中职拓展模块椭圆、双曲线,抛物线试题备课讲稿

授课题目3.2双曲线选用教材高等教育出版社《数学》（拓展模块一上册）授课时长4课时授课类型新授课教学提示本课以“广州塔”为例创设情境，帮助学生形成对双曲线的直观感受，然后通过一个实验展示了双曲线形成的过程，引导学生分析双曲线上的点所满足的几何条件，为建立双曲线的标准方程创造条件.然后，与椭圆标准方程的推导类比进行双曲线标准方程的推导，有理化过程学生课后自行完成，在类比介绍焦点在y轴上的双曲线标准方程.最后，借助双曲线的图像，分别研究焦点不同坐标轴的双曲线的几何性质.教学目标知道双曲线的概念及形成过程，知道如何化简形成双曲线的标准方程，能区分不同焦点坐标对应的不同方程；会根据双曲线的方程说出双曲线的几何性质，能根据条件求出双曲线的标准方程；逐步提升直观想象、数学运算和数学建模等核心素养.教学重点根据条件求双曲线的标准方程，根据标准方程分析双曲线的几何性质．教学难点双曲线标准方程的推导与化简．教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图情境导入广州塔是目前世界上已经建成的最高的塔桅建筑,广州塔的两侧轮廓线是什么图形？有什么特点？提出问题引发思考思考分析回答帮助学生形成双曲线形状的直观感受新知探索可以看出，广州塔两侧的轮廓线是关于塔中轴对称的两条曲线，它们分别从塔的腰部向上下两个方向延伸，人们称这样的曲线为双曲线．那么，如何画出双曲线呢？我们可以通过一个实验来完成.(1)取一条拉链,把它拉开分成两条，将其中一条剪短.把长的一条的端点固定在点F1出，短的一条的端点固定在点F2处；(2)将笔尖放在拉链锁扣M处，随着拉链的拉开或闭合，笔尖就画出一条曲线(图中右边的曲线)；(3)再把拉链短的一条的端点固定在点F1处，长的一条的端点固定在点F2处.类似地，笔尖可面出另一条曲线(图中左边的曲线).拉链是不可伸缩的，笔尖讲解说明展示图形引发思考理解思考结合图形思考问题通过实验展示画双曲线的过程，为建立双曲线的标准方程创造条件以经过双曲线两焦点F 1、F 2的直线为x 轴，以线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示.设M (x ,y )为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距为2c (c >0)，则焦点F 1、F 2的坐标分别为(-c ,0)、(c ,0). 又设双曲上的点M 与焦点的距离之差的绝对值为2a (a >0)，即||MF 1|-|MF 2||=2a ，则有|MF 1|-|MF 2|=±2a . 于是，有 2222()()2x c y x c y a ++--+=±，移项得 2222()()2x c y x c y a ++=-+±两边平方得 2222222()()4()4x c y x c y a x c y a ++=-+±-++，整理得 222()cx a a x c y -=±-+， 两边再平方，整理得 422222222+a c x a x a c a y =++，移项并整理得 22222222()()c a x a y a c a --=-.由双曲线的定义可知2c ＞2a ＞0，即a ＞c ＞0，因此220c a ->.令222(0)c a b b -=>，则上式可化为 222222b x a y a b -=.两边同时除以22a b ，得222210x ya ba b-= (＞0,＞).方程称为双曲的标准方程. 此时双曲线的焦点F1和F2在x轴上，焦点坐标分别为(-c,0)和(c,0).如图所示，以经过双曲线两焦点F1、F2的直线为y轴,线段F1F2的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系.类似地，可以求得双曲线的标准方程为222210y xa ba b-=　(＞0,＞).此时双曲线的焦点F1和F2的坐标分别为(0,-c)、(0, c). 例1根据条件，求双曲线的标准方程.探索新知x≤-a或x≥a.这说明，双曲线的两支分别位于直线x=-a的左侧与直线x=a的右侧，如图所示.2.