湖北省武汉市部分重点学校高二数学上学期期末试卷文(含解析) (1)

华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题二、多选题三、填空题90，则M221(yb-=,N两点，若四、问答题求圆C的标准方程；OP的最大值已知数列{求数列{}n anS的最大值和最小值五、证明题19．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ED⊥平面,ABCD FB⊥平面ABCD，且1ED FB==.45，六、问答题PAB面积为22．已知椭圆的直线与椭圆交于(1)求椭圆(2)过椭圆参考答案：22)159-++=所过点，然后利用点差法求得直线l 的斜率，进而求得正确答案AP PQ ⊥又AQ k k =由1y kt x k ⎧-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩A 在双曲线又P 在双曲线(221b k∴-30，1302=，所以2⎛+- ⎝90，面积有最大值为3PC=4，则//NC NB ，3(NC x =-，2(NB x =-，所以231()(4x y -=则22211()244y y --，整理可得：2323()2y y y y -+也即21()04y -+=，因为，所以23y y =-又12y y =-1=-，所以 ，由0MA MB ⋅=及数量积的坐标公式得2()A B y y y y ++横纵坐标的和积代入上式求M 的纵坐标即可，则(1,),(1,A A B MA x y y MB x =+-=+90，则(A MA MB x ⋅=+B x ++.4）运用点到直线距离公式求出圆OP 的最大值的距离为（2）依题意作上图，P 为弦MN 的轨迹为以CA 为直径的圆，圆心为)(210222+-2max ||12OP ∴=++=综上，圆C OP 的最大值为313S b ≠，所以8n b ⎛∴=⨯ ⎝又42a d -=(2n a a ∴=+2）由（1）和等比数列的前81⎡⨯-⎢⎢⎣=）建立空间直角坐标系，得到0EC DF EC DA ⋅=⋅= 故设(0E G E C λλ=<()()(0,1,1,1,0,0,1,1,1EC DA DF ∴=-==0110EC DA EC DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，故EC ⊥DF ，EC ⊥∵DA DF D =，,DA DF ⊂平面ADF ，EC ∴⊥平面ADF ；（2）设(0EG EC λλ=<(,0,DG λ=设平面GBD 的法向量为(),,n m n t =()100n DG n t n DB m n λλ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令t λ=-，则法向量()1,1n λλλ=--，平面GBD 与平面的夹角为45，且平面的法向量为(0,1,EC =2cos452)n EC n EC⋅==，1<，13λ=，n b ++11111551723n -+-++⋅1231n ⎫⎪⋅-⎭. 31231n n -=⋅-）先由PAB 面积得到，从而求得1）依题意，设抛物线的方程为),2m 在抛物线上，所以12PABS =PABS=设过点P 的抛物线的切线方程为联立方程y ⎧⎪⎨.2设P A A Qλ=，则P B B Q λ=-，设(A y 表示1x 、1y 、2x 、2y ，再消去参数即可得解 ①，221b MN a ==②，又2a =2PA PB 122x ∴-12,x x <<联立24y x ⎧=⎪⎨+⎪⎩则12x x +=法二：2PA PB (PB PQ -PB QB=，设PA AQ λ=，则PB BQ λ=-，设A 由PA AQ λ=可得112121x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，由PB BQ λ=-，可得A 、B 在椭圆2214x y +=上，2221421x λλ⎧+⎛⎫⎪ ⎪+⎛⎝⎭⎪+ ⎪∴⎨-⎛⎪ ⎪-⎝⎪答案第17页，共17页。

湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期末联考数学（文）试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一个选项是正确的）． 1．复数21(1)i-的值是（ ）A ．2iB ．2i -C ．2D ．－2 2．若A ，B 为互斥事件，则（ ）A ．()()1P A PB +> B ．()()1P A P B +=C ．()()1P A P B +<D ．()()1P A P B +≤3．将两个数8,17a b ==交换，使得17,8a b ==，下列语句正确的是（ ）A ．,a b b a ==B ．,,c b b a a c === C ．,b a a b== D ． ,,a c c b b a===4．数列1,-3,7,（ ）,31,-63,127…，括号中的数字应为（ ）A ．13B ．-13C ．-15D ．-165．若实数,x y 满足33000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则不等式组表示区域的面积为（ ）A ．3B ．32C ．-32D ．926．高三（8）共有48名同学，准备选择4人参加社会实践活动，现将这48名同学编号，准备运用系统抽样的方法抽取，已知19号在样本中，那么不在样本中的同学编号是（ ）A ．7B ．23C ．31D ． 437．如图是甲、乙两名射击运动员射击6次后所得到的成绩的茎叶图（茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字），由图可知（ ）A ．甲、乙的中位数相等，甲、乙的平均成绩相等B ．甲的中位数比乙的中位数大，乙的平均成绩好C ．甲、乙的中位数相等，乙的平均成绩好D ．甲的中位数比乙的中位数大，甲、乙的平均成绩相等 8．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A ．12(0,0),(1,2)e e ==-B ．12(1,2),(5,7)e e =-=C ．12(3,5),(6,10)e e ==D ．12(2,3),(4,6)e e =-=-9．设有一回归直线方程为ˆ4 1.5yx =-,则变量x 增加一个单位时（ ） A ．y 平均增加 1.5 个单位B ．y 平均增加 2.5 个单位C ．y 平均减少 1.5 个单位D ．y 平均减少 2.5 个单位10．直线223(3)(2)4y kx x y =+-+-=与圆相交于M ，N两点，MN ≥，则k 的取甲 乙5 1 8 16 8 9 4 97 5 4 10 1 2值范围是（ ）A ．3[,0]4- B ．[)3,0,4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦C ．[D ．2[,0]3-二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．函数()f x =的定义域是 。

2021-2022学年湖北省武汉市洪山高级中学高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，则执行如图所示的程序框图，输出的是（）A．c B．b C．a D．参考答案：B【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算a，b，c中的最大值，并输出，根据指数函数，对数函数的单调性得出a，b，c的范围进而可得答案．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算a，b，c中的最大值．∵y=log2x是增函数，∴a=log20.3＜log21=0，∵y=2x是增函数，∴b=20.3＞20=1，又c=0.32=0.09，∴0＜c＜1，∴b＞c＞a，故选：B．2. 在数列中，则的值为（）A. 49B. 50C. 51D.52参考答案：D略3. 若a，b，c成等比数列，则函数的图象与x轴的交点个数为（）A略4. 执行右面的程序框图，若输出的结果是，则输入的( )A．B．C．D．参考答案：B5. 已知随机变量的数学期望E=0.05且η=5+1，则Eη等于（）A． 1.15 B． 1.25 C．0.75 D． 2.5参考答案：B6. 在等比数列中，已知，，则a17+a18+a19+a20=（）A、32B、-32C、64D、－64参考答案：A略7. 在中，角A，B，C的对边分别为，则“”是“是等腰三角形”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A8. 设x2+x7=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a6（x+1）6+a7（x+1）7，则a6=（）A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8参考答案：C略9. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f （x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确参考答案：A【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．【解答】解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x=x0附近的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选A．10. 下列关于命题的说法错误的是（）A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件C．若命题：，则：D．命题“”是真命题参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图①所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF 及EF把这个正方形折成一个几何体（如图②使G1G2、G2G3三点重合于一点G），则下列结论中成立的有（填序号）．①SG⊥面EFG；②SD⊥面EFG；③GF⊥面SEF；④GD⊥面SEF参考答案：①【考点】直线与平面垂直的判定．【分析】根据题意，在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，由线面垂直的判定定理，易得SG⊥平面EFG．【解答】解：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面EFG，即①正确；设正方形的棱长为2a，则DG=a，SD=a，∵SG2≠DG2+SD2，∴SD与DG不垂直，∴②④不正确；∵SG⊥GF，∴GF与SF不垂直，∴③不正确；故答案为：①．12. 若输入8，则下列程序执行后输出的结果是________。

武汉市部分重点中学2022—2023学年度上学期期末联考高二数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数()f x 可导，且满足0(3)(3)lim2x f x f x ∆→-∆-=∆，则函数()y f x =在x ＝3处的导数为（）A .2B.1C.－1D.－22.已知等差数列{}n a 满足()23544,41a a a a =+=-，则数列{}n a 的前5项和5S 为（）A.15B.16C.20D.303.已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的渐近线方程为（）A.2y x =±B.32y x =±C.23y x =±D.132y x =±4.已知数列{}n a 满足()12111,3,N ,2n n n a a a a a n n *-+===+∈≥，则2022a =（）A.2- B.1 C.4043 D.40445.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为3，且该塔形的表面积（不含最底层正方体的底面面积）超过78，则该塔形中正方体的个数至少是（）A.4B.5C.6D.76.已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点()1,0F ，过F 的直线与C 交于M ，N 两点，准线与x 轴的交点为A ，当MA NA ⊥时，直线MN 的方程为（）A.10x y --= B.220x y --= C.210x y --= D.10x -=7.已知两相交平面所成的锐二面角为70°，过空间一点P 作直线l ，使得直线l 与两平面所成的角均为30°，那么这样的直线有（）条A.1B.2C.3D.48.数列{}n a 满足132a =，211n n n a a a +=-+，*n ∈N ，则122022111a a a +++ 的整数部分是（）A.1B.2C.3D.4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.方程22143x y m m+=--表示的曲线中，可以是（）A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线10.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且*N n ∀∈，都有11n n S S n n +<+．若17161a a <-，则（）A.160a < B.170a <C.n S 的最小值是16S D.n S 的最大值是17S 11.抛物线C ：24y x =的焦点为F ，P 是其上一动点，点()1,1M ，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，准线与x 轴的交于点D ，下列结论正确的是（）A.PM PF +的最小值是2B.PM PF -的最大值是2C.存在直线l ，使得A ，B 两点关于直线50x y +-=对称D.若直线l 经过点D ，且B 点在线段AD 上，不存在直线l ，使得2AF BF DF+=12.如图所示：给定正整数n （5n ≥），按照如下规律构成三角形数表：第一行从左到右依次为1，2，3，…，n ，从第二行开始，每项都是它正上方和右上方两数之和，依次类推，直到第n 行只有一项，记第i 行第j 项为,i j a ，下列说法正确的是（）A.当n ＝100时，5,496a =．B.当n ＝100时，最后一行的数为981012⨯．C.当n ＝2022时，,42022i a >，则i 的最小值为8．D.当n ＝2022时，2,5(9)2i i a i -=+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为()2322l t t t =+，则当3s t =时，该运动员的滑雪瞬时速度为______()m /s ．14.等比数列{}n a 中，1473a a a ++=，36912a a a ++=．则{}n a 的前9项之和为______．15.三棱锥P －ABC 中，二面角P －AB －C 为120°，PAB 和ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥P －ABC 外接球的半径为______．16.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，斜率为12的直线与椭圆E 交于P 、Q 两点，P 、Q 在y 轴左侧，且P 点在x 轴上方，点P 关于坐标原点O 对称的点为R ，且45PQR Ð=°，则该椭圆的离心率为______．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.（1）求长轴长为12，离心率为23，焦点在x 轴上的椭圆标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为12y x =±，且与椭圆221105x y +=有公共焦点，求此双曲线的方程．18.已知数列{}n a 的前n 项和为227n S n n =-+，()*Nn n b a n =∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 前n 项的和n T ．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC ＝BC ，四边形11ABB A 是菱形，1120A AB ∠=︒，点D 在棱1CC 上，且1CD CC λ= ．（1）若1AD B C ⊥，证明：平面1AB C ⊥平面ABD ．（2）若1AB B C ==，是否存在实数λ，使得平面1AB C 与平面ABD 所成得锐二面角的余弦值是17？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为P ，点()0,Q b ，21PF =，160F PQ ∠=︒．（1）求双曲线C 的方程；（2）直线l 经过点2F ，且与双曲线C 相交于A ，B 两点，若1F AB 的面积为，求直线l 的方程．21.已知抛物线C ：22y px =，焦点为F ，点()2,0M -，()2,2N ，过点M 作抛物线的切线MP ，切点为P ，3PF =，又过M 作直线交抛物线于不同的两点A ，B ，直线AN 交抛物线于另一点D ．（1）求抛物线方程；（2）求证BD 过定点．22.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12(2)n n S a n -=-≥，数列{}n b 的通项公式为n b n =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求1211n n n n T a b a b a b -=+++ ；（3）设221251916n n n n n n n c a b b b +++++=，求数列{}n c 的前n 项的和n H ．武汉市部分重点中学2022—2023学年度上学期期末联考高二数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数()f x 可导，且满足0(3)(3)lim2x f x f x ∆→-∆-=∆，则函数()y f x =在x ＝3处的导数为（）A.2B.1C.－1D.