82 双曲线

双曲线1.122PF PF a -=2.标准方程22221x y a b -= 3.111PF e d =>4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点.9．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.10．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 11．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.12．AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=.13．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-. 15．若PQ 是双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 222211A B a b -=+;(2) 2222||L a A b B =-.17．给定双曲线1C ：222222b x a y a b -=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b+-=-,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 222202222(,)a b a b x y a b a b++---. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a +⋅=⋅-. 19．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.20．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122cot2F PF S b γ∆=，2(cot )2b Pc γ± . 21．若P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）.22．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =--,20||MF ex a =-+.23．若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 1与PF 2的比例中项.24．P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线左支内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 在左支时，等号成立. 25．双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()0a b a x k k a b k b +⎛⎫>≠≠± ⎪-⎝⎭且. 26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是双曲线sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞0，b ＞0）上一点，则点P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是2211tan e ϕ=-. 29．设A,B 为双曲线2222x y k a b-=（a ＞0,b ＞0，0,1k k >≠）上两点，其直线AB 与双曲线22221x y a b-=相交于,P Q ,则AP BQ =. 30．在双曲线22221x y a b-=中，定长为2m （0m >）的弦中点轨迹方程为()()222222222222222221cosh sinh ,coth ,001sinh cosh coth ,00x y ay a t b t t x t a b bx m x y bx a t b t t y t a b ay ⎧⎡⎤⎛⎫--+=-==⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎛⎫⎪--+=-==⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎩时，弦两端点在两支上，时，弦两端点在同支上31．设S 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在双曲线右支上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20min ()2a l x c e =+222(c a b =+,c e a =);当l S <Φ时，有0min ()x =32．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤.33．双曲线220022()()1x x y y a b ---=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C -≤++.34．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.35．经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴的两端点A 1和A 2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=. 36．已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b+=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a-. 37．MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB 是经过双曲线中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP b a -=-. 39．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与双曲线相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m=上.40．设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF .41．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF .42．设双曲线方程22221x y a b-=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=.43．设A 、B 、C 、D 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P ,且P 不在双曲线上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅-=⋅-. 44．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为双曲线的焦点，12F PF ∠的内（外）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个双曲线时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤-±⎣⎦=-±). 45．设△ABC 三顶点分别在双曲线Γ上，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与双曲线Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y 的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A 到双曲线两焦点的距离，则ab =.48．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）和2222x y a bλ-=（01λ<< ），一条直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB │=|CD │.49．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-.50．设P 点是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot 2PF F S b θ∆=.51．设过双曲线的实轴上一点B （m,o ）作直线与双曲线相交于P 、Q 两点，A 为双曲线实轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则90MBN ∠=()2222()a n m a ma mb n a --⇔=-++. 52．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 且与实轴垂直的直线，A 、B 是双曲线的两个顶点，e 是离心率,点P L ∈，若APB α∠=，则α是锐角且1sin eα≤或1sin arc eα≤（当且仅当||PF b =时取等号）.53．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴顶点A 且与x 轴垂直的直线，E 、F是双曲线的准线与x 轴交点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c是半焦距，则α是锐角且1sin e α≤或1sin arc e α≤（当且仅当||abPA c=时取等号）.54．L 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 1且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线准线与x 轴交点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且21sin e α≤或21sin arc e α≤（当且仅当1||PF =.55．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与双曲线右支交于A 、B 两点，将A 、B 与双曲线左焦点F 1连结起来，则222112(2)||||a b F A F B a +⋅≥（当且仅当AB ⊥x 轴时取等号）.56．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=+.57．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则180PBA QBA ∠+∠=.58．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的两点，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，（若B P 交双曲线这一支于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，且180PBA QBA ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是双曲线22221x y a b-=的实轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b+=.60．过双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD,则()2228||||||ab AB CD a b a b +≥≠-； ()22||||4c AB CD a a b a +≥==61．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）两焦点的距离之比等于c ab-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()x ec y eb ±+=.62．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的实轴两端点的距离之比等于c ab-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x c y b ±+=.63．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为c ab-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆222()()b x a y e±+=（e 为离心率）.64．已知P 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上一个动点，',A A 是它实轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a-=.65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.66．设双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）实轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是双曲线上的点过P作斜率为2121b x a y 的直线l ，过',A A 分别作垂直于实轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''AMA M 面积趋近于2ab .67．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是双曲线2222()1x a y a b--=（a ＞0,b ＞0,且a b ≠）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab b a -.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y b a b a-+=--（除原点）。

