对数及其运算2

第二课时对数的运算性质(二)课标要求素养要求1.理解积、商、幂的对数，能进行简单的对数运算.2.知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算. 通过掌握对数的运算性质及换底公式，用对数的运算性质进行化简求值，进一步提升数学抽象与数学运算素养.通过用对数解决实际问题，提升数学建模素养.自主梳理换底公式log a N＝log c Nlog c a，其中a>0，a≠1, N>0，c>0，c≠1.特别地log a b·log b a＝1(a>0且a≠1，b>0且b≠1).换底公式中的底数c有什么要求？换底公式中的底数c可以是大于0且不等于1的任意数.自主检验1.思考辨析，判断正误(1)log52＝log215.(×)提示log52＝1 log25.(2)log23log25＝log235.(×)提示log23log25＝log53.(3)log a M＋log b N＝log a(MN)(M>0，N>0).(×)提示 底数都为a 才是正确的. (4)log 32·log 23＝1.(√)2.计算log 225·log 322·log 59的结果为( ) A.3 B.4 C.5 D.6答案 D解析 原式＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5 ＝2lg 5lg 2·32lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝6.3.若lg 5＝a ，lg 7＝b ，用a ，b 表示log 75＝( ) A.a ＋b B.a －b C.b aD.a b答案 D解析 log 75＝lg 5lg 7＝ab .4.若log a b ·log 3a ＝4，则b 的值为________. 答案 81解析 log a b ·log 3a ＝lg b lg a ·lg a lg 3＝lg b lg 3＝4， 所以lg b ＝4lg 3＝lg 34，所以b ＝34＝81.题型一 换底公式的直接应用 【例1】 (1)log 29·log 34＝( ) A.14B.12C.2D.4(2)log 58log 52＝( ) A.log 54B.3log 52C.2D.3答案 (1)D (2)D解析 (1)原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4. (2)原式＝log 28＝3.思维升华 换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的对数转化为同底数的对数.在应用换底公式时将原对数的底数换成以什么为底数的对数，要由具体已知条件确定，一般换成以10为底的常用对数. 【训练1】 计算：(log 43＋log 83)log 32＝________. 答案 56解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1log 34＋1log 38log 32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 32＋13log 32log 32＝12＋13＝56. 题型二 有附加条件的对数式求值问题 【例2】 (1)设3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b 的值； (2)已知2x ＝3y ＝5z ，且1x ＋1y ＋1z ＝1，求x ，y ，z . 解 (1)法一 由3a ＝4b ＝36， 得a ＝log 336，b ＝log 436，由换底公式得1a ＝log 363，1b ＝log 364， ∴2a ＋1b ＝2log 363＋log 364＝log 3636＝1. 法二 由3a ＝4b ＝36，两边取以6为底数的对数，得a log 63＝b log 64＝log 636＝2， ∴2a ＝log 63，1b ＝12log 64＝log 62， ∴2a ＋1b ＝log 63＋log 62＝log 66＝1. (2)令2x ＝3y ＝5z ＝k (k >0)，∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k ， ∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z ＝log k 5， 由1x ＋1y ＋1z ＝1，得log k 2＋log k 3＋log k 5＝log k 30＝1， ∴k ＝30，∴x ＝log 230＝1＋log 215，y ＝log 330＝1＋log 310，z ＝log 530＝1＋log 56. 思维升华 利用对数式与指数式互化求值的方法(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.(2)对于连等式可令其等于k (k >0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.【训练2】 (1)已知3a ＝5b ＝M ，且1a ＋1b ＝2，则M ＝________. (2)若实数a ，b 满足2a ＝5b ＝10，则下列关系正确的是( ) A.2a ＋1b ＝2 B.1a ＋1b ＝1 C.1a ＋2b ＝1D.1a ＋2b ＝12答案 (1)15 (2)B解析 (1)由3a ＝5b ＝M ，得a ＝log 3M ，b ＝log 5M ， 故1a ＋1b ＝log M 3＋log M 5＝log M 15＝2， ∴M ＝15.(2)∵2a ＝5b ＝10，∴a ＝log 210，b ＝log 510，∴1a ＝lg 2， 1b ＝lg 5，∴1a ＋1b ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，故选B.题型三 用代数式表示对数【例3】 已知log 189＝a ，18b ＝5，用a ，b 表示log 3645. 