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工程力学第二章

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工程力学第2章静力学

工程力学第2章静力学
力使物体运动状态发生变化的效应称为力的外效应或运动效应(移动和转动)。
力使物体形状发生改变的效应称为力的内效应或变形效应；
力的单位，在采用国际单位为：
牛顿（N）、或千牛顿 （KN）
2.力的三要素
力对物体的作用效果取决于力的 大小、方向 与作用点
力的大小反映了物体间相互作用的强弱程度。
力的方向指的是静止质点在该力作用下开始运 动的方向。 力的作用点是物体相互作用位置的抽象化。
该定律是受力分析必须遵循的原则。
作用力与反作用力
2.4 力对点之矩
力对物体除了移动效应以外，还有对物体的转动效应。 观察扳手拧紧螺母的过程，说明拧紧程度与什么有关？
拧紧螺母时，其拧紧程度不仅与力 F 的大小有关，而 且与转动中心（O点）到力的作用线的垂直距离d有关 。
2.4.1 力对点之矩 —— 力矩
E
B
C
B
C
FNB
FNC
练习3
球W1、W2置于墙和板AB间，BC为绳索。 画受力图。
(b)
FNK
W2 FNK W2 FNH FNE
AF
Ay
FT FND W 1
AF
C
W2 FAx
B (d)
FT FD
D
FND W1
B
FNH
W1
A
K
W2
E FAx H (a)
FNE
FND W1
(c)
Ay
FNE
FNH
FT
2.2.1 公理1 力的平行四边形法则 作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合 力。合力的作用点仍在该点，合力的大小和方向由以这 两个力为边构成的平行四边形的对角线确定，如图。

工程力学：第2章 力系的简化

工程力学：第2章 力系的简化

F1sin45 F2sin45 0 FAsin30 F1cos45 cos30 F2 cos45 cos30 0 FAcos30 F1cos45 sin30 F2cos45 sin30 P 0
B FB1
相同的均质杆围成正方形，求绳EF的拉力。
要求：
用最少的方 程求出绳EF受 的力
FAy
FAx
A
E
P
FDy
FDx
D
G
P
B
F
P
C
FDy FDx
D
G
P
FDy FDx
D
FCy FCx
C
FBx FT
G
P
FBy
B
F
P
C
例3-3
q
FAx A
M B
2a
P
FAy
4a
FB
ll
30
F
M
3l P
q
例3-4
F
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ FR 0, MO 0 ,为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR 。
FAy
B FB1x
C
M
B
D
Cr
•
E
A
300 F E
FA
FT
C
F A1
FA
求：销钉A所受的力
M
B D
FD D C

《工程力学》课件第2章

《工程力学》课件第2章

图 2.3
1.
平移力 F1 , F2 …, Fn 组成的平面汇交力系的合 力 FR , 称为原平面任意力系的主矢。FR 的作用点在简化中
心O点， 大小等于各分力的矢量和，即
（2.2）
在平面直角坐标系中，则有
（2.3） （2.4）
式中，
分别为主矢 和各力在x、 y轴上的投影；
为主矢的大小； α为 与x轴所夹的锐角，的指向由∑Fx和
主矢的大小为
主矢的方向为
由于∑Ｆx和∑Fy都为正，因此主矢 指向第一象限
。
主矩的大小为
主矩的转向为逆时针方向。 力系向O点简化的结果如图2.4(b)所示。
(2) 由于 FR ０ ，MO≠0，根据力的平移定理的逆过程，可
将主矢 F与R主矩MO简化为一个合力FR。合力FR的大小、方向 与主矢 F相R 同，FR的作用线与主矢的作用线平行， 但相距
又如， 图2.1(b)所示的曲柄连杆机构受到转矩M、阻力F 以及约束反力FAx、FAy、FN的作用，显然这些力也构成了平面 力系。平面力系根据其中各力的作用线分布不同又可分为平 面汇交力系(各力的作用线汇交于一点)、平面力偶系(全部由 力偶组成)、平面平行力系(各力的作用线互相平行)和平面任 意力系(各力的作用线在平面内任意分布)。
由例2.2的讨论可知， 平面任意力系的平衡方程除了式 （2.6）所示的基本形式以外， 还有二力矩形式和三力矩形式， 其形式如下：
(2.7)
其中，A、B两点的连线不能与x轴(或y轴)垂直。
(2.8)
其中， A、 B、 C三点不能共线。 在应用二力矩形式或三力矩形式时， 必须满足其限制条
件，否则所列三个平衡方程将不都是独立的。
图 2.6
解 (1)选圆球为研究对象， 主动力：重力G 约束反力：绳子AB的拉力FT、斜面对球的约束力FN。受 力图如图2.6(b)所示。 (2) 建立直角坐标系Oxy， 列平衡方程并求解。

