(学案)校级公开课--平面向量的数量积及应用(学案)

课题：平面向量的数量积及其应用授课班级:高三(1) 教学目标 1、知识与能力:复习平面向量的数量积及其性质，掌握两向量数量积定义式与坐标式运算，两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单应用． 2、过程与方法:通过对知识归纳整理与回顾，使学生形成知识网络。

通过设置问题,学生参予问题探究，教师引导、点评，师生互动方法实现课堂教学目标的完成。

3、情感态度与价值观通过问题探究，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。

树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

教学重点: 平面向量的数量积及应用。

教学难点:如何灵活运用平面向量的数量积性质解决问题。

教学模式:问题教学法 教学过程:一、知识归纳（1）向量数量积定义式a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积）。

（2）向量数量积坐标运算式已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y +。

（3）向量b 在a 方向上的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅ （4）数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积。

（5）两向量的夹角范围0︒≤θ≤180︒。

（6）向量数量积的性质①向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==。

②乘法公式成立()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b±=±⋅+222a a b b =±⋅+；③平面向量数量积的运算律交换律成立：a b b a ⋅=⋅；对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈； 分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±。

④向量的夹角：cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=222221212121y x y x y y x x +⋅++。

平面向量的数量积教案一、教学目标：1. 理解平面向量的数量积的概念及其几何意义。

2. 学会计算平面向量的数量积，并能熟练运用数量积解决实际问题。

3. 掌握平面向量的数量积的性质，并能运用其性质进行向量运算。

二、教学重点：1. 平面向量的数量积的概念及其几何意义。

2. 平面向量的数量积的计算方法。

3. 平面向量的数量积的性质。

三、教学难点：1. 平面向量的数量积的计算方法。

2. 平面向量的数量积的性质的证明。

四、教学准备：1. 教师准备PPT，内容包括平面向量的数量积的概念、计算方法、性质及其应用。

2. 教师准备一些实际问题，用于引导学生运用平面向量的数量积解决实际问题。

五、教学过程：1. 导入（5分钟）教师通过PPT展示一些实际问题，引导学生思考如何运用向量的知识解决这些问题。

2. 讲解平面向量的数量积的概念（10分钟）教师通过PPT讲解平面向量的数量积的概念，并展示其几何意义。

3. 讲解平面向量的数量积的计算方法（15分钟）教师通过PPT讲解平面向量的数量积的计算方法，并给出一些例题进行讲解。

4. 练习平面向量的数量积的计算（10分钟）学生独立完成一些练习题，教师进行解答和讲解。

5. 讲解平面向量的数量积的性质（10分钟）教师通过PPT讲解平面向量的数量积的性质，并给出一些证明。

6. 练习平面向量的数量积的性质（10分钟）学生独立完成一些练习题，教师进行解答和讲解。

7. 应用平面向量的数量积解决实际问题（10分钟）教师给出一些实际问题，引导学生运用平面向量的数量积解决这些问题。

8. 总结（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并强调平面向量的数量积的重要性和应用价值。

9. 布置作业（5分钟）教师布置一些练习题，巩固学生对平面向量的数量积的理解和应用。

10. 课堂反馈（5分钟）教师通过课堂反馈了解学生对平面向量的数量积的掌握情况，为下一步的教学做好准备。

六、教学拓展：1. 教师通过PPT讲解平面向量的数量积与其他向量知识的联系，如向量的模、向量的加减法等。

《平面向量的数量积》公开课优秀教学设计教学目标1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 教学重难点教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。

2.如何利用平面向量的数量积解决几何中的垂直、夹角、长度等问题。

教学难点：平面向量数量积的应用 教学策略复习引入--------讲解新课--------练习---------小结--------作业 教具 多媒体 教学过程一、复习平面向量的数量积相关概念 基础自测1．已知a ＝(λ，2)，b ＝(－4,10)，且a ⊥b ，则实数λ的值为（ ） A ．54 B ． 54- C ． 5 D ．5-2．已知向量 a ，b 满足|a |＝4，|b |＝1，且 a ·b ＝－2，则 a 与 b 的夹角大小为（ ）3．若向量 a ，b ，c 满足 a ∥b ，且 a ⊥c ，则 c ·(a ＋2b )＝（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ． 0 二、讲解新课类型一 数量积的定义及几何意义例题1 (1)若a ，b ，c 均为非零向量，则下列说法正确的是____________．(填写序号即可)①a·b ＝±||a ·||b ⇔a ∥b ；②a ⊥b ⇔a·b ＝0；③a·c ＝b·c ⇔a ＝b ；④(a·b)·c ＝a·(b·c)．（2）已知AB →＝(2，1)，点C (－1，0)，D (4，5)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________． 变式1 如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是（ ）A ．1213PP PP ⋅ B ．1214PP PP ⋅ C ．1215PP PP ⋅ D ．1216PP PP ⋅类型二 用数量积表示两个平面向量的垂直关系例题2 (1)已知向量a ＝(x －1，2)，b ＝(2，1)，则a ⊥b 的充要条件是 ( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0(2)(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则 ( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |＞|b | 变式2 已知a ＝(－3，2)，b ＝(－1，0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－17B .17C ．－16D .16类型三 数量积的基本运算例题3已知平面向量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝8， a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．变式3设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10， |a －b |＝6，则a ·b ＝ ( )A ．1B ．2C ．3D ．5三、小结1.理解平面向量数量积各公式的正向及逆向运用；2.数量积的运算转化为向量的坐标运算；3.掌握平行、垂直、夹角及距离公式，形成转化技能。

《平面向量数量积》教案教案：平面向量数量积一、教学目标：1.理解平面向量的数量积的概念和性质。

2.掌握平面向量的数量积的运算法则。

3.能够利用平面向量的数量积解决实际问题。

二、教学内容：1.平面向量的数量积的概念和性质。

2.平面向量的数量积的运算法则。

3.平面向量数量积的应用。

三、教学步骤：1.引入平面向量的数量积的概念。

首先通过提问和示例，引导学生思考两个平面向量的乘积是否有意义，以及该乘积有什么特殊的性质。

然后给出平面向量的数量积的定义：设有两个非零向量a和b，数量积定义为，a，·，b，·cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。

