河南省淇县高一数学下学期 2.4《平面向量的数量积》导学案 沪教版

平面向量的数量积一，填空题1设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则2a b -＝_______2.已知A (－1, －1), B (1,3)，则与AB →共线的单位向量为3.已知点A (2,3)，B (－1,5)，且AC →＝13AB →，则点C 的坐标是________4.已知()()a 3,4,b=5,12=-，则a b 与夹角的余弦值为5.已知()()2,4,,3,a b λ=-=且//a b ，则λ＝______6.已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -平行，则实数λ的值为7.设、为不共线向量，如果k +与+k 共线，那么k=8.已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是9.已知|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°若b a λ-与a 垂直，则λ＝10.设i ，j 是互相垂直的单位向量，向量a ＝(m ＋1)i －3j ，b ＝i ＋(m －1)j ，(a ＋b )⊥(a －b )，则实数m 的值为11.已知(4,3),(5,6)a b =-=则23a 4a b=-⋅12.已知1,6,()2==⋅-=a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是13.若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ⋅+⋅=______；14.平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b +=15.已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=||b =16.若|a |=|b |=|a b -|,则b 与a b +的夹角为17.若平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，a ⊥()2a b -，则|2a b +|的值是______，18.在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，若 →BC =3a , →DC =2b , 则→AO 等于19.在平行四边形ABCD 中，(1,2),(3,2)AC BD ==-，则AD AC ⋅=20.若ABCD 的中心为O ，P 为该平面上一点，=，则PA PB PC PD +++=21.在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB AC ⋅等于22.在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为(00)O ，，(11)B ，，则AB AC ⋅=23.已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ,若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =24.已知向量a ，b 满足|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是_____25.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，则用a ，b 表示c 为______26.在△ABC,4=且,8=⋅AC AB 则这个三角形的形状是27.若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为28.已知非零向量AB 与AC 满足0A B A C BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=, 则ABC △为29．a=(2,1) ,b=(1,),a b λ若与的夹角为锐角，则λ的取值范围为________30.在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是31.边长为2的正∆ABC 中，设,,AB c CA b BC a ===,则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=32.设 a ,b ,c 是平面内任意的非零向量,则下列真命题的序号是①(a b )c －(ca )b =0 ②|a | －|b |< |a －b |③(bc )a －(ca )b 不与c 垂直 ④(3a +2b )(3a －2b )= 9|a |2－4|b |233.过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =x AB ,AE =y AC ,xy ≠0，则11x y+的值为34.如果向量a ＝(3，1)，向量b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，那么向量b =35.设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b .若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________36.向量a ＝(－1,1)，且a 与2a b +方向相同，则a b ⋅的取值范围是37.在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则(OA OB OC ⋅+)的最小值是______38.设,,a b c 是单位向量，且a b ⋅＝0，则()()a cbc -⋅-的最小值为39.直角坐标系xOy 中，i ，j 分别是与x 轴，y 轴同向的单位向量．在Rt △ABC 中，若AB →＝2i ＋j ，AC →＝3i ＋k j ，则k 的可能值个数是______40.已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →⊥OB →，点C 在∠AOB 内，∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →，则m n＝ 二．解答题41．已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)，若AP →＝AB →＋λ·AC → (λ∈R )，试问：(1)λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上；(2)λ为何值时，点P 在第三象限．42.已知==-(1,2),(3,2)a b ,当k 为何值时，（1）3ka b a b +-与垂直？（2）3ka b a b +-与平行吗？平行时它们是同向还是反向？43.如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，且|AP |＝2|PB |.(1)试用OA ，OB 表示OP ；(2)若| OA |＝3，| OB |＝2，且∠AOB ＝60°，求OP ·AB 的值．44.如果向量AB =i -2j ,BC =i +m j ,其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线。

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义【课标要求】1.知道平面向量数量积的物理意义，记住其含义。