对称性类似于前面关于椭圆对称性的研究，借助于方程()2222100x ya ba b-=>>　，可以发现，双曲线关于x轴、y轴和坐标原点都是对称的.x轴与y轴都称为双曲线的对称轴,坐标原点称为双曲线的对称中心(简称中心).3.顶点令y=0，得到x=±a.因此，双曲线与x轴有两个交点A1(-a,0) 和A2(a,0)(如图).双曲线与它的对称轴的两个交点A1、A2称为双曲线的顶点，线段A1A2称为双曲线的实轴，它的长等于2a，a是双曲线的实半轴长.令x=0，得到y²=-b²，这个方程没有实数解. 因此，双曲线与y轴没有交点. 我们仍将点B1(0,-b)与B2(0,b)画在y轴上，如图所示.线段B1B2称为双曲线的虚轴，它的长等于2b，b是双曲线的虚半轴长.显然,双曲线的焦点、顶点与实轴都在同一个坐标轴上．4.渐近线经过点A1、A2分别作y 轴的平行线x=-a，x=a,经过点B1、B2分别作x轴的平行线y=-b，y=b. 这四条直线围成一个矩形，如图所示. 矩形的两条对角线所在直线的方程为by xa=±.观察右图可以看出，双曲线的两支向外延伸时，分别与这两条直线逐渐接近但又永不相交，我们把这两条直线讲解说明展示讲解讲解说明展示讲解理解思考领会理解理解思考领会理解椭圆的范围和对称性易于直观判断，运用代数方法进行界定可以帮助学生习得几何问题代数化的思想方法，培养学生科学严谨的科学精神．确定双曲线范围的目的是用描点法画图时可以不取范围称为双曲线22221x y a b-=　的渐近线.借助双曲线的标准方程，可以更严格地描述渐进线的性质. 将双曲线的标准方程变为可以看到，当|x |无限增大时，y 的值无限接近于bx a或bx a-的值.这说明，当|x |无限增大时，双曲线与直线b y x a =或b y x a =-无限接近(但不能相交). 5.离心率 双曲线的焦距与实轴长的比c a称为双曲线的离心率，记作e .即ce a=. 因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率e ＞1. 由2222211b c a c e a a a-==-=- 可以看出，e 越大，b a 的值越大，从而渐近线by xa=±的斜率的绝对值越大，双曲线的“张口”就越大.因此，离心率e 反映了双曲线的“张口”大小.探究与发现为什么冷却塔的塔身大多是双曲线的形状？例3 求双曲线4y ²-16x ²=64实轴长、虚轴长、焦点坐标、为()0,25-，()0,25，顶点坐标为(0,-4)、(0,4)，离心率52c e a ==，渐近线方程为2b y x a =±=±.例4 求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)一个焦点的坐标为(10,0)，一条渐近线的方程为3x -4y =0； (2)焦距为12,离心率为32.解 (1) 由题设可知，双曲线的焦点在x 轴上，渐近线的方程为 34y x =. 于是有22100,3.4a b b a +==⎧⎪⎨⎪⎩ 解得28,6.a b ==⎧⎨⎩ 因此，所求的双曲线的标准方程为 2216436x y -=　； (2)由已知条件可知2c =12，因此c =6.又32c e a ==，故a =4，故b ²=c ²-a ²=20.于是，当双曲线的焦点在x 轴上时，所求双曲线的标准方程为2211620x y -=　.当双曲线的焦点在y 轴上时，所求双曲线的标准方程为2211620y x-=　.例5 用“描点法”画出双曲线221169x y -=　的图形. 分析 双曲线具有对称性,因此只需先画出双曲线在第一象限内的图形,然后对称性地画出全部图形. 解 当y ≥0时，双曲线的方程可以变形为23164y x =-(x ≤-4或x ≥4). 在[4,+∞)上,选取几个整数作为x 的值，计算出对应的y 值，列表以表中的x值为横坐标,对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y)，用光滑的曲线顺次链接各点得到双曲线在第一象限中的图形. 然后利用对称性，画出全部图形.温馨提示我们可以利用双曲线的顶点和渐近线，画出双曲线的大致图像.