工程力学第2章PPT课件

工程力学第2章PPT课件
解 （1）取球O为研究对象，画分离体受力图，如图2-9b。 这是一平面汇交力系。
（2）建立坐标系Oxy轴如图2-9b。 （3）列平衡方程，并求解：
-
29
第2章 平面汇交力系
F ix 0 F T G c6 o 0 s 0
FT 0.5kN
F iy 0 F N G si6n 0 0
FN0.86k6N
由F iy0,得
F BC F T1co 3 s0 F T2 co 6s 0 0
3 1 31 F B C F T 12 F T 2 2 G 2 G 2 2.3 7 k 2N
-
35
第2章 平面汇交力系
例2-6 在图2-11a所示的机构中，杆AB和BC长度相等，A、 B、C处均为铰链连接。在B铰链处作用一竖直力FP=1kN，向 下推动B点而使压块C向右压紧工件，已知压紧工件时，，不 计零件自重及各处摩擦，求工件所受压紧力。
解 （1）由于滑轮B上作用着已知力和未知力，故取滑轮B 为研究对象，画其受力图。滑轮受钢丝绳拉力FT1与FT2作用， 且FT1=FT2=G。滑轮同时还受到二力杆AB与BC的约束反力FBA 和FBC作用，滑轮在四个力作用下处于平衡，由于滑轮尺寸不计， 这些力可看作平衡的平面汇交力系，滑轮B的受力图如图2-10d 所示。
-
19
第2章 平面汇交力系
图2-6
-
20
第2章 平面汇交力系
2.2 平面汇交力系的平衡
2.2.1平面汇交力系平衡的几何条件
设物体在A点受到五个力F1、F2、F3、F4、F5组成的平面汇 交力系作用而处于平衡状态，如图2-7（a）所示。我们可以用
力多边形法则求得其中任意四个力（如F1、F2、F3、F4）的合 力FR1，则原力系（F1、F2、F3、F4、F5）与力系（FR1，F5） 等效，如图2-7（b）所示。由于原力系是平衡力系，故力系

工程力学第2章(汇交力系)

工程力学第2章(汇交力系)

2.力在平面上的投影
FM F cos
⑴ 力在平面上的投影是矢量。 ⑵ α：力与投影平面的夹角。
3. 力在直角坐标轴上的投影 · 一次投影法 Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
·二次投影法
Fx Fxy cos F cos cos Fy Fxy sin F cos sin
合力FR 的大小
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
合力FR 的方向
R
F cos( F ，i )
x
cos( FR，j )
R
F Fy
F
z
F cos( F ，k ) F
二、汇交力系平衡的解析条件
汇交力系平衡的充分且必要条件是力系的合力等于零。
角为60o ，若接触面光滑，试分别求出圆柱给墙面和夹板的压 力。
解:
FA Gtan30o 500 tan30o 288.7N
G 500 FB 577.4N o o cos 30 cos 30
几何法求解汇交力系简化与平衡问题总结：
⑴ 选择研究对象，分析受力情况，画出全部的 已知力和未知力，利用二力平衡、三力平衡汇交等定 律确定某些力作用方向（必须明确力的方向，否则容 易出错）。
Fx 0 : Fy 0 : F
z
FA FC cos 30o sin 0
FB FC cos 30o cos 0 FC sin30o P 0
0:
由几何关系可得 cos 0.8 sin 0.6 解得： FA 10.39kN
FB 13.85kN FC 20kN
F2 = 4kN，F3 = 5kN，求三个力的合力。 解:

工程力学第二章基本理论

工程力学第二章基本理论

力在任一轴上的投影可求，力
沿一轴上的分量不可定。
8
合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分 力在该轴上之投影的代数和。
由合力投影定理有：
ac-bc=ab FRx=F1x+F2x+…+Fnx=Fx
FRy=F1y+F2y+…+Fny=Fy
正交坐标系有: FRx = FRx ; FRy = FRy
FR
非自由体： 运动受到限制的物体。
吊重、火车、传动轴等
FT
。
W
约束：
限制物体运动的周围物体。如绳索、铁轨、轴承。
约束力： 约束作用于被约束物体的力。
是被动力，大小取决于作用于物体的主动力。
作用位置在约束与被约束物体的接触面上。
作用方向与约束所能限制的物体运动方向相反。
20
返回主目录
约束力方向与所能限制的物体运动方向相反。
1
一般问题
(复杂问题)
抽象与简化 分析求解
验证
基本问题：
(1)受力分析—分析作用在物体上的各种力 弄清被研究对象的受力情况。
(2)平衡条件—建立物体处于平衡状态时， 作用在其上各力组成的力系 所应满足的条件。
(3)应用平衡条件解决工程中的各种问题。
2
返回主目录
第二章 刚体静力学基本概念与理论
2.1 力 2.2 力偶 2.3 约束与约束反力 2.4 受力图 2.5 平面力系的平衡条件
G
返回3主0目录
3)可确定作用点的约束
固定铰链： 约束反力FRA，过铰链中心。
大小和方向待定，用FAx、FAy表示
y
FAy
FA FAy
A
FAx

工程力学第二章(力系的平衡)

工程力学第二章(力系的平衡)

{
平衡方程其他形式： 平衡方程其他形式：
Σ Fx = 0 Σ MA（F）= 0 Σ MB（F）= 0 Σ MA（F）= 0 Σ MB（F）= 0 Σ MC（F）= 0
A
B
x
A、B 连线不垂直于x 轴 连线不垂直于x
（两矩式） 两矩式）
{
C B A C
（三矩式） 三矩式）
A、B、C三点不 在同一条直线上
l FC C B F
∑F x
y
∑M ( F) = 0,
A
F cos 45 ⋅l − F ⋅ 2l = 0 C
y FAy AF
Ax
l C FC
l x
45
B F
3、解平衡方程，可得 解平衡方程，
FC = 2 F cos 45 = 28.28 kN
FAx = − FC ⋅ cos 45 = −2 F = −20 kN
平面任意力系平衡方程讨论： 平面任意系平衡方程讨论：
{
x
Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ MO= 0
请思考：x , y 的选择是否有一定任意性？ 请思考： 的选择是否有一定任意性？
x y y x
y
例4 支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连 支架的横梁AB与斜杆 彼此以铰链 与斜杆DC彼此以铰链C
FBC cos 60 − G − Fcos 30 = 0
FBC = 74.5 kN
联立求解得 FAB = −5.45 kN
约束力F 为负值， 约束力FAB为负值，说明该力实际指向与 图上假定指向相反，即杆AB实际上受 实际上受拉 图上假定指向相反，即杆AB实际上受拉力。
解析法的符号法则： 解析法的符号法则：
平面任意力系平衡的充分必要条件： 平面任意力系平衡的充分必要条件：

工程力学 第二章 轴向拉伸与压缩.

工程力学 第二章 轴向拉伸与压缩.

2 sin ( 2 cos 1 )ctg 3.9 103 m
B1 B B1 B3 B3 B
B B
B B12 B1 B 2 4.45 10 3 m
[例2-11] 薄壁管壁厚为,求壁厚变化和直径变化D。
解：1）求横截面上的正应力
dx
N ( x) l dx EA( x) l
例[2-4] 图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆杆，2 段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。 已知2段杆内的应力σ 2=-30MPa，E=210GPa，求整个 杆的伸长△L
解: P 2 A2
30 25 18.75KN
N 1l Pl l1 l2 EA 2 EA cos l1 Pl cos 2 EA
[例2-8]求图示结构结点A 的垂直位移和水平位移。
解:
N1 P, N 2 0
Pl l1 , l2 0 EA Pl y l1 EA
N1
N2
Pl x l1ctg ctg EA
F
FN
FN F
F
F
CL2TU2
2.实验现象：
平截面假设
截面变形前后一直保持为平面，两个平行的截面之 间的纤维伸长相同。 3.平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面。 4.应力的计算 轴力垂直于横截面，所以其应力也仅仅是正应力。按 胡克定律：变形与力成正比。同一截面上各点变形相 同，其应力必然也相同。 FN （2-1） A 式中： A横截面的面积；FN该截面的轴力。 应力的符号：拉应力为正值应力，压缩应力为负 值应力。
1. 截面法的三个步骤 切: 代: 平:
F F F F

