最新2014年全国高考理科数学二模试题及答案-广东卷

图1俯视图侧视图正视图2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 2．若函数()y f x =是函数3x y =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A ．2log 3- B ．3log 2- C ．19D3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤ 4. 将函数()2cos 2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为 A ．16 B ．13CD7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+D CB A 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则A E A F ⋅的值 为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦， 当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且 12A E EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则 △AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，BD =(1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.图2FED CBAa 图3重量/克0.0320.02452515O 一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45， 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分） 如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图4已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E .(1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个 定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值； （2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+.2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，3BD =，∴222cos 2AB AD BD A AB AD+-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分 （2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin A ==.……………6分 ∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分 解得BC=……………10分 由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分 ∴1sin sin 33AB AC BC⋅===. ……………12分17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==， ∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1= ∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM = ……………3分 在△AME 中，AE =1AM =，EM =M OH FEDCB∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ， 则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =.∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,ABBC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EOBD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分 在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠== ……………13分 ∴直线AE 与平面BDE……………14分 证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ， 则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH ==. ……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥. ∵FH BC ⊥，,ABBC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -.∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分 设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ，则sin θ=cos ,n AE⋅=n AE n AE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ== ……………13分∴直线AE 与平面BDE ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分 即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分 当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分 ①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=. ……………13分 ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分 解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,2422k x k ±==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分 令1y =-，得1822x x =-+， ∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分 ∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分 ∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x k x x -+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=. ks5u 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=. ……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增， ks5u 故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2x f x x =-. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分 令()ln 2x k g x x x =-+，则()222112222k x x kg x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<， 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x =<=>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<，ks5u 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分 综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x -+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分又ln 0x x >， 从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分 111121n n =+--+ ……………13分 223222n n n n--=+. ……………14分。

最新2014年全国高考理科数学二模试题及答案-理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。

