人教版八年级数学上册七年级第十一章第五讲：多边形的内角和(教师版)

第十一章三角形11.3.2 多边形的内角和〔王中炜〕一、教学目的〔一〕学习目的1.能将多边形转化成三角形，探究多边形的内角和公式.体会转化思想，培养逻辑推理才能.并会应用公式进展相关计算.2.探究多边形外角和，并会应用它进展有关计算.〔二〕学习重点多边形的内角和公式与多边形的外角和.〔三〕学习难点多边形内角和公式的探究与证明过程．二、教学设计〔一〕课前设计1.预习任务〔1〕三角形有三个内角，三个外角，同一顶点处的内、外角两角之和为180°.三角形的内角和等于180°.〔2〕长方形内角和为360°，正方形内角和为360°，用量角器量任意四边形的四个内角的度数之和为360°.〔3〕n边形的内角和等于 (n－2)×180°.〔4〕n边形外角和等于360°.2.预习自测〔1〕十边形的内角和为()．A．1260°B．1440°C．1620°D．1800°【知识点】多边形内角和公式【解题过程】180°×(10－2)＝1440°【答案】B〔2〕四边形的外角和是〔〕A．90°B．180°C．270°D．360°【知识点】多边形外角和为360°【思路点拨】学生通过预习得出四边形外角和为360°【答案】B〔3〕一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线共有()．A．6条B．9条C．8条D．7条【知识点】多边形内角和公式和多边形对角线条数公式【解题过程】一个多边形的内角和为720°，即180°×(n－2)＝720°，解得n＝6，所以该多边形是六边形，六边形有6×(6－3)2＝9条对角线.【答案】B〔4〕一个多边形的边数增加1，它的内角和增加()．A．90°B．120°C．180°D．360°【知识点】多边形内角和公式【解题过程】{180°×[(n+1)－2]}－{180°×(n－2)}＝180°【答案】C(二)课堂设计1.知识回忆〔1〕一个n 边形从一个顶点可以引(n－3) 条对角线，把n边形分成(n－2) 个三角形.一个n边形一共有n(n－3)2条对角线.〔2〕各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.〔3〕三角形内角和为180°，长方形和正方形内角和为360°.【设计意图】直接提出问题，唤醒学生已有的知识，把学生引到本节课思维的最近开展区，为新课学习提供知识铺垫.2.问题探究探究一多边形内角和公式●活动①从一个顶点连对角线，将多边形转化成三角形，从而推导出多边形内角和公式.师问：同学们，前面我们已经证明了三角形的内角和为180°，在小学我们用量角器量过四边形的内角度数，知道四边形的内角和为360°.如今你能利用三角形的内角和定理证明任意四边形的内角和为360°吗？老师引导学生添加辅助线，将多边形转化成三角形.学生小组交流，动手理论，完成以下填空题.如图，从四边形的一个顶点出发可以引条对角线，它们将四边形分成个三角形，四边形的内角和等于.【解题过程】可以引一条对角线；它将四边形分成两个三角形；因此，四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°.【答案】1；2；360°类似地，你能知道五边形、六边形……n边形的内角和是多少度吗?观察下面的图形，填空:从五边形一个顶点出发可以引2对角线，它们将五边形分成3三角形，五边形的内角和等于540°；从六边形一个顶点出发可以引3对角线，它们将六边形分成4三角形，六边形的内角和等于720°；从n边形一个顶点出发.，可以引〔n-3〕对角线，它们将n边形分成〔n-2〕三角形，n边形的内角和等于〔n-2〕×180°.让学生通过合作探究的方式完成以上填空题，让学生通过图形的观察和对数据的分析，类比归纳出多边形的内角和计算公式.总结板书：n边形的内角和等于(n-2)·180°〔n≥3〕.【设计意图】引导学生通过连对角线将多边形转化成三角形，从而得出多边形内角和公式，让学生感受转化思想对新知生成的重要性.同时掌握多边形内角和与三角形内角和的内在联络.●活动②多边形内角和公式的其它证明方法从上面的讨论我们知道，求n边形的内角和可以将n边形分成假设干个三角形来求.如今以五边形为例，你还有其它的分法吗?分法一如图1，在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，那么得五个三角形.∴五边形的内角和为5×180°-2×180°=(5-2)×180°=540°.分法二如图2，在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，那么可以得到(5-1)个三角形.∴五边形的内角和为〔5-1〕×180°-180°=〔5-2〕×180°.假如把五边形换成n边形，用同样的方法可以得到n边形内角和=(n-2)×180°. 【设计意图】这节课通过研究发现由多边形的一个顶点引对角线后原多边形被分成(n－2 )三角形，由此可得多边形的内角和公式为：(n-2 )180，这里充分表达由特殊到一般的推理特点；假如在多边形内任取一点与各个顶点相连得到n个三角形，但是这里多算了一个周角，因此可得到公式为：180n-360；假如在多边形的边上取一点与各个顶点相连得到n-1个三角形，但是这里多算了一个平角，因此可得到公式为：180〔n-1〕－180，化简后都可统一成(n－2 )180.让学生感受多种方法将多边形进展分割，根本思路都是将多边形转化成三角形.从而得出多边形内角和公式的不同证明方法，培养学生的逻辑推理才能.活动③例1 假如一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系?