计算机图形学二维几何变换

二维几何变换学习镜像平移和旋转等变换在几何学中，二维几何变换是一种将平面上的点或形状进行改变的操作。

镜像、平移和旋转是常见的二维几何变换，它们不仅有着广泛的应用，而且在计算机图形学和图像处理等领域中扮演着重要的角色。

本文将分别介绍镜像、平移和旋转等变换的基本概念、性质与应用。

一、镜像变换镜像变换，又称翻转变换，是将平面上的点或形状沿着一条直线进行对称的变换。

在镜像变换中，我们可以定义一条直线作为镜像轴，对于沿轴线的点，它们在镜像后仍保持在轴上，而对于不在轴上的点，则沿垂直于轴线的方向移动相同的距离。

镜像变换可以分为对称镜像和中心镜像两种类型。

对称镜像是将平面上的点或形状沿着一条直线进行对称的变换。

对于对称镜像，镜像轴上的点保持不变，其他点关于轴线对称。

例如，在一个直角三角形中，如果将三角形沿着斜边的中垂线进行对称，那么三角形的形状将完全相同，但位置改变了。

中心镜像是将平面上的点或形状沿着一个点进行对称的变换。

对于中心镜像，镜像中心点保持不变，其他点关于镜像中心对称。

例如，在一个正方形中，如果将正方形沿着中心进行中心镜像，那么正方形的形状将保持不变。

镜像变换在现实生活和工程应用中有着广泛的应用。

例如，在建筑设计中，通过对称镜像可以快速获得相对称的结构，从而减少设计和施工的难度。

在计算机图形学中，镜像变换被广泛应用于图像处理和计算机游戏中，能够快速生成镜像效果。

二、平移变换平移变换是将平面上的点或形状沿着一个方向进行移动的变换。

在平移变换中，每个点的平移距离和方向相同，所有的点都保持相对位置不变。

平移变换可以用坐标表示为(x, y) → (x+dx, y+dy)，其中(dx, dy)表示平移的距离和方向。

平移变换的一个重要性质是保持平行性，即平移后的平行线与原先的平行线依然平行。

这个性质在工程设计和计算机图形学中有着重要的应用。

例如，在工程设计中，通过平移变换可以方便地复制和粘贴结构，缩短设计和施工的时间。

计算机形学中的几何变换与投影技术计算机形学是计算机科学与计算机图形学中重要的一个领域，它研究如何在计算机上对图形进行表示、创建、编辑和呈现。

其中，几何变换和投影技术是计算机形学中常用且核心的技术之一，它们在计算机图形学领域中被广泛应用。

一、几何变换在计算机图形学中，几何变换是指对图形进行平移、旋转、缩放和扭曲等操作，从而改变图形的位置、形状和大小，以满足特定需求。

1. 平移变换平移变换是对图形进行沿着指定方向和距离的移动。

在二维空间中，平移变换可以表示为：x' = x + dxy' = y + dy其中，(x', y')是平移后的坐标，(x, y)是原始坐标，(dx, dy)是平移的向量。

2. 旋转变换旋转变换是对图形进行绕指定点或绕原点的旋转操作。

在二维空间中，旋转变换可以表示为：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，(x', y')是旋转后的坐标，(x, y)是原始坐标，θ是旋转角度。

3. 缩放变换缩放变换是对图形进行放大或缩小的操作。

在二维空间中，缩放变换可以表示为：x' = x * sxy' = y * sy其中，(x', y')是缩放后的坐标，(x, y)是原始坐标，(sx, sy)是缩放因子。

4. 扭曲变换扭曲变换是对图形进行形状的变换，使得某些部分被拉伸或收缩。

扭曲变换可以通过矩阵运算进行表示，具体操作较为复杂。

二、投影技术在计算机图形学中，投影技术是指将三维空间中的图形映射到二维平面上的过程。

常见的投影技术包括平行投影和透视投影。

1. 平行投影平行投影是一种保持图形中平行线在投影后保持平行的投影方式。

在三维空间中，平行投影可以表示为：x' = xy' = y其中，(x', y')是投影平面上的坐标，(x, y)是三维空间中的坐标。

第五章图形变换重点：掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。

难点：理解常用的平移、比例、旋转变换，特别是复合变换。

课时安排：授课4学时。

图形变换包括二维几何变换，二维观察变换，三维几何变换和三维观察变换。

为了能使各种几何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变换的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。

