反比例函数压轴题精选(含答案)
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中考反比例函数之答禄夫天创作
经典结论：
如图，反比例函数k的几何意义：
(I) 12AOBAOCSSk；
(II) OBACSk矩形。
下面两个结论是上述结论的拓展.
(1) 如图①，
OPAOCDSS，OPCPADCSS梯形。
(2)如图②，
OAPBOBCASS梯形梯形，BPEACESS。
经典例题
例1.(1)(兰州)如图，已知双曲线(0)kyxx经过矩形OABC边AB的中点F且交BC于点E，四边形OEBF的面积为2，则k 2 ；
(2)如图，点AB、为直线yx上的两点，过AB、两点分别作y轴的平行线交双曲线1(0)yxx于CD、两点，若2BDAC，则224OCOD 6
例2．(陕西)如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数xy6的图象交),(),,(2211yxByxA，那么))((1212yyxx值为 24 .
解析：因为A，B在反比例函数xy6上，所以611yx，我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，因此),(),,(2211yxByxA中有1212,yyxx，所以24644))(())((1111111212yxyyxxyyxx
例3．(山东威海)如图，一次函数bkxy的图象与反比例函数xmy的图象交于点A﹙－2，－5﹚，C﹙5，n﹚，交y轴于点B，交x轴于点D．
(1) 求反比例函数xmy和一次函数bkxy的表达式；
(2) 连接OA，OC．求△AOC的面积． CBAoyxEPDCAoyx图① EPCBAoyx图②
O C
x y
D 解：(1)∵反比例函数xmy的图象经过点A﹙－2，－5﹚，
∴m=(－2)×( －5)＝10．
∴反比例函数的表达式为xy10．∵点C﹙5，n﹚在反比例函数的图象上，
∴2510n．∴C的坐标为﹙5，2﹚．
∵一次函数的图象经过点A，C，将这两个点的坐标代入bkxy，得
.5225bkbk，解得.31bk，
∴所求一次函数的表达式为y＝x－3．
(2) ∵一次函数y=x－3的图像交y轴于点B，∴B点坐标为﹙0，－3﹚．
∴OB＝3．∵A点的横坐标为－2，C点的横坐标为5，
∴S△AOC= S△AOB+ S△BOC=22152215212-21OBOBOB．
例4．（福建福州）如图，已知直线12yx与双曲线(0)kykx交于AB，两点，且点A的横坐标为4．
（1）求k的值；
（2）若双曲线(0)kykx上一点C的纵坐标为8，求AOC△的面积；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线(0)kykx于PQ，两点（P点在第一象面积为限），若由点ABPQ，，，为顶点组成的四边形24，求点P的坐标．
解：（1）点A横坐标为4，当4x时，2y．
点A的坐标为(42)，．
点， 点A是直线12yx与双曲线(0)kykx的交428k．
（2）解法一：如图1，点C在双曲线上，当8y时，1x O x A y
B
图1 O
x A y D
M N C 点C的坐标为(18)，．
过点AC，分别做x轴，y轴的垂线，垂足为MN，，得矩形DMON．
32ONDMS矩形，4ONCS△，9CDAS△，4OAMS△．
3249415AOCONCCDAOAMONDMSSSSS△△△△矩形．
解法二：如图2，
过点CA，分别做x轴的垂线，垂足为EF，，
点C在双曲线8yx上，当8y时，1x．
点C的坐标为(18)，．点C，A都在双曲线8yx上，
4COEAOFSS△△COECOAAOFCEFASSSS△△△梯形．
COACEFASS△梯形．
1(28)3152CEFAS梯形，15COAS△．
（3）反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
OPOQ，OAOB．四边形APBQ是平行四边形．
1124644POAAPBQSS△平行四边形．
设点P横坐标为(04)mmm且，得8()Pmm，．
过点PA，分别做x轴的垂线，垂足为EF，，
点PA，在双曲线上，4PQEAOFSS△△．
若04m，如图3，
POEPOAAOFPEFASSSS△△△梯形，
6POAPEFASS△梯形．182(4)62mm∴·．
解得2m，8m（舍去）．(24)P，．
若4m，如图4，AOFAOPPOEAFEPSSSS△△△梯形，
6POAPEFASS△梯形．182(4)62mm， 图2 O x A y
B F E C
图3 O A y
B F
Q E P
x
图4 O x A y
B F E Q P 解得8m，2m（舍去）．(81)P，．
