计算机图形学图形二维变换

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二维图形变换

{
Pt[i].x = (float)Pt[i].x * cos(dRadiusAngle) - (float)Pt[i].y * sin(dRadiusAngle);
Pt[i].y = (float)Pt[i].x * sin(dRadiusAngle) + (float)Pt[i].y * cos(dRadiusAngle);
{
Pt[i].x *= 0.5;
Pt[i].y *= 0.5;
}
Pt[0] = TmpPt;
Pt[1] = Pt[1] + Pt[0];
Pt[2] = Pt[2] + Pt[0];
break;
case 0X58://X的ASCII码
Pt[1] = Pt[1] - Pt[0];
Pt[2] = Pt[2] - Pt[0];
}
RedrawWindow();
}//实现图形旋转
void CTransView::OnTransformScale()
{
// TODO: Add your command handler code here
float dScaleX = 2.0;
float dScaleY = 0.5;
for(int i=0; i<3; i++)
pDC->MoveTo(Pt[0]);
pDC->LineTo(Pt[1]);
pDC->LineTo(Pt[2]);
pDC->LineTo(Pt[0]);
//绘出以（500，240）为原点的坐标轴
pDC->MoveTo(100,240);pDC->LineTo(900,240);

计算机图形学_ 二维图形变换_55 窗口视区变换_

为了全部、如实地在视区中显示出窗口内的图形对象，就必须求出图形在窗口和视区间的映射关系
需要根据用户所定义的参数，找到窗口和视区之间的坐标对应关系
y
世界坐标系
y
屏幕坐标系
wyt
vyt
窗口
视区
P(x,y)
wyb
P’(sx,sy)
vyb
0
wxl
wxr
x0
vxl
vxr x
窗口到视区的映射是基于一个等式，即对每一个在世界坐标下的点（x,y），产生屏幕坐标系中的一个点（sx,sy）
sx vl vr vl
x wl wr wl
sx A* x C sy B * y D
sx x wl (vr vl) vl wr wl
sx vr vl x (vl vr vl wl)
wr wl
wr wl
A看做放大x的部分，而C看做常数
A vr vl wr wl
窗口、视区及变换
一、窗口和视区
世界坐标系中要显示的区射到显示器(设备)上的区域称为视区
窗口定义显示什么；视区定义在何处显示
y
wyt
wyb 0
窗口
wxl
wxr
世界坐标系
y
vyt 视区
vyb
x
0 vxl
vxr x
设备坐标系
世界坐标系中的一个窗口可以对应于多个视区
C vl A*wl
同理，y方向上保持比例性质满足：
sy vb y wb
vt vb
wt wb
sx A* x C sy B * y D
B vt vb wt wb
D vb B*wb
这个映射可用于任意点（x,y），不管它是否在窗口之中。在窗口中的点映射到视口中的点，在窗口外的点映射到视口外的点

计算机图形学-变换

1
第3章变换
基本的二维几何变换二维复合变换其他二维变换三维几何变换 OpenGL几何变换函数三维图形的显示流程投影裁剪
2
几何变换
应用于对象几何描述并改变它的位置、方向或大小的操作称为几何变换（geometric transformation）基本的二维几何变换包括平移、旋转和缩放
8
矩阵表示和齐次坐标
许多图形应用涉及到几何变换的顺序需要用一个通式来表示平移、旋转和缩放
P M1 P M 2
将2×2矩阵扩充为3×3矩阵，可以把二维几何变换的乘法和平移项组合为单一矩阵表示
9
二维平移矩阵
x 1 0 t x x y 0 1 t y y 1 0 0 1 1
三维坐标轴旋转
X轴坐标不变，循环替代x、y、z三个轴可以得到绕x轴旋转的公式
z
y ' y cos z sin
y
z ' y sin z cos x' x
x
35
三维坐标轴旋转
y轴坐标不变，循环替代x、y、z三个轴可以得到绕y轴旋转的公式
x
z
y
z ' z cos x sin x' z sin x cos y' y
glMatrixMode (GL_MODELVIEW); glColor3f (0.0, 0.0, 1.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示蓝色矩形
glColor3f (1.0, 0.0, 0.0); glTranslatef (-200.0, -50.0, 0.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示红色、平移后矩形

