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2.备课资料(3.2.1 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法)

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一元二次不等式及解法(一)上课讲义

一元二次不等式及解法(一)上课讲义

为
a 0
0
.
讲解范例:
变式. 1. 已知二次函数y＝(m－2)x2＋2(m－2)x＋4 的值恒大于零，求m的取值范围．
2. 已知一元二次不等式(m－2)x2＋2(m－2)x ＋4≤0 的解集为， 求m的取值范围．
课堂小结
求解一元二次不等式一般步骤：
1、变形：变为ax2+bx+c>0、即一端为零 且二次项系数化为正；
(2) x2－5x＋6≤0 (4)－x2＋2x－3＞0
学点二 含参数的不等式的解法
解关于x的不等式x2-(a+1)x+a>0.
【分析】由于涉及参数字母，要分类讨论. 【解析】原不等式整理得(x-a)(x-1)>0.
学点三 一元二次不等式解集的逆向思维
已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是
2、计算判别式
3、当 0 时解方程，求根：
4、写解集：
解集规则：小于在中间，大于在两边。 （当a>0时）
恒成立问题
不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立
a0 0
不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立
a0Leabharlann 0此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
xx或2
,求xa，1b2的 值.
【分析】由于不等式的解集已知，那么-2,- 就应是方
程ax2+bx+c=0的两根.
1
2
讲解范例:
例4. 已知一元二次不等式 (m－2)x2＋2(m－2)x＋4＞0的解集为R， 求m的取值范围．
结论：

3.2.1《一元二次不等式的解法》课件(北师大版必修5)

3.2.1《一元二次不等式的解法》课件(北师大版必修5)

(2)原不等式可化为 2x2－x＋6>0， ∵方程 2x2－x＋6＝0 的判别式 Δ＝(－1)2－4×2×6<0， ∴函数 y＝2x2－x＋6 的图像开口向上，与 x 轴无交点． ∴观察图像可得，不等式的解集为 R. (3)因为 4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2>0，
1 xx≠－ 所以原不等式的解集为 2 .

2

4．一元一次不等式：ax＞b，当a＞0时，解集 是 ；
b xx＜ a
b xx＞ a



当a＜0时，解集是 解集是 ； R 当a＝0，b≤0时，解集是
；当a＝0，b＞0时，
∅
.




1．一元二次不等式 一个 二次 一般地，含有 未知数，且未知数的最高 次数为 的不等式，叫做一元二次不等式． 使某个一元二次不等式 叫这 成立的x的值 个一元二次不等式的解． 一元二次不等式的 组成的集合，叫做 所有解 这个一元二次不等式的解集．
1．已知二次函数f(x)的两个零点分别为x1、x2 则f(x)＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ． 2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 当Δ<0时，没有 实数根；当Δ＝0时，有 两个相等 b 实数根x＝ ；当Δ>0时，有 －b± b －4ac 实 －2a 两个不等 2a 数根x＝ . {－1,3} 3．若y＝x2－2x－3，则当x∈ 时，y (－∞，－1)∪(3，＋∞) (－1,3) ＝0；当x∈ 时，y>0；当x∈ 时，y<0.
解析：

3.已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为 a＝－3， (1,2)，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的 即 ， b＝2 解集．

一元二次不等式及其解法_教学设计[修改版]

一元二次不等式及其解法_教学设计[修改版]

第一篇：一元二次不等式及其解法_教学设计《一元二次不等式及其解法（第1课时）》教学设计梁晓凤一内容分析本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。

一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合知识的巩固和运用具有重要的作用，也与后面的函数、数列、三角函数、线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关。

许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。

因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用。

二学情分析学生已经掌握了高中所学的基本初等函数的图象及其性质, 能利用函数的图象及其性质解决一些问题。

学生知道不等关系, 掌握了不等式的性质, 通过这部分内容的学习, 学生将学会利用二次函数的图象, 通过数形结合的思想, 掌握一元二次不等式的解法。

三教学目标1. 知识与技能目标: （1）熟练应用二次函数图象解一元二次不等式的方法（2）了解一元二次不等式与相应函数, 方程的联系2. 过程与方法: （1）通过学生已学过的一元一次不等式为例引入一元二次不等式的有关概及解法（2）让学生观察二次函数,在此基础上, 找到一元二次不等式的解法并掌握此解法（3）在学生寻找一元二次不等式的过中程中培养学生数形结合的数学思想3. 情感与价值目标: （1）通过新旧知识的联系获取新知，使学生体会温故而知新的道理（2）通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识，向学生逐步渗透辨证唯物主义思想。