2.会用平面向量数量积的公式解决相关问题。

3. 利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题。

【考纲要求】1.会用平面向量数量积的公式解决相关问题。

2.利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题。

【学习目标续写】1.由向量的数量积体会向量和数量之间的联系。

2.总结用向量的数量积解决有关长度、角度和垂直问题的方法。

3.让我们充满激情的进入充满神秘色彩的数学世界。

【使用说明与学法指导】1.精读教材103-105页,用红笔勾画重点，理解和掌握定义，作答预习案、探究案。

2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，整理在导学案上，准备讨论质疑。

【预习案】(5分钟处理疑难）1.在等边三角形ABC中,求：(1)AB AC与的夹角；(2)AB BC与的夹角。

2.一些特殊角的余弦值：3.在两向量的夹角定义中，两向量夹角的范围是。

4.b在a上的投影是。

5.数量积a b⋅的几何意义是。

6.零向量与任一向量的数量积等于。

7.a b⋅是一个实数，那么它什么时候为正？什么时候为负？什么时候为零？8.总结数量积的性质和运算律，判断下列各题是否正确（1）00a⋅=（）（2）00a⋅=（）（3）a b a b⋅=（）（4）若0a≠，则对于任一非零向量b有0a b⋅≠（）（5）若a与b是两个单位向量，则22a b=（）（6）对任意向量,,a b c，都有()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅（）【我的质疑】【探究案】（25分钟讨论、展示、点评、质疑）一、向量数量积的概念（口展，命题真假说明原因）例1.已知,,a b c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数是（）①a b a b a⋅=⇔∥b；②,a b a b a b⇔⋅=-反向；③a⊥b a b a b⇔+=-；④a b a c b c=⇔⋅=⋅。

A.1B.2C.3D.4二、平面向量数量积的运算（板展）（做第（2）问可用第（1）问结论，不必重做一次a b⋅）例2.05,4,60,1(2)(2)a b a b a b a a bθ===⋅⋅-已知与的夹角求（）例3.向量a b 与夹角为3π，2,1ab ==，求2a b -的值。