计算机图形学PPT神奇的齐次坐标与二维图形变换

0 P’
例如：关于X轴对称
P(x,y)
P’(x’,y’)
x’=x
x
y’=-y
2 几何变换
以二维为例：
错切：也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变形处理。
y
y
y
(a)原图
x
x
x
(b)沿x方向错切
(c)沿y方向错切
2 几何变换
以二维为例：错切：也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变形处理。
2 几何变换
以二维为例：
平移：指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程,是一种不产生变形而移动物体的刚体变换。
y
P’
PT
Ty
Tx
0
x
P(x,y)
P’(x’,y’)
x’=x+Tx y’=y+Ty
Tx ：x方向的平移矢量 Ty ：y方向的平移矢量
2 几何变换
以二维为例：
比例：对p点相对于坐标原点沿x方向放缩Sx倍，沿y方向放缩Sy倍。其中Sx 和Sy称为比例系数。
旋转
x’=xcosθ -ysinθ y’=xsinθ +ycosθ
cos sin 0
sin cos 0
0
0 1
3 齐次坐标的引入
T1
T3
a b p
x' y' 1 x y 1T2D x y 1c d q
l m s
T2
T4
其中：
T1是对图形进行比例、旋转、对称、错切等变换；
T2是对图形进行平移变换； T3是对图形作投影变换； T4则可以对图形作整体比例变换。
旋转
x’=xcosθ -ysinθ y’=xsinθ +ycosθ

计算机图形学6(陈永强)

Y
Y
X (e)关于x=-y对称
X (d)关于x=y对称
11
基本几何变换——对称变换
(1)关于x轴对称
Y
1a 0 b 0 1 c d m 0l 0
0 p 0 q s 1
P(x,y) X P'(x,-y)
图6-5 关于x轴对称
12
基本几何变换——对称变换
24
复合变换——二维复合旋转
cos1 sin 1 0 cos 2 Tr Tr1 Tr 2 sin 1 cos1 0 sin 2 0 1 0 0 cos(1 2 ) sin(1 2 ) 0 sin(1 2 ) cos(1 2 ) 0 0 0 1 sin 2 cos 2 0 0 0 1
1 b 0 c 1 0 0 0 1
(3)两个方向错切
18
二维图形几何变换的计算
几何变换均可表示成P’=P*T的形式。 1. 点的变换
x'
y ' 1 x
a b y 1 c d l m
p q r
19
二维图形几何变换的计算
2. 直线的变换
0 cos 0 0 0 1
1 0 tg 1 0
0
tg 1 0
0 1
0
26
6.3.5相对任一参考点的二维几何变换
相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变换过程为： (1) 平移； (2) 针对原点进行二维几何变换； (3) 反平移。
27
相对任一参考点的二维几何变换
P' P T P (T1 T2 T3 Tn ) P T1 T2 T3 Tn (n 1)

计算机图形学之图形变换

4 T
3
2 p
1
0
012 34 567 8
线段和多边形的平移可以通过顶点的
平移来实现。同样线段和多边形的其它几何变换也可以通过对顶点的几何变换来实现。
2. 旋转变换(Rotation) 二维旋转有两个参数：
旋转中心：旋转角：
？
6 P’
5
4
3
P
2
1
0
012 34 567 8
设OP与x轴的夹角为则：
由于采用齐次坐标矩阵表示几何变换，多个变换的序列相应地可以用矩阵链乘来表示。
需要注意：先作用的变换其矩阵在右边，后作用的变换其矩阵在左边。
变换函数
平移变换 void glTanslate{fd}(TYPE x, TYPE y, TYPE z);
旋转变换 void glRotate{fd}(TYPE angle, TYPE x, TYPE y, TYPE z); 绕矢量v=(x,y,z)T逆时针方向旋转angle指定的角度。旋转角度的范围是0~360度。当angle=0时， glRotate()不起作用。
二维旋转有两个参数：旋转中心：旋转角：
上述变换可以分解为三个基本变换：
•平移：
•旋转：
•平移：回原位。
使旋转中心移到坐标原点；使旋转中心再移
二维旋转有两个参数：旋转中心：旋转角：
因此上述变换可以写成矩阵乘积形式：
4. 5 基本三维几何变换(Basic three-dimensional geometric transformation)
1. 矩阵表示(Matrix representation) 前面三种变换都可以表示为如下的矩
阵形式

