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--第三章 弹性本构关系和弹性问题的求解习题习题1、试利用各向异性理想弹性体的广义虎克定律导出：在什么条件下，理想弹性体中的主应力方向和主应变方向相重合？解：各向异性理想弹性体的广义虎克定律为：zxyz xy zz yy xx zx zx yz xy zz yy xx yz zx yz xy zz yy xx xy zx yz xy zz yy xx zz zx yz xy zz yy xx yy zx yz xy zz yy xx xx c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσγγγεεεσ666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=+++++= （a ）当0===zx yz xy τττ时，三个互相垂直的应力方向为主应力方向。
当0===zx yz xy γγγ时，三个互相垂直的应变方向为主应变方向。
在主应变方向上，剪应力分量为：zzyy xx zx zz yy xx yz zzyy xx xy c c c c c c c c c εεετεεετεεετ636261535251434241++=++=++= （b ） 若使0===zx yz xy τττ，则式中xx ε，yy ε，zz ε具有非零解的条件为0636261535251434241=c c c c c c c c c （c ） 上式即为x ，y ，z 轴同时为应力主轴和应变主轴的条件。
如果材料性能对称于一个平面，如Oxy 平面，则04645363526251615========c c c c c c c c ，而且ji ij c c =，此时（c ）式恒等于零。
第六章 塑性平面应变问题和极限分析1. 设具有角形深切口的厚板，其滑移线场构造如图6.1(a)，试求此时该板所能承受的弯矩值。
的方向，应取负值，即4,,2πθσσ=-=-=k k t其应力状态和α线的方向如6.1（b ）所示。
由于厚板的上部ODB ∆也是均匀应力区，在OB 边上，0==n n τσ，k t 2±=σ，根据力矩M 的方向，应取正值，即γπθπγππγθσσ-=-=-+===4,42)4(,,2k k t其应力状态和α线方向如图6.1（c ）所示。
正方形'OECE 是均匀应力区，根据对称性知道沿着垂直截面将只作用有拉应力q ，其数值及应力间断点C 的位置由下列平衡方程求得：图6.1(c)图6.1(b)⎪⎭⎪⎬⎫=---=--0)(210)(2212111h h k qh M h h k qh 由此得出Mkh kMq khMh h -==-212,由于CEDB 是同一根β线，故B BC C k k θσθσ22+=+)21()4(2)4(2γππγπσ-+=---+=k k k k C取OC 边上的单元体进行分析，如图6.1（d ）所示得：4,0,πθτσ-===n n qk q k t t n 2,2-==-σσσ)2(21)(21k q q t n -+=+=σσσk q k C -=-+=)21(γπσMkh kMk q -=-+=22)21(γπγπγπ24)22(2-+-+=kh M 令2021kh M =则可得γπγπ24210-+-+=M M 图6.1（d ）2. 设两边有对称角形深切口的厚板，角形深切口处的高度为h ，试求在极限状态时，该板所能承受的弯矩值。
解：此题滑移线场与上一题（a ）图中上部的滑移线场一样，因此在极限状态下应力为)2()21(22=--+=hq M k q γπ故由此应力所承受的弯矩为22)21(2141h k qh M γπ-+==令2021kh M =则得γπ-+=210M M3.图6.2解：作滑移线场如图6.3(b)所示，由于对称，只考虑板条的一半。