如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，求∠B与∠D的关系.【知识点】多边形内角和公式【解题过程】解:∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°，∠A+∠C=180°，∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=180°.【答案】假如四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.例1 变式假如一个四边形的一组邻角互补，那么另一组邻角有什么关系？【设计意图】通过这些例题和练习的设计，目的就是让学生尝试学以致用，进步学生运用新知解决问题的才能.探究二多边形外角和活动①小王家有一个六边形的花坛，小王绕花坛各顶点走了一圈，回到起点A，并面对他出发时的方向，问他的身体旋转了多少度？师问：如图，小王在6个顶点处旋转产生的∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的什么角？∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值是多少？在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和，即六边形外角和等于多少度？学生考虑作答，老师作适当点拨．【设计意图】类比三角形内外角之间的关系，引导学生观察出六边形的一个外角同与它相邻的内角互补的关系.用六个平角减去六边形内角和即可得到六边形外角和．【解题过程】解:∵∠1+∠BAF=180°，∠2+∠ABC=180°，∠3+∠BCD=180°，∠4+∠CDE=180°，∠5+∠DEF=180°，∠6+∠EFA=180°，∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DE F+∠6+∠EFA= 6×180°.又∵∠BAF+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=6×180°-4×180°=360°.从而得出六边形的外角和为360°.●活动②n边形外角和.老师引导学生利用问题1中六边形外角和等于360°的活动经历，通过观察、猜测、考虑，类比推理得出结论：n边形外角和等于n个平角减去n边形内角和．老师板书：n边形的外角和等于360°.并强调n边形的外角和是一个定值，与边数无关.●活动③例2 一个正多边形，一个内角与所有外角之和为480°，求这个内角的度数及多边形的边数.【知识点】多边形内角和公式与外角和【数学思想】数学计算【解题过程】解∵一个内角与所有外角之和为480°，多边形外角和为360°∴480°-360°=120°∵正多边形的每个内角都相等∴(n-2)×180°=120° n解得n = 6答：这个内角为120°，该多边形的边数为6.【思路点拨】因为正多边形的每个内角都相等，每个外角就相等.此题先用480°减去外角和360°得到一个内角为120°.再根据内角和公式建立方程，〔n-2〕×180=120 n，解得n = 6.【答案】120°，n = 6.【设计意图】通过此题的训练，让学生学会用多边形内角和公式及外角和进展相应计算，进步对公式的理解，同时感悟到内角和与外角和之间的联络.增强学生利用新知解决实际问题的信心与才能.3. 课堂总结⑴知识梳理〔1〕n边形的内角和等于(n一2)·180°〔n≥3〕〔2〕n边形的外角和等于360°重难点打破〔1〕通过将多边形转化成三角形的方法，用三角形内角和知识推导出多边形内角和公式与多边形的外角和.体会转化思想在新知推导过程中的重要作用.从而降低门槛，打破重难点.〔2〕强调内角和与外角和的联络.在正多边形的前提下，可用内角求外角，从而得到多边形的边数.〔三〕课后作业根底型自主打破1.五边形的内角和等于______度.【知识点】多边形内角和等于(n一2) ×180°【解题过程】解：(5一2) ×180°=540°【思路点拨】将n=5代入公式【答案】5402.假如一个多边形的内角和等于900°，那么这个多边形是_____边形.【知识点】多边形内角和等于(n一2) ×180°【解题过程】解：(n一2) ×180°=900°解得：n =7【思路点拨】根据多边形内角和公式建立方程【答案】七3.正十五边形的每一个内角等于_______度.【知识点】多边形内角和等于(n−2) ×180°，多边形外角和等于360°【解题过程】解法一：〔15-2〕×180°÷15=156°解法二：180°-〔360°÷15〕=156°【思路点拨】解法一是根据多边形内角和公式求出内角和，再除以边数得出一个内角的度数；解法二是用外角和360°除以边数得出一个外角的度数，再根据同一顶点处的一个内角与一个外角互补的关系，用180°减去一个外角得出一个内角的度数.强调：以上做法前提是正多边形.【答案】1564.一个正多边形的每个外角都等于30°，那么这个多边形边数是______.【知识点】多边形外角和等于360°【解题过程】360°÷30°=12【思路点拨】只有正多边形的每个内角相等，所以每个外角就相等.才可以用外角和来除以一个外角的度数得到边数.不是正多边形此方法不可用.【答案】125.一个正多边形的每个内角都等于144°，那么这个多边形边数是______.【知识点】多边形内角和等于(n-2) ×180°【解题过程】解：(n-2) ×180°=144°n ，n=10【思路点拨】根据多边形内角和公式建立方程.【答案】106.从一个多边形的一个顶点出发，一共做了10条对角线，那么这个多边形的内角和为_____度.