解 ∵18b ＝5，∴log 185＝b .又log 189＝a ，于是log 3645＝log 18（9×5）log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b2－a . 思维升华 换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数的运算性质对同底数的对数运算.可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简. 【训练3】 (1)若ln 2＝a ，ln 3＝b ，则log 418＝( ) A.a ＋3b a 2 B.a ＋3b 2a C.a ＋2b a 2D.a ＋2b 2a(2)已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256. (1)答案 D解析 log 418＝ln 18ln 4＝ln （2×32）2ln 2＝ln 2＋2ln 32ln 2＝a ＋2b2a .(2)解 ∵log 23＝a ，∴1a ＝log 32，又log 37＝b ， ∴log 4256＝log 356log 342＝log 3（7×8）log 3（7×2×3）＝log 37＋3log 32log 37＋log 32＋1＝b ＋3ab ＋1a ＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1. 题型四 对数的实际应用【例4】 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13？(结果保留整数， lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)解 假设经过x 年，该物质的剩余量是原来的13.由题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫34x＝13，∴x ＝log 3413＝lg 13lg 34＝－lg 3lg 3－lg 4＝－lg 3lg 3－2lg 2≈－0.477 10.477 1－0.602 0≈4. 故估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的13. 思维升华 解决对数应用题的一般步骤【训练4】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v ＝12log 3θ100，单位是m/s ，θ表示鱼的耗氧量的单位数. (1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s ，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？ 解 (1)由v ＝12log 3θ100可知，当θ＝900时，v ＝12log 3900100＝12log 39＝1(m/s). 所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时， 它的游速是1 m/s.(2)设鲑鱼原来的游速、耗氧量分别为v 1，θ1， 提速后的游速、耗氧量分别为v 2，θ2. 由v 2－v 1＝1，即12log 3θ2100－12log 3θ1100＝1，∴12log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2100÷θ1100＝1，即log 3θ2θ1＝2， 得θ2θ1＝9.所以耗氧量的单位数为原来的9倍.1.记牢1个知识点换底公式.2.注意2个问题(1)运用换底公式注意成立条件.(2)根据不同问题选择公式的正用或逆用.一、选择题1.若log513·log36·log6x＝2，则x＝()A.9B.19 C.25 D.125答案 D解析由题意知lg13lg 5·lg 6lg 3·lg xlg 6＝－lg xlg 5＝2，∴lg x＝－2lg 5＝lg 1 25，∴x＝1 25.2.已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为()A.6B.9C.12D.18答案 D解析∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝log2k，b＝log3k，∴1a＝log k2，1b＝log k3.∵2a＋b＝ab，∴2b＋1a＝2log k3＋log k2＝log k9＋log k2＝log k18＝1，∴k＝18.3.设log23＝a，log215＝b，则log5395＝()A.3a＋b2b－aB.2a＋b2b－aC.3a＋b2a－bD.2a＋b2a－b答案 A解析log5395＝log295log253＝2log23＋12log25 log25＋12log23＝2a＋12（log215－log23）log215－log23＋12log23＝2a＋12（b－a）b－a＋12a＝3a＋b2b－a.4.log916·log881＝()A.18B.118 C.83 D.38答案 C解析log916·log881＝lg 16lg 9·lg 81lg 8＝4lg 22lg 3·4lg 33lg 2＝83.5.设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A.log a b·log c b＝log c aB.log a b·log c a＝log c bC.log a(bc)＝log a b·log a cD.log a(b＋c)＝log a b＋log a c答案 B解析log a b·log c b＝lg blg a·lg blg c≠log c a，故A错误；log a b·log c a＝lg blg a·lg alg c＝lg blg c＝log c b，B正确；C，D显然错误.二、填空题6.