--第三章 弹性本构关系和弹性问题的求解习题习题1、试利用各向异性理想弹性体的广义虎克定律导出：在什么条件下，理想弹性体中的主应力方向和主应变方向相重合？解：各向异性理想弹性体的广义虎克定律为：zxyz xy zz yy xx zx zx yz xy zz yy xx yz zx yz xy zz yy xx xy zx yz xy zz yy xx zz zx yz xy zz yy xx yy zx yz xy zz yy xx xx c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσγγγεεεσ666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=+++++= （a ）当0===zx yz xy τττ时，三个互相垂直的应力方向为主应力方向。
当0===zx yz xy γγγ时，三个互相垂直的应变方向为主应变方向。
在主应变方向上，剪应力分量为：zzyy xx zx zz yy xx yz zzyy xx xy c c c c c c c c c εεετεεετεεετ636261535251434241++=++=++= （b ） 若使0===zx yz xy τττ，则式中xx ε，yy ε，zz ε具有非零解的条件为0636261535251434241=c c c c c c c c c （c ） 上式即为x ，y ，z 轴同时为应力主轴和应变主轴的条件。
如果材料性能对称于一个平面，如Oxy 平面，则04645363526251615========c c c c c c c c ，而且ji ij c c =，此时（c ）式恒等于零。
第七章 粘弹塑性本构关系1. 应用Kelvin 模型，求图所示组合的应力应变关系。
解：如图所示，总的应变是弹簧的应变和Kelvin 单元应变之和。
因此K s εεε+= (1)而 K K s E E εηεεσ +==21 (2) 对(1)式求导，有 K s εεε +=， 再由(2)式得1E s σε=，ηεσεKK E 2-= ，再结合(1)式，可以求出 σησεηε ++=+)(21121E E E E E 即为图示组合应力应变关系。
2. 如图所示一直杆，杆件材料服从如下本构关系：εησσ +=s (s σσ>),式中At P )(=σ，s σ为静态屈服极限。
若)(t P 为一个阶跃函数，当0=t 时，应力突然由零增至某一数值0σ(>s σ),且以后保持常数，试求此情况下杆件的应力应变关系。
解：由题意 εησσ =-s 0 (0>t) 图7.1图7.2即 )(10s σσηε-=对上式积分可得 C t s +-=)(10σσηε其中C 为积分常数。
若0=t 时已有应变0ε存在，则由上式可得0ε=C 。
从而有00)(1εσσηε+-=t s3. 假定介质的流动是缓慢的轴对称的定常流，即介质在管中没有转动，讨论粘塑性材料在圆管中的流动。
解：如图所示的圆柱坐标系z r ,,ϕ中，其径向和环向速度为零，即0==ϕυυr于是应变率分量为0====z r r ϕϕϕεεεεrzzrz zz ∂∂=∂∂=υευε, 如果我们假定材料是不可压缩的，则有0=z ε，从而有)(r z z υυ=。
若进一步假定应力分量可分解为塑性和粘性两部分，其塑性部分服从与Mises 屈服条件相关的流动法则，而粘性部分服从牛顿线性粘性定律，则不难得到0===z r σσσϕ0==z r ϕϕττ图7.3drd zs rz υηττ+-= (1) s τ为剪切屈服极限很显然，当,s rz ττ≥且0≤drd zυ时才有意义。
绪论1、仔细观察一下白炽灯泡，会发现有多少种不同的材料每种材料需要何种热学、电学性质2、为什么金属具有良好的导电性和导热性3、为什么陶瓷、聚合物通常是绝缘体4、铝原子的质量是多少若铝的密度为cm3，计算1mm3中有多少原子5、为了防止碰撞造成纽折，汽车的挡板可有装甲制造，但实际应用中为何不如此设计说出至少三种理由。
6、描述不同材料常用的加工方法。