【知识点】多边形一个顶点可引(n一3)条对角线，多边形内角和等于(n−2) ×180 【解题过程】解：∵n-3=10 ∴n=13∴(13-2) ×180°=1980°【思路点拨】先用对角线公式求出边数，再将边数代入内角和公式得出答案.【答案】1980才能型师生共研7.在多边形的内角中，锐角的个数不能多于_____个.【知识点】多边形内角和与多边形外角和【解题过程】解：因为多边形的外角和为360°，假如外角中有4个钝角，其和就会超出360°.所以外角中最多有3个钝角，从而得出内角中最多有3个锐角.【思路点拨】充分利用同一顶点的两个内、外角互补的关系，通过分析外角中钝角的个数倒推内角中锐角的个数.【答案】38.n边形的边数增加一倍.，它的内角和增加( )A.180°B. 180°nC.(n-2) ×180°D. 360°【知识点】多边形内角和【解题过程】(2n−2) ×180°− (n−2) ×180°=360°n−360°−180°n+360°=180°n【思路点拨】利用多边形内角和公式列式计算【答案】B探究型多维打破9. 多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求多边形的边数和该外角的度数.【知识点】多边形内角和与多边形外角和【解题过程】解：设多边形的边数为n，这个外角为x，那么0°<x<180°，依题意有：(n－2) ×180°+x =1350°∴n=1350180x+2=9+90 180x∵n为正整数，∴90－x必为180的倍数.又∵0°＜x＜180°.，∴90°－x = 0.，x = 90°.∴n = 9【思路点拨】多边形的内角和是180的倍数，将1350除以180商7余90，边数为7+2=9，余数90就是那一个外角的度数.【答案】多边形的边数是9，该外角是90度.10.一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数是多少？A. 16B. 14C.15，16或17．D. 14或15【知识点】多边形的内角和【解题过程】解：设新多边形的边数为n，那么〔n-2〕×180°=2520°，解得n=16，①假设截去一个角后边数增加1，那么原多边形边数为15，②假设截去一个角后边数不变，那么原多边形边数为16，③假设截去一个角后边数减少1，那么原多边形边数为17，所以多边形的边数可以为15，16或17．【思路点拨】∠A被截去.如图1，当直线L与AB、AE边交于M、N两点时，新多边形的边数比原多边形的边数增加1.如图2，当直线L与AB边交于M，同时过E点，新多边形的边数与原多边形的边数一样；如图3，当直线L过B、E点时，新多边形的边数比原多边形的边数少1；图3所以将原多边形的边数求出，再加1或减1就可以得出三种情况的答案.培养学生严密的逻辑推理才能.【答案】C自助餐:1.以下角度中，不能成为多边形内角和的是( )A. 900°B.720°C. 600°D.1080°【知识点】多边形的内角和【思路点拨】根据多边形内角和为〔n-2〕×180°可得多边形内角和是180的倍数. 【答案】C2.一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，这个多边形是〔〕A.四边形B.十边形C.六边形D.八边形【知识点】多边形内角和与多边形外角和【解题过程】解：〔n-2〕×180°=360°×4，∴n-2=8，∴n=10【思路点拨】内角和是间接通过外角和的4倍告知的，用内角和公式建立方程即可.【答案】B3.一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20°，那么此正多边形是正______边形.【知识点】多边形内角和与多边形外角和【解题过程】解：设每个外角的度数为x，那么与它相邻的内角的度数为〔3x+20〕.根据题意，得x+〔3x+20〕=180°4x=160°x=40°360°÷ 40=9【思路点拨】根据同一顶点处的两个内、外角互补的关系建立方程，求出一个外角的度数.再用外角和360除以40得到边数.【答案】九4.一个多边形的最大外角为85°，其他外角依次减少10°，那么此多边形是______边形.【知识点】多边形外角和【解题过程】解:由题意可得∵85°+75°+65°+55°+45°+35°=360°∴该多边形为六边形【思路点拨】从85倒推下去得出相应的其它外角，当它们的和刚好是360时，有多少个加数就有多少条边【答案】六5.假如多边形恰有四个内角是钝角，那么多边形的边数共有几种可能？其中最多是几边形？最少是几边形？【知识点】多边形内角和与多边形外角和第 11 页 【解题过程】因为多边形的外角和为360度.，所以最多只能有3个内角是锐角.加之的四个内角，最多有7个内角，即最多是七边形；反之四个内角是钝角，其与之互补的4个外角为锐角，其和必然小于360，所以最少还应有1个内角.所以最少是五边形.【思路点拨】任何一个多边形最多有3个内角是锐角.【答案】所以多边形的边数有3种可能.最多是七边形，最少是五边形.6.如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的值.【知识点】多边形内角和【解题过程】解：如图，连接CF .∵∠COF=∠DOE∴∠1+∠2=∠OCF+∠OFC∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠OCF+∠OFC+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=〔5-2〕×180°=540° 【思路点拨】解题关键是把该图形与凸多边形联络起来，从而利用多边形内角和定理来解决，因此可考虑连接辅助线.【答案】540° OGEDCB A。