圆与方程高考题真题练习(1)

《圆与方程》各省高考试题及其答案一、选择题1.（09·宁夏海南）已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为 ( )A .2(2)x ++2(2)y -=1B .2(2)x -+2(2)y +=1C .2(2)x ++2(2)y +=1D .2(2)x -+2(2)y -=12.（09·重庆）直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为 （ ）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离3.（09·重庆）圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为 （ ）A ．22(2)1x y +-=B ．22(2)1x y ++=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1x y +-=4．（08·湖北）过点(11,2)A 作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有（ ）A.16条B. 17条C. 32条D. 34条5.(06·重庆)以点（2，－1）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为 （ ）A ．22(2)(1)3x y -++=B ．22(2)(1)3x y ++-=C ．22(2)(1)9x y -++=D ．22(2)(1)3x y ++-=6.方程222460x y x y ++--=表示的图形是（ ）Ａ．以(12)-，为半径的圆 Ｂ．以(12)，为半径的圆Ｃ．以(12)--，为半径的圆 Ｄ．以(12)-，为半径的圆 7.点(11)，在圆22()()4x a y a -++=的内部，则a 的取值范围是（ ） Ａ．11a -<< Ｂ．01a << Ｃ．1a <-或1a > Ｄ．1a =±8.若22(1)20x y x y λλλ++-++=表示圆，则λ的取值范围是（ ）Ａ．(0)+，∞ Ｂ．114⎡⎤⎢⎥⎣⎦， Ｃ．1(1)()5+-，∞∞， Ｄ．R9.两圆229x y +=和228690x y x y +-++=的位置关系是（ ） A 相离 B 相交 C 内切 D 外切二、填空题 1.（09·四川）若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 .2.（09·天津）若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=（a >0）的公共弦的长为则a =___________.3．（09·辽宁）已知圆C 与直线x －y ＝0 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为_____________.三、解答题1.已知一圆经过点A （2，－3）和B （－2，－5），且圆心C 在直线l ：230x y --=上，求此圆的方程．2.已知动点M 到点A （2，0）的距离是它到点B （8，0）的距离的一半， 求：（1）动点M 的轨迹方程；（2）若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．1.【答案】B【解析】设圆2C 的圆心为（a ，b ），则依题意，有111022111a b b a -+⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩， 解得22a b =⎧⎨=-⎩，对称圆的半径不变，为1. 2.【答案】B【解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+=的距离2d ==，而012<<，选B. 3.【答案】A 【解法】设圆心坐标为(0,)b1=，解得2b =， 故圆的方程为22(2)1x y +-=.4．【答案】C【解析】由已知得圆心为P(-1，2)，半径为13，显然过A 点的弦长中最长的是直径，此时只有一条，其长度为26，过A 点的弦长中最短的是过A 点且垂直于线段PA 的弦，也只有一条，其长度为10（PA 的长为12，弦长=2221213-=10），而其它的弦可以看成是绕A 点不间断旋转而成的，并且除了最长与最短的外，均有两条件弦关于过A 点的直径对称，所以所求的弦共有2（26-10-1）+2=32．故选C ．1.【答案】4【解析】由题知)0,(),0,0(21m O O ， 且53||5<<m ，又21AO A O ⊥，所以有525)52()5(222±=⇒=+=m m ∴452052=⋅⋅=AB . 2【答案】1【解析】由知22260x y ay ++-=, 222)3()1(6=---+a a 解之得1=a .3．【答案】22(1)(1)2x y -++=【解析】圆心在x ＋y ＝0上,结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可.解答题1解：因为A （2，－3），B （－2，－5），所以线段AB 的中点D 的坐标为（0，－4），又 5(3)1222AB k ---==--，所以线段AB 的垂直 平分线的方程是24y x =--．联立方程组23024x y y x --=⎧⎨=--⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩．所以，圆心坐标为C （－1，－2），半径||r CA==， 所以，此圆的标准方程是22(1)(2)10x y +++=．2解：（1）设动点M （x ，y ）为轨迹上任意一点，则点M 的轨迹就是集合P 1{|||||}2M MA MB ==． 由两点距离公式，点M 适合的条件可表示为= 平方后再整理，得 2216x y +=． 可以验证，这就是动点M 的轨迹方程．（2）设动点N 的坐标为（x ，y ），M 的坐标是（x 1，y 1）．由于A （2，0），且Ｎ为线段AM 的中点，所以122x x +=， 102y y +=．所以有122x x =-，12y y = ① 由（1）题知，M 是圆2216x y +=上的点，所以M 坐标（x 1，y 1）满足：221116x y +=②，将①代入②整理，得22(1)4x y -+=．所以N的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆．。

