反比例函数压轴题精选(含答案)

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反比例函数

知识点回顾

由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：

一、 利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题

设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|

∴xy=k 故S=|k| 从而得

如图，反比例函数k的几何意义：

CBAoyx

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(I) 12AOBAOCSSk；

(II) OBACSk矩形。

下面两个结论是上述结论的拓展.

(1) 如图①，

OPAOCDSS，OPCPADCSS梯形。

(2)如图②，

OAPBOBCASS梯形梯形，BPEACESS。

经典例题

例1.(1)(兰州)如图，已知双曲线(0)kyxx经过矩形OABC边AB的中点F且交BC于点E，四边形OEBF的面积为2，则k

2 ；

(2)如图，点AB、为直线yx上的两点，过AB、两点分别作y轴的平行线交双曲线1(0)yxx于CD、两点，若2BDAC，则224OCOD 6

例2(2013陕西) 如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数xy6的图象交),(),,(2211yxByxA，那么))((1212yyxx值为 24 . FECBAoxyDCBAoxyEPDCAoyx图① EPCBAoyx图②

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考点：正比例函数与反比例函数的交点的对称性的考查。

解析：因为A，B在反比例函数xy6上，所以611yx，我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，因此),(),,(2211yxByxA中有1212,yyxx，所以24644))(())((1111111212yxyyxxyyxx

例3(2010山东威海) 如图，一次函数bkxy的图象与反比例函数xmy的图象交于点A﹙－2，－5﹚，C﹙5，n﹚，交y轴于点B，交x轴于点D．

(1) 求反比例函数xmy和一次函数bkxy的表达式；

(2) 连接OA，OC．求△AOC的面积．

解：(1)∵ 反比例函数xmy的图象经过点A﹙－2，－5﹚，

∴ m=(－2)×( －5)＝10．

∴ 反比例函数的表达式为xy10． ……………………………………………………2分

∵ 点C﹙5，n﹚在反比例函数的图象上，

∴ 2510n．

∴ C的坐标为﹙5，2﹚． …………………………………………………………………3分

∵ 一次函数的图象经过点A，C，将这两个点的坐标代入bkxy，得

.5225bkbk， 解得.31bk， ………………………………………………………5分

∴ 所求一次函数的表达式为y＝x－3． …………………………………………………6分

(2) ∵ 一次函数y=x－3的图像交y轴于点B，

∴ B点坐标为﹙0，－3﹚． ………………………………………………………………7分

∴ OB＝3．

∵ A点的横坐标为－2，C点的横坐标为5，

∴ S△AOC= S△AOB+ S△BOC=22152215212-21OBOBOB． ………………10分

例4（2007福建福州）如图，已知直线12yx与双曲线(0)kykx交 O x A y

B O

A B C

x y

D

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于AB，两点，且点A的横坐标为4．

（1）求k的值；

（2）若双曲线(0)kykx上一点C的纵坐标为8，求AOC△的面积；

（3）过原点O的另一条直线l交双曲线(0)kykx于PQ，两点（P点在第一象限），若由点ABPQ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

解：（1）Q点A横坐标为4，当4x时，2y．

点A的坐标为(42)，．

Q点A是直线12yx与双曲线(0)kykx的交点，

428k．

（2）解法一：如图1，

Q点C在双曲线上，当8y时，1x

点C的坐标为(18)，．

过点AC，分别做x轴，y轴的垂线，垂足为MN，，得矩形DMON．

32ONDMS矩形，4ONCS△，9CDAS△，4OAMS△．

3249415AOCONCCDAOAMONDMSSSSS△△△△矩形．

解法二：如图2，

过点CA，分别做x轴的垂线，垂足为EF，，

Q点C在双曲线8yx上，当8y时，1x．

点C的坐标为(18)，．

Q点C，A都在双曲线8yx上，

4COEAOFSS△△ COECOAAOFCEFASSSS△△△梯形．

COACEFASS△梯形．

1(28)3152CEFASQ梯形，15COAS△． 图2 O x A y

B F E C

图3 O A y

B F

Q E P

x 图1 O

x A y D

M N C

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（3）Q反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，