考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题 （1）复数131ii-+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i - （2）已知集合{A =，{1,}B m =，A B A = ，则m =（A ）0（B ）0或3 （C ）1（D ）1或3 （3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y +=（4）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B（C（D ）1 （5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前100项和为 （A ）100101 （B ）99101（C ）99100 （D ）101100（6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a = ，CA b = ，0a b ⋅= ，||1a = ，||2b = ，则AD =（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b -（7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos2α=（A ）3-（B ）9- （C ）9 （D ）3（8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45（9）已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << （10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种 （12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==。

数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1}M =-,{0,1,2}N =,则M N = ( ) A .{0,1} B .{1,0,2}- C .{1,0,1,2}-D .{1,0,1}- 2.已知复数z 满足(34i)25z +=,则z =( )A .34i -+B .34i --C .34i +D .34i -3.若变量x ,y 满足约束条件,1,1,y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ,则m n -= ( )A .5B .6C .7D .84.若实数k 满足9k 0＜＜,则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 ( )A .焦距相等B .实半轴长相等C .虚半轴长相等D .离心率相等5.已知向量(1,0,1)=-a ,则下列向量中与a 成60夹角的是( )A .(1,1,0)-B .(1,1,0)-C .(0,1,1)-D .(1,0,1)-6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A .200,20B .100,20C .200,10D .100,10 7.若空间中四条两两不同的直线1l ,2l ,3l ,4l ,满足12l l ⊥,23l l ⊥,34l l ⊥,则下列结论一定正确的是( )A .14l l ⊥B .14l l ∥C .1l 与4l 既不垂直也不平行D .1l 与4l 的位置关系不确定8.设集合12345{(,,,,)|{1,0,1},1,2,3,4,5}i A x x x x x xi =∈-=,那么集合A 中满足条件“12345||||||||||3x x x x x ++++1≤≤”的元素个数为( )A .60B .90C .120D .130二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. （一）必做题（9～13题）9.不等式|1||2|x x -++≥5的解集为 . 10.曲线52x y e -=+在点(0,3)处的切线方程为 .11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为 .12.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知cos cos 2b C c B b +=,则ab= . 13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且510119122e a a a a +=,则1220ln ln ln =a a a +++… .（二）选做题（14-15题,考生只能从中选做一题）姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为 . 15.（几何证明选讲选做题）如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在AB 上且2EB AE ＝,AC 与DE 交于点F ,则CDF AEF ∆=∆的面积的面积 .三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数π()sin()4f x A x =+,x ∈R ,且5π3()122f =.（Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）若3()()2f f θθ+-=,π(0,)2θ∈,求3π()4f θ-.17.（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件）,获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组 频数 频率 [25,30] 3 0.12 (30,35] 5 0.20 (35,40] 80.32(40,45] 1n 1f (45,50]2n2f（Ⅰ）确定样本频率分布表中1n ,2n ,1f 和2f 的值； （Ⅱ）根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图；（Ⅲ）根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率.18.（本小题满分13分）如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,30DPC ∠＝,AF PC ⊥于点F ,FE CD ∥,交PD 于点E .（Ⅰ）证明：CF ⊥平面ADF ； （Ⅱ）求二面角D AF E --的余弦值.19.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21234n n S na n n +=--,*n ∈N ,且315S =. （Ⅰ）求1a ,2a ,3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式.20.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为,离心率为3.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.21.（本小题满分14分）设函数()f x =,其中2k <-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （Ⅱ）讨论函数()f x 在D 上的单调性；（Ⅲ）若6k <-,求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）答案解析{1,0,1,2}M N =-在点(1,1)--处目标函数分别取得最小值3n =-，则6m n -=，故选B.【解析】09k <<(9)34k -=-【提示】根据k 的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及221)(1,1,0)(1)1--+22221)(1,1,0)1(1)0-=+-+221)(0,1,1)1(1)-+-221)(1,0,1)1(1)-+-【提示】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论2000)2%200=20002%50%20=可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图可得出结论，14l l ，的位置关系不确定.。

试卷类型：A广东省湛江市2014届高三高考模拟测试（二）数学（理科）2014.04.15本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。

用2B铅笔将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上。

在答题卡右上角“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考试结束后，将试题与答题卡一并交回。

参考公式：，其中为样本容量。