具体步骤如下：(1)由a²=16，得a=4，得到双曲线的两个顶点A1(-4,0)、A2(4,0)；(2)由b²=9，得b=3，得到双曲线的虚轴端点B1(0,-3)、B2(0,3) ；(3)作出由直线x=±4、y=±3所围成的矩形,画出矩形两条对角线所在的直线,即双曲线的两条渐近线；(4)依据双曲线经过实轴端点，且逐渐接近渐近线这一特点，画出大致图像.例6已知A、B两个哨所相距 1600m，在A哨所听到炮弹爆炸声比在B哨所晚3s.求炮弹爆炸点所有可能位置构成的曲线的方程(声速为 340 m/s).分析根据题意，由A、B两处听到爆炸声的时间差可算出A、B两处与爆炸点的距离差，它是一个定值. 因此，爆炸点所有可能的位置都在某双曲线上，又因为爆炸点距离A 处比距离B处远，所以爆炸点应在该双曲线中靠近B处的一支上.解如图所示，建立平面直角坐标系，使A、B两点在x 轴上，且坐标原点为线段AB的中点.设爆炸点M的坐标为(x,y)，则|MA|-|MB|=340×3=1020，于是有2a=1020，a=510，a²=260100.因为|AB|=1600，所以2c=1600，c=800，b²=c²-a²=379900.又|MA|-|MB|=1020>0. 故爆炸点M在双曲线的右支上，从而x≥510.因此，所求曲线方程为探究与发现能否用一根无弹性细绳、一把直尺、几颗图钉和一支笔画出双曲线？练习3.2.2。

【课题】 2．3 抛物线（二）【教课目的】知识目标：认识各样抛物线标准方程所表示的性质．能力目标：学生的数学思想能力获得提升．【教课要点】四种抛物线标准方程所表示的性质．【教课难点】四种抛物线标准方程所表示的性质．【教课方案】从范围、对称性、极点、离心率等方面研究抛物线的性质．抛物线与椭圆和双曲线对比，差异比较明显，其离心率为1，只有一个焦点，一条对称轴，一个极点，一条准线．而且抛物线没有中心，所以往常将抛物线叫做没心曲线，而将椭圆和双曲线叫做居心曲线．例3是求抛物线的标准方程及作图的训练题．在求抛物线的标准方程时，使用了“待定系数法” ，作图时，利用了抛物线的对称性．讲课时要注意数学思想方法的浸透．例 4 是已知抛物线上的一个点的坐标，求抛物线标准方程的训练题．解决这种问题时，要依据已知点的地点，判断方程的种类．一般状况下有两个解．【教课备品】教课课件．【课时安排】2 课时． (90 分钟 )【教课过程】教学教师学生教课时过程行为行为企图间* 揭露课题2． 3 抛物线．介绍认识0指引* 创建情境兴趣导入启发下边依据方程播放观看学生y2 2 px ( p课件课件得出0)怀疑思虑结果5来研究抛物线的性质．*动脑思虑研究新知1．范围在标准方程 y2 2 px 中，因为 p 0， y2≥ 0 ，所以抛物线上的点横坐标，都知足x≥ 0．于是，抛物线在 y 轴的右边引导（如图 2－ 15），而且当 x 的值增大时， | y| 也增大．这说明抛总结思虑学生物线向右上方和右下方无穷延长．概括发现解决问题方法图2－ 152．对称性在标准方程中，将 y 换成－ y，方程依旧建立．这说明双曲线对于 x 轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3．极点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的极点．在抛物线的标准方程中，令 y = 0 ，得 x = 0 ．所以，抛物线的极点为坐标原点．4．离心率抛物线上的点M 与焦点的距离与点M 到准线的距离的比叫做抛物线的离心率．记作 e ．由抛物线的定义知e = 1 ．【做一做】依据近似的方法研究其余三种标准方程对应的抛物线的性质．*稳固知识典型例题例3 已知抛物线对于x轴对称，极点在座标原点，而且经过点 M (2， 2) ．求抛物线的标准方程并利用“描点法”画出图形．剖析理解要点词语记忆25 引领察看注意察看解说思虑学生说明能否解因为点第四象限的点M (2, 2) ，且抛物对于 x 主理解称，点在座原点，故抛物的焦点在x 的正半求解知点上．其方程y2 2 px （ p 0 ）．将点 M (2, 2) 的坐代入方程，得( 2 2) 2 2 p 2，，解得p = 2．故抛物的准方程y24x ．能够先画出抛物在第一象限内的形，而后再利用抛物的称性，画出所有形．