高考数学专题《圆与方程》一、单选题1．若,,a b c 是ABC ∆的三边，直线0ax by c 与圆221x y +=相离，则ABC ∆一定是 A ．直角三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形2．直线210kx y -+=与圆22(1)1y x +-=的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 3．已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．2-B ．4-C ．6-D ．8- 4．圆22460x y x y ++-=和圆2260x y x +-=交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．3590x y ++=B ．3590x y --=C ．3590x y -+=D ．3590x y +-= 5．已知圆C ：()()22114x y -+-=，过直线l ：()0y m m =>上一点Р作圆C 的切线，切点依次为A ，B ，若直线l 上有且只有一点Р使得2PC AC =，O 为坐标原点．则OP PC ⋅=（ ） A ．-20 B ．20或12 C ．-20或-12 D ．12 6．已知圆C ：221x y +=，则圆上到直线l ：34120x y +-=距离为3的点有 A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个 7．已知圆C ：()()22261x y ++-=，直线l ：3450x y -+=，则圆C 关于直线对称的圆是（ ） A ．()()22421x y ++-=B ．()()22421x y -+-= C ．()()22421x y +++= D ．()()22421x y -++= 8．已知点(1,0)P -，过点(1,0)Q 作直线2()20ax a b y b +++=(a ，b 不同时为0)的垂线，垂足为H ，则PH 的最小值为A B 1 C ．1 D 9．已知圆22:9O x y +=，过点()2,1C 的直线l 与圆O 交于,A B 两点，则当OAB 的面积最大时，直线l 的方程为（ ）A ．30x y --=或7150x y --=B ．30x y ++=或7150x y +-=C ．30x y +-=或7150x y -+=D ．30x y +-=或7150x y +-= 10．若过点()4,3A 的直线l 与曲线22231x y 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．(C ．⎡⎢⎣⎦D ．⎛ ⎝⎭11．若圆224x y +=上恰有2个点到直线y =x +b 的距离等于1，则b 的取值范围是A ．((2,22-B ．(()2,32-C ．(D ．(-12．若直线y x b =+与曲线2y =b 的取值范围是A ．2⎡⎤--⎣⎦B ．(2⎤--⎦C ．(-D ．2,⎡⎣ 13．若直线l ：1y kx =+被圆22:230C x y x +--=截得的弦最短，则直线l 的方程是 A ．0x = B ．1y = C ．10x y +-= D ．10x y -+= 14．在Rt ABO 中，90BOA ∠=︒，8OA =，6OB =，点P 为Rt ABO 内切圆C 上任一点，则点Р到顶点A ，B ，O 的距离的平方和的最小值为（ ）A ．68B ．70C ．72D ．7415．一束光线从点()2,3A 射出，经x 轴上一点C 反射后到达圆22(3)(2)2x y ++-=上一点B ，则AC BC +的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．16．已知点P 是直线:260l x y +-=上的动点，过点P 作圆222:(2)C x y r ++=(0)r >的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点.若MPN ∠的最大值为60︒，则r 的值为（ ）A ．2B ．1C ．D 17．已知直线:10l x y -+=，则“21a =”是“直线l 与圆22210x y ay +--=相切”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件18．圆22(2)(3)9x y ++-=上到直线0x y +=的距离等于2的点有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个19．已知两圆相交于()()A 1,3B ,1m -，，两圆的圆心均在直线0x y c -+=上，则2m c +的值为A ．1B ．1-C ．3D ．020．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，P 是以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设(,)AE xAD y AP x y =+∈R ，则2x y +的最小值为（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．321．设定点()3,4M -，动点N 在圆224x y +=上运动，以,OM ON 为领边作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹为（ ）A ．以()3,4-为圆心，2为半径的圆B ．以()3,4-为圆心，2为半径的圆C ．以()3,4-为圆心，2为半径的圆，除去点91255⎛⎫- ⎪⎝⎭，和点212855⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．以()3,4-为圆心，2为半径的圆，除去点91255⎛⎫- ⎪⎝⎭，和点212855⎛⎫- ⎪⎝⎭， 22．在平面直角坐标系中，已知定点()0,4A ，()2,0B ，若在圆22:245M x y x y m ++++=上存在点P ，使得APB ∠为直角，则实数m 的最大值是（ ）A ．15B ．25C ．35D ．4523．(2016·葫芦岛高一检测)已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－D ．14＋24．若直线l 将圆22(2)(1)9x y ++-=平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为（ ）A ．10x y +-=B ．10x y ++=C ．20x y -=或10x y +-=D ．20x y +=或10x y ++=25．如图，在平行四边形ABCD 中，22AD AB ==，120BAD ∠=︒，动点M 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，则AM BD ⋅的最大值是（ ）A ．3B ．3C ．5+D ．5+26．若圆22:5C x y m +=-与圆22:(3)(4)16E x y -+=-有三条公切线，则m 的值为A ．2BC ．4D ．627．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路程是（ ）A．4 B ．5 C ．1 D ．28．曲线1:sin 20C ρθ-=，曲线2:4cos 0C ρθ-=，则曲线12C C 、的位置关系是 A ．相交 B ．相切 C ．重合 D ．相离29．已知(),,0A B C ABC ≠成等差数列，直线0Ax By C ++=与圆22260x y tx ty +++-=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．随着t 的变化而变化 30．已知直线:3l y x =+与x 轴的交点为()30A -,，P 是直线l 上任一点，过点P 作圆()22:14E x y -+=的两条切线，设切点分别为C ､D ，M 是线段CD 的中点，则AM 的最大值为（ ）A ．B ．CD ．31．直线3490x y --=与圆224x y +=的位置关系是A ．相切B ．相离C ．相交但不过圆心D ．相交且过圆心32．圆221:(1)(3)1C x y ++-=，圆222:(5)(5)4C x y -+-=，M ，N 分别是圆1C ，2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值（ ）A ．6B ．C ．7D ．1033．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点．以12F F 为直径的圆与双曲线的右支的一个交点为P ，且以2OF 为直径的圆与直线1PF 相切，若18PF =，则双曲线的焦距等于（ ）A．B ．6 C ．D ．334．已知椭圆22:11612x y C +=的左焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆()22:21T x y -+=上的动点，则PF PQ 的最小值是（ ）A ．12 B ．27 C ．23 D 35．已知圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称，则直线方程为（ ） A ．1y x =-+B ．1y x =+C ．2y x =-+D ．2y x =+36． 实数,a b 满足22220a b a b +++=，实数,c d 满足2c d +=，则22()()a c b d -+-的小值是A ．2BC ．8D ．37．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，棱1DD 中点为M ，动点P 、Q 、R 分别满足：点P 到异面直线BC 、11C D 的距离相等，点Q 使得异面直线1A Q 、BC 所成角正弦值为定值，点R 使得134A RB π∠=．当动点P 、Q 两点恰好在正方体侧面11CDD C 内时，则多面体1RMPC Q 体积最小值为（ ）A B C D 38．在平面内，6AB AC BA BC CA CB ⋅=⋅=⋅=，动点P ，M 满足2AP =，PM MC =，则BM 的最大值是() A ．3 B ．4 C ．8D ．16 39．已知点P 为直线1y x =+上的一点，,M N 分别为圆1C ()()22:414x y -+-=与圆2C ：()2221x y +-=上的点,则PM PN -的最大值为A ．4B ．5C ．6D ．7 40．过点()1,2总可以作两条直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是A ．()()32,-∞-+∞，B ．()8332,⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭，C ．()32,⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D ．8332,⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题41．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 与圆O ：225x y +=有公共点(1,2)P -，且圆O 在点P 处的切线与双曲线C 的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为________． 42．已知圆22:4O x y +=与曲线:3C y x t =-，曲线C 上两点(),A m n ，(),B s p ，（m 、n 、s 、p 均为正整数），使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值()1k k >，则s p m n -=______.43．平面区域321047020y x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩的外接圆的方程是____________.44．圆C 经过点(3,1)M -与圆22(1)(3)5x y ++-=相切于点(1,2)N ,则圆C 的方程为____________．45．过圆2225x y +=上一点P 作圆222(05)x y m m +=<<的两条切线，切点分别为A 、B ，若120AOB ∠=︒，则实数m 的值为______.46．已知圆C ：22810x y x m ++-+=与直线10x +=相交于A ，B 两点．若2AB =，则实数m 的值为______．47．已知点B 在圆O ：2216x y +=上，()2,2,A OM OA OB =+，若存在点N 使得MN 为定长，则点N 的坐标是______．48．已知圆E ：2220x y x +-=，若A 为直线l ：0x y m ++=上的点，过点A 可作两条直线与圆E 分别切于点B ，C ，且ABC 为等边三角形，则实数m 的取值范围是________. 49．如图，在多面体ABC DEF -中，已知棱,,AE BD CF 两两平行，AE ⊥底面DEF ，DE DF ⊥，四边形ACFE 为矩形，23AE DE DF BD ====，底面△DEF 内(包括边界)的动点P 满足,AP BP 与底面DEF 所成的角相等.记直线CP 与底面DEF 的所成角为θ，则tan θ的取值范围是___________.50．在平面直角坐标系xoy 中，已知点(3,0)P 及圆22:24270C x y x y +---=，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ,B 两点，则ABC ∆的面积的最大值为________.51．对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是________. 52．在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：2220x y y +-=与圆2C：220x y ax ++-=上分别存在点P ，Q ，使POQ △为以O 为直角顶点的等腰直角三角形，且斜边长为实数a 的值为___________.53．若圆22211()()x y R -++=上有且仅有三个点到直线4311x y +=的距离等于1，则半径R 的值为______．54．已知圆M 与直线0x y -=及40x y -+=都相切，圆心在直线2y x =-+上，则圆M 的标准方程为__________．55．22sin )x dx -+=⎰___________56．若直线y x t =+被圆228x y +=，则实数t 的取值范围为______． 57．直线20ax y +-=与圆22:4C x y +=相交于,A B 两点，若2CA CB ⋅=-，则a =__________． 58．设0m >，点(4,)A m 为抛物线22(0)y px p =>上一点，F 为焦点，以A 为圆心||AF 为半径的圆C 被y 轴截得的弦长为6，则圆C 的标准方程为__________．59．已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦最短时，直线方程为________．60．若直线l ：2y x =+与圆C ：224x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 中点的坐标为_____．61．把半椭圆()221043x y x +=≥与圆弧22(1)4(0)x y x -+=<合成的曲线称作“曲圆”，其中F 为半椭圆的右焦点，A 是圆弧22(1)4(0)x y x -+=<与x 轴的交点，过点F 的直线交“曲圆”于P ，Q 两点，则APQ 的周长取值范围为______62．动圆C 经过点(1,0)F ，并且与直线1x =-相切，若动圆C 与直线1y x =+总有公共点，则圆C 的面积的取值范围为__________.63．在平面直角坐标系xOy 中，若与点A （2，2）的距离为1且与点B （m ，0）的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围为______．64．在平面直角坐标系xOy 中，定点()2,0F -，已知点P 是直线2y x =+上一动点，过点P 作圆()22:24C x y -+=的切线，切点分别为A ，B ．直线PC 与AB 交于点R ，则线段FR 长度的最大值为______．65．已知,A B 为直线l ：y x =-上两动点，且4AB =，圆C ：226620x y x y +--+=,圆C 上存在点P ，使22PA PB 10+=，则线段AB 中点M 的横坐标取值范围为__________.三、解答题66．已知()2,2A --，()2,6B -，()4,2C -三点，点P 在圆224x y +=上运动，求222PA PB PC ++的最大值和最小值．67．已知抛物线2:2C y x =，过点()1,0的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点.（1）若||AB =AOB 外接圆的方程；（2）若点A 关于x 轴的对称点是A '(A '与B 不重合)，证明：直线A B '经过定点.68．已知椭圆C ：22221y x a b+=(0)a b >>过点P ，上、下焦点分别为1F 、2F ， 向量12PF PF ⊥．直线l 与椭圆交于,A B 两点，线段AB 中点为13(,)22M -． （1）求椭圆C 的方程；（2）求直线l 的方程；（3）记椭圆在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ，若曲线 2222440x mx y y m -+++-=与区域D 有公共点，试求m 的最小值．69．已知直线过点，并与直线和分别交于点A 、B ，若线段AB 被点P 平分．求：（Ⅰ）直线的方程；（Ⅱ）以O 为圆心且被l 截得的弦长为的圆的方程．70．如图，已知圆22:4O x y +=和点()2,2A ，由圆O 外一点(),P a b 向圆O 引切线PQ ，Q 为切点，且PQ PA =．（1）求证：3a b +=；（2）求PQ 的最小值；（3）以P 为圆心作圆，使它与圆O 有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．71．已知直线:220l ax by -+=(0,0)a b >>，圆22:2410C x y x y ++-+=. （1）若1,2a b ==，求直线l 被圆C 截得的弦长；（2）若直线l 被圆C 截得的弦长为4，求14a b+的最小值.72．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，离心率e =O 为坐标原点，圆224:5O x y +=与直线AB 相切. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知四边形ABCD 内接于椭圆,//E AB DC .记直线,AC BD 的斜率分别为12,k k ，试问12k k ⋅是否为定值？证明你的结论.73．已知直线l 过点()1,1且与直线210x y ++=垂直.（1）若直线l 与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，求AB ；（2）求圆心在直线l 上且过两点()()1,1,3,1M N 的圆的标准方程.74．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 是参数，0απ≤<），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+. （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）当4πα=时，曲线1C 和2C 相交于M 、N 两点，求以线段MN 为直径的圆的直角坐标方程.75．从圆C :22(2)(2)4-++=x y 外一动点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，且PM PO =(O为坐标原点)，求PM 的最小值和PM 取得最小值时点P 的坐标．76．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋3=0与直线x ＋2y －3=0的两个交点为P 、Q ，求以PQ 为直径的圆的方程．77．已知直线l 的极坐标方程为ρcos θ﹣ρsin θ+3=0，圆M 的极坐标方程为ρ=4sin θ．以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系. （1）写出直线l 与圆M 的直角坐标方程；（2）设直线l 与圆M 交于A 、B 两点，求AB 的长．78．已知圆C 过两点()3,3M -， ()1,5N -，且圆心C 在直线220x y --=上． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l 过点()2,5-且与圆C 有两个不同的交点A ， B ，若直线l 的斜率k 大于0，求k 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在直线l 使得弦AB 的垂直平分线过点()3,1P -，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．79．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2222111t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值.80．已知圆C 的圆心坐标为(2,2)C -，且圆C 的一条直径的两个端点M ，N 分别在x 轴和y 轴上．（1）求圆C 的方程；（2）过点(2,2)P 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且ABC 为直角三角形，求直线l 的方程．81．已知圆22:80C x y y +-=与动直线:22l y kx k =-+交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程；（2）已知点()2,2P ，当OP OM =时，求l 的方程及POM 的面积.82．已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋(y －8)2＝4，直线y x ＋b 在两圆之间穿过且与两圆无交点，求实数b 的取值范围．83．如图，已知圆2212x y +=与抛物线()220x py p =>相交于A 、B 两点，点B 的横坐标为F 为抛物线的焦点．（1）求抛物线的方程；（2）若过点F 且斜率为1的直线l 与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为1P 、2P 、3P 、4P ，求：①13PP ；②1324PP P P -的值．84．已知定点F （3，0）和动点P （x ，y ），H 为PF 的中点，O 为坐标原点， （1）求点P 的轨迹方程；（2）过点F 作直线l 与点P 的轨迹交于A ，B 两点，点C （2，0）．连接AC ，BC 分别交于点M ，N ．试证明：以MN 为直径的圆恒过点F ．85．求半径为2，圆心在直线12:l y x =上，且被直线2l ：10x y --=所截弦的长为圆的方程.86．