若2a＝3，b＝log32，则ab＝________，3b＋3－b＝________.答案15 2解析∵2a＝3，∴a＝log23，∴ab ＝log 23·log 32＝log 23·1log 23＝1， 3b ＋3－b ＝3log 32＋3－log 32＝2＋12＝52. 7.若x log 32＝1，则4x ＋4－x ＝________. 答案 829解析 因为x ＝1log 32＝log 23，所以4x ＋4－x ＝22x ＋2－2x ＝22log 23＋2－2log 23＝2log 232＋2log 23－2＝9＋19＝829.8.已知log 32＝m ，则log 3218＝________(用m 表示). 答案m ＋25m解析 log 3218＝log 318log 332＝log 3（2×32）log 325＝log 32＋25log 32＝m ＋25m .三、解答题9.计算：(1)log 89·log 2732； (2)(log 25＋log 40.2)(log 52＋log 250.5). 解 (1)原式＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝109. (2)原式＝(log 25＋log 220.2)(log 52＋log 520.5) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 25＋12log 20.2⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋12log 50.5 ＝(log 25＋log 20.212)(log 52＋log 50.512) ＝log 2(5×0.212)·log 5(2×0.512) ＝log 2(5×5－12)·log 5(2×2－12) ＝log 2512·log 5212＝lg 52lg 2·lg 22lg 5＝14.10.(1)已知log 1227＝a ，求log 616的值；(2)计算(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)的值.解 (1)由log 1227＝a ，得lg 27lg 12＝3lg 32lg 2＋lg 3＝a ，∴lg 2＝3－a2a lg 3. ∴log 616＝lg 16lg 6＝4lg 2lg 2＋lg 3＝4×3－a 2a lg 33－a2a lg 3＋lg 3＝4（3－a ）3＋a.(2)法一 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 2lg 5＝13. 法二 原式＝(log 253＋log 2252＋log 2351)·(log 52＋log 5222＋log 5323) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log 25＋log 25＋13log 25(log 52＋log 52＋log 52) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52)＝133×3＝13.11.(多选题)设a ，b ，c 都是正数，且4a ＝6b ＝9c ，那么( ) A.ab ＋bc ＝2ac B.ab ＋bc ＝ac C.2c ＝2a ＋1bD.1c ＝2b －1a答案 AD解析 令4a ＝6b ＝9c ＝N (显然N ＞0且N ≠1)，则a ＝log 4N ，b ＝log 6N ，c ＝log 9N ，∴1a ＝log N 4，1b ＝log N 6，1c ＝log N 9，∴log N 4＋log N 9＝2log N 6，即1a ＋1c ＝2b ， ∴bc ＋ab ＝2ac .12.已知⎝ ⎛⎭⎪⎫17a ＝13，log 74＝b ，则log 4948＝________(用含a ，b 的式子表示). 答案 a ＋2b 2解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫17a ＝13，则a ＝log 1713＝log 73，又b ＝log 74， ∴log 4948＝log 748log 749＝log 7（3×16）log 772＝log 73＋2log 742＝a ＋2b 2. 13.已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z ，2x ＝py .(1)求p 的值；(2)证明：1z －1x ＝12y .(1)解 设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k >0且k ≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k .由2x ＝py 得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3k log 34， 因为log 3k ≠0，所以p ＝2log 34＝4log 32.(2)证明 由(1)知1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y . 所以原式得证.14.已知lg a 和lg b 是关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0的两实根，且关于x 的方程x 2－(lg a )·x －(1＋lg a )＝0有两个相等实数根，求实数a ，b 和m 的值.解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧lg a ＋lg b ＝1 ①lg a ·lg b ＝m ， ②（lg a ）2＋4（1＋lg a ）＝0， ③ 由③得(lg a ＋2)2＝0，所以lg a ＝－2.代入①，得lg b ＝1－lg a ＝3；代入②，得m＝lg a·lg b＝(－2)×3＝－6. 所以a＝0.01，b＝1 000，m＝－6.。