OPOQ，OAOB．四边形APBQ是平行四边形．

1124644POAAPBQSS△平行四边形．

设点P横坐标为(04)mmm且，得8()Pmm，．

过点PA，分别做x轴的垂线，垂足为EF，，

Q点PA，在双曲线上，4PQEAOFSS△△．

若04m，如图3，

POEPOAAOFPEFASSSSQ△△△梯形，

6POAPEFASS△梯形．182(4)62mm∴·．

解得2m，8m（舍去）．(24)P，．

若4m，如图4，AOFAOPPOEAFEPSSSSQ△△△梯形，

6POAPEFASS△梯形．182(4)62mmg，

解得8m，2m（舍去）．(81)P，．

点P的坐标是(24)P，或(81)P，．

例5.(山东淄博) 如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线1yxb2=-+过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；

（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明． 图4 O x A y

B F E Q P

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【答案】解：（1）设反比例函数的解析式kyx=，

∵反比例函数的图象过点E（3，4），∴k43=，即k=12。∴反比例函数的解析式12yx=。

（2）∵正方形AOCB的边长为4，∴点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4。

∵点D在反比例函数的图象上，∴点D的纵坐标为3，即D（4,3）。

∵点D在直线1yxb2=-+上，∴134b2=-?，解得b=5。 ∴直线DF为1yx52=-+。

将y4=代入1yx52=-+，得14x52=-+，解得x2=。∴点F的坐标为（2，4）。

（3）∠AOF＝12∠EOC。证明如下：

在CD上取CG=CF=2，连接OG，连接EG并延长交ｘ轴于点H。

∵AO=CO=4，∠OAF=∠OCG=900，AF=CG=2，

∴△OAF≌△OCG（SAS）。∴∠AOF=∠COG。

∵∠EGB=∠HGC，∠B=∠GCH=900，BG=CG=2，

∴△EGB≌△HGC（AAS）。∴EG=HG。

设直线EG：ymxn=+，

∵E（3，4），G（4，2），∴43mn24mn，解得，m2n=10－。

∴直线EG：y2x10=-+。

令y2x10=0=-+，得x5=。∴H（5，0），OH=5。在Rｔ△AOF中，AO=4，AE=3，根据勾股定理，得OE=5。∴OH=OE。

∴OG是等腰三角形底边EH上的中线。∴OG是等腰三角形顶角的平分线。

∴∠EOG=∠GOH。∴∠EOG=∠GOC=∠AOF，即∠AOF＝12∠EOC。

例6.(2009山东威海) 一次函数yaxb的图象分别与x轴、y轴交于点,MN，与反比

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例函数kyx的图象相交于点,AB．过点A分别作ACx轴，AEy轴，垂足分别为,CE；过点B分别作BFx轴，BDy轴，垂足分别为FD，，AC与BD交于点K，连接CD．

（1）若点AB，在反比例函数kyx的图象的同一分支上，如图1，试证明：

①AEDKCFBKSS四边形四边形；

②ANBM．

（2）若点AB，分别在反比例函数kyx的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论．

解：（1）①ACxQ⊥轴，AEy⊥轴，

四边形AEOC为矩形．

QBFx⊥轴，BDy⊥轴，

四边形BDOF为矩形．

ACxQ⊥轴，BDy⊥轴，

四边形AEDKDOCKCFBK，，均为矩形． ·········· 1分

Q1111OCxACyxykg，，，

11AEOCSOCACxykgg矩形

Q2222OFxFByxykg，，，

22BDOFSOFFBxykgg矩形． O C F M D E N

K y

x 11()Axy，

22()Bxy，

（图1） O C

D K F E

N y

x 11()Axy，33()Bxy， M

（图2）