已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：2(2)x +＋22(y )+＝2r (r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅取得最小值时点Q 的坐标；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．87．已知圆C 方程为228(62)610(,0)x y mx m y m m R m +--+++=∈≠，椭圆中心在原点，焦点在x 轴上.（1）证明圆C 恒过一定点M ，并求此定点M 的坐标；（2）判断直线4330x y +-=与圆C 的位置关系，并证明你的结论；（3）当2m =时，圆C 与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点M ，求此时椭圆方程；在x 轴上是否存在两定点A ，B 使得对椭圆上任意一点Q （异于长轴端点），直线QA ，QB 的斜率之积为定值？若存在，求出A ，B 坐标；若不存在，请说明理由.88．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程：()222411211k x k k y k ⎧=-+⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的普通方程；（2）过曲线2C 上一点P 作直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，中点为D，AB =求PD 的最小值.89．已知圆C ：22(1)5x y +-=，直线l ：10mx y m -+-=. ①求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点； ②设l 与圆C 交于A 、B两点，若AB l 的倾斜角； ③当实数m 变化时，求直线l 被圆C 截得的弦的中点的轨迹方程.90．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(4)1x y -+=，且圆C 与x 轴交于,M N 两点，设直线l 的方程为(0)y kx k =>.（1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；（2）已知直线l 与圆C 相交于,A B 两点.（i ）2OA AB =，求直线l 的方程；（ii ）直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在常数a ，使得123k k ak +=恒成立？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.参考答案1．D 【详解】试题分析：因为直线0ax by c 与圆221x y +=1>，即222222,cos 02a b c a b c C ab+-+<=<，角C 为钝角，ABC ∆一定是锐角三角形,故选D.考点：1、点到直线的距离公式；2、余弦定理的应用.【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、两角和的正弦公式及三角形面积公式判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；（2）利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而判断其为钝角三角形. 2．A 【分析】确定直线过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，点在圆内，得到答案.【详解】210kx y -+=过定点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且2211(110)24+-=<，故10,2⎛⎫⎪⎝⎭在圆内，故直线和圆相交. 故选：A 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，确定直线过定点是解题的关键. 3．B 【详解】试题分析：圆22220x y x y a ++-+=化为标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，所以圆心为（-1,1），半径r =d =．因为圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦长为4，所以222,4a a =-∴=-．故选B ． 4．D 【分析】求出两圆的连心线所在直线的方程，即为AB 的垂直平分线的方程. 【详解】圆22460x y x y ++-=的标准方程为()()222313x y ++-=，圆心为()2,3M -，圆2260x y x +-=的标准方程为()2239x y -+=，圆心为()3,0N ，由于两圆关于直线MN 对称，所以，A 、B 两点也关于直线MN 对称， 所以，AB 的垂直平分线为直线MN ， 直线MN 的斜率为303235MN k -==---，则直线MN 的方程为()335y x =--，即3590x y +-=. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查两圆相交弦的垂直平分线所在直线的方程，解题的关键就是由两圆关于连心线所在直线对称，进而得出相交弦被连心线垂直平分，解题时应充分分析圆的几何性质，结合几何性质来解题. 5．A 【分析】由题设易知PC l ⊥且||PC 为C 到直线l 的距离，再根据圆心坐标及半径、2PC AC =即可确定m 的值，进而可得()1,5P ，应用向量数量积的坐标运算求OP PC ⋅. 【详解】∵这样的点P 是唯一的，则PC l ⊥，即||PC 为C 到直线l ：()0y m m =>的距离，而圆C 的半径为2且(1,1)C ，∴要使2PC AC =，则4PC =，又0m >，即5m =， ∴()1,5P ，故()()1,50,420OP PC ⋅=⋅-=-． 故选：A ． 6．C 【分析】根据题意，求出圆C 的圆心与半径，求出圆心到直线的距离125=，分析可得3r d +>，据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，圆C ：221x y +=，圆心为()0,0，半径1r =，则圆心()0,0C 到直线l ：34120x y +-=距离1215d r ==>=， 圆的半径为1，有12135+>，即3r d +>， 则圆上到直线l ：34120x y +-=距离为3的点有2个. 故选C ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意分析圆心到直线的距离，属于基础题． 7．D【分析】对称圆的圆心C '与C 关于l 对称，且CC '所在直线垂直于直线l ，据此求解出对称圆的圆心C '坐标，再根据圆对称半径不变即可求解出对称圆的方程. 【详解】设对称圆的圆心(),C a b '，()2,6C -，所以CC '中点为26,22a b -+⎛⎫⎪⎝⎭， 所以2634502263124a b b a -+⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪+⎩，解得42a b =⎧⎨=-⎩，所以圆C 关于直线对称的圆的方程为：()()22421x y -++=. 故选：D. 【点睛】本题考查圆关于直线的对称圆的方程，难度一般.求解圆关于直线的对称圆的方程从两方面入手：(1)两圆圆心连线的中点在已知直线上；(2)两圆圆心的连线垂直于已知直线. 8．B 【详解】直线()220ax a b y b +++=整理得()()220a x y b y +++= 可知直线过定点T ()1,2-，所以点H 落在以QT 为直径的圆上，点H 的轨迹为()()22111x y -++=，圆心为C ()1,1-半径为1，PH的最小值为r 1PC -;故选B.点睛：本题关键是分析出直线过定点，从而利用垂直关系找到垂足的轨迹方程，最后点点距离的最小值转化到点到圆心的距离减掉半径，重点是转化的思想. 9．D 【分析】当直线l的斜率不存在时，易求得OAB S =l 的斜率存在时，设l 的方程为11(2)2y k x k ⎛⎫-=-≠ ⎪⎝⎭，进而得弦长AB =,A B的距离dOAB S ∆=.【详解】当直线l 的斜率不存在时， l 的方程为2x =，则,A B 的坐标分别为在时，所以122OABS=⨯⨯=当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为11(2)2y k x k ⎛⎫-=-≠ ⎪⎝⎭，则圆心到直线,A B 的距离d =由平面几何知识得AB =119222OABS AB d ∆=⨯⋅=⨯， 当且仅当229d d -= ，即292d =时， OAB S ∆取得的最大值为92，因为92，所以OAB S ∆的最大值为92.此时292=，解得1k =-或7k =-， 此时直线l 的方程为: 30x y +-=或7150x y +-= 故选：D. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，基本不等式求最值，考查分类讨论思想和运算能力，是中档题. 10．C 【分析】先由题意，设直线l 的方程为()34y k x -=-，根据直线与圆位置关系，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()34y k x -=-，即340kx y k -+-= 曲线22231x y 表示圆心()2,3，半径为1的圆，圆心()2,3到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，1≤，即2k -≤，解得k ≤故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查由直线与圆的位置关系求参数，判断直线与圆的位置关系用几何法—圆心到直线的距离d 与圆的半径r 比较，d r =相切；d r 相离；d r <相交，考查学生的运算求解能力，属于一般题. 11．B 【分析】问题转化为圆心到直线的距离大于1，小于3，再求出圆心到直线的距离后列出不等式可解得． 【详解】依题意可得圆心到直线的距离()1,3d ∈.∵d =3<，解得b -<b <B . 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于一般题． 12．B 【分析】由2y =()()22224x y -+-=，且22y =<，即2y =()2,2为圆心，2为半径的圆位于直线2y =下方的部分， 直线y x b =+表示斜率为1的直线系， 如图所示，考查满足题意的临界条件： 当直线经过点()4,2A 时：24,2b b =+∴=-，当直线与圆相切时，圆心()2,2到直线0x y b -+=的距离等于半径2，即：2=，解得：b =±B 时，b =-结合题中的临界条件可知：实数b 的取值范围是(2⎤--⎦. 本题选择B 选项.【详解】 13．D 【详解】因为直线l ：1y kx =+过定点()0,1M ，而点()0,1M 在圆22:230C x y x +--=内，根据圆的几何性质可知，当直线l 与MC 垂直时,直线l ：1y kx =+被圆22:230C x y x +--=截得的弦最短，由圆的方程可得()1,0C ，于是可得101,101MC k k -==-=-，直线l 的方程是1,y x =+化为10x y -+=，故选D. 14．C 【分析】利用直角三角形的性质求得其内切圆的半径，如图建立直角坐标系，则内切圆的方程可得，设出p 的坐标，表示出，222||||||S PA PB PO =++，利用x 的范围确定S 的范围，则最小值可得 【详解】解：如图，ABO 是直角三角形，设ABO 的内切圆圆心为O '，切点分别为D ，E ，F ，则1(1086)122AD DB EO ++=++=．但上式中10AD DB +=，所以内切圆半径2r EO ==，如图建立坐标系，则内切圆方程为：22(2)(2)4x y -+-= 设圆上动点P 的坐标为(,)x y ， 则222||||||S PA PB PO =++222222(8)(6)x y x y x y =-+++-++22331612100x y x y =+--+223[(2)(2)]476x y x =-+--+34476884x x =⨯-+=-．因为P 点在内切圆上，所以04x ，所以881672S =-=最小值故选：C15．C【分析】做出圆22(3)(2)2x y ++-=关于x 轴的对称圆，进而根据图形得AC BC AP r +≥-即可求解.【详解】解：如图，圆22(3)(2)1x y ++-=的圆心()3,2-，其关于x 轴的对称圆的圆心为()3,2P --，由图得AC BC AP r +≥-==故选：C.【点睛】解题的关键在于求圆关于x 轴的对称圆圆心P ，进而将问题转化AC BC AP r +≥-求解. 16．D【分析】根据题意，画出图象，当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值，而sin MC r MPC PC PC∠==，当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值，结合已知，即可求得答案.【详解】 结合题意，绘制图象如下：当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值， 而sin MC r MPC PC PC∠==， 当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值.故PC 的最小值为点C 到该直线的距离，故d ==故1sin 302r PC ==︒=，解得r =故选：D .【点睛】本题主要考查了圆的基础知识，和数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 17．B【分析】根据“直线l 与圆22210x y ay +--=相切”求出1a =-，由211a a =⇒=±，然后根据必要不充分条件的概念进行判断.【详解】因为直线l 与圆22210x y ay +--=相切，所以圆心到直线的距离等于半径，又因为圆心()0,a=1a =-，又211a a =⇒=±，所以“21a =”是“直线l 与圆22210x y ay +--=相切”的必要不充分条件.故选：B.18．A【分析】首先判断出圆心到直线的距离，然后判断2d +，2d -与r 的关系，从而确定点的个数.【详解】圆的圆心为()2,3-，半径为3圆心到直线的距离d ==可知23<，232+<由上图可知，圆上到直线距离等于2的点共有4个本题正确选项：A【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，由位置关系判断到直线距离为定值的点的个数，解题关键在于确定圆心到直线的距离，再进一步判断.19．A【详解】由圆的性质知：AB 与直线0x y c -+=垂直且被平分，所以3111AB k m+==--，解得5m =，又AB 中点(3,1)在直线上，代入可求得2c =-，所以21m c +=故选A.20．B【分析】建立平面直角坐标系，设00(,)P x y ，利用坐标法将,x y 用P 点坐标表示，即可求出2x y +的最小值.【详解】以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设2AB =，00(,)P x y ，则(0,0)A ，(0,2)D ，(2,1)E ，半圆的方程为22(1)1(0)x y y -+=≥，所以(2,1)AE =，(0,2)AD =，00(,)AP x y =，因为(,)AE xAD y AP x y =+∈R ，即00(2,1)(0,2)(,)x y x y =+，所以00212yx x yy =⎧⎨=+⎩，即0002221y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以001212y x y x -+=+⋅，又00(,)P x y 是半圆上的任意一点， 所以01cos x θ=+，0sin y θ=，[0,]θπ∈， 所以1sin 2121cos θx y θ-+=+⋅+，所以当2πθ=时，2x y +取得最小值1. 故选：B【点睛】关键点点睛：本题主要考查二元变量的最值求法，关键是根据已知把几何图形放在适当的坐标系中，把有关点与向量用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.21．C【分析】 首先设()()00,,,P x y N x y ，根据平行四边形的性质，求得003,4.x x y y =+⎧⎨=-⎩，代入圆的方程，求得点P 的轨迹，同时注意去掉不能满足平行四边形的点.【详解】设()()00,,,P x y N x y ，则线段OP 的中点坐标为,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，线段MN 的中点坐标为0034,22x y -+⎛⎫ ⎪⎝⎭.由于平行四边形的对角线互相平分，所以003,22422x x y y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，从而003,4.x x y y =+⎧⎨=-⎩又点()3,4N x y +-在圆224x y +=上，所以()()22344x y ++-=.当点P 在直线OM 上时，22443x y y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，解得：912,55x y =-=或2128,55x y =-=. 因此所求轨迹为以()3,4-为圆心，2为半径的圆，除去点91255⎛⎫- ⎪⎝⎭，和点212855⎛⎫- ⎪⎝⎭，.故选：C.22．D【分析】根据题意将所求问题转化为两个圆有交点的问题解决.【详解】以()0,4A ，()2,0B 两点为直径的圆的方程为()()22125x y -+-=，设圆心为N ，所以()1,2N若在圆22:245M x y x y m ++++=上存在点P ，使得APB ∠为直角，则圆M 与圆N 有公共点，又圆22:245M x y x y m ++++=，所以()1,2M --)0m >，所以MN =≤545m ≤≤，所以m 的最大值为45.故选：D23．D【解析】圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(32＝14＋故选D.24．D【分析】由题意可得直线l 过圆心(2,1)-，分直线l 过原点和直线l 不过原点，分别求得其直线方程.【详解】解：由题意可得直线l 过圆心(2,1)-，当直线l 过原点时，其方程为20x y +=；当直线l 不过原点时，设l ：x y a +=，则211a =-+=-，此时方程为10x y ++=. 故选：D.25．A【分析】先求出AC AB ⊥，然后以,AB AC 为,x y 轴建立平面直角坐标系，求出圆C 的方程丹凤 出M 点坐标，用坐标表示向量积，结合三角函数性质可得最大值．【详解】 由题意3ABC π∠=，所以22212212cos 33AC π=+-⨯⨯=，即222AC AB BC +=，所以2CAB π∠=，以,AB AC 为,x y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(1,0)B ，C ，(D -．直线BD 方程为111x -=--20y +-=，所以圆C 半径为7r ==C 方程为223(7x y +=，设()77M αα，21()AM αα=，(BD =-，所以3AM BD αα⋅=+，33=．故选：A ．26．C【分析】由两圆有三条公切线，可知两圆外切，则两圆的圆心距等于半径之和，列出式子即可求出m 的值．【详解】由题意可知两圆外切，圆C 的圆心为()0,0，圆E 的圆心为()3,4，半径为4，4，解得4m =.故答案为C.【点睛】本题考查了两圆的公切线，考查了圆与圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题． 27．A【解析】【详解】由题意可得圆心(2,3)C ,半径为1r =,点A 关于x 轴的对称点(1,1)A -'-,求得5A C =',则要求的最短路径的长为514A C r -=-=',故选A.28．B【详解】将sin 20ρθ-=化为直角坐标方程得，20y -= ，由4cos 0ρθ-=可得，24cos ρρθ=化为直角坐标方程可得，()2224x y -+= ，圆心()2,0 到直线20y -=的距离为2 ，等于圆的半径，所以直线20y -=与()2224x y -+=相切，即曲线1:sin 20C ρθ-=，曲线2:4cos 0C ρθ-=，则曲线12C C 、的位置关系是相切，故选B.29．A【分析】若,,A B C 公差为d ，结合直线方程可得(1)(2)0A x y d y ++++=，即可确定所过的定点坐标，再判断定点与圆的位置关系即可.【详解】若,,A B C 公差为d ，则()(2)(1)(2)0Ax A d y A d A x y d y ++++=++++=，∴直线恒过定点(1,2)-，将代入圆中，可得522610t t +--=-<，∴(1,2)-在圆22260x y tx ty +++-=内，故直线与圆相交.故选：A30．B【分析】先求出M 点的轨迹为圆，然后问题转化为圆外的点到圆上的点的距离最大问题求解即可【详解】设点M 坐标为(),x y ，P 点坐标为()00,x y ，因为P ，M ，E 共线所以//PE ME ，得()()0011y x y x -=-因为003y x =+，得0033141y x x y x y y y x +-⎧=⎪-+⎪⎨⎪=⎪-+⎩① CD 的直线方程为()()00114x x y y --+=②将①代入②得22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以M 点的轨迹是以N 11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，AM的最大值为2AN r +=+=故选：B31．C【详解】圆心到直线的距离()90,25d ==∈， 据此可知直线与圆的位置关系为相交但不过圆心. 本题选择C 选项.32．C【详解】圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标C 3（﹣1，﹣3），半径为1， 圆C 2的圆心坐标（5，5），半径为2， |PM|+|PN|的最小值为圆C 3与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，31037=-=． 故选C ．33．A【分析】设以2OF 为直径的圆与直线1PF 相切于点N ，圆心为M ，则1MN PF ⊥，因此121Rt PF F Rt NF M ∽，所以1212||F M NM PF F F =，由此可求出223cPF =，而12PF PF ⊥，再由勾股定理可得1PF =18PF =，从而可求出c 的值 【详解】依题意知12PF PF ⊥，设以2OF 为直径的圆与直线1PF 相切于点N ，圆心为M ，则1MN PF ⊥，因此121Rt PF F Rt NF M ∽，所以1212||F MNM PF F F =． 设双曲线的焦距为2c ，则23222c cPF c=，解得223cPF =，由勾股定理可得1PF =8=，c =2c = 故选：A 【点睛】此题考查圆与双曲线的性质的应用，考查数学转化思想和计算能力，属于基础题 34．B 【分析】作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得PF PQ的最小值.【详解】 如下图所示：。