双曲线知识点归纳总结例题分析双曲线基本知识点补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长（⼀般⽽⾔是a=b ，但有些地区教材版本不同，不⼀定⽤的是a,b 这两个字母）；（2）其标准⽅程为x^2-y^2=C ，其中C≠0；（3）离⼼率e=√2；（4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直；（5）等轴双曲线上任意⼀点到中⼼的距离是它到两个焦点的距离的⽐例中项；（6）等轴双曲线上任意⼀点P 处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P 所平分；（7）等轴双曲线上任意⼀点处的切线与两条渐近线围成三⾓形的⾯积恒为常数a^2；（8）等轴双曲线x^2-y^2=C 绕其中⼼以逆时针⽅向旋转45°后，可以得到XY=a^2/2，其中C≠0。

所以反⽐例函数y=k/x 的图像⼀定是等轴双曲线。

例题分析：例1、动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满⾜126PF PF -=，则点P 的轨迹⽅程为（）Ａ．221916x y -= Ｂ．221169x y -+=Ｃ．221(3)169x y y -+=≥ Ｄ．221(3)169x y y -+=-≤同步练习⼀:如果双曲线的渐近线⽅程为34y x =±，则离⼼率为（）Ａ．53Ｂ．54Ｃ．53或54例2、已知双曲线2214x y k+=的离⼼率为2e <，则k 的范围为（）Ａ．121k -<< Ｂ．0k < Ｃ．50k -<<Ｄ．120k -<<同步练习⼆:双曲线22221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离⼼率为．例3、设P 是双曲线22219x y a -=上⼀点，双曲线的⼀条渐近线⽅程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为．同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(2，则双曲线的标准⽅程为。