对数及对数运算要点一、对数概念 1.对数的概念如果()01ba N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R.2.对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即0N >； (2)1的对数为0，即log 10a =； (3)底的对数等于1，即log 1a a =.3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作.以e （e 是一个无理数， 2.7182e =⋅⋅⋅）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作.4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. 要点二、对数的运算法则已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 (1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；()log log log a a a MN M N =+推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++> 、、、 (2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；log log log aa a MM N N=- (3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；log log a a M M αα=要点三、对数公式 1．对数恒等式：log log a b Na a Na N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有: (1) )(log log R n MM na a n ∈=令 log a M=b ， 则有a b=M ， (a b )n=M n，即nb n M a =)(， 即n a M b n log =，即:na a M M n log log =.(2) )1,0(log log log ≠>=c c aM M c c a ，令log a M=b ， 则有a b =M ， 则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c bc即M a b c c log log =⋅， 即a M b c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a 结论:)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a .【典型例题】类型一、对数的概念例1.求下列各式中x 的取值范围：（1）2log (5)x -；（2）(1)log (2)x x -+；（3）2(1)log (1)x x +-． 举一反三：【变式1】函数21log (2)x y x -=+的定义域为 ．类型二、指数式与对数式互化及其应用 例2.将下列指数式与对数式互化： (1)2log 164=；(2)13log 273=-；(3)3x =；(4)35125=；(5)1122-=；(6)2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭.举一反三：【变式1】求下列各式中x 的值： (1)161log 2x =- (2)log 86x = (3)lg1000=x (4)2-2ln e x =【变式2】计算：222log 4;log 8;log 32并比较．类型三、利用对数恒等式化简求值 例3．求值： 71log 57+举一反三：【变式1】求log log log a b c b c Na ⋅⋅的值(a ，b ，c ∈R +，且不等于1，N>0)类型四、积、商、幂的对数例4. z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式35(1)log ;(2)log ();(3)log a a a a xy x y z举一反三：【变式1】求值(1)1log 864log 325log 21025-+ (2)lg2·lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2类型五、换底公式的运用例5.已知18log 9,185ba ==，求36log 45．举一反三：【变式1】求值：(1))2log 2)(log 3log 3(log 9384++；(2)32log 9log 278⋅；(3)31log 529-.类型六、对数运算法则的应用 例6.求值 (1) 91log 81log 251log 32log 53264⋅⋅⋅(2) 7lg142lg lg 7lg183-+-(3))36log 43log 32(log log 42122++(4)()248125255log 125log 25log 5(log 8log 4log 2)++++举一反三：【变式1】计算下列各式的值 （1）()222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++ ；（2）33(lg 2)3lg 2lg5(lg5)++．【变式2】求值：107lg 2lg )21(7⋅。

