导学案1：2 .4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教案新人教A版必修4一、教学分析平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分.前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础.二、教学目标1、知识与技能：掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

2、过程与方法：通过用坐标表示平面向量数量积的有关运算，揭示几何图形与代数运算之间的内在联系，明确数学是研究数与形有机结合的学科。

3、情感态度与价值观：能用所学知识解决有关综合问题。

三、重点难点教学重点:平面向量数量积的坐标表示.教学难点:向量数量积的坐标表示的应用.四、教学设想（一）导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.思路2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.（二）推进新课、新知探究、提出问题①平面向量的数量积能否用坐标表示?②已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢?③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和 补充.推导过程如下:∵a =x 1ｉ+y 1j ,b =x 2ｉ+y 2j ,∴a ·b =(x 1ｉ+y 1j )·(x 2ｉ+y 2j ) =x 1x 2ｉ2+x 1y 2ｉ·j +x 2y 1ｉ·j +y 1y 2j 2.又∵ｉ·ｉ=1,j ·j =1,ｉ·j =j ·ｉ=0,∴a ·b =x 1x 2+y 1y 2.教师给出结论性的总结,由此可归纳如下:1°平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =x 1x 2+y 1y 2.2°向量模的坐标表示若a =(x,y),则|a |2=x 2+y 2,或|a |=22y x +. 如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),那么a =(x 2-x 1,y 2-y 1),|a |=.)()(212212y y x x -+-3°两向量垂直的坐标表示设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.4°两向量夹角的坐标表示设a 、b 都是非零向量,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ是a 与b 的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +•++=•讨论结果:略.（三）应用示例例1 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△A BC 的形状,并给出证明.活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△A BC 是直角三角形.下面给出证明.∵AB =(2-1,3-2)=(1,1),AC =(-2-1,5-2)=(-3,3),∴AB ·AC =1×(-3)+1×3=0. ∴AB ⊥AC . ∴△A BC 是直角三角形. 点评:本题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定,然后对你的结论给出充分的证明. 变式训练在△A BC 中,AB =(2,3),AC =(1,k),且△A BC 的一个内角为直角,求k 的值.解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论.若∠A=90°,则AB ⊥AC ,所以AB ·AC =0.于是2×1+3k=0.故k=32-. 同理可求,若∠B=90°时,k 的值为311; 若∠C=90°时,k 的值为2133±. 故所求k 的值为32-或311或2133±.例2 (1)已知三点A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠B AC 的余弦值;(2)a =(3,0),b =(-5,5),求a 与b 的夹角.活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2)的数量积a ·b =x 1x 2+y 1y 2和模|a |=2121y x +,|b |=2222y x +的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,即cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +•++=•.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误.解:(1)AB =(5,1)-(2,-2)=(3,3), AC =(1,4)-(2,-2)=(-1,6),∴AB ·AC =3×(-1)+3×6=15.又∵|AB |=2233+=32,|AC |=226)1(+-=37,∴cos∠B AC=.74745372315||||=•=•AC AB AC AB (2)a ·b =3×(-5)+0×5=-15,|a |=3,|b |=52.设a 与b 的夹角为θ,则cosθ=.2225315||||-=⨯-=•b a b a 又∵0≤θ≤π,∴θ=43π. 点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高.变式训练设a =(5,-7),b =(-6,-4),求a ·b 及a 、b 间的夹角θ.(精确到1°)解:a ·b =5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2. |a |=74)7(522=-+,|b |=52)4()6(22=-+- 由计算器得cosθ=52742⨯-≈-0.03.利用计算器中得θ≈92°.例3 已知|a |=3,b =(2,3),试分别解答下面两个问题:(1)若a ⊥b ,求a ;(2)若a ∥b ,求a.活动:对平面中的两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示x 1x 2+y 1y 2=0与向量共线的坐标表示x 1y 2-x 2y 1=0很容易混淆, 应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,两向量垂直是a ·b =0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给出这两种类型的同式变形训练.解:(1)设a =(x,y),由|a |=3且a ⊥b ,得⎩⎨⎧=+==+,032,9||222x x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,13136,1313913136,13139y x y x 或 ∴a =或)13136,13139(-a =.13136,13139- (2)设a =(x,y),由|a |=3且a ∥b ,得⎩⎨⎧=-==+.023,9||222y x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13139,13136y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.13139,13136y x∴a =或)13139,13136(a =)13139,13136(--. 点评:本题主要考查学生对公式的掌握情况,学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线,也能熟练地进行公式的逆用,利用已知关系来求向量的坐标.变式训练求证:一次函数y=2x-3的图象(直线l 1)与一次函数y=21 x 的图象(直线l 2)互相垂直. 解:在l 1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l 1上取两点A(1,-1),B(2,1).同理,在直线l 2上取两点C(-2,1),D(-4,2),于是:AB =(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1,2),CD =(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).由向量的数量积的坐标表示,可得AB ·CD =1×(-2)+1×2=0,∴AB ⊥CD ,即l 1⊥l 2.（四）课堂小结1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示.2.在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法,定义法,待定系数法等.（五）作业。

