中职数学双曲线与标准方程教学研究

授课题目3.2双曲线选用教材高等教育出版社《数学》（拓展模块一上册）授课时长4课时授课类型新授课教学提示本课以“广州塔”为例创设情境，帮助学生形成对双曲线的直观感受，然后通过一个实验展示了双曲线形成的过程，引导学生分析双曲线上的点所满足的几何条件，为建立双曲线的标准方程创造条件.然后，与椭圆标准方程的推导类比进行双曲线标准方程的推导，有理化过程学生课后自行完成，在类比介绍焦点在y轴上的双曲线标准方程.最后，借助双曲线的图像，分别研究焦点不同坐标轴的双曲线的几何性质.教学目标知道双曲线的概念及形成过程，知道如何化简形成双曲线的标准方程，能区分不同焦点坐标对应的不同方程；会根据双曲线的方程说出双曲线的几何性质，能根据条件求出双曲线的标准方程；逐步提升直观想象、数学运算和数学建模等核心素养.教学重点根据条件求双曲线的标准方程，根据标准方程分析双曲线的几何性质．教学难点双曲线标准方程的推导与化简．教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图情境导入广州塔是目前世界上已经建成的最高的塔桅建筑,广州塔的两侧轮廓线是什么图形？有什么特点？提出问题引发思考思考分析回答帮助学生形成双曲线形状的直观感受新知探索可以看出，广州塔两侧的轮廓线是关于塔中轴对称的两条曲线，它们分别从塔的腰部向上下两个方向延伸，人们称这样的曲线为双曲线．那么，如何画出双曲线呢？我们可以通过一个实验来完成.(1)取一条拉链,把它拉开分成两条，将其中一条剪短.把长的一条的端点固定在点F1出，短的一条的端点固定在点F2处；(2)将笔尖放在拉链锁扣M处，随着拉链的拉开或闭合，笔尖就画出一条曲线(图中右边的曲线)；(3)再把拉链短的一条的端点固定在点F1处，长的一条的端点固定在点F2处.类似地，笔尖可面出另一条曲线(图中左边的曲线).拉链是不可伸缩的，笔尖讲解说明展示图形引发思考理解思考结合图形思考问题通过实验展示画双曲线的过程，为建立双曲线的标准方程创造条件以经过双曲线两焦点F 1、F 2的直线为x 轴，以线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示.设M (x ,y )为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距为2c (c >0)，则焦点F 1、F 2的坐标分别为(-c ,0)、(c ,0). 又设双曲上的点M 与焦点的距离之差的绝对值为2a (a >0)，即||MF 1|-|MF 2||=2a ，则有|MF 1|-|MF 2|=±2a . 于是，有 2222()()2x c y x c y a ++--+=±，移项得 2222()()2x c y x c y a ++=-+±两边平方得 2222222()()4()4x c y x c y a x c y a ++=-+±-++，整理得 222()cx a a x c y -=±-+， 两边再平方，整理得 422222222+a c x a x a c a y =++，移项并整理得 22222222()()c a x a y a c a --=-.由双曲线的定义可知2c ＞2a ＞0，即a ＞c ＞0，因此220c a ->.令222(0)c a b b -=>，则上式可化为 222222b x a y a b -=.两边同时除以22a b ，得222210x ya ba b-= (＞0,＞).方程称为双曲的标准方程. 此时双曲线的焦点F1和F2在x轴上，焦点坐标分别为(-c,0)和(c,0).如图所示，以经过双曲线两焦点F1、F2的直线为y轴,线段F1F2的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系.类似地，可以求得双曲线的标准方程为222210y xa ba b-=　(＞0,＞).此时双曲线的焦点F1和F2的坐标分别为(0,-c)、(0, c). 例1根据条件，求双曲线的标准方程.探索新知x≤-a或x≥a.这说明，双曲线的两支分别位于直线x=-a的左侧与直线x=a的右侧，如图所示.2.对称性类似于前面关于椭圆对称性的研究，借助于方程()2222100x ya ba b-=>>　，可以发现，双曲线关于x轴、y轴和坐标原点都是对称的.x轴与y轴都称为双曲线的对称轴,坐标原点称为双曲线的对称中心(简称中心).3.顶点令y=0，得到x=±a.因此，双曲线与x轴有两个交点A1(-a,0) 和A2(a,0)(如图).双曲线与它的对称轴的两个交点A1、A2称为双曲线的顶点，线段A1A2称为双曲线的实轴，它的长等于2a，a是双曲线的实半轴长.令x=0，得到y²=-b²，这个方程没有实数解. 因此，双曲线与y轴没有交点. 我们仍将点B1(0,-b)与B2(0,b)画在y轴上，如图所示.线段B1B2称为双曲线的虚轴，它的长等于2b，b是双曲线的虚半轴长.显然,双曲线的焦点、顶点与实轴都在同一个坐标轴上．4.渐近线经过点A1、A2分别作y 轴的平行线x=-a，x=a,经过点B1、B2分别作x轴的平行线y=-b，y=b. 这四条直线围成一个矩形，如图所示. 矩形的两条对角线所在直线的方程为by xa=±.观察右图可以看出，双曲线的两支向外延伸时，分别与这两条直线逐渐接近但又永不相交，我们把这两条直线讲解说明展示讲解讲解说明展示讲解理解思考领会理解理解思考领会理解椭圆的范围和对称性易于直观判断，运用代数方法进行界定可以帮助学生习得几何问题代数化的思想方法，培养学生科学严谨的科学精神．确定双曲线范围的目的是用描点法画图时可以不取范围称为双曲线22221x y a b-=　的渐近线.借助双曲线的标准方程，可以更严格地描述渐进线的性质. 将双曲线的标准方程变为可以看到，当|x |无限增大时，y 的值无限接近于bx a或bx a-的值.这说明，当|x |无限增大时，双曲线与直线b y x a =或b y x a =-无限接近(但不能相交). 5.离心率 双曲线的焦距与实轴长的比c a称为双曲线的离心率，记作e .即ce a=. 因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率e ＞1. 由2222211b c a c e a a a-==-=- 可以看出，e 越大，b a 的值越大，从而渐近线by xa=±的斜率的绝对值越大，双曲线的“张口”就越大.因此，离心率e 反映了双曲线的“张口”大小.探究与发现为什么冷却塔的塔身大多是双曲线的形状？例3 求双曲线4y ²-16x ²=64实轴长、虚轴长、焦点坐标、为()0,25-，()0,25，顶点坐标为(0,-4)、(0,4)，离心率52c e a ==，渐近线方程为2b y x a =±=±.例4 求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)一个焦点的坐标为(10,0)，一条渐近线的方程为3x -4y =0； (2)焦距为12,离心率为32.解 (1) 由题设可知，双曲线的焦点在x 轴上，渐近线的方程为 34y x =. 于是有22100,3.4a b b a +==⎧⎪⎨⎪⎩ 解得28,6.a b ==⎧⎨⎩ 因此，所求的双曲线的标准方程为 2216436x y -=　； (2)由已知条件可知2c =12，因此c =6.又32c e a ==，故a =4，故b ²=c ²-a ²=20.于是，当双曲线的焦点在x 轴上时，所求双曲线的标准方程为2211620x y -=　.当双曲线的焦点在y 轴上时，所求双曲线的标准方程为2211620y x-=　.例5 用“描点法”画出双曲线221169x y -=　的图形. 分析 双曲线具有对称性,因此只需先画出双曲线在第一象限内的图形,然后对称性地画出全部图形. 解 当y ≥0时，双曲线的方程可以变形为23164y x =-(x ≤-4或x ≥4). 在[4,+∞)上,选取几个整数作为x 的值，计算出对应的y 值，列表以表中的x值为横坐标,对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y)，用光滑的曲线顺次链接各点得到双曲线在第一象限中的图形. 然后利用对称性，画出全部图形.温馨提示我们可以利用双曲线的顶点和渐近线，画出双曲线的大致图像.具体步骤如下：(1)由a²=16，得a=4，得到双曲线的两个顶点A1(-4,0)、A2(4,0)；(2)由b²=9，得b=3，得到双曲线的虚轴端点B1(0,-3)、B2(0,3) ；(3)作出由直线x=±4、y=±3所围成的矩形,画出矩形两条对角线所在的直线,即双曲线的两条渐近线；(4)依据双曲线经过实轴端点，且逐渐接近渐近线这一特点，画出大致图像.例6已知A、B两个哨所相距 1600m，在A哨所听到炮弹爆炸声比在B哨所晚3s.求炮弹爆炸点所有可能位置构成的曲线的方程(声速为 340 m/s).分析根据题意，由A、B两处听到爆炸声的时间差可算出A、B两处与爆炸点的距离差，它是一个定值. 因此，爆炸点所有可能的位置都在某双曲线上，又因为爆炸点距离A 处比距离B处远，所以爆炸点应在该双曲线中靠近B处的一支上.解如图所示，建立平面直角坐标系，使A、B两点在x 轴上，且坐标原点为线段AB的中点.设爆炸点M的坐标为(x,y)，则|MA|-|MB|=340×3=1020，于是有2a=1020，a=510，a²=260100.因为|AB|=1600，所以2c=1600，c=800，b²=c²-a²=379900.又|MA|-|MB|=1020>0. 故爆炸点M在双曲线的右支上，从而x≥510.因此，所求曲线方程为探究与发现能否用一根无弹性细绳、一把直尺、几颗图钉和一支笔画出双曲线？练习3.2.2。