－2【答案】D【分析】根据导数的定义即可得到答案.【详解】由题意，()()()()()Δ0Δ03Δ33Δ3lim lim3ΔΔx x f x f f x f f xx→→----=--'=-，所以()32f '=-.故选：D.2.已知等差数列{}n a 满足()23544,41a a a a =+=-，则数列{}n a 的前5项和5S 为（）A.15B.16C.20D.30【答案】A【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出4a ，再利用前n 项和公式计算作答.【详解】等差数列{}n a 中，354424(1)a a a a =+=-，解得42a =，而24a =，所以数列{}n a 的前5项和152455()5()1522a a a a S ++===.故选：A3.已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的渐近线方程为（）A.52y x =±B.32y x =±C.23y x =±D.132y x =±【答案】C【分析】根据双曲线几何性质解决即可.【详解】由题知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>中24,26a b ==，所以2,3a b ==，双曲线焦点在y 轴上，所以双曲线的渐近线方程为23y x a b x =±=±，故选：C.4.已知数列{}n a 满足()12111,3,N ,2n n n a a a a a n n *-+===+∈≥，则2022a =（）A.2- B.1 C.4043 D.4044【分析】由递推式得到21n n a a +-=-，从而得到6n n a a +=，由此再结合11n n n a a a -+=+即可求得2022a 的值.【详解】由11n n n a a a -+=+得12n n n a a a ++=+，两式相加得21n n a a +-=-，即3n n a a +=-，故6n n a a +=，所以20226321()2a a a a a ==-=--=-.故选：A ．5.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为3，且该塔形的表面积（不含最底层正方体的底面面积）超过78，则该塔形中正方体的个数至少是（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【分析】设从最底层开始的第n 层的正方体棱长为n a ，则{}n a 为等比数列，由此求出塔形表面积n S 的表达式，令78n S >即可得出n 的范围．【详解】解：设从最底层开始的第n 层的正方体棱长为n a ，13a =，212a ==，3112a ==，则{n a }为以3为首顶，以2为公比的等比数列，所以2{}n a 是以9为首项，以12为公比的等比数列．所以塔形的表面积222221231191722444449811212n n n n S a a a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++⋯++=⨯+=--，令7281782n->，解得4n >，所以该塔形中正方体的个数至少为5个．故选：B ．6.已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点()1,0F ，过F 的直线与C 交于M ，N 两点，准线与x 轴的交点为A ，当MA NA ⊥时，直线MN 的方程为（）A.10x y --= B.220x y --= C.210x y --= D.10x -=【分析】根据题意可得：抛物线方程为24y x =，则(1,0)A -，设直线MN 的方程为：1x ty =+，联立方程组，利用韦达定理和0MA NA =即可求解.【详解】由题意可知：12p=，则抛物线方程为24y x =，所以(1,0)A -.设过F 的直线MN 的方程为：1x ty =+，1122(,),(,)M x y N x y ，联立方程组214x ty y x=+⎧⎨=⎩，整理可得：2440y ty --=，则124y y t +=，124y y =-，又因为MA NA ⊥所以0MA NA =，11(1,)MA x y =--- ，22(1,)NA x y =--- 所以1212(1)(1)0x x y y ----+=，也即1212(1)(1)0x x y y +++=，因为212121212(1)(1)(2)(2)42()x x ty ty t y y t y y ++=++=+++，所以212121212(1)(1)(1)2()4x x y y t y y t y y +++=++++2(1)(4)244t t t =+⨯-+⨯+2244840t t =--++=即20t =，解得：0=t ，所以直线MN 的方程为：10x -=，故选：D .7.已知两相交平面所成的锐二面角为70°，过空间一点P 作直线l ，使得直线l 与两平面所成的角均为30°，那么这样的直线有（）条A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】分两种情况，一是在二面角的平分面上，另一种情况是在邻补二面角的平分面上研究，以角平分线为基准，旋转找符合要求的直线,最后过点P 作符合条件的平行直线即可.【详解】作二面角的平面角AOB ,则70AOB ∠=︒，设1OP 为AOB ∠的平分线，则1135POA POB ∠=∠=︒,当1OP 以O 为中心，在二面角的平分面上转时，1OP 与两平面的夹角变小，会对称出现两条符合要求的直线.设2OP 为AOB ∠的补角角平分线，则2255P OA P OB ∠=∠=︒，当2OP 以O 为中心，在二面角的邻补二面角平分面上转时，2OP 与两平面的夹角变小，会对称出现两条符合要求的直线.综上所述:过点P 作与1OP ,2OP 平行的直线符号要求，共4条.故选：D8.数列{}n a 满足132a =，211n n n a a a +=-+，*n ∈N ，则122022111a a a +++ 的整数部分是（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】根据已知条件，利用累加法求得m ，结合数列的单调性即可判断m 的取值范围，进而求得其整数部分【详解】由211n n n a a a +=-+可得211(1)n n n n n a a a a a +==---，所以111(1)1111n n n n na a a a a +--=--=，所以111111n n na a a +-=--，则12111111a a a -=--，23211111a a a -=--，34311111a a a -=--，L ，20222023202211111a a a -=--，上述式子累加得：120231220221111111m a a a a a -=++⋯+=--，故2023121m a =--，又因为()2212101n n n n n a a a a a +-+=-=≥-，即1n n a a +≥，所以111n n a a a -≥≥≥> ，根据递推公式得：132a =，1221714a a a =-+=，2322371216a a a =-+=>，所以202332a a ≥>，那么20231(0,1)1a ∈-，则202312(1,2)1m a =-∈-，则m 的整数部分是1，故选：A【点睛】关键点睛：本题考察累加法，以及数列的单调性，能够正确的裂项从而累加是解决问题的关键二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.方程22143x y m m+=--表示的曲线中，可以是（）A.双曲线 B.椭圆C.圆D.抛物线【答案】AB【分析】根据双曲线和椭圆标准方程的特点，即可得到结果.【详解】因为43m m -≠-，若()()430m m --<，即34m <<时，方程22143x ym m+=--表示的曲线双曲线；若4030m m ->⎧⎨->⎩，即3m <时，方程22143x y m m +=--表示的曲线椭圆.故选：AB.10.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且*N n ∀∈，都有11n n S S n n +<+．若17161a a <-，则（）A.160a < B.170a <C.n S 的最小值是16S D.n S 的最大值是17S 【答案】AC【分析】设数列{}n a 公差为d ，由11n n S S n n +<+可知0d >，又由17161a a <-可知17160a a >>，据此可判断各选项正误.【详解】设数列{}n a 公差为d ，11n n S S n n +<+11n n n n n nS nS S na S ++⇒->⇒>()()21111022n n dn n na n d na d -+⇒+>+⇒>，因()102n n +>，则0d >，得数列{}n a 为递增数列·.又1717161610，a a a a <-<>，则17160a a >>.故A 正确，B 错误.又数列{}n a 为递增数列，17160a a >>，则数列{}n a 前16项均为负数，第17项及以后各项均为正数，故n S 的最小值是16S ，n S 的最大值不存在.故C 正确，D 错误.故选：AC11.抛物线C ：24y x =的焦点为F ，P 是其上一动点，点()1,1M ，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，准线与x 轴的交于点D ，下列结论正确的是（）A.PM PF +的最小值是2B.PM PF -的最大值是2C.存在直线l ，使得A ，B 两点关于直线50x y +-=对称D.若直线l 经过点D ，且B 点在线段AD 上，不存在直线l ，使得2AF BF DF +=【答案】ACD【分析】对于A ，利用抛物线的定义，数形结合判断；对于B ，利用三角形两边的差小于第三边判断；；对于C ，设出直线l 的方程，与抛物线方程联立，借助对称思想判断；对于D ，设出直线方程，与抛物线方程联立，结合抛物线的定义判断作答.【详解】抛物线C ：24y x =的焦点()1,0F ，准线=1x -，过点P 作PQ 垂直于准线，垂足为Q ，过点M 作MN 垂直于准线，垂足为N ，交抛物线于点0P ，连接0,MQ P F ，如图，0000||||||||||||PM PF PM PQ MQ MN P M P N P M P F +=+≥≥=+=+，当且仅当P 与0P 重合时取等号，因此()min||2PM PFMN +==，A 正确；因为||||||||1PM PF MF -≤=，即PM PF -的最大值是1，B 不正确；假设存在直线l ，使得A ，B 两点关于直线50x y +-=对称，则设直线:0AB x y m -+=，由204x y m y x-+=⎧⎨=⎩消去x 得：2440y y m -+=，则Δ16160m =->，解得1m <，设()()1122,,A x y B x y ，即有124y y +=，则有弦AB 的中点()2,2m -在直线50x y +-=上，即2250m -+-=，解得11m =-<，符合题意，即存在直线l ，使得A ，B 两点关于直线50x y +-=对称，C 正确；点(1,0)D -，显然直线l 的斜率存在且不为0，设其方程为(1)y k x =+，由2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩消去y 得：2222(24)0k x k x k -++=，2244(2)40k k '∆=-->，解得11k -<<且0k ≠，设,A B 的横坐标分别为,A B x x ，则242A B x x k +=-，241142A B AF BF x x DF k +=+++=>=，所以不存在直线l ，使得2AF BF DF +=，D 正确.故选：ACD12.如图所示：给定正整数n （5n ≥），按照如下规律构成三角形数表：第一行从左到右依次为1，2，3，…，n ，从第二行开始，每项都是它正上方和右上方两数之和，依次类推，直到第n 行只有一项，记第i 行第j 项为,i j a ，下列说法正确的是（）A.当n ＝100时，5,496a =．B.当n ＝100时，最后一行的数为981012⨯．C.当n ＝2022时，,42022i a >，则i 的最小值为8．D.当n ＝2022时，2,5(9)2i i a i -=+【答案】ABD【分析】根据已知可得()12212i i ija j i --=+-，再由42022i a >即可解得.【详解】由题可得三角形数表的每一行都是等差数列，且公差分别为11,2,4,8,,2,i - ，所以()()()()2111122i ij i j i j i j a a a a ---+-=+=+()()()()()2322222122222222222i i i i i j i j i j i j a a a a ------+--⎡⎤⎡⎤=++=++=+⨯⎣⎦⎣⎦…()()12121212212i i i i j a i j i ----=+-=+-，所以()()12242412722022i i i i a i i ---=⨯+-⋅=+⋅>，解得8i >，所以i 的最小值为9.故C 选项错;因为()()1224241272i i i i a i i ---=⨯+-⋅=+⋅()35,457296a =+=.故A 正确；因为()12212i i ij a j i --=+-,令5j =所以2,5(9)2i i a i -=+，故D 正确；因为()12212i i ija j i --=+-,令1,100j i ==，当n ＝100时，最后一行的数为981012⨯．故B 正确；故答案为：ABD .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为()2322l t t t =+，则当3s t =时，该运动员的滑雪瞬时速度为______()m /s ．【答案】272【分析】利用导数的定义可求得该运动员在3s t =时滑雪瞬时速度.【详解】()()()()()222392733233232222l t l t t t t +∆-=+∆++∆-⨯-=∆+∆，所以，该运动员的滑雪瞬时速度为()()()()003327273limlim 2m /s 22t t l t l l t t∆→∆→+∆-⎛⎫'==∆+= ⎪∆⎝⎭.故答案为：272.14.等比数列{}n a 中，1473a a a ++=，36912a a a ++=．则{}n a 的前9项之和为______．【答案】9或21【分析】利用()2369147a a a a a a q ++=++解出公比，即可求解.【详解】()2369147a a a a a a q ++=++ ,即2123q =，2q =±，9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()()()147258369a a a a a a a a a =++++++++()()()2147147147a a a a a a q a a a q =++++++++2333q q =++若2q =，则9361221S =++=，若2q =-，则936129S =-+=，故答案为：9或21.15.三棱锥P －ABC 中，二面角P －AB －C 为120°，PAB 和ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥P －ABC 外接球的半径为______．【分析】作出图形，根据条件可知：球心既过PAB 的外心垂直平面PAB 的垂线上，又在过ABC 的外心垂直平面PCB 的垂线上，然后利用二面角的大小和勾股定理即可求解.【详解】作出三棱锥P －ABC ，如图所示：H 为AB 的中点，12,O O 分别为ABC 和PAB 的外心，过点12,O O 分别作平面ACB 和平面PAB 的垂线，交点为O ，连接,,OH OA OC .根据题意可知：球心既过PAB 的外心垂直平面PAB 的垂线上，又在过ABC 的外心垂直平面ACB 的垂线上，所以O 三棱锥外接球的球心，设外接球半径R ，由题意知：PAB 和ABC 均为边长为2的正三角形，所以PH AB ⊥，CH AB ⊥，所以PHC ∠即为二面角P －AB －C 的平面角，因为二面角P －AB －C 为120°，也即12120O HO ∠=︒，因为PAB 和ABC 均为边长为2的正三角形，所以21333HO PH ==，11333HO CH ==，则12HO HO =，所以21Rt Rt OO H OO H ≅ ，则12211602OHO OHO O HO ∠=∠=∠=︒，在1Rt OHO 中，因为13HO =，160OHO ∠=︒，所以11OO =，又因为122333O C CH ==，所以在1Rt OCO 中，22211OC O O O C =+，即247133R =+=，所以213R =，故答案为：213.16.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，斜率为12的直线与椭圆E 交于P 、Q 两点，P 、Q 在y 轴左侧，且P 点在x 轴上方，点P 关于坐标原点O 对称的点为R ，且45PQR Ð=°，则该椭圆的离心率为______．【答案】306【分析】QA x 轴交PB 于A ，则1tan 2QP k PQA =Ð=，tan QR k RQA =-Ð，设出直线，联立方程，结合韦达定理与两点斜率公式可求出参数的齐次方程，进而可求离心率.【详解】QA x 轴交PB 于A ，如图所示，设直线为2x y m =+，()()()112211,,,,,P x y Q x y R x y --，则1210,0,0x x y <<>，联立得222221x y m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()2222222440a b y mb y m a b +++-=.则2122244mb y y a b -+=+，()21212222224ma x x y y m a b +=++=+.1tan 2QPk PQA =Ð=，12121212tan QRy y y y k RQA x x x x --+===-Ð--+，由1tan tan 12tan 111tan tan 312QRQR QR k PQA RQA PQR k PQA RQA k -Ð+ÐÐ===Þ=--凶+，∴2122124123QR y y mb k x x ma +-===-+，∴226a b =.