北京市通州区2020届高三数学上学期摸底(期末)考试试题

通州区高三年级一模考试数学试卷2020年4月第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}02A x x =<≤，{}13B x x =<<，则A B =IA. {}03x x << B. {}23x x << C. {}01x x <≤ D. {}12x x <≤2. 已知复数=i(2i)z + （i 是虚数单位），则z =D. 33. 函数()sin 2cos 2f x x x =+的最小正周期是（ ） Ａ．π2Ｂ．πＣ．2π Ｄ．4π4. 已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且(1)2f =，下列一定在函数()f x 图象上的点是A. （1，-2）B. （-1，-2）C. （-1，2）D. （2，1） 5. 已知a ，3，b ，9，c 成等比数列，且a >0，则33log log b c -等于 A. 1- B. 12- C. 12D. 16. 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则p =2C. 47. 在6(2)1x x-的展开式中，常数项是A. -160B. -20C. 20D. 1608．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(cos ,sin )A αα，(cos(),sin())33B ππαα++.则OA OB +=u u u r u u u r与α有关 9. 若a >0，b >0，则“ab ≥1”是 “a+b ≥2”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 某同学在数学探究活动中确定研究主题是“(1,N )n a a n *>∈是几位数”，他以2(N )n n *∈为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如下表：试用该同学的研究结论判断504是几位数（参考数据lg20.3010≈） A. 101 B. 50 C. 31 D. 30第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知向量(1,2)=-a ，(3,)m =-b ，其中m ∈R ．若,a b 共线 ，则m 等于 ___________.12. 圆()1122=+-y x的圆心到直线10x ++=的距离为 .13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于 .14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？” ，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 {}n a ，则1a = ； n a = . （注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）15.给出下列四个函数，①21y x =+；②12y x x =+++；③21x y =+；④2cos y x x =+ 其中值域为[1)+∞，的函数的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题14分）已知△ABC ，满足a =2b =，，判断△ABC 的面积2S >是否成立？说明理由. 从①3A =π ， ②cos 7B = 这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并做答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17． （本小题14分）2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X 为选出的中年员工的人数，求X 的分布列和数学期望.俯视图18. （本小题15分）如图，已知四边形ABCD 为菱形，且060=∠A ，取AD 中点为E .现将四边形EBCD 沿BE 折起至EBHG ，使得90AEG ∠=o . (Ⅰ)求证：⊥AE 平面EBHG ； (Ⅱ)求二面角A -GH -B 的余弦值；(Ⅲ)若点F 满足AB λAF =，当//EF 平面AGH 时，求λ的值.19．（本小题14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，点A (0，1)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，过原点的直线（不与x 轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 、AN 与x 轴分别交于点E 、F ．问： y 轴上是否存在定点G ，使得∠OGE =∠OFG ？若存在，求点G 的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题14分）已知函数()()e x f x x a x a =-++，设()()g x f x '=. （Ⅰ）求()g x 的极小值；（Ⅱ）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求a 的取值范围. 21．（本小题14分）用[x ]表示一个小于或等于x 的最大整数.如：[2]=2，[4.1]=4，[-3.1]=-4.已知实数列Λ,,10a a 对于所有非负整数i 满足])[(][1i i i i a a a a -⋅=+，其中0a 是任意一个非零实数.(Ⅰ) 若6.20-=a ，写出a 1,a 2,a 3； (Ⅱ)若00>a ，求数列]}{[i a 的最小值；(Ⅲ)证明：存在非负整数k ，使得当k i ≥时，2+=i i a a .通州区高三年级一模考试数学试卷参考答案及评分标准 2020年4月一、选择题：（每小题4分，共40分.）二、填空题（每道小题5分，共25分）11．6 ； 12. 1；13．3； 14．8；15n-7；（第一空2分，第二空3分） 15．①②④ （答对一个给1分，答对两个给3分，全对给5分，出现一个错误不得分.）三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题14分）解：选○1，△ABC 的面积2S >成立，理由如下:当3A =π时，2147cos 222c A c +-==⋅， …………… 4分所以2230c c --=，所以3c =， …………… 6分则△ABC 的面积11sin 23sin 223S bc A π==⨯⨯⨯=…………… 10分2=>=， …………… 12分 所以2S >成立. ……………14分 选○2，△ABC 的面积2S >不成立，理由如下：当cos 7B =时，222cos 27a c b B ac +-==，…………… 4分27=整理得，230c -+=，所以c =…………… 6分 因2227,437a b c =+=+=， …………… 8分所以△ABC 是A 为直角的三角形， …………… 10分所以△ABC 的面积112222S bc ==⨯=<，…………… 12分 所以不成立. …………… 14分17. （本小题14分）解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80=400人，抽取的老年员工201407400⨯=人， 中年员工201809400⨯=人，青年员工20804400⨯=人 ……………… 4分（Ⅱ）X 的可取值为0,1,2 ……………… 5分23283(X=0)28C P C ==，11352815(X=1)28C C P C ==g ，252810(X=0)28C P C == ……………… 11分5(X)4E =. ……………… 14分18. （本小题15分）(Ⅰ)证明：在左图中，△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点所以BE ⊥AD ， ……………… 2分所以BE ⊥AE 因为90AEG ∠=o ，所以GE ⊥AE . ……………… 3分因为GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ∩BE =E所以⊥AE平面EBHG . ……………… 4分 (Ⅱ) 设菱形ABCD 的边长为2，由(Ⅰ)可知GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ⊥BE.所以以E 为原点，EA ,EB ,EG 所在直线分别为x ,y ,z 轴， 建立如图空间坐标系可得(1,0,0)A ，B ，(0,0,1)G ，H .