2.平面向量的数量积的性质。

通过具体的例子，讲解平面向量数量积的性质：（1）数量积的结果是一个数。

（2）数量积满足交换律、分配律。

（3）数量积的结果为0时，表示两个向量垂直，即cosθ=0。

（4）数量积的结果为正数时，表示两个向量同向，即θ为锐角。

（5）数量积的结果为负数时，表示两个向量反向，即θ为钝角。

3.平面向量的数量积的运算法则。

通过示例演算，教导学生具体的运算法则：（1）计算向量的模长：，a，=√(a1²+a2²)。

（2）计算向量的数量积：a·b = ，a，·，b，·cosθ。

（3）计算两个向量的夹角：cosθ = (a·b) / (，a，·，b，)。

（4）根据数量积的定义，解方程组：a·b=0，求出向量a与向量b 互相垂直的条件。

4.平面向量数量积的应用。

通过实际问题解决的例子，帮助学生将平面向量数量积的概念和运算法则应用到实际问题的解决中。

例如：已知有三个向量a、b和c，其中a·b=30，a·c=40，求b与c的夹角。

五、教学反思：在教学过程中，可以通过举一些具体的实际问题，提高学生的兴趣和参与度。

初中数学教案平面向量的数量积与向量积的几何应用初中数学教案：平面向量的数量积与向量积的几何应用一、引言在初中数学中，平面向量的数量积与向量积是非常重要的概念。

它们不仅在数学中具有重要的应用，而且在日常生活和实际问题中也有广泛的运用。

本教案将从理论与实践的角度，详细探讨平面向量的数量积与向量积在几何中的应用。

二、平面向量的数量积1. 定义平面向量的数量积，也称为点乘或内积，表示为A·B，是两个向量的数量乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积。

具体地，若向量A=(x1,y1)和B=(x2,y2)，则其数量积为A·B=x1x2+y1y2。

2. 性质与公式平面向量的数量积具有以下性质和公式：- 对于任意向量A、B、C和实数k，有(A+B)·C＝A·C＋B·C （分配律）- 对于任意向量A和实数k，有(kA)·B＝A·(kB)＝k(A·B) （数乘结合律）- 若两个向量的数量积为0，则它们垂直（正交）3. 几何解释平面向量的数量积可以用几何方法解释。

若A和B为两个向量，它们的数量积A·B等于A在B方向上的投影长度与B的模长的乘积。

三、平面向量的向量积1. 定义平面向量的向量积，也称为叉乘或外积，表示为A×B，是两个向量的数量乘积与它们夹角的正弦值的乘积。

具体地，若向量A=(x1,y1)和B=(x2,y2)，则其向量积为A×B=x1y2-x2y1。

2. 性质与公式平面向量的向量积具有以下性质和公式：- 对于任意向量A、B、C和实数k，有(A+B)×C＝A×C＋B×C （分配律）- 对于任意向量A和实数k，有(kA)×B＝A×(kB)＝k(A×B) （数乘结合律）- 向量A×B垂直于向量A和B所在的平面3. 几何解释平面向量的向量积可以用几何方法解释。

《平面向量数量积》教案一、教学目标1. 理解平面向量的概念，掌握向量的表示方法。

2. 掌握向量的数量积运算，了解数量积的性质和运算规律。

3. 能够运用数量积解决实际问题，提高数学应用能力。

二、教学内容1. 向量的概念及表示方法2. 向量的数量积定义及计算公式3. 数量积的性质和运算规律4. 数量积在坐标系中的运算5. 数量积的应用三、教学重点与难点1. 重点：向量的概念，数量积的计算公式，数量积的性质和运算规律。

2. 难点：数量积在坐标系中的运算，数量积的应用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量及数量积的基本概念、性质和运算规律。

2. 利用案例分析法，分析数量积在实际问题中的应用。

3. 利用数形结合法，直观展示数量积在坐标系中的运算。

4. 引导学生通过小组讨论、探究，提高学生的参与度和自主学习能力。

五、教学安排1. 第一课时：向量的概念及表示方法2. 第二课时：向量的数量积定义及计算公式3. 第三课时：数量积的性质和运算规律4. 第四课时：数量积在坐标系中的运算5. 第五课时：数量积的应用六、教学过程1. 导入：通过复习实数乘法的分配律，引导学生思考向量数量积的定义。

2. 讲解向量的概念，向量的表示方法，向量的几何直观。

3. 引入向量数量积的概念，讲解数量积的计算公式。

4. 通过实例，演示数量积的运算过程，让学生感受数量积的意义。

5. 总结数量积的性质和运算规律，引导学生发现数量积与向量坐标的关系。

七、案例分析1. 利用数量积解释物理学中的力的合成与分解。

2. 利用数量积解决几何问题，如求解平行四边形的对角线长度。

3. 利用数量积判断两个向量是否垂直。

八、数量积在坐标系中的运算1. 讲解坐标系中向量的表示方法，向量的坐标运算。

2. 推导数量积在坐标系中的运算公式。

3. 通过实例，演示数量积在坐标系中的运算过程。

4. 引导学生掌握数量积在坐标系中的运算方法，提高运算能力。

九、数量积的应用1. 利用数量积解决线性方程组。

平面向量的数量积学案一、学案背景平面向量的数量积是数学中的一个重要概念，通过数量积可以研究向量之间的夹角关系、向量的投影以及向量的模长等问题。

掌握了平面向量的数量积的性质和应用，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

二、学习目标1. 了解平面向量的数量积的定义。

2. 掌握平面向量的数量积的计算方法和性质。

3. 理解平面向量的数量积与向量的夹角、投影和模长之间的关系。

4. 能够应用平面向量的数量积解决实际问题。

三、学习内容1. 平面向量的数量积的定义：平面向量a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2) 的数量积（又称点积、内积）定义为 a · b = x1 * x2 + y1 * y2。