∴该椭圆的离心率22222306c a b e a a -===.故答案为：306四、解答题：共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.（1）求长轴长为12，离心率为23，焦点在x 轴上的椭圆标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为12y x =±，且与椭圆221105x y +=有公共焦点，求此双曲线的方程．【答案】（1）2213620x y +=；（2）2214x y -=.【分析】根据椭圆的几何性质，双曲线的几何性质求解即可.【详解】（1）设椭圆方程为：22221x y a b +=且a >b >0，212,6a a == ，23c a=，4c ∴=，222361620b a c ∴=-=-=，故椭圆方程为：2213620x y +=；（2）221105x y +=的焦点为：(5,0),(5,0)-，根据题意得到：12b a =，则2222514b a a a -==，解得：24a =，故222541bc a =-=-=，故双曲线的方程为：2214x y -=.18.已知数列{}n a 的前n 项和为227n S n n =-+，()*Nn n b a n =∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 前n 项的和n T ．【答案】（1）49,N*n a n n =-+∈（2）222712,3(N*)27,2n n n n T n n n n ⎧-+≥=∈⎨-+≤⎩【分析】(1)根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解即可；(2)由于1,2n =时，0n a >，当3n ≥时，0n a <，所以分2n ≤和3n ≥两种情况讨论求解即可.【小问1详解】因为数列{}n a 的前n 项和为227n S n n =-+，所以当1n =时，11275a S ==-+=，当2n ≥时，22127[2(1)7(1)]49n n n a S S n n n n n -=-=-+---+-=-+，显然，当1n =时，15a =满足49n a n =-+，所以49,N*n a n n =-+∈.【小问2详解】由（1）知49,N*n n b a n n ==-+∈，因为1,2n =时，0n a >，当3n ≥时，0n a <，所以当2n ≤时，227n n T S n n ==-+，当3n ≥时，123n n S a a a a =++++ ①，123n n T a a a a =+--- ②，所以①+②得2212n n T S S +==，因为2(549)272n n n S n n -+==-+，所以2122712n n T S n n =-=-+，所以222712,3(N*)27,2n n n n T n n n n ⎧-+≥=∈⎨-+≤⎩19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC ＝BC ，四边形11ABB A 是菱形，1120A AB ∠=︒，点D 在棱1CC 上，且1CD CC λ=．（1）若1AD B C ⊥，证明：平面1AB C ⊥平面ABD ．（2）若1AB B C ==，是否存在实数λ，使得平面1AB C 与平面ABD 所成得锐二面角的余弦值是17？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，17．【分析】(1)取AB 的中点O ，连接1OB ，OC ．利用三角形高线与对应底边垂直得出AB ⊥平面1OB C ．然后再证明1B C ⊥平面ABD ，最后利用面面垂直的判定即可证明；(2)建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，分别求出平面平面1AB C 和平面ABD 的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】证明：取AB 的中点O ，连接1OB ，OC ．因为四边形11ABB A 是菱形，且1120A AB ∠=︒，所以160ABB ∠=︒，则11AB BB =．因为O 为AB 的中点，所以1AB OB ⊥．因为AC BC =，且O 为AB 的中点，所以AB ⊥OC ．因为1OB ，OC ⊂平面1OB C ，且1OB OC O = ，所以AB ⊥平面1OB C ．因为1B C ⊂平面1OB C ，所以1AB B C ⊥．因为1AD B C ⊥，AB ，AD ⊂平面ABD ．且AB AD A ⋂=，所以1B C ⊥平面ABD ．因为1B C ⊂平面1AB C ，所以平面1AB C ⊥平面ABD ．【小问2详解】因为AB ==，所以222AB AC BC =+，所以AC ⊥BC ．因为O 是AB 的中点，所以12OC AB =．因为四边形11ABB A 是菱形，且∠160ABB =︒，所以1ABB 是等边三角形．因为O 是AB 的中点，所以132OB AB =．因为222222111OB OA AB OB OC B C +=+==，所以1AB B C =，则OB ，OC ，1OB 两两垂直，故以O 为原点，OB，OC ，1OB的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设2AB =，则()1,0,0A -，()1,0,0B ，()0,1,0C ，(1A -，(1B ，故()1,1,0AC = ，()2,0,0AB =，(1AB = ，()1,1,0BC =-uu u r，1(AA =- .因为()11CD CC AA λλλ===-，所以()D λ-，所以()1AD λ=-．设平面1AB C 的法向量为()111,,x n y z =，则11111·0·0n AC x y n AB x ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，令1x =，得)1n =- ．设平面ABD 的法向量为()222,,m x y z =，则2222·20·(1)0m AB x m AD x y z λ⎧==⎪⎨=-++=⎪⎩ ，令21z =-，得(),1m =- ．设平面1AB C 与平面ABD 所成的角为θ，则1cos cos ,7n m n m n m θ⋅==== ，解得12λ=或15λ=，故存在12λ=或15λ=，使得平面1AB C 与平面ABD 所成角的余弦值是17．20.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为P ，点()0,Q b ，21PF =，160F PQ ∠=︒．（1）求双曲线C 的方程；（2）直线l 经过点2F ，且与双曲线C 相交于A ，B 两点，若1F AB的面积为，求直线l 的方程．【答案】（1）2213y x -=（2）20x y +-=或20x y --=.【分析】（1）由题意可得：21PF c a =-=，1tan tan 60bF PQ a=∠=︒=，222c a b =+，解得c ，a ，b ，即可得出双曲线C 的方程．（2）2(2,0)F ，设直线l 的方程为2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线l 的方程与双曲线的方程化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系可得12||y y -=，利用1F AB 的面积12122c y y =⋅-=，解得m ，即可得出直线l 的方程．【小问1详解】解：由题意可得：21PF c a =-=，1tan tan 60bF PQ a=∠=︒=，222c a b =+，解得1a =，b =，2c =，所以双曲线C 的方程为2213y x -=.【小问2详解】解：由题意可知，直线l 的斜率不为0，设AB ：2x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22233x my x y =+⎧⎨-=⎩，消x ，得()22311290m y my -++=，由()222310Δ1443610m m m ⎧-≠⎪⎨=-->⎪⎩，解得213m ≠，则1221221231931m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩.所以()()()()2222121212222236112364313131m m y y y y y y m m m +⎛⎫-=+-=-- ⎪--⎝⎭-，所以1F AB 的面积121222114223131m m S F F y y m m =⋅-=⨯⨯=--，由231m =-，整理得429810m m --=，解得21m =，1m =±，所以直线l 的方程为20x y +-=或20x y --=.21.已知抛物线C ：22y px =，焦点为F ，点()2,0M -，()2,2N ，过点M 作抛物线的切线MP ，切点为P ，3PF=，又过M 作直线交抛物线于不同的两点A ，B ，直线AN 交抛物线于另一点D ．（1）求抛物线方程；（2）求证BD 过定点．【答案】（1）24y x =（2）证明见解析【分析】（1）设出()00,P x y ，直线:2MP x my =-，联立抛物线方程，利用根的判别式等于0列出方程，求出24m p =，再利用焦半径得到032p x =-，从而表达出5232,p p P m ⎛⎫- ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，代入2002y px =，求出答案；（2）设()()()112233,,,,,A x y B x y D x y ，结合抛物线方程求出124AB k y y =+，134AD k y y =+，324BD k y y =+，写出直线()1212:40AB x y y y y y -++=，()1313:40AD x y y y y y -++=，根据AB 过()20M -，，AD 过()22N ，，代入后联立得到()2323840y y y y -++=，由直线()2323:40BD x y y y y y -++=联立得到()()()234240x y y y --+-=，求出所过定点.【小问1详解】设()00,P x y ，直线:2MP x my =-，联立222x my y px=-⎧⎨=⎩得：2240y pmy p -+=，则224160p m p ∆=-=，所以24m p=，又因为032pPF x =+=，所以003252p x p y m ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，故5232,p p P m ⎛⎫- ⎪-⎪ ⎪⎝⎭，代入2002y px =得：2440p p -+=，所以2p =，所以抛物线方程为：24y x =；【小问2详解】设()()()112233,,,,,A x y B x y D x y ，则121212122212444AB y y y y k y x y x y y --===-+-，同理134ADk y y =+，324BD k y y =+，故直线()11124:AB y y x x y y -=-+即()121240x y y y y y -++=，同理直线()1313:40AD x y y y y y -++=，直线()2323:40BD x y y y y y -++=，因为AB 过()20M -，，所以1280y y -+=①，AD 过()22N ，，所以()1313820y y y y -++=②，由①得：128y y =，代入②得：()2323840y y y y -++=③，又因为直线()2323:40BD x y y y y y -++=④，则由③得：()232348y y y y =+-，代入④得：()()23234480x y y y y y -+++-=，所以()()()234240x y y y --+-=，所以直线BD 过点()24，.【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ），（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至找到()00,x y ，①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，变形为“()k ⋅”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常数.22.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12(2)n n S a n -=-≥，数列{}n b 的通项公式为n b n =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求1211n n n n T a b a b a b -=+++ ；（3）设221251916n n n n n n n c a b b b +++++=，求数列{}n c 的前n 项的和n H ．【答案】（1）*2N nn a n =∈，（2）2224n n T n +=--（3）()()29598212n n n n ++-++【分析】(1)n a 与n S 关系,作差计算即可.(2)应用错位相减法求解即可;(3)分组裂项相消求和应用求解.【小问1详解】由题，当当2n ≥时，12n n S a +=-，所以11n n n n S S a a -+-=-，所以12n n a a +=，又因为2124a S =+=，所以2n n a =，显然，当1n =时，12a =满足2n n a =，所以*2Nnn a n =∈，，【小问2详解】()22212nn T n n =+-++ ①所以2122222nn n T n +=++⋅+ ②①-②得：()()231212222n n n T n +-=+-+++- 11422212n n n ++-=---2242n n +=+-所以2224n n T n +=--【小问3详解】因为()()()112111122212122n n n n n c n n n n +++⎡⎤=-+-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦所以12n nH c c c =+++ ()21111122122221n n n n +⎡⎤=-++-⎢⎥⋅⋅+⎢⎥⎣⎦ +()()2312111122232122n n n n ++⎡⎤-++-⎢⎥⋅⋅++⎢⎥⎣⎦ ()()122111122212222n n n n ++⎡⎤=-+-⎢⎥+⋅+⎢⎥⎣⎦()()1292182122n n n n ++=--++()()29598212n n n n ++=-++。

【全国市级联考】湖北省武汉市2020-2021学年高二上学期期末考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若50(),()20f x x f x '==，则x 0的值为（ ）A B ． C ．-2 D ．2± 2．下列求导运算正确的是（ ）A ．（cosx ）'＝sinxB ．（3x ）'＝3x log 3eC ．1(lg )'ln10x x = D ．（x 2cos x ）′＝﹣2x sin x 3．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，若126x x +=，则||AB =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84．已知焦点在x 轴上的椭圆22x y 1m 6+=的离心率为12，则m=（ ） A ．8 B ．9C ．-3D ．16 5．设函数2()f x x x =+，则0(12)(1)limx f x f x ∆→-∆-∆ =（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3 D ．66．若pVq 是假命题，则（ ）A ．p ，q 至少有一个是假命题B ．p ，q 均为假命题C ．p ，q 中恰有一个是假命题D ．p ，q 至少有一个是真命题7．双曲线的渐近线方程是（ ）A ．12y x =±B ． 2y x =±C ． y =D ． y x = 8．已知命题p ：“如果3x <，那么5x <”，命题q ：“如果5x ≥，那么3x ≥”，则命题q 是命题p 的（ ）A ．否命题B ．逆命题C ．逆否命题D ．否定形式 9．已知抛物线方程为25y x =则焦点到准线的距离为（ ）A ．54B ．52C ．5D ．1010．设集合M={x|0＜x≤4}，N={x|2≤x≤3}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．抛物线22y x =上有一点P ，它到A （2,10）距离与它到焦点距离之和最小时，点P 坐标是（ ）A ．（，10）B ．（，20）C ．（2，8）D ．（1，2）12．已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点， A 为右顶点， P 是椭圆上的一点， PF x ⊥轴，若34PF AF =，则该椭圆的离心率是（ ）A ．12B ．13C ．14 D二、填空题13．命题“200020x R x x ∃∈+>，”的否定是______________________14．已知F 1，F 2是椭圆22x y 143+=的两个焦点，过F 1的直线l 交椭圆于M,N 两点，则ΔMF 2N 的周长为___________15．曲线ln y x =在点（e ，f （e ））处的切线方程为______________三、解答题16．已知命题p ：任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题p 与q 都是真命题，求实数a 的取值范围．17．已知双曲线方程为22169144y x -=.（1）求该双曲线的实轴长、虚轴长、离心率；（2）若抛物线C 的顶点是该双曲线的中心，而焦点是其下顶点，求抛物线C 的方程. 18．已知函数()()32391f x x x x x R =--+∈． （1）求函数()f x 的单调区间．（2）若()210f x a -+≥对[]2,4x ∀∈-恒成立，求实数a 的取值范围.19．已知椭圆2222x y C 1a b +=：()0,0a b >>4． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点P （2,1）作弦且弦被P 平分，则此弦所在的直线方程.20．