ωδδ （） 其中k dt da j dt da i dt da t a z y x++=δδ taδδ 称为在活动坐标系中的“相对导数”，相当于站在此活动坐标系中的观察者所看到的向量a 的变化率。

机器人正运动学方程的D-H表示法

机器人正运动学方程的D-H表示法

2.8机器人正运动学方程的D-H表示法在1955年，Denavit和Hartenberg在“ASME Journal of Applied Mechanics”发表了一篇论文，后来利用这篇论文来对机器人进行表示和建模，并导出了它们的运动方程，这已成为表示机器人和对机器人运动进行建模的标准方法，所以必须学习这部分内容。

Denavit-Hartenberg(D-H模型表示了对机器人连杆和关节进行建模的一种非常简单的方法，可用于任何机器人构型，而不管机器人的结构顺序和复杂程度如何。

它也可用于表示已经讨论过的在任何坐标中的变换，例如直角坐标、圆柱坐标、球坐标、欧拉角坐标及RPY坐标等。

另外，它也可以用于表示全旋转的链式机器人、SCARA机器人或任何可能的关节和连杆组合。

尽管采用前面的方法对机器人直接建模会更快、更直接，但D-H表示法有其附加的好处，使用它已经开发了许多技术，例如，雅克比矩阵的计算和力分析等。

假设机器人由一系列关节和连杆组成。

这些关节可能是滑动（线性）的或旋转（转动）的，它们可以按任意的顺序放置并处于任意的平面。

连杆也可以是任意的长度（包括零），它可能被弯曲或扭曲，也可能位于任意平面上。

所以任何一组关节和连杆都可以构成一个我们想要建模和表示的机器人。

为此，需要给每个关节指定一个参考坐标系，然后，确定从一个关节到下一个关节（一个坐标系到下一个坐标系）来进行变换的步骤。

如果将从基座到第一个关节，再从第一个关节到第二个关节直至到最后一个关节的所有变换结合起来，就得到了机器人的总变换矩阵。

在下一节，将根据D-H表示法确定一个一般步骤来为每个关节指定参考坐标系，然后确定如何实现任意两个相邻坐标系之间的变换，最后写出机器人的总变换矩阵。

图2.25 通用关节—连杆组合的D-H表示假设一个机器人由任意多的连杆和关节以任意形式构成。

图2.25表示了三个顺序的关节和两个连杆。

虽然这些关节和连杆并不一定与任何实际机器人的关节或连杆相似，但是他们非常常见，且能很容易地表示实际机器人的任何关节。

第三章工业机器人运动学3逆运动学

第三章工业机器人运动学3逆运动学


由于角φ已求出，比较式（3.48）等号两边矩阵第1行第3列和第3行第3 列元素相等有
sin f11(a) cos f13 (a)
或
（3.59） （3.60）
由此可得
sin cos ax sin ay cos az
tan 1 cos
ax sin az
ay
（3.61） （3.62）
（3.63）
同样比较式（3.48）等号两边矩阵的第2行第1列和第2行第2列元素可知
sin f12 (n)
（3.64）
cos f12 (o)
（3.65）
或
由此可得
sin sin nx cos ny cos sin ox cos oy
tan
1
sin sin
n o
x x
cos ny cos oy
1T6 =
C2( C4C5C6 - S4S6 ) - S2S5C6 S2( C4C5C6 - S4S6 ) + C2S5C6
S4C5C6 + C4C6
0
-C2( C4C5S6 + S4C6 )+ S2S5S6 -S2( C4C5 S6+ S4C6 )- C2S5S6
-S4C5S6 + C4C6
0
C2C4S5 + S2C5 S2C4S5 - C2C5
3.4 欧拉变换的逆运动学解 （Inverse solution of Euler Angles ）
由前节知欧拉变换为
Euler (ø, θ,ψ) ＝ Rot (z, ø) Rot (y, θ) Rot (z,ψ)
我们用T来表示欧拉变换的结果，即
T ＝ Euler (ø, θ,ψ)
第三章机器人运动学