参考数据：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．一个几何体的正视图、侧视图、和俯视图形状都相同，大小均相等，则这个几何体不可以是A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱3．已知，则、、的大小关系是A．B．C．D．4．下列命题正确的是A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行5．已知向量，则的充要条件是A．B．C．D．6．已知双曲线的离心率为2，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．7．已知实数、满足不等式组，且恒成立，则的取值范围是A．B．C．D．8．对于任意两个正整数，定义某种运算“※”，法则如下：当都是正奇数时，※=；当不全为正奇数时，※=。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理科数学及参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A.{1,0,1}-B.{1,0,1,2}-C.{1,0,2}-D.{0,1}2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z= A.34i -B.34i +C.34i --D.34i -+3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.8B.7C.6D.54．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是 A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定小学生 3500名初中生4500名 高中生 2000名小学初中30 高中10 年级50 O近视率/%8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

2014年广东省湛江市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】解：复数==1+i，在复平面内的对应点为（1，1），故选A．利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质化简复数，找出它在复平面内的对应点坐标．本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数；复数与复平面内对应点之间的关系．2.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱【答案】D【解析】解：A、球的三视图均为圆，且大小均等；B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为三角形且形状都相同；C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形．故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱．故选D．利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题3.已知a=2log52，b=211，c=（）-0.8，则a、b、c的大小关系是（）A.c＜b＜aB.a＜c＜bC.a＜b＜cD.b＜c＜a【答案】B【解析】解：2log52＜1，1＜=20.8＜211，∴a＜c＜b．故选：B．分别判断a，b，c的取值范围即可得到结论．本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．4.下列命题正确的是（）A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选C．利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题．5.已知向量=（1，2），=（-2，1），则（λ+）⊥（-λ）的充要条件是（）A.λ∈RB.λ=0C.λ=2D.λ=±1【答案】A【解析】解：（λ+）⊥（-λ）⇔=，∵，=，，∴5λ-5λ+（1-λ2）×0=0，即0=0，而此式恒成立，因此λ∈R．故选：A．利用（λ+）⊥（-λ）⇔=0，再利用数量积运算及其性质即可得出．本题考查了向量垂直与数量积的关系、数量积运算及其性质，属于基础题．6.已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）A.y=±B.y=±C.y=±D.y=±【答案】D【解析】解：∵抛物线y2=16x的焦点坐标为F（4，0），双曲线一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，∴双曲线右焦点为F（4，0），得c=2∵双曲线的离心率为2，∴=2，得c=2a=2，a=1，由此可得b==，∵双曲线的渐近线方程为y=x∴已知双曲线的渐近线方程为y=x故选D由抛物线的标准方程，得焦点坐标为F（4，0），也是双曲线的右焦点，得c=4．根据双曲线的离心率为2，得a=c=1，从而得到b=，结合双曲线的渐近线方程公式，可得本题的答案．本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了抛物线和双曲线的简单几何性质等知识，属于基础题．7.已知实数x、y满足不等式组，且ax+by≤1，（a＞0，b＞0）恒成立，则a+b的取值范围是（）A.（0，4]B.（0，]C.（0，2）D.[，+∞）【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的可行域如图，为三角形AOB及其内部．其中B（1，0），A（0，2）作直线：ax+by=0∵a＞0，b＞0，∴直线ax+by=0经过2，4象限，那么z=ax+by最优解为B（1，0）或A（0，2）或线段AB．∵ax+by≤1∴将B（1，0）代入，a≤1，即A（0，2）代入得2b≤1，b≤∴0＜a+b≤即a+b的取值范围是（0，]，故选：B．画出不等式组表示的平面区域，判断出区域的形状，求出a，b的范围，进一步求出a+b 的范围．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．8.对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”，法则如下：当m，n都是正奇数时，m※n=m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=16，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是（）A.7B.11C.13D.14【答案】C【解析】解：由题意，当m，n都是正奇数时，m※n=m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n=mn；若a，b都是正奇数，则由a※b=16，可得a+b=16，此时符合条件的数对为（1，15），（3，13），…（15，1）满足条件的共8个；若m，n不全为正奇数时，m※n=mn，由a※b=16，可得ab=16，则符合条件的数对分别为（1，16），（2，8），（4，4），（8，2），（16，1）共5个；故集合M={（a，b）|a※b=16，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是13．故选：C．由所给的定义，对a※b=16，a∈N*，b∈N*进行分类讨论，分两个数都是正奇数，与两个数不全为正奇数，两类进行讨论，即可确定出元素的个数本题考查元素与集合关系的判断，正确解答本量题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举，本题属于基本题，二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)9.等比数列{a n}中，a3=4，a7=16，则a5= ______ ．【答案】8【解析】解：等比数列{a n}中，∵a3=4，a7=16，∴，∴q4=4，q2=2，a1=2，∴a5==2•22=8．故答案为：8．由已知条件推导出，由此能求出a5．本题考查等比数列的第5项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式的求法．10.阅读如图所示的程序框图，若输入i=5，则输出的k值为______ ．【答案】3【解析】解：由程序框图知：若输入i=5，第一次循环i=3×5+1=16＜150，k=0+1=1；第二次循环i=3×16+1=49＜150，k=1+1=2；第三次循环i=49×3+1=148＜150，k=2+1=3；第四次循环i=148×3+1=445＞150，输出k=3．故答为：3．根据框图的流程依次计算运行的结果，直到满足条件i＞150，确定k的值．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法．11.某单位有7个连在一起的停车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有______ 种．【答案】24【解析】解：把4个空车位捆绑在一起，当一个元素，与需要停放的3辆车做全排列，即=4×3×2×1=24，故答案为：24．把4个空车位捆绑在一起，当一个元素，与需要停放的3辆车做全排列，即可得到结论．本题考查排列知识，考查捆绑法的运用，属于基础题．12.在长为6cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于8cm2的概率为______ ．【答案】【解析】解：设AC=x，则CB=6-x，则矩形的面积S=x（6-x），由x（6-x）＞8，得x2-6x+8＜0，解得2＜x＜4，根据几何概型的概率公式可得所求的概率P=，故答案为：求出矩形面积大约8的等价条件，根据几何概型的概率公式即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率的计算，利用条件求出矩形面积大于8cm2的等价条件是解决本题的关键．13.