《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其应用。

2. 过程与方法：（1）通过观察实例，培养学生的空间想象能力；（2）运用转化思想，引导学生学会用坐标法研究双曲线。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养其探求未知的精神；（2）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学重难点1. 教学重点：（1）双曲线的定义及其性质；（2）双曲线的标准方程及其应用。

2. 教学难点：（1）双曲线标准方程的推导；（2）双曲线性质的理解与应用。

三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究；2. 运用数形结合法，直观展示双曲线的性质；3. 采用分组讨论法，培养学生的合作能力；4. 利用实例讲解，提高学生的应用能力。

四、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关概念：椭圆、抛物线；（2）提问：双曲线是什么？它有哪些特点？2. 自主学习：（1）学生自主探究双曲线的定义及其性质；3. 讲解双曲线的标准方程：（1）引导学生观察双曲线的图形，发现其特点；（2）讲解双曲线标准方程的推导过程；（3）让学生尝试写出常见双曲线的标准方程。

4. 应用拓展：（1）利用双曲线标准方程解决实际问题；（2）引导学生发现双曲线在现实生活中的应用。

五、课后作业1. 复习双曲线的定义及其性质；2. 熟练掌握双曲线的标准方程及其应用；3. 完成课后练习，巩固所学知识。

4. 思考题：（1）双曲线有哪些实际应用场景？（2）如何利用双曲线解决实际问题？六、教学评价1. 课堂讲解：关注学生对双曲线定义、性质和标准方程的理解程度，以及能否运用所学知识解决实际问题。

2. 课后作业：检查学生对双曲线知识点的掌握情况，以及应用能力。

3. 学生互评：鼓励学生之间相互提问、讨论，提高课堂参与度。

七、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。

中职数学双曲线及其标准方程教学分析中职数学教育随着中职招生规模的不断扩大正在面临着前所未有的困惑和挑战，势在必行的中职数学教育改革是任重道远的，其中数学双曲线及其标准方程的教学分析是中职数学教学中非常重要的一部分。

本篇文章针对中职数学教育的现状以及如何提高数学教学进行了分析和探讨，尤其突出了中职数学双曲线及其标准方程的教学分析。

标签：中职数学；双曲线；标准方程；现状中职数学课程不但能够培养学生的思维能力和严谨踏实的治学精神，而且能够提供给学生在学习专业知识时所需的必要的基础知识，由此可知，在中职学校课程体系中，数学教学占有着特殊的重要地位。

而双曲线及其标准方程的学习时其中的一个重点以及难点，必须得到高度的重视，中职教育综合素质能否得到提高和数学学习的好坏有着直接的关系。

但是现阶段的中职数学教学过程中出现教师教学进度缓慢，教学效果低下和学生学习数学兴趣低，数学成绩不理想的状况。

1 中职学校数学教学现状分析1.1 教学内容脱离实际目前，我国中职学校数学课程所采用的教材大多是由以前老的高中数学教材删减而来，所以这些并没有真正符合中职学生实际情况的教材依旧存在着诸多的问题。