2. 平面向量的数量积的性质：a. a · b = b · a（数量积的交换律）。

b. a · (b + c) = a · b + a · c（数量积的分配律）。

c. k(a · b) = (ka) · b = a · (kb) = k(a · b)（数量积的结合律，其中k为实数）。

3. 平面向量的数量积与向量的夹角的关系：a. 如果 a · b = 0，则向量a和b垂直（夹角为90°）。

b. 如果 a · b > 0，则向量a和b夹角锐角。

c. 如果 a · b < 0，则向量a和b夹角钝角。

4. 平面向量的数量积与向量的投影的关系：a. 向量a在向量b上的投影p的长度为 |p| = |a| * cosθ，其中θ为a和b的夹角。

b. a · b = |a| * |b| * cosθ。

5. 平面向量的数量积与向量的模长的关系：a. a · a = |a|^2，其中|a|表示向量a的模长。

b. |a| = √(a · a)。

四、学习方法1. 技巧讲解与练习：通过教师的讲解，学习平面向量的数量积的定义、计算方法和性质。

平面向量的数量积与应用教案一、引言平面向量是数学中重要的概念之一，它在几何、物理等领域具有广泛的应用。

其中，数量积作为平面向量的一种运算方式，被广泛运用于解决多种实际问题。

本教案旨在通过介绍平面向量的数量积及其应用，帮助学生掌握相关的概念和运算方法。

二、数量积的定义数量积，也称为点积或内积，是两个向量之间进行的一种运算。

对于两个平面向量a 和 b，它们的数量积可以表示为a·b，即：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a| 和 |b| 分别表示向量 a 和 b 的模，θ表示向量 a 和 b 之间的夹角。

三、数量积的运算性质1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数量积为零的条件：若 a·b = 0，则 a 和 b 两向量垂直。

四、数量积的几何意义数量积有着重要的几何意义。

当两个向量的数量积为正时，表示它们的方向较为接近；当数量积为负时，表示它们的方向较为背离；当数量积为零时，表示它们垂直。

五、数量积的应用数量积在几何、物理等领域有着广泛的应用。

以下是其中几个常见的应用场景：1. 判断两个向量的关系：通过计算两个向量的数量积，可以判断它们的夹角大小，从而了解两个向量之间的关系，比如是否垂直或平行。

2. 求向量在某一方向上的投影：通过数量积的计算，可以求得一个向量在另一个向量上的投影长度，从而进一步计算出向量在某一方向上的投影。

3. 计算力的功：在物理学中，力的功可以通过计算力和位移之间的数量积得到。

功等于力乘以移动的距离和夹角的余弦值。

4. 计算三角形的面积：数量积还可以用来计算三角形的面积。

当给定两条边和它们之间的夹角时，可以通过数量积公式计算出三角形的面积。

六、教学活动为了帮助学生更好地理解和应用数量积，以下是一些教学活动的建议：1. 理论讲解：教师可以通过简洁明了的语言，结合实际例子，向学生讲解数量积的定义、运算性质和几何意义。

平面向量的数量积教案一、教学目标：1. 理解平面向量的数量积的定义及其几何意义。

2. 掌握平面向量的数量积的计算公式及运算性质。

3. 学会运用平面向量的数量积解决实际问题。

二、教学内容：1. 平面向量的数量积的定义向量的数量积又称点积，是指两个向量在数量上的乘积。

对于平面向量a和b，它们的数量积定义为：a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。

2. 平面向量的数量积的几何意义（1）向量a和b的夹角为θ时，它们的数量积|a||b|cosθ表示在平行四边形法则下，向量a和b共同作用于某一点产生的合力的大小。

（2）向量a和b的夹角为90°时，它们的数量积为0，表示向量a和b垂直。

3. 平面向量的数量积的计算公式及运算性质（1）计算公式：a·b = |a||b|cosθ（2）运算性质：①交换律：a·b = b·a②分配律：a·(b+c) = a·b + a·c③数乘律：λa·b = (λa)·b = λ(a·b)三、教学重点与难点：1. 教学重点：平面向量的数量积的定义、几何意义、计算公式及运算性质。

2. 教学难点：平面向量的数量积的几何意义的理解及应用。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解平面向量的数量积的定义、几何意义、计算公式及运算性质。