若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[-1，1]时，f（x）=1-x2；函数g（x）=lg|x|，则函数y=f（x）与y=g（x）的图象在区间[-6，6]内的交点个数共有______ 个．【答案】10【解析】解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）∴函数y=f（x）是以2为周期的周期函数∵g（-x）=lg|-x|=lg|x|=g（x），∴y=g（x）是偶函数作出函数y=f（x）与y=g（x）的图象在区间|-6，6|内的图象，可得共有10个交点故答案为：10．根据函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），可得函数y=f（x）是以2为周期的周期函数，根据g（-x）=lg|-x|=lg|x|=g（x），可得y=g（x）是偶函数，作出函数y=f （x）与y=g（x）的图象在区间|-6，6|内的图象，即可得到结论．本题考查函数的性质，考查数形结合的数学思想，正确运用函数的性质是关键．14.极坐标系中，圆O：ρ2+2ρcosθ-3=0的圆心到直线ρcosθ+ρsinθ-7=0的距离是______ ．【答案】4【解析】解：圆O：ρ2+2ρcosθ-3=0即（x+1）2+y2=4，表示以（-1，0）为圆心、半径等于2的圆．直线ρcosθ+ρsinθ-7=0即x+y-7=0，故圆心到直线的距离为=4，故答案为：4．把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心和半径，再利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离．本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．三、解答题(本大题共7小题，共92.0分)15.如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆O的切线l，则点A到直线l的距离AD= ______ ．【答案】【解析】解：∵圆O的直径AB=6，BC=3∴∠BAC=30°，线段AC=3，又∵直线l为圆O的切线，∴∠DCA=∠B=60°∴AD=．故答案为：．由已知中，圆O的直径AB=6，BC=3，根据圆周角定理的推论2，我们易判断出△ABC 是∠BAC=30°的直角三角形，又由直线l为圆O的切线我们结合弦切角定理，易得到△ACD是∠DCA=60°的直角三角形，根据直角三角形的性质，即可得到答案．本题主要考查了圆的切线的性质定理以及解三角形的知识，属于基础题．16.已知函数f（x）=．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递减区间．【答案】解：（1）由sinx≠0得x≠kπ（k∈Z），故求f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．∵f（x）==2cosx（sinx-cosx）=sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1∴f（x）的最小正周期T==π．（2）∵函数y=sinx的单调递减区间为[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）∴由2kπ+≤2x-≤2kπ+，x≠kπ（k∈Z）得kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z）∴f（x）的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]（k∈Z）【解析】（1）由sinx≠0可得x≠kπ（k∈Z），将f（x）化为f（x）=sin（2x-）-1即可求其最小正周期；（2）由（1）得f（x）=sin（2x-）-1，再由2kπ+≤2x-≤2kπ+，x≠kπ（k∈Z）即可求f（x）的单调递减区间．本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的单调性，注重辅助角公式的考察应用，求得f（x=sin（2x-）-1是关键，属于中档题．17.某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，吴老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教学实验．为了解教学效果，期末考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如图所示．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．（1）在乙班样本的20个个体中，从不低于80分的成绩中随机抽取2个，记随机变量ξ为抽到“成绩优秀”的个数，求ξ的分布列及数学期望Eξ；（2）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀”与教学方式有关？【答案】解：（1）由题意得ξ=0，1，2…．（1分）P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，…．（4分）∴ξ的分布列为：Eξ==．…．（6分）根据列联表中的数据，K2=≈3.137．由于3.137＞2.706，∴有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．…．（12分）【解析】（1）由题意得ξ=0，1，2，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），由此能求出ξ的分布列和Eξ．（2）由已知数据能完成2×2列联表，据列联表中的数据，求出K2≈3.137＞2.706，所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查2×2列联表的应用，是中档题，在历年高考中都是必考题型．18.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ACB=90°，EA ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，AB=2EF ．（1）若M 是线段AD 的中点，求证：GM ∥平面ABFE ；（2）若AC=BC=2AE=2，求二面角A-BF-C 的余弦值．【答案】（1）证明：∵EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，∠ACB=90°， ∴∠EGF=90°，△ABC ∽△EFG ．…．（2分） ∵AB=2EF ，∴BC=2FG ，连结AF ，FG ∥BC ，FG=，…．（3分） 在平行四边形ABCD 中，M 是线段AD 的中点， ∴AM ∥BC ，且AM=BC ，…．（4分）∴FG ∥AM ，且FG=AM ，∴四边形AFGM 为平行四边形，∴GM ∥FA ， 又FA ⊂平面ABFE ，GM 不包含于平面ABFE ， ∴GM ∥平面ABFE ．…（6分） （2）解：∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°， 又EA ⊥平面ABCD ，∴AC ，AD ，AE 两两垂直．分别以AC ，AD ，AE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ．…．（7分） 则由题意知A （0，0，0），B （2，-2，0）， C （2，0，0），D （0，0，1）…．（8分） ∴ =（2，-2，0）， =（0，2，0）， 又EF=，∴F （1，-1，1）， =（-1，1，1）． 设平面BFC 的法向量 =（x ，y ，z ）， 则， 取x =1，得 =（1，0，1）…．（10分）设平面ABF 的法向量 =（x 1，y 1，z 1），则， 取x 1=1，得 =（1，1，0）．…．（12分） ∴cos ＜ ， ＞= =，故二面角A-BF-C的余弦值为．…．（14分）【解析】（1）由已知条件推导出∠EGF=90°，△ABC∽△EFG，连结AF，推导出四边形AFGM 为平行四边形，由此能证明GM∥平面ABFE．（2）分别以AC，AD，AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出二面角A-BF-C的余弦值．本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0，且a2，a5，a14分别是等比数列{b n}的b2，b3，b4．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}对任意自然数n均有=a n+1成立，求c1+c2+…+c2014的值．【答案】解：（Ⅰ）∵a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d，∵a2，a5，a14成等比数列，∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得d=2，∴a n=1+（n-1）×2=2n-1；又b2=a2=3，b3=a5=9，∴q=3，b1=1，∴b n=3n-1．（Ⅱ）∵++…+=a n+1，∴=a2，即c1=b1a2=3，又++…+=a n（n≥2），∴=a n+1-a n=2（n≥2），∴c n=2b n=2•3n-1（n≥2），∴c n=，．∴c1+c2+...+c2014=3+2×3+2×32+...+2×32013 =3+2×（3+32+ (32013)=3+2×=32014．