对于中职学生来说，这些教材上的知识理论性太强、内容太多并且难度较深，不适合目前的学习，学习起来也比较费劲和吃力。

另外，中职学校文化课的授课时间大幅压缩，对于一些必须学习部分内容的数学难以进行教学。

1.2 中职学校数学教学观念不能与时俱进决定一所学校的教学的质量的关键的一个因素就是学校的教学观念，中职学校数学目前的教学观念不能与时俱进是现如今制约中职学校数学教学最为重要的因素之一。

一些较为传统的数学教学的理念，例如，以教师课堂以及肯本为中心的理念在师生们心中仍然是根深蒂固的。

但是真正应该贯彻实施的教学理念是以学生为中心，并且将能力放在本位，但是在实际的中职学校教学的过程中这一理念却并没能落实到位。

许多数学老师只是简单地认为中职学生因为基础太差，对教学中存在的矛盾并没有作过多的探讨和研究，因此对于一些非专业的学科，根本就不会认真的去进行授课和讲解。

风。
学观念 ， 中职学校数学 目前 的教学观念不能与时俱进是现如今 制约 中职学校数学教学最为重要的因素之一。 一些较为传统的数学教学 的理 念 ， 例如 ， 以教 师 课 堂 以及 肯本 为 中心 的 理 念 在 师生 们 心 中仍 然是根深蒂 固的。 但是真正应该贯彻实施的教学理念是以学生为中 心， 并且将能力放在本位 ， 但是在实 际的中职学校教学的过程 中这 理念却并没能落实到位 。 许多数学老师只是简单地认为中职学生 因为基础太差 ，对教学中存在的矛盾并没有作过多的探讨和研究 ， 因 此对 于一 些 非 专业 的学 科 ，根本 就 不 会 认 真 的 去 进 行 授课 和讲
免。 老师在上课的过程 中可以通过各种方法来 引起学生的注意和激 发他们的听课兴趣 ，可以讲述一些数学研究史上 的故事或者是趣 闻， 或者也可以引入一些典故等达到将学生对数学 的学习兴趣培养 起来。 与此同时， 对 于数 学 教 材应 该 按 照 中职 学 校 的培 养 目标 进 行 一 些改进 ， 对于一些只有较强的理论性却没有任何实际意义的概念应 该删除，教材所涉及的知识 的深度也应该能够做到合理 的把握 ， 删 除 一 些 应该 删 减 的数 学 纯 理论 内容 ，对 应 用 的部 分 进 行 适 当 的 增 加， 在 每一 部 分 内容 的后 面 将理 论 知 识 和实 际 的 问题 的 应用 很 好 的 结合起来。这样能够让学生深刻的认识 到生活 中数学是无处不在 的， 它 的应 用 是 非 常 的广 泛 的 ， 让 学 生 充 分 的 理解 学 好 数 学 的重 要 的意义所在 ， 最终可以使学生学习数学 的动力增加 ， 促进 了他们对 于学 习数 学 的 主动 和 积 极 性 ， 能 够 让他 们 学 好 数 学 ， 以后 就 能 为 专 业 更好 的进 行服 务 。 ２ ． ２让 学 生感 受 到所 学 知识 能 服务 于 生活 对于学习来说 ， 其中接触 、 综合分析 、 实际参与是重要的三大要 素， 数 学 学 习过 程 中所 遇 到 的理论 知 识 的 学 习和 实 际生 活 中对 数 学 的应用可以使封闭的在书本文化 中所积累的过程转变为 自我发展 过程 ， 这种 自我发展的过程是开放的 、 活生生的并且还是与社会生 活紧密联系 的。 数学服务于生活最为主要的手段就是通过操作与实 践来得到实践的， 这一点学生们在学习数学并将他们不断应用到生 活的过程中就可以得到深刻的体会 。通过这种方式 ， 不仅仅能够让 学 生 将所 学 到 的知 识不 断 的 温 习和 巩 固 ， 同 时还 可 以将 学 生 对数 学 学 习 的 积极 性更 好 的调 动 起来 ， 达 到培 养 学生 的动 手操 作 能 力 和实

2.2双曲线定义与标准方程的引入1.用实物体——拉链，定点 F 1、F 2 是两颗按钉，MN 是拉链上的点，点M 移动，12MF MF -为常数，这样可以画出一支曲线，当21MF MF -也是同一个常数，可以画出另一支曲线，这样做出的曲线叫双曲线．提出双曲线的概念．拉链法：2．简单实验(边演示、边说明)如图2-23，定点12F F 、是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，12MF MF -是常数，这样就画出曲线的一支；由21MF MF -是同一常数，可以画出另一支．注意：常数要小于12F F ，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．3.建筑艺术中：埃菲尔铁塔，双曲线形线条，简洁而又壮观的气势征服了全世界．4.城市交通中：北京为缓减城市交通拥堵准备修建双曲线型交通．工业生产中：双曲线型冷却塔，将物理的流体力学与数学完美结合．到底什么叫双曲线呢?请用几何画板动手操作：（1）如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一定点,P是圆O上任意一点.线段AP的垂直平分线L交直线OP于点Q,当点P在圆上运动时,画出图形，探索点Q的轨迹．（2）、把（1）中“A是圆O内一定点”改为“圆O外一定点”，探索点Q的轨迹．5.折纸实验课前准备印有圆1F 的白纸，每位学生发一张．教师可以用这种方式引入：大家经常做物理实验、化学实验、生物实验，可是你们做过数学实验吗？那么，我们今天一起来做一个数学实验，请拿出刚发下来的印有圆1F 的白纸，按如下步骤操作：第一步：在圆1F 外取一定点2F ；第二步：在圆1F 上任取一点1P ；第三步：将白纸对折，使1P 和2F 重合，并留下一条折痕；第四步：连接1P 和1F ，并延长交折痕于点1M ；第五步：再在圆周上任取其他点，将上述步骤2~4重复4~6次，便可以得到一系列点 ,,,321M M M ，最后将这些点连起来，得到一个很美的图形，大家想看到是什么图形吗？赶紧动手做吧！ 等学生做作出图后，教师引导学生研究得到图形是的点的属性，这样便得出了双曲线的定义．6.据资料记载，在抗美援朝早期，我志愿军某炮兵团冒着生命危险，侦查出美军阵地，我方当机立断，火速炮击．可不久美军就将炮弹比较准确地打到我军阵地，美军为何这样准确呢？原来他们在阵地旁建有如图1所示的A 、B 、C 三个固定的观测站，根据听到我方阵地位置D 处打炮声的时间差及声速就能确定我方位置，而不需要冒任何生命危险．图1 DA B C。