工程力学第2章轴向拉伸压缩与剪切

工程力学第2章轴向拉伸压缩与剪切
拉伸—拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。 压缩—压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。
F
N （＋） N
F
F
N （－） N
F
轴力一般按正方向假设。
3、轴力图： 轴力沿轴线变化的图形
F
F
N
4、轴力图的意义
+ x
① 直观反映轴力与截面位置变化关系；
② 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。
1、低碳钢轴向拉伸时的力学性质 (四个阶段)
⑴、弹性阶段:OA
OA’为直线段； E
AA’为微弯曲线段。
p —比例极限； e —弹性极限。
一般这两个极限相差不大， 在工程上难以区分，统称为弹 性极限
低碳钢拉伸时的四个阶段
⑴、弹性阶段:OA, ⑵、屈服阶段:B’C。
s —屈服极限
屈服段内最低的应力值。
例 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为FA = 5 F、 FB = 8 F、 FC = 4 F FD= F 的力，方向如图，试求各段内力并画出杆的轴力图。
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
N1
A
BC
D
FA
FB
FC
FD
解： 求OA段内力N1：设截面如图
X 0 FD FC FB FA N1 0
N4= F
FD
N1 2F , N2= –3F， N3= 5F， N4= F
N1 2F , N2= –3F， N3= 5F， N4= F
轴力图如下图示
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
N 2F
5F

工程力学(静力学部分第二章)

工程力学(静力学部分第二章)

M Fd
1
1
M Fd
2
2
M F d
n
n
=
=
F F F F
R
1
2
n
F F F F
R
1
2
n
=
=
=
M Fd R
F1d F2d Fnd
n
M
Mi
M i
i1
M M M
1
2
n
平面力偶系平衡的充要条件 M=0
即 Mi 0
例2-1 已知： P=20kN，R=0.6m, h=0.08m: 求：
n
r FR r F1 r F2 r Fn
即
M
O
F R
M
O
F i
平面汇交力系
M
0
F R
M
0
F i
三、力矩与合力矩的解析表达式
M F M F M F x F sin y F cos x F y F
O
Oy
Ox
y
x
M
O
F R
M
O
F i
M F OR
x F
i
iy
3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任 意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力 臂的长短，对刚体的作用效果不变。
=
=
=
=
=
=
=
4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。
三.平面力偶系的合成和平衡条件
已知： M1 , M 2 ,M n ;
任选一段距离d
M 1 d
F1
M 2
F
d
2
M
n F
d
n

工程力学第二章

工程力学第二章

S 3 π r 2 9.079 cm 2
4R 4r b 1.273 cm y1 4.244 cm y 2 3π 3π
y3 0
3）根据组合图形重心坐标公式求重心坐标
yc
S y
i 1 3 i
3
i
S
i 1
157.1 4.244 14.14 1.273 9.079 0 157.1 14.14 9.079
F 2 (b c) F 2 a 0
bac
上式即为长方体边长ɑ、b、c应满足的条件。
判断题
1、某平面力系向一点简化的结果与简化中心无关，则该力系一定平衡
2、若平面力系对一点的主矩为零，则此力系不可能合成为一个力偶 3、当平面力系的主矢为零时，其主矩一定与简化中心的位置无关 4、平面力系若不平衡，则一定可以合成为一个力 5、某平面力系向A，B两个点简化的主矩都为零，此力系简化的 最终结果可能是一个力么？可能是一个力偶么？可能平衡吗？
回顾 大小相等，方向相反，作用线平行的两个力称为力偶。 力偶：
基本的物理量，仅与力的转动效应有关
§2.1 汇交力系的简化
2.1.1 几何法
汇交力系： 力的作用线均汇交于同一点的力系 。
几何法： 通过力多边形求合力的方法称为几何法，又称为力多边形法则。
r r r r FR = F1 + F2 + L + Fn =
2.4.3 物体的重心
Pi xi xc Pi Pi yi （物体的重心坐标） yc Pi z Pi zi c Pi
2.4.4 确定物体重心的方法
1）计算方法
（1）对称法： （2）积分法： （3）查表法： 具有对称面、对称轴和对称中心的形状规则的均质物体， 其重心一定在对称面、对称轴和对称中心上。 均质简单几何形状物体的重心一般可通过积分求得。 工程上常见形状的重心位置均可通过工程手册查出。