2.4 向量的数量积课堂导学三点剖析1.平面向量数量积的概念及其运算律【例1】 已知|a |=4，|b |=3，若：（1）a ∥b ；（2）a ⊥b ；（3）a 与b 的夹角为60°，分别求a ·b .思路分析：本题运用数量积的定义求数量积.已知|a |与|b |，a 与b 的夹角，由定义可求a ·b . 解：(1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角θ=0°,a ·b =|a ||b |cos0°=4×3×1=12;若a 与b 反向，则a 与b 的夹角θ=180°,a ·b =|a ||b |cos180°=4×3×(-1)=-12.(2)当a ⊥b 时,a 与b 的夹角为90°,a ·b =|a |·|b |cos90°=0,(3)当a 与b 的夹角θ=60°时，a ·b =|a ||b |cos60°=4×3×21=6. 温馨提示利用定义计算a 与b 的数量积，关键是确定两向量的夹角.当a ∥b 时，a 与b 的夹角可能是0°，也可能为180°，解题时容易遗漏180°的情形.2．平面向量数量积的应用【例2】已知|a |=2,|b |=3，a 与b 的夹角为45°,求使向量a +λb 与λa +b 的夹角为锐角时，λ的取值范围.解：设a +λb 与λa +b 的夹角为θ.则cos θ=||||)()(b a b a b a b a +++∙+λλλλ＞0, 即(a +λb )·(λa +b )＞0,展开得，λa 2+(λ2+1)a ·b +λb 2＞0.∵|a |=2,|b |=3,a ·b =|a ||b |cos45°=3,∴2λ+3(λ2+1)+9λ＞0,即3λ2+11λ+3＞0.λ＜68511--或λ＞68511+-. 另外θ=0°时，λ=1.故λ≠1.∴λ∈(-∞,68511--)∪(68511+-,1)∪(1,+∞). 温馨提示求夹角时，注意与三角函数、不等式等知识相结合，但要注意角的范围.3.平面向量数量积的运算律同实数的运算律的比较【例3】 已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为120°，求：（1）a ·b ；（2）（a +b ）2；（3）a 2-b 2；（4）（2a -b ）·（a +3b ）.思路分析：由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a +b ）2=（a +b ）·（a +b ）=（a +b ）·a +（a +b ）·b =a ·a +b ·a +a ·b +b ·b =a 2+2a ·b +b 2.解：（1）a ·b =|a ||b |cos120°=5×4×(-21)=-10; (2)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2=25-2×10+16=21;(3)a 2-b 2=|a |2-|b |2=25-16=9;(4)(2a -b )·（a +3b ）=2a 2+5a ·b -3b 2=2|a |2+5a ·b -3|b |2=2×25+5×(-10)-3×16=-48.温馨提示(1)在进行向量数量积运算时，应严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（a ±b ）2=a 2±2a ·b +b 2，（a +b ）·（a -b ）=a 2-b 2，（a +b +c ）=a 2+b 2+c 2+2a ·b +2b ·c +2a ·c .因此，有的同学会相当然的用（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）,这是错误的.各个击破类题演练1已知|a |=2，|b |=5，且<a ,b >=45°,求a ·b .解：由数量积的定义，a 、b =|a ||b |cos<a ,b > =2×5×cos45°=25.变式提升1已知△ABC 中，a =5,b =8，∠C=60°,求BC ·CA .解：因为||=a =5,||=b =8,<,>=180°-∠C=180°-60°=120°, 所以·=||||·cos<,>=5×8cos120°=-20.类题演练2已知a =(m+1,3),b =(1,m-1)，且a 与b 的夹角为钝角.若（2a +b ）与(a -3b )垂直，求a 与b 夹角的余弦.解析：∵(2a +b )⊥(a -3b ),∴2a 2-5a ·b -3b 2=0.即2［(m+1)2+9］-5［m+1+3(m-1)］-3［1+(m-1)2］=0,整理得m 2+10m-24=0,m=2或m=-12.∵a 与b 的夹角为钝角，∴m=2舍去.设a 与b 夹角为θ,则cos θ=2212215||||-=∙b a b a . 变式提升2(2006全国高考Ⅰ,文1)已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=4，且a ·b =2，则a 与b 的夹角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.2π 解析：cos<a ·b >=21412||||=⨯-=∙b a b a . ∴a 与b 的夹角为3π，故选C. 答案：C类题演练3 已知|a |=|b |=5，<a ,b >=3π,求|a +b |，|a -b |. 解：因为a 2=|a |2=25，b 2=|b |2=25，a ·b =|a ||b |cos<a ,b >=5×5cos3π=225. 所以|a +b |=（a +b ）2=.352525252)(222=++=∙-+=+b a b a b a 同样可求|a -b |=.52525252)(222=-+=∙-+=-b a b a b a变式提升3 （1）若向量a 与b 夹角为30°，且|a |=3，|b |=1，则向量p=a +b 与q=a -b 的夹角的余弦为______________.思路分析：本题可利用cos θ=||||b a b a ∙，由两向量的数量积和模求夹角余弦值. 解：∵p ·q =（a +b ）·（a -b ）=a 2-b 2=3-1=2，又∵|p |=|a +b |=7130cos 323222=+︒+=+∙+b b a a , |q |=|a -b |=,1130cos 323222=+︒-=+-b ab a ∴cos θ=77272||||==∙q p q p . 答案：772（2）若非零向量α、β满足|α+β|=|α-β|，求α与β所成的角.思路分析：涉及模与夹角的问题，一般考虑向量的数量积，也可以从向量的线性运算入手，结合模的几何意义解答.解：∵|α+β|=|α-β|,∴|α2|+2α·β+|β|2=|α|2-2α·β+|β|2，即4α·β=0，∴α·β=0，∴α⊥β.∴α与β所成的角为90°.。