双曲线1.122PF PF a -=2.标准方程22221x y a b -= 3.111PF e d =>4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点.9．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.10．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 11．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.12．AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=.13．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-. 15．若PQ 是双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 222211A B a b -=+;(2) 2222||L a A b B =-.17．给定双曲线1C ：222222b x a y a b -=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b+-=-,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 222202222(,)a b a b x y a b a b++---. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1,PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a+⋅=⋅-.19．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.20．双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122cot2F PF S b γ∆=，2(cot )2b Pc γ± . 21．若P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）.22．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =--,20||MF ex a =-+.23．若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 1与PF 2的比例中项.24．P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线左支内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 在左支时，等号成立. 25．双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()0a b a x k k a b k b +⎛⎫>≠≠± ⎪-⎝⎭且.26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是双曲线sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞0，b ＞0）上一点，则点P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是2211tan e ϕ=-. 29．设A,B 为双曲线2222x y k a b-=（a ＞0,b ＞0，0,1k k >≠）上两点，其直线AB 与双曲线22221x y a b-=相交于,P Q ,则AP BQ =. 30．在双曲线22221x y a b-=中，定长为2m （0m >）的弦中点轨迹方程为()()222222222222222221cosh sinh ,coth ,001sinh cosh coth ,00x y ay a t b t t x t a b bx m x y bx a t b t t y t a b ay ⎧⎡⎤⎛⎫--+=-==⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎛⎫⎪--+=-==⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎩时，弦两端点在两支上，时，弦两端点在同支上31．设S 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在双曲线右支上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20min ()2a l x c e =+222(c a b =+,c e a =);当l S <Φ时，有0min ()x =32．双曲线22221x ya b-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤.33．双曲线220022()()1x x y y a b ---=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C -≤++.34．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.35．经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴的两端点A 1和A 2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=. 36．已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -.37．MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB 是经过双曲线中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP b a -=-. 39．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与双曲线相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为两顶点)的交点N在直线l ：2a x m=上.40．设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设双曲线方程22221x y a b-=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=.43．设A 、B 、C 、D 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在双曲线上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅-=⋅-.44．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为双曲线的焦点，12F PF ∠的内（外）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个双曲线时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤-±⎣⎦=-±). 45．设△ABC 三顶点分别在双曲线Γ上，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与双曲线Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y 的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A到双曲线两焦点的距离，则ab =.48．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）和2222x y a bλ-=（01λ<< ），一条直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-.50．设P 点是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot 2PF F S b θ∆=.51．设过双曲线的实轴上一点B （m,o ）作直线与双曲线相交于P 、Q 两点，A 为双曲线实轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则90MBN ∠=o()2222()a n m a m a m b n a --⇔=-++. 52．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 且与实轴垂直的直线，A 、B 是双曲线的两个顶点，e 是离心率,点P L ∈，若APB α∠=，则α是锐角且1sin eα≤或1sin arc eα≤（当且仅当||PF b =时取等号）.53．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴顶点A 且与x 轴垂直的直线，E 、F是双曲线的准线与x 轴交点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c是半焦距，则α是锐角且1sin e α≤或1sin arc e α≤（当且仅当||abPA c=时取等号）.54．L 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 1且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线准线与x 轴交点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且21sin e α≤或21sin arc e α≤（当且仅当1||PF =.55．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与双曲线右支交于A 、B 两点，将A 、B 与双曲线左焦点F 1连结起来，则222112(2)||||a b F A F B a+⋅≥（当且仅当AB ⊥x 轴时取等号）.56．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b aγ∆=+. 57．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则180PBA QBA ∠+∠=o.58．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的两点，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，（若B P 交双曲线这一支于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，且180PBA QBA ∠+∠=o ,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是双曲线22221x y a b-=的实轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b+=.60．过双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD,则()2228||||||ab AB CD a b a b +≥≠-；()22||||4c AB CD a a b a +≥==61．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）两焦点的距离之比等于c ab-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()x ec y eb ±+=.62．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的实轴两端点的距离之比等于c ab-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x c y b ±+=.63．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为c ab-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆222()()b x a y e±+=（e 为离心率）.64．已知P 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上一个动点，',A A 是它实轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a-=.65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.66．设双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）实轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是双曲线上的点过P作斜率为2121b x a y 的直线l ，过',A A 分别作垂直于实轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''AMA M 面积趋近于2ab .67．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是双曲线2222()1x a y a b--=（a ＞0,b ＞0,且a b ≠）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab b a-.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y b a b a-+=--（除原点）。

双曲线相关公式总结大全双曲线是二次函数的一种，其图像为两支分别向左右无限延伸的曲线，且这两支曲线在坐标原点处对称。

双曲线在数学、物理、工程和计算机等领域中都有广泛的应用，因此掌握双曲线的相关公式非常重要。

本文将对双曲线相关公式进行总结，帮助读者更好地理解和应用双曲线。

一、基本概念1. 双曲线方程双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 a 和 b 分别为双曲线的横轴半轴长和纵轴半轴长。

2. 对称轴双曲线的对称轴为直线 $y=0$。

3. 渐近线双曲线存在两条渐近线，分别为 $y=\frac{b}{a}x$ 和 $y=-\frac{b}{a}x$。

4. 焦点和准线双曲线有两个焦点 F1 和 F2，它们和双曲线的准线距离相等，且准线在对称轴上方，焦点在对称轴的上方。

二、性质1. 双曲线是一种对称曲线，对称轴为 $y=0$。

2. 双曲线图像被横轴、纵轴和两条渐近线所限定。

当 $x$ 趋于正无穷或负无穷时，$y$ 趋近于0。

当 $y$ 趋于正无穷或负无穷时，$x$ 趋近于无穷大。

3. 双曲线有两个焦点，与双曲线的准线距离相等。

4. 双曲线的渐近线斜率为 $\frac{b}{a}$。

5. 双曲线的离心率为 $\epsilon=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$，且$\epsilon>1$。