……………… 6分=(1,0,1)AG -u u u r ，=(AH -u u u r设平面AGH 的法向量为),,(z y x n =所以 00n AG n AH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，即020x z x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 令x =1，则)1,33,1(-=n ………………8分 平面EBHG 的法向量为(1,0,0)EA =u u u r……………… 9分设二面角A -GH -B 的大小为)90(0<θθ721,cos |cos >=<=θ ……………… 11分 (Ⅲ) 由AF AB =λu u u r u u u r，则(1,0)F -λ所以)0,3,1(λλ-= ……………… 12分 因为//EF 平面AGH ，则 0=⋅ ……………… 13分 即120-λ= ……………… 14分所以21=λ ……………… 15分19. （本小题14分） 解：（Ⅰ）由题意得c e a =………………1分 b =1,又222a b c =+解得1a c == ……………… 4分所以椭圆方程为2212x y += ……………… 5分（Ⅱ）设00(,)M x y ，由题意及椭圆的对称性可知000(,)(1)N x y y --≠±……………… 6分 则直线AM 的方程为0011y y x x -=+ ……………… 7分 直线AN 的方程为0011y y x x +=+ ……………… 8分 则E 点坐标为00(,0)1x y -，F 点坐标为00(,0)1x y -+ ……………… 10分假设存在定点G （0，n ）使得∠OGE =∠OFG ，即tan ∠OGE =tan ∠OFG （也可以转化为斜率来求）……………… 11分 即OE OG OGOF=即2OG OE OF = ……………… 12分即220221x n y ==-所以n = ……………… 13分所以存在点G 坐标为(0,满足条件. ……………… 14分20. （本小题14分）解：（Ⅰ）()(1)1x f x x a e '=-++ ……………… 1分 由题意可知()(1)1x g x x a e =-++，所以()(2)x g x x a e '=-+ ……………… 2分 当2x a >-时()0g x '>，()g x 在(2,)a -+∞上单调递增；……………… 3分 当2x a <-时()0g x '<，()g x 在(,2)a -∞-上单调递减……………… 4分 所以()g x 在2x a =-处取得极小值，为2(2)1a g a e --=-+……………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得2()()1a f x g x e -'=≥-+当2a ≤时2()10a f x e -'≥-+>， ……………… 6分 所以()f x 在单调递增，所以()(0)0f x f >= ……………… 7分 即2a ≤时()0f x >在(0,)+∞恒成立. ……………… 8分当2a >时(0)(0)20f g a '==-<， ………………9分 又()()10a f a g a e '==+>， ……………… 10分 又由于()f x '在(2,)a -+∞上单调递增；在(0,2)a -上单调递减； 所以在(0,)a 上一定存在0x 使得0()0f x '=， ……………… 11分 所以()f x 在0(0,)x 递减，在0(,)x +∞递增，所以0()(0)0f x f <= ……………… 12分 所以在(0,)+∞存在0x ，使得0()0f x <， ……………… 13分 所以当2a >时，()0f x >在(0,)+∞上不恒成立所以a 的取值范围为(],2-∞. ………………14分21. （本小题14分）解：(Ⅰ) 2.11-=a 、6.12-=a 、8.03-=a . ……………… 3分4分 5分 9分11分分 令k =m ，满足当k i ≥时，2+=i i a a .综上，存在非负整数k ，使得当k i ≥时， 2+=i i a a .………………14分。

北京市通州区2020届高三数学上学期摸底（期末）考试试题2020年1月第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则{}21A x x =-<<{}13B x x =-<<A B = A. B. C. D. {}23x x -<<{}11x x -<<{}13x x <<{}21x x -<<-2.在复平面内，复数（其中是虚数单位）对应的点位于i1iz =+i A ．第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 已知点A （2，a ）为抛物线图象上一点，点F 为抛物线的焦点，则等于24y x =AFA.4B. 3C.D. 24. 若，则下列各式中一定正确的是0x y >>A.B. C. D. 11x y>tan tan x y >11()()22x y >ln ln x y>5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长度为考生须知 1.本试卷共4页，满分150分．考试时长120分钟．2.本试卷分为第一部分和第二部分两部分．3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．4 .考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．主主主主主主主主主主主主主主主2344A ．C. D. 6. 甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为A ． 24 B. 12 C. 8 D. 67. 对于向量，， “”是“”的a ba ab =+ 0b = A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8. 关于函数有以下三个判断21`()(1)x f x x ax e-=+-①函数恒有两个零点且两个零点之积为-1；②函数恒有两个极值点且两个极值点之积为-1；③若是函数的一个极值点，则函数极小值为-1.2x =-其中正确判断的个数有A ．0 个 B. 个 C. 个 D. 个123第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知向量，，若，则___________.()3,2a →=-()m b ,1=→()a a b →→→⊥-=m 10. 在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1=2，且a 1，a 3，a 7依次成等比数列，那么数列{a n }的前n 项和等于 .n S11.已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为，且两条渐近线互相垂直，则此双曲线的标准方程为 .12. 在中， ，，则 .ABC ∆3a =b =2B A ∠=∠cos B =13.已知均为大于0的实数，给出下列五个论断：,,a b a m +①，②，③，④，⑤.a b >a b <0m >0m <b m ba m a+>+以其中的两个论断为条件，余下的论断中选择一个为结论，请你写出一个正确的命题 .14. 如图，某城市中心花园的边界是圆心为O ，直径为1千米的圆，花园一侧有一条直线型公路l ，花园中间有一条公路AB （AB 是圆O 的直径），规划在公路l 上选两个点P ，Q ，并修建两段直线型道路PB ，QA ．规划要求：道路PB ，QA 不穿过花园．已知，OC l ⊥（C 、D 为垂足），测得OC =0.9，BD =1.2（单位：千米）．已知修建道路费用为BD l ⊥m 元/千米.在规划要求下，修建道路总费用的最小值为 元.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题13分）已知函数.()2cos()sin 3πf x x x =-（Ⅰ）求f (x )的最小正周期；（Ⅱ）求f (x )在区间上的最大值和最小值.π[0,]216．（本小题13分）为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格. 良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校.各等级学生人数占该校学生总人数的比例如下表：(Ⅰ)从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；(Ⅱ)从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X ，求X 的分布列；(Ⅲ)设8所学校优秀比例的方差为S 12，良好及其以下比例之和的方差为S 22，比较S 12与S 22的大小.（只写出结果）17．（本小题14分）如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠SAD =∠DAB =900，SA =3，SB =5，，，. 4AB =2BC =1AD =(Ⅰ)求证：AB 平面SAD ；⊥(Ⅱ) 求平面SCD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）点E ，F 分别为线段BC ，SB 上的一点，若平面AEF //平面SCD ，求三棱锥B -AEF 的体积.18．（本小题13分）已知椭圆C ：的长轴长为4，离心率为，12222=+b y a x (0)a b >>22点P 在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）已知点M (4，0)，点N (0，n )，若以PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点，求n 的取值范围．19. （本小题13分）已知函数．x x x x f cos sin )(+=（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；)(x f y =))0(0(f ，（Ⅱ）求函数零点的个数.21()()4g x f x x=-20. （本小题14分）已知项数为的数列满足如下条件：①；②*(,2)N m m m ∈≥{}n a *(1,2,,)n a N n m ∈= .若数列满足，12m a a a <<< {}n b *12()1m nn a a a a b N m +++-=∈- 其中，则称为的“伴随数列”.1,2,,n m = {}n b {}n a （Ⅰ）数列1,3,5,7,9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若为的“伴随数列”，证明：；{}n b {}n a 12m b b b >>> （Ⅲ）已知数列存在“伴随数列”，且，，求m 的最大值.