已知直线l 的参数方程为315425x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭. (1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求AB .21．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知曲线224:13sin C ρθ=+，[0,]θπ∈，直线5:x l y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩(t 是参数) （1）求出曲线C 的参数方程，及直线l 的普通方程；（2）P 为曲线C 上任意一点，Q 为直线l 上任意一点，求||PQ 的取值范围． 22．已知函数()ln a f x x x=-. (1)当0a >时，判断()f x 在定义域上的单调性；(2)若()f x 在[]1,e 上的最小值为32，求a 的值．参考答案1．B【解析】()()44000x 5,?520,?f x f x x x ='==='故选B2．C【分析】利用基本初等函数的求导公式和运算法则进行求解即可.【详解】对于选项A ：因为（cos x ）'＝﹣sin x ，故选项A 不正确；对于选项B ：因为（3x ）'＝3x ln 3，故选项B 不正确；对于选项C ：因为（lgx ）′＝1ln10x ，故选项C 正确； 对于选项D ：因为（x 2cos x ）′＝2x cos x ﹣x 2sin x ，故选项D 不正确.故选：C【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式和运算法则；考查运算求解能力；熟记基本初等函数的导数公式和运算法则；属于基础题.3．D【解析】2p=4，p=2，AB =x 1+x 2+p=8故选D点睛：若00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02p PF x =+；若过焦点的弦AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．4．A【详解】焦点在x 轴上的椭圆22x y 1m 6+=,可得a c ==椭圆的离心率为12,12= ，解得m=8 故选A5．A【解析】根据导数的定义：()()()()()020121121lim 2lim 2f'12x x f x f f x f x x∆→-∆→-∆--∆-=-=-∆-∆ ，因为()f 21x x '=+，所以()'12f 6-=-，即()()0121lim x f x f x∆→-∆-∆ =-6 故选A6．B 【解析】若pVq 是假命题，则 p ，q 均为假命题故选：B7．D【解析】由双曲线方程可知焦点在y 轴上，2,a b ==，所以渐近线方程为2a y x x x b =±==± 故选D8．C【解析】两个命题不仅条件和结论对调，还都取否定，因此命题α是命题β的逆否命题. 故选C9．B【解析】 由题可知抛物线的焦点为（54，0），准线为x=-54 ，所以焦点到准线的距离为52故选：B10．B【解析】设集合M={x|0＜x≤4}，N={x|2≤x≤3}， M N ⊇，所以若“a M ∈”推不出“a N ∈”；若“a N ∈”，则“a M ∈”，所以“a M ∈”是“a N ∈”的必要而不充分条件，故选：B点睛：注意区别：“命题p 是命题q 的充分不必要条件”与“命题p 的充分不必要条件是命题q ”11．C【解析】 由题意知，抛物线的焦点为1F 02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，准线l 为1y 2=-，且点A 在抛物线内部，过点A 作准线l 的垂线，垂足为A'，根据抛物线的定义，可知，垂线A A'与抛物线的交点即为所求的点P ，且易求得，点P 的坐标为（2，8）故选：C12．C【分析】 由题意可得234b a =（a +c ），再根据b 2＝a 2﹣c 2，即可得到4c 2+3ac ﹣a 2＝0，两边同除以a 2得：4e 2+3e ﹣1＝0，解得即可.【详解】根据椭圆几何性质可知|PF |2b a=，|AF |＝a +c ， 所以234b a =（a +c ）， 即4b 2＝3a 2﹣3ac ，因为b 2＝a 2﹣c 2，所以有4a 2﹣4c 2＝3a 2﹣3ac ，整理可得4c 2+3ac ﹣a 2＝0，两边同除以a 2得：4e 2+3e ﹣1＝0，所以（4e ﹣1）（e +1）＝0，由于0＜e ＜1，所以e 14=． 故选C ．【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．13．220x R x x ∀∈+≤，【解析】根据特称命题的否定为全称命题所以命题“200020x R x x ∃∈+>，”的否定是“220x R x x ∀∈+≤，”故答案为220x R x x ∀∈+≤：，点睛：本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题．14．8【解析】根据椭圆的定义， 2ΔMF N 的周长=4a=8故答案为：815．x-ey=0【解析】1y x '=，则切线斜率1()k f e e'==，切线方程为x-ey=0 故答案为：x-ey=0点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．16．{a |a ≤－2，或a ＝1}.【分析】分别就命题p，命题q为真命题时求出实数a的两个解集，若命题p与q都是真命题，即求出实数a的两个解集的交集.【详解】由命题p为真，可得不等式x2－a≥0在x∈[1,2]上恒成立．所以a≤(x2)min，x∈[1,2]．所以a≤1.若命题q为真，则方程x2＋2ax＋2－a＝0有解．所以判别式Δ＝4a2－4(2－a)≥0.所以a≥1或a≤－2.又因为p，q都为真命题，所以112aa a≤⎧⎨≥≤-⎩或所以a≤－2或a＝1.所以实数a的取值范围是{a|a≤－2，或a＝1}．【点睛】此题考查命题间的关系，通过两个命题的真假求参数的范围，常用解法分别解出两个命题的取值范围，再根据两个命题的关系求解.17．（1）实轴长为2a=6、虚轴长2b=8、离心率5e3=；（2）y2=-12x.【解析】试题分析：（1）将双曲线方程化为标准方程，求出a b c，，，即可得到所求实轴长、虚轴长、离心率；（2）求出双曲线的中心坐标和左顶点坐标，设抛物线C的方程为y2=-2px（p>0），由焦点坐标，可得p的方程，解方程即可得到所求．试题解析：（1）双曲线方程为16x2-9y2=144，即为-=1，可得a=3，b=4，c==5，则双曲线的实轴长为2a=6、虚轴长2b=8、离心率e==；（2）抛物线C的顶点是该双曲线的中心（0，0），而焦点是其左顶点（-3，0），设抛物线C的方程为y2=-2px（p＞0），由-=-3，解得p=6．则抛物线C的方程为y2=-12x．18．（1）单调增区间(,1),(3,)-∞-+∞ 单调减区间()1,3- （2）252a ≤-【解析】 试题分析：（1）对函数()f x 求导，令()0f x '>，解不等式，即得到递增区间，令0f x ，解不等式，即得递减区间；（2）若()210f x a -+≥对[]2,4x ∀∈-恒成立，即()21f x a ≥-对[]2,4x ∀∈-恒成立，所以问题转化为求()min 21f x a ≥-成立即可，即求函数()f x 在区间[]2,4-上的最小值，根据第（1）问单调性，易求出函数在[]2,4-上的最小值，于是可以求出a 的取值范围。

湖北省高二上册期末数学文科试题与答案一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.用秦九韶算法求多项式当时的值，有如下说法：①要用到6次乘法；②要用到6次加法和15次乘法；③v3＝12；④v0＝11．其中说法正确的是A. ①③B. ①④C. ②④D. ①③④【答案】A根据秦九韶算法求多项式的规则变化其形式，把等到价转化为，就能求出结果．解：需做加法与乘法的次数都是6次，，，，，的值为12；其中正确的是①④故选：A．本题考查算法的多样性，正确理解秦九韶算法求多项式的原理是解题的关键,属于基础题．2.把[0，1]内的均匀随机数x分别转化为[0，2]和内的均匀随机数y1，y2，需实施的变换分别为( )A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C先看区间长度之间的关系：故可设或，再用区间中点之间的对应关系得到，解出，问题得以解决．解：将[0,1]内的随机数x转化为[0,2]内的均匀随机数，区间长度变为原来的2倍，因此设=2x+(是常数)，再用两个区间中点的对应值，得当时，=1，所以，可得=0，因此x与的关系为：=2x；将[0,1]内的随机数x转化为[-2,1]内的均匀随机数，区间长度变为原来的2倍，因此设=3x+(是常数)，再用两个区间中点的对应值，得当时，=，所以，可得，因此x与的关系为：=3x-2；故选C.本题考查均匀随机数的含义与应用，属于基础题．解决本题解题的关键是理解均匀随机数的定义，以及两个均匀随机数之间的线性关系．3.抛物线的准线方程是，则的值为（）A. B. C. 8 D. -8【答案】B方程表示的是抛物线,，，抛物线的准线方程是，解得，故选A.4.执行如图所示的程序框图，若输出n的值为9，则判断框中可填入( )A. B. C. D.【答案】D执行程序框图，根据输出，可计算的值，由此得出判断框中应填入的条件．解：执行程序框图，可得该程序运行后是计算，满足条件后，输出，由此得出判断框中的横线上可以填入？．故选：D．本题主要考查了程序框图的应用问题，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题.5.将二进制数110 101(2)转化为十进制数为( )A. 106B. 53C. 55D. 108【答案】B由题意可得110101(2)=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20=53.选B。

2020-2021学年湖北省高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.若直线l的斜率为−√3，则直线l的倾斜角为()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.若等差数列{a n}满足a1+a3=4，a5+a7=−4，则等差数列{a n}的公差d=()A. 2B. 1C. 0D. −13.已知a=20.3，b=0.32，c=log0.32，则()A. b<c<aB. b<a<cC. c<a<bD. c<b<a4.将全班50名同学排成一列，则甲在乙的前面，且丙在乙的后面的概率是()A. 12B. 16C. 13D. 3505.已知数列{a n}的前n项和为S n，若3S n=2a n−1，则a1a3a5=()A. 8B. −8C. 64D. −646.1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师，把数列0，3，6，12，24，48，96，……经过一定的规律变化，得到新数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，……，科学家发现，新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离，并据此发现了“天王星”、“谷神星”等行星，这个新数列就是著名的“提丢斯−波得定则”.根据规律，新数列的第8项为()A. 14.8B. 19.2C. 19.6D. 20.47.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点是F，A，B，D是抛物线C上的点.若△ABD的重心是点(2,3)，且|AF|+|BF|+|DF|=15，则p=()A. 4B. 6C. 8D. 128.已知圆M：x2+y2+2x=0，点P是曲线C：y=1x+1(x>−1)上的动点，过点P 作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，当四边形PAMB的面积最小时，线段AB 的长为()A. √2B. √3C. 12D. 1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知直线l：x−ay+1=0(a∈R)，则下列说法正确的是()A. 直线l过定点(−1,0)B. 直线l一定不与坐标轴垂直C. 直线l与直线l′：−x+ay+m=0(m∈R)一定平行D. 直线l与直线l′：ax+y+m=0(m∈R)一定垂直10.已知正数x，y满足x+y=2，则下列结论正确的是()A. xy的最大值是1B. 1x +1y的最小值是2C. x2+y2的最小值是4D. 1x +4y的最小值是9211.已知函数f(x)=|√3sin(2x−π6)|，则下列结论正确的是()A. 函数f(x)的最小正周期为πB. 函数f(x)的最大值为√3C. 函数f(x)的图象关于点(π12,0)对称D. 函数f(x)的图象关于直线x=7π12对称12.设数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，S1=1，S n+1=n+2n S n，且b n=a n+12a n a n+2，则下列结论正确的是()A. a2020=2020B. S n=n(n+1)2C. b n=1−1n(n+2)D. 13≤T n−n<34三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,−1),b⃗ =(−2,t)，若a⃗//b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =______ ．14.若方程x2+y2+2ax−2√5y+12a−15=0表示圆，则实数a的取值范围是______ ．15.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e，直线l：y=x与双曲线C交于M，N两点，若|MN|=√2b，则e的值是______ ．16.如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一.如果把sin36°按35计算，则棱长为6的正二十面体的外接球半径等于______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.①2bsinA=atanB；②a2+c2+bc−6b=2accosB；③sin2B−sin2C=sinB+sinC4，在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并加以解答．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=4，A=π6，且______，求△ABC的面积．18.已知正项数列{a n}的前n项和为S n.若a2=4，S n+1=S n+√a n+1+a n+√a n．(1)求证：数列{√a n}是等差数列；(2)设b n=a a，求数列{b n}的前n项和T n．19.已知α∈(0,π)，a⃗=(−1,cos(π2−α)),b⃗ =(sin(3π2+α),1)，且a⃗⋅b⃗ =15．(1)求sinα−cosα的值；(2)若β∈(π,2π)，tan(α−β)=7，求β的值．20.已知直线l的斜率为−2，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积等于1.圆C的圆心在直线l上，且被x轴截得的弦长为4．(1)求直线l的方程；(2)若直线l′：x−2y−1=0与圆C相切，求圆C的方程．21.如图，在四棱锥S−ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，∠ASD=∠ADC=∠BCD=90°，AD．SA=SD且BC=DC=12(1)求证：SC⊥BD；(2)若点M是线段SD的中点，求二面角M−AB−D的余弦值．22.设曲线C：mx2+ny2=1(m>0,n>0)过M(2,3),N(2√2,√6)两点，直线l：y=k(x−2)与曲线C交于P，Q两点，与直线x=8交于点R．(1)求曲线C的方程；(2)记直线MP，MQ，MR的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k1+k2=λk3，其中λ为定值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：设直线l的倾斜角为α(0≤α<π)，∵l的斜率为−√3，∴tanα=−√3，又∵0≤α<π，∴α=120°；故选：C．由直线l的倾斜角α与斜率k的关系：当α≠90°时，斜率k=tanα，当α=90°时，斜率k不存在，求出α的范围．本题考查了利用直线的斜率求倾斜角的问题，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵等差数列{a n}满足a1+a3=4，a5+a7=−4，∴(a5+a7)−(a1+a3)=(a1+a3+8d)−(a1+a3)=8d=−8，解得d=−1．故选：D．利用等差数列通项公式直接求解．本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵a=20.3>20=1，0<b=0.32<0.30=1，c=log0.32<log0.31=0，∴c<b<a．故选：D．4.【答案】B【解析】解：可以不考虑其他人，则甲、乙、丙三人的不同排法有：(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，丙，甲)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共6种，其中甲在乙的前面，且丙在乙的后面的排法只有1种，．故甲在乙的前面，且丙在乙的后面的概率是p=16故选：B．可以不考虑其他人，利用列举法求出甲、乙、丙三人的不同排法有6种，其中甲在乙的前面，且丙在乙的后面的排法只有1种，由此能求出甲在乙的前面，且丙在乙的后面的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】D【解析】解：当n=1时，3S1=3a1=2a1−1，解得a1=−1，当n≥2时，3S n=2a n−1，3S n−1=2a n−1−1，=−2，两式相减得3a n=2a n−2a n−1，即a na n−1∴a n=−(−2)n−1，a3=−4，a5=−16，∴a1a3a5=a33=−64，故选：D．