2. 利用多媒体课件，展示平面向量的数量积的图形演示，增强学生的直观感受。

3. 结合例题，引导学生运用平面向量的数量积解决实际问题。

五、课后作业：1. 理解并掌握平面向量的数量积的定义、几何意义、计算公式及运算性质。

2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

3. 思考如何运用平面向量的数量积解决实际问题。

六、教学案例与分析：1. 案例一：在平面直角坐标系中，有两个向量a = (3, 2)和b = (4, -1)，求向量a和b的数量积。

必修4 2．4．2 平面向量数量积的运算律【学习目标】1.举例说明平面向量数量积运算规律，会利用数量积性质及运算律解决有关问题；2.学会两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题．3.体会类比的数学思想和方法，进一步培养同学们抽象概括、推理论证的能力.【学习重点】平面向量数量积的运算律【难点提示】向量数量积的运算律的理解与运用.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材104105P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备前面我们学习了向量有关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白处，同时思考下列问题：1.平面向量数量积定义 ，向量数量积的性质 、 、 、 、 .2.向量的夹角 ，夹角的范围是 ， 两个向量的夹角对这两个向量的数量积有怎样的影响 ；这两个向量数量积的几何意义是 、 ；3.向量的加法与向量的数乘分别有哪些运算律？热身练习 在边长为2的等边三角形ABC 中，点D 是BC 边上的中点， 则___AB CA ⋅=、()2__AB =、__AD BC ⋅=,你还能求()___AB CA CB ⋅-=和()___AB CA CB ⋅+=吗？后面两问就是本节课要探究的问题！二、学习探究 平面向量数量积的运算律在“学习准备”中，我们知道前面学习的向量线性运算时，在具体的运算中均要满足一些运算律，我们自然也应该联想向量的数量积又满足哪些运算律呢？为了更好的与生活联系起来，还是从物理中的问题出发来探究：问题1：如图2.4.2-1，一个人用与水平方向成θ弧度的力F 拉 一装满“幸福”车厢（不计摩擦力），向前位移了S ，则这是力与位 移所做的功为W=F S ⋅= ，W=S F ⋅= ，问题2：如图2.4.2-1，两个人分别用力为F 和F 0，它们与水平方向所成的角分别为θ与0θ（不计摩擦力），向前位移为S ，则这两个人的合力与与位移S 所做的功为W= ； 问题3：用与水平方向成θ弧度的力F 拉一装满“幸福”车厢，若车厢与地面的摩擦力为F 0，向前位移为S ，则这是两个力的合力与位移所做的功为W= ；你能计算以上三个问题吗？请探究一下！在探究后，你能归纳一下向量数量积满足的运算律吗？这些运算律能证明吗？归纳概括 1.交换律：a b b a ⋅=⋅ ；2.数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )；3.分配律：(a +b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c快乐体验1.()()22______,_______a ba b+=-=，请类比这与什么运算公式相似？ 2.请求“热身练习”中的后面两问？再求()___AB CA CB ⋅⋅=，()___AB CA CB ⋅⋅=. 3.已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ）A.72 B .-72 C.36 D.-36 4.|a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .C.夹角为3πD.不平行也不垂直5.已知|a |=2,|b |=5,a ·b =0,则|a +b |=___,|a -b |= ，你能感悟到什么吗？6.设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ .同学们通过探究、归纳、体验，对向量数量积满足的运算律有哪些感悟，你能对它们进行深度思考和挖掘拓展吗？挖掘拓展 1.你能对上面的三个运算律加以证明吗？（链接1）2.向量的数量积满足的这三个运算律有何特点？与我们以前学习的什么运算相似呢？它还满足结合律吗？请举例说明？3. 重要的二手结论：（1）一般地，(a ·b )c ≠a （b ·c）； （2）a ·c ＝b ·c ，c≠a ＝b ；（3）a ２＝｜a ｜２，()22a b a b +=+； （4）（a ＋b ）（c ＋d ）＝a ·c ＋a ·d ＋b ·c＋b ·d ；（5）(a ＋b )２＝a ２＋２a ·b ＋b ２；(a -b )２＝a ２-２a ·b ＋b ２； （6）若a 、b 是非零向量______a b a b a b a b +=-⇔⋅=⇔向量与；图2.4.2-1（7）若a 、b 是非零向量，则|a |=|b |与(a +b )与(a -b )垂直等价. 请联想还有没有类似与（5）的其它结论？（链接2） 三、典例赏析例1.已知a 、b 都是非零向量，a + 3b 与7a - 5b 垂直， a - 4b 与7a - 2b 垂直，求a 与b 的夹角．解:变式练习 已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A.60° B .30° C.135° D.４５°解：例2.求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和． 思路启迪:用模方关系.解:变式练习 四边形ABCD 中，＝a ，＝b ，＝c，＝d ，且a ·b ＝b ·c ＝c·d ＝d ·a ，试问四边形ABCD 是什么图形?思路启迪：请抓住四边形的形状由哪些量之间的关系确定，关键是怎样由题设条件变形或演变、推算该四边形的边角量上去．解:四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？ 你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：向量数量积满足的运算律都理解与掌握了吗？ 挖掘拓展中的“二手结论”都明白了吗？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.本节课见到那些题型，都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与课堂美在哪里吗？五、学习评价1.下列叙述不正确的是（ ）A ．向量的数量积满足交换律B ．向量的数量积满足分配律C ．向量的数量积满足结合律D ．a ·b 是一个实数2．已知|a |=3，|b |=4，且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ ．3.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= .4.已知|a |=12，|b |= 9，a⋅b =54-．求（1）(2)(2)a b a b +⋅-； （2）(2)(3)a b a b +⋅- 解：5.在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学2PA PM =, 则()PA PB PC ⋅+等于多少？解：6. 设a 、b 是两个不共线的非零向量（R t ∈） （1）记1,,()3OA a OB tb OC a b ===+，那么当实数t 为何值时A 、B 、C 三点共线？ （2）若 1201||||夹角为与且==，那么实数x 为何值时||x -的值最小？ 解：7.教材P108页习题2.4A 组1、4、8，B 组1、4、5.◆承前启后 现在我们学习了向量的数量积的定义、性质、运算律等知识，那么向量数量积有坐标运算吗？【学习链接】链接1. 交换律a ⋅ b = b ⋅ a ，证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ ∴a ⋅ b = b ⋅ a 成立.数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ， 若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ，λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ， a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ；当0λ=呢？分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c ，证明见教材.链接2. 还有一些重要结论，如：()33322______,()()______,()()______a b a b a b +=+=-=等.。