《双曲线的标准方程》教学设计
年级
高二
课题
双曲线的定义
主讲人
学科
时长
教
学
目
标
一、知识与技能
1.了解双曲线标准方程的推导过程；
2.掌握双曲线的标准方程。
二、过程与方法
1.加强用待定系数法求方程的方法；
2.强化数形结合、等价转化的思想以及分类讨论的思想在解题时的运用。
三、情感态度与价值观
1.培养学生交流的意识和团队协作的精神；
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有中文配音
找出椭圆和双曲线的区别与联系
画面七
A：知道了双曲线的标准方程，那就来解决问题。
例1、已知双曲线两个焦点的坐标为
, ,双曲线上一点M到 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
A:本题由焦点坐标可以知道焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为 ，由焦点坐标还可以知道半焦距c=5,再由双曲线定义可知2a=6，再由a、b、c的的关系
这节课到此结束，谢谢！
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总结本课并布置课后练习
即可求出双曲线的标准方程为
变式：双曲线上一点M， | |=10,求| |=______
A：变式题主要考察双曲线的定义， ，绝对值一定不能丢，绝对值方程一般有两个解，还要看看是否都符合题意！
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如何用待定系数法求标准方程
画面八
A：下面的时间就交给同学们练习。（下面不用读）
练习：判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及其焦点坐标.
我们很容易看出第一个双曲线焦点在X轴上，第二个双曲线焦点在Y轴上。
学习过程中注意和椭圆焦点位置的判断方法区分开。椭圆的焦点由分母大的决定，双曲线的焦点由系数为正的决定。

符合双曲线的定义，应是双曲线 以F.Fi 为端点的两条射线 由模拟实验讨论，轨双曲线及其标准方程（教学设计）一、教学目标： 知识与技能：（1） 理解双曲线的定义及焦点、焦距的意义，掌握双曲线的标准方程. （2） 根据不同的题设条件，正确区分两种不同的标准方程. 过程与方法：（1） 引导学生，通过与椭圆的对比去探索双曲线标准方程的推导，加深对数形结合思想及事物类比的研究方法的认识.（2） 从建立坐标系、简化方程过程中，培养学生观察、分析、推理的能力. 情感态度与价值观：（1） 培养学生勇于探索，善于研究的精神.（2） 通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学 氛围. 重点：d 曲矗的定义及其标准方程的推导难点：（1）理解2a < 2c, 2a>2c,及双曲线左、右支等不同的轨迹情形；（2）令b 2 =c 2-a 2的思维过程，及焦点分别在x 轴y 轴上的标准方程形式. 三、教学设计 （一） 情境设置1、 荆门市火力发电厂通风塔图片和演示截面图2、 初中代数中反比例函数的图象. 那么，双曲线是怎样形成的？ （二） 、探索定义1、 模拟实验：取一条拉链，拉开一部分，在拉开的一边取其端点，在另一边中间部分 取一点，分别固定在比、％两点处，把笔尖放在点M 处，随着拉链逐渐拉开或合拢，笔尖就 画出一条曲线.（演示模拟实验）2、 分析问题：（1） 动点M 与定点Fi 、R 的距离之差保持怎样的关系？ （2） 这个常数与大小关系？（3） M FJ 与|MF =大小关系与M 点的位置有何关系？ 3、 定义：平面内与两个定点F“比的距离的差的绝对值等于常数2a （小于F.FJ ）的 点的轨迹叫做双曲线.%1 定点几、F 2——焦点. %1 距离|FF|=2c ——焦距 思考题：山定义知 MFj — MFi =2a(2a 〉0),2c= FiFj若2a<2c,点M 的轨迹是什么？ 若2a=2c,点M 的轨迹是什么？若2a 〉2c,点M 的轨迹是什么?（三）探求方程1、双曲线方程的推导解：①建系设点 以F-F?所在直线为x 轴，它们的中点为坐标原点，建立直角坐标系. 设点M （x,y ）是双曲线上任一点，Fj （-c, 0）, F 2（C ,0）,②写出轨迹上动点M 的适合条件山定义可知M 点满足\MF\-\MF^ = +2a%1 列出方程 J(x + c)2 + y? — J(x_c)2 + y2 = +2a %1 化简方程 移项 J(x + c)~ + y- = ±2a + J(x-c)~ +平方(J(x + c) + V =(±2a + J(x-c)2 + yV许(0,—2 2 2 2①r I 咛X2 2④FL整理得 ex —a 2 = ±a^(x — c)2 + y 2,即 (C?-亍)，_q2y2 =亍⑹_亍) 由双曲线定义可知2a< 2c,即a< c , c 2-a 2> 02 2设c 2-a 2=b 2,方程整理得仔一与= l(a>0,b>0)a~ b 一这是焦点在X 轴上的双曲线的标准方程，其中F,(-C ,0),F 2(C ,0), 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为仝-—l(a>0,b>0) a b2、判断下列双曲线方程焦点的位置如何判断双曲线焦点在哪个坐标轴上？ 3、双曲线标准方程与椭圆标准方程的比较%1 双曲线标准方程中距离差“-”，有别于椭圆中距离和“ + ”，%1 双曲线标准方程中a 、b 、c 的关系是c 2=a 2+b 2,a 〉0, b>0；有别于椭圆方程中，c=a -b 2 ,a>b>0%1 双曲线标准方程中，如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数 是正的，那么焦点在y 轴上.有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标 轴上. (四)应用练习 例1填空题(1) 已知双曲线方程 ---- - =1,则①a=, b= , c-9 16—②焦点在_____ 轴上，其坐标为 ___________ ,焦距为 __________2 2 2 2(2) 如果椭圆—+ ^ = 1(«>0)与双曲线—-^ = 1的焦点相同，那么a=14 a 23 2例2已知一动圆过定点M (-4, 0)且与已知圆C ： (x-3)2+yM 相外切，求动圆圆心P 的轨迹方程分析：根据双曲线的定义求解解：设动圆P 的半径为r(r>0),圆(x-3)2+y 2=4的圆心为C (3,0),半径为2 则|PM|=r |PC =r+2 PC|-|PM|=2<|MC|=6, 又 PC|>|PM|.••P 点的轨迹是以M 、C 为焦点的双曲线的左支 则 c=3, a=], b 2 =c 】_a*=8.••P 点的轨迹方程为八才=1 (x<0) (五)归纳小结双曲线及其标准方程（课堂实录）（课前1分钟，播放片头，包括各种物体及音乐）教师：前面我们学习了椭圆的定义和标准方程，并研究了这一圆锥曲线的几何性质.在刚才的片头中，我们还看到了许多物体，它们的外形是多种形式的优美曲线.今天我们来研究其中的一种曲线.学生：（兴奋、疑惑、有求知欲）（情境设置.片头中的一幅图片，火力发电厂通风塔）教师：这是荆门市火力发电厂的通风塔，它的截面轮廊线是什么曲线？（演示通风塔截面图）教师：这种曲线我们似曾相识，初中代数中我们学习的反比例函数，它的图象就是这样的曲线.（作出y=-图象）为了使大家观察得更清楚，我们4^y=-的图象旋转45。