【解析】（Ⅰ）依题意，a2，a5，a14成等比数列⇒（1+4d）2=（1+d）（1+13d），可求得d，继而可求得数列{a n}的通项公式；由b2=a2=3，b3=a5=9，可求得q与其首项，从而可得数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n-1，b n=3n-1，由++…+=a n+1，可求得c1=b1a2=3，=a n+1-a n=2（n≥2），于是可求得数列{c n}的通项公式，继而可求得c1+c2+…+c2014的值．本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式，考查逻辑思维与综合分析、运算能力，属于难题．20.如图，点P（0，-1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．【答案】解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2．∴椭圆C1的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx-1．又圆：的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．∴|AB|==．又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，∴|PD|=．∴三角形ABD的面积S△==，令4+k2=t＞4，则k2=t-4，f（t）===，∴S△=，当且仅，即，当时取等号，故所求直线l1的方程为．【解析】（1）由题意可得b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx-1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|，又l2⊥l1，可得直线l2的方程为x+kx+k=0，与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值．本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力．21.已知函数f（x）=x2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e2时，有＜＜．【答案】解：（Ⅰ）由题意可知函数的定义域为（0，+∞），求导数可得f′（x）=2xlnx+x2•=2xlnx+x=x（2lnx+1），令f′（x）=0，可解得x=，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：所以函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）（Ⅱ）证明：当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）-t，x∈[1，+∞），由（Ⅰ）可知，h（x）在区间（1，+∞）单调递增，h（1）=-t＜0，h（e t）=e2t lne t-t=t （e2t-1）＞0，故存在唯一的s∈（1，+∞），使得t=f（s）成立；（Ⅲ）证明：因为s=g（t），由（Ⅱ）知，t=f（s），且s＞1，从而====，其中u=lns，要使＜＜成立，只需＜＜，即2＜＜，即2＜2+＜，只需＜＜，变形可得只需0＜lnu＜，当t＞e2时，若s=g（t）≤e，则由f（s）的单调性，有t=f（s）≤f（e）=e2，矛盾，所以s＞e，即u＞1，从而lnu＞0成立，另一方面，令F（u）=lnu-，u＞1，F′（u）=，令F′（u）=0，可解得u=2，当1＜u＜2时，F′（u）＞0，当u＞2时，F′（u）＜0，故函数F（u）在u=2处取到极大值，也是最大值F（2）=ln2-1＜0，故有F（u）=lnu-＜0，即lnu＜，综上可证：当t＞e2时，有＜＜成立．【解析】（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），求导数令f′（x）=0，可解得x=，由导数在（0，），和（，+∞）的正负可得单调性；（Ⅱ）当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）-t，x∈[1，+∞），由（Ⅰ）可得函数h（x）的单调性，可得结论；（Ⅲ）令u=lns，原命题转化为0＜lnu＜，一方面由f（s）的单调性，可得u＞1，从而lnu＞0成立，另一方面，令F（u）=lnu-，u＞1，通过函数的单调性可得极值最值，进而得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及极值的求解和不等式的证明，属中档题．。

2014年全国普通高等学校招生统一考试理科（广东卷）数学试题1、【题文】已知集合，，则（）A．B．C．D．2、【题文】已知复数满足，则（）A．B．C．D．3、【题文】若变量、满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则（）A．B．C．D．4、【题文】若实数满足，则曲线与曲线的（）A．离心率相等B．虚半轴长相等C．实半轴长相等D．焦距相等5、【题文】已知向量，则下列向量中与成的是（）A．B．C．D．6、【题文】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．，B．，C．，D．，7、【题文】若空间中四条直线两两不同的直线、、、，满足，，，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．、既不平行也不垂直D．、的位置关系不确定8、【题文】设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（）A．B．C．D．9、【题文】不等式的解集为 .10、【题文】曲线在点处的切线方程为 .11、【题文】在中，角、、所对应的边分别为、、，已知，则 .12、【题文】若等比数列的各项均为正数，且，则.13、【题文】（几何证明选讲选做题）如图，在平行四边形中，点在上且，与交于点，则 .14、【题文】已知函数，，且.（1）求的值；（2）若，，求.15、【题文】随机观测生产某种零件的某工厂名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率（1）确定样本频率分布表中、、和的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取人，至少有人的日加工零件数落在区间的概率.16、【题文】如图4，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.17、【题文】设数列的前项和为，满足，，且. （1）求、、的值；（2）求数列的通项公式.18、【题文】已知椭圆的一个焦点为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.19、【题文】设函数，其中. （1）求函数的定义域（用区间表示）；（2）讨论函数在上的单调性；（3）若，求上满足条件的的集合（用区间表示）.。

2014年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）若复数z 满足i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ）．A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i【答案】A【解答】解：∵复数z 满足i 2z =，∴222i2i i i z ===-， 故它的虚部为2-， 故选A ．2．（5分）若函数()y f x =是函数3x y =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）．A ．2log 3-B ．3log 2-C ．19D 【答案】B【解答】解：∵函数()y f x =是函数3x y =的反函数， ∴3()log y f x x ==， ∴3311log log 222f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故选B ．3．（5分）命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是（ ）．A ．存在0x ∈R ，使得3200x x > B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤【答案】C【解答】解：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，∴命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是：存在0x ∈R ，使得3200x x ≤．故选C ．4．（5分）将函数()cos2()f x x x x =+∈R 的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()y g x =，则函数()y g x =（ ）．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数【答案】B【解答】解：函数π()2cos22sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，图象向左平移π6个单位得到函数()y g x =的图象，所以函数π()2sin 22cos22g x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴函数()y g x =是偶函数．