（3）在教师的启发引导下，学生自主探究，交流讨论，培养学生的合作意识和创新精神。

四教学重点、难点1. 重点一元二次不等式的解法2. 难点理解二次函数、二次方程与一元二次不等式解集的关系五教学方法启发式教学法，讨论法，讲授法六教学过程1. 创设情景，提出问题（约10分钟）情景一：师：在初中，我们解过一元一次不等式，如解不等式x –1 > 0，现在请同学们先画出函数y = x –1 的图象，并通过观察图象回答以下问题: 1）x 为何值时，y = 0; 2）x 为何值时，y > 0; 3）x 为何值时，y < 0; 4）一元一次方程x –1 = 0的根能从函数y = x –1上看出来吗？5）一元一次不等式x –1 > 0的解集能从函数y = x –1上看出来吗？学生画图，思考。

高一数学人必修课件一元二次不等式及其解法

高一数学人必修课件一元二次不等式及其解法

常见错误类型及纠正方法
忽视不等式性质
在解一元二次不等式时，需要注 意不等式的基本性质，如不等式 的传递性、可加性等。忽视这些
性质可能导致错误的解集。
忽视定义域限制
在某些情况下，一元二次不等式 的定义域可能受到限制。忽视这 些限制可能导致错误的解集或无
解。
计算错误
在解一元二次不等式时，需要进 行因式分解、配方等计算步骤。 计算错误可能导致错误的解集或
确定解集
根据各区间内因式的符号，确定不等式的解 集。
03 一元二次不等式 在实际问题中应 用
区间内根存在性判断
判别式法
通过计算判别式$Delta = b^2 - 4ac$，判断一元二 次方程在指定区间内是否 有实根。
中点法
利用区间中点函数值的符 号，结合函数连续性，判 断一元二次方程在指定区 间内是否有实根。
例如，对于不等式 $x^2 - 2x - 3 < 0$，首先确定抛物线开口向上，然 后找出交点 $x_1 = -1, x_2 = 3$，最后根据开口方向和交点位置得出解 集为 $-1 < x < 3$。
05 一元二次不等式 与其他知识点联 系
一元二次方程、一元二次不等式和函数综合应用
一元二次方程与一元二次不等式的关系
一元二次函数与一元二次不等式关系
一元二次不等式的一般形式：$ax^2 + bx + c > 0$ 或 $ax^2 + bx + c < 0$。
一元二次不等式的解集与对应的一元二次函数的图像密切相关。当 $a > 0$ 时，抛物线开 口向上，不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ 的解集为 $x < x_1$ 或 $x > x_2$；当 $a < 0$ 时 ，抛物线开口向下，不等式 $ax^2 + bx + c < 0$ 的解集为 $x_1 < x < x_2$。

3.2.1一元二次不等式的解法 (2)

3.2.1一元二次不等式的解法 (2)

思考：若a<0时呢？
例3.解不等式 x2 5x 6 解: x2 5x 6
x2 5x 6 0 (5)2 41 6 1 0
方程 x2 5x 6 0 的解是
x1 2, x2 3
原不等式的解集是
x | 2 x 3.
变形 求判别式∆
求方程的根
结合口诀或图象得 出不等式的解集
{x|x≠ b } 2a
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
{x|x1< x <x2 }
Φ
△<0
y
y>0
x O 没有实根
R Φ
指导应用
例1.解不等式2x2 3x 2 0 .
解: 32 4 2 2 25 0 求判别式∆
方程2x2 3x 2 0 的解是
1 x1 2 , x2 2
对称轴： x b 2a
学习目标
1.了解一元二次不等式的概念； 2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函 数之间的关系； 3.会解一元二次不等式.
重点
一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系；
难点
一元二次不等式的解法.
自学导引
（时间：4分钟）
自学课本P76-P77，思考并解决以下问题：
求方程的根
原不等式的解集是
x
|
x
1 2
或x
2.
结合口诀或图象得 出不等式的解集
指导应用
例2.解不等式 x2 6x 9 0
解6x 9 0的解是
x1 x2 3
求方程的根
原不等式的解集是
x x 3
结合口诀或图象得 出不等式的解集
3.2.1 一元二次不等式的解法