利用数列的递推关系式求解首项，然后求解通项公式，即可求解a1a3a5．本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力，是中档题．6.【答案】C【解析】解：观察两组数列0，3，6，12，24，48，96，……，0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，……，发现规律是将原数列的每一项加4，再除以10，故第8项为(96×2+4)÷10=19.6．故选：C．利用两组数列，观察它们之间的关系，寻找到规律为将原数列的每一项加4，再除以10，求解即可．本题考查了推理的运用，解题的关键是寻找到两个数列之间的关系，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：设A，B，D的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，=3，由△ABD的重心是点(2,3)得y1+y2+y33p=15，解得p=4，由抛物线的定义可知|AF|+|BF|+|DF|=y1+y2+y3+32故选：A．设A，B，D的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，利用重心坐标公式，结合抛物线的性质，求解p即可．本题考查抛物线的简单性质，三角形的重心坐标公式的应用，是基础题．8.【答案】A【解析】解：由x2+y2+2x=0，得(x+1)2+y2=1，则M(−1,0)，半径为1，)(a>−1)，则|PM|2=(a+1)2+设P(a,1a+11≥2，(a+1)2当且仅当(a+1)2=1，即a=0时上式取等号，∴S=|PA|⋅|AM|=|PA|=√|PM|2−|AM|2=√|PM|2−1≥1，四边形PAMB当且仅当|PM|=√2时取等号，此时P为(0,1)，四边形PAMB是正方形，故|AB|=√2，故选：A．由题意画出图形，求出曲线C上的点到点M的最小值，写出四边形PAMB的面积，可知当四边形PAMB为正方形时，面积最小，由此求得线段AB的长．本题考查圆与圆锥曲线的综合，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】AD【解析】解：对于A：由于直线l：x−ay+1=0(a∈R)，−1−a×0+1=0，故A 正确；对于B：当a=0时，直线l与x轴垂直，故B错误；对于C：当m=−1时，两直线重合，故C错误；对于D：因为1×a+1×(−a)=0，故直线l与直线l′一定垂直，故D正确．故选：AD．直接利用直线间的位置关系和直线平行和垂直的充要条件的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：直线与直线的位置关系，直线平行的充要条件和垂直的充要条件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】解：由x+y=2，得2≥2√xy，所以xy≤1(当且仅当x=y=1时取等号)，故A正确；1 x +1y=x+yxy=2xy≥2(当且仅当x=y=1时取等号)故B正确；∵2(x2+y2)≥(x+y)2=4，∴x2+y2≥2(当且仅当x=y=1时取等号)，故C错误；1 x +4y=12(1x+4y)(x+y)=12(5+yx+4xy)≥92(当且仅当x=23,y=43时取等号)，故D正确．故选：ABD．由基本不等式及其结论分别检验各选项即可判断．本题主要考查了基本不等式及相关结论的应用，解题的关键是公式的灵活利用，属于基础题．11.【答案】BD【解析】解：由题意，将g(x)=√3sin(2x −π6)在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数f(x)的图象，对于A ：函数f(x)的最小正周期为：g(x)=√3sin(2x −π6)的周期的一半， 即函数g(x)的周期T =2π2=π的一半为π2，故A 错误；对于B ：根据函数的性质，函数f(x)的最大值为√3，故B 正确；对于C ：由于函数进行了翻折，函数f(x)的图象不是中心对称图形，故C 错误， 对于D ：由于f(7π12)=0，得D 正确． 故选：BD ．直接利用三角函数的性质和函数的关系式的应用判断A 、B 、C 、D 的结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.【答案】ABD【解析】解：由题意得，S n+1S n=n+2n，∴当n ≥2时，S n =S nSn−1⋅S n−1S n−2…S 2S 1⋅S 1=n+1n−1⋅n n−2 (31)⋅1=n⋅(n+1)2，当且当n =1时也成立， ∴S n =n(n+1)2，易得a n =n ， ∴a 2020=2020， 故A ，B 正确；∴b n =(n+1)2n(n+2)=1+1n(n+2)=1+12(1n −1n+2)，∴T n =n +12(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1+1n −1n+2)=n +12(1+12−1n+1−1n+2)=n +34−12(1n+1+1n+2)<n +34， 又T n −n 随着n 的增加而增加，∴T n −n ≥T 1−1=13，∴13≤T n −n <34，C 错误，D 正确，故选：ABD ．直接利用叠乘法的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，叠乘法的应用，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．13.【答案】−4【解析】解：由向量a ⃗ =(1,−1),b ⃗ =(−2,t)，a ⃗ //b ⃗ 得t =2， 故a ⃗ ⋅b ⃗ =1×(−2)+(−1)×2=−4． 故答案为：−4．通过向量平行，求解t ，然后求解向量的数量积即可．本题考查平面向量的数量积的应用，平行的共线添加的应用，是基础题．14.【答案】(−∞,2)∪(10,+∞)【解析】解：由题意得，a 2−12a +20>0， 解得a <2或a >10．则实数a 的取值范围是：(−∞,2)∪(10,+∞)． 故答案是：(−∞,2)∪(10,+∞)．利用圆的一般式方程，D 2+E 2−4F >0即可求出a 的范围． 本题考查圆的一般式方程的应用，不等式的解法，考查计算能力．15.【答案】√6【解析】解：不妨设点M(x,y)在第一象限，联立{x 2a 2−y 2b 2=1y =x ，得x 2=y 2=a 2b 2b −a ，又|MN|=√2b ，∴x2+y2=b22，则2a2b2b2−a2=b22，整理得b2=5a2，所以e=√1+b2a2=√6．故答案为：√6．联立直线与双曲线方程，求解|MN|，然后推出椭圆的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．16.【答案】18√1111【解析】解：由图，正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设其半径为R，正五边形的外接圆半径为r，则3r =sin360=35，得r=5，所以正五棱锥的顶点到底面的距离是√36−25=√11，所以R2=25+(R−√11)2，解得R=18√1111．故答案为：18√1111．根据条件得到3r =sin360=35，得r=5，进而求得球半径即可．本题考查球的半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17.【答案】解：选择①：∵2bsinA=atanB，∴2bsinA=asinBcosB，由正弦定理可得2sinBsinA=sinAsinBcosB，∵sinA≠0，sinB≠0，∴cosB=12，∵B∈(0,π)，∴B=π3,C=π2，∵asinA =bsinB，可得412=√32，解得b=4√3，∴S=12absinC=12×4×4√3×1=8√3．选择②：∵a2+c2+bc−6b=2accosB，∴a2+c2+bc−6b=2ac×a2+c2−b22ac，∴b+c=6，又∵a2=b2+c2−2bccosA，∴16=(b+c)2−2bc−√3bc，∴bc=20(2−√3)，∴S=12bcsinA=12×20(2−√3)×12=5(2−√3)．选择③：∵sin2B−sin2C=sinB+sinC4，∴sinB−sinC=14=12sinA，∴b−c=12a=2，又∵a2=b2+c2−2bccosA，∴16=(b−c)2+2bc−√3bc，∴bc=12(2+√3)，∴S=12bcsinA=12×12(2+√3)×12=3(2+√3)．【解析】选择①：利用同角三角函数基本关系式，正弦定理化简已知等式，结合sinA≠0，sinB≠0，可求cos B的值，结合B∈(0,π)，可求B，C的值，利用正弦定理可求b的值，根据三角形的面积公式即可求解．选择②：由已知利用余弦定理可求bc的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．选择③：利用正弦定理化简已知等式可得b−c=12a=2，进而根据余弦定理可求bc的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)由题意得，S n+1−S n=√a n+1+a n+√a n，则a n+1−a n=√a n+1+√a n，∴√a n+1−√a n=1，由√a2=2可得√a1=1，∴数列{√a n}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)可得√a n=n，∴a n=n2，依题意，b n =a a =2n(n+1)=2(1n −1n+1)， ∴T n =2(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=2(1−1n+1)=2nn+1．【解析】(1)利用数列的递推关系式推出√a n+1−√a n =1，然后判断数列{√a n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)化简b n =a a =2(1n −1n+1)，利用裂项消项法，求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，数列求和的方法，考查综合化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意得，a ⃗ =(−1,sinα),b ⃗ =(−cosα,1)，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =sinα+cosα=15，∴1+2sinαcosα=125， ∴2sinαcosα=−2425<0，∴(sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=4925， 又∵α∈(0,π)， ∴sinα>0，cosα<0， ∴sinα−cosα=75；(2)联立{sinα+cosα=15sinα−cosα=75，解得{sinα=45cosα=−35，∴tanα=sinαcosα=−43， ∴tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=7，即−43−tanβ1−43tanβ=7，解得tanβ=1， 又∵β∈(π,2π)， ∴β=5π4．【解析】(1)由已知条件求得a ⃗ 、b ⃗ ，然后代入a⃗ ⋅b ⃗ =15求得2sinαcosα=−2425<0，再利用完全平方公式求得(sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=4925，结合角的取值范围对所求的结果进行取舍即可；(2)联立方程组并解答求得{sinα=45cosα=−35，然后利用两角和与差的正切三角函数解答．本题考查两角和与差的三角函数，考查计算能力．20.【答案】解：(1)设所求的直线l 的方程为y =−2x +b(b >0)，它与两坐标轴的正半轴的交点依次为(0,b),(b2,0)，因为直线l 与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积等于1， 所以12b ×b2=1，解得b =2，所以直线l 的方程是y =−2x +2，即2x +y −2=0． (2)由题意，可设圆C 的圆心为C(a,2−2a)，半径为r ， 所以圆心C 到直线l′：x −2y −1=0的距离，d =5=√5|a −1|=r ，又圆C 被x 轴截得的弦长等于4， 所以r 2−(2−2a)2=4， 所以5(a −1)2=4+(2−2a)2， 解得：a =−1或a =3，当a =−1时，圆心C(−1,4)，r =2√5； 当a =3时，圆心C(3,−4),r =2√5；所以圆C 的方程是(x +1)2+(y −4)2=20或(x −3)2+(y +4)2=20．【解析】(1)设所求的直线l 的方程为y =−2x +b(b >0)，由坐标与图形的性质和三角形的面积公式求得b 的值即可；(2)利用圆的圆心到直线的距离与半径相等，列出方程求解即可． 本题考查圆的切线方程，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．21.【答案】(1)证明：过点S 作SO ⊥AD ，垂足为O ，连接OB ，OC ．∵平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD =AD ，∴SO ⊥平面ABCD ，∴SO ⊥BD ． ∵△SDA 是等腰三角形，∴OD =12AD =BC ，又OD//BC ，∠BCD =90°，∴四边形OBCD 是正方形，∴BD ⊥OC ． 又OC ∩SO =O ，SO ⊂平面SOC ，CO ⊂平面SOC ， ∴BD ⊥平面SOC ，SC ⊂平面SOC ，∴SC ⊥BD ． (2)解：由(1)知，OS ，OA ，OB 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．不妨设BC =1，则B(0,1,0),D(−1,0,0),S(0,0,1),A(1,0,0),M(−12,0,12)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,0,12)，设平面MAB 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +y =0−32x +12z =0，令x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,1,3)， 平面ABD 的一个法向量为n ⃗ =(0,0,1)， ∴cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=1×√1+1+32=3√1111，即二面角M −AB −D 的余弦值是3√1111．【解析】(1)过点S 作SO ⊥AD ，垂足为O ，连接OB ，OC.证明SO ⊥BD ，BD ⊥OC ，然后证明BD ⊥平面SOC ，推出SC ⊥BD ．(2)OS ，OA ，OB 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz.求出平面MAB 的法向量，平面ABD 的一个法向量利用空间向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．22.【答案】解：(1)由已知得{4m +9n =18m +6n =1，解得{m =116n =112，所以曲线C 的方程为x 216+y 212=1； (2)令x =8，则R(8,6k)，联立{x 216+y 212=1y =k(x −2)，整理得(4k 2+3)x 2−16k 2x +16(k 2−3)=0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=16k 24k 2+3,x 1x 2=16(k 2−3)4k 2+3，∴k 1+k 2=y 1−3x 1−2+y 2−3x 2−2=y 1x 1−2+y 2x 2−2−3(1x 1−2+1x 2−2) =2k −3×x 1+x 2−4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=2k −3×16k 24k 2+3−416(k 2−3)4k 2+3−32k 24k 2+3+4=2k −1，又k 3=6k−38−2=k −12，∴k 1+k 2=2k 3，∴λ等于定值2，得证．【解析】(1)通过点满足椭圆方程，然后求解m ，n ，得到椭圆方程．(2)令x =8，则R(8,6k)，联立直线与椭圆方程，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，利用韦达定理，转化求解斜率的和，然后转化求解证明即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．。