第三章机器人运动学

Axis i+1
αi
3.2.3连杆附加坐标系的规定
（4）建立连杆坐标系的步骤
确定关节轴，并画出轴的延长线。 找出关节轴i和i+1的公垂线或交点，作为坐标系i的原点。 规定Zi的指向是沿着第i个关节轴。 规定Xi轴得指向是沿着轴i和i+1的公垂线的方向，如果关节轴 i和i+1相交，则Xi轴垂直于关节轴i和i+1所在的平面。 Yi 轴的方向由右手定则确定。 当第一个关节变量为0时，规定坐标系{0}和{1} 重合，对于坐 标系{N}，尽量选择坐标系使得连杆参数为0.
3.2.3连杆附加坐标系的规定
为了描述每个连杆和相邻连杆之间的相对位置关系,需要在每个连杆 上定义一个固连坐标系. （1）连杆中的中间连杆 规定: 坐标系{i}的Z轴称为Zi,与 关节轴i重合; 坐标系{i}的原点位于公垂 线ai与关节轴i的交点处. Xi轴沿ai方向由关节i指向 关节i+1 (若: ai =0,则Xi垂直于Zi和Zi+1所 在的平面;按照右手定则绕Xi轴的 转角定义为αi ,由于Xi轴的符号 有两种,则转角的符号也有两种.) Yi轴由右手定则确定
3.2.5 PUMA560运动学方程
（2）连续连杆变换 定义了连杆坐标系和相应得连杆参数，就能建立运动学 方程，坐标系{N}相对于坐标系{0}的变换矩阵为：
0 N
0
T T T T
0 1 1 2 2 3
N 1 N
T
变换矩阵 NT 是关于n个关节变量的函数，这些变量可以通 过放置在关节上的传感器测得，则机器人末端连杆再基坐标系 （笛卡尔坐标系）中的位置和姿态就能描述出来。
2) joint angle 关节角 描述两个相邻连杆绕公共轴线旋 转的夹角θi. 当i为转动关节时,关节角为一变量.
力学运动与运动学方程

力学运动与运动学方程

力学运动与运动学方程力学运动是物体在受到力作用下的运动，而运动学方程则是描述物体运动的方程。

通过对力学运动和运动学方程的研究和应用，我们可以深入了解物体的运动规律，并利用这些规律解决实际问题。

一、力学运动力学运动是研究物体受到力作用下的运动规律的学科。

在力学运动中，主要考虑物体的速度、加速度以及运动的轨迹等因素。

力学运动可以分为匀速直线运动、变速直线运动、曲线运动等不同类型。

1. 匀速直线运动在匀速直线运动中，物体的速度保持恒定，而加速度为零。

这意味着物体在单位时间内所经过的路程相等。

匀速直线运动的运动学方程为：\[v = v_0\]\[s = v_0t\]其中，\(v\)表示物体的末速度，\(v_0\)表示物体的初速度，\(s\)表示物体的位移，\(t\)表示经过的时间。