一元二次不等式及其解法课件

一元二次不等式及其解法课件

学习目标
思
而
学
4．不等式－3x2＋5x－4>0 的解集为________.
∅ [原不等式变形为 3x2－5x＋4<0. 因为 Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以 3x2－5x＋4＝0 无解． 由函数 y＝3x2－5x＋4 的图象可知，3x2－5x＋4<0 的解集为∅ .]
合作探究
学
而
思
学习目标
思
而
学
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合 A ＝{x|x2－x－2＞0}，则∁R A ＝( )
A ．{x|－1＜x＜2}
B ．{x|－1≤x≤2}
C ．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D ．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
B [通解 A ＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1 或 x＞2}，所以∁R A ＝{x|－1≤x≤2}，故选 B . 优解 因为 A ＝{x|x2－x－2＞0}，所以∁R A ＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选 B .]
1
[解]
(1 )∵Δ> 0 ，方程
2 x 2 －3 x －2 ＝0
的根是
x
1
＝－ 2
，x
2
＝2
，
∴不等式 2x2－3x－2 >0 的解集为
xx
<
1 －
2
或x
>
2
.
(2)∵Δ＝0，方程 x2－4x＋4＝0 的根是 x1＝x2＝2，
∴不等式
x 2 －4 x ＋4 > 0
的解集为x
|x
≠2
.
合作探究
一元二次不等式的解法
例 1、解下列不等式：

一元二次不等式的概念与解法

一元二次不等式的概念与解法一元二次不等式是数学中的重要内容，它在实际问题中有着广泛的应用。

本文将介绍一元二次不等式的概念和解法，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。

一、一元二次不等式的概念一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的不等式，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。

与一元二次方程相似，一元二次不等式也由三个系数决定，其解集是使不等式成立的实数解的集合。

二、一元二次不等式的解法对于一元二次不等式，我们可以通过以下几个步骤来求解：1. 将不等式转化为一元二次方程首先，将不等式中的不等号改为等号，得到ax^2 + bx + c = 0。

这样，我们就可以通过求解一元二次方程的方法来求解不等式。

2. 确定一元二次方程的根确定一元二次方程的根，即求解方程ax^2 + bx + c = 0的解。

一元二次方程的解可以是实数根或复数根。

通过这一步骤，我们可以得到方程的根的情况，从而确定不等式的解的情况。

3. 根据一元二次方程的性质进行分类讨论根据一元二次方程的根的情况，我们可以进行分类讨论，从而确定不等式解的情况。

a) 实数根的情况：- 当方程有两个不相等的实数根时，解集为使不等式成立的实数区间。

- 当方程有两个相等的实数根时，解集为使不等式成立的实数区间中除去相等根的点。

b) 复数根的情况：- 当方程没有实数根，即有两个虚根时，表明不等式无解。

4. 绘制解集的数轴图根据分类讨论的结果，我们可以在数轴上绘制出解集，以便更直观地表示不等式的解的范围。

通过以上步骤，我们可以求解一元二次不等式，得到其解的范围。

需要注意的是，在解不等式的过程中，我们要充分考虑到一元二次方程的性质，尤其是判别式和因式分解等关键概念，以确保得到正确的解集。

总结：一元二次不等式是一元二次方程的一种推广形式，它具有重要的理论和实际应用价值。

通过将不等式转化为一元二次方程，确定方程的根，并根据根的情况进行分类讨论，我们可以求解一元二次不等式，得到其解的范围。

一元二次不等式的概念与解法

一元二次不等式的概念与解法在数学中，一元二次不等式是指形如ax²+bx+c>0（或ax²+bx+c<0、ax²+bx+c≥0、ax²+bx+c≤0）的不等式，其中a、b、c是已知实数，且a≠0。