齐次坐标系齐次坐标系：n维空间中的物体可用n+1维齐次坐标空间来表示。

例如二维空间直线ax+by+c=0，在齐次空间成为aX+bY+cW=0，以X、Y和W为三维变量，构成没有常数项的三维平面(因此得名齐次空间)。

点P(x、y)在齐次坐标系中用P(wx,wy,w)表示，其中W是不为零的比例系数。

所以从n维的通常空间到n+1维的齐次空间变换是一到多的变换，而其反变换是多到一的变换。

例如齐次空间点P(X、Y、W) 对应的笛卡尔坐标是x=X/W和y=Y/W。

将通常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时，W的值取1。

采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示，并统一地用矩阵乘法来实现变换的组合。

齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用，它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表示形式。

5.1 二维几何变换二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。

二维几何变换主要包括：平移、比例、旋转、对称、错切、仿射和复合变换。

5.1.1 二维平移变换如图所示，它使图形移动位置。

新图p'的每一图元点是原图形p中每个图元点在x和y方向分别移动Tx和Ty产生，所以对应点之间的坐标值满足关系式x'=x+Txy'=y+Ty可利用矩阵形式表示成：［x' y'］=［x y］+［Tx Ty］简记为：P'=P+T，T=［Tx Ty］是平移变换矩阵(行向量)。

从矩阵形式来看，平移变换是矩阵加法，而比例和旋转变换则是矩阵乘法。

相对任意方向的二维几何变换平面上的二维几何变换是指将平面上的一个点或一组点通过某种规则进行变换，得到新的点或点集的过程。

这些变换可以是平移、旋转、缩放、对称等。

在本文中，将分别介绍这些二维几何变换的定义、特点和应用。

一、平移变换平移变换是指将平面上的点沿着指定的方向进行移动，距离为指定的平移向量。

平移变换的特点是保持形状和大小不变，只改变位置。

平移变换可以用向量表示，即用平移向量将原始点的坐标进行平移，得到新点的坐标。

平移变换的应用非常广泛，比如在计算机图形学中，平移变换常用于图像的移动、平面的平移等。

此外，在几何学中，平移变换也可以用于解决平面图形的位置关系、求解线段的平移等问题。

二、旋转变换旋转变换是指将平面上的点绕着指定的旋转中心按照指定的角度进行旋转。

旋转变换的特点是保持形状和大小不变，只改变方向和位置。

旋转变换可以用旋转角度和旋转中心表示，即通过旋转矩阵将原始点的坐标进行旋转，得到新点的坐标。

旋转变换的应用也非常广泛，比如在航空航天中，旋转变换常用于描述飞机的姿态变化；在计算机图形学中，旋转变换常用于图像的旋转、三维模型的旋转等。

此外，在几何学中，旋转变换也可以用于解决线段的旋转、图形的对称等问题。

三、缩放变换缩放变换是指将平面上的点按照指定的比例进行放大或缩小。

缩放变换的特点是保持形状不变，只改变大小。

缩放变换可以用缩放因子表示，即通过缩放矩阵将原始点的坐标进行缩放，得到新点的坐标。

缩放变换的应用也非常广泛，比如在计算机图形学中，缩放变换常用于图像的放大、缩小、三维模型的缩放等。

此外，在几何学中，缩放变换也可以用于解决图形的相似性判断、线段的伸缩等问题。

四、对称变换对称变换是指将平面上的点按照指定的对称中心或对称轴进行镜像。

对称变换的特点是保持形状不变，只改变方向。

对称变换可以用对称中心或对称轴表示，即通过对称变换的公式将原始点的坐标进行镜像，得到新点的坐标。

对称变换的应用也非常广泛，比如在几何学中，对称变换常用于解决图形的对称性判断、线段的对称等问题。