圆与方程[基础训练A 组]一、选择题１．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( )A ．22(2)5x y -+=B ．22(2)5x y +-=C ．22(2)(2)5x y +++=D ．22(2)5x y ++= 2．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y xD. 052=--y x 3．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）A ．2B ．21+C ．221+ D ．221+ 4．将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（ ）A ．37-或B ．2-或8C ．0或10D ．1或115．在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B距离为2的直线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A ．023=-+y x B ．043=-+y x C ．043=+-y x D ．023=+-y x二、填空题1．若经过点(1,0)P -的直线与圆032422=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 __________________.2．由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为 。

3．圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 .４．已知圆()4322=+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q则OQ OP ⋅的值为________________。

5．已知P 是直线0843=++y x 上的动点，,PA PB 是圆012222=+--+y x y x 的切线，,A B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________________。

专专9.2圆的专专一、单选题1. 已知圆1C ：22()(2)1x a y ++-=与圆2C ：22()(2)4x b y -+-=相外切，a ，b为正实数，则ab 的最大值为 ( )A. B.94C.32D.22. 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是( )A. [2,6]B. [4,8]C.D.3. 已知圆2260x y x +-=，过点(1,2)D 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知圆M 的方程为22680x y x y +--=，过点(0,4)P 的直线l 与圆M 相交的所有弦中，弦长最短的弦为AC ，弦长最长的弦为BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A. 30B. 40C. 60D. 805. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点，，若动点M 满足||2||MA MO =，则OM ON ⋅的取值范围是( )A.B.C.D.6. 若平面内两定点A ，B 之间的距离为2，动点P 满足|||PB PA =，则tan ABP∠的最大值为( )A.2B. 1C.D. 7. 已知圆22:2220M x y x y +---=，直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，且切点为A ，B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为( )A. 210x y --=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y ++= 8. 已知圆221x y +=，点(1,0)A ，ABC 内接于圆，且60BAC ︒∠=，当B ，C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是( )A. 2212x y +=B. 2214x y +=C. 2211()22x y x +=<D. 2211()44x y x +=<9. 已知线段AB 是圆C ：224x y +=上的一条动弦，且||23AB =，若点P 为直线40x y +-=上的任意一点，则的最小值为( )A. 1B. 1C. 2D. 2二、多选题10. 已知点P 在圆22(5)(5)16x y -+-=上，点(4,0)A ，(0,2)B ，则( ) A. 点P 到直线AB 的距离小于10 B. 点P 到直线AB 的距离大于2C. 当PBA ∠最小时，||PB =D. 当PBA ∠最大时，||PB =11. 已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1:2，则圆C的方程为( )A. 224()33x y ++= B. 224(33x y +-=C. 224(3x y +=D. 224(3x y ++=12. 关于圆2221:2104C x y kx y k k +-++-+=，下列说法正确的是( ) A. k 的取值范围是0k >B. 若4k =，过(3,4)M 的直线与圆C 相交所得弦长为125160x y --=C. 若4k =，圆C 与圆221x y +=相交D. 若4k =，0m >，0n >，直线10mx ny --=恒过圆C 的圆心，则128m n+恒成立13. 圆C ：224630x y x y ++--=，直线:3470l x y --=，点P 在圆C 上，点Q在直线l 上，则下列结论正确的是( )A. 直线l 与圆C 相交B. ||PQ 的最小值是1C. 若P 到直线l 的距离为2，则点P 有2个D. 从Q 点向圆C 引切线，切线长的最小值是314. 已知222{(,)|}A x y x y r =+=，222{(,)|()()}B x y x a y b r =-+-=，1122{(,),(,)}A B x y x y ⋂=，则( )A. 22202a b r <+<B. 1212()()0a x x b y y -+-=C. 1212,x x a y y b +=+=D. 221122a b ax by +=+三、填空题15. 已知P ，Q 分别为圆M ：22(6)(3)4x y -+-=与圆N ：22(4)(2)1x y ++-=上的动点，A 为x 轴上的动点，则||||AP AQ +的最小值为__________.16. 在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：2y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点.D 若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为__________.17. 已知圆C 的圆心在第一象限，且在直线2y x =上，圆C 与抛物线24y x =的准线和x 轴都相切，则圆C 的方程为__________.18. 已知圆O ：221x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)(2)B b b ≠-和常数λ满足，对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则λ=__________.19. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直角ABC 中，直角顶点A 在直线60x y -+=上，顶点B ，C 在圆2210x y +=上，则点A 横坐标的取值范围是__________. 四、解答题20. 已知两个定点(4,0)A -，(1,0)B -，动点P 满足||2||.PA PB =设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ： 4.y kx =-()Ⅰ求曲线E 的轨迹方程；()Ⅱ若l 与曲线E 交于不同的C ，D 两点，且90(COD O ︒∠=为坐标原点)，求直线l的斜率；()Ⅲ若12k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM ，QN ，切点为M ，N ，探究：直线MN 是否过定点．答案和解析1.【答案】B解：由已知，得圆1C ：22()(2)1x a y ++-=的圆心为1(,2)C a -，半径1 1.r = 圆2C ：22()(2)4x b y -+-=的圆心为2(,2)C b ，半径2 2.r =圆1C ：22()(2)1x a y ++-=与圆2C ：22()(2)4x b y -+-=相外切，1212,||C C r r ∴=+即3a b +=， 由基本不等式，得29()24a b ab +=，取等号时32a b ==， 故选：.B2.【答案】A解：直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，∴令0x =，得2y =-，令0y =，得2x =-，(2,0)A ∴-，(0,2)B -，||4422AB =+=，点P 到直线20x y ++=的距离为ABP 的高h ， 圆的圆心为(2,0)，半径为2，圆心到直线的距离为：，所以点P 到直线的距离h 的最大值为22232+=，最小值为2222-=，则ABP 面积为，最大值为1223262⨯⨯=， 最小值为122222⨯⨯=， 所以ABP 面积的取值范围为[2,6]. 故选.A解：由圆的方程可得圆心坐标(3,0)C ，半径3r =，且点D 在圆内，设圆心到直线的距离为d ，则过(1,2)D 的直线与圆的相交弦长||AB = 当d 最大时||AB 最小，当直线与CD 所在的直线垂直时d 最大，这时||d CD ===所以最小的弦长||2AB ==， 故选.B4.【答案】B解：圆 M 的标准方程为 22(3)(4)25x y -+-=， 即圆是以 (3,4)M 为圆心，5为半径的圆，且由 22(03)(44)925-+-=<，即点 (0,4)P 在圆内， 则最短的弦是以 (0,4)P 为中点的弦， 所以 225()92AC =+，所以 8AC =， 过 (0,4)P 最长的弦 BD 为直径， 所以 10BD =，且 AC BD ⊥， 故而故选.B5.【答案】D解：设(,)M x y ，因为动点M 满足||||MA MO = 则222222(2)22(2)8x y x y x y ++=+⇒+-=，即(,)(1,0)[OM ON x y x ⋅=⋅=∈-， 故选.D解：以经过A ，B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系， 如图，则(1,0)A ，(1,0)B -，设，2222(1)2(1)x y x y ++=-+，整理得：2222610(3)8x y x x y +-+=⇒-+=，根据图象可知，当BP 为圆C 切线时，tan ABP ∠取得最大值， 此时BP == 则tan 1PC ABP PB ∠===， 故选：.B7.【答案】D解：圆M 方程的圆心(1,1)M ，半径2r =， 根据切线的性质及圆的对称性可知PM AB ⊥， 则||||42||||PAMPM AB SPA AM ⋅==⋅，要使||||PM AB ⋅最小，只需最小，即最小，此时PM l ⊥，min |212|||55PM ++∴==，22||||||1PA PM AM =-=， 过点M 且垂直于l 的方程为11(1)2y x -=-，将其与l 的方程联立，解得(1,0)P -， 以PM 为直径的圆的方程为，结合圆M 的方程两式相减可得直线AB 的方程为210x y ++=， 故选.D(,)P x y8.【答案】D解：设BC 中点是D ，圆周角等于圆心角的一半，120BOC ︒∴∠=，60BOD ︒∠=，在直角三角形BOD 中，有12OD =， 故中点D 的轨迹方程是：2214x y +=， 考虑A ，B 重合的极限情况，此时30OAC ︒∠=， 则直线AC 所在的方程为3333y x =-， 联立，得或故C 的横坐标为12-，AC 的中点横坐标为1.4因为A ，B 不重合，所以D 点横坐标14x <， 故选：.D9.【答案】C解：由题意，过圆心C 作CD AB ⊥交AB 于点D ，又圆C ：224x y +=，圆心为(0,0)C ，半径2r =， 所以，则||||2||2||PA PB PC CA PC CB PC CD PD +=+++=+=， 当PC AB ⊥时，且D 在线段PC 上时，||PD 取最小值， 由点C 到直线40x y +-=的距离，所以，所以的最小值为42 2.-故选.C10.【答案】ACD解：由点(4,0)A ，(0,2)B ， 可得直线AB 的方程为240.x y +-=则圆心(5,5)=，故P 到直线AB 410<，42<，所以A 正确，B 错误.由题意可知，当直线PB 与圆相切时，PBA ∠最大或最小， 由于圆心到B 的距离为，此时，故C ，D 都正确.故选.ACD11.【答案】AB解：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π， 设圆心(0,)a ，半径为 r ， 则sin13r π=，cos||3r a π=，解得r =243r =，||3a =，即3a =±，故圆C 的方程为224(.33x y +±= 故选.AB12.【答案】ACD解：对于A ，若方程22212104x y kx y k k +-++-+=表示圆，则，化简得0k >，故A 正确；对于B ，若4k =，则圆22:4210C x y x y +-++=，即，圆心为，半径为2.过(3,4)M 的直线的斜率不存在时，直线方程为3x =，圆心到直线3x =的距离为1，则过(3,4)M 的直线与圆 C 相交所得弦长为2222123-=； 过(3,4)M 的直线的斜率存在时，设直线的斜率为k ， 则直线方程为，即430kx y k -+-=，设圆心到直线430kx y k -+-=的距离为d ，因为弦长为23，则222223d -=，解得1d =， 故，解得125k =， 所以直线方程为，即125160x y --=，故满足条件的直线方程为3x =或125160x y --=， 故B 错误；对于C ，若4k =，则圆22:4210C x y x y +-++=，即，圆心为，半径为2.圆221x y +=的圆心为，半径为1，所以两圆心间的距离为，又21521-<<+，故两圆相交，故C 正确；对于D ，若4k =，则圆C 的圆心为，又直线10mx ny --=恒过圆C 的圆心，则21m n +=，又0m >，0n >， 则444248m n m n m n m=++⨯= 当且仅当224n m =，即11,42m n ==时等号成立， 故D 正确. 故选.ACD13.【答案】BCD解：圆的方程化为标准形式为，圆心为，半径 4.r =圆心C 到直线l 的距离为22|3(2)437|543(4)d ⨯--⨯-==>+-，∴直线l 与圆C 相离，不相交，故选项A 错误；||PQ 的最小值为541-=，故选项B 正确；圆C 上的点到l 的距离最小值为541-=，最大值为549+=，2(1,9)∈，∴圆C 上到直线l 的距离为2的点P 有2个，故选项C 正确；Q 到圆C 的切线QT ，T 为切点，则，当||QC 最小时||QT 最小，||QC 的最小值等于C 到直线l 的距离5d =，22||543QT ∴=-=最小值，故选项D 正确.故选.BCD14.【答案】BCD解：设两圆相交于111(,)P x y ，222(,)P x y ，圆，圆C ：222()()x a y b r -+-=，则02||OC r <<，即22204a b r <+<，故A 错误，两圆方程相减可得直线12P P 的方程为：22220a b ax by +--=，即2222ax by a b +=+， 分别把111(,)P x y ，222(,)P x y 两点代入2222ax by a b +=+得：221122ax by a b +=+，222222ax by a b +=+，两式相减得：12122()2()0a x x b y y -+-=，即1212()()0a x x b y y -+-=，故BD 正确； 由圆的性质可知：线段12P P 与线段OC 互相平分，12x x a ∴+=，12y y b +=，故C 正确，故选：.BCD15.【答案】3解：如图所示，因为圆N ：22(4)(2)1x y ++-=关于x 轴对称的圆为圆G ：22(4)(2)1x y +++=， 则||||AP AQ +的最小值为22||12105355 3.MG --=+-=-故答案为55 3.-16.【答案】3解：设(,2)A a a ，0a >，(5,0)B ，5(,)2a C a +∴， 则圆C 的方程为(5)()(2)0.x x a y y a --+-=联立2(5)()(2)0y x x x a y y a =⎧⎨--+-=⎩，解得(1,2).D223215(5,2)(,2)240.22a a a AB CD a a a a a ----∴⋅=--⋅-=+-= 解得：3a =或 1.a =-又0a >， 3.a ∴=即A 的横坐标为3.故答案为：3.17.【答案】22(1)(2)4x y -+-=解：圆C 的圆心在第一象限，且在直线2y x =上，故可设圆心为(,2)C a a ，0a >，圆C 与抛物线24y x =的准线1x =-和x 轴都相切，故有|1||2|a a +=，解得1a =，或1(3a =-舍去)，故半径为2， 则圆C 的方程为22(1)(2)4x y -+-=，故答案为：22(1)(2) 4.x y -+-=18.【答案】12解：根据题意，设(,)M x y ，若||||MB MA λ=，变形可得222||||MB MA λ=，即222222()(2)x b y x y λλ-+=++，又由221x y +=，则变形可得：2221245b bx x λλ+-=+， 则有2225142b bλλ⎧=+⎨=-⎩， 解可得1(2λ=负值舍去)，12b =-； 故答案为：1.219.【答案】[4,2]--解：如图过直线60x y -+=上点P 作圆2210x y +=的切线，当两条切线垂直时，根据，得4OPB π∠=， 所以， 则由题意得，设(,6)A x x +，则22(6)25x x ++，即2680x x ++，解得42x --，所以点A 横坐标的取值范围是[4,2].--故答案为[4,2].--20.【答案】解：(1)设点P 坐标为(,)x y ，由||2||PA PB ==， 平方可得22228164(21)x y x x y x +++=+++，整理得：曲线E 的轨迹方程为224x y +=； (2)直线l 的方程为4y kx =-，依题意可得三角形COD 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为1||2CD =则d ==，k ∴=；(3)由题意可知：O ，Q ，M ，N 四点共圆且在以OQ 为直径的圆上， 设1(,4)2Q t t -，以OQ 为直径的圆的方程为1()(4)02x x t y y t -+-+=， 即：22(4)02t x tx y y -+--=，又M ，N 在曲线E ：224x y +=上，可得MN 的方程为1(4)402tx t y +--=， 即()4(1)02y x t y +-+=，由0210y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得121x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线MN 过定点1(,1).2-。