§5.3 平面向量的数量积学习目标1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理 1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角． 2．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积，记作a ·b .3．平面向量数量积的几何意义设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 与b 是方向相同的单位向量，AB →＝a ，CD →＝b ，过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1—→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1—→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．记为|a |cos θ e . 4．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积 a·b ＝|a ||b |cos θ a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2模 |a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21夹角 cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 a ∥b 的充要条件 a ＝λb (λ∈R ) x 1y 2－x 2y 1＝0|a ·b |与|a ||b |的关系 |a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)|x 1x 2＋y 1y 2|≤(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a ，b .(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0；若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0. (2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0；若a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或π. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (2)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角．( × )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ ) (4)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) 教材改编题1．(多选)(2022·海南省临高二中模拟)设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是( ) A ．0·a ＝0B ．a ·b ＝b ·c ，则a ＝cC ．a ·b ＝0⇒a ⊥bD ．(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2 答案 CD2．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 33．已知向量a ，b 满足3|a |＝2|b |＝6，且(a －2b )⊥(2a ＋b )，则a ，b 夹角的余弦值为________．答案 －59解析 设a ，b 的夹角为θ， 依题意，(a －2b )·(2a ＋b )＝0， 则2a 2－3a ·b －2b 2＝0，故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0， 则cos θ＝－59.题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2021·北京)a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，则(a ＋b )·c ＝_________；a ·b ＝________. 答案 0 3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)， ∴a ＋b ＝(4,0)，∴(a ＋b )·c ＝4×0＋0×1＝0， a ·b ＝2×2＋1×(－1)＝3.(2)(2022·广州模拟)在平面四边形ABCD 中，已知AB →＝DC →，P 为CD 上一点，CP →＝3PD →，|AB →| ＝4，|AD →|＝3，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝23，则AP →·PB →＝________.答案 －2 解析 如图所示，∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝14AB →＋AD →，PB →＝AB →－AP →＝34AB →－AD →，又∵|AB →|＝4，|AD →|＝3， cos θ＝23，则AB →·AD →＝4×3×23＝8，∴AP →·PB →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫34AB →－AD → ＝12AB →·AD →－AD →2＋316AB →2 ＝12×8－9＋316×42＝－2. 教师备选1．(2019·全国Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)， 所以|BC →|＝12＋(t －3)2＝1， 解得t ＝3， 所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.2．在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点．①若BD →＝xBA →＋yBC →，则x ＋y ＝________；②BD →·BM →＝________. 答案 341解析 ①∵M 是BC 的中点， ∴BM →＝12BC →，∵D 是AM 的中点，∴BD →＝12BA →＋12BM →＝12BA →＋14BC →，∴x ＝12，y ＝14，∴x ＋y ＝34.②∵△ABC 是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，且BM ＝1，∴BD →·BM →＝|BD →||BM →|cos ∠DBM ＝|BM →|2＝1. 思维升华 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝________. 答案 －92解析 由已知可得(a ＋b ＋c )2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝9＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， 因此a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－92.(2)(2020·北京)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 向量的模例2 已知向量a ，b 满足|a |＝6，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |＝____________，|a －3b |＝________. 答案 219 6 3解析 因为|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°， 所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝6×4×12＝12，(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝36＋24＋16＝76， (a －3b )2＝a 2－6a·b ＋9b 2＝36－72＋144 ＝108，所以|a ＋b |＝219，|a －3b |＝6 3. 命题点2 向量的夹角例3 (2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( ) A ．－3135 B ．－1935 C.1735 D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 命题点3 向量的垂直例4 (2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________. 答案 35解析 方法一 a －λb ＝(1－3λ，3－4λ)， ∵(a －λb )⊥b ，∴(a －λb )·b ＝0， 即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0， ∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35.方法二 由(a －λb )⊥b 可知，(a －λb )·b ＝0，即a ·b －λb 2＝0， 从而λ＝a ·b b 2＝(1，3)·(3，4)32＋42＝1525＝35.教师备选1．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为α， ∵(a －b )⊥b ， ∴(a －b )·b ＝0， ∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |， ∴cos α＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.2．已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝3，则|e1－e2|＝________.答案 1解析由|e1＋e2|＝3，两边平方，得e21＋2e1·e2＋e22＝3.又e1，e2是单位向量，所以2e1·e2＝1，所以|e1－e2|2＝e21－2e1·e2＋e22＝1，所以|e1－e2|＝1.思维升华(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解．(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a||b|，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．跟踪训练2(1)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝7a＋2b，则sin〈a，c〉等于()A.73 B.23 C.79 D.29答案 B解析方法一设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(7，2)，∴cos〈a，c〉＝a·c|a||c|＝73，∴sin〈a，c〉＝2 3.方法二a·c＝a·(7a＋2b)＝7a2＋2a·b＝7，|c|＝(7a＋2b)2＝7a2＋2b2＋214a·b＝7＋2＝3，∴cos〈a，c〉＝a·c|a||c|＝71×3＝73，∴sin〈a，c〉＝2 3.(2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则( ) A ．|OP 1—→|＝|OP 2—→| B ．|AP 1—→|＝|AP 2—→| C.OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→ D.OA →·OP 1—→＝OP 2—→·OP 3—→ 答案 AC解析 由题意可知， |OP 1—→|＝cos 2α＋sin 2α＝1， |OP 2—→|＝cos 2β＋(－sin β)2＝1， 所以|OP 1—→|＝|OP 2—→|，故A 正确； 取α＝π4，则P 1⎝⎛⎭⎫22，22，取β＝5π4，则P 2⎝⎛⎭⎫－22，22， 则|AP 1—→|≠|AP 2—→|，故B 错误； 因为OA →·OP 3—→＝cos(α＋β)，OP 1—→·OP 2—→＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)， 所以OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→，故C 正确； 因为OA →·OP 1—→＝cos α，OP 2—→·OP 3—→＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β) ＝cos(α＋2β)， 取α＝π4，β＝π4，则OA —→·OP 1—→＝22，OP 2—→·OP 3—→＝cos 3π4＝－22，所以OA →·OP 1—→≠OP 2—→·OP 3—→，故D 错误． 题型三 平面向量的实际应用例5 (多选)(2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)．假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论正确的是( )A ．|F 1|的最小值为12|G |B ．θ的范围为[0，π]C ．当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |D ．当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |答案 ACD解析 由题意知，F 1＋F 2＋G ＝0， 可得F 1＋F 2＝－G ，两边同时平方得 |G |2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos θ ＝2|F 1|2＋2|F 1|2cos θ， 所以|F 1|2＝|G |22(1＋cos θ).当θ＝0时，|F 1|min ＝12|G |；当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |；当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |，故A ，C ，D 正确；当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误． 教师备选若平面上的三个力F 1，F 2，F 3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F 1|＝1 N ，|F 2|＝6＋22N ，F 1与F 2的夹角为45°，求： (1)F 3的大小；(2)F 3与F 1夹角的大小． 解 (1)∵三个力平衡， ∴F 1＋F 2＋F 3＝0，∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝|F 1|2＋2F 1·F 2＋|F 2|2 ＝12＋2×1×6＋22cos 45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222＝4＋23＝1＋ 3.(2)方法一 设F 3与F 1的夹角为θ，则|F 2|＝|F 1|2＋|F 3|2＋2|F 1||F 3|cos θ， 即6＋22＝12＋(1＋3)2＋2×1×(1＋3)cos θ， 解得cos θ＝－32， ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝5π6.方法二 设F 3与F 1的夹角为θ， 由余弦定理得cos(π－θ)＝12＋(1＋3)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2222×1×(1＋3)＝32，∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3 (2022·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10 km/h ，水流速度的大小为|ν2|＝6 km/h.设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A ′在码头A 的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应( )A ．在A ′东侧B ．在A ′西侧C ．恰好与A ′重合D ．无法确定答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得ν1＝(－5，53)，ν2＝(6,0)， 所以ν1＋ν2＝(1,53)，说明游船有x 轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A ′东侧．极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则有恒等式a ·b ＝14[](a ＋b )2－(a －b )2.如图所示．(1)在平行四边形ABDC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，则a·b ＝14(|AD →|2－|BC →|2)．(2)在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，AM 为中线，则a·b ＝|AM →|2－14|BC →|2.例1 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 －16解析 如图所示，由极化恒等式，易得AB →·AC →＝AM →2－MB →2＝32－52＝－16.例2 已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A →·PB →的最小值是________． 答案 1解析 如图所示，由极化恒等式易知，当OP 垂直于直线x －y ＋2＝0时，P A →·PB →有最小值，即P A →·PB →＝PO →2－OB →2＝(2)2－12＝1.例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1 B ．2 C. 2 D.22答案 C解析 如图所示，设OA →⊥OB →，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， M 为AB 的中点， 由极化恒等式有 (a －c )·(b －c )＝CA →·CB →＝|CM →|2－|AB →|24＝0，∴|CM →|2＝|AB →|24＝12，可知MC →是有固定起点，固定模长的动向量．点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，且点O 也在此圆上， 所以|c |的最大值为圆的直径长，即为 2.课时精练1．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．a ＋2b B ．2a ＋b C ．a －2b D ．2a －b 答案 D解析 由题意得|a |＝|b |＝1， 设a ，b 的夹角为θ＝60°， 故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2 ＝12＋2＝52≠0； 对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2 ＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2 ＝12－2＝－32≠0； 对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.2．(2022·石家庄模拟)已知向量a ＝(2，－2)，b ＝(2,1)，b ∥c ，a ·c ＝4，则|c |等于( ) A ．2 5 B ．4 C ．5 2 D ．4 2答案 A解析 因为b ∥c ，所以c ＝λb ＝(2λ，λ)(λ∈R )， 又a ·c ＝4λ－2λ＝2λ＝4，所以λ＝2，c ＝(4,2)，|c |＝42＋22＝2 5.3．(2022·沈阳模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则a －b 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 D解析 |a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，等号左右同时平方，得|a ＋b |2＝|a －b |2＝4|a |2，即|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝4|a |2， 所以a ·b ＝0且|b |2＝3|a |2，所以|a －b |＝|a －b |2 ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝233|b |，所以cos 〈a －b ，b 〉＝(a －b )·b|a －b ||b |＝－|b |2233|b |·|b |＝－32，因为〈a －b ，b 〉∈[0，π]，所以〈a －b ，b 〉＝5π6.4．已知a ＝(－2,1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1,2)，若(a －2b )⊥c ，则与b 共线的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫255，－55或⎝⎛⎭⎫－255，55 B.⎝⎛⎭⎫－255，－55或⎝⎛⎭⎫255，55 C.⎝⎛⎭⎫255，55 D.⎝⎛⎭⎫－255，55 答案 A解析 由题意得a －2b ＝(－2－2k ,7)， ∵(a －2b )⊥c ， ∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k ,7)·(1,2)＝0，－2－2k ＋14＝0， 解得k ＝6， ∴b ＝(6，－3)， ∴e ＝±b 62＋(－3)2＝±⎝⎛⎭⎫255，－55. 5．(多选)(2022·盐城模拟)下列关于向量a ，b ，c 的运算，一定成立的有( ) A ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c B ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ) C ．a ·b ≤|a |·|b | D ．|a －b |≤|a |＋|b | 答案 ACD解析 根据数量积的分配律可知A 正确；选项B 中，左边为c 的共线向量，右边为a 的共线向量，故B 不正确； 根据数量积的定义，可知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉≤|a |·|b |，故C 正确；|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos 〈a ，b 〉≤|a |2＋|b |2＋2|a ||b |＝(|a |＋|b |)2， 故|a －b |≤|a |＋|b |，故D 正确．6．(多选)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(m －2，－n )，其中m ，n 均为正数，且(a －b )∥c ，则下列说法正确的是( ) A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b 上的投影向量为22b C ．2m ＋n ＝4 D ．mn 的最大值为2 答案 CD解析 对于A ，向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)， 则a·b ＝2－1＝1>0， 又a ，b 不共线，所以a ，b 的夹角为锐角，故A 错误； 对于B ，向量a 在b 上的投影向量为 a·b |b |·b |b |＝12b ，B 错误； 对于C ，a －b ＝(1,2)，若(a －b )∥c ，则－n ＝2(m －2)，变形可得2m ＋n ＝4，C 正确； 对于D ，由2m ＋n ＝4，且m ，n 均为正数，得mn ＝12(2m ·n )≤12⎝⎛⎭⎫2m ＋n 22＝2，当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立，即mn 的最大值为2，D 正确．7．(2021·全国甲卷)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________. 答案 －103解析 c ＝(3,1)＋(k ,0)＝(3＋k ,1)，a ·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103.8．(2020·全国Ⅰ)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析 将|a ＋b |＝1两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝1－(－1)＋1＝ 3.9．(2022·长沙模拟)在△ABC 中，BC 的中点为D ，设向量AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a ，b 表示向量AD →；(2)若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，求AB →·AD →的值． 解 (1)AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ， 所以AD →＝12a ＋12b .(2)AB →·AD →＝a ·⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＝12a 2＋12a·b ＝12×32＋12×3×2×cos 60°＝6， 所以AB →·AD →＝6.10．(2022·湛江模拟)已知向量m ＝(3sin x ，cos x －1)，n ＝(cos x ，cos x ＋1)，若f (x )＝m·n . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在Rt △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若∠A ＝90°，f (C )＝0，c ＝3，CD 为∠BCA 的角平分线，E 为CD 的中点，求BE 的长． 解 (1)f (x )＝m·n ＝3sin x ·cos x ＋cos 2x －1 ＝32sin 2x ＋12cos 2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－12. 令2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， 则x ∈⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)f (C )＝sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6－12＝0， sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＝12，又C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以C ＝π3.在△ACD 中，CD ＝233，在△BCE 中， BE ＝22＋⎝⎛⎭⎫332－2×2×33×32＝213.11．(2022·黄冈质检)圆内接四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，BD 是圆的直径，则AC →·BD →等于( ) A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－20答案 B解析 如图所示，由题知∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AD ＝2，CD ＝4，∴AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·BD → ＝AD →·BD →＋DC →·BD →＝|AD →||BD →|cos ∠BDA －|DC →||BD →|cos ∠BDC ＝|AD →|2－|DC →|2＝4－16＝－12.12．在△ABC 中，已知⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形 答案 A解析 AB →|AB →|，AC →|AC →|分别为与AB →，AC →方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量AB →|AB →|＋AC →|AC →|所在的直线为∠BAC 的平分线． 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ， 所以AB ＝AC .又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos ∠BAC＝12， 所以cos ∠BAC ＝12，∠BAC ＝60°.所以△ABC 为等边三角形．13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1，F 2，且F 1，F 2与水平夹角均为45°，|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ，则物体的重力大小为________ N.答案 20解析 如图所示，∵|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ， ∴|F 1＋F 2|＝102×2＝20 N ， ∴物体的重力大小为20 N.14．(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE ⊥AB 且交AB 于点E ，DF ∥AB 且交AC 于点F ，则|2BE →＋DF →|的值为________；(DE →＋DF →)·DA →的最小值为________． 答案 11120解析 设BE ＝x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12， ∵△ABC 为边长为1的等边三角形，DE ⊥AB ， ∴∠BDE ＝30°，BD ＝2x ，DE ＝3x ， DC ＝1－2x ，∵DF ∥AB ，∴△DFC 为边长为1－2x 的等边三角形，DE ⊥DF ，∴(2BE →＋DF →)2＝4BE →2＋4BE →·DF →＋DF →2＝4x 2＋4x (1－2x )×cos 0°＋(1－2x )2＝1，∴|2BE →＋DF →|＝1，∵(DE →＋DF →)·DA →＝(DE →＋DF →)·(DE →＋EA →)＝DE →2＋DF →·EA →＝(3x )2＋(1－2x )×(1－x )＝5x 2－3x ＋1＝5⎝⎛⎭⎫x －3102＋1120， ∴当x ＝310时，(DE →＋DF →)·DA →的最小值为1120.15．(多选)定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论，正确的是( ) A ．a ⊗b ＝b ⊗aB ．λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )C ．(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗cD ．若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1 答案 AD解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a ·b ＝b ·a ＝b ⊗a ，故A 正确；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故B 错误；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a ·c ＋b ·c ，显然|a ＋b －c |≠a ·c ＋b ·c ，故C 错误；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a ·e |<|a |·|e |<|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故D 正确．16．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝ (cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c . 解 (1)m ·n ＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ,0<C <π， 所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m·n ＝sin C ， 又m·n ＝sin 2C ，所以sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 可得2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理得2c ＝a ＋b . 因为CA →·(AB →－AC →)＝18， 所以CA →·CB →＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， 所以c ＝6.。