2022-2023学年湖北省武汉市高二上册期末数学质量检测试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在等差数列{}n a 中，若285,23a a ==，则5a 等于（）A.13B.14C.15D.16【正确答案】B【分析】根据等差数列的下标和的性质，可知2852a a a +=，即可求得答案.【详解】在等差数列{}n a 中，若285,23a a ==,则285552,228,14a a a a a =∴=∴=+，故选：B 2.抛物线243x y =的焦点坐标为（）A.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C.30,16⎛⎫⎪⎝⎭D.3,016⎛⎫⎪⎝⎭【正确答案】D【分析】将抛物线化成标准形式，即可求解.【详解】由243x y =得234y x =，故焦点为3,016⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：D3.“1m =-”是“直线()()24120m x m y -+++=与直线()130m x my +-+=垂直”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【正确答案】B【分析】根据两直线垂直的条件，求解m 范围即可求解.【详解】若直线()()24120m x m y -+++=与直线()130m x my +-+=垂直，则()()()()()241104104m m m m m m m -+-+=⇒-+=⇒=或1m =-，故“1m =-”是“直线()()24120m x m y -+++=与直线()130m x my +-+=垂直”的充分不必要条件，故选：B4.若数列{}n a 满足12212,3,n n n a a a a a ++==+=，则2023a 的值为（）A.3- B.2- C.1- D.2【正确答案】D【分析】由递推公式依次列举，可得数列最小正周期，即可求值.【详解】由21n n n a a a +++=得21n n n a a a ++=-，故有21432543654765131,2,3,1,2a a a a a a a a a a a a a a a a -=-=-==-=-=-==-==-=.故数列由最小正周期6，故63302312712a a a ⨯+===.故选：D5.{},,a b c 是空间的一组基底，则可以与向量,2p a b q a b =+=+构成基底的向量（）A.aB.bC.a c+D.a b-【正确答案】C【分析】利用向量基底的定义和共面向量的充要条件逐一判断即可求解.【详解】因为{},,a b c 是空间的一组基底，所以,,a b c 不共面，,a b不共线，因为,2p a b q a b =+=+，若()0q p p λ=≠ ，则12λλ=⎧⎨=⎩，显然这样的λ不存在，所以,p q不共线，对于A ，因为,2p a b q a b =+=+，所以()()222a a b a b p q =+-+=- ，由共面的充要条件知，,,a p q共面，故{},,a p q 不能构成基底向量，故A 错误；对于B ，因为,2p a b q a b =+=+，所以()2b a b a b p q =-+++=-+ ，由共面的充要条件知，,,b p q共面，故{},,b p q 不能构成基底向量，故B 错误；对于C ，因为,2p a b q a b =+=+ ，若a c x p yq +=+，显然这样的,x y 不存在，所以a c + 不能用p 与q 表示，,,a c p q +不共面，故{},,p a c q +能构成基底向量，故C 正确；对于D ，因为,2p a b q a b =+=+，所以()()32232a b a b a b p q -=+-+=- ，由共面的充要条件知，,,a b p q -共面，故{},,p a b q - 不能构成基底向量，故D 错误.故选：C.6.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走508里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了7天后到达目的地．”那么，此人第1天走的路程是（）A.81里 B.192里C.128里D.256里【正确答案】D【分析】根据等比数列的知识列方程，求得首项，从而求得正确答案.【详解】依题意可知这个人每天走的路程成公比12q =的等比数列，所以17711111272508,25616412a S a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭====-（里）.故选：D7.已知圆:C 22()()1x a y a -+-=(1)a >与直线2y x =相交于P Q ､两点，则当CPQ 的面积为25时，实数a 的值为（）A.2B.55C.D.【正确答案】A【分析】写出圆心(),C a a ，半径1r =.求出圆心到直线的距离55d a =，1a <<.表示出弦长，即可得出CPQ5255a =，整理得出42540a a -+=，即可求出实数a 的值.【详解】由已知可得，圆心(),C a a ，半径1r =.则圆心到直线2y x =，即直线20x y -=的距离15d a r ==<=，所以1a <<又22212PQ d r ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以PQ =.又CPQ 的面积为25，即152255S PQ d =⨯⋅==，整理可得，42540a a -+=，所以21a =或24a=.又1a <<，所以2a =.故选：A.8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为()()12,0,,0F c Fc -的梯形12AF F B 的两顶点,A B 分别在双曲线的左､右支上，且125AF BF =，则该双曲线的离心率等于（）A.74B.54C.43D.53【正确答案】C【分析】由梯形的高可推得21π3BF F ∠=，122π3AF F ∠=，设2BF t =，由双曲线的定义及125AF BF =，可得112|,||,|||BF AF AF 的表达式，在12BF F V 和12AF F V 中，由余弦定理，整理可得,a c 的关系，进而求出离心率的值．【详解】如图示，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，的梯形12AF F B 的两顶点,A B 分别在双曲线的左､右支上，且125AF BF =，设12F C BF ⊥于C 点，在12Rt F CF V 中，122F F c =，的梯形12AF F B中，可得1||FC =，所以2133sin ,22CF F c ∠==所以可得2121π3BF F CF F ∠∠==,122π3AF F ∠=,设2BF t =，则12BF a t =+，因为125AF BF =,则15AF t =,225AF a t =+，在12BF F △中可得：222222212121212||||||4(2)cos 2||||22BF F F BF t c a t BF F BF F F t c +-+-+∠==⋅⋅，即22444142c a at ct --=，可得22222a at c ct +=-①，在12AF F △中,222222112212112||||||(5)(2)(25)1cos 2||||2522AF F F AF t c a t AF F AF F F t c +-+-+∠==-⋅⋅⋅，整理可得∶2221025a at c ct +=+②，①②相减得86at ct =，故8463c e a ===，故选∶C二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知双曲线22:13y C x -=，则（）A.双曲线C 与圆22112x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭有2个公共点B.双曲线C 的离心率与椭圆22143x y +=的离心率相同C.双曲线C 的渐近线斜率与双曲线2213y x -=的渐近线的斜率互为倒数D.双曲线C 与直线3y -只有一个公共点【正确答案】AD【分析】根据双曲线和椭圆的离心率公式、结合双曲线的渐近线方程、一元二次方程根的判别式逐一判断即可.【详解】由已知得在双曲线C 中，1a =，b =，2c ==，所以双曲线C 的焦点为()2,0±，渐近线方程为b y x a=±=，离心率为2c a=.A ：双曲线C 的顶点为(1,0)±，圆22112x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的圆心为1(,0)2，半径为1，因此双曲线C 与圆22112x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭有2个公共点，所以本选项正确；B ：椭圆22143x y +=的离心率为122=，显然双曲线C 的离心率与椭圆22143x y +=的离心率不相同，因此本选项不正确；C ：双曲线2213y x -=的渐近线的斜率为1±=C 的渐近线斜率与双曲线2213y x -=的渐近线的斜率互为倒数是不正确的，因此本选项不正确；D ：因为双曲线C 的一条渐近线y =与直线3y -平行，所以双曲线C 与直线3y -只有一个公共点，因此本选项说法正确，故选：AD10.等差数列{}n a 是递减数列，满足1082a a =，{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，下列说法正确的是（）A.10a < B.0d <C.当6n =时，n S 最大 D.当0n S >时，n 的最小值为11【正确答案】BC【分析】由数列{}n a 是递减数列可得0d <，再由1082a a =解得15a d =-，分别代入等差数列的通项公式n a 和前n 项和公式n S ，对选项依次判断即可.【详解】∵等差数列{}n a 是递减数列，∴公差0d <，又∵1082a a =，∴()11927a d a d +=+，∴150a d =->，∴()()()11516n a a n d d n d n d =+-=-+-=-，()()()2111511222n n n n n d S na d nd n n --=+=-+=-对于A ，150a d =->，故选项A 错误；对于B ，0d <，故选项B 正确；对于C ，()6n a n d =-，又∵等差数列{}n a 是递减数列，0d <，∴当6n <时，0n a >，当6n =时，0n a =，当6n >时，0n a <，∴当5n =或6n =时，n S 最大，故选项C 正确；（也能由()2211121112224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦得出当5n =或6n =时，n S 最大）对于D ，∵()()2111122n d dS n n n n =-=-，∴当11n =时，0n S =，故选项D 错误.（当0n S >时，011n <<，n 的最小值为1，最大值为10）故选：BC.11.以下四个命题表述正确的（）A.圆224x y +=上有3个点到直线:0l x y -+=的距离都等于1B.已知()2,0A -，()10B ,，()3,0M -三点，动点P 不在x 轴上，且满足2PA PB =，则直线PM 的斜率取值范围是221221,00,2121⎡⎫⎛-⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦C.圆22120C :x y x ++=与圆222480C :x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =-D.圆22:1C x y +=，点P 为直线20x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，,A B 为切点，则直线AB 经过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭【正确答案】ABD【分析】写出圆心为()0,0，半径2r =，求出圆心到直线的距离为1，根据图象即可判断A 项；由已知可得P 点的轨迹方程为()2224x y -+=.结合图象，可知当直线PM 与圆相切时，斜率有最大或最小值，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求出斜率的取值范围；由已知可得，两圆外切，根据1212C C r r =+，即可得出m 的值；由已知可得AB 为圆22000x xx y yy -+-=与圆22:1C x y +=的公共弦.即可求出直线AB 的方程，整理可得()()0210x y y x -+-=，解方程组210x y x -=⎧⎨-=⎩即可得出定点坐标.【详解】对于A 项，圆心为()0,0，半径2r =，圆心()0,0到直线:0l x y -+=的距离1d ==.如图1，此时圆上有,,A B C 三点到直线的距离等于1，故A 项正确；对于B 项，设(),P x y ，由2PA PB==()2224x y -+=，所以P点的轨迹是以()2,0为圆心，2为半径的圆.如图2，当P 在A 处时，斜率最大；当P 在B 处时，斜率最小，显然,PA PB 均与圆相切.设斜率为k ，直线PM 方程为()3y k x =+，即30kx y k -+=.当PM 与圆相切时，有圆心()2,0到直线的距离12d r ===，整理可得，22120k -=，解得22121k =±.又动点P 不在x 轴上，所以0k ≠.则由图象可知，直线PM的斜率取值范围是,00,2121⎡⎫⎛-⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦，故B 项正确；对于C 项，圆22120C :x y x ++=圆心()11,0C -，半径11r =；圆222480C :x y x y m +--+=可化为()()222420x y m -+-=-，20m <，圆心()22,4C，半径2r =由已知可得，两圆外切，即1212C C r r =+15=，解得4m =，故C 项错误；对于D 项，设()00,P x y ，由已知可得PA AO ⊥，PB BO ⊥，所以,A B 在以OP 为直径的圆上.圆心为00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭22220000224x y y y x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，整理可得22000x xx y yy -+-=.又,A B 为圆22:1C x y +=上的点，所以AB 为圆22000x xx y yy -+-=与圆22:1C x y +=的公共弦.两圆方程作差可得，AB 的方程为001xx yy +=.又点P 在直线20x y +-=上，所以0020x y +-=，即002x y =-，代入AB 的方程整理可得()()0210x y y x -+-=，解方程组2100x y x -=⎧⎨-=⎩可得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以直线AB 经过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭.故D 项正确.故选：ABD.12.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1BC 上的动点，下列说法正确的是（）A.对任意点,P DP 平面11AB DB.三棱锥11A PDD -的体积为92C.线段DP 长度的最小值为362D.存在点P ，使得DP 与平面11ADD A 所成角的大小为3π【正确答案】ABC【分析】由平面1//C DB 平面11AB D ，从而可证//DP 平面11AB D ，由此可判断A ；根据等体积法可判断B ；当点P 为1BC 的中点时，DP 最小，由1DP BC ^，勾股定理计算可得DP ，由此判断C ；求出DP 与平面11ADD A 所成角的范围即可判断D ．【详解】在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，如图所示：对于A ：连接BD ，1DC ，1AD ，1AB ，11B D ，由于11//AD BC ，1AD ⊄平面1BDC ，1BC ⊂平面1BDC ，所以1//AD 平面1BDC 同理由11//BD B D 得11//B D 平面1BDC ，又1111B D AD D ⋂=,111,B D AD ⊂平面11AD B ,故平面11//AD B 平面1BDC ，由于DP ⊂平面1BDC ，所以对任意点P ，//DP 平面11AB D ，故A 正确；对于B ：由于11//,BP AD AD ⊂平面11ADD A ,BP ⊄平面11ADD A ,所以//BP 平面11ADD A ,故三棱锥11A PDD -的体积为111111119333322A PDD P A DDB A DD V V V ---===⨯⨯⨯⨯=，故B 正确；对于C ：由于1DC BD ==,所以过点D 作1DO BC ⊥，即点O 为1BC 的中点，DO ==，故C 正确，对于D ：由于//BP 平面11ADD A ,//BP 1AD ,所以点P 在平面11ADD A 上的投影在线段1AD 上，设点P 的投影为点Q ，则PDQ ∠为DP 与平面11ADD A 所成的角，sin ,3PQPDQ PQ PD∠==，而362PD ≤≤，所以DP 与平面11ADD A 所成角的正弦值的取值范围是26,23⎣⎦，而π36sin323=>，所以不存在点P ，使得DP 与平面11ADD A 所成角的大小为π3，故D 错误；故选：ABC三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上13.已知空间三点()()()0,2,3,2,1,6,3,2,5A B C -，则AB 与AC的夹角为__________．【正确答案】π2##90︒【分析】根据向量的夹角公式求得正确答案.【详解】()()2,1,3,3,0,2AB AC =--=，所以cos ,0AB AC AB AC AB AC ⋅==⋅，所以AB 与AC的夹角为π2.故π214.已知点()2,6A 与点()0,2B 关于直线0ax y b ++=对称，则a b +的值为__________．【正确答案】4-【分析】根据题意得到()2062022a b ++++=，即可得到答案.【详解】点()2,6A 与点()0,2B 关于直线0ax y b ++=对称，所以()2062022a b ++++=，即40a b ++=，4a b +=-.故4-15.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，若5AF =，则ABO 的面积为___________.【正确答案】52【分析】数形结合即可求解.【详解】由已知可得2p =.如图过A 作1AA l ⊥，垂足为1A ，则由抛物线的定义得1AA AF =，52A px ∴+=，4A x =，代入24y x =得44y =±，(4,4)A ∴或(4,4)A -.不妨设(4,4)A ，又(1,0)F ，直线AB 方程为014041y x --=--，即314x y =+，代入24y x =得234y y =+，1B y =-，()115||1(41) . 222AOB A B S OF y y ∴=+=⨯⨯+=△故答案为.5216.