2. 变速直线运动在变速直线运动中，物体的速度随时间而变化，加速度不为零。

变速直线运动的运动学方程为：\[v = v_0 + at\]\[s = v_0t + \frac{1}{2}at^2\]其中，\(a\)表示物体的加速度。

3. 曲线运动曲线运动是指物体运动的轨迹为曲线的运动。

在曲线运动中，物体的速度和加速度都是矢量，需要考虑其方向。

曲线运动常涉及到极坐标、曲线的参数方程等数学工具来描述。

二、运动学方程的应用运动学方程不仅是研究物体运动的基础，也是解决实际问题的重要工具。

以下是运动学方程的一些应用。

1. 路程-时间图运动学方程中的位移-时间方程可以用于绘制物体的路程-时间图。

通过分析路程-时间图，我们可以得到物体的运动方式，例如匀速运动、加速运动或者减速运动。

2. 速度-时间图在运动学方程中，速度-时间方程可以用于绘制物体的速度-时间图。

通过分析速度-时间图，我们可以了解物体的速度变化规律，例如加速度大小、正负号等。

3. 解决实际问题通过运动学方程，我们可以解决一系列与物体运动相关的实际问题。

例如，我们可以通过已知的位移和时间求解物体的平均速度、通过已知的加速度和时间求解物体的位移，或者求解加速度的大小等。

机器人学基础第3章

机器人学基础第3章


3.1 坐标系的建立方法
机器人的连杆均可以用以上四个参数ai-1、αi-1、di 、θi 来进行描述。对于一个确定的机器人关节来说, 运动时 只有关节变量的值发生变化, 其他三个连杆参数均为保 持不变。用ai-1、αi-1、di 、θi 来描述连杆之间运动关系 的规则称为Denavit-Hartenberg 参数, 简称D-H 参 数。
3. 3 典型机器人的正运动举例
机器人的D - H 参数表
3. 3 典型机器人的正运动举例
由机械臂的坐标系可以计算得到相邻两坐标系之间
的变换矩阵
, 其中
3. 3 典型机器人的正运动举例
则可以计算出机械臂末端相对于基坐标系的位姿矩 阵为:
3. 3 典型机器人的正运动举例
其中：
3. 3 典型机器人的正运动举例
3. 3 典型机器人的正运动举例
作出该机器人的机构简图并建立连杆坐标系。
3. 3 典型机器人的正运动举例
写出D - H 参数表
3. 3 典型机器人的正运动举例
可以计算出各相邻两坐标系之间的齐次变换矩阵:
3. 3 典型机器人的正运动举例
由于关节2 是移动关节, 其关节变量为d2。由 可计算出该机器人的正运动学方程为:
3. 3 典型机器人的正运动举例
例3. 3 如图所示为日本川崎公司制
造的RS10N 型工业机器人, 它具有典型的工业机器人构 型, 共有6 个自由度, 其中 前3 个关节决定机器人末端 的位置, 后3 个关节轴相交 于一点,决定机器人末端的 姿态。
3. 3 典型机器人的正运动举例
机器人的连杆坐标系建立， 由于坐标系{6} 的原点位 于腕部, 在实际应用中为了 直观地描述机器人末端执行 器的位置, 通常在机器人末 端点处建立一个与坐标系 {6} 姿态完全相同的工具 坐标系, 即坐标系{7}。

机器人技术基础课件第三章 机器人运动学

T = f(qi) 其中，T为机器人末端执行器的位姿，qi为机器人各个关 节变量。若给定qi，要求确定相应的T，称为正运动学问题 。
30
3.2.1 机器人正运动学方程
如图所示是个三自由度的机器人， 三个关节皆为旋 转关节，第3关节轴线垂直于1、2关节轴线所在的平 面，各个关节的旋转方向如图所示，用D-H方法建立 各连杆坐标系，求出该机器人的运动学方程。
刚体的姿态可由动坐标系的坐
标的轴刚 位方置体向可Q在来用固表齐定示次坐。坐标令标系n形、O式oX、的YZa一中分
别为X′、y ′、z ′坐标轴的 个(4×1)列阵表示为： 单位方向矢量，每个单位方向 矢量在固定坐标系上的分量为 动坐标系各坐标轴的方向余弦， 用齐次坐标形式的(4×1)列阵 分别表示为：
y L1 sin1 L2 sin(1 2 )
通常的矢量形式：
r f ( )
29
3.2.1 机器人正运动学方程
机器人正运动学将关节变量作为自变量，研究机器人末 端执行器位姿与基座之间的函数关系。总体思想是：
（1）给每个连杆指定坐标系； （2）确定从一个连杆到下一连杆变换（即相邻参考系 之间的变化）； （3）结合所有变换，确定末端连杆与基座间的总变换 ； （4）建立运动学方程求解。 机器人运动学的一般模型为：
03T 01T12T 23T
如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵：
06T 01T12T 23T 34T 45T 56T
3.2 3.2 机械手运动学方程
26
0 6
T
3.1.4 连杆变换矩阵及其乘积
06T 01T12T23T34T 45T56T
机器人运动学方程
此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆

正向运动学方程建立

习题5：某机器人采用平移关节和旋转关节构成，如图所示，其三个关节为平移关节，实现沿X、Y、Z轴的平移。

后3个关节为旋转关节分别绕J4、J5、J ６旋转，用与机器人末端姿态的调整。

一机器人在图中的姿态为初始状态，并将末端坐标系建立在机器人手抓中间。

试建立其连杆坐标系，推导正向运动学方程，并给出你想运动学的求解方法。

解：建立如图坐标系。

习题６：如图所示，一个移动机械手由移动机器人和机械手组成。

其中机械受为5个自由度串联关节机器人，5个关节皆为旋转关节。

移动机器人为差动驱动，移动机器人的坐标建立在两个驱动轮中间轴线的中点。

试建立该移动机械手的正向运动学方程。

解：由题，设所有连杆水平为初始状态。

建立坐标系：。

普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社第三章 动量定理及其守恒定律

第三章 动量定理及其守恒定律习题解答3.5.1 质量为2kg 的质点的运动学方程为j t t i t r ˆ)133(ˆ)16(22+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。

解：∵j i dt r d a ˆ6ˆ12/22+==, j i a m F ˆ12ˆ24+==为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。

F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为： '34265.0/︒===arctg F arctgFx yα3.5.2 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为：j t b i t a r ˆsin ˆcos ωω+=，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。

证明：∵r j t b i t a dtr d a2222)ˆsin ˆcos (/ωωωω-=+-==r m a m F2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。

3.5.3 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛，一方面由筛孔漏出谷粒，一方面逐出秸杆，筛面微微倾斜，是为了从较低的一边将秸杆逐出，因角度很小，可近似看作水平，筛面与谷粒发生相对运动才可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为0.4，问筛沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动？解：以地为参考系，设谷物的质量为m ，所受到的最大静摩擦力为 mg f oμ=，谷物能获得的最大加速度为2/92.38.94.0/s m g m f a o =⨯===μ ∴筛面水平方向的加速度至少等于3.92米/秒2，才能使谷物与筛面发生相对运动。

3.5.3 题图 3.5.4题图3.5.4 桌面上叠放着两块木板，质量各为m 1 ,m 2,如图所示，m 2和桌面间的摩擦系数为μ2，m 1和m 2间的摩擦系数为μ1，问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。

解：以地为参考系，隔离m 1、m 2，其受力与运动情况如图所示，其中，N 1'=N 1,f 1'=f 1=μ1N 1,f 2=μ2N 2，选图示坐标系o-xy ，对m 1,m 2分别应用牛顿二定律，有 00212222211111111=--=--=-=g m N N a m N N F g m N a m N μμμ 解方程组，得()2221211211/m g m g m gm F a ga μμμμ---==要把木板从下面抽出来，必须满足12a a >，即 gm g m g m g m F 12221211μμμμ>---()()g m m F 2121++>∴μμ3.5.5 质量为m 2的斜面可在光滑的水平面上滑动，斜面倾角为α,质量为m 1的运动员与斜面之间亦无摩擦，求运动员相对于斜面的加速度及其对斜面的压力。

第三章牛顿运动定律

第三章牛顿运动定律·动量守恒定律习题解答3.5.1质量为2kg的质点的运动方程为r=(6t2-10)i+(3t2+3t+10)j（t为时间，单位为s;长度单位为m）求证质点受恒力而运动，并求力的大小方向．解：运动学方程为恒矢量。

3.5.2质量为m的质点在Oxy平面内运动，质点的运动方程为r=acoswt i+bsinwt ja,b,w为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点．解：运动学方程则与方向相反指向原点。

3.5.3在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛,一方面由筛孔漏出谷粒,一方面逐出秸杆,筛面微微倾斜,是为了从较低的一边将知杆逐出,因角度很小,可近似看作水平,筛面与谷粒发生相对运动才可能将谷粒筛出,若谷粒与得到面静摩擦系数为0.4,问得到沿水平方向的加速度至少多大才能使谷粒和得到面发生相对运动.解：摩擦力满足μmg ≤ ma则 a 至少为μg=0.4*9.8m/s2才能使它们发生相对运动。

3.5.4桌面上叠反放着两块木版，质量各为m1,m2,如图所示m2和桌面的摩察系数为μ2，m1和m2间的静摩察系数为μ1．沿水平方向用多大的力才能把下面的木版抽出来．解：研究对象分别为<m1><m2>坐标系：o-xy受力分析：m1: m2: 列方程坐标分量式①②③④联立解得：只有a2x≥ a1x 时,才能抽出。