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.知识点一 平面向量数量积的坐标表示设i ，j 是两个互相垂直且分别与x 轴、y 轴的正半轴同向的单位向量. 思考1 i ·i ，j ·j ，i ·j 分别是多少？答案 i ·i ＝1×1×cos 0＝1，j ·j ＝1×1×cos 0＝1，i ·j ＝0.思考2 取i ，j 为坐标平面内的一组基底，设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，试将a ，b 用i ，j 表示，并计算a ·b .答案 ∵a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )·(x 2i ＋y 2j )＝x 1x 2i 2＋(x 1y 2＋x 2y 1)i ·j ＋y 1y 2j 2＝x 1x 2＋y 1y 2. 思考3 若a ⊥b ，则a ，b 坐标间有何关系？ 答案 a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.梳理 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.数量积 a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 向量垂直a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0知识点二 平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式 思考1 若a ＝(x ，y )，试将向量的模|a |用坐标表示. 答案 ∵a ＝x i ＋y j ，x ，y ∈R ，∴a 2＝(x i ＋y j )2＝(x i )2＋2xy i·j ＋(y j )2 ＝x 2i 2＋2xy i·j ＋y 2j 2. 又∵i 2＝1，j 2＝1，i·j ＝0， ∴a 2＝x 2＋y 2，∴|a |2＝x 2＋y 2， ∴|a |＝x 2＋y 2.思考2 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如何计算向量AB →的模？答案 ∵AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1) ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 梳理向量模长 a ＝(x ，y )|a |＝x 2＋y 2以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为端点的向量AB →|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2知识点三 平面向量夹角的坐标表示思考 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？ 答案 cos θ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.类型一 平面向量数量积的坐标表示例1 已知a 与b 同向，b ＝(1，2)，a·b ＝10. (1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2，4). (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10).反思与感悟 此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况下(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，即向量运算结合律一般不成立.跟踪训练1 向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.2答案 C解析 因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，所以2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，则(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1，故选C. 类型二 向量的模、夹角问题例2 在平面直角坐标系xOy 中，O 是原点(如图).已知点A (16，12)，B (－5，15).(1)求|OA →|，|AB →|； (2)求∠OAB .解 (1)由OA →＝(16，12)， AB →＝(－5－16，15－12)＝(－21，3)，得|OA →|＝162＋122＝20， |AB →|＝(－21)2＋32＝15 2. (2)cos ∠OAB ＝cos AO →，AB →＝AO →·AB→|AO →||AB →|.其中AO →·AB →＝－OA →·AB → ＝－(16，12)·(－21，3) ＝－[16×(－21)＋12×3]＝300. 故cos ∠OAB ＝30020×152＝22.∴∠OAB ＝45°.反思与感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤： (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积. (2)利用|a |＝x 2＋y 2求两向量的模.(3)代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值.跟踪训练2 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围.解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.又∵a ，b 的夹角α为钝角，∴⎩⎨⎧λ－1<0，2·1＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0.∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1). 类型三 向量垂直的坐标形式例3 (1)已知a ＝(－3，2)，b ＝(－1，0)，若向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A.17B.－17C.16D.－16 答案 B解析 由向量λa ＋b 与a －2b 垂直，得 (λa ＋b )·(a －2b )＝0.因为a ＝(－3，2)，b ＝(－1，0)， 所以(－3λ－1，2λ)·(－1，2)＝0， 即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17.(2)在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值. 解 ∵AB →＝(2，3)，AC →＝(1，k )， ∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3).若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0， ∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132.反思与感悟 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论.跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，4)，B (－2，3)，C (2，－1)，若(AB →－tOC →)⊥OC →，则实数t ＝____.答案 －1解析 ∵AB →＝(－3，－1)， ∴AB →－tOC →＝(－3－2t ，－1＋t )， 又∵OC →＝(2，－1)，(AB →－tOC →)⊥OC →， ∴(－3－2t )×2＋(－1＋t )·(－1)＝0. ∴t ＝－1.1.已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5.∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22.又∵a ，b 的夹角范围为[0，π]. ∴a 与b 的夹角为π4.2.已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC 等于( )A.30°B.45°C.60°D.120° 答案 A解析 ∵|BA →|＝1，|BC →|＝1， ∴cos ∠ABC ＝BA →·BC→|BA →||BC →|＝32，∴∠ABC ＝30°.3.已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1 答案 B解析 因为m ＋n ＝(2λ＋3，3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.4.已知平面向量a ，b ，若a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a·b ＝5，则向量b ＝____________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35解析 ∵|a |＝5，cos 〈a ，b 〉＝a·b|a ||b |＝1，∴a ，b 方向相同，∴b ＝15a ＝(45，－35).5.已知a ＝(4，3)，b ＝(－1，2). (1)求a 与b 的夹角的余弦值；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值. 解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2， |a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525.(2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7，8)， (a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0， ∴λ＝529.1.平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径.准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程.同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具.2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.4.事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.课时作业一、选择题1.已知向量a ＝(－5，6)，b ＝(6，5)，则a 与b ( ) A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向答案 A解析 ∵a·b ＝－5×6＋6×5＝0， ∴a ⊥b .2.已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4答案 C解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0， ∴n 2＝3，∴|a |＝12＋n 2＝2.3.若向量a ＝(1，2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A.－π4B.π6C.π4D.3π4答案 C解析 ∵2a ＋b ＝2(1，2)＋(1，－1)＝(3，3)，a －b ＝(1，2)－(1，－1)＝(0，3)，∴(2a ＋b )·(a －b )＝9， |2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，∵0≤α≤π，∴α＝π4.4.若a ＝(2，－3)，则与向量a 垂直的单位向量的坐标为( ) A.(3，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫31313，21313C.⎝⎛⎭⎪⎫31313，21313或⎝ ⎛⎭⎪⎫－31313，－21313D.以上都不对 答案 C解析 设与a 垂直的向量为单位向量(x ，y )， ∵(x ，y )是单位向量， ∴x 2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝1， ①又∵(x ，y )表示的向量垂直于a ， ∴2x －3y ＝0，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝31313，y ＝21313或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－31313，y ＝－21313.5.已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m 等于( ) A.－2 B.－1 C.1 D.2答案 D解析 因为a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b ·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20. 因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以a ·c |a ||c |＝b ·c |b ||c |，即a ·c |a |＝b ·c|b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2，故选D.6.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3).若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73答案 D解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， ∵(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又∵c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②由①②解得x ＝－79，y ＝－73.二、填空题7.已知a ＝(3，3)，b ＝(1，0)，则(a －2b )·b ＝________. 答案 1解析 a －2b ＝(1，3)， (a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.8.已知A (－3，0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________.答案 1解析 由题意知OA →＝(－3，0)，OB →＝(0，3)， 则OC →＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°知，以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°， ∴tan 150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，∴λ＝1.9.已知a ＝(1，3)，b ＝(2＋λ，1)，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.答案 (－5，－53)∪(－53，＋∞)解析 由a 与b 的夹角为锐角， 得a ·b ＝2＋λ＋3＞0，λ＞－5， 当a ∥b 时，(2＋λ)×3－1＝0，λ＝－53.故λ的取值范围为λ＞－5且λ≠－53.10.已知点A (1，－2)，若向量AB →与a ＝(2，3)同向，且|AB →|＝213，则点B 的坐标为________. 答案 (5，4)解析 设AB →＝(2λ，3λ)(λ>0)， 则|AB →|＝4λ2＋9λ2＝213， ∴13λ2＝13×22，∴λ＝2， ∴AB →＝(4，6)，∴OB →＝OA →＋AB →＝(1，－2)＋(4，6)＝(5，4). ∴点B 的坐标为(5，4). 三、解答题11.已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，2). (1)若|c |＝25，且c 与a 方向相反，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解 (1)设c ＝(x ，y )， 由c ∥a 及|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4，因为c 与a 方向相反， 所以c ＝(－2，－4). (2)因为(a ＋2b )⊥(2a －b )， 所以(a ＋2b )·(2a －b )＝0， 即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0， 所以2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0， 所以2×5＋3a ·b －2×54＝0，所以a ·b ＝－52.所以cos θ＝a ·b|a ||b |＝－1.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.12.已知三个点A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4). (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两条对角线所成的锐角的余弦值. (1)证明 ∵A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)， ∴AB →＝(1，1)，AD →＝(－3，3)， 又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 ∵AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， ∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1，1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝5.∴C 点坐标为(0，5).由于AC →＝(－2，4)，BD →＝(－4，2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0，|AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5.设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC ，→·BD →|AC →||BD →|＝1620＝45>0， ∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45. 13.平面内有向量OA →＝(1，7)，OB →＝(5，1)，OP →＝(2，1)，点Q 为直线OP 上的一个动点.(1)当QA →·QB →取最小值时，求OQ →的坐标；(2)当点Q 满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AQB 的值.解 (1)设OQ →＝(x ，y )，∵Q 在直线OP 上，∴向量OQ →与OP →共线.又∵OP →＝(2，1)，∴x －2y ＝0，∴x ＝2y ，∴OQ →＝(2y ，y ).又∵QA →＝OA →－OQ →＝(1－2y ，7－y )，QB →＝OB →－OQ →＝(5－2y ，1－y )，∴QA →·QB →＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2－20y ＋12＝5(y －2)2－8.故当y ＝2时，QA →·QB →有最小值－8，此时OQ →＝(4，2).(2)由(1)知：QA →＝(－3，5)，QB →＝(1，－1)，QA →·QB →＝－8，|QA →|＝34，|QB →|＝2，∴cos ∠AQB ＝QA →·QB →|QA →||QB →|＝－834×2＝－41717. 四、探究与拓展 14.已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则向量b 的坐标为________.答案 (12，32) 15.已知OA →＝(4，0)，OB →＝(2，23)，OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →(λ2≠λ).(1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，且当AB →＝BC →时，求λ的值；(3)求|OC →|的最小值.解 (1)OA →·OB →＝8，设OA →与OB →的夹角为θ，则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝84×4＝12， ∴OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ＝4×12＝2. (2)AB →＝OB →－OA →＝(－2，23)，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →，所以A ，B ，C 三点共线.当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2＝16λ2－16λ＋16＝16(λ－12)2＋12， ∴当λ＝12时，|OC →|取到最小值，为2 3.。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、教学目标1.知识与技能：掌握平面向量的数量积坐标运算及应用2.过程与方法：（1）通过平面向量数量积的坐标运算，体会向量的代数性和几何性；（2）从具体应用体会向量数量积的作用3.情感、态度与价值观：学会对待不同问题用不同的方法分析的态度二、教学重点、难点重点：向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式难点：条件和公式的应用三、教学方法用学过的知识带动学生探求新知识四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入平面向量基本定理及向量的坐标表示向量数量积的定义及性质、运算率学生思考回答上节课内容温故知新定义形成向量具有几何性和代数性，上节课根据向量的几何性定义出了数量积的运算，并掌握了运算率及性质。

那么这一定义如何由它的代数性反映出来？那么向量数量积的性质如何由它的坐标表示出来？结论：已知两个非零向量),(11yxa=ρ，),(22yxb=ρ教师引导学生，从向量的坐标出发，根据数量积的定义推导出数量积的坐标运算。