必修4 2．4．1 平面向量数量积的物理背景及其含义【学习目标】1.举例说明平面向量数量积的定义及物理意义，掌握向量数量积的重要性质；2.明白向量投影与射影的区别？体会向量数量积与向量投影的关系；3.会利用向量数量积的定义与性质解决有关一些基本问题，体会一些数学思想.【学习重点】平面向量数量积定义、性质及几何意义.【难点提示】向量数量积的几何意义的理解与运用.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材103105P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备前面我们学习了向量有关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白处，同时思考下列问题：1.平面向量的表示法 、 、 ，向量的模 ；2.前面我们学习了向量的 、 、 运算，这些运算统称为 ，它们 的共同特点是3.向量的夹角 ，夹角的范围是 ，当两向量共线与垂直时夹角分别是 ；在三角形ABC 中，ABC ∠是向量AB 与CA 的夹角吗？4.在初中我们学习过“投影”的概念吗？请举例说明？请举例说明一条线段AB 在某直 线上的正投影是怎么回事？（链接1）5.请同学们回顾，在前面研究向量加法时，是怎样引入的？又是按照怎样的顺序来研究相关知识的？（链接2）6.在物理学中，什么叫“功”？请举例说明“功”的意义与本质？ 二、学习探究 向量数量积的物理背景及定义如图2.4.1-1，一物体在力F 的作用下产生的位移S ，那么力 F 所做的功是 ，其中力和位移是 量，功是 量，上面功的运算公式文字语言可叙述为 ，如果我们将该公式中力与位移换成任意两个向量又有怎样的结果？又如何表述？ 这给我们什么提示？你有哪些感悟？请发挥你的发散思维或阅读教材，再归纳概括. 归纳概括 平面向量数量积的定义：已知两个 向 量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ 的数量积（或内积），记作a ⋅b ，即有：a ⋅b = |a ||b |cos θ， 图2.4.1-2中，|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影，cos a θ叫做向量a 在b 方向上的投影， 如图2.4.1-2，向量b 在a 方向上的投影就是10B ，即：10cos B b θ=.快乐体验 1.请同学们在图2.4.1-2上做出向量a 在b 方向上的投影，想一想：向量a 在b 方向上的投影与向量ａ与ｂ的数量积有怎样的关系？解：2.已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°， ④ａ与ｂ的夹角是120°时，分别求ａ·ｂ.解：3.判断下列说法的正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２. 解：同学们通过探究、归纳、体验，对向量数量积及相关知识有哪些感悟，它们有哪些性质呢？你能对它们进行深度思考和挖掘拓展吗？挖掘拓展 1.任意两个向量的数量积是一个 量，0与任何向量的数量积为 ； 2.两个非零向量ａ，ｂ的夹角θ（０≤θ≤π），对这两个向量的数量积有怎样的影响？ 对向量ａ在向量ｂ上的的投影和向量ｂ在向量ａ上的的投影又有怎样的影响？（链接3） 3. 你能用几种语言来描述向量的数量积？向量数量积的几何意义是 或 ；4.两个向量的数量积与向量的数乘、实数与实数的积，这三种积的运算有哪些区别和联系？（链接4）5.向量数量积的定义，也是一个公式，该公式有怎样的特征？其中有几个量？使用的范图2.4.1-1OB 1围在哪里？怎样运用？6.两个向量的数量积的性质，设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量。

