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第九章压杆稳定§9.1 压杆稳定的概念§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力§9.3 其它支座条件下细长压杆的临界压力§9.4 欧拉公式的适用范围，经验公式§9.5 压杆的稳定校核§9.6 提高压杆稳定性的措施1. 引言强度——构件抵抗破坏（塑性变形或断裂）之能力2．实例crcr①受均匀外压作用的圆筒形薄壳——由圆形平衡变成椭圆形平衡。
②受均匀压力作用的拱形薄板——由拱形平衡变成翘曲平衡。
③窄高梁或薄腹梁的侧向弯曲——由平面弯曲变成侧向弯曲。
④圆筒形薄壳在轴向压力或扭转作用下引起局部皱折。
⑤细长压杆由直线平衡变成曲线平衡。
3．稳定研究发展简史早在18世纪中叶，欧拉就提出《关于稳定的理论》但是这一理论当时没有受到人们的重视，没有在工程中得到应用。
原因是当时常用的工程材料是铸铁、砖石等脆性材料。
这些材料不易制细细长压杆，金属薄板、薄壳。
随着冶金工业和钢铁工业的发展，压延的细长杆和薄板开始得到应用。
19世纪末20世纪初，欧美各国相继兴建一些大型工程，由于工程师们在设计时，忽略杆件体系或杆件本身的稳定问题向造许多严重的工程事故。
例如：19世纪末，瑞士的《孟希太因》大桥的桁架结构，由于双机车牵引列车超载导致受压弦杆失稳使桥梁破坏，造成200人受难。
弦杆失稳往往使整个工程或结构突然坍蹋，危害严重，由于工程事故不断发生，才使工程师们回想起欧拉在一百多年前所提出的稳定理论。
从此稳定问题才在工程中得到高度重视。
§9.1 压杆稳定的概念 1．工程实例（1当推动摇臂打开气阀时就受压力作用。
（2）磨床液压装置的活塞杆，当驱动工作台移动时受到压力作用。
（3）空气压缩机，蒸汽机的连杆。
（4）桁架结构的某些杆件。
（5）建筑物中的柱。
2．压杆分类⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫--.,,.3.2.1曲线平衡而发生失稳杆件会由直线平衡变成比例极限甚至低于或者强度极限当应力低于屈服极限稳定问题细长杆中长杆强度问题短杆b b s σσσ 3．压杆失稳：压杆由直线形状的稳定平衡而过渡到曲线平衡称为失稳或者屈曲。
第 1 页/共 2 页9-5 未失稳失，轴向压缩 T F L L ∆=∆TEA F TL L EAFL L l l T F αα=⇒=∆=∆， 临界状态 kN 3.109)5.0(22cr ==L EIF π由cr F F =得，温升C EALEI T l ︒==2.29422απ 9-8 由铰B 平衡，22BC AB F F F +=，ABBC F F =θtan F 最大时，AB F 与BC F 均达到临界值2222)sin ()cos (βπβπAC EI F AC EI F BC AB ==， )arctan(cot cot tan 22βθβθ==⇒， 9-10 柔度临界值 p2p σπλE = （1）5.72p =λ，（2）8.65p =λ，（3）6.73p =λ 9-12 AB 与BC 均为两力杆，由铰B 平衡可得 F F BC 75=（压） 柔度 m m 320m 5.215.216=====i l i l，，，其中μμλ 稳定因素 06.028002==λϕ稳定许用应力 MPa 6.0][][st ==σϕσ st ][MPa 58.0σσ<==AF BC ，满意稳定性条件。
9-15 组合压杆的临界力cr F 为杆BC 与AB 临界力的最小值柔度临界值 1002==PP E σπλ P ACAC P BC BC i AC i BC λλλλ>=====1047.0100，大柔度杆，由欧拉公式N 1094.0)7.0(N 1004.1622622⨯==⨯==AC EIF BC EIF AC BC ππ，N 1094.06cr ⨯==⇒AC F F许用压力 kN 376][stcr ==n F F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛======kN 416MPa 8.82][MPa 1.207BC kN 376MPa 6.76][MPa 4.191AC st cr st cr F F ，，：，，：σσσσ 9-17 杆AC ，强度许用应力 MPa 118][st ==n σσ 最大弯矩 26132bh W F M B ==， 最大应力 kN 6.95][41][2max =≤⇒≤=bh F W M B σσσ 杆CD ，柔度P iCD λλ>==200，大柔度杆 由欧拉公式 MPa 3.4922cr ==λπσE 稳定许用应力 MPa 4.16][st cr st ==n σσ 压力 F F CD 31=应力 kN 5.15][3][st st =≤⇒≤=A F AF CD σσσ 结构的许可荷载 kN 5.15][=F。
9-4 图中所示为某型飞机起落架中承受轴向压缩的斜撑杆。
杆为空心圆管，外径D=54mm ，内径d=46mm,l =950mm 。
材料为30CrMnSiNi2A,1600MPa,1200MPa b P σσ==, 210GPa E =.试求斜撑杆的临界应压力F cr 和临界应力σcr 。
解：（1）计算柔度53.5799.35P lliμλμλ⋅⋅====>=(2)计算判别柔度P λ,确定计算临界力的公式.41.6P λ=== 显然压杆的柔度53.5741.6P λλ=>=，可采用欧拉公式计算临界力。