{}n a {}n b 11a =2049m a =通州区2019—2020学年度第一学期高三年级期末考试数学试卷答案及评分标准 2020年1月一、选择题：（每小题5分，共40分.）题号12345678答案A AB DC C B C二、填空题（每道小题5分，共30分）9． ； 10．；11．； 12．； 13．①③推出⑤（答案不5-21322n n +221x y -=13唯一还可以①⑤推出③等）； 14．2.1三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题13分）解：1()2cos()sin 2(cos )sin 32f x x x x x x π=-=+ ……………4分23)32sin()2cos 1(232sin 21+-=-+=πx x x （Ⅰ） f (x )的最小正周期T = ……………7分2=2ππ（Ⅱ）因为，所以， ……………9分π[0,]2x ∈2π2[,333x ππ-∈-所以当,即时，f (x )取得最小值0； ……………11分233x ππ-=-0x =当，即时，f (x ). ……………13分232x ππ-=512x π=1+16．（本小题13分）解：（Ⅰ）8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40% ， ……………1分所以从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率为. ……………3分12（Ⅱ）8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B 、F 、H 三所，所以X 的取值为0，1，2. ……………4分145)0(2825===C C X P 2851)1(281315===C C C X P 283)2(2823===C C X P 所以随机变量X 的分布列为X 012P5141528328……………10分（Ⅲ）S 12=S 22 ……………13分17．（Ⅰ）证明：在中，因为，SAB 3,4,5SA AB SB ===所以. ………1分AB SA ⊥又因为∠DAB =900所以， ……………2分AB AD ⊥因为SA AD A= 所以平面SAD . ……………4分AB ⊥（Ⅱ）解：因为 AD ，，.SA ⊥AB SA ⊥AB AD ⊥建立如图直角坐标系则A （0,0,0）B (0,4,0)， C （2,4,0），D （1,0,0），S (0,0,3). ……………5分平面SAB 的法向量为. ……………6分(1,0,0)AD =设平面SDC 的法向量为(,,)m x y z =所以有00m CD m SD ⎧=⎪⎨=⎪⎩即，4030x y x z +=⎧⎨-=⎩令1x =所以平面SDC 的法向量为 ……………8分11(1,,43m =-所以. ……………9分12cos 13m SD m SD θ==（Ⅲ）因为平面AEF //平面SCD ，平面AEF 平面ABCD=AE ，平面SCD 平面ABCD=CD ， 所以，AE CD ∥平面AEF 平面SBC=EF ，平面SCD 平面SBC=SC ，所以 ……………11分FE SC ∥由，AD //BC AE CD ∥得四边形AEDC 为平行四边形.所以E 为BC 中点. 又，FE SC ∥所以F 为SB 中点. ……………12分所以F 到平面ABE 的距离为，32又的面积为2，ABE 所以. ……………14分1B AEF F ABE V V --==18 （本小题13分）解：（Ⅰ）由椭圆的长轴长2a =4，得a =2又离心率，所以22==a c e 2=c 所以．2222=-=c a b 所以椭圆C 的方程为；． ……………4分12422=+y x （Ⅱ）法一：设点，则)(00y x P ，1242020=+yx 所以PN 的中点 ……………5分22(00n y x Q +，，． ……………6分)242(00ny x MQ +-=，)(00n y x NP -=，因为以PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点所以MQ ⊥NP ，则 ……………7分0=⋅NP MQ即． ……………8分0))(2()42(0000=-++-n y n y x x 又因为，所以1242020=+y x 02822020=-+-n x x所以. ……………10分]22[28200202，，-∈+-=x x xn 函数的值域为]22[282)(00200，，-∈+-=x x xx f ]2012[，-所以2002≤≤n 所以. ……………13分5252≤≤-n 法二：设点，则．)(00y x P ，1242020=+yx 设PN 的中点为Q因为以PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点所以MQ 是线段PN 的垂直平分线 ……………7分所以MNMP =即2202016)4(ny x +=+-所以． ……………10分2820202+-=x xn 函数的值域为]22[282)(00200，，-∈+-=x x xx f ]2012[，-所以.2002≤≤n 所以. ……………13分5252≤≤-n 若有其他方法请酌情给分.19．（本小题13分）解：（Ⅰ）因为， ……………1分()cos f x x x '=所以. ……………2分(0)0f '=又因为 ……………3分(0)1f =所以曲线在点处的切线方程为. ……………4分)(x f y =))0(0(f ，1y =（Ⅱ）因为为偶函数， ……………5分21()()4g x f x x =-(0)1g =所以要求在上零点个数，()g x R x ∈只需求在上零点个数即可. ……………6分()g x (0,)x ∈+∞11()cos (cos 22g x x x x x x '=-=-令，得， ……………7分()0g x '=23x k ππ=+523x k ππ=+N k ∈所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，()g x (0,3π5(,)33ππ57(,)33ππ在单调递减，在单调递增……………8分5(2,233k k ππππ++(2,2)33k k ππππ-+N k *∈列表得：x 0(0,)3π3π5(,)33ππ53π57(,)33ππ73π711(,)33ππ113π…()g x '0+－+－…()g x 1↗极大值↘极小值↗极大值↘极小值…由上表可以看出在（）处取得极大值，在（）()g x 23x k ππ=+N k ∈523x k ππ=+N k ∈处取得极小值 ……………9分； 21()03236g ππ=+->. ……………10分25125()03236g ππ=+-<当且时k ∈*N 1k ≥221115(2)(2(2)(2033243434g k k k k ππππππππ+=+-+=-++<（或，） ………11分21()14g x x x <+-21(2(2)1(2)03343g k k k ππππππ+<++-+<所以在上只有一个零点. ………12分()g x (0,)x ∈+∞函数零点的个数为2. ………13分21()()()4R g x f x x x =-∈20．（本小题14分）（Ⅰ）解：数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”. ……………1分 因为，*41357979512b N ++++-==∉- 所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”. ……………3分（Ⅱ）证明：因为， (4)111n n n n a a b b m ++--=-*11,n m n N ≤≤-∈分又因为，所以有12m a a a <<< 10n n a a +-<所以 ……………5分1101n n n n a a b b m ++--=<-所以 成立 ……………6分12m b b b >>> （Ⅲ）1≤i <j ≤m ，都有， ……………7分∀1j i i j a a b b m --=-因为，.*i b N ∈12m b b b >>> 所以，*i j b b N -∈所以 ……………8分*1j i i j a a b b N m --=∈-所以*11204811m m a a b b N m m --==∈--因为，*111n n n n a a b b N m ----=∈-所以 ……………10分11n n a a m --≥-又112211()()()m m m m m a a a a a a a ----=-+-++- = ……………12分(1)(1)(1)m m m ≥-+-++- 2(1)m -所以，2(1)2048m -≤所以 ……………13分46m ≤又，*20481N m ∈-所以 33m ≤ 例如：（），满足题意，6463n a n =-133n ≤≤所以， m 的最大值是33. …………14分。