圆与方程一、选择题1. 已知直线ax +by +c =0（abc ≠0）与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形（ ）A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在2. 圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ,θ≠2π＋k π，k ∈Z ）的位置关系是（ ）A.相交B.相切C.相离D.不确定的3. 若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为（ ） A.1，－1 B.2，－2 C.1 D.－14. 圆（x －1）2＋y 2＝1的圆心到直线y =33x 的距离是（ ） A.21B.23C.1D.35. 若直线l ：y ＝kx 3-与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A.)3,6[ππB.)2,6(ππ C.)2,3(ππD.]2,6[ππ 6. 给定四条曲线：①x 2＋y 2＝25，②4922y x +＝1，③x 2＋42y ＝1，④42x ＋y 2＝1．其中与直线x +y －5=0仅有一个交点的曲线是（ ）A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④7. 过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（ ）A.（x －3）2＋（y ＋1）2＝4B.（x ＋3）2＋（y －1）2＝4C.（x －1）2＋（y －1）2＝4D.（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝48.设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA |=|PB |，若直线PA 的方程为x －y +1=0，则直线PB 的方程是（ ）A.x +y －5=0B.2x －y －1=0C.2y －x －4=0D.2x +y －7=09. 下列方程的曲线关于x =y 对称的是（ ） A.x 2－x ＋y 2＝1 B.x 2y ＋xy 2＝1C.x －y =1D.x 2－y 2＝110. 过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）A.y =3xB.y =－3x C.y =33x D.y =－33x 11. 曲线x 2+y 2+22x －22y =0关于（ ）A.直线x =2轴对称B.直线y =－x 轴对称C.点（－2，2）中心对称D.点（－2，0）中心对称12. 直线y =33x 绕按逆时针原点方向旋转30°后所得直线与圆（x －2）2+y 2=3的位置关系是（ ）A.直线过圆心B.直线与圆相交，但不过圆心C.直线与圆相切D.直线与圆没有公共点13. 直线3x +y －23=0截圆x 2＋y 2＝4得的劣弧所对的圆心角为（ ）A.6πB.4πC ．3π D.2π14. 已知直线x =a （a >0）和圆（x －1）2+y 2=4相切，那么a 的值是（ ） A.5 B.4 C.3 D.215. 如果直线l 将圆x 2+y 2－2x －4y =0平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是（ ）A.［0，2］B.［0，1］C.［0，21］ D.［0，21） 16. 下列四个命题中的真命题是（ ）A.经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k （x －x 0）表示B.经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程（y －y 1）·（x 2－x 1）=（x －x 1）（y 2－y 1）表示C.不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示 D.经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示17. 圆x2＋y2－2x＝0和x2＋y2＋4y＝0的位置关系是（）A.相离B.外切C.相交D.内切二、填空题18. 直线y=1与直线y=3x+3的夹角为_____.19. 若经过两点A（－1，0）、B（0，2）的直线l与圆（x－1）2+（y－a）2=1相切，则a=_____.20. 圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为．21. 已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．22. 已知圆x2＋（y－1）2＝1的圆外一点P（－2，0），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是．23. 已知圆（x＋1）2＋y2＝1和圆外一点P（0，2），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是．24. 圆心在直线y=x上且与x轴相切于点（1，0）的圆的方程为 .25. 集合A＝｛（x，y）|x2＋y2＝4｝，B＝｛（x，y）|(x－3)2＋(y－4)2＝r2｝，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是_____.26. 设圆x2+y2－4x－5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是 .27 . 以点C（－2，3）为圆心且与y轴相切的圆的方程是 .三、解答题28. 设A（－c，0），B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹.29.已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为2，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．30. 设圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.31. 已知过原点O的一条直线与函数y=lo g8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝lo g2x的图象交于C、D两点.（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上.（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.32. 在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O（0，0），P（1，t），Q（1－2t，2+t），R（－2t，2），其中t∈（0，＋∞）.（1）求矩形OPQR在第一象限部分的面积S（t）.（2）确定函数S（t）的单调区间，并加以证明.33. 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）.求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.答案解析1.答案：B解析：圆心坐标为（0，0），半径为1.因为直线和圆相切.利用点到直线距离公式得：d =22||b a c +=1，即a 2+b 2=c 2.所以，以|a |，|b |，|c |为边的三角形是直角三角形.评述：要求利用直线与圆的基本知识，迅速找到a 、b 、c 之间的关系，以确定三角形形状.2.答案：C解析：圆2x 2＋2y 2＝1的圆心为原点（0，0）半径r 为22，圆心到直线x sin θ＋y －1＝0的距离为：1sin 11sin |1|22+=+=θθd∵θ∈R ，θ≠2π＋k π，k ∈Z∴0≤sin 2θ＜1 ∴d ＞22∴d ＞r ∴圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ，θ≠2π＋k π，k ∈Z ）的位置关系是相离．3.答案：D解析：将圆x 2＋y 2－2x ＝0的方程化为标准式：（x －1）2＋y 2＝1 ∴其圆心为（1，0），半径为1，若直线（1＋a ）x ＋y ＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离d 等于圆的半径r∴11)1(|11|2=++++a a ∴a ＝－14.答案：A解析：先解得圆心的坐标（1，0），再依据点到直线距离的公式求得A 答案． 5.答案：B方法一：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=⇒⎩⎨⎧=-+-=k k y kx y x kx y 3232632)32(306323图7—3∵交点在第一象限，∴⎩⎨⎧>>0y x∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->++032326032)32(3kk k∴k ∈（33，＋∞）∴倾斜角范围为（2,6ππ）方法二：如图7—4，直线2x +3y －6=0过点A （3，0），B （0，2），直线l 必过点（0，－3），当直线过A 点时，两直线的交点在x 轴，当直线l 绕C 点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果. 6.答案：D解析：联立方程组，依次考查判别式，确定D. 7.答案：C解析一：由圆心在直线x ＋y －2＝0上可以得到A 、C 满足条件,再把A 点坐标（1，－1）代入圆方程.A 不满足条件.∴选C.解析二:设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r ,因为圆心C 在直线x +y －2=0上,∴b =2－a .由|CA |=|CB |，得（a －1）2+（b +1）2=（a +1）2+（b －1）2，解得a =1，b =1因此所求圆的方程为（x －1）2+（y －1）2=4 8.答案：A解析：由已知得点A （－1，0）、P （2，3）、B （5，0），可得直线PB 的方程是x +y －5=0. 评述：本题考查直线方程的概念及直线的几何特征. 9.答案：B解析：∵点（x ，y ）关于x =y 对称的点为(y ，x ),可知x 2y ＋xy 2＝1的曲线关于x =y 对称． 10.答案：C解析一：圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0化为标准式（x +2）2＋y 2＝1，圆心C （－2，0）．设过原点的直线方程为y =kx ，即kx －y =0.由1|2|2+-k k ＝1，解得k =±33，∵切点在第三象限， ∴k ＞0，所求直线方程为y =33x ． 解析二：设T 为切点，因为圆心C （－2，0），因此CT =1，OC =2，△OCT 为Rt △.如图7—5，∴∠CO T=30°，∴直线OT 的方程为y =33x .11.答案：B 12.答案：C图7— 4 图7—5解析：直线y =33x 绕原点逆时针旋转30°所得的直线方程为：y =3x .已知圆的圆心（2，0）到y =3x 的距离d =3，又因圆的半径r =3，故直线y =3x 与已知圆相切.评述：本题考查直线的斜率和倾斜角以及直线与圆的位置关系. 13.答案：C解析：如图7—7所示， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+432322y x y x消y 得：x 2－3x +2=0 ∴x 1=2，x 2=1 ∴A （2，0），B （1，3）∴|AB |=22)30()12(-+-=2又|OB |＝|OA |=2∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB =3π，故选C.14.答案：C解析:方程（x －1）2+y 2=4表示以点（1，0）为圆心，2为半径的圆，x =a 表示与x 轴垂直且与圆相切的直线，而此时的切线方程分别为x =－1和x =3，由于a >0，取a =3.故选C.评述：本题考查圆的方程、圆的切线方程及图象.利用数形结合较快完成此题.15.答案：A解析：圆的标准方程为：（x －1）2+（y －2）2=5.圆过坐标原点.直线l 将圆平分，也就是直线l 过圆心C （1，2），从图7—8看到：当直线过圆心与x 轴平行时，或者直线同时过圆心与坐标原点时都不通过第四象限，并且当直线l 在这两条直线之间变化时都不通过第四象限.当直线l 过圆心与x 轴平行时，k =0， 当直线l 过圆心与原点时，k =2. ∴当k ∈［0，2］时，满足题意. 16.答案：B解析：A 中过点P 0（x 0，y 0）与x 轴垂直的直线x =x 0不能用y －y 0=k （x －x 0）表示，因为其斜率k 不存在；C 中不过原点但在x 轴或y 轴无截距的直线y =b （b ≠0）或x =a （a ≠0）不能用方程bya x +=1表示；D 中过A （0，b ）的直线x =0不能用方程y =kx +b 表示.17.答案：C解析：将两圆方程分别配方得（x －1）2＋y 2＝1和x 2＋（y －2）2＝4，两圆圆心分别为图7—7图7—8O 1（1，0），O 2（0，2），r 1＝1，r 2＝2，|O 1O 2|＝52122=+，又1＝r 2－r 1＜5＜r 1＋r 2＝3，故两圆相交，所以应选C. 18.答案：60°解析：因为直线y =3x +3的倾斜角为60°，而y =1与x 轴平行，所以y =1与y =3x +3的夹角为60°.19.答案：a =4±5解析：因过A （－1，0）、B （0，2）的直线方程为：2x －y +2=0.圆的圆心坐标为C （1，a ），半径r =1.又圆和直线相切，因此，有：d =5|22|+-a =1，解得a =4±5. 20.答案：2解析：圆心到直线的距离d ＝5|843|++＝3 ∴动点Q 到直线距离的最小值为d －r ＝3－1＝2 21.答案：22解法一：∵点P 在直线3x +4y +8=0上.如图7—9. ∴设P （x ，432-- x ），C 点坐标为（1，1）， S 四边形PACB ＝2S △PAC＝2·21·|AP |·|AC |＝|AP |·|AC |＝|AP | ∵|AP |2＝|PC |2－|AC |2＝|PC |2－1∴当|PC |最小时，|AP |最小，四边形PACB 的面积最小． ∴|PC |2＝（1－x ）2＋（1＋2＋43x ）2＝9)145(1025162522++=++x x x ∴|PC |min ＝3 ∴四边形PACB 面积的最小值为22．解法二：由法一知需求|PC |最小值，即求C 到直线3x +4y +8=0的距离，∵C （1，1），∴|PC |=5|843|++=3，S PACD =22. 22.答案：34 解法一：圆的圆心为（0，1）设切线的方程为y ＝k （x ＋2）.如图7—10.图7—9图7—10∴kx ＋2k －y ＝0 ∴圆心到直线的距离为1|12|2+-k k ＝1∴解得k ＝34或k ＝0， ∴两切线交角的正切值为34． 解法二：设两切线的交角为α∵tan212=α，∴tan α＝3441112tan 12tan22=-=-αα． 23.答案：34 解析：圆的圆心为（－1，0），如图7—11.当斜率存在时，设切线方程为y ＝kx ＋2 ∴kx －y ＋2＝0 ∴圆心到切线的距离为1|2|2++-k k ＝1 ∴k ＝43， 即tan α＝43 当斜率不存在时，直线x ＝0是圆的切线 又∵两切线的夹角为∠α的余角 ∴两切线夹角的正切值为34 24.答案：（x －1）2+（y －1）2=1 解析一：设所求圆心为（a ，b ），半径为r . 由已知，得a =b ，r =|b |=|a |.∴所求方程为（x －a ）2+（y －a ）2=a 2又知点（1，0）在所求圆上，∴有（1－a ）2+a 2=a 2，∴a =b =r =1.故所求圆的方程为：（x －1）2+（y －1）2=1. 解析二：因为直线y =x 与x 轴夹角为45°. 又圆与x 轴切于（1，0），因此圆心横坐标为1，纵坐标为1，r =1. 25.答案：3或7解析：当两圆外切时，r =3，两圆内切时r =7，所以r 的值是3或7． 26.答案：x +y －4=0解析一：已知圆的方程为（x －2）2+y 2=9，可知圆心C 的坐标是（2，0），又知AB 弦的图7—11中点是P （3，1），所以k CP =2301--=1，而AB 垂直CP ，所以k AB =－1.故直线AB 的方程是x +y －4=0.解析二：设所求直线方程为y －1=k （x －3）.代入圆的方程，得关于x 的二次方程：（1+k 2）x 2－（6k 2－2k +4）x +9k 2－6k －4=0，由韦达定理：x 1+x 2=221426kk k ++-=6，解得k =1.解析三：设所求直线与圆交于A 、B 两点，其坐标分别为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-9)2(9)2(22222121y x y x ②－①得（x 2+x 1－4）（x 2－x 1）+（y 2－y 1）（y 2+y 1）=0又AB 的中点坐标为（3，1），∴x 1+x 2=6，y 1+y 2=2. ∴1212x x y y --=－1，即AB 的斜率为－1，故所求方程为x +y －4=0.27.答案：（x +2）2+（y －3）2=4 解析：因为圆心为（－2，3），且圆与y 轴相切，所以圆的半径为2.故所求圆的方程为（x +2）2+（y －3）2=4.28.解：设动点P 的坐标为P （x ，y ）由||||PB PA =a （a >0），得2222)()(yc x y c x +-++=a ，化简，得：（1－a 2）x 2+2c （1+a 2）x +c 2（1－a 2）+（1－a 2）y 2=0.当a ≠1时，得x 2+221)1(2aa c -+x +c 2+y 2=0.整理， 得：（x －1122-+a a c ）2+y 2=（122-a ac ）2当a =1时，化简得x =0.所以当a ≠1时，P 点的轨迹是以（1122-+a a c ，0）为圆心，|122-a ac |为半径的圆；当a =1时，P 点的轨迹为y 轴.29.解：设点P 的坐标为（x ，y ），由题设有2||||=PN PM ，即2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++．整理得 x 2+y 2－6x +1=0． ①① ②因为点N 到PM 的距离为1，|M Ｎ|＝2， 所以∠PMN ＝30°，直线PM 的斜率为±33， 直线PM 的方程为y =±33（x ＋1）．② 将②式代入①式整理得x 2－4x ＋1＝0． 解得x ＝2＋3，x ＝2－3．代入②式得点P 的坐标为（2＋3，1＋3）或（2－3，－1＋3）；（2＋3，－1－3）或（2－3，1－3）． 直线PN 的方程为y =x －1或y =－x +1．30.解：设所求圆的圆心为P （a ，b ），半径为r ，则P 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |、|a |.由题设圆P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为90°，圆P 截x 轴所得弦长为2r ，故r 2＝2b 2，又圆P 截y 轴所得弦长为2，所以有r 2＝a 2＋1，从而有2b 2－a 2＝1又点P （a ，b ）到直线x －2y =0距离为d ＝5|2|b a -， 所以5d 2＝|a －2b |2＝a 2＋4b 2－4ab ≥a 2＋4b 2－2（a 2＋b 2）＝2b 2－a 2＝1当且仅当a =b 时上式等号成立，此时5d 2＝1，从而d 取得最小值， 由此有⎩⎨⎧=-=1222a b ba 解方程得⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a由于r 2＝2b 2，知r ＝2，于是所求圆的方程为（x －1）2＋（y －1）2＝2或（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝2 31.（1）证明：设A 、B 的横坐标分别为x 1，x 2，由题设知x 1＞1，x 2＞1，点A （x 1，lo g 8x 1），B （x 2，lo g 8x 2）.因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =， 又点C 、D 的坐标分别为（x 1，lo g 2x 1），（x 2，lo g 2x 2） 由于lo g 2x 1＝2log log 818x ＝3lo g 8x 1，lo g 2x 2＝2log log 828x ＝3lo g 8x 2，所以OC 的斜率和OD 的斜率分别为228222118112log 3log ,log 3log x x x x k x x x x k OD OC ====. 由此得k OC ＝k OD ，即O 、C 、D 在同一条直线上.（2）解：由BC 平行于x 轴，有lo g 2x 1＝lo g 8x 2，解得 x 2＝x 13将其代入228118log log x x x x =，得x 13lo g 8x 1＝3x 1lo g 8x 1. 由于x 1＞1，知lo g 8x 1≠0，故x 13＝3x 1，x 1＝3，于是点A 的坐标为（3，lo g 83）.32.解：（1）当1－2t ＞0即0＜t ＜21时，如图7—13，点Q 在第一象限时，此时S （t ）为四边形OPQK 的面积，直线QR 的方程为y －2= t （x +2t ）.令x =0，得y =2t 2＋2，点K 的坐标为（P ，2t 2＋2）.t t t S S S OKR OPQR OPQK 2)22(21)1(2222⋅+-+=-=)1(232t t t -+-=当－2t +1≤0，即t ≥21时，如图7—14，点Q 在y 轴上或第二象限，S （t ）为△OP Ｌ的面积，直线PQ 的方程为y －t =－t1（x －1），令x =0得y =t +t 1，点L 的坐标为（0，t +t 1），S △OPL ＝1)1(21⋅+t t)1(21tt += 所以S （t ）＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<<-+-21 )1(21210 )1(232t t t t t t t（2）当0＜t ＜21时，对于任何0＜t 1＜t 2＜21，有S （t 1）－S （t 2）＝2（t 2－t 1）［1－（t 1＋t 2）＋（t 12＋t 1t 2＋t 22）］＞0，即S （t 1）＞S （t 2），所以S （t ）在区间（0，21）内是减函数. 图7—13图7—14当t ≥21时，对于任何21≤t 1≤t 2，有S （t 1）－S （t 2）＝21（t 1－t 2）（1－211t t ）， 所以若21≤t 1≤t 2≤1时，S （t 1）＞S （t 2）；若1≤t 1≤t 2时，S （t 1）＜S （t 2），所以S （t ）在区间［21，1］上是减函数，在区间［1，＋∞)内是增函数，由2［121＋（21）2－(21)3］＝45＝S （21）以及上面的证明过程可得，对于任何0＜t 1＜21≤t 2＜1，S （t 2）＜45≤S （t 1），于是S （t ）的单调区间分别为（0，1］及［1，＋∞)，且S （t ）在（0，1]内是减函数，在［1，＋∞)内是增函数.33.解：如图7—15，设直线MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是：P ={M ||MN |=λ|MQ |}，（λ>0为常数）因为圆的半径|ON |=1，所以|MN |2=|MO |2－|ON |2=|MO |2－1.设点M 的坐标为（x ，y ），则2222)2(1y x y x +-=-+λ整理得（λ2－1）（x 2+y 2）－4λ2x +（1+4λ2）=0当λ=1时，方程化为x =45，它表示一条直线，该直线与x 轴垂直，交x 轴于点（45，0）； 当λ≠1时，方程化为（x －1222-λλ）2+y 2=)1(3122-+λλ它表示圆心在（1222-λλ，0），半径为|1|3122-+λλ的圆.图7—15。