二维空间里的简单矩形变换（平移、按比例缩放、旋转、对称、错切）

int a[3]; }point;
point change(point p, int a[3][3]) {
int b[3] = { 0, 0, 0 }; for (int i = 0; i < 3; i++) {
for (int j = 0; j < 3; j++) b[i] += p.a[j] * a[j][i];
return; }
void Rotation(point p1, point p2, point p3, point p4) {
double d; printf("Please enter the angel of rotation:(格式:60度就输入60):"); scanf("%lf", &d); getchar(); d = d / 180 * 1.0 * PI; double a[3][3] = { cos(d), -sin(d), 0, sin(d), cos(d), 0, 0, 0, 1 }; DrawChange2(p1, p2, p3, p4, a);
(4)对称:
以X轴对称：
，有
*
=
；
以Y轴对称：
，有
*
=
；
以原点O对称：
，有
*
=
；
以Y=X对称：
，有
*
=
；
以Y=-X对称：
，有
*
=
；
(5)错切：
，有
*
=
；
-------------------------------------------------------------下课啦---------------------------------------------------------------

计算机图形学_ 二维图形变换_53 二维图形变换原理及齐次坐标_

普通坐标×h→齐次坐标齐次坐标÷h→普通坐标当h = 1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标
为什么要采用齐次坐标？
在笛卡儿坐标系内，向量（x,y）是位于z=0的平面上的点；而向量（x,y,1）是位于z=1的等高平面上的点
对于图形来说，没有实质性的差别，但是却给后面矩阵运算提供了可行性和方便性
假如变换前的点坐标为（x,y），变换后的点坐标为（x*,y* ），这个变换过程可以写成如下矩阵形式：
x*, y*x,
x* a1x b 1 y c1
y•M
x*, y*x
a1
y
1
b 1
c1
a2 b2 c2
上两式是完全等价的。对于向量（x,y,1），可以在几何意义上理解为是在第三维为常数的平面上的一个二维向量。
这种用三维向量表示二维向量，或者一般而言，用一个n+1维的向量表示一个n维向量的方法称为齐次坐标表示法
n维向量的变换是在n+1维的空间进行的，变换后的n维结果是被反投回到感兴趣的特定的维空间内而得到的。
如n维向量（p1,p2,...,pn）表示为（hp1,hp2,...,hpn,h），其中h称为哑坐标。普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”：
变换图形就是要变换图形的几何关系，即改变顶点的坐标；同时，保持图形的原拓扑关系不变
仿射变换（Affine Transformation或 Affine Map）是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换（1）“平直性”。即：直线经过变换之后依然是直线
（2）“平行性”。即：平行线依然是平行线，且直线上点的位置顺序不变）
采用了齐次坐标表示法，就可以统一地把二维线形变换表示如下式所示的规格化形式：

计算机图形学 5.1二维变换

a11b13 a12b23 a13b33 a 21b13 a 22b23 a 23b33 （5-1） a n1b13 a n 2 b23 a n3b33
由线性代数知道，矩阵乘法不满足交换律，只有左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才可以相乘。特别地，对于二维变换的两个3×3的方阵A和B，矩阵相乘公式为：
5.1.1 规范化齐次坐标
为了使图形几何变换表达为图形顶点集合矩阵与某一变换矩阵相乘的问题，引入了规范化齐次坐标。所谓齐次坐标就是用n＋1维矢量表示n维矢量。例如，在二维平面中，点P(x，y)的齐次坐标表示为（wx，wy，w）。类似地，在三维空间中，点P(x，y，z) 的齐次坐标表示为（wx，wy，wz，w）。这里，w为任一不为0的比例系数，如果w＝1就是规范化的齐次坐标。二维点P(x，y)的规范化齐次坐标为〔x，y，1〕，三维点P(x，y，z)的规范化齐次坐标为〔x，y，z，1〕。不能写成下标形式，w和x，w和y，w和z是乘法的关系。定义了规范化齐次坐标以后，图形几何变换可以表示为图形顶点集合的规范化齐次坐标矩阵与某一变换矩阵相乘的形式。
x1 x P 2 xn y1 y2 yn 1 1 1
变换后图形顶点集合的规范化齐次坐标矩阵为：
x'1 x' ' P 2 x' n y '1 y' 2 y'n 1 1 1
a b 二维变换矩阵为： T c d l m
a11b11 a12b21 a13b31 a11b12 a12b22 a13b32 a b a b a b a 21b12 a 22b22 a 23b32 21 11 22 21 23 31 a n1b11 a n 2 b21 a n3b31 a n1b12 a n 2 b22 a n3b32