已知数列221n n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭与数列221n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和分别为,n n S T ，则66S T -=__________；若()()110n n S T n n λ-<++对于*N n ∀∈恒成立，则实数λ的取值范围是__________．【正确答案】①.4213②.130λ>【分析】根据并项求和即可化简221n n n n n S T =-+-，将()()110n n S T n n λ-<++转化成110221n nλ>++恒成立，利用基本不等式的性质求解最值即可.【详解】记222121n n n a n n =--+，所以()222222222222133112222113355721211133522n n n n n n n n n n n S T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎝-⎭--= ()222132112121n n S n n n n T n n n =++++---=--+--+ ，故66364261313S T -=-=，()()110n n S T n n λ-<++，即()()211021n n n n n λ-<+++，化简得()()2110n n n λ<++，进一步得110221n nλ>++，由于102n n+≥当3n =时，1010282633n n +=+=，当2n =时，102824593n n +=+=<，对*N n ∀∈，1022130n n ++≥，所以111030221n n≤++，因此130λ>故4213，130λ>四､解答题：本大题共6小题，共70分．其中，17题10分，18，19，20，21，22各12分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．17.在平面直角坐标系xoy 中，()()()0,1,3,0,1,4A B C ．（1）求ABC 的面积；（2）判断,,,O A B C 四点是否在同一个圆上？并说明理由．【正确答案】（1）5（2）,,,O A B C 四点不在同一圆上，理由详见解析【分析】（1）根据三角形的面积公式求得ABC 的面积.（2）先判断过,,O A B 三点的圆的直径，再根据C 的大小确定正确答案.【小问1详解】AB BC AC ===，所以222AB ACBC +=，所以AB AC ⊥，所以ABC 的面积为152=.【小问2详解】,,,O A B C 四点不在同一圆上，理由如下：由于OA OB ⊥，所以过,,O A B 三点的圆（设为圆M ）的直径是AB ，由（1）知ABC 是等腰直角三角形，且π4C =，所以C 不是圆M 的圆周角，所以,,,O A B C 四点不在同一圆上.18.已知等比数列{}n a 的前n 项和为12,n S a =，且满足1234,2,a a a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列(){}2nn a +的前n 项和为nT ．【正确答案】（1）2n n a =（2）1(1)22n n T n +=+⨯-【分析】（1）根据等比数列通项公式和等差数列的性质即可；（2）根据乘公比错位相减法即可求解.【小问1详解】设1112n n n a a qq --=⋅=⋅，因为满足1234,2,a a a 成等差数列，所以13244,a a a +=所以242242,q q ⨯+=⨯⨯所以22880q q -+=，所以2440q q -+=，所以()220q -=，所以2q =，所以1222n n n a -=⋅=.所以2n n a =.【小问2详解】令()2n n b n a =+，则()22nn b n =+，所以12...n n T b b b =+++，所以123242...(2)2nn T n =⨯+⨯+++⨯，乘以2得，23123242...(2)2n n T n +=⨯+⨯+++⨯，错位相减得，1231321212...12(2)2nn n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯，所以231622...2(2)2nn n T n +-=++++-+⨯，所以231622...2(2)2nn n T n +-=++++-+⨯（），所以2112(12)6(2)212n n n T n -+--=+-+⨯-，所以116(24)(2)2n n n T n ++-=+--+⨯，所以116(24)(2)2n n n T n ++=---++⨯，所以1(1)22n n T n +=+⨯-.19.如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，12CC =，1160C CB BCD C CD ∠∠∠===（1）求线段1CA 的长；（2）求证：111CA B D ⊥．【正确答案】（111（2）证明见解析【分析】（1）11CA CD CB CC =++ ，结合向量数量积运算，求模即可.（2）11B D CB CD=-+，由向量数量积关于垂直的表示即可判断.【小问1详解】设1,,CD a CB b CC c ===，则1,2a b c === ，∵1160C CB BCD C CD ∠∠∠===，则121cos 601,11cos 602a cbc a b ��创��创� .∵11CA CD CB CC a b c =++=++，∴1CA a b c =++====.故线段1CA .【小问2详解】证明：∵11B D BD CB CD a b==-+=-，∴()()211121111022C a b c a b a b b c a c A BD ++-=--⋅+⋅-⋅=-+==⋅.故111CA B D ⊥.20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()122n n S n a +-+=，210a =，1n n b a =-.（1）求证：{}n b 是等比数列；（2）设33+21,,log log ,n n n nn b b c b n ⎧⎪⋅=⎨⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前21n +项和21n T +．【正确答案】（1）证明详见解析（2）1211992388n n n T n +++=+-+【分析】（1）使用n a 与n S 的关系，再将n a 替换为n b 进行证明即可；（2）对n 为奇数、偶数进行分组求和，n 为奇数时使用裂项相消法，n 为偶数时使用等比数列求和公式即可.【小问1详解】由已知，①当1n =时，()12212S a -+=，∴()12110a +=，∴14a =，1113b a =-=；②当2n ≥时，∵()122n n S n a +-+=，∴()1212n n S n a ---+=⎡⎤⎣⎦，两式相减，得()1121n n n n S S n n a a -+--+-=-⎡⎤⎣⎦，∴()121n n n a a a +-=-，∵1n n b a =-，∴1n n a b =+，∴()()1211n n n b b b +=+-+，∴13n n b b +=（2n ≥），又∵2211019b a =-=-=，13b =，∴213b b =，∴13n n b b +=，且数列{}n b 中任意一项均不为0，∴13n nb b +=，∴数列{}n b 是首项13b =，公比3q =的等比数列.【小问2详解】由第（1）问，113n n n b b q -==，∴①当n 为奇数时，()233+233111111log log log 3log 3222n n n n n c b b n n n n +⎛⎫====⋅⎪⋅⋅++⎝⎭，∴1321111111111112335212322323n n c c c n n n n ++⎛⎫⎛⎫+++=⋅-+-++-=⋅-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ，②当n 为偶数时，3n n n c b ==，()1242242919993331988n n nn c c c +⨯-+++=+++==- ，综上所述，数列{}n c 的前21n +项和1211992388n n n T n +++=+-+.21.如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，且12,AA AB AC BC ====，M N P D ､､､分别是11111CC BC A B B C ､､､的中点．（1）求证：AC ∥平面PDN ；（2）求平面PMN 与平面ABC 夹角的余弦值；（3）点Q 在线段11A B 上，若直线AM 与平面QMN 所成角的余弦值为7010时，求线段1AQ 的长．【正确答案】（1）证明见解析.（2）1414.（3）12.【分析】（1）由已知证明11PD A C ∥，又11A C AC ∥，从而证明PD AC ∥，可证AC ∥平面PDN ﹔（2）建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后求出平面PMN 与平面ABC 法向量，由向量的夹角公式求解即可；（3）设111A A B Q λ=，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后求出平面QMN 的法向量，由向量的夹角公式列出关于λ的方程，求解即可．【小问1详解】证明：∵,P D 分别是1111,A B B C 的中点,∴11PD A C ∥，又三棱柱111ABC A B C -中，11A C AC ∥，故PD AC ∥，又PD ⊂平面PDN ，AC ⊄平面PDN ，所以AC ∥平面PDN ；【小问2详解】由题意知三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，且12,AA AB AC BC ====，故222,AB AC BC AB AC +=∴⊥,以点A 为坐标原点，1,,AB AC AA 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图所示，则1(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(0,2,1),(1,1,0),(1,0,2)A A B M N P ，所(0,1,2)PN =- ,(1,2,1)PM =--，平面ABC 的一个法向量为1(0,0,2)A A =,设平面PMN 的法向量为(,,)n x y z =,则020,200n PM x y z y z n PN ⎧⋅=-+-=⎧⎪∴⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩，令1z =，则3,2x y ==，故(3,2,1)n =，故11114cos ,14||||AA n AA n AA n ⋅〈〉===，放平面PMN 与平面ABC的夹角的余弦值为14.【小问3详解】设111(2,0,0)AQ A B λλ== ，[0,1]λ∈，(2,,2)0Q λ∴，所以(21,1,2),(1,1,1NQ NM λ=--=- )，(0,2,1)AM =，设平面QMN 的法向量为(,,)m a b c =，则0(21)20,00m NQ a b c a b c m NM λ⎧⋅=--+=⎧⎪∴⎨⎨-++=⋅=⎩⎪⎩ ，令3a =，则()21,21b c λλ=+=--，则(3,21,2(1))m λλ=+--，设直线AM 与平面QMN 所成角为π,[0,2θθ∈，则由题意知70cos 10θ=，所以直线AM 与平面QMN所成角的正弦值为10，所以||30sin |cos ,|10||||AM m AM m AM m θ⋅=〈〉===，解得14λ=，52λ=（舍去），则1111142A Q AB ==，即线段1AQ 的长为12.22.已知抛物线2Γ:4y x =的焦点为F ，准线为l ．（1）若F 为双曲线C:22221y x b-=(0)b >的一个焦点，求双曲线C 的渐近线方程；（2）设l 与x 轴的交点为E ，点P 在第一象限，且在Γ上，若PE PF=，求直线EP 的方程；（3）经过点F 且斜率为()0k k ≠的直线1l 与Γ相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA ､OB 分别与l 相交于点M N ､．试探究：以线段MN 为直径的圆C 是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．【正确答案】（1）y x =±；（2）10x y -+=；（3）答案见解析.【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求双曲线的,b c ，即可得渐近线方程；（2）根据抛物线的定义进行转化分析可得π4MEP ∠=，进而可得直线EP 的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程；（3）设直线1l 的方程及A ，B 两点的坐标，进而可求M ，N 两点的坐标，结合韦达定理求圆C 的圆心及半径，根据圆C 的方程分析判断定点.【小问1详解】解：抛物线2:4y x Γ=的焦点为()1,0F ，准线为:1l x =-，双曲线C 的方程为22221y x b -=，即222112x y b -=，则2a =，c =由题意可知：1c ==，则22b =，故双曲线C 的方程为2211122x y -=，渐近线方程为y x =±.【小问2详解】解：由（1）可知：()1,0E-，如图，过点P 作直线l 的垂线，垂足为M ，由抛物线的定义可知PF PM =，因为sin 2PM PF MEP PEPE∠===，且π0,2MEP ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以π4MEP ∠=，故直线EP 的倾斜角π4α=，斜率tan 1EP k α==，所以直线EP 的方程为1y x =+，即10x y -+=.【小问3详解】解：以线段MN 为直径的圆C 过定点()1,0，()3,0-.理由如下：由已知可得直线()1:1l y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程()214y k x y x⎧=-⎨=⎩，消去y 可得：()2222220k x k x k -++=，则可得：()212222k x x k ++=，21221k x x k==，又直线11:y OA y x x =，当=1x -时，11y y x =-，所以111,y M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.同理可得.221,y N x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭又()()121212121122k x k x y y x x x x ⎛⎫⎛⎫---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-()12121222k x x x x x x -+⎡⎤⎣⎦=-()2222222k k k k⎡⎤+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=-=，1212y y MN x x ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()1212121211k x k x k x x x x x x ---=-=()221212124kx x x x x x =+-()222222414k k k k ⎡⎤++⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦则以线段MN 为直径的圆C 的圆心21,C k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径21212k r MN k +==故圆C 的方程为()()22224121k x y k k +⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，整理得()224230x y x y k ++--=，令0y =，则2230x x +-=，解得1x =或3x =-，故以线段MN 为直径的圆C 过定点()1,0，()3,0-.。