从而很容易推导出三个公式和一个条件让学生自己联系旧知识推导新内容，体会自己创作的乐趣则ba ϖρ⋅2121yy x x +=从中总结出三个公式（向量的长度、距离、夹角公式）及一个条件（向量垂直的充要条件）向量的长度、距离和夹角公式（1）设),(y x a =ϖ，则222||y x a +=ρ或22||y x a +=ρ(长度公式)（2）如果表示向量a ϖ的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=ρ(距离公式)(3) co s=||||b a b a ⋅⋅ρρρ222221212121y x y x y y x x +++=（πθ≤≤0）(夹角公式) 向量垂直的充要条件设),(11y x a =ρ，),(22y x b =ρ， 则b a ϖρ⊥ ⇔02121=+y y x x定义深化对于从前的射影的概念，我们进行重新的认识 向量在轴上的正射影： 作图学生主导发现问题，教师引导提出和解决问题注意：射影是可正可负可为零的教学中，学生不太容易理解的，也不经常用到的概念，变作例题形式有利于加深印象定义：|br|cos叫做向量br在ar所在轴上的正射影正射影也是一个数量，不是向量；当为锐角时正射影为正值；当为钝角时正射影为负值；当为直角时正射影为0；当 = 0时正射影为|br|；当 = 180时正射影为|br|挖掘向量在轴上的正射影的定义，和我们这两节的向量数量积有什么关系？（或找出其本质）练习：P108 例1应用举例例1.已知ar=（3，-1），br=（1，-2），求a br rg，|ar|，|br|，<ar,br>例2.求证菱形的两条对角线互相垂直.练习.已知点A（1，2），B（2，3），C（-2，5），求证AB AC⊥u u u r u u u r例3.已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求BAC∠的正弦值练习.已知ar=(3,4)，求：（1）ar的单位向量；（2）与ar垂直的单位向量；（3）与ar平行的单位向量主要体会向量代数运算的方便和简便，以及几何性质的直观熟练准确的运用向量数量积进行运算，并对某些结论性的内容有所了解课堂小结 1.数量积的定义、性质、运算率2.几种特殊情况的讨论（注意事项）教师提出问题：向量的运算已经接触到了加法、减法、数乘及数量积的运算，那么它们的区别和联系是什么？尤其是数乘和数量积的运算，同是乘法，有何区别？主要学生总结，教师不做过多引导让学生掌握最主要的内容；让大多数学生知道还有某些注意事项作业1、看书总结平面向量数量积的注意事项（分别从定义、运算率、性质、与数乘的区别总结）2、总结一些你认为很有用的式子（可以从例题、习题总结）3、 P115练习B---2（1）（2）、3练习A---1（1）（2）习题A---2习题B---4注意：1、找向量夹角时，向量必须同起点；2、定义中注意垂直时数量积为0；3、两个向量的数量积称为内积，写成a b；符号“·”在向量运算中既不能省略，也不能用“×”4、数量积不满足结合率和消去率：在实数中，若a0，且a b=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且a b=0，不能推出b=0因为其中cos有可能为0已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c但是a b = b c a = c在实数中，有(a b)c = a(b c)，但是(a b)c a(b c)5、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．数量积两个向量的数量积等于□1对应坐标的乘积的和，即a·b＝□2x1x2＋y1y2两个向量垂直a⊥b⇔□3x1x2＋y1y2＝02．三个重要公式1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．()(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.()(3)若两个非零向量的夹角θ满足cosθ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．()答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)已知a ，b 为平面向量，a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 的夹角θ的余弦值等于( )A ．865B ．－865C ．1665D ．－1665答案 C解析 a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则b ＝(－5,12)，夹角θ的余弦值cos θ＝a ·b |a ||b |＝4×(－5)＋3×125×13＝1665.(2)(教材改编P 107T 1)若向量a ＝(3，m )，b ＝(2,1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为________．答案 －6解析 由题意可得6＋m ＝0，解得m ＝－6.(3)已知a ＝(1，3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋b |＝________. 答案 2解析 a ＋b ＝(－1，3)，|a ＋b |＝ (－1)2＋(3)2＝2.探究1 平面向量数量积的坐标表示例1 已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10，求： (1)向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(a ·c )·b . 解 (1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)， ∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)． 又∵a ·b ＝10，∴λ＋4λ＝10， ∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．(2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a·c)·b＝0·b＝0.[条件探究]若将例1改为a与b反向，b＝(1,2)，a·b＝－10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.解(1)∵a与b反向，且b＝(1,2)，∴设a＝λb(λ<0)，∴a＝(λ，2λ)，又a·b＝－10，∴λ＋4λ＝－10，∴λ＝－2，∴a＝(－2，－4)．(2)∵a·c＝2×(－2)＋(－1)×(－4)＝－4＋4＝0，∴(a·c)·b＝0·b＝0.拓展提升数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．【跟踪训练1】向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1D．2答案C解析 a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1. 探究2 向量的模的问题例2 (1)若向量a ＝(2x －1,3－x )，b ＝(1－x ，2x －1)，则|a －b |的最小值为________；(2)若向量a 的始点为A (－2,4)，终点为B (2,1)，求： ①向量a 的模；②与a 平行的单位向量的坐标； ③与a 垂直的单位向量的坐标．解析 (1)∵a ＝(2x －1,3－x )，b ＝(1－x,2x －1)， ∴a －b ＝(2x －1,3－x )－(1－x,2x －1)＝(3x －2，4－3x )， ∴|a －b |＝(3x －2)2＋(4－3x )2＝18x 2－36x ＋20 ＝18(x －1)2＋2，∴当x ＝1时，|a －b |取最小值为 2. (2)①∵a ＝AB →＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)， ∴|a |＝42＋(－3)2＝5.②与a 平行的单位向量是±a|a |＝±15(4，－3)，即坐标为⎝⎛⎭⎪⎫45，－35或⎝⎛⎭⎪⎫－45，35.③设与a 垂直的单位向量为e ＝(m ，n )，则a ·e ＝4m －3n ＝0，∴m n ＝34.又∵|e |＝1，∴m 2＋n 2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝45或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－35，n ＝－45，∴e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.答案 (1)2 (2)见解析 拓展提升求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2.【跟踪训练2】 设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( )A ．5B ．10C ．25D ．10答案 B解析 由a ⊥b ，可得a ·b ＝0，即x －2＝0，解得x ＝2，所以a ＋b ＝(3，－1)，故|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10.故选B.探究3 向量垂直的坐标表示例3 已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB →⊥AD →；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．解 (1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1，4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3，3)．又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →. (2)∵AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， ∴AB →＝DC →，设C 点坐标为(x ，y )， 则(1,1)＝(x ＋1，y －4)．∴⎩⎨⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)．∴AC →·BD →＝8＋8＝16，|AC →|＝25，|BD →|＝2 5. 设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝1620＝45>0，可得AC →与BD →夹角的余弦值为45.∴矩形两条对角线所夹锐角的余弦值为45. 拓展提升用向量数量积的坐标表示解决垂直问题利用坐标表示是把垂直条件代数化．因此判定方法更简捷、运算更直接，体现了向量问题代数化的思想．【跟踪训练3】 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解 设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)．∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴存在实数λ，使BD →＝λBC →， 即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．∴⎩⎨⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ，∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0. ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0. 即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.∴D (1,1)．∴|AD →|＝(1－2)2＋(1＋1)2＝5，即|AD →|＝5，点D 的坐标为(1,1)． 探究4 平面向量的夹角问题例4 已知△ABC 顶点的坐标分别为A (3,4)，B (0,0)，C (c,0)， (1)若c ＝5，求sin A 的值；(2)若∠A 是钝角，求c 的取值范围． 解 AB →＝(－3，－4)，AC →＝(c －3，－4)． (1)若c ＝5，则AC →＝(2，－4)． ∴cos A ＝cos 〈AC →，AB →〉＝AC →·AB →|AC →||AB →|＝55.∵∠A 是△ABC 的内角， 故sin A ＝1－cos 2A ＝255.(2)若∠A 为钝角，则AC →·AB →<0且AC →，AB →不反向共线． 由AC →·AB →<0，得－3(c －3)＋16<0，即c >253. 显然此时AC →，AB →不共线，故当∠A 为钝角时，c >253. 拓展提升求平面向量夹角的步骤若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， (1)求出a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；(2)求出|a |＝x 21＋y 21，|b |＝x 22＋y 22；(3)代入公式：cos θ＝a·b|a ||b |(θ是a 与b 的夹角)．【跟踪训练4】 已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c .(1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小． 解 (1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3，∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)． (2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)． 设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)2×72＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4.1．平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来．本节主要应用有：(1)求两点间的距离(求向量的模)． (2)求两向量的夹角．(3)证明两向量垂直．2．解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b|a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ＝0.1．若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x )，且3a ·b ＝4，则x 等于( ) A ．3 B ．13 C ．－13 D ．－3答案 C解析 3a ·b ＝3(2x －6x )＝－12x ＝4，∴x ＝－13.故选C.2．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( )A ．3B ．3C ．－3D ．－3答案 D解析 向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－62＝－3.故选D.3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，且a ·b ＝10，则|a －b |＝________. 答案5解析 由题意，得a ·b ＝x ＋8＝10，∴x ＝2，∴a －b ＝(－1，－2)，∴|a －b |＝ 5.4．设向量a 与b 的夹角为θ，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cos θ＝________.答案 31010解析 2b －a ＝2b －(3,3)＝(－1,1)， ∴2b ＝(－1,1)＋(3,3)＝(2,4)，∴b ＝(1,2)． cos θ＝a ·b |a ||b |＝(3，3)·(1，2)32＋32·12＋22＝9310＝31010.5．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝4＋16＝2 5. 综上，|a －b |＝2或2 5.A 级：基础巩固练一、选择题1．已知|a |＝1，b ＝(0,2)，且a ·b ＝1，则向量a 与b 夹角的大小为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案 C解析 ∵|a |＝1，b ＝(0,2)，且a ·b ＝1， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝11×0＋22＝12.∴向量a 与b 夹角的大小为π3.故选C.2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，则|c |等于( )A ．42B ．25C ．8D ．82 答案 D解析 易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2,4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋(－8)2＝8 2.3．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b ＝( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 D ．(1,0)答案 B解析 设b ＝(x ，y )，其中y ≠0，则a ·b ＝3x x ＋y ＝ 3 .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3，y ≠0，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝32，即b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.故选B.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73答案 D解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(1＋x,2＋y )，a ＋b ＝(3，－1)，由已知可得⎩⎨⎧2(2＋y )＋3(x ＋1)＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－79，y ＝－73，即c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73.5．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形答案 A解析 根据已知，有AB →＝(8，－4)，AC →＝(2,4)，BC →＝(－6，8)，因为AB →·AC →＝8×2＋(－4)×4＝0，所以AB →⊥AC →，即∠BAC ＝90°. 故△ABC 为直角三角形．二、填空题6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为________．答案 2π3解析 设c ＝(x ，y )，∵a ＋b ＝(－1，－2)， 且|a |＝5，|c |＝5，(a ＋b )·c ＝52， ∴(－1，－2)·(x ，y )＝52.∴－x －2y ＝52， ∴x ＋2y ＝－52. 设a 与c 的夹角为θ， ∴cos θ＝a ·c |a ||c |＝x ＋2y 5·5＝－12.∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.7．已知|a |＝3，|b |＝4，且(a ＋2b )·(2a －b )≥4，则a 与b 夹角θ的范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3解析 ∵(a ＋2b )·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＋4a ·b －2b 2＝2×9＋3|a ||b |cos 〈a ，b 〉－2×16＝－14＋3×3×4cos 〈a ，b 〉≥4， ∴cos 〈a ，b 〉≥12， 又∵θ＝〈a ，b 〉∈[0，π] ∴θ＝〈a ，b 〉∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.8．已知a ＝(1,3)，b ＝(2＋λ，1)，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．答案 λ>－5且λ≠－53解析 因a 与b 的夹角为锐角，则cos 〈a ，b 〉>0，且cos 〈a ，b 〉≠1，即a ·b ＝2＋λ＋3>0，且b ≠k a ，则λ>－5且λ≠－53.三、解答题9．已知A (1,2)，B (4,0)，C (8,6)，D (5,8)，判断由此四点构成的四边形的形状．解 因为AB →＝(4,0)－(1,2)＝(3，－2)，DC →＝(8,6)－(5,8)＝(3，－2)，所以AB →＝DC →，所以四边形ABCD 是平行四边形． 因为AD →＝(5,8)－(1,2)＝(4,6)， 所以AB →·AD →＝3×4＋(－2)×6＝0， 所以AB →⊥AD →，所以四边形ABCD 是矩形． 因为|AB →|＝13，|AD →|＝213，|AB →|≠|AD →|， 所以四边形ABCD 不是正方形． 综上，四边形ABCD 是矩形．10．设平面向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，且a与b 不共线．(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)若两个向量3a ＋b 与a －3b 的模相等，求角α.解 (1)证明：由题意，知a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－12，sin α＋32，a －b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α＋12，sin α－32，∵(a ＋b )·(a －b )＝cos 2α－14＋sin 2α－34＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )． (2)|a |＝1，|b |＝1，由题意知(3a ＋b )2＝(a －3b )2， 化简得a ·b ＝0，∴－12cos α＋32sin α＝0， ∴tan α＝33.又0≤α<2π，∴α＝π6或α＝7π6.B 级：能力提升练1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．答案 2解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，设F (x,2)，则AE →＝(2，1)，AF →＝(x,2)，AB →＝(2，0)． 所以AB →·AF →＝2x ＝2， 所以x ＝1，所以F (1,2)．所以BF →＝(1,2)－(2，0)＝(1－2，2)． 所以AE →·BF →＝ 2.2．已知OA →＝(4,0)，OB →＝(2,23)，OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →(λ2≠λ)． (1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，并在AB →＝BC →时，求λ的值； (3)求|OC →|的最小值．解 (1)OA →·OB →＝8，设OA →与OB →的夹角为θ， 则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝84×4＝12，所以OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ＝4×12＝2.(2)AB →＝OB →－OA →＝(－2,2 3 )，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →，因为AB →与BC →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线． 当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2 ＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎪⎫λ－122＋12. 所以当λ＝12时，|OC →|取到最小值2 3.。