高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.若圆C:关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（）A．2B．4C．3D．6【答案】B【解析】由题知圆C的圆心C（-1,2），半径为，因为圆C关于直线对称，所以圆心C在直线上，所以，即，所以由点向圆所作的切线长为===，当时，切线长最小，最小值为4，故选B.【考点】圆的标准方程，圆的切线问题，二次函数最值2.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为() A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝4(x≠±2)【答案】D【解析】MN的中点为原点O，易知|OP|＝|MN|＝2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，以r＝2为半径的圆，除去与x轴的两个交点．3.设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是() A．原点在圆上B．原点在圆外C．原点在圆内D．不确定【答案】B【解析】将原点代入x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝(a－1)2>0，所以原点在圆外．4.已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为() A．8B．－4C．6D．无法确定【答案】C【解析】圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心(－，0)，即－＋3＝0，∴m＝6.5.已知圆C的圆心在曲线y＝上，圆C过坐标原点O，且与x轴、y轴交于A、B两点，则△OAB的面积是()A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【解析】设圆心C的坐标是(t，)．∵圆C过坐标原点，∴|OC|2＝t2＋，设圆C的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2＋.令x＝0，得y1＝0，y2＝，故B点的坐标为(0，)．令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，故A点的坐标为(2t,0)，∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝×||×|2t|＝4，即△OAB的面积为4.故选C.6.已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5.(1)求直线PQ与圆C的方程；(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．【答案】（1）(x－1)2＋y2＝13. （2）y＝－x＋4或y＝－x－3【解析】(1)直线PQ的方程为：x＋y－2＝0，设圆心C(a，b)，半径为r，由于线段PQ的垂直平分线的方程是y－＝x－，即y＝x－1，所以b＝a－1.①又由在y轴上截得的线段长为4，知(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2.②由①②得：a＝1，b＝0或a＝5，b＝4.当a＝1，b＝0时，r2＝13满足题意，当a＝5，b＝4时，r2＝37不满足题意，故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝13.(2)设直线l的方程为y＝－x＋m，A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)，由题意可知OA⊥OB，即·＝0，x 1x2＋(m－x1)(m－x2)＝0整理得m2－m(x1＋x2)＋2x1x2＝0，将y＝－x＋m代入(x－1)2＋y2＝13，可得2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0.∴x1＋x2＝1＋m，x1x2＝，即m2－m·(1＋m)＋m2－12＝0，Δ＝－4(m2－2m－25)>0，∴m＝4或m＝－3，满足Δ>0，∴y＝－x＋4或y＝－x－3.7.已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积【答案】（1）;（2）的方程为; 的面积为.【解析】（1）先由圆的一般方程与标准方程的转化可将圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，根据求曲线方程的方法可设，由向量的知识和几何关系：，运用向量数量积运算可得方程：;（2）由第（1）中所求可知M 的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，加之题中条件，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而，不难得出的方程为;结合面积公式可求又的面积为.试题解析：（1）圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，设，则，，由题设知，故，即.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是.（2）由（1）可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.由于，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而.因为ON的斜率为3，所以的斜率为，故的方程为.又，O到的距离为，，所以的面积为.【考点】1.曲线方程的求法;2.圆的方程与几何性质;3.直线与圆的位置关系8.曲线f(x)＝xlnx在点P(1,0)处的切线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是( )A．(x＋)2＋(y－)2＝B．(x＋1)2＋(y－1)2＝C．(x－)2＋(y＋)2＝D．(x－1)2＋(y＋1)2＝【答案】C【解析】曲线f(x)＝xlnx在点P(1,0)处的切线l方程为x－y－1＝0，与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为(，－)，半径为，所以方程为(x－)2＋(y＋)2＝，选C.9.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝1 B．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 C．(x＋1)2＋(y－1)2＝1 D．(x－2)2＋(y＋2)2＝1【答案】D【解析】圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，∴解得圆C2的半径为1，∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，选D10.若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是________.【答案】【解析】由于圆的半径为1且与轴相切，所以可以假设圆心.又圆与直线相切.所以可得.解得，由圆心在第一象限.所以.所以圆的方程为.【考点】1.直线与圆的位置关系.2.直线与圆相切的判定.3.圆的标准方程.11.求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．【答案】(x－2－2)2＋(y＋4)2＝42或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝42【解析】由题意，设所求圆的方程为圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.圆C与直线y＝0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C1(a，4)或C2(a，－4)．又已知圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的圆心A的坐标为(2，1)，半径为3.若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4①当C1(a，4)时，有(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a＝2±2.∴所求圆方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝42或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝42.②当C2(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a＝2±2.∴所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝42或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝42.12.方程x2＋y2－6x＝0表示的圆的圆心坐标是________；半径是__________．【答案】(3，0)，3【解析】(x－3)2＋y2＝9，圆心坐标为(3，0)，半径为3.13.已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)且被x轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为________．【答案】x2＋【解析】由题可知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，b)，半径为r，则rsin＝1，rcos＝|b|，解得r＝，|b|＝，即b＝±.故圆的方程为x2＋.14.已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为()A．x2+y2=2B．x2+y2=4C．x2+y2=2(x≠±2)D．x2+y2=4(x≠±2)【答案】D【解析】设P(x,y),则|PM|2+|PN|2=|MN|2,所以x2+y2=4(x≠±2).【误区警示】本题易误选B.错误的根本原因是忽视了曲线与方程的关系,从而导致漏掉了x≠±2. 15.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,则点P的轨迹方程为.【答案】(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点(-,)和(-,)【解析】设P(x,y),圆上的动点N(x0,y),则线段OP的中点坐标为(,),线段MN的中点坐标为(,),又因为平行四边形的对角线互相平分,所以有可得又因为N(x0,y)在圆上,所以N点坐标应满足圆的方程.即有(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点(-,)和(-,).16.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2+(y-2)2=1B．x2+(y+2)2=1C．(x-1)2+(y-3)2=1D．x2+(y-3)2=1【答案】A【解析】设圆心坐标为(0,b),则由题意知=1,解得b=2,故圆的方程为x2+(y-2)2=1.17.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程为()A．x2+y2-2x+4y=0B．x2+y2+2x+4y=0C．x2+y2+2x-4y=0D．x2+y2-2x-4y=0【解析】由(a-1)x-y+a+1=0得(x+1)a-(x+y-1)=0,∴该直线恒过点(-1,2),∴所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.即x2+y2+2x-4y=0.18.设圆C同时满足三个条件:①过原点;②圆心在直线y=x上;③截y轴所得的弦长为4,则圆C的方程是.【答案】(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=8【解析】由题意可设圆心A(a,a),如图,则22+a2=2a2,解得a=±2,r2=2a2=8.所以圆C的方程是(x+2)2+(y+2)2=8或(x-2)2+(y-2)2=8.19.已知点P(a，b)关于直线l的对称点为P′(b＋1，a－1)，则圆C：x2＋y2－6x－2y＝0关于直线l对称的圆C′的方程为________．【答案】(x－2)2＋(y－2)2＝10【解析】由圆C：x2＋y2－6x－2y＝0得，圆心坐标为(3,1)，半径r＝，所以对称圆C′的圆心为(1＋1,3－1)即(2,2)，所以(x－2)2＋(y－2)2＝10.20.过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是 ()．A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4【答案】C【解析】设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a.∵|CA|2＝|CB|2，∴(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，∴a＝1，b＝1，∴r＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.21.在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点关于点成中心对称，则直线的方程为 .【答案】【解析】由题意得圆心与点连线垂直于，所以而直线过点，所以直线的方程为【考点】点斜式，圆的几何性质.22.能够把圆:的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“和谐函数”,下列函数不是圆的“和谐函数”的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】只有D答案是偶函数，这个圆的圆心是，则奇函数会是该圆的“和谐函数”.【考点】1.对称性；2.奇偶性.23.已知向量a，b，c满足，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，则，以为原点，为轴建系，则，，即，，设，，，∵，∴，∴，圆心，，，即圆外点与圆上任一点的距离的最小值问题，∴.【考点】1.夹角公式；2.圆的标准方程；3.两点间距离公式.24.已知圆的方程为,点是坐标原点.直线与圆交于两点.(1)求的取值范围;(2)设是线段上的点,且.请将表示为的函数.【答案】(1); (2) ()．【解析】(1)根据题意要使直线和圆有两个交点，可转化为直线和圆的方程联立方程，即消去，可得关于的一元二次方程，通过可得方程有两解，即直线和圆有两个交点; (2)由题中条件，即先要求出，进而得出，结合(1)中所求的一元二次方程运用韦达定理即可求出与的关系式，最后由点在直线上，即可将转化为，这样即可得出，注意要由(1)中所求，得到的范围．试题解析：(1)将代入得则,(*) 由得. 所以的取值范围是(2)因为M、N在直线l上,可设点M、N的坐标分别为,,则,,又,由得,,所以由(*)知,, 所以,因为点Q在直线l上,所以,代入可得,由及得,即.依题意,点Q在圆C内,则,所以,于是, n与m的函数关系为 ()【考点】1.直线和圆的位置关系;2.韦达定理的运用;3.点与圆的位置关系25.设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（）A．必在圆内B．必在圆上C．必在圆外D．以上三种情形都有可能【答案】A【解析】，则，则，由的两根为，则有，，而，∴在圆内.【考点】1.韦达定理；2.利用圆方程判断点与圆的位置关系.26.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”．如图所示，“海宝”从圆心出发，先沿北偏西方向行走13米至点处，再沿正南方向行走14米至点处，最后沿正东方向行走至点处，点、都在圆上．则在以圆心为坐标原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向的直角坐标系中圆的方程为 .【答案】【解析】如图所示：设OA与正北方向的夹角为θ，则由题意可得sinθ=，OA=13，∴cos∠AOD=sinθ=，OD=OA•cos∠AOD=13×=12，AD=OA•sin∠AOD=13×=5，∴BD=14-AD=9，∴OB2=OD2+BD2=144+81=225，故圆O的方程为 x2+y2=225，即为所求。