7、叙述金属材料的类型及其分类依据。
8、试将下列材料按金属、陶瓷、聚合物或复合材料进行分类：黄铜钢筋混凝土橡胶氯化钠铅-锡焊料沥青环氧树脂镁合金碳化硅混凝土石墨玻璃钢9、 Al2O3陶瓷既牢固又坚硬且耐磨，为什么不用Al2O3制造铁锤晶体结构1、解释下列概念晶系、晶胞、晶胞参数、空间点阵、米勒指数（晶面指数）、离子晶体的晶格能、原子半径与离子半径、配位数、离子极化、同质多晶与类质同晶、正尖晶石与反正尖晶石、反萤石结构、铁电效应、压电效应.2、（1）一晶面在x、y、z轴上的截距分别为2a、3b、6c，求出该晶面的米勒指数；（2）一晶面在x、y、z轴上的截距分别为a/3、b/2、c，求出该晶面的米勒指数。
3、在立方晶系的晶胞中画出下列米勒指数的晶面和晶向：（001）与[210]，（111）与[112]，（110）与[111]，（322）与[236]，（257）与[111]，（123）与[121]，（102），（112），（213），[110]，[111]，[120]，[321]4、写出面心立方格子的单位平行六面体上所有结点的坐标。
5、已知Mg2+半径为，O2-半径为，计算MgO晶体结构的堆积系数与密度。
6、计算体心立方、面心立方、密排六方晶胞中的原子数、配位数、堆积系数。
7、从理论计算公式计算NaC1与MgO的晶格能。
MgO的熔点为2800℃，NaC1为80l℃, 请说明这种差别的原因。
8、根据最密堆积原理，空间利用率越高，结构越稳定，金钢石结构的空间利用率很低(只有％)，为什么它也很稳定9、证明等径圆球面心立方最密堆积的空隙率为25．9％；10、金属镁原子作六方密堆积，测得它的密度为克/厘米3，求它的晶胞体积。
工程材料习题参考答案第一章.习题参考答案1-1、名词解释1、σb抗拉强度---金属材料在拉断前的最大应力，它表示材料对最大均匀塑性变形的抗力。
2、σs屈服强度----表示材料在外力作用下开始产生塑性变形的最低应力，表示材料抵抗微量塑性变形的能力。
3、σ0.2屈服强度----试样产生0.2%残余应变时的应力值为该材料的条件屈服。
4、δ伸长率----塑性的大小用伸长率δ表示。
5、HBS布氏硬度---以300Kg的压力F将直径D的淬火钢球压入金属材料的表层，经过规定的保持载荷时间后，卸除载荷，即得到一直径为d 的压痕。
6、HRC洛氏硬度---是以120o 的金刚石圆锥体压头加上一定的压力压入被测材料，根据压痕的深度来度量材料的软硬，压痕愈深，硬度愈低。
7、σ﹣1（对称弯曲疲劳强度）---表示当应力循环对称时，光滑试样对称弯曲疲劳强度。
8、K1C （断裂韧性）---应力强度因子的临界值。
1-2、试分别讨论布氏硬度、洛氏硬度、维氏硬度适用及不适用于什么场合？1、布氏硬度 适用于退火和正火态的黑色金属和有色金属工件，不适用于太薄、太硬（﹥450HB）的材料。
2、洛氏硬度 适用于检测较薄工件或表面较薄的硬化层的硬度，适用于淬火态的碳素钢和合金钢工件不适用于表面处理和化学热处理的工件。
3、维氏硬度 适用于零件表面薄硬化层、镀层及薄片材料的硬度，不适用于退火和正火及整体淬火工件。
第二章.习题参考答案2-1、名词解释1、 晶体---指原子（原子团或离子）按一定的几何形状作有规律的重复排列的物体。
2、 2、非晶体---组成物质的原子是无规律、无次序地堆聚在一起的物体。
3、单晶体---结晶方位完全一致的晶体。
4、多晶体---由多晶粒组成的晶体结构。
5、晶粒---每个小晶体具有不规则的颗粒状外形。
2-2、何谓空间点阵、晶格、晶体结构和晶胞？常用金属的晶体结构是什么？划出其晶胞，并分别计算起原子半径、配位数和致密度？1、空间点阵---为了便于分析各种晶体中的原子排列及几何形状,通常把晶体中的原子假想为几何结点,并用直线从其中心连接起来,使之构成一个空间格子。