第4章二维变换

• 性质
U •V = V •U U •V = 0 ⇔ U ⊥ V U •U = 0 ⇔ U = 0
变换的数学基础(3/4) 变换的数学基础
– 矢量的长度
• 单位矢量 • 矢量的夹角
2 U = U • U = u x + u y + u z2 2
U •V cos θ = U •V
– 矢量的叉积
i U ×V = ux vx
– 在世界坐标系（在世界坐标系（WCS）中指定的矩形区域，）用来指定要显示的图形。
2. 视区
– 在设备坐标系（屏幕或绘图纸）在设备坐标系（屏幕或绘图纸）上指定的矩形区域，用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置。用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置。
3. 窗口到视区的变换
P′＝P＋Tm 等价于
[x’ y’]=[x y] +[Mx My]
图形变换的特点（ 4.3.1 图形变换的特点（续）
比例变换 P′＝P×Ts
Sx 0 Ts＝ 0 Sy Sx、Sy分别表示比例因子。 cosθ sinθ Tr＝ -sinθ cosθ θ＞0时为逆时针旋转 θ＜0时为顺时针旋转
旋转变换 P＇＝P×Tr
变换后的顶点坐标
P
变换前的顶点坐标
•
T2D
二维变换矩阵
二维变换矩阵中： a b 是对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换。 c d [ l m] 是对图形进行平移变换
• 计算机图形场景中所有图形对象的空间定位和定义，包括观计算机图形场景中所有图形对象的空间定位和定义，察者的位置视线等，是其它坐标系的参照。察者的位置视线等，是其它坐标系的参照。
2.模型坐标系（Modeling Coordinate System，也称局部坐标系）模型坐标系