过程 中不能仅 仅局 限于传授课本 知识 ， 也
展 的 过程 ， 在 相对 封 闭 的 课 本 知 识 里 ， 逐步 求 具 备 专 业技 术 能 力 ， 还 需 具 备 高 尚 的 职
发 展 自己 的 思 维 辨 析 能 力 ， 从 最 基 本 的 发 业 道 德 ， 以及 待 人 接 物 的 最 基 本 的礼 貌 。 除
泥 于过 去 ， 只 能让 学 生 的思 想 停 留于 过 去 。 学 生 在 学 习 的 过 程 中发 挥 了主 体 作 用 ， 让 当 在 教 学 中努 力 专 研 ， 寻 求 更 为 优 秀 的 教 学方法， 让学生从中受益。 学 生 也 应 当 充分 多专业知识 ， 以 及 培 养 自己 各 方 面 的 综 合 才能 ， 为 自己 的长 远 发 展 奠 定 稳 固的 基 石 ，
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教 学 案 例
Ｃｈ ｉ ｎ ａ Ｅｄ ｕｏ ａｔ Ｉ ｏｎ Ｉ ｎ ｎ ｏｖ ａｔ ｉ ｏｎ Ｈｅ ｒ ａｌ ｄ
中职数 学双 曲线 及其标 准方程教 学分析
白永 和 （ 平凉 信息 工程学校 甘肃平 凉 ７ ４ ４ ０ ０ ０ ） 摘 要： 双 由线及 其标准方程 的教 学 ， 在 整个数 学教 学中是重 点与难点 。 不论 是普通 高中教 学还是 中职教 学都存在 一定 的难度 ， 中职教 学 尤其要 把握 学生 的学 习特点 ， 在正 确的教 学方法下给 予 学生更 多自主理 解知识 的机会 。 随 着中职招生人数 的扩大 ，中职数 学教 学需要 被 高度重 视 ， 这关 系到学生 学 习能力的培养 以及处 理 问题 的思维方式 的建 立 。 中职数 学双 曲 线及 其标 准方程 的教 学， 不 能仅 仅局限 于书 面 知识 的传授 ， 更 重要的是教 会 学生 怎样去掌握双 曲线及其标 准方程 的解答技巧 下 面， 本 文将通过 中职数 学双 曲线及其 标准方程教 学 的 简单 分析 ， 让更 多的人 了解 中职数 学的教 育的 重要 意义 与 中职数 学教 学的途径 。 关键 词 ： 中职数 学教学 双 曲线及 其标准方程 现 实意义 中 图分类 号 ： Ｇ６ ４ ２ 文 献标识 码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ３ — ９ ７ ９ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ７ （ ｃ ） 一 ０ １ ０ ３ — ０ １

汕头金山中学数学组赖建斌【教学目标】知识与技能：1.掌握双曲线的定义，几何图形和标准方程；2.能根据双曲线的定义推导出双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程.过程与方法：1.通过双曲线标准方程的推导，使进一步掌握求一般曲线方程的方法；2.渗透数形结合及类比的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力.情感、态度与价值观：1. 通过画双曲线的几何图形，让学生感知双曲线的简洁美和对称美，培养学生的观察能力，提高学生学习数学的兴趣；2. 通过让学生探索双曲线标准方程，激发学习积极性，培养创新意识.【重点、难点】重点：双曲线的定义及其标准方程难点：双曲线标准方程的推导及应用【教法、学法】教法：启发式教学学法：自主探究法【教学过程】%1. 复习引入问题L 回顾椭圆的定义 生：平面内与两个定点气，凡的距离之和为非零常数（大于14^1）的点的轨迹是椭圆.问题2：类比椭圆的定义，你还希望探索“平面内与两个定点*,FJKJ 距离”有其他什么关 系的点的轨迹呢？生：差为常数，积为常数，商为常数%1. 新课探究（一）双曲线的定义【实验】请学生上讲台，用拉链画双曲线师：就学生所画图讲常数（右支）展示图片：电厂冷却塔，巳黎铁塔，广州塔问题1：观察共同点，寻找与学生所画图象的区别问题2：能否再I 出i 出另一条|11|线？师：这就是本节课要研究的一组曲线一一双曲线师：类比引导学生思考所画双曲线另一支形成过程中“变”与“不变”的量，得到结论左支：l"；l-IMFJ=-常数 I 匕问题3：类比椭圆的定义，你能否将上述结论统一成双曲线的定义？学生总结：平面内与两个定点匕％的距离之差的绝对值等于常数2。