故选B ． 5．（5分）有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是（ ）．A ．16B ．13C ．12D ．38【答案】C【解答】解：两张卡片排在一起组成两位数的基本事件有(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，(2,0)，(3,0)共6种，其中所组成的两位数为奇数有(1,3)，(2,1)，(3,1)共3种， 所以所组成的两位数为奇数的概率是3162=． 故选C ．6．（5分）设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（ ）．ABC ．13D ．16【答案】A【解答】解：∵线段1PF 的中点在y 轴上， 设P 的横坐标为x ，1,(0)F c -， ∴0c x -+=， ∴x c =；∴P 与2F 的横坐标相等， ∴2PF x ⊥轴， ∵1230PF F ∠=︒，∴2112PF PF =，∵122PF PF a +=，∴223PF a =，2121223tan 2a PF PF F F F c ∠===∴ac∴c e a =． 故选A ． 7．（5分）一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）．正视图侧视图俯视图A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+【答案】A【解答】解：由三视图知：几何体是半圆柱与三棱锥的组合体， 半圆柱的高为3，底面半径为2；三棱锥的高为2，底面三角形的两直角边长分别为3，4．∴几何体的体积2111342π2346π322V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选A ．8．（5分）将正偶数2，4，6，8， 按表的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为（ ）．A ．257253【答案】C【解答】解：∵20141612527=⨯+⨯，201482522=⨯-，∴可以看作是1252⨯行，再从251行数7个数，也可以看作252行再去掉2个数，也就是2014在第252行第2列．即252i =，2j =， 所以2522254i j +=+=，故选C ．二、填空题：本大题共5小题，9～13题为必做题，14～15为选做题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．9．（5分）不等式2210x x -<-的解集为__________． 【答案】1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【解答】解：不等式2210x x -<-化为(21)(1)0x x +-<，解得112x -<<．∴不等式2210x x -<-的解集为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭．10．（5分）已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为__________．【答案】8【解答】解：∵312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为341(C 21)rn r r n r r n T x --+⋅-⋅=⋅，展开式的常数项是第7项，∴3460n -⨯=，解得8n =，故答案为8．11．（5分）已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2DE EC = ，2CF FB = ，则AE AF ⋅的值为__________． 【答案】2a【解答】解：∵2DE EC = ， ∴2233DE DC AB == ，又∵2CF FB = ， ∴1133BF BC AD == ， ∴23AE AD DE AB AD =+=+ ，∴13AF AB BF AB AD =+=+ ， ∴2133AE AF AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭222111339AB AD AB AD =++⋅2221033a a =++ 2a =．故答案为：2a ．FCBA12．（5分）设x ，y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪⎩≥≤≥≥若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab的最大值为__________． 【答案】4【解答】解：由(0,0)z ax by a b =+>>得a zx b b=-+，∵0a >，0b >， ∴直线的斜率0ab-<，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得a z x b b =-+，由图象可知当直线a z x b b =-+经过点A 时，直线a zx b b=-+的截距最大，此时z最大．由220840x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩，即(1,4)A ，此时目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为8， 即48a b +=，∴84a b =+=≥2， 即4ab ≤，当且仅当44a b ==，即4a =，1b =时取等号． 故答案为：4．13．（5分）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如 1.52[]-=-，[1.5]1=．设函数()[[]]f x x x =，当*0,)[)(x n n ∈∈N 时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为__________．【答案】21(2)2n n -+【解答】解：∵0,)0,1)1,2)2,3)[[[[,[1)n n n =- ， 当1)[0,x ∈，[[]][00]x x x =⋅=，只有1个， 当2)[1,x ∈，[[]][]1x x x ==，只有1个， 当3)[2,x ∈，{}[[]][2]4,5x x x =∈，有2个， 当4)[3,x ∈，{}[[]][39,10,11]x x x ∈=，有3个， ，当,)[1x n n ∈-，{}2221)1)1,(1)2,,(1)[[]][(1)]1(,(x x n n n n n x n ∈--=+-+--- ，有2(1)(1)1n n n n ---=-个，∴所有A 中的元素个数为2111234(1)(2)2n n n ++++++--=+ ，故答案为：21(2)2n n -+．选做题（坐标系与参数方程选做题）（14～15题，考生从中选做一题）14．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，直线x a t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数）与圆1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为__________． 1【解答】解：圆的参数方程1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）化为普通方程是22(1)1x y -+=，直线的参数方程x a ty t =-⎧⎨=⎩（t 为参数）化为普通方程是x y a +=；直线与圆相切，则圆心(1,0)C 到直线的距离是d r =，1=；解得|1|a -∴1a =，或1a = ∵切点在第一象限，∴1a =；1．三、选做题（几何证明选讲选做题）（14～15题，考生从中选做一题）15．在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接DE ，AC ，AC 与DE 相交于点F ，若AEF △的面积为21cm ，则AFD △的面积为__________2cm ． 【答案】3【解答】解：如图所示FECBAD根据题意，得；∵12AE EB =，∴13AE AE AB CD ==； ∵AE DC ∥， ∴AFE CFD △∽△，∴13AF CF =， ∴14AF AC =； ∴1sin 111213412sin 2AEF ABCAE AF EAFS AE AF S AB AC AB AC BAC ⋅⋅⋅∠==⋅=⨯=⋅⋅⋅∠△△；∴112AEF CDAS S =△△， 又∵219AEF CDF S AE S CD ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，∴13AEF AFD S S =△△， 即233(c )m AFD AEF S S ==△△．故答案为：3．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）如图，在ABC △中，D 是边AC 的中点，且1AB AD ==，BD =． （1）求cos A 的值． （2）求sin C 的值．CBAD【答案】见解析．【解答】解：（1）在ABD △中，1AB AD ==，BD =， ∴22241113cos 22113AB AD BD A AB AD +-+-===⋅⨯⨯；（2）由（1）知，1cos 3A =，且0πA <<，∴sin A ∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==，在ABC △中，2222141cos 243AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅，解得：BC ， 由正弦定理sin sin BC ABA C=得，1sin sin AB A C BC ==．