平面向量的数量积(公开课)一、向量的基本概念大家好，今天我们来聊一聊平面向量的数量积。

我们要明白什么是向量。

在数学里，向量是一个有大小和方向的量，它可以用两个数表示，一个是横坐标，一个是纵坐标。

比如，我们可以用(3, 4)这个数来表示一个向量，它的横坐标是3,纵坐标是4。

那么，向量的数量积是什么呢？二、向量的数量积向量的数量积是一个很重要的概念，它表示的是两个向量的点积。

点积的计算方法很简单，就是把两个向量的对应元素相乘，然后把乘积相加。

具体来说，就是横坐标乘以纵坐标，然后把所有的乘积加起来。

比如，(3, 4)和(1, 2)这两个向量的数量积就是(3 *1) + (4 * 2) = 7。

三、向量的数量积的性质向量的数量积有很多性质，比如：1. 数量积的取值范围是[-∞， +infty];2. 如果两个向量互相垂直，那么它们的数量积等于0;3. 如果一个向量用另一个向量表示，那么它们的数量积等于第一个向量的模乘以第二个向量的模与它们的夹角的余弦值的积。

4. 如果两个向量平行，那么它们的数量积为0或无穷大。

四、应用举例现在我们来看一个例子：假设有两个向量A=(3, 4)和B=(1, 2),那么它们的数量积就是A·B=(3*1)+(4*2)=7。

如果我们知道A和B互相垂直，那么它们的数量积就是0。

如果我们知道A用B表示，那么它们的数量积就是|A||B|cosθ=|A|*|B|*(A·B)/[(|A|^2+|B|^2)^(1/2)]=(5*sqrt(5))*(7/((5^2+(\sqrt{5})^2)^(1/2)))= 7/(10^(1/2))。