北京市八一学校2025届高三年级数学摸底考试试卷制卷人：高凯博 审核人：王明辉学校:___________姓名：___________班级：______考号：___________注意：本试卷共4 页，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题共40分）一、选择题（(本大题共10小题，共40分）1. 设集合{3}A x x =≥，{14}B x x =≤≤，则BA =R（ ）A. [)1,3B.(,4]−∞C. [3,4]D. [1,)+∞2. 复数2(1iz i i+=−是虚数单位)在复平面上所对应的点位于() A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知向量(1,2)=a ，(2,1)=b ，则cos ,<>a b 等于（ ）A.15B.15−C.45D.45− 4. 下列函数中，是奇函数且在(0,)+∞上为增函数的是（ ）A.1()f x x=−B.()f x =C.()||f x x =D.3()1f x x =+ 5. 已知抛物线x 2=2py 上一点A(m,1)到其焦点的距离为3，则p =( )A. 2B. −2C. 4D. ±46. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*1110,3()n n a a a n +=−=+∈N ，则n S 取最小值时，n 的值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 7. 直线y kx =+1被圆x y +=222截得的弦长为2，则k 的值为（ ）A. 2±B. 12±C. 1±D.08. 设,a b 是两个向量，则“+>−a b a b ”是“0⋅>a b ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 设函数f(x)={x(e x −e −x ),x ≥0−x 2−2x −4,x <0，若函数g(x)=f(x)−ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( ) A. (0,2]B. (0,2)C. (2,+∞)D. [2,+∞)10. 如图，在棱长为4的正方体ABCD A B C D ''''−中，E ，F 分别是AD ，A D ''的中点，长为2的线段MN 的一个端点M 在线段EF 上运动，另一个端点N 在底面A B C D ''''上运动，则线段MN 的中点P 的轨迹(曲面)与正方体(各个面)所围成的几何体的体积为()A. 43π B.23π C.6π D.3π第二部分（非选择题共 110分）二、填空题（本大题共5小题，共25分）11. (2x −1)6的展开式中x 2的系数为______(用具体数字作答)．12. 设121()2a =，ln πb =，9log 3c =，则,,a b c 的从小到大的顺序为 ．13. 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率为________。

北京市朝阳区2020届高三数学上学期期末考试试题（含解析）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1.在复平面内,复数对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1,2）,故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．2.已知,,,则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用中间量隔开三个值即可.【详解】∵,,,∴,故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较,考查幂指对函数的性质,属于常考题型.3.已知双曲线的离心率为,则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意,得双曲线的渐近线方程为y＝±x,再由双曲线离心率为2,得到c＝2a,由定义知b a,代入即得此双曲线的渐近线方程．【详解】解：∵双曲线C方程为：1（a＞0,b＞0）∴双曲线的渐近线方程为y＝±x又∵双曲线离心率为2,∴c＝2a,可得b a因此,双曲线的渐近线方程为y＝±x故选：B．【点睛】本题给出双曲线的离心率,求双曲线的渐近线方程,着重考查了双曲线的标准方程与基本概念,属于基础题．4.在中,若,,,则角的大小为（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理即可得到结果.【详解】解：∵b＝3,c,C,∴由正弦定理,可得,可得：sin B,∵c＜b,可得B或,故选：D．点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,考查计算能力,属于基础题．5.从名教师和名学生中,选出人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选,且入选教师人数不多于入选学生人数,则不同的选派方案的种数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生,两名教师和两名学生,分别利用组合公式计算即可.【详解】由题意可分成两类：（1）一名教师和三名学生,共；（2）两名教师和两名学生,共；故不同的选派方案的种数是.故选：C【点睛】本题考查组合的应用,是简单题,注意分类讨论、正确计算即可．6.已知函数,则（）A. 是奇函数,且在上单调递增B. 是奇函数,且在上单调递减C. 是偶函数,且在上单调递增D. 是偶函数,且在上单调递减【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可．【详解】函数的定义域为R,,即,∴是偶函数,当时,,为增函数,为减函数,∴在上单调递增,故选：C【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题,考查推理能力,是一道中档题．7.某三棱锥的三视图如图所示,已知网格纸上小正方形的边长为1,则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意把三棱锥放入棱长为2的正方体中,得出三棱锥的形状,结合图形,求出该三棱锥的体积．【详解】解：根据题意,把三棱锥放入棱长为2的正方体中,是如图所示的三棱锥P﹣ABC, ∴三棱锥P﹣ABC的体积为：,故选：A【点睛】本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题,考查空间想象能力,是基础题．8.设函数,则“”是“有且只有一个零点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【分析】有且只有一个零点的充要条件为,或,从而作出判断. 【详解】f（x ）＝, f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1）, 令f′（x）＞0,解得：x＞1或x＜﹣1, 令f′（x）＜0,解得：﹣1＜x＜1, ∴在,上单调递增,在上单调递减,且,,若有且只有一个零点,则,或∴“”是“有且只有一个零点”的充分而不必要条件,故选：A【点睛】本题考查充分性与必要性,同时考查三次函数的零点问题,考查函数与方程思想,属于中档题.9.已知正方形的边长为,以为圆心的圆与直线相切.若点是圆上的动点,则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系,圆的方程为：,,利用正弦型函数的性质得到最值.【详解】如图,建立平面直角坐标系,则,,,圆的方程为：,∴,∴,,∴∴时,的最大值是8,【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系,考查了,考查了正弦型函数的性质,考查推理能力与计算能力,属于中档题．10.笛卡尔、牛顿都研究过方程,关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（）A. ②③B. ①④C. ③D. ③④【答案】C【解析】【分析】以﹣x代x,以﹣x代x,﹣y代y,判断①②的正误,利用方程两边的符号判断③的正误,利用赋值法判断④的正误.【详解】以﹣x代x,得到,方程改变,不关于轴对称；以﹣x代x,﹣y代y,得到,方程改变,不关于对称；当时,显然方程不成立,∴该曲线不经过第三象限；令,易得,即适合题意,同理可得适合题意,∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的,故选：C【点睛】本题考查曲线与方程,考查曲线的性质,考查逻辑推理能力与转化能力,属于中档题．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题,每小题4分,共24分11.的展开式中的常数项为______.【答案】24【解析】【分析】先求出二项式展开式通项公式,再令,求出代入运算即可得解.【详解】解：由二项式展开式通项公式为, 令,解得,即展开式中的常数项为,故答案为24.【点睛】本题考查了二项式定理,重点考查了二项式展开式通项公式,属基础题.12.已知等差数列的公差为,若,,成等比数列,则_______；数列的前项和的最小值为_____．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式,解方程可得首项,即可得到a2,再由等差数列的求和公式,结合二次函数的最值求法,即可得到所求最小值．【详解】解：等差数列{a n}的公差d为2,若a1,a3,a4成等比数列,可得a32＝a1a4,即有（a1+2d）2＝a1（a1+3d）,化为a1d＝﹣4d2,解得a1＝﹣8,a2＝﹣8+2＝﹣6；数列{a n}的前n项和S n＝na1n（n﹣1）d＝﹣8n+n（n﹣1）＝n2﹣9n＝（n）2,当n＝4或5时,S n取得最小值﹣20．故答案为：﹣6,﹣20．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查等比数列中项的性质,以及二次函数的最值的求法,考查运算能力,属于中档题．13.若顶点在原点的抛物线经过四个点,,,中的2个点,则该抛物线的标准方程可以是________．【答案】或【解析】【分析】分两类情况,设出抛物线标准方程,逐一检验即可.【详解】设抛物线的标准方程为：,不难验证适合,故；设抛物线的标准方程为：,不难验证适合,故；故答案为：或【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法,考查待定系数法,考查计算能力,属于基础题. 14.春天即将来临,某学校开展以“拥抱春天,播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为,各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株,设为其中成活的株数,若的方差,,则________．