17．（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图． （1）求a 的值．（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值．（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为1,2,3,(,)i x i n = ，则样本数据的平均值为112233n n x p x p x p x p =++++ ．）（3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(5,15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．a 重量/克【答案】见解析．【解答】解：（1）由题意，得(0.020.0320.018)101a +++⨯=， 解得0.03a =．（2）50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.18424.6x =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）． 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（3）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(5,15]内的概率为0.2， 则135B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，．ξ的取值为0，1，2，3，303464(0)C 5125P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，2131448(1)C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 2231412(2)C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)C 5125P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．∴ξ的分布列为：∴64481201231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 18．（14分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，FB FC =，90BFC ∠=︒，AE ．（1）求证：AB ⊥平面BCF ．（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值．FECBAD【答案】见解析．【解答】（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM M B ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =， ∴EF AB ∥，即EF MB∥． ∵1EF M B ==，∴四边形EM BF 是平行四边形． ∴EM FB ∥，EM FB =．在Rt BFC △中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB ． ∴EM =在AEM △中，AE =，1AM =，EM ∴2223AM EM AE +==， ∴AM EM ⊥．∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥． ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥．∵FB BC B = ，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴AB ⊥平面BCF ．（2）连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，取BC 的中点H ，连接OH ，EO ，FH ，则OH AB ∥，112OH AB ==． 由（1）知EF AB ∥，且12EF AB =， ∴EF OH ∥，且EF OH =．∴四边形EOHF 是平行四边形．∴EO FH ∥，且1EO FH ==．由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥，∵FH BC ⊥，AB BC B = ，FH ⊂平面ABCD ，BC 平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD ．∴EO ⊥平面ABCD ．∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO AO ⊥．∵AO BD ⊥，EO BD O = ，EO ⊂平面EBD ，BD 平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD ．∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角．在Rt AOE △中，tan AO AEO EO∠= ∴直线AE 与平面BDEDAB C EF MH O19．（14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意*n ∈N ，都有1(1)n n na S n n +=++． （1）求数列{}n a 的通项公式．（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】见解析．【解答】（本小题满分14分）解：（1）当2n ≥时，1(1)n n na S n n +=++，1(1)(1)n n n a S n n --=+-，两式相减得111)1)((1)(n n n n na n a S S n n n n +--=++----，即11)(2n n n na n a a n +-=+-，得12n n a a +-=．当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=．∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列．∴2(1)22n a n n =-=-．（2）∵22log log n n a n b +=，∴221224n a n n n b n n n --=⋅=⋅=⋅．∴021424344n n T n -=+⨯+⨯++⋅ ，①234424344n n T n =+⨯+⨯++⋅ ，②①﹣②得021344444n n n T n --=+++-+⋅14414nn n -=-⋅- (13)413n n -⋅-=． ∴1[(31)41]9n n T n =-⋅+．20．（14分）已知定点(0,1)F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程．（2）若点A 的坐标为(2,1)，直线11:l y kx =+（k ∈R ，且0k ≠）与曲线E 相交于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线l 于点S ，T ．试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．【答案】见解析．【解答】解：（1）由题意，点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离，故点M 的轨迹是以点F 为焦点，l 为准线的抛物线．∴曲线E 的方程为24x y =．（2）设点B ，C 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，依题意得，2114x y =，2224x y =． 1y kx =+代入24x y =，消去y 得2440x kx -=-，∴124x x k +=，124x x =-．直线AB 的斜率1111224AB y x k x -+==-， 故直线AB 的方程为121(2)4x y x +-=-． 令1y =-，得1822x x =-+， ∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭． 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭． ∴2222122128816(1)|2222|x x k ST x x k k ⎛⎫-+=---== ⎪++⎝⎭． 设线段ST 的中点坐标为0(1,)x -， 则0121884(44)22222228k x x x k k ⎛⎫+=-+-=-=- ⎪++⎝⎭．∴以线段ST 为直径的圆的方程为222224(1)(1)k x y k k +⎛⎫+++= ⎪⎝⎭． 令0x =，得2(1)4y +=，解得1y =或3y =-．∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点(0,1)，(0,3)-．21．（14分）已知函数()ln (,)f x a x bx a b =+∈R 在点(1,(1))f 处的切线方程为220x y --=． （1）求a ，b 的值．