2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义：2．两个向量的数量积的性质：3．练习：（1）已知||=1，||=2，且(-)与垂直，则与的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５°（2）已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.12二、讲解新课：探究：已知两个非零向量),(11y x =，),(22y x =，怎样用和的坐标表示∙？.1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即a ∙b 2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x =22y x +=22y x +=. （2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，221221)()(y y x x -+-=(平面内两点间的距离公式)3． 向量垂直的判定设),(11y x =，),(22y x b =，则a ⊥b ⇔02121=+y y x x4． 两向量夹角的余弦 已知两个非零向量),(11y x =，),(22y x =，与之间的夹角为θ（πθ≤≤0）co s θ222221212121y x y x y y x x +++=二、讲解范例：例1 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2，5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明.练习1、习题2.4 A 组第5题例2设= (5，-7)，= (-6，-4)，求∙，、间的夹角θ的余弦及│-4│。

2. 4.2平面向量数量积的坐标表示学习目标、细解考纲1.通过探究平面向量的数量积的坐标运算,掌握两个向量数量积的坐标表示方法.2.掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.3.通过平面向量数量积的坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积的认识,提高学生的运算速度,培养学生的运算能力,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质.一、自主学习—————（素养催化剂）（阅读教材第106—107页内容，完成以下问题：）①平面向量的数量积能否用坐标表示?②已知两个非零向量1122(,),(,)a x y b x y ==,怎样用a 与b 的坐标表示a b 呢?③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？二、探究应用,“三会培养”-------(素养生长剂)例1. 已知(1,2),(2,3),(2,5),A B C -,试判断ABC 的形状,并给出证明.变式1.在△ABC 中,(2,3),AB =(1,),AC k =且ABC 的一个内角为直角,求k 的值.例2.(3,0),(5,5),a b ==-求a 与b 的夹角。

变式2.已知三点(2,2),(5,1),(1,4),A B C -求BAC ∠的余弦值;例3.已知平面上三个向量→a ，→b ，→c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证：（→a -→b ）⊥→c ;(2)若|k a →+→b +→c |＞1(k ∈R),求k 的取值范围.变式 3.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=b a 若存在不同时为零的实数k 和t,使 .,,)3(2y x b t a k y b t a x ⊥+-=-+=且（1）试求函数关系式()k f t = （2）求使()0f t >的t 的取值范围.三、拓展延伸、智慧发展--------（素养强壮剂）1．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1备选例题如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O.记I 1＝OA OB ⋅，I 2＝OB OC ⋅，I 3＝OC OD ⋅，则( )A ．I 1<I 2<I 3B ．I 1<I 3<I 2C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 1<I 3四、本课总结、感悟思考--------（素养升华剂）。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(导学案) 学习目标：1.知识与技能：掌握平面向量数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算；掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系。

2.过程与方法：经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程,体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣,培养学生的探究能力、创新精神。

3.情感态度价值观：引导学生探索归纳,感受、理解知识的产生和发展过程,激发学习数学的兴趣,注重培养学生的动手能力和探索能力。

【自主学习】探究:已知两个非零向量11(,)a x y =,22(,)b x y =,怎样用a 与b 的坐标表示a b ⋅,试着推导一下.总结：由此可得：（1）向量求模(长度)工具:（2）向量证明垂直工具:思考：如何使用两个工具解决几何问题？【合作学习】探究活动一：用向量证明垂直例5已知(1,2)A ,(2,3)B ,(2,5)C -,试判断ABC ∆的形状,并给出证明.归纳整理:实践应用: 先作图,观察以(1,4)A --,(5,2)B ,(3,4)C 为顶点的三角形的形状,然后给出证明.问题:如果继续求三角形的其他角,你如何解决?探究活动二：用向量求角向量求角工具:例6设(5,7),(6,4)a b ==--,求a b ⋅及,a b 间的夹角θ(精确到1)归纳整理:实践应用:试着把例5中的角C 求出来.探究活动三：用向量的数量积证明一个著名的不等式 证明:对任意的,,,a b c d R ∈,恒有不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++归纳整理:你还能不能想出更有创意的方法?试一试.本节课的收获:【创意展区】创意要求: 平面向量的数量积a b ⋅是一个非常重要的概念,带来了一系列解决平面几何问题的工具和方法,利用它可以容易地证明平面几何的许多命题,例如勾股定理、菱形的对角线互相垂直、长方形对角线相等、正方形的对角线垂直平分等,还可以推导关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些其他性质等,你证出了哪一个?把它记下来和同学交流.【随堂检测】1.已知向量(1,1)a =-,b = (2,x )．若1a b ⋅=,则x =（ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1 2.设向量11(1,0),(,)22a b ==,则下列结论中正确的是 ( )． A ．||||a b = B ．2a b ⋅= C ．a b ∥ D ．a b -与b 垂直 3. 已知向量(1,2)a =,向量b =(,2)x -,且a ⊥()a b -,则实数x 等于 ( )．A ．9B ．4C ．0D ．－44. 若向量(1,2),(1,1)a b ==-,则2a b +与a b -的夹角等于 ( )．A ．4π-B ．6πC ．4πD ．34π 5. 已知平面向量(2,4),(1,2)a b ==-,若2c a b =+,则||c ＝________．6. 已知向量(1,0)a =,(1,1)b =,则向量3b a -与向量a 夹角的余弦值为________．7.已知(2,3),(2,4),(1,2)a b c ==-=--,求,()()a b a b a b ⋅+⋅-,()a b c ⋅+,2()a b +.8. 已知||||2a b ==|,(2)()2a b a b +⋅-=-,求a 与b 的夹角.2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课后反思一直都在考虑到底要选哪一节课来开公开课，到最后时刻才决定选择2.4.2平面向量数量积这一节。