故：229222101053.57cr E ππσλ⨯⨯==Pa =722.23MPa 622()(0.0540.046)4cr cr F A πσ=⋅=⨯⨯-722.2310N =453.79kN9-5 三根圆截面压杆，直径均为d=160mm,材料为Q235钢，200GPa E =，200MPa P σ=，240MPa s σ=。
两端铰支，长度分别为l 1、l 2和l 3，且123245m l l l ===。
试求各杆的临界压力F cr 。
解：（1）计算判别柔度P λ、s λ99.34P λ===，30424057.141.12s sa b σλ--=== （2）计算三个杆的柔度和临界压力： 各杆两端铰支1μ=，截面相同0.160.04m 44d i ===，杆长不同。
①杆：15m l =，111151250.1604499.34P l l diλμμλ⋅⋅⨯=====>，细长压杆采用欧拉公式计算临界力。
故：22921122200100.164125crcrE F A A πππσλ⨯⨯⨯=⋅=⋅=⨯N =2540.03kN②杆：2 2.5m l =2221 2.562.50.16044l l d iμμλ⋅⋅⨯====， 262.557.1499.34s P λλλ<=<==，中柔度杆采用经验公式计算临界力。
故：222620.16()[(304 1.1262.5)10]4cr crF A a b A πσλ⨯=⋅=-⋅=-⨯⨯⨯N =4704.48kN③杆：3 1.25m l =3331 1.2531.250.16044l l d iμμλ⋅⋅⨯====，362.5457.1s λλ==<，粗短杆不涉及稳定问题，其临界应力就是屈服极限240MPa s σ=，故：23360.16240104cr crs F A A πσσ⨯=⋅==⨯⨯N =4825.5kN9-10铰接结构ABC 由具有相同截面和材料的细长杆组成。
若由于杆件在ABC 平面内失稳而引起破坏。
试确定荷载P 为最大时的θ角。
（20πθ<<）F解：（1）研究B 结点求两杆轴力与P 的关系：设两杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力， B 结点受力如图所示。
列平衡方程0sin 0sin ()cos 0cos ()0x N BC N BC N BA N BA y F P F F P P F F P F θθθθ⎧=+==-⎧⎧⎪→→⎨⎨⎨+==-=⎩⎩⎪⎩∑∑压杆压杆 （2）求两细长压杆的临界荷载 设AB 长度为l ，则BC 长为tan l β222,,2222,tan cr cr AB cr BC EIEIEIP P P l l l πππβ=→==（3）当两压杆的轴力同时到达各自临界力时，P 为最大值22,22222,222222=cos 11cos =cos tan sin =sin tan tan sin tan co t arctan(co t )cr AB NBA cr BC NBC EI EI F F F l l EI EI F F F l l ππθθθππβθθββθθβθβ⎧⎧==-=⎪⎪⎪⎪→→⎨⎨⎪⎪==-=⎪⎪⎩⎩→=→=F F9-15 图示结构中，横梁AB 由14号工字钢制成，材料许用应力[]160MPa σ=，CD 杆为Q235轧制钢管，2636d D ==mm,mm 。
其弹性模量210E G =Pa 。
若[] 1.5st n =,试对结构进行强度与稳定校核。
F N 图（kN ）M 图（kN m ）+2412-解:（1）求反力：取ABC 杆为研究对象，受力如图所示。
()0sin 45122033.941kN ANDCNDC m FF =→-+⨯=→==∑ F（2）内力分析：ABC 杆的AC 段发生拉弯组合变形，CB 段发生弯曲；CD 杆为轴向压缩杆件。
内力图如图所示。
（3）对压杆进行稳定性校核。
①求压杆的柔度127.39liμλ===②求压杆临界力对于Q 235钢材料为100P λ=，127.39>100P λλ==，采用欧拉公式计算压杆临界应力2292221010Pa 127.72MPa 127.39cr E ππσλ⨯⨯===③校核压杆的稳定性[][]666322127.7210127.7210 1.83 1.526/69.701033.9410/{0.036[1()]}436cr cr w w w w NDC n n n F A σσπσ⨯⨯=≥→===≥=⨯⨯⨯⨯- 故，压杆的稳定性足够。
（4）对梁ABC 进行强度计算梁的C 的左截面为拉弯组合变形的危险面，其上距中性轴最远的上边缘点位危险点。
查表可知14号工字钢的2321.516cm ,102cm z A W ==。
则梁的最大拉应力为：33max max4624101210Pa 11.154117.647MPa 128.8MPa 21.5161010210N z F M A W σ--⨯⨯=+=+=+=⨯⨯ 故，ABC 梁的的强度足够。
补充1 b=40mm,h=60mm 的矩形截面压杆如图所示，在在平面内，两端铰支，出平面内两端固定。
材料为Q 235钢，其弹性模量210E G =Pa ,比例极限σP =200MPa 。