工程力学

工程力学

力系简化的基础是力向一点平移定理。
工程力学
第2章 力系的简化
§2–2 力向一点平移定理
力向一点平移定理 作用于刚体上的力可从原来的作用点 平行移动任一点而不改变对刚体的作用效应，但须附加一 个力偶，附加力偶的矩等于原力对新作用点的矩。
F B h
F
F = B h
F
F
A
A
=
M=Fh B A
第2章 力系的简化
求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N， y F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。 F2
解： 根据合力投影定理，得合力在轴
x，y上的投影分别为：
FRx F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45 129 .3 N
FR=FR，但其作用线不过简化中心O。
FR
MO O
FR
= O
d
FR
FR
A
= O
d
FR
A
M 0 m0 ( FR ) d FR ' FR '
把各力矢首尾相接，连接第一个力的始端与最后一个力的终 端的矢量就是合力FR，力系中各力称为合力FR的分力。 F2 F1 F3 F2 F3 F
O
4
F1
FR
F4 • 得到的多边形，称为力多边形，合力就是力多边形的封闭边。
• 用力多边形求解合力的方法称为力的多边形法则。
工程力学 c F3 d F4 c F1 a
加减平衡力系原理
力偶
[证明]
力F
M o M o ( F ) Fh
力系F，F'，F''

工程力学第2章

工程力学第2章
பைடு நூலகம்
合力R为零等价于
∑ X i = 0 i =1 n ∑ Yi = 0 i =1
n
平面汇交力系平衡的必要与充分条件可解析地表达为： 平面汇交力系平衡的必要与充分条件可解析地表达为：力系中所有 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。 上式称为平面汇交力系的平衡方程。 上式称为平面汇交力系的平衡方程。 平面汇交力系有两个独立的平衡方程，可用于求解两个未知量。 平面汇交力系有两个独立的平衡方程，可用于求解两个未知量。
∑Y = 0 :
− N A − N B sin α = 0
其中 sin α =
1 代入方程， ，代入方程，解得 5
Rx = F1 cos 30° − F2 cos 60° + F3 cos 45° = −9.87N Ry = F1 sin 30° − F2 sin 60° + F3 sin 45° = 87.64N
合力的大小和方向： 合力的大小和方向：
2 R = Rx2 + Ry = 88.02N
Rx cos α = = −0.112 R
Y = 0 : − F − SCB sin 60o = 0 ∑
解得
将
SCB = S BC = − 3P 代入
F = 1.5P
工程力学（ 工程力学（二） 第2章 平面汇交力系
以上分析和求解的过程中， 以上分析和求解的过程中，着重强调的 是两个问题： 是两个问题： 一是要在了解研究对象的受力情况的基础 恰当地选取分离体， 上，恰当地选取分离体，以最简捷的思路给出 求解未知量的过程。 求解未知量的过程。 二是要恰当地选取坐标轴和平衡方程， 二是要恰当地选取坐标轴和平衡方程，提 高计算工作的效率。 高计算工作的效率。 求解较复杂的平面问题时首先构思解题方 形成解题思路，这不但是正确、 案，形成解题思路，这不但是正确、顺利地解 题的指导和保证，更是培养分析、 题的指导和保证，更是培养分析、解决问题能 力的必不可缺的训练。 力的必不可缺的训练。

工程力学 第二章

工程力学 第二章

i 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
FR FRn1 Fn Fi Fi
i 1
用力多边形的封闭边来表示汇交力系的合 力
力的多边形法则
平面汇交力系平衡的几何条件