6. 双曲线的曲率半径为 $r=\frac{a^2}{b}$。

三、常用公式1. 双曲线的面积公式双曲线的面积可以通过定积分求解，公式为：$S=\int_{-a}^{a}\sqrt{a^2+x^2}\cdot\frac{b}{a}dx=b\int_{-a}^{a}\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a}dx=2b\left[\sqrt{a^2+x^2}\ln\left( x+\sqrt{a^2+x^2}\right)-a\ln\left(\sqrt{a^2}+a\right)\right]_{-a}^{a}=4b\left(\sqrt{a^2}+\ln\frac{2a}{a+\sqrt{a^2}}\right)$2. 双曲线的周长公式双曲线的周长公式为：$L=4a\int_{0}^{\infty}\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^2\operator name{sech}^2 t}dt=4aE(\frac{b}{a})$，其中 $E(x)$ 是第一类椭圆积分。

双曲线、焦半径和焦点弦1. 双曲线的定义和性质双曲线是解析几何中的一种重要曲线，它是由平面上满足特定数学关系的点集所组成。

双曲线的定义如下：在平面上取定两个不重合的点F1和F2，并给定一个常数a，称为焦距。

点P到F1和F2的距离之差的绝对值等于常数a，即|PF1 - PF2| = a，那么P的轨迹就是一条双曲线。

双曲线的形状和性质与焦距a的大小有关。

当a的值增大时，双曲线的形状变得更加扁平，离焦点越远。

当a的值减小时，双曲线的形状变得更加尖锐，离焦点越近。

在双曲线上，有两个特殊的点，称为焦点F1和F2，它们是双曲线的两个极点。

2. 焦半径的定义和计算方法焦半径是指从焦点到双曲线上任意一点的线段的长度。

我们可以通过以下步骤来计算焦半径：步骤1：给定双曲线的焦点F1和F2的坐标，以及焦距a的值。

步骤2：选择双曲线上的任意一点P，求出点P到焦点F1和F2的距离PF1和PF2。

步骤3：计算焦半径r，即焦点到点P的距离的一半，即r = (PF1 + PF2) / 2。

焦半径的计算方法可以用于确定双曲线上任意一点的位置和性质。

3. 焦点弦的定义和性质焦点弦是指双曲线上通过焦点的直线。

具体来说，给定双曲线的焦点F1和F2，以及焦距a的值，我们可以通过以下步骤来确定焦点弦的性质：步骤1：选择双曲线上的两个点A和B，分别与焦点F1和F2相连，得到直线AB。

步骤2：求出直线AB与双曲线的交点C和D。

步骤3：根据焦点弦的定义，焦点F1和F2分别位于焦点弦CD的两个焦点。

焦点弦具有以下性质：•焦点弦的中点是双曲线的中心点，也是双曲线的对称中心。

•焦点弦的长度等于双曲线的焦距。

4. 双曲线、焦半径和焦点弦的应用双曲线、焦半径和焦点弦在数学和物理学中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：4.1. 光学在光学中，双曲线被用于描述抛物面镜和双曲面镜的形状。

焦半径可以用于计算镜面的曲率半径，从而确定光线的聚焦和散焦效果。

焦点弦可以用于确定光线的传播路径和聚焦点的位置。

1982年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一．（本题满分6分） 填表：解：见上表二．（本题满分9分)1．求（—1+i ）20展开式中第15项的数值; 2．求3cos 2xy =的导数解:1.第15项T 15=.38760)()1(6201461420-=-=-C i C 2..32sin 31)3(3sin 3cos 2)3)(cos 3(cos 2x x x x x x y -='-='=' 三．(本题满分9分）在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形1．;0436323112=-y x2．⎩⎨⎧φ=φ+=.sin 2,cos 1y x解:1.得2x-3y-6=0图形是直线2。