【答案】【解析】【分析】由题意可知：,且,从而可得值．【详解】由题意可知：∴,即,∴故答案为：【点睛】本题考查二项分布的实际应用,考查分析问题解决问题的能力,考查计算能力,属于中档题．15.已知函数的定义域为,且,当时,．若存在,使得,则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由f（x +）＝2f（x）,得f（x）＝2f（x ﹣）,分段求解析式,结合图象可得m的取值范围．【详解】解：∵,∴,∵当时,．∴当时,．当时,．当时,．作出函数的图象：令,解得：或, 若存在,使得,则, 故答案为：【点睛】本题考查函数与方程的综合运用,训练了函数解析式的求解及常用方法,考查数形结合的解题思想方法,属中档题．16.某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度对保温效果的影响,利用热传导定律得到热传导量满足关系式：,其中玻璃的热传导系数焦耳/（厘米度）,不流通、干燥空气的热传导系数焦耳/（厘米度）, 为室内外温度差．值越小,保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户,具体数据如下表：型号每层玻璃厚度（单位：厘米）玻璃间夹空气层厚度（单位：厘米）A型B型C 型D 型则保温效果最好的双层玻璃的型号是________型．【答案】【解析】【分析】分别计算4种型号的双层玻璃窗户的值,根据值越小,保温效果越好．即可作出判断. 【详解】A型双层玻璃窗户：,B型双层玻璃窗户：,C型双层玻璃窗户：,D 型双层玻璃窗户：,根据,且值越小,保温效果越好．故答案为：B【点睛】本题以双层玻璃窗户保温效果为背景,考查学生学生分析问题解决问题的能力,考查计算能力.三、解答题共6小题,共86分。

北京市10区2020届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编导数及其应用1、（昌平区2020届高三上学期期末考试）已知函数2()3ln f x x x x =-+．（1）求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程； （2）证明：()22f x x ≤-；（3）确定实数k 的取值范围，使得存在01x >,当0(1,)x x ∈时,恒有()(1)>-f x k x ． 2、（朝阳区2020届高三上学期期末考试）已知函数()(sin )ln f x x a x =+，a ∈R ． （Ⅰ）若0a =，（ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程；（ⅱ）求函数()f x 在区间(1,)π内的极大值的个数． （Ⅱ）若()f x 在(,)2ππ内单调递减，求实数a 的取值范围．3、（朝阳区2020届高三上学期期中考试）已知函数ln ()xf x x a=+(0)a >． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1=a 时，证明：1()2≤x f x -； （Ⅲ）判断)(x f 在定义域内是否为单调函数，并说明理由．4、（东城区2020届高三上学期期末考试）已知函数321()3()3f x x x ax a =--∈R . （Ⅰ）若()f x 在1x =-时，有极值，求a 的值；（Ⅱ）在直线1x =上是否存在点P ，使得过点P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.5、（房山区2020届高三上学期期末考试）已知函数()(21)ln 1f x x x x =-+-. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：()1f x >-.6、（丰台区2020届高三上学期期末考试）已知函数321(1)()32a f x x x ax +=-+.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0(0))f ,处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）对于任意1x ，2[02]x ∈,，都有122()()3f x f x -≤，求实数a 的取值范围.7、（海淀区2020届高三上学期期末考试）已知函数2()e (1)(0)x f x ax a =+>.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 有极小值，求证：()f x 的极小值小于1.8、（海淀区2020届高三上学期期中考试）已知函数321()3f x ax x bx c =+++. 曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程为1y x =+.（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）若函数()f x 存在极大值，求a 的取值范围.9、（石景山区2020届高三上学期期末考试）已知函数()e x f x ax =-.（a ∈R ） （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若3a =，()f x 的图象与y 轴交于点A ，求()y f x =在点A 处的切线方程； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当0x >时，2()31f x x x >-+恒成立．10、（通州区2020届高三上学期期末考试）已知函数x x x x f cos sin )(+=． （Ⅰ）求曲线)(x f y =在点))0(0(f ，处的切线方程； （Ⅱ）求函数21()()4g x f x x =-零点的个数.11、（通州区2020届高三上学期期中考试）设函数bx x b x x f ++-=23)1()(．（Ⅰ）当b =0时，求函数)(x f 的极小值；（Ⅱ）若已知b >1且函数)(x f 与直线y =-x 相切，求b 的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，函数)(x f 与直线y =-x+m 有三个公共点，求m 的取值范围.(直接写出答案)12、（西城区2020届高三上学期期末考试）已知函数()21,2xf x e ax x =-+其中1a >- （1）当0a =时,求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程; （2）当1a =时,求函数()f x 的单调区间; （3）若()212f x x x b ≥++对于x ∈R 恒成立,求b a -的最大值.参考答案：1、（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.由2()3ln f x x x x =-+得3'()12f x x x=-+. 令'()2f x =，即3122x x -+=，得1x =，32x =-（舍）． 又(1)0f =，所以曲线()y f x =的斜率为２的切线方程为22y x =- （2）设2()()(22)3ln 2g x f x x x x x =--=--+，则2323(23)(1)'()21x x x x g x x x x x--+-+-=--==. 令'()0g x =得1x =，32x =-（舍）． 当'()0g x >时，01x <<； 当)'(0g x <时，1x >.所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减. 所以()(1)0g x g ≤=. 所以()22f x x ≤-. （3）由（2）可知，① 当2k =时，()2(1)f x x ≤-，所以不存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()2(1)f x x >-； 所以2k =不符合题意.②当2k >时，对于1x >，()2(1)(1)f x x k x ≤-<-， 所以不存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()2(1)f x x >-； 所以2k >不符合题意.③当2k <时，设2()()(1)(1)3ln h x f x k x x k x x k =--=-+-++.因为22(1)3'()x k x h x x-+-+=，令'()0,h x =即22(1)30x k x -+-+=.因为2(1)240k ∆=-+>，解得12x x ==.又因为2k <， 所以120,1x x <>. 取02x x =.当0(1,)x x ∈时，'()0h x >； 所以()h x 在0(1,)x 上单调递增. 所以()(1)0h x h >=. 即()(1)>-f x k x . 所以2k <符合题意.所以实数k 的取值范围是(,2)-∞.2、解：（Ⅰ）（ⅰ）因为()sin ln f x x x =，所以sin ()cos ln x f x x x x '=+，2()2f π'=π． 又因为()ln22f ππ=， 所以曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程为2ln ()22y x ππ-=-π，化简得2ln02x y π-π-π+π=． ………4分 （ⅱ）当(1,)2x π∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 无极大值．当(,)2x π∈π时，设()()g x f x '=，则22cos sin ()sin ln 0x xg x x x x x'=-+-<，所以()f x '在(,)2ππ内单调递减．