试求（1）压杆的临界荷载P cr ，（2）若[]3st n =，压杆所承受的最大轴向压力为多大？（3）从稳定性考虑b/h 为何值时最佳？补充1图解：（1）计算柔度：①当压杆在在平面内xoy 内失稳，为z 中性轴。
1 2.4138.560.060xy xy zli μλ⋅⨯=== ②当压杆在出平面内xoz 内失稳，为y 中性轴。
0.5 2.4103.92xz xz yli μλ⋅⨯===③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。
max(,)138.56xz xy λλλ==④计算压杆能采用欧拉公式所对应的P λ22101.8P P P E πσλλ=→===⑤101.8138.56P λ=<，故采用欧拉公式计算P crb222362(2101010)(0.0600.040)259.10138.56cr cr EP A Aπσλπ=⋅=⋅⨯⨯⨯=⨯⨯=N kN(2) 由压杆稳定条件求压杆所承受的最大轴向压力［P ］若[]3st n =，[][]259.1086.373cr cr w w w P P n n P P n =≥→≤==kN （3）求稳定性最佳的b/h当压杆在不同方向的柔度相等时，才不会在某平面内先失稳。
故1 2.41 2.40.5 2.40.50.5 2.4xy xyzxz xz y l i b h l i μλμλ⋅⎧⨯==⎪⎪⨯⨯⎪→=→=⎨⋅⨯⎪==⎪⎪⎩补充2 图示边长为a 的正方形铰接结构，各杆的E 、I 、A 均相同，且为细长杆。
试求达到临界状态时相应的力P 等于多少？若力改为相反方向，其值又应为多少？F BCF N N BCN CD解：（1）各杆的临界力222..222cr BD cr EIEIPP a a ππ===外（2）求各杆的轴力与P 的关系。
由对称性可知，外围的四个杆轴力相同，NAB NBC NCD NDA F F F F ===。
研究C 、B 结点，设各杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力，C 、B 结点受力如图所示。
第一种情况： C:)02450x NCBNCB F P F cos F =→--=→=∑压杆 B:()02450YNBD NBC NBD NBC FF F cos F P =→--=→==∑ 拉杆 令2,.2=NCBcr CB cr EI F P P P a π===↔外第二种情况：)NCBF=拉杆()-NBD NBCF P==压杆22.22-==22NBD NBC cr BDEI EIF P P Pa aππ===↔补充3 图示矩形截面松木柱，其两端约束情况为：在纸平面内失稳时，可视为两端固定；在出平面内失稳时，可视为上端自由下端固定。
试求该木柱的临界力.解：（1）计算柔度：①当压杆在在平面内xoz内失稳，y为中性轴。
0.57101.04xzxzyliμλ⋅⨯===②当压杆在出平面内xoy内失稳，z为中性轴。
27242.49xyxyzliμλ⋅⨯===③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。
max(.)242.49xz xyλλλ==（2）松木75242.49Pλ=<，故采用欧拉公式计算P cr222112(0.110)(0.1200.200)40.28242.49cr crEP A Aπσλπ=⋅=⋅⨯⨯=⨯⨯=N kN补充4 图示压杆，材料为Q235钢，横截面有四种形式，其面积均为23102.3mm⨯，试计算其临界力.解：（1）矩形：①计算柔度：23632 3.210103.2100.04b b --=⨯⨯=⨯→=0.530.53129.9xz xz yli μλ⋅⨯⨯==== 129.9>123=xz P λλ=矩形截面压杆属于细长压杆，采用欧拉公式计算其临界力 ②计算其临界力22113222103,210N 374.34kN 129.9cr E P A ππλ-⨯⨯=⋅=⨯⨯= （2）正方形截面：①计算柔度：23633.210103.2100.057a a --=⨯⨯=⨯→=0.530.5391.86xz xz yli μλ⋅⨯⨯==== 06091.86<123=xz P λλλ=<=正方形截面压杆属于中柔度杆，采用经验公式计算其临界力 ②采用直线经验公式计算其临界力63()(304 1.1291.86)10 3.210N 643.57kN cr cr P A a b A σλ-=⋅=-⋅=-⨯⨯⨯⨯=（3）圆形截面： ①计算柔度：23633.21010 3.2100.0644d d π--=⨯⨯=⨯→=0.530.5394.000.06444xz xz yld i μλ⋅⨯⨯==== 0=6094<123xz P λλλ<==圆形截面压杆属于中柔度杆，采用经验公式计算其临界力 ②采用直线经验公式计算其临界力63()(304 1.1294)10 3.210N 635.9kN cr cr P A a b A σλ-=⋅=-⋅=-⨯⨯⨯⨯=（3）圆环形截面： ①计算柔度：2222363(1)(10.7) 3.21010 3.2100.0894m 44D D D ππα---=-=⨯⨯=⨯→=0.530.5354.99xz xz yli μλ⋅⨯⨯====054.99<60=xz λλ=圆环形截面压杆属于粗短杆，临界应力为屈服极限 ②计算其临界力()()6323510 3.210N 752kN cr cr s P A A σσ-=⋅=⋅=⨯⨯⨯=。