2017-2018学年湖北省武汉市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若f（x）=x5，f′（x0）=20，则x的值为（）A． B．±C．﹣2 D．±22．（5分）下列求导运算正确的是（）A．（cosx）'=sinx B．（3x）'=3x log3e C．D．（x2cosx）′=﹣2xsinx3．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|AB|=（）A．2 B．4 C．6 D．84．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率为，则m=（）A．8 B．9 C．﹣3 D．165．（5分）设函数f（x）=x2+x，则=（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．66．（5分）若pVq是假命题，则（）A．p，q至少有一个是假命题B．p，q 均为假命题C．p，q中恰有一个是假命题D．p，q至少有一个是真命题7．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是（）A．y=±B．y=±2x C．y=±x D．y=±x8．（5分）已知命题α：“如果x＜3，那么x＜5”，命题β：“如果x≥5，那么x≥3”，则命题α是命题β的（）A．否命题 B．逆命题C．逆否命题D．否定形式9．（5分）已知抛物线方程为y2=5x则焦点到准线的距离为（）A．B．C．5 D．1010．（5分）设集合M={x|0＜x≤4}，N={x|2≤x≤3}，那么“a∈M”是“a∈N”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）抛物线y=2x2上有一点P，它到A（2，10）距离与它到焦点距离之和最小时，点P坐标是（）A．（，10） B．（，20）C．（2，8）D．（1，2）12．（5分）已知F是椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）命题“∃x0∈R，x2+2x＞0”的否定是．14．（5分）已知F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，则△MF2N的周长为．15．（5分）曲线y=lnx在点（e，f（e））处的切线方程为．16．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，3x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知双曲线方程为16y2﹣9x2=144．（1）求该双曲线的实轴长、虚轴长、离心率；（2）若抛物线C的顶点是该双曲线的中心，而焦点是其下顶点，求抛物线C的方程．18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+1（x∈R），g（x）=2a﹣1（1）求函数f（x）的单调区间与极值．（2）若f（x）≥g（x）对∀x∈[﹣2，4]恒成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知椭圆C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，短轴长为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点P（2，1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程．20．（12分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．21．（12分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：ρ2=，θ∈[0，π]，直线l：（t是参数）（1）求出曲线C的参数方程，及直线l的普通方程；（2）P为曲线C上任意一点，Q为直线l上任意一点，求|PQ|的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣，a为常数（1）判断f（x）在定义域内的单调性（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值．2017-2018学年湖北省武汉市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若f（x）=x5，f′（x0）=20，则x的值为（）A． B．±C．﹣2 D．±2【解答】解：函数的导数f′（x）=5x4，∵f′（x）=20，∴5x04=20，得x4=4，则x=±，故选：B．2．（5分）下列求导运算正确的是（）A．（cosx）'=sinx B．（3x）'=3x log3e C．D．（x2cosx）′=﹣2xsinx 【解答】解：（cosx）'=﹣sinx，A不正确；（3x）'=3x ln3，B不正确（lgx）′=，C正确；（x2cosx）′=2xcosx﹣x2sinx，D不正确故选：C．3．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|AB|=（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：由题意，抛物线的方程为y2=4x，即p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，∵抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6∴|AB|=x1+x2+2=8故选：D．4．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率为，则m=（）A．8 B．9 C．﹣3 D．16【解答】解：根据题意，椭圆+=1的焦点在x轴上，则有m＞6，则a=，b=，则c=，又由椭圆的离心率e==，即有=，解可得m=8；故选：A．5．（5分）设函数f（x）=x2+x，则=（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6【解答】解：根据导数的定义：则=2=﹣2f′（1），由f′（x）=2x+1，∴﹣2f′（1）=﹣6，∴=﹣6，故选A．6．（5分）若pVq是假命题，则（）A．p，q至少有一个是假命题B．p，q 均为假命题C．p，q中恰有一个是假命题D．p，q至少有一个是真命题【解答】解：若p∨q是假命题，则 p，q 均为假命题，故选：B7．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是（）A．y=±B．y=±2x C．y=±x D．y=±x【解答】解：根据题意，双曲线的方程为﹣=1，其焦点在y轴上，且a=2，b=2，则该双曲线的渐近线方程为y=±x；故选：D．8．（5分）已知命题α：“如果x＜3，那么x＜5”，命题β：“如果x≥5，那么x≥3”，则命题α是命题β的（）A．否命题 B．逆命题C．逆否命题D．否定形式【解答】解：命题α的条件的否定是β的结论，命题α的结论的否定是β的条件，两个条件满足逆否命题关系，故命题α是命题β的逆否命题，故选：C9．（5分）已知抛物线方程为y2=5x则焦点到准线的距离为（）A．B．C．5 D．10【解答】解：根据题意，抛物线方程为y2=5x，则抛物线的焦点为（，0），准线为x=﹣，所以焦点到准线的距离为；故选：B．10．（5分）设集合M={x|0＜x≤4}，N={x|2≤x≤3}，那么“a∈M”是“a∈N”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设集合M={x|0＜x≤4}，N={x|2≤x≤3}，则N⊆M，所以若“a∈M”推不出“a∈N”；若“a∈N”，则“a∈M”，所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件，故选：B11．（5分）抛物线y=2x2上有一点P，它到A（2，10）距离与它到焦点距离之和最小时，点P坐标是（）A．（，10） B．（，20）C．（2，8）D．（1，2）【解答】解：由题意知，抛物线的抛物线y=2x2标准方程：x2=y焦点为F（0，），准线l 为y=﹣，且点A在抛物线内部，过点A作准线l的垂线，垂足为A′，根据抛物线的定义，可知，垂线AA′与抛物线的交点即为所求的点P，且易求得，点P的坐标为（2，8），故选C．12．（5分）已知F是椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：根据椭圆几何性质可知|PF|=，|AF|=a+c，所以=（a+c），即4b2=3a2﹣3ac，因为b2=a2﹣c2，所以有4a2﹣4c2=3a2﹣3ac，整理可得4c2+3ac﹣a2=0，两边同除以a2得：4e2+3e﹣1=0，所以（4e﹣1）（e+1）=0，由于0＜e＜1，所以e=．故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）命题“∃x0∈R，x2+2x＞0”的否定是∀x∈R，x2+2x≤0 ．【解答】解：依题意，特称命题的否定是全称命题，故命题“∃x0∈R，x2+2x＞0”的否定是：∀x∈R，x2+2x≤0．故答案为：∀x∈R，x2+2x≤0．14．（5分）已知F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，则△MF2N的周长为8 ．【解答】解：根据题意，椭圆+=1中a==2，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，则有|MF1|+|MF2|=2a=4，同理：|NF1|+|NF2|=2a=4，△MF2N的周长l=|MN|+|MF2|+|NF2|=|MF1|+|MF2|+|NF1|+|NF2|=4a=8；故答案为：8．15．（5分）曲线y=lnx在点（e，f（e））处的切线方程为x﹣ey=0 ．【解答】解：y=lnx的导数为y′=，则切线斜率k=，切点为（e，1），则切线的方程为y﹣1=（x﹣e），即为x﹣ey=0．故答案为：x﹣ey=0．16．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，3x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣2或1≤a≤3．．【解答】解：p：若∀x∈[1，2]，3x2﹣a≥0，得a≤3x2，恒成立，∵y=3x2在x∈[1，2]递增，最小值为3，所以a≤3．q：若：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，∴a2+a﹣2≥0，得a≤﹣2或a≥1．若命题“p且q”是真命题，则p、q都为真．∴a≤﹣2或1≤a≤3．故答案为：a≤﹣2或1≤a≤3三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知双曲线方程为16y2﹣9x2=144．（1）求该双曲线的实轴长、虚轴长、离心率；（2）若抛物线C的顶点是该双曲线的中心，而焦点是其下顶点，求抛物线C的方程．【解答】解：（1）由16y2﹣9x2=144，得﹣=1，知2a=6，2b=8，2c=10，所以实轴长为6，虚轴长为8，离心率为e==；（2）设抛物线C：x2=﹣2py，（p＞0），由题意可得p=2a=6，所以抛物线C：x2=﹣12y．18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+1（x∈R），g（x）=2a﹣1（1）求函数f（x）的单调区间与极值．（2）若f（x）≥g（x）对∀x∈[﹣2，4]恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣6x﹣9，令f′（x）＞0，解得：x＜﹣1或x＞3，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜3，故函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞），单调减区间为[﹣1，3]；故f（x）的极大值为f（﹣1）=6，极小值f（3）=﹣26；（2）由（1）知f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递增，在[﹣1，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增，又f（﹣2）=﹣1，f（3）=﹣26，f（3）＜f（﹣2），=﹣26，∴f（x）min∵f（x）﹣2a+1≥0对∀x∈[﹣2，4]恒成立，∴f（x）≥2a﹣1，即2a﹣1≤﹣26，min∴a≤﹣．19．（12分）已知椭圆C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，短轴长为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点P（2，1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程．【解答】解：（1）e==，2b=4，所以a=4，b=2，c=2，椭圆标准方程为+，（2）设以点p（2，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，则y1+y2=2，分别代入椭圆的方程，两式相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴4（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，∴k==﹣，∴点P（2，1）为中点的弦所在直线方程为y﹣1=﹣（x﹣2），整理，得：x+2y﹣4=0．20．（12分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去t得到：，即：4x+3y﹣2=0．曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．转化为：ρ2=2ρcos+2ρsinθ，整理得：x2+y2﹣2x﹣2y=0．（2）将l的参数方程（t为参数），代入曲线C：x2+y2﹣2x﹣2y=0，整理得：t2+4t+3=0，所以：t1+t2=﹣4，t1t2=3，则：|AB|=|t1﹣t2|==2．21．（12分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：ρ2=，θ∈[0，π]，直线l：（t是参数）（1）求出曲线C的参数方程，及直线l的普通方程；（2）P为曲线C上任意一点，Q为直线l上任意一点，求|PQ|的取值范围．【解答】解析：（1）曲线C的普通方程为：（y≥0），∴曲线C的参数方程（θ为参数，θ∈[0，π]）直线l：（t是参数）转化成普通方程为：，（2）设P（2cosθ，sinθ）P到直线l的距离d==，∵θ∈[0，π]∴，则：，∴∴，∴．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣，a为常数（1）判断f（x）在定义域内的单调性（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值．【解答】解：（1）由题意得f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+=，①当a≥0时，f'（x）＞0，故f（x）在上为增函数；②当a＜0时，由f'（x）=0得x=﹣a；由f'（x）＞0得x＞﹣a；由f'（x）＜0得x＜﹣a；∴f（x）在（0，﹣a]上为减函数；在（﹣a，+∞）上为增函数．所以，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，f（x）在（0，﹣a]上是减函数，在（﹣a，+∞）上是增函数．（2）由（1），当a≥0时，f（x）在[1，e]上单调递增，=f（1）=﹣a=，∴f（x）min∴a=﹣，不舍题意，舍；当﹣e＜a＜0时，f（x）在[1，﹣a]上单调递减，在[﹣a，e]上单调递增，=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=，解得a=﹣；∴f（x）min当a＜﹣e时，f（x）在[1，e]上单调递增，=f（1）=﹣a=，解得a=﹣，不合题意，舍；∴f（x）min综上所述，a=﹣．。

武汉市部分重点中学上学期高二期末测试数学试卷（理科）本卷总分150分，时间120分钟 。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

）1．要从编号1到60的60枚最新研制的某种导弹中随机选取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是( )A ．5,10,15,20,25,30B ．3,13,23,33,43,53C ．1,2,3,4,5,6D ．2,4,8,16,32,48 2．下列说法错误的是( )A ．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；B ．线性回归方程对应的直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过其样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点； C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高； D ．在回归分析中，2R 为0.98的模型比2R 为0.80的模型拟合的效果好．3．圆2240x y y ++=与直线3420x y ++=相交于A 、B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4360x y --=B ．4360x y ++=C ．3480x y ++=D ．4320x y --=4．一批产品抽50件测试，其净重介于13克与19克之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，净重大于等于13克且小于14克；第二组，净重大于等于14克且小于15克；……第六组，净重大于等于18克且小于19克．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设净重小于17克的产品数占抽取数的百分比为x ，净重大于等于15克且小于17克的产品数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为( ) A ．0.1,45 B ．0.9,45 C ．0.1,35D ． 0.9,355．直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β； ④若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α， 其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．已知随机变量X 的分布列如下表，随机变量X 的均值()1E X =，则x 的值为( ) A ．0.3 B ．0.24 C ．0.4D ．0.27．设随机变量X ～1(6,)2B ，则P (X=3)的值是( )A ．316B ．516C ．38D ．588．如果执行下面的程序框图，那么输出的S =( )A ．2550B ．－2550C ．2548D ．－2552X0 1 2P0.4x y9．已知等式4321234x a x a x a x a ++++4321234(1)(1)(1)(1)x b x b x b x b =++++++++， 定义映射12341234:(,,,)(,,,)f a a a a b b b b →，则(4,3,2,1)f =( ) A ．(1,2,3,4)B ．(0,3,4,0)C ．(0,3,4,1)-- D ．(1,0,2,2)-- 10．三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心O ，则1B A 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ） A ．23 B．33 C ． 23D ．13二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。