又因为2()02f π'=>π， ()ln 0f 'π=-π<， 所以在(,)2ππ内存在唯一的0(,)2x π∈π，使得0()0f x '=．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表所以()f x 在0(1,)x 内单调递增，在0(,)x π内单调递减，此时()f x 有唯一极大值．综上所述，()f x 在(1,)π内的极大值的个数为1． ………10分（Ⅱ） 由题可知sin ()cos ln x a f x x x x +'=+，其中(,)2x π∈π． 当1a ≤-时，()0f x '<，故()f x 在(,)2ππ内单调递减；下面设1a >-．对于(,)2x π∀∈π，2ln ln lne 2x <π<=，且cos 0x <， 所以cos ln 2cos x x x >．所以当(,)2x π∈π时，sin sin 2cos ()2cos x a x a x xf x x x x +++'>+=． 设()sin 2cos h x x x x a =++，[,2x π∈π]，则()cos 2cos 2sin 3cos 2sin 0h x x x x x x x x '=+-=-<． 所以()h x 在[,2ππ]上单调递减．()102h a π=+>， ()2h a π=-π+． 当20a -π+≥时，即2a ≥π时，()0h π≥，对(,)2x π∀∈π，()0h x >， 所以()0f x '>，()f x 在(,)2ππ内单调递增，不符合题意．当20a -π+<时，即12a -<<π时，()02h π>，()0h π<， 所以1(,)2x π∃∈π，使1()0h x =，因为()h x 在(,2ππ)内单调递减， 所以对1(,)2x x π∀∈，()0h x >，所以()0f x '>．所以()f x 在1(,)2x π内单调递增，不符合题意．所以当1a >-时，()f x 在(,)2ππ内不单调递减．综上可得1a ≤-，故a 的取值范围为(,1]-∞-． …………14分3、解：函数()f x 的定义域为)0(∞+，，2ln 1()()ax x f x x a -++'=+． （Ⅰ）因为(1)0f =，1(1)1f a '=+， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10(1)1y x a -=-+， 即(1)10x a y -+-=． ………4分（Ⅱ）当1=a 时，ln ()1xf x x =+． 欲证1()2≤x f x -， 即证ln 112≤x x x -+， 即证22ln 10≤x x -+． 令2()2ln 1h x x x =-+， 则22(1)(1)()2x x h x x x x--+'=-=． 当x 变化时，(),()h x h x '变化情况如下表：所以函数)(x h 的最大值为(1)0h =，故()0≤h x ． 所以1()2≤x f x -． ………9分 （Ⅲ）函数)(x f 在定义域内不是单调函数．理由如下：令()ln 1ag x x x =-++， 因为221()0a x ag x x x x+'=--=-<，所以)(x g 在(0,)+∞上单调递减． 注意到(1)+10g a =>． 且11111(e )ln e 1(1)0ee a a a a a g a ++++=-++=-<．所以存在1(1,e)a m +∈，使得()0g m =．当(0,)x m ∈时，()0g x >，从而()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)m 上单调递增； 当(,)x m ∈+∞时，()0g x <，从而()0f x '<，所以函数()f x 在(,)m +∞上单调递减． 故函数)(x f 在定义域内不是单调函数． ………14分4、解：(Ⅰ) 因为 321()33f x x x ax =-+， 所以 ()223f x x x a '=-+.由()f x 在1x =-时，有极值得 ()11230f a '-=++= ， 解得 1a =- .经检验，1a =-时，()f x 有极值.综上，1a =-. ……………4分（Ⅱ）不妨设在直线1x =上存在一点(1,)P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为00(,)x y ，则切线l 方程为32200000013(23)()3y x x ax x x a x x -+-=-+-. 又直线l 过(1,)P b ，有32200000013(23)(1)3b x x ax x x a x -+-=-+-，即3200022+2303x x x a b --+=. 设322()2233g x x x x a b =-+-+， 22'()2422(1)0g x x x x =-+=-≥.所以()g x 在区间(,)-∞+∞上单调递增， 所以()0g x =至多有一个解.过点P 与()y f x =相切的直线至多有一条.故在直线1x =上不存在点P ，使得过P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切. ………………13分5、（Ⅰ）由()(21)ln 1f x x x x =-+-，得1'()2ln 3f x x x=-+ (1)2(1)0f f '∴==，则切线方程为22y x =-. （Ⅱ）证法1：1'()2ln 3,(0,)f x x x x=-+∈+∞， 令1()2ln 3,(0,)h x x x x=-+∈+∞， 222121'()0x h x x x x+∴=+=>，故()h x 在(0,)+∞上单调递增.又1(1)20,()1ln 4ln 024eh h =>=-=<，又()h x 在(0,)+∞上连续，01(,1)2x ∴∃∈使得0()0h x =，即0'()0f x =，∴0012ln 30x x -+=.（*） '(),()f x f x 随x 的变化情况如下：∴min 0000()()(21)ln 1f x f x x x x ==-+-.由（*）式得0013ln 22x x =-，代入上式得 min 0000001313()()(21)()122222f x f x x x x x x ==--+-=--+. 令131()2,(,1)222t x x x x =--+∈， 221(12)(12)'()2022x x t x x x +-=-=<，故()t x 在1(,1)2上单调递减.()(1)t x t ∴>，又(1)1t =-，.即0()1f x >-()1f x ∴>-.证法2：()(21)ln 12ln ln 1,(0,)f x x x x x x x x x =-+-=-+-∈+∞， 令()2ln ,()ln 1,(0,)h x x x t x x x x ==-+-∈+∞，'()2(ln 1)h x x =+，令'()0h x =得1x e=.'(),()h x h x 随x 的变化情况如下：min ()()h x h e e∴==-，即2ln x x e ≥-，当且仅当1x e =时取到等号.1'()x t x x -=，令'()0t x =得1x =. '(),()t x t x 随x 的变化情况如下：min ()(1)0t x t ∴==，即1ln 0x x --≥，当且仅当1x =时取到等号.22ln (ln 1)1x x x x e∴+-+->->-.即()1f x >-.6、解：（Ⅰ）当1a =时，因为321()3f x x x x =-+所以2()21f x x x '=-+，(0)1f '=.又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0(0))f ,处的切线方程为y x =. ……………….4分 （Ⅱ）因为321(1)()32a f x x x ax +=-+，所以2()(1)0f x x a x a '=-++=. 令()0f x '=，解得x a =或1x =.若1a >，当()0f x '>即1x <或x a >时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<即1x a <<时，函数()f x 单调递减. 若1a =，则22()21(1)0f x x x x '=-+=-≥，当且仅当1x =时取等号，函数()f x 是增函数.若1a <，当()0f x '>即x a <或1x >时，函数()f x 单调递增.当()0f x '<即1a x <<时，函数()f x 单调递减.综上，1a >时，函数()f x 单调递增区间为(1)()a -∞∞,,,+，单调递减区间为(1)a ,；1a =时，函数()f x 单调递增区间为()-∞+∞,；1a <时，函数()f x 单调递增区间为()(1)a -∞∞,,,+，单调递减区间为(1)a ,. (9)分（Ⅲ） 令2()(1)0f x x a x a '=-++=，解得x a =或1x =.当0a ≤时，随x 变化，()()f x f x ', 变化情况如下表：由表可知(0)(1)f f >，此时2(2)(1)3f f ->，不符合题意.当01a <<时，随x 变化，()()f x f x ', 变化情况如下表：由表可得3211112(0)0()(1)(2)62263f f a a a f a f ==-+=-=,,, ，且(0)()f f a <，(1)(2)f f <，所以只需()(2)(1)(0)f a f f f ≤≥⎧⎨⎩，， 即32112623110.26a a a -+≤-≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 解得113a ≤<.当1a =时，2()21(1)0f x x x x '=-+=->在(02),恒成立，符合题意.当12a <<时，只需(1)(2)()(0)f f f a f ≤≥⎧⎨⎩，， 即32112263110.62a a a -≤-+≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得513a <≤. 