对数函数及其运算2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算1) 对数的定义如果 $a=N(a>0$ 且 $a\neq 1)$，则 $x$ 叫做以 $a$ 为底$N$ 的对数，记作 $x=log_aN$，其中 $a$ 叫做底数，$N$ 叫做真数。

负数和零没有对数。

对数式与指数式的互化：$x=log_aN \Leftrightarrowa=N(a>0,a\neq 1,N>0)$。

2) 几个重要的对数恒等式log_a1=0$，$log_aa=1$，$log_ab=b$。

3) 常用对数与自然对数常用对数：$lgN$，即 $log_{10}N$；自然对数：$lnN$，即 $log_eN$（其中$e=2.…$）。

4) 对数的运算性质如果 $a>0,a\neq 1,M>0,N>0$，那么：加法：$log_aM+log_aN=log_a(MN)$。

减法：$log_aM-log_aN=log_a(\frac{M}{N})$。

数乘：$nlog_aM=log_a(M^n)$，其中 $n\in R$。

log_aN=N^a$。

log_{ab}M=\frac{log_aM}{log_ab}$，其中 $b\neq 0,n\in R$。

5) 换底公式：$log_aN=\frac{log_bN}{log_ba}$。

2.2.2 对数函数及其性质1) 对数函数函数名称：对数函数。

定义：函数 $y=log_ax(a>1,a\neq 1)$ 叫做对数函数。

图象：图象过定点 $(1,0)$，即当 $x=1$ 时，$y=0$。

定义域：$(0,+\infty)$。

值域：$(-\infty,+\infty)$。

过定点：图象过定点 $(1,0)$。

奇偶性：非奇非偶。

单调性：在 $(0,+\infty)$ 上是增函数，在 $(0,1)$ 上是减函数。

函数值的变化情况：当 $x>1$ 时，$y=log_ax>0$，$y$ 随 $x$ 增大而增大。

3.2.1 对数及其运算(二)自主学习学习目标1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．自学导引1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么，(1)log a (MN )＝________________；(2)log a M N＝________； (3)log a M n ＝________(n ∈R )．2．对数换底公式：________________.3．自然对数(1)以________________为底的对数叫做自然对数，log e N 通常记作________．(2)自然对数与常用对数的关系：ln N ≈____________.对点讲练知识点一 正确理解对数运算性质例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( )①log a x ＋log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a x y＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0B ．1C ．2D ．3规律方法 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．变式迁移1 (1)若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x(2)对于a >0且a ≠1，下列说法中正确的是( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①③B ．②④C ．②D ．①②③④知识点二 对数运算性质的应用例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1.规律方法 (1)对于同底的对数的化简常用方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．(2)对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．(3)对于含有多重对数符号的对数的化简，应从内向外逐层化简求值．变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.知识点三 换底公式的应用例3 设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．规律方法 换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．解题过程中换什么样的底应结合题目条件，并非一定用常用对数、自然对数．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ；(2)已知log 142＝a ，用a 表示log 27.1．对于同底的对数的化简要用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．4．要充分运用“1”的对数等于0，底的对数等于“1”等对数的运算性质．5．两个常用的推论：(1)log a b ·log b a ＝1；(2)log am b n ＝n mlog a b (a 、b >0且均不为1).课时作业一、选择题1．lg 8＋3lg 5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 2．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36等于( )A.a ＋b aB.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg a b 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.144．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．计算2log 525＋3log 264－8log 71的值为( )A ．14B ．8C ．22D ．27二、填空题6．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，那么lg 1.8＝__________.7．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝__________.三、解答题8．求下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.9．已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365.3．2.1 对数及其运算(二)答案自学导引1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N(3)n log a M2．log a b ＝log c b log c a3．(1)无理数e ＝2.718 28… ln N(2)2.302 6lg N对点讲练例1 A [对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．]变式迁移1 (1)A(2)C [在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立． 在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立． 所以，只有②成立．]例2 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.变式迁移2 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7) ＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.例3 解 由已知分别求出x 和y .∵3x ＝36,4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得： x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.变式迁移3 解 (1)利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝2， ∴lg m ＝2lg 3，于是m ＝9.(2)由对数换底公式，得log 27＝log 27log 22＝log 2712＝2log 27＝2(log 214－log 22) ＝2(1a －1)＝2(1－a )a. 课时作业1．D [lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 1 000＝3.]2．B [log 36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a ＋b b.] 3．A [由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.] 4．A [由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010 ＝13.] 5．C6.a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg 1.8 ＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg 2＋lg 9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．2解析 由log 63＋log 6x ＝0.613 1＋0.386 9＝1.得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2.8．解 (1)方法一 原式＝12(5 lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5 ＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5 ＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12. (2)方法一 原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 10·lg 52＋lg 4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg 10＝1. 方法二 原式＝(lg 10－lg 2)2＋2lg 2－lg 22＝1－2lg 2＋lg 22＋2lg 2－lg 22＝1.9．解 ∵18b ＝5，∴log 185＝b, 又∵log 189＝a ，∴log 365＝log 185lg 1836＝b log 18(18×2)＝b 1＋log 182＝b 1＋log 18189＝b 1＋(1－log 189)＝b 2－a.。