点P的坐标是(24)P，或(81)P，．
例5.(山东淄博) 如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线1yxb2过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；
（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．
【答案】解：（1）设反比例函数的解析式kyx，
∵反比例函数的图象过点E（3，4），∴k43，即k=12。∴反比例函数的解析式12yx。
（2）∵正方形AOCB的边长为4，∴点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4。
∵点D在反比例函数的图象上，∴点D的纵坐标为3，即D（4,3）。
∵点D在直线1yxb2上，∴134b2，解得b=5。∴直线DF为1yx52。
将y4代入1yx52，得14x52，解得x2。∴点F的坐标为（2，4）。
（3）∠AOF＝12∠EOC。证明如下：
在CD上取CG=CF=2，连接OG，连接EG并延长交ｘ轴于点H。
∵AO=CO=4，∠OAF=∠OCG=900，AF=CG=2，
∴△OAF≌△OCG（SAS）。∴∠AOF=∠COG。
∵∠EGB=∠HGC，∠B=∠GCH=900，BG=CG=2，
∴△EGB≌△HGC（AAS）。∴EG=HG。 设直线EG：ymxn，
∵E（3，4），G（4，2），∴43mn24mn，解得，m2n=10－。
∴直线EG：y2x10。
令y2x10=0，得x5。∴H（5，0），OH=5。在Rｔ△AOF中，AO=4，AE=3，根据勾股定理，得OE=5。∴OH=OE。
∴OG是等腰三角形底边EH上的中线。∴OG是等腰三角形顶角的平分线。
∴∠EOG=∠GOH。∴∠EOG=∠GOC=∠AOF，即∠AOF＝12∠EOC。
例6.(山东威海)一次函数yaxb的图象分别与x轴、y轴交于点,MN，与反比例函数kyx的图象相交于点,AB．过点A分别作ACx轴，AEy轴，垂足分别为,CE；过点B分别作BFx轴，BDy轴，垂足分别为FD，，AC与BD交于点K，连接CD．
（1）若点AB，在反比例函数kyx的图象的同一分支上，如图1，试证明：
①AEDKCFBKSS四边形四边形；
②ANBM．
（2）若点AB，分别在反比例函数kyx的图象的分歧分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论．
解：（1）①ACx⊥轴，AEy⊥轴，四边形AEOC为矩形．
BFx⊥轴，BDy⊥轴，四边形BDOF为矩形．
ACx⊥轴，BDy⊥轴，四边形AEDKDOCKCFBK，，均为矩形．
1111OCxACyxyk，，，11AEOCSOCACxyk矩形
2222OFxFByxyk，，，22BDOFSOFFBxyk矩形．
AEOCBDOFSS矩形矩形．AEDKAEOCDOCKSSS矩形矩形矩形，
CFBKBDOFDOCKSSS矩形矩形矩形，AEDKCFBKSS矩形矩形 O C F M D E N
K y
x 11()Axy，
22()Bxy，
（图1） O C
D K F E
N y
x 11()Axy，33()Bxy， M
（图2） ②由（1）知AEDKCFBKSS矩形矩形．AKDKBKCK．AKBKCKDK
90AKBCKD°，AKBCKD△∽△．CDKABK．
ABCD∥ACy∥轴，四边形ACDN是平行四边形．
ANCD．同理BMCD．ANBM．
（2）AN与BM仍然相等．AEDKAEOCODKCSSS矩形矩形矩形，
BKCFBDOFODKCSSS矩形矩形矩形，又AEOCBDOFSSk矩形矩形，
AEDKBKCFSS矩形矩形AKDKBKCK．
CKDKAKBK．KK，
CDKABK△∽△．CDKABK．ABCD∥．
ACy∥轴，四边形ANDC是平行四边形．ANCD．
同理BMCD．ANBM．
第一部分练习
一、选择题
1.(鄂州)如图，直线y=mx与双曲线y=xk交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM,若ABMS=2，则k的值是
A.2 B.m－2 C.mD.4
2.(兰州) 如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数1yx（0x）的图象上，则点E的坐标是（，）.
3.(泰安）如图，双曲线)0(＞kxky经过矩形OABC的边BC的中点E，
交AB于点D。若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为
A．xy1B．xy2
C．xy3D．xy6 O C
D K F E N y
x A
B M
图2