化为,14)1(22=+-y x 图形是椭圆四．（本题满分12分)已知圆锥体的底面半径为R,高为H 求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h （如图）解：设圆柱体半径为r 高为h由△ACD ∽△AOB 得.RrH h H =- 由此得),(h H HR r -=圆柱体体积.)()(2222h h H HR h r h V -π=π= 由题意，H ＞h ＞0，利用均值不等式，有.)(,3,,2.274274224232222最大时因此当时上式取等号当原式h V H h h h H H R H H R h h H h H H R ==-π=⋅π⋅≤⋅-⋅-⋅π⋅=Y XAB 2R(注：原“解一”对h 求导由驻点解得五．（本题满分15分）的大小与比较设|)1(log ||)1(log |,1,0,10x x a a x a a +-≠><<（要写出比较过程）解一:当a >1时,.|)1(log ||)1(log |,1,0,10.|)1(log ||)1(log |,0)1(log ,110 ,10).1(log |)1(log ||)1(log |),1(log |)1(log |),1(log |)1(log |,10.|)1(log ||)1(log |,0)1(log ,110,1).1(log )]1(log )1([log |)1(log ||)1(log |),1(log |)1(log |),1(log |)1(log |222222x x a a x x x x x a x x x x x x x a x x x x a x x x x x x x x x a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +>-≠><<+>-∴>-∴<-<<<-=+--+-=+-=-<<+>-∴>--∴<-<>--=++--=+--+=+--=-总有时因此当时当解二：|)1(log |)1(log )1(log |)1(log ||)1(log |1x x x x x x a a a a -=+-=+-+,110,11<-<>+x x|)1(log ||)1(log |,1|)1(log ||)1(log |,10)1(log ,110,11)1(log 111log 11log )1(log 212212111x x x x x x x x xx x x a a a a x x x x x +>-∴>+->∴<-<-<>+--=-+=-=--=+++++即原式原式 六．（本题满分16分）如图：已知锐角∠AOB=2α内有动点P ，PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，且四边形PMON 的面积等于常数c 2今以O 为极点，∠AOB 的角平分线OX 为极轴，求动点P的轨迹的极坐标方程,并说明它表示什么曲线解：设P 的极点坐标为（ρ,θ)∴∠POM=α—θ，∠NOM=α+θ， OM=ρcos(α—θ),PM=ρsin （α-θ)， ON=ρcos （α+θ），PN=ρsin （α+θ)， 四边形PMON 的面积.2sin 2.2sin 2)sin (cos sin ,cos .2sin 22cos 2cos 2sin 2)](2sin )(2[sin 4)]sin()cos()sin()[cos(2:,)]sin()cos()sin()[cos(221212222222222222222α=-α=θ-θρθρ=θρ=α=θρ=θαρ=θ+α+θ-αρ=θ+αθ+α+θ-αθ-αρθ+αθ+α+θ-αθ-αρ=⋅+⋅=c y x c y x c c c c P PN ON PM OM S 即为化为直角坐标方程上式用即用和差化积公式化简得用倍角公式化简得的轨迹的极坐标方程是动点依题意这个方程表示双曲线由题意,动点P 的轨迹是双曲线右面一支在∠AOB 内的一部分七．（本题满分16分）AO已知空间四边形ABCD 中AB=BC,CD=DA,M ，N,P ，Q 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点（如图）求证MNPQ 是一个矩形证：连结AC ，在△ABC 中， ∵AM=MB ，CN=NB ，∴MN ∥AC在△ADC 中，∵AQ=QD ，CP=PD, ∴QP ∥AC ∴MN ∥QP同理，连结BD 可证MQ ∥NP∴MNPQ 是平行四边形取AC 的中点K ，连BK ，DK ∵AB=BC ，∴BK ⊥AC ，∵AD=DC ，∴DK ⊥AC BKD 与AC 垂直∵BD 在平面BKD 内，∴BD ⊥AC ∵MQ ∥BD,QP ∥AC,∴MQ ⊥QP ，即∠MQP为直角故MNPQ 是矩形八．（本题满分18分）抛物线y 2=2px 的内接三角形有两边与抛物线x 2=2qy 相切，证明这个三角形的第三边也与x 2=2qy 相切解:不失一般性，设p>0，q 〉0.又设y 2=2px 的内接三角形顶点为A 1(x 1，y 1）,A 2（x 2,y 2)，A 3（x 3，y 3因此y 12=2px 1,y 22=2px 2 ，y 32=2px 3B P CYx 2=2qy y 2=2px X其中y 1≠y 2 , y 2≠y 3 ， y 3≠y 1 。