平衡
FR 0


FR Fi 0
平面汇交力系平衡的必要和充分的
几何条件是：该力系的力多边形自行封 闭.
平衡条件
FR 0
FR Fx 2Fy 2
Fx 0
平衡方程
Fy 0
平面汇交力系平衡的解析条件为:力系中各分力在 两个轴上的投影的代数和分别为零.
例2
已知：碾子P=20kN，R=0.6m,
h=0.08m 求：
R
F
BP
h
A
1.水平拉力F=5kN时，地面对碾子的压力？
第二章 平面汇交力系和平面力偶系
§2-1 平面汇交力系合成与平衡
平面汇交力系是指力系中各力的作用线或者作用 线的延长线位于一个平面内，并且相交于一点.
合成就是指要用一个合力去等效替换这个复杂
的力系.
F
AP
B
FA
FB
一.多个汇交力的合成的几何法
公理 力的平行四边形法则 作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合
解得 F=11.55kN
例3 已知重物P=20kN,
A
不计杆重以及滑轮尺寸,
C
求杆AB和BC的受力. θ 30
解: 取B点分析 (假设均受拉)
B
θ θ
P D
Fy 0
FBC sin 30 FBD cos 30 P 0 FAB

工程力学 第二章 平面汇交力系

工程力学 第二章 平面汇交力系

再研究球，受力如图： 作力三角形 解力三角形：
Q P = N ′ ⋅ sin α
又 Q sin α = R − h N ′= N R F ⋅R ∴P = N ⋅sin α = ⋅ R −h
h ⋅(2R − h) R
NB=0时为球 离开地面
F (R −h) ∴P = h(2 R − h )
P h (2 R − h ) ∴F = R−h
力的多边形法则： 力的多边形法则：实质是连续多次应用 平行四边形法则（三角形法则） 平行四边形法则（三角形法则）
FR
F4 FR2 F3
FR1 F2 F1
力的多边形法则：把各分力矢量首尾相连， 力的多边形法则：把各分力矢量首尾相连，得到的 起点到终点的连线矢量即是合力。 起点到终点的连线矢量即是合力。
P h 2 −h (R ) ∴ F≥ 当 时 方 离 地 球 能 开 面 R−h
小结
• • 平面汇交力系合成：力的多边形、 平面汇交力系合成：力的多边形、解析法 平面汇交力系平衡：力多边形封闭、 平面汇交力系平衡：力多边形封闭、解析法
F =11.4kN A
F sinθ = F B F + F cosθ = P A B
F =10kN B
2.碾子拉过障碍物， 应有 F = 0 A 用几何法解得
F = P⋅tanθ =11.55kN
0 N 3. 解得 F in = P⋅sin θ =1 k m
例2 已知：AC=CB，F=10kN,各杆自重不计； 求：CD 杆及铰链A的受力.
例1
已知： P=20kN，R=0.6m， h=0.08m 求： ：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？ 2. 3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？？