第一章习题1 证明δ-e 恒等式jt ks kt js ist ijk e e δδδδ-= [证明] 习题20=ij ij b a[证明]ji ij ji ij b b a a -==; ji ji ij ij b a b a -=∴，0=+=+∴pq pq ij ij ji ji ij ij b a b a b a b a 又因为所有的指标都是哑指标，ij ij pq pq b a b a =，所以02=aijbij ，即0=ij ij b a习题3 已知某一点的应力分量xx σ，yy σ，zz σ，xy σ不为零，而0==yz xz σσ，试求过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面上的正应力和剪应力。
[解] 如图1.1，过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面的法线，其与x 轴，y 轴和z 轴的方向余弦分别为cos α，sin α，0，则由斜面应力公式的分量表达式，ij i j σνσν=)(，可求得该面上的应力为 由斜面正应力表达式j i ij n ννσσ=，可求得正应力为ασαασασσ22sin sin cos 2cos yy xy xx n ++=剪应力为习题4 如已知物体的表面由0),,(=z y x f 确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷()z y x p ,,。
试写出其边界条件。
[解] 物体表面外表面法线的方向余弦为 带入应力边界条件，()3,2,1,,==j i n T j ij i σ，得习题5 已知某点以直角坐标表示的应力分量为xx σ，yy σ，zz σ，xy σ，xz σ，yz σ，试求该点以柱坐标表示的应力分量。
[解] 如图1.2，两个坐标轴之间的方向余弦如下表所示：由应力分量转换公式''''jn i m ij n m ββσσ=，求得 利用三角公式可将上面的式子改写为 习题6 一点的应力状态由应力张量()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=σσσσσσσσσσc b c a b a ij 给定，式中，a ，b ，c 为常数，σ是某应力值，求常数a ，b ，c ，以使八面体面)e e e (n 321++=31上的应力张量为零[解] 由斜面应力公式的分量表达式，ij i j σνσν=)(，知八面体面上应力张量为零需满足如下方程组：解得21-===c b a 习题7 证明（1）应力的三个主方向互相垂直；（2）三个主应力1σ，2σ，3σ必为实根 [证明]（1）设任意两个不同的主应力为k σ、l σ，对应的主方向为k n 、l n 。
9-1 题9-1图所示拉杆，受轴向均布载荷q 作用，已知杆的抗拉刚度EA 为常数，试计算杆的应变能。
解： ⎰⎰=⋅=⋅==l l N EAlq lEAqEAdx x q EAdx x F V 03232220263222)(ε题9-1图9-2 试计算题9-2图所示各杆的应变能。
题9-1a 解： EAl F AE dxF EAdx F EA dx x F EA dxx F V lll BCN ABN 432222)(2)(22222212=⋅+=+=⎰⎰⎰⎰ε题9-2a 图题9-2 b.解：求支座反力： 由∑=⋅-=0,0l F M MB A得lM F B =由∑-==l M F F A y 得，弯矩方程：AC 段，,)(x lM x M -= CB 段，x lx M =)(题9-2b 图EIl M EIl M EIdx x lM EIdxx l MEI dx x M V lll 1816292)(2)(2)(22320230202==+-==⎰⎰⎰ε题9-2c 解：c 截面上的弯矩 M(x)=FR(1-Cosθ) 则题9-2c 图)183()2cos 2121cos 21(22)]cos 1([2)(323202022-=++-=⋅-==⎰⎰⎰20πθθθθθπεπEIR F d EIR F Rd EIFR EI ds x M V l9-3 计算题9-3图所示受扭圆轴所储存的应变能，图中d 2=1.5d 1。