3.5.5质量为m2的斜面可在光滑水平面上运动，斜面倾角为a，质量为m1的小球与斜面之间亦无摩察，求小球相对于斜面的加速度及其对斜面的压力．解：研究对象分别为<m1><m2>坐标系：o-xy受力分析：m1:m2:列方程坐标分量式①②③④由相对运动：投影：解得：3.5.6在图示的装置中两物体的质量各为m1,m2．物体之间及物体与桌面的间摩察系数都为μ．求在力F的作用下两物体加速度及其绳内张力．不计滑轮和绳的质量及轴承摩察，绳不可伸长．解：研究对象分别为<m1><m2>坐标系：o-x受力分析： m1:m2:列方程坐标分量式①②③3.5.7在图示的装置中,物体A,B,C 的质量各为m1,m2,m3且两两不相等,若物体A,B 与桌面间的摩擦系数均为μ,求三个物体的加速度及绳内的张力,不计绳和油轮质量,不计轴承摩擦.绳不可伸长.解：研究对象分别为<m1><m2><m3> 坐标系：o-xy 受力分析：m1:m2:m3:列方程T1= T1′= T2 = T2′= T 坐标分量式①②③辅助方程：（绳子的总长度一定）3.5.8天平左端挂一定滑轮,一轻绳跨过滑轮,绳的两端分别系上质量为m1,m2的物体(m1≠m2).天平右端的托盘内放有砝码.问天平托盘和砝码共重若干诸能保持天平平衡?不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦,绳不伸长.解：研究对象分别为<m1><m2>坐标系：o-xm1:受力分析：m2:列方程坐标分量式①②绳不伸长，解得：于是天平左端受力大小为 2T右端的砝码和托盘重为：3.5.9跳伞运动员初张伞时的速度为,阻力大小与速度平方成正比:,人伞总质量为m,求的函数(提示:积分时可利用式.)解：,积分时变为则则则3.5.10一巨石与斜面因地震而分裂,脱离斜面下滑至水平石面之速度为v0,求在水平面上巨石速度与时间的关系,摩擦系数为(注:不必求v 作为t的显函数).解：在水平面上，t=0,则3.5.11棒球质量为0.14kg,用棒击棒球的力随时间的变化如图所示,设棒被击前后速度增量大小为70m/s.求力的最大值,打击时,不计重力.解：0 - 0.05s内：F=20Fmaxt0.05-0.08s内：F=Fmax（8-100t）冲量：=0.025Fmax+0.015Fmax=0.04 Fmax动量的增量：∴Fmax=245N3.5.12沿铅直向上发射玩具火箭的推力随时间变化如图所示．火箭的质量为2kg，t=0时处于静止．求火箭发射后的最大速率和最大高度（注意，推力＞重力时才起动）．解：由动量守恒：F > mg 时才起动，，t = 4 s 时F = mg时间应从t > 4 s 开始。

正逆运动学方程

正逆运动学方程一、正运动学方程正运动学方程是从关节空间到笛卡尔空间的映射，即通过机器人的关节角度来求解机器人末端执行器的位置和姿态。

对于一个n自由度的机器人，其正运动学方程可以表示为：x = f(q)其中，x表示机器人末端执行器的位置和姿态，q表示机器人的关节角度。

正运动学方程可以通过机器人的几何模型和关节变量求解得到，其中涉及到一系列的向量和矩阵运算。

具体地，正运动学方程可以由以下步骤得到：1. 根据机器人的连杆参数（如长度、夹角等）确定连杆变换矩阵；2. 将这些连杆变换矩阵按照关节顺序进行乘积，得到从机器人基座到末端执行器的总变换矩阵；3. 从总变换矩阵中提取位置和姿态信息，得到机器人末端执行器的位置和姿态；4. 将位置和姿态信息表示为坐标系中的坐标值。