（0<2cvlK%l ）的 点的轨迹.《双曲线及其标准方程》教学设计与反思 III问题4：定义中的关键词? 答：差、绝对值、 常数0 <2a<\F }F 2\：分析2〃的取值范围 （1） 2〃=0,动点轨迹？ （2） 2a=\F.FJ f 动点轨迹？ 1 ~ C3） 2a>\ F }F 21 ,动点轨迹？ （二）双曲线的标准方程 回顾：求曲线方程的一般步骤：建系设点-列式分代换分化简分证明 问题1：类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说应怎样选择适当的坐标系，建立双曲线的 标准方程吗？选择该坐标系的好处？ 解：+ e ）~ +）广=±2。

【中职教案】 2．2双曲线（一）【教学目标】知识目标：了解双曲线的定义，知道焦点在x 轴与焦点在y 轴的两种双曲线的标准方程． 能力目标：通过双曲线的标准方程的推导，学生的数学思维能力得到提高．【教学重点】双曲线两种形式的标准方程．【教学难点】标准方程的推导．【教学设计】利用教学课件演示双曲线定义的实验操作．双曲线的标准方程的推导过程，可以与椭圆的标准方程的推导过程类比进行．焦点在x 轴上的双曲线的标准方程与焦点在x 轴上的椭圆的标准方程形式上的区别主要有两点．一是椭圆的标准方程中间用“+”号连接，而双曲线的标准方程中间用“－”号连接；二是椭圆的标准方程中是0a b >>，而双曲线的标准方程中是0,0a b >>．焦点在y 轴上的双曲线的标准方程中，含2y 的项的系数是正数；而焦点在x 轴上的双曲线的标准方程中，含2x 的项的系数是正数．这是两个标准方程的根本区别．例1是求双曲线的标准方程的训练题．例2是已知双曲线的标准方程，求焦距和焦点坐标的训练题．求焦距需要使用关系式222(0)c a b b -=>；求焦点坐标需要确定焦点的位置．经过例1和例2的训练，从两个不同的角度强化学生对两类双曲线的标准方程特征的认识及关系式222(0)c a b b -=>的掌握．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】*创设情境 兴趣导入我们先来做一个实验．取一条两边长度不等的拉链（如图2－8），将拉链的两边分别固定在两个定点12F F 、（拉链两边的长度之差小于12F F 、的距离）上，把铅笔尖固定在拉链锁口处，慢慢拉开拉链，使铅笔尖慢慢移动，画出图形的一部分；再将拉链的两边交换位置分别固定在21F F 、处，用同样的方法可以画出图形的另一部分．图2－8从实验中发现：笔尖（即点M ）在移动过程中，与两个定点12F F 、的距离之差的绝对值始终保持不变（等于拉链两边的长度之差）．M图2－9取过焦点12F F 、的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2－9，设双曲线的焦距为2c ，则两个焦点12F F 、的坐标分别为（－c ，0），（c ，0）．设M (x ，y )为双曲线上的任意一点，M 与两个焦点12F F 、的距离之差的绝对值为2a ，则122MF MF a -=，即 122MF MF a -=±． 于是有2222()()2x c y x c y a +++-+=±．将上式化简（类似于求椭圆的方程），得22222222()()c a x a y a c a --=-．由双曲线的定义知，2c ＞2a ，即c ＞a ，因此220c a ->．令222(0)c a b b -=>，则上式变为222222b x a y a b -=两边同时除以22a b ，得22221(00)x y a b a b-= ＞，＞ （2.3） 方程（2.3）叫做焦点在x 轴上的双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点是12(0)(0)F c F c -，，，，并且222b c a =-．图2－10如图2－10所示，如果取过焦点12F F 、的直线为y 轴，线段12F F 的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，那么用类似的方法可以得到双曲线的方程22221(00)y x a b a b-= ＞，＞ （2.4） 方程（2.4）叫做焦点在y 轴上的双曲线的标准方程．焦点为12(0)(0)F c F c -，，，．字母a ，b 意义同上，并且222b c a =-． 【想一想】已知一个双曲线的标准方程，如何判定焦点在x 轴还是在y 轴？*巩固知识 典型例题【教师教学后记】。

个定点，描绘出了一个全新的图形，即双曲线。这个教学活动过 程中，教师秉持了发现法的教学原则。学生通过对所经历的教学 活动进行思考，将活动转化为思维，将活动进行数学语言的描述 和反思，构建出数学概念的性质，即概括出数学的一般定义。
教师问：比较之前关于椭圆的概念，你们是否可以运用自己 的数学语言清晰准确地概括出双曲线的定义呢？
节双曲线的定义与标准方程的概念课介绍了教学“四步曲”，即：概念引入—概念概括—概念分析—概念运用。
［关 键 词］ 中职数学；双曲线；概念引入；概念概括；概念分析；概念运用
［中图分类号］ G712
［文献标志码］ A
［文章编号］ 2096-0603（2019）15-0060-02
作为一名在中职教学的数学教师，笔者一直在思考，我们中 再创造”的思维过程。而抽象过程由教师代替学生体验会使得只
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教学◆教法◆师资
教学
y P
那么，在双曲线的定义与标准方程中概念的合理运用，笔者 是这样处理的：
教师：例 1.写出以下双曲线的焦点坐标
F1 A2
O A1
F2
x
（1）x2 - y2 =1 （2）y2 - x2 =1
54
45
学生：F=（±3，0）
F=（0，±3）
教师：例 2.已知双曲线的焦点在 x 轴上，且焦距为 14，双曲
教学◆教法◆师资
教学
中职数学概念教学四步曲
— — —以双曲线的定义与标准方程为例
范学
（宁波市鄞州职业高级中学，浙江 宁波 315103）
［摘
要］ 中职数学教学要让学生掌握数学知识，让他们会用数学思想，对他们的思维能力进行有效的训练，这就要求中
职数学教师在概念教学过程中将数学思想贯彻进去。如何在中职数学课堂中深入浅出地进行概念教学，以一

双曲线及其标准方程教学设计(教案)一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。

2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其求法。

3. 培养学生运用双曲线解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 双曲线的定义与性质2. 双曲线的标准方程3. 双曲线方程的求法4. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：双曲线的定义、性质、标准方程及其求法。