解：由于32411d I p π=、512813241422d d I p ππ==题9-3图Gd l M d d Gl M I I lGMGIdxx MGI dxx MGI dxx MV xxp p xl l p xp xlpx41241412212222281776)8151232(4)11(222)(2)(2)(121πππε=+=+⋅=+==⎰⎰⎰9-4 试用互等定理求题9-4图所示结构跨度中点C 的挠度，设EI =常数。
第二章答案2-1略。
2-2〔1〕一晶面在x、y、z轴上的截距分别为2a、3b、6c，求该晶面的晶面指数；〔2〕一晶面在x、y、z轴上的截距分别为a/3、b/2、c，求出该晶面的晶面指数。
答：〔1〕h:k:l==3:2:1,∴该晶面的晶面指数为〔321〕；〔2〕h:k:l=3:2:1，∴该晶面的晶面指数为〔321〕。
2-3在立方晶系晶胞中画出以下晶面指数和晶向指数：〔001〕与[]，〔111〕与[]，〔〕与[111]，〔〕与[236]，〔257〕与[]，〔123〕与[]，〔102〕，〔〕，〔〕，[110]，[]，[]答：2-4定性描述晶体构造的参量有哪些.定量描述晶体构造的参量又有哪些.答：定性：对称轴、对称中心、晶系、点阵。
定量：晶胞参数。
2-5依据结合力的本质不同，晶体中的键合作用分为哪几类.其特点是什么.答：晶体中的键合作用可分为离子键、共价键、金属键、范德华键和氢键。
离子键的特点是没有方向性和饱和性，结合力很大。
共价键的特点是具有方向性和饱和性，结合力也很大。
金属键是没有方向性和饱和性的的共价键，结合力是离子间的静电库仑力。
范德华键是通过分子力而产生的键合，分子力很弱。
氢键是两个电负性较大的原子相结合形成的键，具有饱和性。
2-6等径球最严密堆积的空隙有哪两种.一个球的周围有多少个四面体空隙、多少个八面体空隙.答：等径球最严密堆积有六方和面心立方严密堆积两种，一个球的周围有8个四面体空隙、6个八面体空隙。
2-7n个等径球作最严密堆积时可形成多少个四面体空隙、多少个八面体空隙.不等径球是如何进展堆积的.答：n个等径球作最严密堆积时可形成n个八面体空隙、2n个四面体空隙。
不等径球体进展严密堆积时，可以看成由大球按等径球体严密堆积后，小球按其大小分别填充到其空隙中，稍大的小球填充八面体空隙，稍小的小球填充四面体空隙，形成不等径球体严密堆积。
2-8写出面心立方格子的单位平行六面体上所有结点的坐标。
答：面心立方格子的单位平行六面体上所有结点为：〔000〕、〔001〕〔100〕〔101〕〔110〕〔010〕〔011〕〔111〕〔0〕〔0〕〔0〕〔1〕〔1〕〔1〕。
第九章
应变梯度理论
1. 简述提出应变梯度理论的物理背景和典型的实验。
答：新近的实验表明，当非均匀塑性变形的特征长度为微米量级时，金属材料呈现出很强的尺寸效应。
例如，Fleck 等利用微米量级的不同直径的细铜丝进行了拉伸及扭转实验，在拉伸实验中材料没出现明显的尺寸效应，但在扭转实验中，当铜丝的直径从170m μ减小到12m μ时，无量纲化的扭矩增加至3倍。
Stolken 和Evans 利用镍薄梁进行弯曲实验，观察到当梁的厚度从50m μ减小到12.5m μ时，无量纲化的弯曲硬度也显著增加。
Lloyd 等人对不同的颗粒增强金属基复合材料进行研究，发现当颗粒的体积分数不变时，随着颗粒尺寸减小，复合材料的强度显著增强。
更能说明材料在微米尺度下具有尺寸效应的一类实验是微米及亚微米压痕。
压入深度小于50m μ的微米或亚微米实验中，压痕硬度表现出非常强烈的尺寸效应。
对于金属材料，所测的材料硬度值随着压入深度的减小可达到传统硬度值的2倍甚至3倍。
Elssner 等测量了单晶铌与蓝宝石单晶间界面的宏观断裂韧性与原子分离功。
实验发现这两种材料的裂尖仍然保持有原子的尖锐性，即裂纹尖端不钝化，虽然铌是韧性材料并具有众多位错。