如果我们知道A和B平行，那么它们的数量积就是0或无穷大。

五、总结好了，今天我们就讲到这里了。

希望大家能够理解向量的数量积的概念和性质，并且能够在实际问题中灵活运用。

谢谢大家！。

高中数学教学备课教案平面向量的数量积与几何应用高中数学教学备课教案平面向量的数量积与几何应用一、引言在高中数学的学习中，平面向量是一个重要的概念。

它不仅可以用来描述实际问题中的物理量，还可以应用于解决几何问题。

本教案将围绕平面向量的数量积展开，介绍数量积的定义、性质以及在几何中的应用。

二、数量积的定义与性质1. 数量积的定义数量积又称为点积或内积，是两个向量之间的一种运算。

给定两个向量a和b，数量积的定义为：a·b = |a|·|b|·cosθ，其中|a|表示向量a的长度，|b|表示向量b的长度，θ表示两个向量的夹角。

2. 数量积的计算计算数量积的方法有两种：几何方法和代数方法。

（1）几何方法：通过绘制向量图形，利用三角函数的性质来计算。

（2）代数方法：利用向量的分量来计算数量积。

设向量a的分量为(a₁, a₂)，向量b的分量为(b₁, b₂)，则a·b = a₁b₁ + a₂b₂。

3. 数量积的性质数量积具有以下性质：（1）交换律：a·b = b·a（2）分配律：(a+b)·c = a·c + b·c（3）数量积为0的条件：若a·b = 0，则a与b垂直。

三、数量积的几何应用1. 平面向量的夹角利用数量积的定义，可以得到两个向量的夹角的余弦值，从而求出夹角的大小。

根据夹角的余弦值的范围来判断向量的方向关系，如锐角、直角、钝角等。

2. 平面向量的共线与垂直利用数量积的性质，我们可以判断两个向量是否共线、垂直。

若a·b = |a|·|b|，则向量a与向量b共线；若a·b = 0，则向量a与向量b垂直。

3. 平面向量的投影给定向量a和向量b，利用数量积可以计算向量a在向量b上的投影的大小。

投影可以理解为一个向量在另一个向量方向上的投影长度，用于解决实际问题中的投影计算。

4. 平面向量的面积利用数量积的性质，我们可以计算平行四边形的面积。

平面向量的数量积教案精品教学目标：1.理解平面向量的数量积的概念和性质。

2.学会计算平面向量的数量积。

3.解决与平面向量的数量积相关的问题。

教学重点：1.平面向量的数量积的定义和性质。

2.使用平面向量的数量积计算向量的模长和夹角。

教学难点：1.运用平面向量的数量积解决实际问题。

2.掌握平面向量的数量积的计算方法。

教学准备：1.教师准备黑板、彩笔和相关教学资料。

2.学生准备课本、作业本、笔等。

教学过程：Step 1 引入教师用黑板上画两个平行且相等长的向量，并引出向量积的概念。

简单介绍向量的数量积和叉积，并引出本节课的内容是向量的数量积。

Step 2 讲解1. 向量的数量积的定义：向量a(x1, y1)和向量b(x2, y2)的数量积，记作a·b，等于，a，·，b，·cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和向量b的模长，θ表示向量a和向量b的夹角。

2.向量的数量积的性质：a·b=b·a交换律a·(kb)=k(a·b) 数量积与数的结合a·a=，a，^2向量与自己的数量积等于向量的模长的平方a·b=0两个向量的数量积为0，表示两个向量垂直Step 3 讲解教师做一道具体的例题，先引入概念，并导出计算公式。

例题：已知向量a(3,2)和向量b(1,-4)，求向量a和向量b的数量积。

解：根据定义公式，a·b， = ，a，·，b，·cosθ代入向量a和向量b的数值，得到3*1+2*(-4)=3+(-8)=-5Step 4 讲解教师通过例题引导学生讨论下面的性质并证明之。

向量a·b = ，a，·，b，·cosθ其中，0≤θ≤π。

当0≤θ≤π/2时，cosθ > 0；当π/2≤θ≤π时，cosθ<0。

Step 5 练习由简单到复杂给学生练习一些数量积的计算题目，并检查答案。

初中数学教案平面向量的数量积与应用初中数学教案：平面向量的数量积与应用引言：数学中的向量是一种常见的概念，它可以表示空间中的方向和大小。

平面向量作为数学中重要的一部分，其数量积及应用也就成为初中数学学习的重点之一。

本文将围绕平面向量的数量积及其应用展开讨论。

一、平面向量的数量积1.1 定义平面向量的数量积又称点乘，表示为a∙b，是向量a与向量b的乘积，它的结果是一个标量。

数量积的计算公式为：a∙b = |a| |b| cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模，θ表示夹角。

1.2 性质（1）交换律：a∙b = b∙a（2）分配律：(a+b)∙c = a∙c + b∙c（3）数量积与夹角的关系：a∙b = |a| |b| cosθ1.3 计算方法（1）向量坐标法：设向量a的坐标为(x1, y1)，向量b的坐标为(x2, y2)，则a∙b = x1x2 + y1y2（2）向量模长法：设向量a的模为|a|，向量b的模为|b|，夹角为θ，则a∙b = |a| |b| cosθ二、平面向量的数量积的几何应用2.1 判断垂直关系若两个向量的数量积为0，则它们垂直。

具体计算方法是，设向量a的坐标为(x1, y1)，向量b的坐标为(x2, y2)，若x1x2 + y1y2 = 0，则向量a与向量b垂直。

2.2 判断平行关系若两个向量的夹角为0°或180°，则它们平行。

具体计算方法是，设向量a的坐标为(x1, y1)，向量b的坐标为(x2, y2)，若x1/x2 = y1/y2，则向量a与向量b平行。

2.3 计算夹角已知向量a和向量b的坐标，可以通过数量积的计算公式a∙b = |a||b| cosθ，求得夹角θ。

然后可以利用反余弦函数计算出具体的夹角值。

三、平面向量的数量积的物理应用3.1 力的合成与分解在力学中，力可以通过向量来表示。

当两个力作用于同一物体上时，可以利用数量积来进行力的合成与分解。