2. 教学难点：双曲线方程的求法及其应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索双曲线的性质与标准方程。

2. 利用数形结合法，让学生直观地理解双曲线的特点。

3. 运用实例分析法，培养学生解决实际问题的能力。

五、教学过程：1. 导入新课：简要介绍双曲线的起源和发展，激发学生的学习兴趣。

2. 自主学习：让学生通过阅读教材，了解双曲线的定义与性质。

3. 课堂讲解：讲解双曲线的标准方程及其求法，引导学生掌握关键步骤。

4. 例题分析：分析典型例题，让学生学会运用双曲线方程解决实际问题。

5. 巩固练习：布置适量练习题，让学生巩固所学知识。

6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，提醒学生注意双曲线在实际问题中的应用。

7. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固双曲线及其标准方程的知识。

六、教学评价：1. 评价学生对双曲线定义和性质的理解程度。

2. 评价学生是否能熟练掌握双曲线的标准方程及其求法。

3. 评价学生是否能运用双曲线方程解决实际问题。

七、教学资源：1. 教材：双曲线及其标准方程相关章节。

2. 课件：双曲线图像、性质和标准方程的示例。

3. 练习题：涵盖双曲线定义、性质、标准方程及应用的题目。

八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍双曲线定义与性质。

2. 第二课时：讲解双曲线的标准方程及其求法。

3. 第三课时：例题分析与实际应用。

4. 第四课时：巩固练习与课堂小结。

九、教学反思：1. 反思教学方法是否有效，学生是否能积极参与。

2. 反思教学内容是否适合学生的认知水平。

中职双曲线解题教案教案标题：中职双曲线解题教案教学目标：1. 了解双曲线的定义、性质和基本图像特征；2. 掌握双曲线的标准方程和参数方程的表示方法；3. 学会利用双曲线的性质解决实际问题。

教学内容：1. 双曲线的定义和基本性质；2. 双曲线的标准方程和参数方程；3. 双曲线的图像特征；4. 利用双曲线解决实际问题的方法。

教学步骤：Step 1: 引入双曲线的概念和基本性质（15分钟）- 向学生介绍双曲线的定义和基本性质，包括焦点、准线、离心率等概念；- 提供一些实际生活中与双曲线相关的例子，引发学生的兴趣。

Step 2: 讲解双曲线的标准方程和参数方程（20分钟）- 详细讲解双曲线的标准方程和参数方程的表示方法；- 通过示例演示如何根据给定的参数绘制双曲线。

Step 3: 分析双曲线的图像特征（15分钟）- 向学生介绍双曲线的图像特征，包括对称轴、渐近线等；- 通过绘制图像和观察图像特征，帮助学生深入理解双曲线的性质。

Step 4: 实例解题演练（30分钟）- 提供一些实际问题，要求学生利用双曲线的性质解决问题；- 引导学生分析问题，确定解题思路，并进行解答。

Step 5: 总结与归纳（10分钟）- 对本节课学习的重点进行总结和归纳；- 强调双曲线的重要性和应用领域。

教学资源：1. 教材：包含双曲线相关知识点的教材；2. 白板和马克笔：用于讲解和演示；3. 实例题目：提供给学生进行解题练习。

教学评估：1. 课堂练习：在课堂上布置一些练习题，检查学生对双曲线的理解和应用能力；2. 个人作业：布置一些与课堂内容相关的作业，要求学生独立完成；3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题思路和方法，促进合作学习。

教学扩展：1. 深入研究双曲线的性质和应用，拓展学生的数学思维；2. 引导学生进行实际生活中的应用探究，如抛物线的应用等；3. 鼓励学生参加数学竞赛，提高解决问题的能力。

通过以上教案，学生将能够全面了解双曲线的定义、性质和基本图像特征，掌握双曲线的标准方程和参数方程的表示方法，并能够利用双曲线的性质解决实际问题。

双曲线及其标准方程一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其变化规律。

2. 过程与方法：（1）通过实例分析，培养学生的观察和分析能力；（2）运用数形结合的方法，引导学生探索双曲线的标准方程。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学美的欣赏，培养其对数学的兴趣；（2）培养学生团结协作、积极探究的精神。

二、教学重难点1. 教学重点：双曲线的定义、性质及标准方程。

2. 教学难点：双曲线标准方程的推导和应用。

三、教学过程1. 导入：（1）回顾椭圆的定义和标准方程；（2）通过提问，引出双曲线的概念。

2. 自主学习：（1）让学生根据已有知识，尝试描述双曲线的特征；3. 合作交流：（1）分组讨论，让学生探究双曲线的标准方程；4. 知识拓展：（1）介绍双曲线在实际应用中的例子；（2）引导学生思考双曲线与其他几何图形的关系。

四、课堂练习1. 填空题：（1）双曲线是平面上一对_____为定值的点的轨迹；（2）双曲线的标准方程为_____。

2. 解答题：（1）已知双曲线的方程为\(\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\)，求证它是双曲线；（2）求双曲线\(\frac{x^2}{4} \frac{y^2}{3} = 1\) 的实轴长和虚轴长。

五、课后作业1. 复习双曲线的定义、性质和标准方程；2. 完成课后练习题，巩固所学知识；3. 探索双曲线在其他领域的应用。

六、教学评价1. 评价目标：了解学生对双曲线及其标准方程的理解和掌握程度。

2. 评价方法：（1）课堂练习的完成情况；（2）课后作业的质量；（3）学生对双曲线实际应用案例的分析能力。

七、教学反思1. 反思内容：（1）学生对双曲线定义和性质的理解程度；（2）学生在探索双曲线标准方程过程中的困难与问题；（3）教学方法是否适合学生的学习需求。

2. 改进措施：（1）针对学生的掌握情况，调整教学进度和难度；（2）采用更多直观的教学工具，如图形软件，以增强学生的直观感受；（3）鼓励学生提问和参与课堂讨论，提高学生的主动学习意识。

《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标1. 让学生理解双曲线的定义和性质。

2. 引导学生掌握双曲线的标准方程及其应用。

3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容1. 双曲线的定义与性质定义：双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差为常数的点的轨迹。