此时促使晶格或强界面原子分离所需要应力水平典型值为屈服应力的10倍，但按照基于经典塑性理论的模型，裂纹尖端附近所能达到的最大应力水平不超过屈服应力的4~5倍。
这显然不足以造成实验中所观察到的裂纹起裂。
由于经典塑性理论的本构关系不包含任何特征长度尺度，所以它不可能预测材料力学性能在微米尺度下的尺寸依赖性。
现今的设计工具，例如有限元方法和计算机辅助设计，都是以经典连续介质力学为基础的，已不再适用于如此小的尺度。
另一方面，目前还不可能进行微米尺度构元所需要的实时与实际尺度的量子和原子模拟。
所以，建立连续介质框架下考虑应变梯度影响的新的本构模型就成了刻划尺度效应的有效工具，也是联系经典塑性力学与原子模拟之间现实可行的桥梁。
在韧性材料的宏观断裂行为和原子断裂过程之间建立联系是发展微米尺度下连续介质力学理论的另一个目的，因为经典塑性理论不能够很好地模拟裂纹尖端小尺寸范围内的变形。
2. 简述一般偶应力理论的基本框架。
答：在一般偶应力理论中，微观转动矢量ω是不依赖于位移矢量u 的独立变量，不同于物质转动矢量θ。
σ表示柯西应力的对称部分，τ表示柯西应力的反对称部分，m 表示偶应力张量。
为了更好的理解微观转动向量，我们想象真实材料由巨量的离散粒子组成，这些离散粒子可以是分子、原子、离子等微观粒子，大小一般在0.3nm 量级。
当整个物体发生物质转动时，每个粒子同时也发生相对转动，粒子自身的转动包括物质转动和粒子的相对转动，每个粒子含有6个自由度。
1mm 3体元中大约有3×1019个离散粒子，约有18×1019个自由度。
将其看成场量，则有位移场量和微观转动场量。
如图为一个含粒子的体元示意图，P 表示粒子的中心，Q 表示体元中的一点，当粒子中心P 运动到p 点，Q 伴随体元运动到q ’点，但由于粒子的自身运动，其实Q 运动到q 点。
即
'
'),(),(),(),('
'
'
'
'
'
X X X u X
X X X u X
X
X
u X
X
u t t t t T ⨯+
=⨯+⨯++=⨯
++
=
+
+ωεϑθεϑ
其中，),('
t T X
X u
+
表示宏观与微观的总位移，),('
t X
X u +表示连续介质中任一点
处宏观位移场量，即粒子中心位移),(t X u 与宏观应变和物质转动所产生的位移之和，而
'
X
⨯ϑ表示粒子相对转动产生的微观位移。
X 表示粒子中心初始位置，'
X 表示Q 点相
对于粒子中心的位置，θ表示物质转动，ϑ表示粒子相对转动。
则
''X X u T
⨯
+∆=ω
ε
其中θϑω+=。
可见微观转动包括了物质转动及粒子的相对转动。
不计体力和体力偶的情况下，一般偶应力理论的虚功原理写为
⎰
⎰
+=
++S
i i i i V
ij
ij ij
ij ij
dS q u T dV m ][])[(δωδδχ
δγ
τσ
其中j i ij ,ωχ=为功共轭的转动梯度张量，k ijk j i ij e u ωγ+=,为相对位移梯度张量，ijk e 为通常的置换符号，V 表示物体的体积，S 表示表面。
定义反对称张量ij α为相对转动张量，即
)(2
)
(,,k k ijk j i i
j k ijk ij e u u
e θωωα-=--
=
相应的平衡方程为
p
ip ijk jk
j ij j
ij j ij m e t ,,,,2
10
=
=+=τ
τσ
其中，逗号表示对直角坐标系的偏导数，重复的下标表示从1到3的求和在表面S 上，面力及面力矩可表示为
j
ij i j
ij ij
i n
m q n T =+=)(τσ
一般偶应力理论的应变能密度函数w 依赖于应变张量ε，转动梯度张量χ及相对转动张量
α
，相应的本构关系为
ij
ij ij
ij ij
ij
m αωτχωεωσ
∂∂=
∂∂=
∂∂=
,
,
3. 试在只考虑平面应变变形(033=ε)的情况下简要说明CS 应变梯度塑性理论即偶应力理论。
答：在此情况下，柯西应力为)2,1,(=βααβt ，把它分为对称)(βα
αβαβσ
σσ=和反对称
)(βααβαβτττ-=两部分，偶应力为)2,1(=ααm 。