直线与圆的方程综合题、典型题、高考题1、已知m ∈R ，直线l ：2(1)4mx m y m -+=和圆C ：2284160x y x y +-++=．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？ 解析：（1）直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-++，直线l 的斜率21mk m =+，因为21(1)2m m +≤，所以2112m k m =+≤，当且仅当1m =时等号成立．所以，斜率k 的取值范围是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．（2）不能．由（1）知l 的方程为(4)y k x =-，其中12k ≤． 圆C 的圆心为(42)C -，，半径2r =．圆心C 到直线l的距离d =．由12k ≤，得1d >，即2r d >．从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π．所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧． 2、已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。

解析：圆C 化成标准方程为2223)2()1(=++-y x 假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为（a由于CM ⊥l ，∴k CM ⋅k l = －1 ∴k CM =112-=-+a b ， 即a +b +1=0，得b = －a －1 ① 直线l 的方程为y －b =x －a ， 即x －y +b －a =0CM=23+-a b∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴OM MB MA ==2)3(92222+--=-=a b CMCB MB ，222b a OM += ∴2222)3(9b a a b +=+-- ②把①代入②得 0322=--a a ，∴123-==a a 或 当25,23-==b a 时此时直线l 的方程为x －y －4=0； 当0,1=-=b a 时此时直线l 的方程为x －y +1=0故这样的直线l 是存在的，方程为x －y －4=0 或x －y +1=0评析：此题用0OA OB =,联立方程组，根与系数关系代入得到关于b 的方程比较简单3、已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C ：x 2＋y 2= m 2，当圆C 与线段．．AB 没有公共点时，求m 的取值范围.解：∵过点A 、B 的直线方程为在l ：x －y ＋1 = 0, 作OP 垂直AB 于点P ，连结OB.由图象得：|m|＜OP 或|m|＞OB 时，线段AB 与圆x 2＋y 2= m 2无交点.（I ）当|m|＜OP 时，由点到直线的距离公式得：22|m |2|1||m |<⇒<，即22m 22<<-. （II ）当m ＞OB 时,||||m m 即 13m 13m >-<或. ∴当22m 22<<-和0m 13m 13m ≠>-<且与时，圆x 2＋y 2= m 2与线段AB 无交点.4、．已知动圆Q 与x 轴相切，且过点()0,2A .⑴求动圆圆心Q 的轨迹M 方程；⑵设B 、C 为曲线M 上两点，()2,2P ，PB BC ⊥，求点C 横坐标的取值范围. 解： ⑴设(),P x y 为轨迹上任一点，则0y =≠ （4分）化简得：2114y x =+ 为求。

高中数学圆与方程典型例题一、求圆的方程例1 (06重庆卷文) 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( ) (A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x (C)9)1()2(22=++-y x (D)9)1()2(22=-++y x解已知圆心为)1,2(-，且由题意知线心距等于圆半径，即2243546+++=dr ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ，故选(C).点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-即得圆的方程.二、位置关系问题例2 (06安徽卷文) 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( )(A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+--(D))12,0(+解化为标准方程222)(a a y x=-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =.∵直线1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距ar a d =>-=21，平方去分母得22212a a a >+-，解得1212-<<--a ，注意到0>a ，∴120-< 点评：一般通过比较线心距d 与圆半径r 的大小来处理直线与圆的位置关系：?>r d线圆相离；=r d 线圆相切；?<="">三、切线问题例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31=(B)x y 3=或x y 31-= (C)x y 3-=或x y 31-= (D)x y 3=或x y 31=解化为标准方程25)1()2(22=++-y x ,即得圆心)1,2(-C 和半径25=r .设过坐标原点的切线方程为kx y =，即0=-y kx ，∴线心距251122==++=r k k d ，平方去分母得0)3)(13(=+-k k ，解得3-=k 或31，∴所求的切线方程为x y 3-=或x y 31=，故选(A).点评：一般通过线心距d 与圆半径r 相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.四、弦长问题例4 (06天津卷理) 设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于B A 、两点，且弦AB 的长为32，则=a .解由已知圆4)2()1(22=-+-y x ，即得圆心)2,1(C 和半径2=r .∵线心距112++=a a d ，且222)2(r AB d =+，∴22222)3()11(=+++a a ，即1)1(22+=+a a ，解得0=a .点评：一般在线心距d、弦长AB的一半和圆半径r 所组成的直角三角形中处理弦长问题：222)2(r AB d =+. 五、夹角问题例5 (06全国卷一文) 从圆012222=+-+-y y x x 外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )(A)21 (B)53 (C)23 (D) 0 解已知圆化为1)1()1(22=-+-y x ，即得圆心)1,1(C 和半径1=r .设由)2,3(P 向这个圆作的两条切线的夹角为θ，则在切线长、半径r 和PC构成的直角三角形中，522cos=θ，∴5312cos 2cos 2=-=θθ，故选(B). 点评：处理两切线夹角θ问题的方法是：先在切线长、半径r 和PC所构成的直角三角形中求得2θ的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角θ问题.六、圆心角问题例6 (06全国卷二) 过点)2,1(的直线l 将圆4)2(22=+-y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率=k.解由已知圆4)2(22=+-y x ，即得圆心)0,2(C 和半径2=r .设)2,1(P ，则2-=PC k ；∵⊥PC 直线l 时弦最短，从而劣弧所对的圆心角最小，∴直线l 的斜率221=-=PCk k . 点评：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题：在同圆中，若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短，若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小.七、最值问题例7 (06湖南卷文) 圆0104422=---+y x y x 上的点到直线14-+y x 0=的最大距离与最小距离的差是( )(A) 30 (B) 18 (C)26 (D)25解已知圆化为18)2()2(22=-+-y x ，即得圆心)2,2(C 和半径23=r .设线心距为d ，则圆上的点到直线014=-+y x 的最大距离为r d +，最小距离为r d -，∴262)()(==--+r r d r d ，故选(C).点评：圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距d 与圆半径r 的关系解决：圆上的点到该直线的最大距离为r d +，最小距离为r d -.八、综合问题例8 (06湖南卷理) 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )(A)]4,12[ππ (B)]125,12[ππ (C)]3,6[ππ (D)]2,0[π解已知圆化为18)2()2(22=-+-y x ，即得圆心)2,2(C 和半径23=r .∵圆上至少有三个不同的点到直线:=+by ax l 的距离为22，∴2222222=-≤++=a b a d ，即0422≤++b ab a ，由直线l的斜率bak -=代入得0142≤+-k k ，解得3232+≤≤-k ，又3212tan-=π，32125tan+=π，∴直线l 的倾斜角的取值范围是]125,12[ππ，故选(B).点评：处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程，进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决. 圆的方程2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条 D .4条解析：分别以A 、B 为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.答案：B3.（2005年黄冈市调研题）圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________. 解析：圆心（－2，3）在直线上，代入kx －y +4=0，得k =2.答案：2 4.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的距离的最小值为____________.解析：圆心（0，0）到直线3x －4y －10=0的距离d =5|10|-=2.再由d －r =2－1=1，知最小距离为1.答案：15.（2005年启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足·=0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程.解：（1）曲线方程为（x +1）2+（y －3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆. ∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称，∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m =－1. （2）∵直线PQ 与直线y =x +4垂直，∴设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），PQ 方程为y =－x +b .将直线y =－x +b 代入圆方程，得2x 2+2（4－b ）x +b 2－6b +1=0.Δ=4（4－b ）2－4×2×（b 2－6b +1）>0，得2－32<="">x 1·x 2=2162+-b b .y 1·y 2=b 2－b （x 1+x 2）+x 1·x 2=2162+-b b +4b .∵·OQ =0，∴x 1x 2+y 1y 2=0，即b 2－6b +1+4b =0.解得b =1∈（2－32，2+32）.∴所求的直线方程为y =－x +1.7.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2－4x +1=0.求（1）xy的最大值和最小值；（2）y －x 的最小值；（3）x 2+y 2的最大值和最小值.解：（1）如图，方程x 2+y 2－4x +1=0表示以点（2，0）为圆心，以3为半径的圆.设xy=k ，即y =kx ，由圆心（2，0）到y =kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由1|02|2+-k k =3，解得k 2=3.所以k max =3，k min =－3.（2）设y －x =b ，则y =x +b ，仅当直线y =x +b 与圆切于第四象限时，纵轴截距b 取最小值.由点到直线的距离公式，得2|02|b +-=3，即b =－2±6，故（y －x ）min =－2－6.（3）x 2+y 2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则（x 2+y 2）max =｜OC ′｜=2+3，（x 2+y 2）min =｜OB ｜=2－3. 8.（文）求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系.解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可. 因为圆过A 、B 两点，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上.由k AB = 3124--=－1，AB 的中点为（2，3），故AB 的垂直平分线的方程为y －3=x －2，即x －y +1=0.又圆心在直线y =0上，因此圆心坐标是方程组 x －y +1=0， y =0 半径r =22)40()11(-+--=20，所以得所求圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20.因为M 1到圆心C （－1，0）的距离为22)03()12(-++=18，|M 1C |<="" ，所以m="">M 2到圆心C 的距离|M 2C |=22)04()12(-++=25>20，所以M 2在圆C 外.经过两已知圆的交点的圆系例．设圆方程为：016448)4012()42()4()4(22=--+++++++λλλλλy x y x 其中λ≠－4求证：不论λ为何值，所给圆必经过两个定点。