抛物的方程在第一象限内能够形y 2 x ．在［ 0，＋∞）内，出几个x 的，算出的y ．列表：x0 1 2 3 4⋯y0 2 2.83.5 4 ⋯以表中的 x 横坐，的 y 坐，在直角坐系中挨次描出相的点（ x，y），用圆滑的曲次各点获得抛物在第一象限内的形．而后利用称性，画出所有形（如2－16）．452－ 16例 4 已知抛物的点原点，称坐，而且点 M（― 5，―10）．求抛物的准方程．教课 过程教师 行为 学生 行为 教课 企图时 间剖析点 M （― 5，― 10）在第三象限．因为题中没有明确指出对称轴是x 轴仍是 y 轴，所以有两种状况（如图） ．图 2－ 17解 设所求抛物线的标准方程为y 2 2 p 1 x 或 x 22 p 2 y ，将点 M 的坐标分别代入方程，得( 10) 22p 1( 5)或 ( 5)2 2 p 2 ( 10)，解得p 1 10或 p 25 ．4故抛物线的标准方程为y 220 x 或 x25y ．2* 运用知识 加强练习1．在同一个坐标系内，画出以下抛物线：实时认识1x ；（ 2） y 2（ 1） y2x ；（3） y 2 2x ；（4） y 24x ．发问着手学生2巡视 求解知识2．已知两条抛物线的焦点坐标分别为（2，0）与（ 0，2）， 指导掌握 求这两条抛物线的交点的坐标．60状况* 理论升华 整体建构思虑并回答下边的问题：回答师 生怀疑什么叫做抛物线的离心率？共 同理解归 纳结论：强 调 抛物线上的点 M 与焦点的距离与点归 纳 加强要点M 到准线的距离的比叫做抛物线的 离心率 ．记作 e ．由抛物线的定义知 e = 1 ． 重申70* 概括小结 加强思想指引 回想75本次课学了哪些内容？要点和难点各是什么？教课教师学生过程行为行为*自我反省目标检测本次课采纳了如何的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习成效如何？发问反省已知抛物线的极点为坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上巡视着手一点 M（ a，― 3）到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．指导求解*持续研究活动研究( 1) 念书部分：教材说明记录( 2) 书面作业：教材习题2．3（必做）；学习指导2．3（选做）( 3) 实践检查：运用本课所学知识，解决实质问题【教师教课后记】项目反省点学生能否真实理解相关知识；学生知识、技术的掌握状况能否能利用知识、技术解决问题；在知识、技术的掌握上存在哪些问题；学生能否参加相关活动；学生的感情态度在数学活动中，能否仔细、踊跃、自信；碰到困难时，能否愿意经过自己的努力加以战胜；学生能否踊跃思虑；思想能否有条理、灵巧；学生思想状况能否能提出新的想法；能否自觉地进行反省；学生能否擅长与人合作；学生合作沟通的状况在沟通中，能否踊跃表达；能否擅长聆听他人的建议；学生能否愿意展开实践；学生实践的状况可否依据问题合理地进行实践；教课时企图间培养反思学习过程的能85 力分层次要求90在实践中可否踊跃思虑；可否存心识的反省实践过程的方面；。

【课题】2．2双曲线（二）
【教学目标】
知识目标：
了解双曲线标准方程所表示的双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质．
能力目标：
学生的数学思维能力得到提高．
【教学重点】
双曲线的性质．
【教学难点】
双曲线的渐近线概念的理解．
【教学设计】
双曲线性质的教学，可以与椭圆的性质对比进行，着重指出他们的异同点．例3是双曲线的性质的训练题．利用对称性，作图会简便的多，可以让学生自行练习．例4与例5都是求双曲线方程的训练题．这些题目都属于基础性训练题．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
图2－11
．对称性
在双曲线的标准方程中，将y换成－y，方程依然成立．说明双曲线关于x轴对称．
同理可知，双曲线关于y轴对称，也关于坐标原点对称．
轴都叫做双曲线的对称轴，坐标原点叫做双曲线的
图2－12 【说明】
焦点在y轴的双曲线
22
22