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void CMyView::ClearMatrix(double A[][3]) { for(int i=0;i<3;i++) { for(int j=0;j<3;j++) A[i][j]=0; } }
void CMyView::Draw(double D[][3], int n) { RedrawWindow(); CClientDC dc(this); CPen pen,*pOldpen; pen.CreatePen(PS_SOLID,3,RGB(0,0,255)); pOldpen=dc.SelectObject(&pen); for(int i=0;i<n;i++) { if(i==0) dc.MoveTo(ROUND(MaxX/2+D[i][0]),ROUND( MaxY/2-D[i][1]));
void CMyView::Calculate(double P0[][3], double T[][3]) { double Ptemp[4][3]; KeepOriginalMatrix(P,Ptemp); for(int i=0;i<4;i++) for(int j=0;j<3;j++) P[i][j]=Ptemp[i][0]*T[0][j]+Ptemp[i][1]*T[1][j] +Ptemp[i][2]*T[2][j]; }
Байду номын сангаас
• void CMyView::KeepOriginalMatrix(double Orig[][3], double Dest[][3]) • { • int i,j; • for(i=0;i<4;i++) • for(j=0;j<3;j++) • Dest[i][j]=Orig[i][j]; • }
• 5.在ondraw函数中添加以下代码
• void CMyView::OnDraw(CDC* pDC) • { • CMyDoc* pDoc = GetDocument(); • ASSERT_VALID(pDoc); • // TODO: add draw code for native data here • GetMaxX(); • GetMaxY(); • CPen pen,*pOldpen; • pen.CreatePen(PS_SOLID,3,RGB(0,255,255)); • pDC->SelectObject(&pen); • pDC->MoveTo(MaxX/2,0);//绘制坐标轴 • pDC->LineTo(MaxX/2,MaxY); • pDC->MoveTo(0,MaxY/2); • pDC->LineTo(MaxX,MaxY/2); • }
• • • • • • • • • • • • • •
void CMyView::Tmove(double Tx, double Ty) { ClearMatrix(TM); RedrawWindow(); TM[0][0]=1; TM[1][1]=1; TM[2][0]=Tx; TM[2][1]=Ty; TM[2][2]=1; Calculate(P,TM); AfxGetMainWnd()->SetWindowText ("二维基本几何变换－平移变换"); Draw(P,ntype); }
二维图形变换
参考步骤
• • • • 1.建立工程文件 2.在头文件中加入 #define ROUND(a) int(a+0.5)//四舍五入 #define PI 3.1415926//圆周率
• 3.添加数据成员
int MaxX,MaxY;//屏幕x 和y 的最大坐标 double P[4][3];//变换点 double TM[3][3];//平移变换矩阵 double TS[3][3];//比例变换矩阵 double TR[3][3];//旋转变换矩阵 double TF[3][3];//反射变换矩阵 double TC[3][3];//错切变换矩阵 double OTriangle[4][3]; //正三角形坐标 int ntype;//顶点个数
• • • • • • • • • •
void CMyView::OnMENUClockwise() { // TODO: Add your command handler code here Trotate(30); } void CMyView::OnMENUAnticlockwise() { // TODO: Add your command handler code here Trotate(-30); }
else dc.LineTo(ROUND(MaxX/2+D[i][0]), ROUND(MaxY/2-D[i][1])); } dc.LineTo(ROUND(MaxX/2+D[0][0]),ROUND (MaxY/2-D[0][1])); dc.SelectObject(pOldpen); pen.DeleteObject(); }
• • • • • • • • • •
void CMyView::OnMENUDecrease() { // TODO: Add your command handler code here Tscale(0.5,0.5); } void CMyView::OnMENUIncrease() { // TODO: Add your command handler code here Tscale(2,2); }
• • • • • • • • • • • •
void CMyView::Tscale(double Sx, double Sy) { ClearMatrix(TS); RedrawWindow(); TS[0][0]=Sx; TS[1][1]=Sy; TS[2][2]=1; Calculate(P,TS); AfxGetMainWnd()->SetWindowText ("二维基本几何变换－比例变换"); Draw(P,ntype); }
void CMyView::GetMaxX() { CRect Rect; GetClientRect(&Rect); MaxX=Rect.right; }
void CMyView::GetMaxY() { CRect Rect; GetClientRect(&Rect); MaxY=Rect.bottom; }
• • • • • • • • • • • • • •
void CMyView::Treform(double b, double c) { ClearMatrix(TC); RedrawWindow(); TC[0][0]=1; TC[0][1]=b; TC[1][0]=c; TC[1][1]=1; TC[2][2]=1; Calculate(P,TC); AfxGetMainWnd()->SetWindowText ("二维基本几何变换－错切变换"); Draw(P,ntype); }
• • • • • • • • • • • • • •
void CMyView::Trotate(double thta) { ClearMatrix(TR); RedrawWindow(); TR[0][0]=cos(thta*PI/180); TR[0][1]=sin(thta*PI/180); TR[1][0]=-sin(thta*PI/180); TR[1][1]=cos(thta*PI/180); TR[2][2]=1; Calculate(P,TR); AfxGetMainWnd()->SetWindowText ("二维基本几何变换－旋转变换"); Draw(P,ntype); }
• void CMyView::OnMENUright() • { • // TODO: Add your command handler code here • Tmove(10,0); • }
• void CMyView::OnMenuup() • { • // TODO: Add your command handler code here • Tmove(0,10); • } • void CMyView::OnMenudown() • { • // TODO: Add your command handler code here • Tmove(0,-10); • }
• • • • • • • • • • • • • • •
void CMyView::OnMENUXaxis() { // TODO: Add your command handler code here Treflect(1,-1); } void CMyView::OnMENUYaxis() { // TODO: Add your command handler code here Treflect(-1,1); } void CMyView::OnMENUorg() { // TODO: Add your command handler code here Treflect(-1,-1); }
• 4.初始化构造函数
• CMyView::CMyView() • { • // TODO: add construction code here • P[0][0]=-100/2;P[0][1]=0;P[0][2]=1; • P[1][0]=100/2;P[1][1]=0;P[1][2]=1; • P[2][0]=0;P[2][1]=100/2*tan(60*PI/180);P[2][2]=1; • P[3][0]=0;P[3][1]=0;P[3][2]=1; • ntype=3; • int i,j; • for(i=0;i<4;i++) • for(j=0;j<3;j++) • OTriangle[i][j]=P[i][j]; • }