《工程力学》第二章 基本力系

《工程力学》第二章 基本力系

• 以上三个决定力使物体绕某点转动效应的 因素，在数学上可用一特殊矢量来表示。 这个矢量的模等于力的大小F和力臂h的 乘积；该矢量的方位(即转动轴线在空间 的方位)，其指向由右手螺旋法则确定(图 2-19)。这个矢量称为力对点的矩矢，用 符号mO(F)表示。由图可知，它是一个通 过矩心O的定位矢量，是力对物体产生转 动效应的度量。
偶对力偶作用面上任一点O的矩，应为Байду номын сангаас行力F， F′对点O的矩的代数和，即
• 由此可知，两个力矩相加的结果与两力矩的矩 心位置无关，即力偶中两力对力偶作用面上任 一点之矩的代数和为一常量，它等于力偶中任 一力F的大小F和力偶臂d的乘积。此乘积称为 力偶矩，记作m(F，F′)，简记为m。于是
• 式中正负号反映力偶的转向，逆时针转向 取正，顺时针转向取负。力偶矩的量纲与 力矩相同，其单位也相同。
力R，则合力对物体作用时产生的效应与 各分力对物体同时作用时所发生的效应完 全相同。于是，合力R对点的矩矢可写为
•即
• 这就是合力矩定理，其物理意义是合力对 任一点之矩矢，等于各分力对同一点之矩 矢的矢量和。
• 若力系为平面力系，各力对平面上任一点 的矩为代数量，故合力矩定理在平面问题 中表述为
• 它表明：平面力系的合力对平面上任一点 的矩，等于各分力对同一点的矩的代数和。
• 二、汇交力系的合成
• 作用于物体上诸空间力作用线汇交于一点的力系称为空间汇交力 系。若诸空间力的作用线仅分布于同一平面且作用线汇交于一点， 这类力系称为平面汇交力系。研究汇交力系合成的方法有几何法 和解析法。
• 1.几何法
• 设作用于刚体上的空间汇交力系为F1、F2、…、Fn，且各力作 用线均汇交于一点O(图2-7(a))。O点为汇交点。按力的可传性 原理，施加于刚体上的汇交力系中各力作用点均可沿各自作用线 移至汇交点O。凡力系中诸力具有共同作用点的力系称为共点力 系(图2-7(b))。
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总结
4.力在坐标轴上的投影 5.合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于各分力在
同一个轴上投影的代数和。
6.平面汇交力系的平衡方程（投影方程）：
Fx = 0 Fy = 0
重点难点
1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
合成：汇交力系可以合成为一个合力，合力的大小和方向 由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过汇交点。 平衡：力多边形自行封闭。
（2）已知 A 轮重GA，平衡时，欲使α=00 的 B 轮的重量。
B
A
300
600
解：先取A轮为研究对象，受力分析：
y
B A
GA
300
A
FAB
300
300
600
FNA
x
Fx = 0 GAcos600 - FAB cos (α+300 ) = 0 (1)
y
取 B 轮为研究对象，受力分析：
GA
B A
600
B
C D
150
300
E A
B FTBC150150300
FTBD
FTBD=G
FAB E
G
解：1.取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：
2、取汇交点B为坐标原点，建立坐标系： 3、列平衡方程并求解：
Fx = 0 - FTBC cos300 - FTBD cos450 + FAB cos600= 0 Fy = 0 - FTBC cos600 - FTBD cos450 + FAB cos300-G= 0
y
B
A
30
W C
FB
A
x
300
W
Fc
y
FB
A
x
300
W
Fc
列平衡方程：
Fy = 0， - W -FC cos300 = 0
FC = -W/cos300 = … = -23.1 KN（压力）
Fx = 0， - FB - Fc sin300 = 0
FB = - Fc sin300 = … = 11.6 KN（拉力）
a abcde---力多边形 = F1 + F2+ F3+ F4
ae ---力多边形的封闭边
n 个力的合力:
F3
F1
F2
Fn Fi
FR
o
结论：
汇交力系可以合成为一个合力，合力的大小和方向 由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过汇交点。
即：合力矢等于各分力矢的矢量和。
关于力多边形法则，注意以下几点:
轴垂直。
4、建立静力平衡方程求解。
例2-2: 如图所示的平面刚架 ABCD , 自重不计. 在 B 点作用一水平力
P , 设 P = 20 kN . 求支座 A 和 D 的约束力 。
B P
A
C
2m
D
4m
解 : 取平面刚架 ABCD 为研究对象画受力图。
B P
FA
A
C
D
FD
平面刚架 ABCD 三点受力，C 为 汇交点. tan = 0.5
300
600
GB
600
300
B
FNA
y
FNB
300
A
FAB
300
x
FBA