性质：双曲线是中心对称图形，具有对称性、渐进线等性质。

2. 双曲线的标准方程形式：\(\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > 0, b > 0\)）焦点：\((\pm c, 0)\)，其中\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)实轴：\(x = \pm a\)虚轴：\(y = \pm b\)渐近线：\(y = \pm\frac{b}{a}x\)三、教学重点与难点1. 重点：双曲线的定义、性质和标准方程。

2. 难点：双曲线标准方程的推导和应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探索双曲线的性质和标准方程。

2. 利用数形结合法，直观展示双曲线的几何特征。

3. 运用实例分析法，让学生学会解决实际问题。

五、教学安排1. 第一课时：介绍双曲线的定义与性质。

2. 第二课时：推导双曲线的标准方程。

3. 第三课时：应用双曲线的标准方程解决实际问题。

4. 第四课时：巩固练习，拓展提高。

教案仅供参考，具体实施时可根据学生实际情况进行调整。

六、教学策略1. 利用多媒体课件，展示双曲线的图形，增强学生对双曲线几何形状的认识。

2. 设计具有梯度的练习题，让学生在实践中掌握双曲线的标准方程。

3. 组织小组讨论，促进学生之间的交流与合作，提高解决问题的能力。

七、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对双曲线定义、性质和标准方程的理解程度。

2. 练习题：评价学生运用双曲线标准方程解决实际问题的能力。

3. 小组讨论：评价学生在团队合作中的表现和解决问题的能力。

八、教学反馈1. 课堂讲解：通过提问、回答问题等方式，了解学生对双曲线知识点的掌握情况。

江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：备课组别数学上课日期主备教师授课教师课题：§19.2双曲线的标准方程和性质（1）教学目标1.能够写出双曲线的标准方程.2.理解双曲线中a,b,c的几何意义及它们之间的关系.重点双曲线的定义及标准方程难点双曲线的标准方程的推导教法讲练结合数形结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容复习引入：椭圆：平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的动点的轨迹叫做椭圆.新课讲授：双曲线：平面上到两个定点（焦点）距离之差的绝对值为定值的动点的轨迹叫做双曲线.双曲线的焦距：两个焦点之间的距离cFF221；双曲线的中心：双曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形，原点为其对称中心;教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容双曲线的顶点：双曲线与坐标轴的交点;双曲线的实轴21AA、虚轴21BB；实轴长aAA221=、虚轴长bBB221=. 实半轴长 a 、虚半轴长 b 、半焦距 c双曲线的标准方程,2(-),2-,2),()0,)0,(2.22222121212121aycxycxaMFMFayxMcFcFcFFyFFxFF=+-++=-=）（由两点间距离公式，得即距离之差为任意一点，其到两焦点是双曲线上，设（、，则设建立平面直角坐标系轴，的中垂线为轴，线段的直线为，取过两焦点、设双曲线的焦点分别为.1,)()222222222222222222222=-=-=--=--byaxbayaxbbacacayaxac即则上式可化为令（化简整理得教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容.1-轴上：焦点在2222=bxayy的几何意义：、半焦距、虚半轴实半轴cba222222baccbaoFcoBboAa+=构成直角三角形的三边、、；半焦距；虚半轴长；实半轴长222acb-=.,6)0,5()0,5(.121的标准方程求双曲线离之差的绝对值是线上一动点到两焦点距，双曲和为已知双曲线的焦点坐标例FF-.116-916,3,5,62.1-222222222==-=====yxacbacabyax为所以双曲线的标准方程所以由题意知，程为解：设双曲线的标准方江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：备课组别数学上课日期主备教师授课教师课题：§19.2双曲线的标准方程和性质（2）教学目标1.理解双曲线中心、顶点、准线和渐近线等的概念.2.能够根据条件写出双曲线的标准方程.重点双曲线中心、顶点、准线和渐近线等的概念难点双曲线中心、顶点、准线和渐近线等的概念的理解教法讲练结合数形结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容复习回顾：1.双曲线的标准方程；2.椭圆的性质.导入新课：能否像研究椭圆一样，根据双曲线的标准方程得到双曲线的范围、对称性和顶点坐标？新课讲授：下面以双曲线方程（19.5）：2222-1x ya b=（a>0，b>0）为为例，讨论双曲线的性质.（1）范围由双曲线的标准方程（19.5）知，22xa=1+22yb所以22xa这表明双曲线在不等式x a x a≥≤-或所表示的平面区域内。

双曲线及其标准方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导．(二)能力训练点在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识．二、教材分析1．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．(解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．)2．难点：双曲线的标准方程的推导．(解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比．)3．疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？(解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式．)三、活动设计提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结．四、教学过程(一)复习提问1．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a＞|F1F2|．2．椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)(二)双曲线的概念把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？1．简单实验(边演示、边说明)如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支．注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．2．设问问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？请学生回答，不能．强调“在平面内”．问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时，|MF1|＞|MF2|；当点M在双曲线左支上时，|MF1|＜|MF2|．问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正确表示为||MF2|-|MF1||．问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？请学生回答，应小于|F1F2|且大于零．当常数=|F1F2|时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数＞|F1F2|时，无轨迹．3．定义在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．(三)双曲线的标准方程现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．标准方程的推导：(1)建系设点取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)建立直角坐标系．设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．(2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合：P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．(3)代数方程(4)化简方程(由学生演板)将这个方程移项，两边平方得：化简得：两边再平方，整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)由双曲线定义，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0．设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2．这就是双曲线的标准方程．两种标准方程的比较(引导学生归纳)：教师指出：(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．(四)练习与例题1．求满足下列的双曲线的标准方程：焦点F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；3．已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？由教师讲解：按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．因为2a=12，2c=10，且2a＞2c．所以动点无轨迹．(五)小结1．定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．3．图形(见图2-25)：4．焦点：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)．5．a、b、c的关系：c2=a2+b2；c=a2+b2．五、布置作业1．根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)焦点的坐标是(-6，0)、(6，0)，并且经过点A(-5，2)；3．已知圆锥曲线的方程为mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦点坐标．作业答案：2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1六、板书设计。