二、逆运动学方程逆运动学方程是从笛卡尔空间到关节空间的映射，即通过已知的机器人末端执行器的位置和姿态来求解机器人的关节角度。

由于笛卡尔空间中的位置和姿态信息是冗余的，因此逆运动学方程往往是多解的。

对于一个n自由度的机器人，其逆运动学方程可以表示为：q = g(x)其中，q表示机器人的关节角度，x表示机器人末端执行器的位置和姿态。

逆运动学方程可以通过迭代优化、解析解法或试错法等方法求解。

具体地，逆运动学方程的求解可以分为以下步骤：1. 根据机器人末端执行器的位置和姿态信息，构建一个或多个约束方程；2. 解约束方程，得到关节角度的解；3. 根据不同的优化目标，选择最优的关节角度解；4. 将最优解映射回关节空间。

三、正逆运动学在机器人中的应用正逆运动学是机器人学中的基本概念，是实现机器人运动控制和路径规划的基础。

在机器人应用中，正逆运动学的具体作用如下：1. 运动控制：通过正运动学，机器人可以根据给定的关节角度计算出末端执行器的位置和姿态，从而实现精确的运动轨迹控制。

在实时控制系统中，正运动学方程用于计算末端执行器的期望位置和姿态，并通过反馈控制算法实现机器人的精确跟踪。

第3章 运动学方程-逆向运动学

2 p z + (c1 p x + s1 p y ) 2
(a2 s3 − d 4 ) p z − (−a3 − a2 c3 )(x + s1 p y ) 2
所以 θ23 为：
θ 23 = A tan 2[(−a3 − a2 c3 ) p z − (c1 p x + s1 p y )(d 4 − a2 s3 ),
解的存在性
如果目标点位于工作空间之内，那么IKP 是存在的。 机器人工作空间的计算通常非常复杂， 在工程实际中，对于一些特的机器人， 其工作空间计算比较简单。
解的不唯一性
IKP 可能具有不止一组解，我们需 要计算出所有的解. 为实现机器人系统的控制，需要在 多组解中根据一定的标准选择一组. “最近解”：使各关节的运 动量最小.
其中： K =
2a2
类似于求θ1 的步骤，可得到 θ3 :
2 θ 3 = A tan 2(a3 , d 4 ) − A tan 2 K , ± a3 + d 42 − K 2
(
)
同样。 θ3有两个解。
3、求解 θ2 、
重新把运动学方程写为(p41)：
T (θ 2 ) 整理得到
0 3 −1 0 6
ρ
所以，
sin(φ − θ1 ) = d2
ρ
进一步得到:
cos(φ − θ1 ) = ± 1 −
2 d2
ρ2
2 d d2 φ − θ1 = A tan 2 2 , ± 1 − 2 ρ ρ
所以可得到 θ1:
2 2 ∴θ1 = A tan 2 ( p y , px ) − A tan 2 d 2 , ± px + p y − d 22
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n+1关节轴在一条直线上。x轴与任何存在的公共垂线成一条直线，并且沿着这 条垂线从n关节指向n+1关节。在相交关节的情况下，x轴的方向平行或者逆平行 zn-1×zn的向量叉积，应该注意，这个条件对于沿着关节n和n+1之间垂线的x轴同 样满足。当xn-1和xn平行，且有相同的指向时，则对于第n个转动关节θn＝0。
（3.25）
Sph(α,β,γ) =
（3.26）
同样，如果不希望改变末端坐标的姿态，而只是改变其空间位置，我们可 以用Rot(y,-β)和Rot(z, -α)右乘式（3.26） Sph(α,β,γ) = Rot(z,α)Rot(y,β)Trans(0,0,γ) Rot(y,-β) Rot(z,-α) 1 0 0 γcosαsinβ 0 1 0 γsinαsinβ 0 0 1 γcosβ 0 0 0 1 （3.27）
根据第二章给出的一般性的旋转矩阵Ｒot (k ,θ)，它把机械手末端的姿态 规定为绕k轴旋转θ角。
3.３欧拉角 ( Euler Angles )
姿态变更常用绕x,y或z轴的一系列旋转来确定。欧拉角描述方
法是：先绕 z轴旋转ø ，然后绕新的 y( 即y/) 轴旋转 θ，最后绕更新的 z(z//)轴旋转ψ（见图3.2）欧拉变换Euler(ø ,θ,ψ)可以通过连乘三个旋 转矩阵来求得 Euler(ø ,θ,ψ) ＝Ｒot(z,ø )Ｒot(y,θ)Ｒot(z,ψ) （3.10）
y
0
ø
x x’
θ
ψ
x’’’ x’’