河南省淇县2020学年高一数学下学期 2.4《平面向量的数量积》导学案沪教版2.4【温馨寄语】快乐源自心灵的选择。

【学习目标】1.理解平面向量数量积的概念。

2.能用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角。

3平面向量数量的性质的应用。

【学习过程】问题提出1.向量的模和夹角分别是什么概念？当两个向量的夹角分别为0°，90°，180°时，这两个向量的位置关系如何？2.任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律.由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？对此，我们从理论上进行相应分析.探究（一）:平面向量数量积的背景与含义思考1：如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？思考2：功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F 与s “数量积”.一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么？思考3：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，把︱a|︱b︱cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b=︱a|︱b︱cosθ.那么a·b的运算结果是向量还是数量？思考4：特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？思考5：对于两个非零向量a与b，其数量积a·b何时为正数？何时为负数？何时为零？思考6：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，那么︱a︱cosθ的几何意义如何？思考7：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，︱a︱cosθ叫做向量a在b方向上的投影.那么该投影一定是正数吗？向量b在a方向上的投影是什么？思考8：根据投影的概念，数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何探究（二）：平面向量数量积的运算性质思考1：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？思考2：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？思考3：︱a ·b ︱与︱a ︱︱b ︱的大小关系如何？为什么？思考4：a ·b 与b ·a 是什么关系？为什么？思考5：对于实数λ，(λa )·b 有意义吗？它可以转化为哪些运算？思考6：对于向量a ，b ，c ，(a ＋b )·c 有意义吗？它与a ·c ＋b ·c 相等吗？为什么思考7：对于非零向量a ，b ，c ，(a ·b )·c 有意义吗？(a ·b )·c 与a ·(b ·c )相等吗？为什么？思考8：对于非零向量a ，b ，c ，若a ·b ＝a ·c ，那么 b ＝c 吗？思考9：对于向量a ，b ，等式(a ＋b )2＝ a 2＋2a ·b ＋b 2和(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2是否成立？为什么？思考10：对于向量a ，b ，如何求它们的夹角θ？理论迁移例1 已知︱a ︱＝5，︱b ︱＝4，a 与b 的夹角为120°，求a ·b .例2 已知︱a ︱＝6，︱b ︱＝4，a 与b 的夹角为60°，求(a ＋2b )·(a －3b ).例3 已知︱a ︱＝3，︱b ︱＝4，且a 与b 不共线.求当k 为何值时，向量a ＋k b 与 a －k b 互相垂直？小结作业P108 习题2.4A 组：1，2，3，6，7，8。

2.4 平面向量的数量积 2课堂探究探究一数量积的坐标运算1．进行向量的数量积运算，前提是牢记有关数量积的运算法则和运算性质；2．对于运用数量积求向量坐标的问题，通常是运用待定系数法，建立方程(组)求解．【典型例题1】已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)．(1)求a·(a－b)；(2)求(a＋b)·(2a－b)；(3)若c＝(2,1)，求(a·b)c，a(b·c)．解：(1)解法一：∵a＝(－1,2)，b＝(3,2)，∴a－b＝(－4,0)．∴a·(a－b)＝(－1,2)·(－4,0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.解法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.(2)∵a＋b＝(－1,2)＋(3,2)＝(2,4)，2a－b＝2(－1,2)－(3,2)＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2)，∴(a＋b)·(2a－b)＝(2,4)·(－5,2)＝2×(－5)＋4×2＝－2.(3)(a·b)c＝[(－1,2)·(3,2)](2,1)＝(－1×3＋2×2)(2,1)＝(2,1)．a(b·c)＝(－1,2)[(3,2)·(2,1)]＝(－1,2)(3×2＋2×1)＝8(－1,2)＝(－8,16)．【典型例题2】已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求向量a的坐标．解：∵a与b同向，且b＝(1,2)，∴设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．探究二向量垂直的问题有关向量垂直的问题，通常利用它们的数量为0来解决，如果是几何中用向量研究垂直，可先建立直角坐标系，将相关的向量用坐标表示，利用向量垂直时数量积为0，建立关系求解，再回到要解决的几何问题中．【典型例题3】 (1)已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于( ) A．9 B．4 C．0 D．－4(2)在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，E，F分别在AB，AD上，且AE＝1，则当DE⊥CF时，AF ＝________.解析：(1)由已知得a －b ＝(1－x,4)．∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝0.∵a ＝(1,2)，∴1－x ＋8＝0，∴x ＝9.(2)建立如图所示的直角坐标系，则点C 的坐标为(3,2)，D (0,2)，E (1,0)．设F (0，y )，则DE ＝(1，－2)，CF ＝(－3，y －2)．∵DE ⊥CF ，∴DE ⊥CF ，∴－3－2y ＋4＝0，得y ＝12， ∴F 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴AF ＝12. 答案：(1)A (2) 12探究三 运用向量坐标求模、夹角1．运用坐标求向量的模一般有两种解决方法：一是先求出向量的坐标再求模，二是先平方转化为数量积再求模．2．用坐标求两个向量夹角的四个步骤：(1)求a ·b 的值；(2)求|a ||b |的值；(3)根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦；(4)由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．【典型例题4】 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，求2a ＋b 与a －b 的夹角．解：∵a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，∴2a ＋b ＝(3,3)，a －b ＝(0,3)．∴(2a ＋b )·(a －b )＝3×0＋3×3＝9，|2a ＋b |＝2233+＝32，|a －b |＝3.设所求角为θ，则cos θ＝2|2|||(+)⋅(-)+⋅-a b a b a b a b ＝9323⨯＝22，又∵0≤θ≤π，∴θ＝4π. ∴2a ＋b 与a －b 的夹角为4π. 探究四易错辨析易错点：a 与b 的夹角θ为钝角不仅需要a ·b <0，还应保证两向量不反向共线，易忽略夹角的范围，事实上，－1<cos θ＝·||||a b a b <0，而a ·b <0包含了cos θ＝－1，即反向共线的情况 【典型例题5】 已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，且a 与b 的夹角为钝角，试求实数λ的取值范围．错解：∵a 与b 的夹角为钝角，∴a ·b <0，∴(－2，－1)·(λ，1)＝－2λ－1<0，∴λ>－12. 错因分析：忽略了a ，b 反向共线的情况．正解：∵a 与b 的夹角为钝角，∴a ·b <0，且a ，b 不可反向共线．由a ·b <0得(－2，－1)·(λ，1)＝－2λ－1<0，∴λ>－12. 当a 与b 反向共线，即夹角为180°时，a ·b ＝－|a ||b |，∴2λ＋1＝5·21λ+，解得λ＝2，∴实数λ的取值范围为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭∪(2，＋∞)． 点评对于非零向量a 与b ，设其夹角为θ，则θ为锐角⇔cos θ>0，且cos θ≠1⇔a ·b >0，且a ≠m b (m >0)；θ为钝角⇔cos θ<0，且cos θ≠－1⇔a ·b <0，且a ≠m b (m <0)；θ为直角⇔cos θ＝0⇔a ·b ＝0.。