一元二次不等式是解决实际问题和证明数学命题的重要工具。

本文将详细介绍一元二次不等式的概念与解法。

一、概念一元二次不等式是由一元二次方程演变而来的。

一元二次方程的标准形式为ax²+bx+c=0（a≠0）。

而一元二次不等式则是在二次方程的基础上引入了不等关系符号，使得方程的解不再是精确的数值，而是满足不等式条件的数值范围。

二、解法解一元二次不等式的过程主要分为三步：确定开口方向、求解零点、确定解集。

1. 确定开口方向首先，我们需要通过一元二次不等式的系数a的正负来确定开口的方向。

若a>0，则开口向上；若a<0，则开口向下。

2. 求解零点接下来，我们需要求解一元二次不等式对应的二次方程的零点。

通过求解二次方程ax²+bx+c=0，我们可以得到其两个零点x1和x2，即F(x1)=F(x2)=0。

3. 确定解集最后，我们需要根据一元二次不等式的不等关系符号，结合开口方向与零点的位置，确定解集的范围。

若一元二次不等式为ax²+bx+c>0（或ax²+bx+c≥0），则解集为F(x)>0（或F(x)≥0）。

开口向上时，解集为零点之间的区间；开口向下时，解集为零点之外的两个区间。

若一元二次不等式为ax²+bx+c<0（或ax²+bx+c≤0），则解集为F(x)<0（或F(x)≤0）。

开口向上时，解集为零点之外的两个区间；开口向下时，解集为零点之间的区间。

需要注意的是，解集中的符号与不等关系符号要严格对应，且解集可以用不等关系符号连接多个不等式，如F(x)>0并且F(x)<3。

一元二次不等式及其解法(1)

自学活动二：探究一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的关系.
阅读课本P77，理解其中的思想方法，结合相应二次函数图象解答下面的思考题和问题.
思考：（1）二次函数 的零点与一元二次方程 的根有什么关系？
（2）在函数 图象上任取一点P（x，y）观察当
P点在抛物线上移动时，随P的横坐标变化P的纵坐标有什么变化？
阅读课本P78完成程序框图，并自学例1例2总结解一般的一元二次不等式的步骤.
检测练习：
求下列不等式的解集：
（1） （2）
自主训练，达标检测，合作交流学案
目标导学
1、体会一元二次不等式与相应函数、方程的联系；
2、通过前面的自学，能熟练解一元二次不等式。
重点难点
重点：熟练规范的解一元二次不等式；
难点：理解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；
自学心得与质疑记录
学案内容
一、教材自学：
自学活动一：一元二次不等式的概念：
阅读课本P76，回答
问题1：如何用不等式表示一次上网ｘ小时时，选择公司A的上网费用小于或等于选择公司B所需费用？
A公司收费：B公司收费
不等关系
整理得：
问题2：观察上述不等式中未知数个数及未知数次数，你能否给出一元二次不等式的概念？
（3）二次函数 与一元二次不等式 的解有什么关系？
（4）不等式 的解集是什么？并解释它的实际问题意义。
（5）回顾上述思考过程，你是怎样得到不等式 的解集的？
学案内容
自学心得与质疑记录
问题3：一般地一元二次不等式 或 解与相应二次函数 、相应二次方程 有什么关系？
完成表格：
自学活动三：解一般的一元二次不等式
交流心得与
改错整理

3.2.1一元二次不等式的解法课件ppt(北师大版必修五)