2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两个向量的夹角．2．会用两个向量的数量积判断它们的垂直关系．平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则有下表：坐标表示数量积 a ·b ＝__________模 |a |＝__________或|a |2＝__________设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2→|＝______________ 垂直 a ⊥b a ·b ＝0______________＝0夹角cos θ＝a ·b|a ||b |＝__________________已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)． 若a ∥b x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0. 若a ⊥b x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.这两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：共线纵横交错积相等，垂直横横纵纵积相反．【做一做1－1】 向量m ＝(1,0)，n ＝(2，－5)，则m ·n 等于( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．7【做一做1－2】 已知MN →＝(3，－4)，则|MN →|等于( ) A ．3 B ．4 C. 5 D ．5 【做一做1－3】 若向量a ＝(4,2)，b ＝(6，m )，且a ⊥b ，则m 的值是( ) A ．12 B ．3 C ．－3 D ．－12 【做一做1－4】 已知a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，则a 与b 的夹角θ＝__________.答案：x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 21＋y 21(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 x 1x 2＋y 1y 2x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22【做一做1－1】 C m ·n ＝1×2＋0×(－5)＝2. 【做一做1－2】 D |MN →|＝32＋(－4)2＝5.【做一做1－3】 D ∵a ⊥b ，∴4×6＋2m ＝0，解得m ＝－12. 【做一做1－4】3π4|a |＝9＋0＝3，|b |＝25＋25＝52，a ·b ＝3×(－5)＋0×5＝－15， 则cos θ＝a·b |a||b |＝－153×52＝－22.又0≤θ≤π，∴θ＝3π4，即a 与b 的夹角为3π4.1．投影的坐标表示剖析：由于向量b ＝(x 2，y 2)在向量a ＝(x 1，y 1)方向上的投影为|b |·cos θ＝|a ||b |cos θ|a |＝b ·a|a |(θ为a 与b 的夹角)，从而向量b 在向量a 方向上的投影的坐标表示为x 1x 2＋y 1y 2x 12＋y 12.同理可得，向量a 在向量b 方向上的投影的坐标表示为|a |cos θ＝|a ||b |cos θ|b |＝a ·b |b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22.2．向量数量积性质的坐标表示剖析：设两个非零向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，a 与b 的夹角为θ. (1)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2； (2)a ⊥b a 1b 1＋a 2b 2＝0； (3)a ·a ＝|a |2|a |＝a 12＋a 22；(4)cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝a 1b 1＋a 2b 2a 12＋a 22·b 12＋b 22；(5)|a ·b |≤|a ||b ||a 1b 1＋a 2b 2|≤a 12＋a 22·b 12＋b 22.在解决向量数量积的坐标运算问题时，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2以及相关的向量的长度公式和夹角公式．在这个过程中还要熟练运用方程的思想．值得注意的是，对于一些向量数量积的坐标运算问题，有时考虑其几何意义可使问题快速得解．题型一 数量积的坐标运算【例1】 已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，－2)，求(3a －b )·(a －2b )． 分析：先求出a ·b ，a 2，b 2，再对(3a －b )·(a －2b )展开求解．反思：对于数量积的坐标运算有两种方法：一是先化简再代入向量的坐标，二是先确定向量的坐标，再计算数量积．题型二 垂直问题【例2】 已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x 等于( ) A ．9 B ．4 C ．0 D ．－4 反思：有关向量垂直的问题，通常利用它们的数量积为0来解决．本题也可先求出a －b 的坐标，再代入a ·(a －b )＝0解得x .题型三 夹角问题【例3】 已知a ＝(3，1)，b ＝(2,23)． (1)求a ·b ；(2)求a 与b 的夹角θ.分析：(1)直接用公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2即可； (2)直接用cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 12＋y 12·x 22＋y 22求解．反思：利用坐标求两向量夹角的步骤为：(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积； (2)利用|a |＝x 2＋y 2计算出这两个向量的模；(3)由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 12＋y 12·x 22＋y 22直接求出cos θ的值；(4)在0≤θ≤π内，由cos θ的值求角θ.【例4】 已知△ABC 中，A (2，－2)，B (5,1)，C (1,4)，求∠BAC 的余弦值．分析：∠BAC 是AB →和AC →的夹角，转化为求向量的夹角问题．反思：已知三角形各顶点坐标求其内角时，可转化为求向量的夹角问题．题型四 易错辨析【例5】 已知a ＝(1，－2)，b ＝(1，λ)，且a 与b 的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12 B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－2，23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 错解：∵a 与b 的夹角θ为锐角，∴cos θ＞0，即a ·b ＝1－2λ＞0，得λ＜12，故选D.错因分析：以上错解是由于思考欠全面，由不等价转化而造成的．如当a 与b 同向时，即a 与b 的夹角θ＝0°时cos θ＝1＞0，此时λ＝－2，显然是不合理的．反思：对非零向量a 与b ，设其夹角为θ，则θ为锐角cos θ＞0且cos θ≠1a ·b ＞0且a ≠m b (m ＞0)；θ为钝角cos θ＜0且cos θ≠－1a ·b ＜0且a ≠m b (m ＜0)；θ为直角cos θ＝0a ·b ＝0.答案：【例1】 解法一：因为a ·b ＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a 2＝22＋(－1)2＝5，b 2＝32＋(－2)2＝13，所以(3a －b )·(a －2b )＝3a 2－7a ·b ＋2b 2＝3×5－7×8＋2×13＝－15. 解法二：∵a ＝(2，－1)，b ＝(3，－2)，∴3a －b ＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)， a －2b ＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)． ∴(3a －b )·(a －2b )＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15. 【例2】 A ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝0， ∴a 2－a ·b ＝5－(x －4)＝0，解得x ＝9. 【例3】 解：(1)a ·b ＝23＋23＝4 3.(2)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22＝433＋1×4＋12＝32. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝30°.【例4】 解：AB →＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)， AC →＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)， ∴AB →·AC →＝3×(－1)＋3×6＝15. 又|AB →|＝32＋32＝32， |AC →|＝(－1)2＋62＝37，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝1532×37＝57474.【例5】 A ∵a 与b 的夹角θ为锐角，∴cos θ＞0且cos θ≠1，即a ·b ＞0且a 与b 方向不同，即a ·b ＝1－2λ＞0，且a ≠m b (m ＞0)，解得λ∈(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12，故选A.1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c 等于( ) A ．(－15,12) B ．0 C ．－3 D ．－11 2．△ABC 中，A (5，－1)，B (1,1)，C (2,3)，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形3．(2011·广东佛山高三质检)已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6B.π4C.π3D.π24．若向量a ＝(2x －1，x ＋3)，b ＝(x,2x ＋1)，c ＝(1,2)，且(a －b )⊥c ，则实数x 的值为__________．5．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若k a ＋b 与a －3b 垂直，求实数k 的值．答案：1．C a ＋2b ＝(－5,6)，(a ＋2b )·c ＝－5×3＋6×2＝－3.2．B BA ＝(4，－2)，BC ＝(1,2)，则BA ·BC ＝4＋(－2)×2＝0. ∴BA ⊥BC .∴∠ABC ＝90°.3．B 由于2a ＋b ＝(4,2)，则b ＝(4,2)－2a ＝(2,0)，则a ·b ＝2，|a ||b |＝2.设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝||||a ba b ＝2.又θ∈[0，π]，所以θ＝π4. 4．3 a －b ＝(x －1,2－x )． 由于(a －b )⊥c ，则(a －b )·c ＝0， 所以(x －1)＋2(2－x )＝0，解得x ＝3.5．分析：由(k a ＋b )⊥(a －3b )，得(k a ＋b )·(a －3b )＝0，列方程解得k 的值． 解：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． ∵k a ＋b 与a －3b 垂直， ∴(k a ＋b )·(a －3b )＝0，即(k －3)×10＋(2k ＋2)×(－4)＝0，解得k ＝19.。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语人生太短，要干的事太多，我要争分夺秒。