2.4《平面向量的数量积》导学案【学习目标】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件. 【导入新课】 复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a ，),(22y x b ，则b a ),(2121y y x x ，b a ),(2121y y x x ，),(y x a . 若),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x AB5．a ∥b (b0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1 )时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b a1111.10．力做的功：W = |F | |s |cos ， 是F 与s 的夹角. 新授课阶段1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0 ≤ ≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定.C（2）两个向量的数量积称为内积，写成a b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a 0，且a b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a b =0，不能推出b =0.因为其中cos 有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc a=c .但是a b = b ca =c如右图：a b = |a ||b |cos = |b ||OA|，b c = |b ||c |cos = |b ||OA|a b = b c 但a c显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线. 3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos 叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当 为锐角时投影为正值；当 为钝角时投影为负值；当 为直角时投影为0；当 = 0 时投影为 |b |；当 = 180 时投影为 |b |. 4．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos 2 a b a b = 03 当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a||4 cos =||||b a ba5 |a b | ≤ |a ||b |例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o，求a ·b . 例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o求(a+2b)·(a -3b).例3 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.解：评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例5 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.课堂小结 （略） 作业 （略） 拓展提升1.已知向量(3,1)a r，b r 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b r r ，则b r （ ）A ．（31,22） B ．（13,22） C ．（133,44） D ．（1,0） 2. 设B A ,两点的坐标分别为)0,1(),0,1( .条件甲：0AC BC u u u r u u u r；条件乙：点C 的坐标是方程122y x 的解.则甲是乙的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.已知||22,||3,p q p u r r u r 与q r 的夹角为4，则以52,3a p q b p q r u r r r u r r 为邻边的平行四边形的较短的对角线长为 （ ）A.15B.15C.14D.164.把点(2,2)A 按向量(2,2) 平移到点B ，此时点B 在OC 的延长线上，且||2||OB BC u u u r u u u r，则点C 的坐标为 .5.把函数5422x x y 的图象按向量a平移,得到22x y 的图象,且a b r r ,)1,1( c，4 c b ,则 b.6.不共线向量a r ，b r 的夹角为小于120o的角，且||1,||2a b r r ，已知向量2c a b r r r ，求||c r的取值范围.7. 已知向量,a b r r 满足||||1a b r r ，且||3|a kb ka b r r r r，其中0k .（1）试用k 表示a b r r ，并求出a b r r 的最大值及此时a r 与b r的夹角 的值；（2）当a b r r 取得最大值时，求实数 ，使||a b r r的值最小，并对这一结果作出几何解释.8. 已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin ),[,]222264x x x x a b xr r .（1）求a b r r 及；||a b r r；（2）求函数()()(||a b f x R a b r r r r 且0) 的最小值.参考答案例1 （略） 例2 （略） 例3 （略） 例4解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0； 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律. 例5解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.拓展提升1 提示：设(,)(0)b x y y r 33x y 221(0)x y y .2 提示：设点C 的坐标为(,)x y . 0AC BC u u u r u u u r 2(1)(1)0x x y ,∴0AC BC u u u r u u u r 122 y x ，∴甲是乙的充要条件.3 提示：经验证，知以a b r r 为对角线时，其长度较短，6a b p q r r u r r.4 (0,2)提示：点B 的坐标为(0,4)，设点C 的坐标为(,)x y ，则2OB BC u u u r u u u r，可求得点C的坐标为(0,2).5 )1,3( 提示：由函数 5422x x y 的图象按向量a平移,得到22x y 的图象，可得(1,3)a r；设(,)b m n r ，由a b r r 和4 c b得：304m n m n ，解之得3,1m n .6 解：2222|||2|||44||178cos c a b a a b b r r r r r r r （其中 为a r 与b r 的夹角）.∵0120 o, ∴1cos 12, 13||5c r , ∴||c r 的取值范围为13,5).7解：（1）2221||3|()3()(0)4k a kb ka b a kb ka b a b k kr r r r r r r r r r . ∴111()42a b k k r r ,此时1cos 2 ，23 .∴21(0)4k a b k k r r ，a b r r 的最大值为12 ，此时a r 与b r 的夹角 的值为23. （2）由题意，12a b r r ，故22213||1()24a b r r ，∴当12 时，||a b r r 的值最小，此时1||02a b b r r r ，这表明当1()2a b b r r r .8解：（1）333cos cos sin sin cos()cos 2222222x x x x x xa b x r r ； 223333|||(cos cos ,sin sin )|(cos cos )(sin sin )22222222x x x x x x x xa b r r 3322(coscos sin sin )22cos 22cos 2222x x x xx x .（2）cos 21()(cos )2cos 2cos xf x x xx, ∵[,]64x , ∴1cos 2cos x x是减函数，①当0 时，()f x 的最小值为()04f；②当0 时，()f x 的最小值为()6f.综上，当0 时，()f x 的最小值为0；当0 时，()f x .。