1(0,0)
y x
a b
a b
-=>>的渐近线方程
图2－13
画双曲线的草图时，可以首先确定顶点，再画出双曲线的渐近线，然后根据双曲线与其渐近线逐渐接近的特点画出图
【教师教学后记】。

【课题】2．2双曲线（二）【教学目标】知识目标：了解双曲线标准方程所表示的双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质．能力目标：学生的数学思维能力得到提高．【教学重点】双曲线的性质．【教学难点】双曲线的渐近线概念的理解．【教学设计】双曲线性质的教学，可以与椭圆的性质对比进行，着重指出他们的异同点．例3是双曲线的性质的训练题．利用对称性，作图会简便的多，可以让学生自行练习．例4与例5都是求双曲线方程的训练题．这些题目都属于基础性训练题．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)过 程 行为 行为 意图 间图2－112．对称性 在双曲线的标准方程中，将y 换成－y ，方程依然成立．这说明双曲线关于x 轴对称．同理可知，双曲线关于y 轴对称，也关于坐标原点对称．x 轴与y 轴都叫做双曲线的对称轴，坐标原点叫做双曲线的对称中心（简称中心）． 3.顶点 在双曲线的标准方程中，令0y =，得到x a =±．因此，双曲线与x 轴有两个交点1(,0)A a -和2(,0)A a （如图2－11）． 双曲线和它的对称轴的交点叫做双曲线的顶点．因此1(,0)A a -和2(,0)A a 是双曲线的顶点．令0x =，得到22y b =-，这个方程没有实数解，说明双曲线和y 轴没有交点．但是，我们也将点1(0)B b -，与2(0)B b ，画出来（如图2－11）． 线段1A EMBED Equation.DSMT4 2A ，1BEMBED Equation.DSMT4 2B分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为2a 和2b ．a 和b 分别表示双曲线的半实轴长和半虚轴长． 【说明】实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． 4．渐近线 经过12A A 、分别作y 轴的平行线x = －a ，x = a ，经过12B B 、分别作x 轴的平行线y = －b ，y = b ．这四条直线围成一个矩形（如图2－12）．矩形的两条对角线所在的方程为总结 归纳分析 关键词语 思考 理解 记忆引导学生发现解决问题方法过程行为行为意图间by xa=±．双曲线的标准方程可以写成22221b b ay x a xa a x=±-=±-，可以看到，当|x|无限增大时，y的值无限接近于bxa±的值．这说明双曲线的两支曲线与两条直线by xa=±无限接近（但不能相交）．因此，两条直线by xa=±叫做双曲线的渐近线．图2－12【说明】焦点在y轴的双曲线22221(0,0)y xa ba b-=>>的渐近线方程为ay xb=±．5．离心率双曲线的焦距与实轴长的比22c ca a=叫做双曲线的离心率，记作e．即cea=．因为0c a>>，所以双曲线的离心率1e>．由2222211b c a cea a a-==-=-过 程行为 行为 意图 间得到双曲线在第一象限内的图形．然后利用对称性，画出全部图形（如图2－13）．图2－13【说明】画双曲线的草图时，可以首先确定顶点，再画出双曲线的渐近线，然后根据双曲线与其渐近线逐渐接近的特点画出图形．例 4 已知双曲线的焦点为（6，0），渐近线方程为255y x =±，求双曲线的标准方程．解 由已知条件知双曲线的焦点在y 轴．所以有2236255a b b a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得 254a b ==，．故所求的双曲线方程为2212016x y -=． 【注意】不能由渐近线方程255y x =±直接得到5,25a b ==．想一想为什么？例5 已知双曲线的两个顶点坐标为（0，－4），（0，4）离心率为，求双曲线的标准方程及其渐近线方程．解 由已知条件知342a e ==，，焦点在y 轴上．因此 45。