ψ
x
x’
θ
x’’ ø
图3.2 欧拉角
图3.3 基于基坐标的欧拉角
ø
y’’’
ø
ø y’’ θ ψ θ
y’ y
x’’’
3.4 摇摆、俯仰和偏转 ( Roll, Pitch and Yaw )
摇摆、俯仰和偏转为另一种旋转。如图3.4所示，就像水中航行的一条小船一 样，绕着它前进的方向（z轴）旋转 ø称为摇摆，绕着它的横向中轴（y轴）旋转 θ 称为俯仰，绕着它甲板的垂直向上的方向（x轴）旋转ψ 称为偏转。借助于这 种旋转来描述机械手的末端执行器如图3.5所示。规定旋转的次序为 RPY(ø ,θ,ψ)＝Ｒot(z,ø )Ｒot(y,θ)Ｒot(x,ψ) 即，绕x轴旋转ψ，接着绕y轴旋转θ，最后绕z轴旋转ø，这个变换如下 cosθ 0 sinθ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 cosψ –sinψ 0 –sinθ 0 cosθ 0 0 sinψ cosψ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 （3.12）
cosβ 0 sinβ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 Sph(α,β,γ) = Rot(z,α) -sinβ 0 cosβ 0 0 0 1 γ 0 0 0 1 0 0 0 1 （3.24）
y α x 图3.7 球坐标
Sph(α,β,γ) =
cosα -sinα 0 0 cosβ 0 sinβ rsinβ sinα cosα 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -sinβ 0 cosβ rcosβ 0 0 0 1 0 0 0 1 cosαcosβ -sinα cosαsinβ γcosαsinβ sinαcosβ cosα sinαsinβ γsinαsinβ -sinβ 0 cosβ γcosβ 0 0 0 1
RPY(ø,θ,ψ ) = Ｒot(z,ø )
（3.13）
cosø –sinø 0 0 cosθ sinθsinψ sinθcosψ 0 sinø cosø 0 0 0 cosψ –sinψ 0 RPY(ø,θ,ψ ) = 0 0 1 0 -sinθ cosθsinψ cosθcosψ 0 0 0 0 1 0 0 0 1
3.6
3.7
圆柱坐标
球坐标
3.13
小结
3.1 引言 ( Introduction )
本章，我们采用齐次变换来描述在各种坐标系中机械手的位置与方向。首先介绍各 种正交坐标系的齐次变换。然后介绍在非正交关节坐标系中描述机械手末端的齐次变换。 注意，对任何数目关节的各种机械手均可以这样进行。
描述一个连杆与下一个连杆之间关系的齐次变换称A矩阵。A矩阵是描述连杆坐标
系之间的相对平移和旋转的齐次变换。 连续变换的若干A矩阵的积称为T矩阵，对于一个六连杆（六自由度）机械手有 T6 = A1 A2 A3 A4 A5 A6 （3.1）
六连杆的机械手有六个自由度，其中三个自由度用来确定位置，三个自由度用来确 定方向。Ｔ６表示机械手在基坐标中的位置与方向。则变换矩阵Ｔ６有下列元素
Sph(α,β,γ) =
（3.28）
3.7 T6的确定 ( Specification of T6 )
T6可以用旋转和平移的方法来确定。 T6 =[平移][旋转] （3.29）
表3.1 各种平移与旋转的表达式
[Translation] px, py ,pz Cyl( z, α, r ) Sph(α,β,γ)
如图3.6所示，在圆柱坐标中确定机械手的位置是沿x轴 平移r，接着绕z轴旋转α，最后沿着z轴平移z。 Cyl(z, α,r) = Trans(0,0,z)Rot(z, α) Trans(r,0,0) cosα -sinα 0 0 1 0 0 r sinα cosα 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 （3.17） 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 z 0 0 0 1 cosα -sinα 0 rcosα sinα cosα 0 rsinα 0 0 1 0 0 0 0 1 （3.18） 注意：圆柱坐标只能绕 z 轴旋转 x