——爱迪生学习目标1．理解掌握平面向量数量级的坐标表达式，会进行数量积的坐标运算.2．理解掌握相连的模、夹角等公式，能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题. 学习重点利用平面向量数量积的坐标运算求向量的夹角、模等学习难点平面向量数量积坐标运算的灵活应用自主学习1．平面向量的数量积的坐标表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a•b=______.2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零的向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则______. 3．三个重要公式(1)向量模的公式：若a=(x,y)，则=_____________.(2)两点间的夹角公式：A=(x1,y1),B=(x2,y2),，则=__________.(3)向量的夹角公式：设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a与b的夹角为θ，则c osθ=______________. 预习评价1．若向量b与向量a=(1,-2)的夹角为180°，且,则b=A.(-3,6)B.(3,-6)C.(6,-3)D.(-6,3)2．若a=(3,4),b=(2,-1)则= , = ,a•b= .3．若a=(4,-2),b=(k,-1)且a⊥b则k=____________.4．已知，则向量a，b的夹角θ=___________.♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．平面向量数量积的坐标运算及向量模的坐标表示根据平面向量数量积的坐标表示公式a•b=x1x2+y1y2，(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2))，探究下列问题：(1)如何用向量a与向量b的坐标推导表示a•b？(2)平面向量数量积的坐标表示的作用是什么？2．如何利用向量的数量积坐标表示公式推导？3．平面向量的夹角与垂直的坐标表示设a，b为非零向量，已知a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且a与b的夹角为θ，回答下列问题：(1)能否用向量a与b的坐标表示其夹角？(2)当θ＝90°即a⊥b时，利用向量a与b的坐标能得到什么关系？教师点拨平面向量的夹角与垂直的坐标表示的四点说明已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)且a与b的夹角为θ.(1)夹角公式：其作用是求两个向量的夹角，证明两个向量垂直；判断两个向量夹角的范围.(2)垂直的等价形式：.(3)平面向量的夹角公式与垂直的坐标表示的前提条件是：a≠0且b≠0.(4)因为，所以.交流展示——平面向量数量积与模的坐标运算1．在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·=A.5B.4C.3D.22．已知平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=.变式训练1．向量，且与方向相同，则的范围是A. B. C. D.2．已知向量a=(2，l)，a·b=10，，则|b|=A. B. C.5 D.25交流展示——应用数量积解决垂直与夹角问题已知向量，.(Ⅰ)当时，求的值；(Ⅱ)当时，求向量与的夹角的余弦值；(Ⅲ)当时，求.变式训练3．已知中，、、,为边上的高，则点的坐标为_______. 4．已知向量a=(4,2),b=(1,1),则向量a-b与向量a+b的夹角的余弦值是.交流展示——平面向量数量积的综合运算与应用4．平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠DAB=60°，M是线段DC上一点，且满足，若N 为平行四边形ABCD内任意一点(含边界), 则的最大值为A.13B.0C.8D.55．如图,已知二次函数y=a x2+b x+c(a,b,c∈R,a≠0)是偶函数,其图象过点C(t,2)且与x轴交于A,B两点,若AC ⊥BC,则a的值为.变式训练5．已知三个点，，．(1)求证：；(2)要使四边形为矩形，求点的坐标以及矩形两对角线所夹锐角的余弦值．6．在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksin θ,t)( 0≤θ≤).(1)若⊥a,且||=||,求向量;(2)若向量与向量a共线,当k>4,且tsin θ取最大值为4时,求·.学习小结1．求向量夹角的基本步骤及注意事项(1)步骤:(2)注意事项:在个别合有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元思想计算的值.2．求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方.(2)a·a= a2=|a|2或此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.(3) 一些常见的等式应熟记,如等. 3．利用数量积求两向量夹角的步骤(1)求数量积:利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积.(2)求模:利用计算出这两个向量的模.(3)求余弦值:由公式直接求出的值.(4)求角:在内,由的值求角.4．求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.(2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2 =x2+y2,于是有.类型二平面向量的夹角和垂直问题5．数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时,要正确使用公式并能灵活运用以下几个关系:|a|2=a·a.(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2.(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2.(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解.当堂检测1．已知向量a=(-5,6),b=(6,5),则a与bA.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向2．已知|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则向量a与b的夹角为A. B. C. D.3．如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是 .4．已知点A(-3，-4)，B(5，-12)，O 为坐标原点.(1)求的坐标及.(2)若，，求及的坐标.(3)求.5．已知向量的夹角为.(1)求；(2)若,求的值.知识拓展已知向量)2,1(-=，)3,2(=，若b a m +=λ与b a n -=的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 .2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】1．x1x2＋y1y22．x1x2＋y1y2＝03．(1) (2) (3)【预习评价】1．A2．5 23．4．120°♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)设i，j是x轴、y轴上的单位向量，即i＝(1，0)，j＝(0，1)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，所以a·b ＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2.(2)引入向量的坐标表示后，实现了向量的数量积的运算与两向量坐标的运算的转化，从而将两者联系起来.同时向量的坐标表示与运算可以简化数量积的运算.2．由向量的数量积公式的坐标表示，得a2＝a·a＝(x，y)·(x，y)＝x2＋y2，又向量模的坐标公式｜a｜＝,得｜a｜2＝x2＋y2，所以a2＝｜a｜2.3．(1)提示:由向量的数量积公式a·b＝｜a｜｜b｜c osθ，得，根据向量数量积与向量模的坐标表示，得cosθ＝.(2)根据向量夹角的坐标公式，当θ＝90°时，cos90°＝＝0，x1x2＋y1y2＝0，即a⊥b x1x2＋y1y2＝0.【交流展示——平面向量数量积与模的坐标运算】1．A【解析】本题主要考查平面向量的基本运算.由+=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),得·=(2,1)·(3,-1)=5,故选A.【备注】平面向量的基本运算,首先要注意应用向量的加减法产生必要的向量,然后结合向量的乘法及一些其他运算.2．2【解析】本题主要考查平面向量的基础知识,考查考生的运算求解能力.由a=(2,0),|b|=1,可知|a|=2,a·b=|a||b|cos 60°=1,又|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4+4=12,故|a+2b|=2.【变式训练】1．C【解析】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算及平行向量，两个向量与方向相同，我们可以判断存在实数使得：，然后根据已知条件，将条件中的等量(不等)关系转化为方程(不等式)，解方程(不等式)即可求得答案．∵与同向，∴可设，则有，又∵，∴，∴的范围是，故应选C.2．C【解析】()222250a b a b a b a b +=∴+=++⋅=，得5b =，故选C.【交流展示——应用数量积解决垂直与夹角问题】(Ⅰ)∵，∴，即.(Ⅱ)∵，，∴，又，.∴向量与向量的夹角的余弦值为.(Ⅲ)依题意 .∵，∴.即，∴.∴.∴.【解析】本题主要考查了平面向量的数量积.如果两个向量垂直，则它们对应坐标乘积的和等于0.如果求两个向量夹角的余弦值则会用两个向量数量积去求解.【变式训练】3．(1，1)【解析】本题主要考查了向量共线和垂直的坐标表示.设D 点坐标为，则向量，因为点D 在BC 上，所以向量和共线，所以有，整理得；又因为为边上的高，所以，所以有，即，整理得，，把①②联立解得：.所以点D 的坐标为(1，1). 4．【解析】因为向量a =(4,2),b =(1,1),所以向量a -b =(3,1),a +b =(5,3),所以|a -b |=,|a +b |=,(a -b )·(a +b )=15+3=18,所以cos<a -b ,a +b >=.【交流展示——平面向量数量积的综合运算与应用】4．A【解析】本题考查平面向量的数量积. 如图建立平面直角坐标系. 令(,),N x y 则M C .2AM AN x ∴⋅=+，令2Z x =+,当它过点C 时，max Z =2513⨯=.选A5．-【解析】由题意可知b=0,故函数图象与x轴交点的坐标分别为A(-,0),B(,0);点C的坐标为C(-,2),则=(-+,-2),=(+,-2),故·=++4=+4=0,可得a=-.【变式训练】5．(1)证明：由题意，，，∴ .∴，∴.(2)由(1)及四边形ABCD为矩形，得，设，则(1，1)=(x+1，y-4)，∴，即C(0，5)；∴，得：，，.设与夹角为，则，∴该矩形对角线所夹的锐角的余弦值．【解析】本题考查两向量垂直的充要条件并利用向量垂直证明两线垂直；利用向量的数量积求向量的夹角.(1)求出向量的坐标，利用向量的数量积为0，两向量垂直证出两线垂直．(2)利用向量相等对应的坐标相等求出点C的坐标，求出两对角线对应的向量坐标，利用向量的数量积公式求出向量的夹角．6．(1)=(n-8,t),∵⊥a,∴8-n+2t=0.又||=||,∴5×64=(n-8)2+t2=5t2,得t=±8.∴=(24,8)或=(-8,-8).(2)=(ksin θ-8,t),∵向量与a共线,∴t=-2ksin θ+16,tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ=-2k(sin θ-)2+,∵k>4,∴1>>0,∴当sin θ=时,tsin θ取得最大值.由=4,得k=8,此时θ=,=(4,8),∴·=(8,0)·(4,8)=32.【解析】本题主要考查向量的坐标运算、向量垂直、向量的数量积运算和三角函数的最值问题,考查考生的运算求解能力.【当堂检测】1．A【解析】∵ab= (-5,6)·(6,5)=(-5)×6+6×5=0,∴a ⊥b.2．B【解析】因为a·(b-a)=a·b-a2=2,所以a·b=3,所以cos<a,b>===,所以<a,b>=.【解析】本题考查平面向量的数量积。

2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、教材分析本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。

它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。

二．教学目标1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

理解掌握向量的模、夹角等公式。

能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题。

2．（1）通出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，学生在自主探究中发现了结论（2）通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法。

3．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神、三、教学重点难点重点：平面向量数量积的坐标表示.难点：向量数量积的坐标表示的应用.四、学情分析此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。

因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。

所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。

因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。

我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

理解掌握向量的模、夹角等公式。

能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。

五、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影仪。

2．学案导学：见后面的学案。

3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习。

§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.（预习教材P106—P107） 复习：1.向量a r 与b r 的数量积a b ⋅r r = . 2.设a r 、b r 是非零向量，e r 是与b r 方向相同的单位向量，θ是a r 与b r 的夹角，则 ①a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ；②a =r ；③cos θ= .二、新课导学※ 探索新知探究：平面向量数量积的坐标表示问题1：已知两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==r r ，怎样用a r 与b r 的坐标表示a b ⋅r r 呢？1. 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,a b=⋅v v v v （坐标形式）。

这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。

问题2：如何求向量(),a x y =r ()11,A x y ，()22,B x y 间的距离？2.平面内两点间的距离公式 （1）设a=(x,y),v 则2a =v ________________或a v________________。

（2）若()11,A x y ，()22,B x y =___________________（平面内两点间的距离公式）。

问题3：如何求()()1122,,,a x y b x y ==r r 的夹角θ和判断两个向量垂直？3．两向量夹角的余弦：设θ是a r 与b r 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________向量垂直的判定：设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,v v 则⇔⊥_________________※ 典型例题例1、已知()()(),4,1,2,3,1,2-C B A（1）试判断ABC ∆的形状，并给出证明.（2）若ABDC 是矩形，求D 点的坐标。