x
y
取 B 轮为研究对象，受力分析：
GA
B A
300
A
FAB
300
FNA
300
600
Fy = 0
GB
600
300
-GBcos300 + FBA sin (α+300 ) = 0
B
(2)
FBA
x
y
FNB
x
GAcos600 - FAB cos (α+300 ) = 0 (1) - GBcos300 + FBA sin (α+300 ) = 0 (2)
y
Fy
F
Fx
x
y
Fy F
Fx x
投影是代数量，只有大小，没有方向； 而分力是矢量，既有大小，又有方向； 但力在平面上的投影是矢量。
平面汇交力系的合成与平衡的解析法
二、合力投影定理
z
F1
F2
FR
Fn
O
y
Fi
x
合力 FR 在坐标轴 x，y，z 上的投影分别为
FRx，FRy，FRz
z
F2
FR
F1
Fn
O
FRx = Fx
FRy = Fy
FRz = Fz
合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于各分力 在同一个轴上投影的代数和。
三、合成 由合力的投影，可求出合力的大小和方向：
平面汇交力系，在 xoy 坐标系，则：
FRx = Fx
FRy= Fy
FR=
FR2x
+
2
FRy
表示合力与x轴所夹的锐角 tan = FRy / FRx
10KN
1cm
FR
F3
F1
F2
y
F3
60 F2
o
30
FR
x
F1
测量合力 FR 的大小和方向.
FR=4.4 10=44KN
=22
求汇交力系平衡的步骤
1、选研究对象
（ 1 ）在所选的物体上应作用有已知力和待定未知力 。 （ 2）先选受力情况相对简单的物体，再选受力情况相对
较为复杂的物体。
2、取分离体，画受力图。 3、选择合适的投影轴，应使尽可能多的未知力与投影
F4
X
2、力在直角坐标轴上的分力：
力在平面直角坐标轴上的分力：
y Fy F
力 F 的解析式
Fy j Oi
Fx Fx x
若已知投影Fx 、 Fy ，则力 F 的大小和方向为：
3、投影与分力的比较： 1）联系： 在直角坐标轴上，二者大小相等， 且投影的正负号与分力的指向对应 一致； 但在斜坐标系中，二者大小不等。 2）区别：
若 a到b的指向与n轴正向一致，取正号； 若 a到b的指向与n轴正向相反，取负号。
力在轴上的投影：FB AFra bibliotekA F B
n
n
a
b
b
a
力在轴上的投影是代数量。
平面汇交力系的合成与平衡的解析法
例：F1=F2=F3=F4=100N。求各力在x轴上的投影。
300 F1
F3
F2
450
F1X = 100sin30 F2X = -100cos45 F3X = 0 F4X = -100
FAB = 45 kN FTBC = 9.65 kN y
600
B
C
150
300
D
E A
B
300
FTBC150150300 FTBD
FAB E G
x FTBD=G
解二：
Fy = 0 - FTBD sin150+ FAB sin300-Gsin600= 0
Fx = 0
FAB = 45 kN - FTBC - TBD cos150 + FAB cos300-Gcos600= 0
汇交力系平衡的必要和充分条件: 汇交力系的合力等于零.
2、平衡的几何条件：力多边形自行封闭。
F1
F4
F2 F3
平衡
F2
F3
F1 F4
封闭力多边形
平面汇交力系的合成与平衡的解析法
一、1、力在坐标轴上的投影 F
x
a Fx b
( Fx 为代数量 )
力在轴上的投影：
B F A
n
a
b
F
A
B
n
b
a
正负号的规定：
y
FB
FB
A
x
300
W
Fc
Fc W
（几何法）做封闭力多边形如图。
FC = W / cos300 = 23.1 KN (压力） FB = W tan300 =11.6 KN (拉力）
例题2-4：井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机D由绕过 滑轮B的钢索起吊。起重臂的A端支承可简化为固定铰支座，B端 用钢索BC支承。设重物E重G=20KN，起重臂的重量、滑轮的大 小和重量及钢索的重量均不计。求当重物E匀速上升时起重臂AB 和钢索BC所受的力。
y
Fi
x
FR = FRx i + FRy j + FRz k
Fi = Fxi i + Fyi j + Fzi k
FR= Fi
FRx i + FRy j+ FRz k = ( Fxi i + Fyi j + Fzi k )
= ( Fxi ) i +( Fyi ) j +( Fzi ) k
FRx i + FRy j+ FRz k = ( Fxi i + Fyi j + Fzi k ) = ( Fxi ) i +( Fyi ) j +( Fzi ) k
B P
FA
A
列平衡方程:
C
D
FD
Fx = 0 P + FA cos = 0 Fy = 0 FA sin + FD = 0
FA = - 22.36 kN FD =10 kN
例2-3 : 挂物架, W =20 KN。 求 AB 、AC 杆的受力。
B
A
30
W C
解：（解析法）
研究对象：销钉 A 。
（对）
于一点的力系称为平面汇交力系。