河南省淇县2020学年高一数学下学期 2.3.1《平面向量基本定理》导学案沪教版一、学习目标：1、理解平面向量基本定理；2、能够在具体问题中适当选取基底，使其他向量能够用基底来表达。

二、学前准备1、点C 在线段AB 上，且35AC AB --→--→= ，AC BC λ--→--→=,则λ等于（ ）A 、23B 、32C 、-23D 、-322、设两非零向量12,e e →→不共线，且12k e e →→+与12e k e →→+共线，则k 的值为（ ）。

.1.1.1.0A B C D -±3、已知向量12,e e →→，作出向量1223OA e e →→=+u u u r与122(3)OB e e →→=+-u u u r。

两个向量相加与物理学中的两个力合成相似，如果与力的分解类比，上述所作的OA uu u r分解成两个向量：在1e →方向上的____与在2e →方向上的______，OB uuu r则分解成_____与_____。

4、阅读课本P93—94，了解平面向量基本定理：如果12,e e →→是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的______向量a →，有且只有一对实数12,λλ，使_____________，其中不共线的向量12,e e →→叫做表示这一平面内所有向量的一组__________。

5、已知两个非零向量,a b →→，作,OA a OB b →→→→==，则()0180AOB θθ∠=︒≤≤︒叫做向量a →与b →的__________，若0θ=︒,则a →与b →_______；若180θ=︒,则a →与b →__________；若90θ=︒,则a →与b →_______，记作______。

三、典型例题如图所示，在平等四边形ABCD 中，AH=HD ，MC=14BC ，设,AB a AD b →→→→==，以,a b →→为基底表示,,AM MH MD →→u u u u r 。