高中数学必修四2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的性质解决有关问题；掌握向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，能解决一些简单问题.【知识梳理】知识回顾：．两个向量的数量积的性质：设与为两个非零向量.==，==_____或，||≤||||，cos=________新知探究：平面两向量数量积的坐标表示：=即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.平面内两点间的距离公式设，则或.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么3.两向量夹角的余弦cos==思考感悟:向量不能比较大小，也不能与数0比较大小，但能否有>0？对点练习：已知a→=,b→=,则a→•b→等于A.—14B.—7c.7D.8已知a→=,b→=,c→=,则•c→等于A.—14B.—7c.D.已知A,B,则|AB→|等于A.5B.c.—1D.7已知a→=,b→=,则a→,b→夹角的余弦为A.6365B.65c.135D.13【合作探究】典例精析：例1.已知向量，；求，；求的值；求的值；变式1：已知向量，；求向量与的夹角；若向量与垂直，求的值；例2.设=，=，求•及、间的夹角θ的余弦值。

变式2：已知A，B，c，试判断△ABc的形状，并给出证明.【课堂小结】夹角为锐角【当堂达标】．已知向量＝，＝，若•＝1，则x等于A．－1B．－12c.12D．1已知a→=,b→=,则3|a→|2—4a→•b→=A.23B.57c.63D.83与a→=垂直的单位向量是A.B.c.或D.或已知|→|=6,n→=,→•n→=9,则→,n→的夹角为A.150ºB.120ºc.60ºD.30º【课时作业】已知A,B,c,则AB→•Ac→等于A.52B.152c.—52D.—152若a→=与b→=互相垂直，则的值为A.—6B.8c.—10D.10a→=,b→=,则a→在b→方向上的投影为______.已知三个点A，B，c，且a→=Bc→,b→=cA→，则a→与b→的夹角为已知A，B，若点P在线段AB的中垂线上，则x=.已知，，对以下两种情况分别求出值，⊥，∥。

高一数学《必修4》导学案2.4.2平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角【课前导学】（一）复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义： __________a b ⋅=，其中||cos a θ叫做_________________.2．两个向量的数量积的重要性质：（1）________a b ⊥⇔；（2）__________a a a ⋅==或||；（3）cos __________θ=3．探究：已知两个非零向量11()a x ,y =，22()b x ,y =，试用a 和b 的坐标表示a b ⋅.提示：若直角坐标系中，x 轴方向的单位向量为i ，y 轴方向上的单位向量为j ，则向量,a b 用,i j 可以表示为a = ，b = ；其中i i = ，j j = ，i j = 故：a b ⋅=（二）新课学习 （阅读课本P106～107后，完成下列内容）1、平面两向量数量积的坐标表示：若两个非零向量11()a x ,y =、22()b x ,y =，则_________a b ⋅= 即，两个向量的数量积等于它们对应坐标的________________.2. 平面内两点间的距离公式：（1）设()a x,y =，则2_____________||_________a a ===，故.（2）如果11()A x ,y 、22()B x ,y ，那么_____________,AB = A 、B 间的距离||___________________AB = （平面内两点间的距离公式）3、 向量垂直的判定：设11()a x ,y =、22()b x ,y =，则⊥⇔_________________a b ⋅=⇔.4、两向量夹角的余弦：已知两个非零向量11()a x ,y =，22()b x ,y =，a 与b 之间的夹角为θ，则cos θ=_____________________.【预习自测】1、已知(34)a ,=-，(5,2)b =，则_________a b ⋅=，||_______a =，||_______b =.2、已知(32)a ,=，(2,3)b =，a 与b 之间的夹角为θ，则cos θ=______.3、若(22)BA ,=-，C (11)B ,=，则ABC ∠=_________.【典例分析】 例1、(3,4),(6,8),a b =-=-已知求 ()()a b a b +⋅-及a b -｜｜的值.例2、已知(1,4),(5,2),(3,4)A B C --，先作图观察△ABC 的形状，然后给出证明.变式：若(34),12)_______.a ,b a b x,3x b =⊥=，且的起点坐标为(，，终点坐标为(),则 例3、（1）(13)(223)a ,b ,a b ==-已知，，求与的夹角. （2）(12)(23)2a ,b ,c a b ==--=+设，，又，d a mb =+，且45c d ︒与的夹角为， 求实数m 的值.【总结提升】1、掌握平面向量数量积的坐标表示，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和；2、要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度及垂直问题.【课后作业】1、(2,3),(2,4),(1,2)a b c ==-=--已知，则 （1）______,______b a b =⋅=；我国古代的读书人，从上学之日起，就日诵不辍，一般在几年内就能识记几千个汉字，熟记几百篇文章，写出的诗文也是字斟句酌，琅琅上口，成为满腹经纶的文人。