当2a ≥时，(1)(2)f f >，不符合题意.综上，实数a 的取值范围是15[]33,. ……………….14分7、解：（Ⅰ）由已知得2()e (21)x f x ax ax '=++，因为(0)1f = ，(0)1f ¢=， 所以直线l 的方程为1y x =+.（Ⅱ）（i ）当01a <?时，2221(1)10ax ax a x a ++=++-≥，所以2()e (21)0x f x ax ax '=++≥（当且仅当1a =且1x =-时，等号成立）. 所以()f x 在R 上是单调递增函数. 所以()f x 在R 上无极小值.（ii ）当1a >时,一元二次方程2210ax ax ++=的判别式4(1)0a a ∆=->， 记12,x x 是方程的两个根，不妨设12x x <.则121220,10.x x x x a +=-<⎧⎪⎨=>⎪⎩所以120x x <<.此时()f x '，()f x 随x 的变化如下：所以()f x 的极小值为2()f x . 又因为()f x 在2[,0]x 单调递增， 所以2()(0)1f x f <=. 所以()f x 的极小值为小于1.8、解：（Ⅰ）2'()2f x ax x b =++，因为()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =+，所以'(0)1,(0) 1.f f ==⎧⎨⎩解得1,1.b c =⎧⎨=⎩（Ⅱ）321()13f x ax x x =+++， ① 当0a =时，2()1f x x x =++不存在极大值，不符合题意.②当0a >时，2'()21f x ax x =++. 令2210ax x ++=.（i ）当440a ∆=-≤，即1a ≥时，不符合题意.（ii ）当440a ∆=->，即01a <<时，方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根.设方程两个根为1x ，2x ，且12x x <.x ，'()f x ，()f x 的变化如表所示：所以1()f x 为极大值.③当0a <时，440a ∆=->恒成立. 设方程两个根为1x ，2x ，且12x x <.x ，'()f x ，()f x 的变化如表所示：所以2()f x 为极大值. 综上，若函数()f x 存在极大值，a 的取值范围为(,0)(0,1)-∞U .9、解：（Ⅰ）()xf x e a '=-， ……………1分当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增， ……………3分 当0a >时，令()0f x '=，解得ln x a =. 当x 变化时，(),()f x f x '所以0a >时，()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增. …5分 （Ⅱ）令0x =，得1y =，则()0,1A ， …………6分因为()e 3x f x '=-，所以()0132f '=-=-， …………7分 所以在A 点处的切线方程为12(0)y x -=--，即21y x =-+. ………9分 （Ⅲ）证明：令()22()(3+1)=e 1x g x f x x x x =----，则()e 2x g x x '=-.令()e 2x h x x =-，则()e 2x h x '=-， 当0ln2x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减，当ln2x >时，()0h x '>，()h x 单调递增； …………11分 所以()()ln2ln2e 2ln222ln20h x h ≥=-=->，即()0g x '>恒成立.所以()g x 在(),-∞+∞上单调递增，所以()()01010g x g >=--=，………13分所以2e 10x x -->，即当0x >时，()231f x x x >-+恒成立． …………14分10、解：（Ⅰ）因为()cos f x x x '=， ……………1分 所以(0)0f '=. ……………2分 又因为(0)1f = ……………3分 所以曲线)(x f y =在点))0(0(f ，处的切线方程为1y =. ……………4分（Ⅱ）因为21()()4g x f x x =-为偶函数，(0)1g = ……………5分 所以要求()g x 在R x ∈上零点个数，只需求()g x 在(0,)x ∈+∞上零点个数即可. ……………6分11()cos (cos )22g x x x x x x '=-=- 令()0g x '=，得23x k ππ=+，523x k ππ=+N k ∈ ……………7分所以()g x 在(0,)3π单调递增，在5(,)33ππ单调递减，在57(,)33ππ单调递增，在5(2,2)33k k ππππ++单调递减，在(2,2)33k k ππππ-+单调递增N k *∈……………8分列表得：由上表可以看出()g x 在23x k π=+（N k ∈）处取得极大值，在523x k π=+（N k ∈）处取得极小值 ……………9分21()03236g ππ=+->；25125()03236g ππ=+-<. ……………10分 当k ∈*N 且1k ≥时221115(2)(2(2)(2033243434g k k k k ππππππππ+=++-+=-++<（或21()14g x x x <+-，21(2)(2)1(2)03343g k k k ππππππ+<++-+<） ………11分所以()g x 在(0,)x ∈+∞上只有一个零点. ………12分 函数21()()()4R g x f x x x =-∈零点的个数为2. ………13分 11、解：（1）当b=0时，23)(x x x f -=则x x x f 23)(2-='， …………………………1分 由0)(='x f 得32,0==x x ， …………………………2分 当0<x 或32>x 时，0)(>'x f ； …………………………3分 当320<<x 时，0)(<'x f ， …………………………4分 则当32=x 时，f(x)取得极小值2743232)32(23-=-=）（）（f …………………………5分（2）因bx x bx x x f +--=223)(，则b x b x x f ++-='）（223)(2…………………………6分 设函数)(x f 与直线y =-x 相切的切点是(00,y x )，…………………………7分 因为1)0(>='b f ，所以00≠x ，所以有⎪⎩⎪⎨⎧++-=-=-=++-='020300000200)1(1223)(bx x b x y x y b x b x x f ）（…………………………9分又1223020-=++-b x b x ）（，相减得012020=+-x b x ）（， 所以210+=b x ，所以⎪⎭⎫⎝⎛-+-+=-b b b 21)121(1，解得b=3。

通州区高三年级一模考试数学试卷2020年4月第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}02A x x =<≤，{}13B x x =<<，则AB =A. {}03x x << B . {}23x x << C . {}01x x <≤ D . {}12x x <≤2. 已知复数=i(2i)z + （i 是虚数单位），则z =A. 1 B . 2 C.D . 33. 函数()sin 2cos 2f x x x =+的最小正周期是（ ） Ａ．π2Ｂ．πＣ．2π Ｄ．4π4. 已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且(1)2f =，下列一定在函数()f x 图象上的点是A. （1，-2） B . （-1，-2） C . （-1，2） D . （2，1） 5. 已知a ，3，b ，9，c 成等比数列，且a >0，则33log log b c -等于 A. 1- B . 12- C . 12D . 16. 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则p =A.B . 2C .D . 47. 在6(2)1x x-的展开式中，常数项是A. -160 B . -20 C . 20 D . 1608．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(cos ,sin )A αα，(cos(),sin())33B ππαα++.则OA OB +=A.1 B .C . 2D . 与α有关9. 若a >0，b >0，则“ab ≥1”是 “a+b ≥2”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 某同学在数学探究活动中确定研究主题是“(1,N )n a a n *>∈是几位数”，他以2(N )n n *∈为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如下表：试用该同学的研究结论判断504是几位数（参考数据lg20.3010≈） A. 101 B . 50 C . 31 D . 30第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知向量(1,2)=-a ，(3,)m =-b ，其中m ∈R ．若,a b 共线 ，则m 等于 ___________.12. 圆()1122=+-y x的圆心到直线10x ++=的距离为 .13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于 .14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？” ，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 {}n a ，则1a = ； n a = . （注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）15.