(3)m＜0
3 1 时，原不等式变为x＋ x－ ＜0， m m
1 3 解得 ＜x＜－ .综上，m＝0 时，解集为 R； m m m＞0 m＜0
3 1 时，解集为x－ ＜x＜ m m 1 3 x ＜x＜－ 时，解集为 m m ； .
解 原不等式可变形为(x－a)(x－a2)＞0， 则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2， (1)当a＜0时，有a＜a2，∴x＜a或x＞a2， 此时原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}； (2)当0＜a＜1时，有a＞a2，即x＜a2或x＞a， 此时原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}； (3)当a＞1时，有a2＞a，即x＜a或x＞a2， 此时原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；
课前探究学习
课堂讲练互动
【训练3】 已知关于x的不等式ax2＋bx＋a2－1≤0的解集是 (－∞，－1]∪[2，＋∞)，求a，b的值．
解 由题意可知，a＜0，且－1,2 是方程 ax2＋bx＋a2－1＝0
的根， a＜0， －1＋2＝－b， a 所以 a2－1 －1×2＝ ， a
课前探究学习
课堂讲练互动
自学导引
一元二次不等式的有关概念 1． ax2＋bx＋c＞0(≥0) ax2＋bx (1)一元二次不等式：形如__________________或________ ____________________的不等式叫做一元二次不等式． ＋c＜0(≤0)(其中a≠0) (2)一元二次不等式的解：一般地，使某个一元二次不等式 x的值 成立的______叫这个一元二次不等式的解． 所有解 (3)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的_______组 成的集合，叫做一元二次不等式的解集．
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备课资料
一、备用习题
1.解不等式x+2＞3x
2.
解：原不等式等价于3x 2 －x －2＜0,
解方程3x 2－x －2=0得两根：321-=x ，x 2=1.∴原不等式的解集为（3
2-，1）. 2.解下列不等式：
（1）2+3x －2x 2＜0；（2）－x 2+2x －3x ＞0；（3）x 2－4x+4＞0.
解:（1）原不等式等价于2x 2-3x-2＞0.
由2x 2－3x －2=0得2
11-
=x ，x 2=2. ∴原不等式的解集是(-∞,21-)∪(2,+∞). （2）原不等式等价于:x 2-2x+3＜0.
由Δ=(-2)2-4×1×3＜0，知原不等式解集为∅.
（3）Δ=(-4)2-4×4=0，方程x 2-4x+4=0有等根x 1=x 2=2，
∴原不等式的解集为{x|x ∈R ，且x≠2}.
点评:1.要严格按“解法步骤”求解.
2.最后要用集合表示法表出解集.如本例（1）用区间表示出解集；本例（3）用大括号表示解集，
该题的解集也可用区间表为(-∞,2)∪(2,+∞)，但有的同学把第（3）题的解集表示为x≠2，这是错误的.
二、阅读材料
法国数学家韦达
韦达，1540年出生在法国东部的普瓦图的韦特奈.他早年学习法律，曾以律师身份在法国议会里工作，韦达不是专职数学家，但他非常喜欢在政治生涯的间隙和工作余暇研究数学，并作出了很多重要贡献，成为那个时代最伟大的数学家.
在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码.韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步.韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）.
韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进.他在1591年所写的《分析术引论》是最早的符号代数著作.是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用.他还写下了《数学典则》，1579年，韦达出版《应用于三角形的数学定律》.这是欧洲第一本使用六种三角函数的系统的平面、球面三角学.主要著作还有《论方程的识别与修正》《分析五章》等.韦达的著作以独特形式包含了文艺复兴时期的全部数学内容.只可惜韦达著作的文字比较晦涩难懂，在当时不能得到广泛传播.在他逝世后，才由别人汇集整理并编成《韦达文集》于1646年出版.
韦达1603年卒于巴黎，享年63岁.由于韦达作出了许多重要贡献，成为16世纪法国最杰出的数学家，在欧洲被尊称为“代数学之父”.
中国在一元二次方程方面的成就
从“九章算术”卷八说明方程以后，在数值代数的领域内中国一直保持了光辉的 成就.
“九章算术”方程章首先解释正负术是确切不移的，正像我们现在学习初等代数时从正负
数的四则运算学起一样，负数的出现更丰富了数的内容.我们古代的方程在公元前1世纪的时候已有多元方程组、一元二次方程及不定方程几种.一元二次方程是借用几何图形而得到证明.不定方程的出现在二千多年前的中国是一个值得重视的课题，这比我们现在所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年.具有x3+px2+qx=A和x3+px2=A形式的三次方程，中国在公元七世纪的唐代王孝通“缉古算经”已有记载，用“从开立方除之”而求出数字解答(可惜原解法失传了)，不难想象王孝通得到这种解法时的愉快程度，他说谁能改动他著作内的一个字可酬以千金.11世纪的贾宪已发明了和霍纳(1786~1837)方法相同的数字方程解法，我们也不能忘记13世纪中国数学家秦九韶在这方面的伟大贡献.在世界数学史上对方程的原始记载有着不同的形式，但比较起来不得不推中国天元术的简洁明了.四元术是天元术发展的必然产物.级数是古老的东西，二千多年前的“周髀算经”和“九章算术”都谈到算术级数和几何级数.14世纪初中国元代朱世杰的级数计算应给予很高的评价，他的有些工作欧洲在十八九世纪的著作内才有记录.11世纪时代，中国已有完备的二项式系数表，并且还有这表的编制方法.历史文献揭示出在计算中有名的盈不足术是由中国传往欧洲的.内插法的计算，中国可上溯到6世纪的刘焯，并且7世纪末的僧一行有不等间距的内插法计算.
14世纪以前，属于代数方面许多问题的研究，中国是先进国家之一.就是到十八九世纪由李锐(1773～1817)，汪莱(1768~1813)到李善兰(1811～1882)，他们在这一方面的研究上也都发表了很多的名著.。