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角整体设计教学分析平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分.前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础.三维目标1.通过探究平面向量的数量积的坐标运算,掌握两个向量数量积的坐标表示方法.2.掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.3.通过平面向量数量积的坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积的认识,提高学生的运算速度,培养学生的运算能力,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质.重点难点教学重点:平面向量数量积的坐标表示.教学难点:向量数量积的坐标表示的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.思路2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.推进新课新知探究提出问题①平面向量的数量积能否用坐标表示?②已知两个非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),怎样用a 与b 的坐标表示a ·b 呢?③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充.推导过程如下:∵a =x 1ｉ+y 1j ,b =x 2ｉ+y 2j ,∴a ·b =(x 1ｉ+y 1j )·(x 2ｉ+y 2j )=x 1x 2ｉ2+x 1y 2ｉ·j +x 2y 1ｉ·j +y 1y 2j 2.又∵ｉ·ｉ=1,j ·j =1,ｉ·j =j ·ｉ=0,∴a ·b =x 1x 2+y 1y 2.教师给出结论性的总结,由此可归纳如下:1°平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =x 1x 2+y 1y 2.2°向量模的坐标表示若a =(x,y),则|a |2=x 2+y 2,或|a |=22y x +.如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),那么a =(x 2-x 1,y 2-y 1),|a |=.)()(212212y y x x -+-3°两向量垂直的坐标表示设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.4°两向量夹角的坐标表示设a 、b 都是非零向量,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ是a 与b 的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得 cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a ba +∙++=∙讨论结果:略.应用示例例1 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC 的形状,并给出证明.活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△ABC 是直角三角形.下面给出证明. ∵AB =(2-1,3-2)=(1,1),AC =(-2-1,5-2)=(-3,3), ∴AB ·AC =1×(-3)+1×3=0. ∴AB ⊥AC .∴△ABC 是直角三角形.点评:本题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定,然后对你的结论给出充分的证明.变式训练在△ABC 中,AB =(2,3),AC =(1,k),且△ABC 的一个内角为直角,求k 的值.解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论.若∠A=90°,则AB ⊥AC ,所以AB ·AC =0. 于是2×1+3k=0.故k=32-.同理可求,若∠B=90°时,k 的值为311; 若∠C=90°时,k 的值为2133±. 故所求k 的值为32-或311或2133±.例2 (1)已知三点A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC 的余弦值;(2)a =(3,0),b =(-5,5),求a 与b 的夹角.活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2)的数量积a ·b =x 1x 2+y 1y 2和模|a |=2121y x +,|b |=2222y x +的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,即cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a ba +∙++=∙.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误.解:(1)AB =(5,1)-(2,-2)=(3,3), AC =(1,4)-(2,-2)=(-1,6), ∴AB ·AC =3×(-1)+3×6=15.又∵|AB |=2233+=32,|AC |=226)1(+-=37,∴cos ∠BAC=.74745372315||||=∙=∙AC AB ACAB(2)a ·b =3×(-5)+0×5=-15,|a |=3,|b |=52.设a 与b 的夹角为θ,则 cosθ=.2225315||||-=⨯-=∙b a ba 又∵0≤θ≤π,∴θ=43π.点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高.变式训练设a =(5,-7),b =(-6,-4),求a ·b 及a 、b 间的夹角θ.(精确到1°)解:a ·b =5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.|a |=74)7(522=-+,|b |=52)4()6(22=-+- 由计算器得cosθ=52742⨯-≈-0.03.利用计算器中得θ≈92°.例3 已知|a |=3,b =(2,3),试分别解答下面两个问题:(1)若a ⊥b ,求a ;(2)若a ∥b ,求a.活动:对平面中的两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示x 1x 2+y 1y 2=0与向量共线的坐标表示x 1y 2-x 2y 1=0很容易混淆,应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,两向量垂直是a ·b =0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给出这两种类型的同式变形训练.解:(1)设a =(x,y),由|a |=3且a ⊥b ,得⎩⎨⎧=+==+,032,9||222x x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,13136,1313913136,13139y x y x 或 ∴a =或)13136,13139(-a =.13136,13139-(2)设a =(x,y),由|a |=3且a ∥b ,得⎩⎨⎧=-==+.023,9||222y x a y x解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13139,13136y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.13139,13136y x ∴a =或)13139,13136(a =)13139,13136(--.点评:本题主要考查学生对公式的掌握情况,学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线,也能熟练地进行公式的逆用,利用已知关系来求向量的坐标.变式训练求证:一次函数y=2x-3的图象(直线l 1)与一次函数y=21-x 的图象(直线l 2)互相垂直.解:在l 1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l 1上取两点A(1,-1),B(2,1).同理,在直线l 2上取两点C(-2,1),D(-4,2),于是:AB =(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1,2),CD =(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).由向量的数量积的坐标表示,可得AB ·CD =1×(-2)+1×2=0, ∴AB ⊥CD ,即l 1⊥l 2.知能训练课本本节练习.解答:1.|a |=5,|b |=29,a ·b=-7.2.a ·b =8,(a +b )·(a -b )=-7,a ·(a +b )=0,(a +b )2=49.3.a ·b =1,|a |=13,|b |=74,θ≈88°.课堂小结1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示.2.在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法,定义法,待定系数法等.作业课本习题2.4 A 组8、9、10.设计感想由于本节课是对平面向量的进一步探究与应用,是对平面向量几何意义的综合研究提高,因此教案设计流程是探究、发现、应用、提高,这符合新课程理念,符合新课标要求.我们知道平面向量的数量积是本章最重要的内容,也是高考中的重点,既有选择题、填空题,也有解答题(大多同立体几何、解析几何综合考查),故学习时要熟练掌握基本概念和性质及其综合运用.而且数量积的坐标表示又是向量运算的一个重要内容,用坐标表示直角坐标平面内点的位置,是解析几何的一个基本特征,从而以坐标为桥梁可以建立向量与解析几何的内在联系.以三角函数表示点的坐标,又可以沟通向量与三角函数的相互关系,由此就产生出一类向量与解析几何及三角函数交汇的综合性问题.平面向量数量积的坐标表示使得向量数量积的应用更为方便,也拓宽了向量应用的途径.通过学习本节的内容,要更加加深对向量数量积概念的理解,同时善于运用坐标形式运算解决数量问题,尤其是有关向量的夹角、长度、垂直等,往往可以使问题简单化.灵活使用坐标形式,综合处理向量的线性运算、数量积、平行等,综合地解决向量综合题,体现数形结合的思想.在本节的学习中可以通过对实际问题的抽象来培养学生分析问题、解决问题和应用知识解决问题的意识与能力.。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】掌握平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及平面上两点间的距离公式和向量垂直的坐标表示，并能应用．【知识梳理】1．a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ为a 、b 的夹角)．2．a ·b 的几何意义为：a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 上的投影的乘积或等于b 的长度|b |与a 在b 上的投影的乘积．3．若i ，j 是平面直角坐标系xOy 中分别与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，且a ＝xi ＋yj ，则a 的坐标为________答：(x ，y )．4．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝__________.x 1x 2＋y 1y 2；它们对应坐标乘积的和即两个向量的数量积等于_____________________5．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔________________.x 1x 2＋y 1y 2＝0【自测自评】1．(2010年高考重庆卷)若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为() A ．－32 B.32C ．2D ．62．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值为( )A ．5B ．－5C.32 D ．－323．(2011年济宁市质量检测)已知a ＝(2,2)，b ＝(1－3，1＋3)，则有( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．a 与b 夹角为60°D ．a 与b 夹角为30°4．已知向量a ＝(x －5,3)，b ＝(2，x )且a ⊥b ，则由x 的值构成的集合是__________．【典型例题】题型一、向量数量积的坐标运算找清向量的坐标表示，根据公式法则运算6．三个重要公式(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝______.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝____________________.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝_____________.例1：已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10.(1)求向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(b ·c )a .变式1、若本例条件不变，求(1)(a ·b )c ；(2)(b ＋c )·a .题型二、向量垂直的坐标形式的应用a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例2、*题型三、向量的夹角或模的问题例3、已知a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围．变式3、若本例中，a 与b 的夹角α为锐角或直角，试分别求λ的取值范围．平面内三个点A ，B ，C 在一条直线上，且OA →＝(－2，m )，OB →＝(n,1)，OC →＝(5，－1)，且OA →⊥OB →，求实数m ，n 的值．设两个不全为0的向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22，|a |＝x 21＋y 21.方法技巧3．已知两向量的坐标，根据平面向量的数量积的定义和性质，可以求其数量积、长度和它们的夹角，此外，求解数量积的有关综合问题，应该注意函数思想与方程思想的运用．如例2失误防范1．区分开a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0与a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，两者极易混淆．2．若a ·b <0，其夹角为钝角或平角．若a ·b >0，其夹角为锐角或零角．【课堂检测】1．已知a ＝(－3,4)，b ＝(5,2)，则a ·b ＝( )A ．23B ．7C ．－23D ．－72．(2010年高考安徽卷)设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直3．a 、b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a 与b 的夹角的余弦值为( ) A.865 B ．－865C.1665 D ．－16654．(2011年济南调研)已知向量m 与向量n 互相垂直且|m |＝|n |，若m ＝(2,1)，则n 等于( )A ．(1，－2)B ．(－2,1)C ．(－2,1)或(2，－1)D ．(1，－2)或(－1,2)5．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为__________．6．已知a ＝(1，3)，b ＝(3＋1，3－1)，则a 与b 的夹角是__________．7．已知向量a ＝e 1－e 2，b ＝4e 1＋3e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)．(1)试计算a ·b 与|a ＋b |的值；(2)求向量a 与b 夹角的余弦值．1．向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充．2．由于两个非零向量a 、b 的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos θ＝a ·b |a ||b |来判断，可将θ分为五种情况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ＜0且cos θ≠－1，θ为钝角；cos θ＞0且cos θ≠1，θ为锐角．如例3*8．已知a ＝(－12，32)，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b .。

课堂教学设计课题：2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角授课时数：1课时设计要素设计内容教学内容分析平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。

它把向量的数量积和坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。

教学目标知识和技能⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系；过程和方法经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。

情感态度价值观引导学生探索归纳，感受、理解知识的产生和发展过程，激发学习数学的兴趣。

注重培养学生的动手能力和探索能力；同时通过平面向量数量积的数和形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合的思想。

学习者特征分析此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，使用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之使用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。

因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。

教学分析教学重点平面向量数量积的坐标表示，以及有关的性质教学难点难点平面向量数量积的坐标表达式的推导解决办法利用平面向量数量积的意义、运算律等的知识得出新知，学生要多加练习。

教学策略本节课主要采用启发诱导、观察、归纳、分析等教学方法。

在教学过程中，注意学生的主体地位，依据学生已有的知识经验和思想基础，复习引入，创设疑问，引导学生观察、分析、归纳，推导出公式，引导学生运用公式解决问题。

教学资源教材P106—P107，2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角板书设计2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角⑴向量的模⑴正交分解下向量的坐标表示例5⑵平面内两点间的⑵平面向量数量积的意义、运算律距离公式⑶两向量垂直的坐标表示的判断条件例6练习⑷两向量的夹角的坐标表示公式教学内容教学环节教师活动学生活动教学媒体使用预期效果一、回顾复习二、新课讲授⑴向量的模⑵平面内两点间的距离公式⑴正交分解下向量的坐标表示；⑵平面向量数量积的意义、运算律。

§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1. 在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）；2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习：1.向量a 与b 的数量积a b ⋅= . 2.设a 、b 是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与b 的夹角，则①a b a b ⊥⇔⋅= ；②a = ；③cos θ= .（二）自主探究：（预习教材P106—P108）探究：平面向量数量积的坐标表示 问题1：已知两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，怎样用a 与b 的坐标表示a b ⋅呢？ 1. 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量()()1122a=x y ,b=x y ,a b=⋅⋅⋅ （坐标形式）。

这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。

问题2：如何求向量(),a x y =的模a 和两点()11,A x y ，()22,B x y 间的距离？2.平面内两点间的距离公式（１）设a=(x,y),则2a =________________或a ________________。

（２）若()11,A x y ，()22,B x y ，则AB =___________________（平面内两点间的距离公式）。

问题3：如何求()()1122,,,a x y b x y ==的夹角θ和判断两个向量垂直？3．两向量夹角的余弦：设θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________ 向量垂直的判定：设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,则⇔⊥_________________二、合作探究1、已知()()(),4,1,2,3,1,2-C B A（1）试判断ABC ∆的形状，并给出证明. （2）若ABDC 是矩形，求D 点的坐标。

2、已知()()1,3,3,1==，求a 与b 的夹角θ.变式：已知a=(3,0),b=(k,5)a b 且与的夹角为3,k=4π则______________.三、交流展示1、若()4,3a =-，()5,6b =，则234a a b -⋅=2、已知()3,2a =--，()4,b k =-，若()()5355a b b a -⋅-=-，试求k 的值.3、已知，(1,2),(3,2)a b ==-，当k 为何值时， （1）3ka b a b +-与垂直？（2）3ka b a b +-与平行吗？它们是同向还是反向？四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1. 已知()3,4a =-，()5,2b =，则a b ⋅等于（ ）A.23B.7C.23-D.7-2. 若()3,4a =-，()5,12b =，则a 与b 夹角的余弦为（ ） A.6365 B.3365 C.3365- D.6365- 3. ()2,3a =，()2,4b =-，则()()a b a b +⋅-= ， 4.已知向量()1,2OA =-，()3,OB m =，若OA AB ⊥，则m = 。