反比例函数压轴题精选(含答案)
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创作时间：二零二一年六月三十日
创作时间：二零二一年六月三十日 中考反比例函数之南宫帮珍创作
创作时间：二零二一年六月三十日
经典结论：
如图, 反比例函数k的几何意义：
(I) 12AOBAOCSSk；
(II) OBACSk矩形.
下面两个结论是上述结论的拓展.
(1) 如图①,
OPAOCDSS, OPCPADCSS梯形.
(2)如图②,
OAPBOBCASS梯形梯形, BPEACESS.
经典例题
例1.(1)(兰州)如图, 已知双曲线(0)kyxx经过矩形OABC边AB的中点F且交BC于点E, 四边形OEBF的面积为2, 则k
2 ；
(2)如图, 点AB、为直线yx上的两点, 过AB、两点分别作y轴的平行线交双曲线1(0)yxx于CD、两点, 若2BDAC, 则224OCOD 6
例2．(陕西)如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数xy6的图象交),(),,(2211yxByxA, 那么))((1212yyxx值为 24 .
解析：因为A, B在反比例函数xy6上, 所以611yx, 我们知道正CBAoyxEPDCAoyx图① EPCBAoyx图② 创作时间：二零二一年六月三十日
创作时间：二零二一年六月三十日 比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称, 因其中),(),,(2211yxByxA有1212,yyxx, 所以24644))(())((1111111212yxyyxxyyxx
例3．(山东威海)如图, 一次函数bkxy的图象与反比例函数xmy的图象交于点A﹙－2, －5﹚, C﹙5, n﹚, 交y轴于点B,
交x轴于点D．
(1) 求反比例函数xmy和一次函数bkxy的表达式；
(2) 连接OA, OC．求△AOC的面积．
解：(1)∵反比例函数xmy的图象经过点A﹙－2, －5﹚,
∴m=(－2)×( －5)＝10．
∴反比例函数的表达式为xy10．∵点C﹙5, n﹚在反比例函数的图象上,
∴2510n．∴C的坐标为﹙5, 2﹚．
∵一次函数的图象经过点A, C, 将这两个点的坐标代入bkxy,
得
.5225bkbk，解得.31bk，
∴所求一次函数的表达式为y＝x－3．
(2) ∵一次函数y=x－3的图像交y轴于点B, ∴B点坐标为﹙0, －3﹚．
∴OB＝3．∵A点的横坐标为－2, C点的横坐标为5,
∴S△AOC= S△AOB+ S△BOC=22152215212-21OBOBOB． O x A y
B O
A B C
x y
D 创作时间：二零二一年六月三十日
创作时间：二零二一年六月三十日 例4．（福建福州）如图, 已知直线12yx与双曲线(0)kykx交于AB，两点, 且点A的横坐标为4．
（1）求k的值；
（2）若双曲线(0)kykx上一点C的纵坐标为8, 求AOC△的面积；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线(0)kykx于PQ，两点（P点在第一象限）, 若由点ABPQ，，，为极点组成的四边形面积为24, 求点P的坐标．
解：（1）点A横坐标为4, 那时4x,
2y．
点A的坐标为(42)，．
点A是直线12yx与双曲线(0)kykx的交点,
428k．
（2）解法一：如图1, 点C在双曲线上, 那时8y, 1x
点C的坐标为(18)，．
过点AC，分别做x轴, y轴的垂线, 垂足为MN，, 得矩形DMON．
32ONDMS矩形, 4ONCS△, 9CDAS△, 4OAMS△．
3249415AOCONCCDAOAMONDMSSSSS△△△△矩形．
解法二：如图2,
过点CA，分别做x轴的垂线, 垂足为EF，,
点C在双曲线8yx上, 那时8y, 1x．
图2 O x A y
B F E C 图1 O
x A y D
M N C 创作时间：二零二一年六月三十日
创作时间：二零二一年六月三十日 点C的坐标为(18)，．点C, A都在双曲线8yx上,
4COEAOFSS△△COECOAAOFCEFASSSS△△△梯形．
COACEFASS△梯形．
1(28)3152CEFAS梯形, 15COAS△．
（3）反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形,
OPOQ, OAOB．四边形APBQ是平行四边形．
1124644POAAPBQSS△平行四边形．
设点P横坐标为(04)mmm且, 得8()Pmm，．
过点PA，分别做x轴的垂线, 垂足为EF，,
点PA，在双曲线上, 4PQEAOFSS△△．
若04m, 如图3,
POEPOAAOFPEFASSSS△△△梯形,
6POAPEFASS△梯形．182(4)62mm∴·．
解得2m, 8m（舍去）．(24)P，．
若4m, 如图4, AOFAOPPOEAFEPSSSS△△△梯形,
6POAPEFASS△梯形．182(4)62mm,
解得8m, 2m（舍去）．(81)P，．
点P的坐标是(24)P，或(81)P，．
例5.(山东淄博) 如图, 正方形AOCB的边长为4, 反比例函数的图3 O A y
B F
Q E P
x
图4 O x A y
B F E Q P 创作时间：二零二一年六月三十日
创作时间：二零二一年六月三十日 图象过点E（3, 4）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D, 直线1yxb2过点D,
与线段AB相交于点F, 求点F的坐标；
（3）连接OF, OE, 探究∠AOF与∠EOC的数量关系, 并证明．
【谜底】解：（1）设反比例函数的解析式kyx,
∵反比例函数的图象过点E（3, 4）, ∴k43, 即k=12.∴反比例函数的解析式12yx.