nx ox ax px ny oy ay py T6 = nz oz az pz 0 0 0 1
（3.2）
如图 3.1 所示，机器人的末
端执行器（手爪）的姿态（方
向）由 n、o、a 三个旋转矢量 描述，其坐标位置由平移矢量
p 描述，这就构成了式（ 3.2 ）
中的变换矩阵 T。 由于 n、o、a 三个旋转矢 量是正交矢量，所以有 n = o×a 图3.1 末端执行器的描述
（3.14）
图3.4 摇摆、俯仰和偏 转角
图3.5 机械手的末端执行器 的摇摆、俯仰和偏 转
RPY(ø ，θ，ψ ) = cosøcosθ cosøsinθsinψ – sinøcosψ cosøsinθcosψ + sinøsinψ sinøcosθ sinøsinθsinψ + cosøcosψ sinøsinθcosψ –cosøsinψ -sinθ cosθsinψ cosθcosψ 0 0 0 0 0 0 1
A C
z
a o n z
α
Cyl(z, α,r) = Trans(0,0,z)
r
B
y
Cyl(z, α,r) =
图3.6 圆柱坐标
Cyl(z,α,r) =
cosα -sinα sinα cosα 0 1 z 0 1
（3.19）
如用一个绕z轴旋转-α 的变换矩阵右乘式（3.19）,结果如下 cosα -sinα 0 rcosα sinα cosα 0 rsinα 0 0 1 z 0 0 1 1 cos(-α) -sin(-α) 0 0 sin(-α) cos(-α) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 cosα sinα 0 -sinα cosα 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Cyl(z,α,r) =
（3.20）
cosα -sinα 0 rcosα sinα cosα 0 rsinα Cyl(z,α,r) = 0 0 1 z 0 0 0 1
0 1
（3.21）
Cyl(z,α,r) =
1 0 0 r cosα 0 1 0 r sinα 0 0 1 z 0 0 0 1
（3.22）
上式表明平移矢量未变，旋转矩阵为单位阵，此时末端坐标的姿态未变， 而只是改变了它的空间位置。
3.7 球坐标 ( Spherical Coordinates )
z 如图3.7所示，用球坐标来确定位置向量的方法是： 沿着z轴平移γ ，然后绕y轴旋转β ，最后绕z轴旋转α 。 γ Sph(α,β,γ) = Rot(z,α) Rot(y,β) Trans(0,0,γ) （3.23） β n a o
图3.9 连杆参数
表3.2 连杆参数
连杆本身 的参数 连杆之间 的参数 连杆长度 连杆扭转角 连杆之间的距离 连杆之间的夹角 an αn dn θn 连杆两个轴的公垂线距离（x方向） 连杆两个轴的夹角（x轴的扭转角） 相连两连杆公垂线距离（z方向平移距） 相连两连杆公垂线的夹角（z轴旋转角）
为了描述连杆之间的关系，我们对每个连杆赋一个坐标系。
（3.15）
3.5 位置的确定 ( Specification of Position )
一旦方向被确定之后，用一个相应的p向量的位移变换可得 到机器人末端执行器在基坐标中的位置：
T6 =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
px py pz 1
旋转 变换
矩阵
（3.16）
3.6 圆柱坐标 ( Cylindrical Coordinates )
图3.8 连杆的长度与扭转角
如图3.9所示，在每个关节轴上有两个连杆与之相连，即关节轴有两个公垂线 与之垂直，每一个连杆一个。两个相连的连杆的相对位置用dn和θn确定， dn是沿着 n关节轴两个垂线的距离， θn是在垂直这个关节轴的平面上两个被测垂线之间的夹 角， dn和θn分别称作连杆之间的距离及夹角。
棱形关节：关节变量为dn。关节轴的方向就是关节的运动方向。与转动关节不同，
轴的运动方向被确定了，但在空间的位置并没有确定（见图2.10）。对于棱形关节， 连杆长度an没有意义，所以被设置为0。棱形关节坐标系的原点与下一个关节的原 点重合，其z轴与下一个连杆的轴在一条直线上。xn平行或逆平行棱形关节的方向 与zn的叉积。对于棱形关节，当dn=0时，定义为0位置。