给出下列四个函数，①21y x =+；②12y x x =+++；③21x y =+；④2cos y x x =+ 其中值域为[1)+∞，的函数的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题14分）已知△ABC，满足a =2b =， ，判断△ABC 的面积2S >是否成立？说明理由.从①3A =π ，② cos B = 这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并做答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17． （本小题14分）2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如下：（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X 为选出的中年员工的人数，求X 的分布列和数学期望.18. （本小题15分）俯视图如图，已知四边形ABCD 为菱形，且060=∠A ，取AD 中点为E .现将四边形EBCD 沿BE 折起至EBHG ，使得90AEG ∠=. (Ⅰ)求证：⊥AE 平面EBHG ； (Ⅱ)求二面角A -GH -B 的余弦值；(Ⅲ)若点F 满足AB λAF =，当//EF 平面AGH 时，求λ的值.19．（本小题14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，点A (0，1)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，过原点的直线（不与x 轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 、AN 与x 轴分别交于点E 、F ．问： y 轴上是否存在定点G ，使得∠OGE =∠OFG ？若存在，求点G 的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题14分）已知函数()()e x f x x a x a =-++，设()()g x f x '=. （Ⅰ）求()g x 的极小值；（Ⅱ）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求a 的取值范围. 21．（本小题14分）用[x ]表示一个小于或等于x 的最大整数.如：[2]=2，[4.1]=4，[-3.1]=-4.已知实数列 ,,10a a 对于所有非负整数i 满足])[(][1i i i i a a a a -⋅=+，其中0a 是任意一个非零实数.(Ⅰ) 若6.20-=a ，写出a 1,a 2,a 3； (Ⅱ)若00>a ，求数列]}{[i a 的最小值；(Ⅲ)证明：存在非负整数k ，使得当k i ≥时，2+=i i a a .ECDBAEGHBA通州区高三年级一模考试数学试卷参考答案及评分标准 2020年4月一、选择题：（每小题4分，共40分.）二、填空题（每道小题5分，共25分）11．6 ； 12. 1；13．3； 14．8；15n -7；（第一空2分，第二空3分） 15．①②④ （答对一个给1分，答对两个给3分，全对给5分，出现一个错误不得分.）三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题14分）解：选○1，△ABC 的面积2S >成立，理由如下:当3A =π时，2147cos 222c A c +-==⋅， …………… 4分所以2230c c --=，所以3c =， …………… 6分则△ABC 的面积11sin 23sin 223S bc A π==⨯⨯⨯=分2=>=， …………… 12分 所以2S >成立. ……………14分 选○2，△ABC 的面积2S >不成立，理由如下：当cos 7B =时，222cos 27a c b B ac +-==，…………… 4分27=整理得，230c -+=，所以c = …………… 6分 因2227,437a b c =+=+=， …………… 8分所以△ABC 是A 为直角的三角形， …………… 10分所以△ABC 的面积112222S bc ==⨯=<，…………… 12分 所以不成立. …………… 14分17. （本小题14分）解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80=400人，抽取的老年员工201407400⨯=人， 中年员工201809400⨯=人， 青年员工20804400⨯=人 ……………… 4分 （Ⅱ）X 的可取值为0,1,2 ……………… 5分23283(X=0)28C P C ==，11352815(X=1)28C C P C ==，252810(X=0)28C P C == ……………… 11分5(X)4E =. ……………… 14分18. （本小题15分）(Ⅰ)证明：在左图中，△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点 所以BE ⊥AD ， ……………… 2分所以BE ⊥AE 因为90AEG ∠=，所以GE ⊥AE . ……………… 3分因为GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ∩BE =E所以⊥AE 平面EBHG . ……………… 4分 (Ⅱ) 设菱形ABCD 的边长为2，由(Ⅰ)可知GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ⊥BE.所以以E 为原点，EA ,EB ,EG 所在直线分别为x ,y ,z 轴， 建立如图空间坐标系可得(1,0,0)A ，B ，(0,0,1)G ，H .……………… 6分=(1,0,1)AG -，=(1,AH -设平面AGH 的法向量为),,(z y x n =所以 00n AG n AH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x z x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 令x =1，则)1,33,1(-=n ………………8分 平面EBHG 的法向量为(1,0,0)EA = ……………… 9分设二面角A -GH -B 的大小为)90(0<θθ721,cos |cos >=<=EA n θ ……………… 11分 (Ⅲ) 由AF AB =λ，则(1,0)F -λ所以)0,3,1(λλ-= ……………… 12分 因为//EF 平面AGH ，则 0=⋅ ……………… 13分 即120-λ= ……………… 14分所以21=λ ……………… 15分19. （本小题14分） 解：（Ⅰ）由题意得c e a ==………………1分 b =1,又222a b c =+解得1a c == ……………… 4分所以椭圆方程为2212x y += ……………… 5分（Ⅱ）设00(,)M x y ，由题意及椭圆的对称性可知000(,)(1)N x y y --≠±……………… 6分 则直线AM 的方程为0011y y x x -=+ ……………… 7分 直线AN 的方程为0011y y x x +=+ ……………… 8分 则E 点坐标为00(,0)1x y -，F 点坐标为00(,0)1x y -+ ……………… 10分假设存在定点G （0，n ）使得∠OGE =∠OFG ，即tan ∠OGE =tan ∠OFG （也可以转化为斜率来求）……………… 11分 即OE OG OGOF=即2OG OE OF = ……………… 12分即220221x n y ==-所以n = ……………… 13分所以存在点G 坐标为(0,满足条件. ……………… 14分20. （本小题14分）解：（Ⅰ）()(1)1x f x x a e '=-++ ……………… 1分 由题意可知()(1)1x g x x a e =-++，所以()(2)x g x x a e '=-+ ……………… 2分 当2x a >-时()0g x '>，()g x 在(2,)a -+∞上单调递增；……………… 3分 当2x a <-时()0g x '<，()g x 在(,2)a -∞-上单调递减……………… 4分 所以()g x 在2x a =-处取得极小值，为2(2)1a g a e --=-+……………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得2()()1a f x g x e -'=≥-+当2a ≤时2()10a f x e -'≥-+>， ……………… 6分 所以()f x 在单调递增，所以()(0)0f x f >= ……………… 7分 即2a ≤时()0f x >在(0,)+∞恒成立. ……………… 8分当2a >时(0)(0)20f g a '==-<， ………………9分 又()()10a f a g a e '==+>， ……………… 10分 又由于()f x '在(2,)a -+∞上单调递增；在(0,2)a -上单调递减； 所以在(0,)a 上一定存在0x 使得0()0f x '=， ……………… 11分 所以()f x 在0(0,)x 递减，在0(,)x +∞递增，所以0()(0)0f x f <= ……………… 12分 所以在(0,)+∞存在0x ，使得0()0f x <， ……………… 13分 所以当2a >时，()0f x >在(0,)+∞上不恒成立所以a 的取值范围为(],2-∞. ………………14分21. （本小题14分）解：(Ⅰ) 2.11-=a 、6.12-=a 、8.03-=a . ……………… 3分分 分分 4,3, ……………… 13令k =m ，满足当k i ≥时，2+=i i a a .综上，存在非负整数k ，使得当k i ≥时， 2+=i i a a .………………14分。