（2）∵正方形AOCB的边长为4, ∴点D的横坐标为4, 点F的纵坐标为4.
∵点D在反比例函数的图象上, ∴点D的纵坐标为3, 即D（4,3）.
∵点D在直线1yxb2上, ∴134b2, 解得b=5.∴直线DF为1yx52.
将y4代入1yx52, 得14x52, 解得x2.∴点F的坐标为（2, 4）.
（3）∠AOF＝12∠EOC.证明如下：
在CD上取CG=CF=2, 连接OG, 连接EG并延长交ｘ轴于点H.
∵AO=CO=4, ∠OAF=∠OCG=900, AF=CG=2,
∴△OAF≌△OCG（SAS）.∴∠AOF=∠COG.
∵∠EGB=∠HGC, ∠B=∠GCH=900, BG=CG=2, 创作时间：二零二一年六月三十日
创作时间：二零二一年六月三十日 ∴△EGB≌△HGC（AAS）.∴EG=HG.
设直线EG：ymxn,
∵E（3, 4）, G（4, 2）, ∴43mn24mn, 解得, m2n=10－.
∴直线EG：y2x10.
令y2x10=0, 得x5.∴H（5, 0）, OH=5.在Rｔ△AOF中,
AO=4, AE=3, 根据勾股定理, 得OE=5.∴OH=OE.
∴OG是等腰三角形底边EH上的中线.∴OG是等腰三角形顶角的平分线.
∴∠EOG=∠GOH.∴∠EOG=∠GOC=∠AOF, 即∠AOF＝12∠EOC.
例6.(山东威海)一次函数yaxb的图象分别与x轴、y轴交于点,MN, 与反比例函数kyx的图象相交于点,AB．过点A分别作ACx轴, AEy轴, 垂足分别为,CE；过点B分别作BFx轴,
BDy轴, 垂足分别为FD，，AC与BD交于点K, 连接CD．
（1）若点AB，在反比例函数kyx的图象的同一分支上, 如图1,
试证明：
①AEDKCFBKSS四边形四边形；
②ANBM．
（2）若点AB，分别在反比例函数kyx的图象的分歧分支上, 如图2, 则AN与BM还相等吗？试证明你的结论．
解：（1）①ACx⊥轴, AEy⊥轴, 四边形AEOC为矩形．
BFx⊥轴, BDy⊥轴, 四边形BDOF为矩形．
ACx⊥轴, BDy⊥轴, 四边形AEDKDOCKCFBK，，均为矩形． O C F M D E N
K y
x 11()Axy，
22()Bxy，
（图1） O C
D K F E
N y
x 11()Axy，33()Bxy， M
（图2） 创作时间：二零二一年六月三十日
创作时间：二零二一年六月三十日 1111OCxACyxyk，，, 11AEOCSOCACxyk矩形
2222OFxFByxyk，，, 22BDOFSOFFBxyk矩形．
AEOCBDOFSS矩形矩形．AEDKAEOCDOCKSSS矩形矩形矩形,
CFBKBDOFDOCKSSS矩形矩形矩形, AEDKCFBKSS矩形矩形
②由（1）知AEDKCFBKSS矩形矩形．AKDKBKCK．AKBKCKDK
90AKBCKD°, AKBCKD△∽△．CDKABK．
ABCD∥ACy∥轴, 四边形ACDN是平行四边形．
ANCD．同理BMCD．ANBM．
（2）AN与BM仍然相等．AEDKAEOCODKCSSS矩形矩形矩形,
BKCFBDOFODKCSSS矩形矩形矩形, 又AEOCBDOFSSk矩形矩形,
AEDKBKCFSS矩形矩形AKDKBKCK．
CKDKAKBK．KK,
CDKABK△∽△．CDKABK．ABCD∥．
ACy∥轴, 四边形ANDC是平行四边形．ANCD．
同理BMCD．ANBM．
第一部份练习
一、选择题
1.(鄂州)如图, 直线y=mx与双曲线y=xk交于A、B两点, 过点A作AM⊥x轴, 垂足为M, 连结BM,若ABMS=2, 则k的值是
2.(兰州) 如图, 若正方形OABC的极点B和正方形ADEF的极点E都在函数1yx（0x）的图象上, 则点E的坐O C
D K F E
N y
x A
B M
图2