历年高考数学真题精选（按考点分类）专题35 圆与方程（学生版）一．选择题（共10小题）1．（2019•全国）若直线5x =与圆2260x y x a +-+=相切，则(a = ) A ．13B ．5C ．5-D ．13-2．（2019•上海）以1(a ，0)，2(a ，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(0,)y ，2(0,)y ，且满足120lny lny +=，则点1211(,)a a 的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线3．（2018•新课标Ⅲ）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是( ) A ．[2，6]B ．[4，8]C．D．4．（2016•山东）已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是( ) A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离5．（2016•北京）圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为( ) A ．1B ．2CD．6．（2016•新课标Ⅱ）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则(a = ) A ．43-B ．34-CD ．27．（2015•重庆）已知直线10x ay +-=是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||(AB = ) A ．2B ．6C．D．8．（2015•新课标Ⅱ）已知三点(1,0)A，B，C 则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．53BCD ．439．（2015•山东）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34-10．（2014•新课标Ⅱ）设点0(M x ，1)，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是( ) A ．[1-，1]B ．1[2-，1]2C．[D．[二．填空题（共10小题）11．（2019•浙江）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r ．若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m = ，r = ．12．（2018•天津）已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线132x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，(t 为参数）与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为 ．13．（2018•新课标Ⅰ）直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A ，B 两点，则||AB = ． 14．（2017•天津）设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 ．15．（2016•上海）在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 是圆22650x y x +-+=上的两个动点，且满足||AB =||OA OB +的最小值为 ．16．（2016•天津）已知圆C 的圆心在x轴正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=，则圆C 的方程为 ． 17．（2016•新课标Ⅲ）已知直线:30l mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D两点，若||AB =||CD = ．18．（2016•新课标Ⅰ）设直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--=相交于A ，B 两点，若||AB =C 的面积为 ．19．（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线210()mx y m m R ---=∈相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．20．（2014•新课标Ⅱ）设点0(M x ，1)，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是 ． 三．解答题（共2小题）21．（2015•新课标Ⅰ）已知过点(0,1)A 且斜率为k 的直线l 与圆22:(2)(3)1C x y -+-=交于点M 、N 两点． （1）求k 的取值范围；（2）若12OM ON =，其中O 为坐标原点，求||MN ．22．（2014•新课标Ⅰ）已知点(2,2)P ，圆22:80C x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程；（2）当||||OP OM =时，求l 的方程及POM ∆的面积．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题35 圆与方程（学生版）一．选择题（共10小题）1．（2019•全国）若直线5x =与圆2260x y x a +-+=相切，则(a = ) A ．13 B ．5 C ．5- D ．13-【答案】B【解析】根据题意，圆2260x y x a +-+=即22(3)9x y a -+=-， 其圆心为(3,0)，半径r =若直线5x =与圆2260x y x a +-+=相切，则圆的半径532r =-=，2=，解可得：5a =2．（2019•上海）以1(a ，0)，2(a ，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(0,)y ，2(0,)y ，且满足120lny lny +=，则点1211(,)a a 的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线【答案】A【解析】因为11|1|r a =-21112y a =-，同理可得22212y a =-， 又因为120lny lny +=，所以121y y =，则12(12)(12)1a a --=，即12122a a a a =+， 则12112a a +=，设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，故选：A ． 3．（2018•新课标Ⅲ）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是( ) A ．[2，6] B ．[4，8]C．D．【答案】A【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，∴令0x =，得2y =-，令0y =，得2x =-，(2,0)A ∴-，(0,2)B -，||AB ==点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴设(2P θ)θ，∴点P 到直线20x y ++=的距离：|2sin()4|d πθ++==，sin()[14πθ+∈-，1]，|2sin()4|d πθ++∴=，ABP ∴∆面积的取值范围是：1[2⨯1[22⨯=，6]．4．（2016•山东）已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交C ．外切D ．相离【答案】B【解析】圆的标准方程为222:()(0)M x y a a a +-=>，则圆心为(0,)a ，半径R a =， 圆心到直线0x y +=的距离d =圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是∴===24a =，2a =，则圆心为(0,2)M ，半径2R =，圆22:(1)(1)1N x y -+-=的圆心为(1,1)N ，半径1r =，则MN =，3R r +=，1R r -=，R r MN R r ∴-<<+，即两个圆相交． 5．（2016•北京）圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为( )A ．1B ．2CD ．【答案】C【解析】圆22(1)2x y ++=的圆心为(1,0)-，∴圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为d =6．（2016•新课标Ⅱ）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则(a = )A ．43-B ．34-C D ．2【答案】A【解析】圆2228130x y x y +--+=的圆心坐标为：(1,4)， 故圆心到直线10ax y +-=的距离1d ==，解得：43a =-，故选A ．7．（2015•重庆）已知直线10x ay +-=是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||(AB = )A ．2B ．6C ．D ．【答案】B【解析】圆22:4210C x y x y +--+=，即22(2)(1)4x y -+-=， 表示以(2,1)C 为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线:10l x ay +-=经过圆C 的圆心(2,1)， 故有210a +-=，1a ∴=-，点(4,1)A --．22(AC ==，2CB R ==，∴切线的长||6AB ===．8．（2015•新课标Ⅱ）已知三点(1,0)A ，B ，C 则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．53B C D ．43【答案】B【解析】：因为ABC ∆外接圆的圆心在直线BC 垂直平分线上，即直线1x =上，可设圆心(1,)P p ，由PA PB =得||p p =圆心坐标为P ，所以圆心到原点的距离||OP ==，故选：B ． 9．（2015•山东）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34-【答案】D【解析】点(2,3)A --关于y 轴的对称点为(2,3)A '-，故可设反射光线所在直线的方程为：3(2)y k x +=-，化为230kx y k ---=． 反射光线与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，∴圆心(3,2)-到直线的距离211d k ==+，化为22450240k k ++=，43k ∴=-或34-．10．（2014•新课标Ⅱ）设点0(M x ，1)，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是( ) A ．[1-，1] B ．1[2-，1]2C ．[2-，2]D ．2[-，2] 【答案】A【解析】由题意画出图形如图：点0(M x ，1)，要使圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则OMN ∠的最大值大于或等于45︒时一定存在点N ，使得45OMN ∠=︒，而当MN 与圆相切时OMN ∠取得最大值，此时1MN =，图中只有M '到M ''之间的区域满足1MN =，0x ∴的取值范围是[1-，1]．二．填空题（共10小题）11．（2019•浙江）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r ．若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m = ，r = ．【答案】2-．【解析】由圆心与切点的连线与切线垂直，得1122m +=-，解得2m =-． ∴圆心为(0,2)-，则半径r =12．（2018•天津）已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线13x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，(t 为参数）与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为 ． 【答案】12【解析】圆2220x y x +-=化为标准方程是22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径1r =；直线13x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩化为普通方程是20x y +-=，则圆心C到该直线的距离为d ==弦长||2AB ==ABC ∴∆的面积为111||2222S AB d ==⨯=． 13．（2018•新课标Ⅰ）直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A ，B 两点，则||AB = ． 【答案】【解析】圆22230x yy ++-=的圆心(0,1)-，半径为：2，=所以||AB ==14．（2017•天津）设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 ． 【答案】22(1)(1x y ++=【解析】设抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线:1l x =-，点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切与点A ，120FAC ∠=︒，30FAO ∴∠=︒，3tan 3OFOA FAO ∴===∠，3OA ∴=，(0,3)A ∴，如图所示：(1,3)C ∴-，圆的半径为1CA =，故要求的圆的标准方程为22(1)(3)1x y ++-=，故答案为：22(1)(3)1x y ++-=．15．（2016•上海）在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 是圆22650x y x +-+=上的两个动点，且满足||23AB =||OA OB +的最小值为 ． 【答案】4【解析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，AB 中点(,)M x y ''． 122x x x +'=，122y y y +'=，∴12(OA OB x x +=+，12)2y y OM +=， 圆22:650C x y x +-+=，22(3)4x y ∴-+=，圆心(3,0)C ，半径2CA =． 点A ，B 在圆C 上，23AB =2221()2CA CM AB ∴-=，即1CM =．点M 在以C 为圆心，半径1r =的圆上．312OM OC r ∴-=-=． ||2OM ∴，∴||4OA OB +，∴||OA OB +的最小值为4．16．（2016•天津）已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，点5)M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=45，则圆C 的方程为 ． 【答案】22(2)9x y -+=【解析】由题意设圆的方程为222()(0)x a y r a -+=>， 由点(0,5)M 在圆上，且圆心到直线20x y -=的距离为45， 得225455a r ⎧+=⎪=⎪⎩，解得2a =，3r =．∴圆C 的方程为：22(2)9x y -+=．17．（2016•新课标Ⅲ）已知直线:330l mx y m ++-=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若||23AB =，则||CD = ．【答案】4【解析】由题意，||23AB =，∴圆心到直线的距离3d =，∴2|33|31m m -=+，3m ∴=-∴直线l 的倾斜角为30︒，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，23||43CD ∴==．18．（2016•新课标Ⅰ）设直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--=相交于A ，B 两点，若||3AB =C 的面积为 ．【答案】4π【解析】圆22:220C x y ay +--=的圆心坐标为(0,)a 22a + 直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--=相交于A ，B 两点，且||23AB =∴圆心(0,)a 到直线2y x a =+的距离2ad =，即22322a a +=+，解得：22a =，故圆的半径2r =．故圆的面积4S π=，19．（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线210()mx y m m R---=∈相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．【答案】22(1)2x y-+=【解析】圆心到直线的距离221211dm mm==+++，1m∴=时，圆的半径最大为2，∴所求圆的标准方程为22(1)2x y-+=．20．（2014•新课标Ⅱ）设点(M x，1)，若在圆22:1O x y+=上存在点N，使得45OMN∠=︒，则x的取值范围是．【答案】[1-，1]．【解析】由题意画出图形如图：点(M x，1)，要使圆22:1O x y+=上存在点N，使得45OMN∠=︒，则OMN∠的最大值大于或等于45︒时一定存在点N，使得45OMN∠=︒，而当MN与圆相切时OMN∠取得最大值，此时1MN=，图中只有M'到M''之间的区域满足1MN，x∴的取值范围是[1-，1]．三．解答题（共2小题）21．（2015•新课标Ⅰ）已知过点(0,1)A且斜率为k的直线l与圆22:(2)(3)1C x y-+-=交于点M、N两点．（1）求k的取值范围；（2）若12OM ON=，其中O为坐标原点，求||MN．解：（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，设过点(0,1)A 的直线方程：1y kx =+，即：10kx y -+=． 由已知可得圆C 的圆心C 的坐标(2,3)，半径1R =．1<，k <<过点(0,1)A 的直线与圆22:(2)(3)1C x y -+-=相交于M ，N 两点． （2）设1(M x ，1)y ；2(N x ，2)y ，由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为1y kx =+，代入圆C 的方程22(2)(3)1x y -+-=， 可得22(1)4(1)70k x k x +-++=，1224(1)1k x x k +∴+=+，12271x x k=+， 212121212(1)(1)()1y y kx kx k x x k x x ∴=++=+++2222274(1)12411111k k k k k k k k +++=++=+++， 由2121221248121k k OM ON x x y y k ++=+==+，解得1k =， 故直线l 的方程为1y x =+，即10x y -+=． 圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径．所以||2MN =．22．（2014•新课标Ⅰ）已知点(2,2)P ，圆22:80C x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程；（2）当||||OP OM =时，求l 的方程及POM ∆的面积． 解：（1）由圆22:80C x y y +-=，得22(4)16x y +-=， ∴圆C 的圆心坐标为(0,4)，半径为4．设(,)M x y ，则(,4)CM x y =-，(2,2)MP x y =--． 由题意可得：0CM MP =．即(2)(4)(2)0x x y y -+--=．整理得：22(1)(3)2x y -+-=．M ∴的轨迹方程是22(1)(3)2x y -+-=．（2）由（1）知M 的轨迹是以点(1,3)N 为半径的圆， 由于||||OP OM =， 故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上， 从而ON PM ⊥． 3ON k =，∴直线l 的斜率为13-． ∴直线PM 的方程为12(2)3y x -=--，即380x y +-=．则O 到直线l=又N 到l=，||PM ∴=∴11625POM S ∆==．。

高三数学圆的方程试题1.已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】因为两圆关于直线对称后半径不变，只需设圆的圆心坐标为，利用点与圆圆心关于直线对称得解得,故选B.【考点】圆的标准方程，曲线关于直线的对称问题.2.(本小题满分14分)关于的方程（1）若方程C表示圆，求实数m的取值范围；（2）在方程C表示圆时，若该圆与直线且，求实数m的值；（3）在（2）的条件下，若定点A的坐标为（1，0），点P是线段MN上的动点，求直线AP的斜率的取值范围。

【答案】（1）；（2）m=4；（3）。

【解析】（1）方程C可化为：要使该方程表示圆，只需5-m>0.即m<5 所以方程C表示圆时，实数m的取值范围是。

（2）由（1）知，当方程C表示圆时，圆心为C（1，2），半径为。

过圆心C作直线L的垂线CD，D为垂足。

则又由因为。

所以，解得m=4.(3)由（2）得C圆的方程为：再由得和所以，由图象可知，，所以直线AP的斜率的取值范围是。

【考点】圆的一般式方程；直线与圆的位置关系；直线的斜率公式。

点评：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,当时，表示圆的方程；当时，表示点；当时，不表示任何图形。

3.（本小题满分12分）如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的左侧），且．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析。

【解析】(I)由于圆与轴相切于点, 所以圆心坐标为,然后根据建立关于r的方程求出r值，圆的标准确定.(2)将y=0代入圆的方程求出M,N的坐标，然后再分两种情况证明.(i) 当轴时，由椭圆对称性可知.当与轴不垂直时，可设直线的方程为．证明,然后直线方程与椭圆方程联立借助韦达定理来解决即可.（Ⅰ）设圆的半径为（），依题意，圆心坐标为．································ 1分∵∴，解得．····································································· 3分∴圆的方程为．······················································· 5分（Ⅱ）把代入方程，解得，或，即点，．····················································································· 6分（1）当轴时，由椭圆对称性可知．······························· 7分（2）当与轴不垂直时，可设直线的方程为．联立方程，消去得，．······················ 8分设直线交椭圆于两点，则，．······································································· 9分∵，∴．······························································· 10分∵，11分∴，．····························································· 12分综上所述，． 13分4.已知圆经过两点，圆心在轴上，则的方程为_____________；【答案】【解析】设圆，将坐标代入可得。