（2）当1x >时，()0k f x x +<恒成立，求实数k 的取值范围． （3）证明：当*n ∈N ，且2n ≥时，22211322ln23ln3ln 22n n n n n n--+++>+ ． 【答案】见解析．【解答】（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()a f x b x'=+． ∵直线220x y --=的斜率为0.5，且过点(1,0.5)-，∴(1)0.5f =-，(1)0.5f '=，解得1a =，0.5b =-．（2）解：由（1）得()ln 0.5f x x x =-．当1x >时，()0k f x x+<恒成立，等价于20.5ln k x x x -<． 令2()0.5ln g x x x x -=，则()1ln g x x x '=--．令()1ln h x x x =--，则1()x h x x-'=． 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0h x h >=，从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0.5g x g >=．∴0.5k ≤．（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 0.502x x x -+<，可化为21ln 2x x x -<， 又ln 0x x >， 从而，21211ln 111x x x x x >=---+． 把2x =，n 分别代入上面不等式，并相加得， 221111111111132112ln23ln32ln 324112122n n n n n n n n n n --+++>-+-++-=+--=-+++ ．。

图1高中生2000名小学生3500名初中生4500名图2近视率/ %301050O 小学 初中 高中 年级2014年广东高考理科数学真题及答案一、选择题： 本大题共8小题，每小题5分，满分40分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则{1,0,1}M =-{0,1,2}N =M N = A ． B ． C ． D ．{0,1}{1,0,2}-{1,0,1,2}-{1,0,1}-2．已知复数满足，则z (34)25i z +=z =A ． B ． C ． D ．34i -+34i --34i +34i -3．若变量满足约束条件， 且的最大值和最小值分别为和，则,x y 11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥2z x y =+m n m n -=A ．5 B ．6 C ．7 D ．84．若实数满足， 则曲线与曲线的 k 09k <<221259x y k -=-221259x y k -=-A ．焦距相等 B ．实半轴长相等 C ．虚半轴长相等 D ．离心率相等5．已知向量，则下列向量中与成夹角的是(1,0,1)-a =a 60 A ． B ． C ． D ．(1,1,0)-(1,1,0)-(0,1,1)-(1,0,1)-6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示. 为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2 %的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，10 7．若空间中四条两两不同的直线，满足，，，则下列结论一定正确的是1234,,,l l l l 12l l ⊥23l l ⊥34l l ⊥A ． B ． C ．与既不垂直也不平行 D ．与的位置关系不确定14l l ⊥14//l l 1l 4l 1l 4l 8．设集合，那么集合中满足条件 (){}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=A “”的元素个数为1234513x x x x x ++++≤≤A ．60 B ．90 C ．120 D ．130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．A F E D C B图3（一）必做题（9 ~ 13题）9．不等式的解集为 ．125x x -++≥10．曲线在点处的切线方程为 ．25+=-x e y )3,0(11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 ．12．在中，角所对应的边分别为. 已知，则ABC ∆C B A ,,c b a ,,b B c C b 2cos cos =+ ． =ba 13．若等比数列的各项均为正数，且，则{}n a 512911102e a a a a =+ ．1220ln ln ln a a a +++= （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和1C 2C 2sin cos ρθθ=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和sin 1ρθ=x 1C 2C 交点的直角坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形中，点在上且，与ABCD E AB 2EB AE =AC DE交于点，则＝ ． F CDF AEF ∆∆的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数，，且． ()sin()4f x A x π=+x ∈R 23)125(=πf （1）求的值；A （2）若，，求． 23)()(=-+θθf f )2,0(πθ∈)43(θπ-f图4P A BC ED F17．（本小题满分12分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组 频数频率 [25,30] 30.12 (30,35] 50.20(35,40]8 0.32(40,45] 1n 1f (45,50] 2n2f （1）确定样本频率分布表中和的值；121,,n n f 2f （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间的(30,35]概率．18．（本小题满分14分）如图4，四边形为正方形，平面， ABCD PD ⊥ABCD ，于点，∥，交于点．30DPC ∠= AF PC ⊥F FE CD PD E （1）证明：平面；CF ⊥ADF （2）求二面角的余弦值．D AFE --19．（本小题满分14分）设数列的前项和为，满足，，且． {}n a n n S n S 21234n n S na n n +=--*n ∈N 315S =（1）求的值；123,,a a a （2）求数列的通项公式．{}n a20．（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为． 2222:1x y C a b +=(0)a b >>(5,0)53（1）求椭圆的标准方程；C （2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方00(,)P x y C P C P 程．21.（本小题满分14分）设函数，其中．2221()(2)2(2)3f x x x k x x k =+++++-2k <-（1）求函数的定义域（用区间表示）；()f x D （2）讨论在区间上的单调性；()f x D （3）若，求上满足条件的的集合（用区间表示）．6k <-D ()(1)f x f >xx2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B A B A D D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9 ~ 13题）9. 10. 11.12. 2 13.50 (,3][2,)-∞-+∞ 530x y +-=16（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14. 15.9(1,1)三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）16. 解：（1），解得. 55233()sin()sin 12124322f A A A ππππ=+===3A =（2）由（1）得， ()3sin()4f x x π=+所以 ()()3sin()3sin()44f f ππθθθθ+-=++- 222233(cos sin )3(cos sin )6cos 22222θθθθθ=++-==所以，又因为，所以， 6cos 4θ=)2,0(πθ∈210sin 1cos 4θθ=-=所以. 331030()3sin()3sin()3sin 344444f ππθπθπθθ-=-+=-==⨯=17.（本小题满分12分）17. 解：（1），，，. 17n =22n =170.2825f ==220.0825f ==（2）所求的样本频率分布直方图如图所示：频率组距0.0400.0240.0160.0560.064P A B C E D F G H P A B C E DF x yz（3）设“该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间”为事件， (30,35]A ，即至少有1人的日加工零件数落在区间概率为.4()1(10.2)0.5904P A =--=(30,35]0.590418．（本小题满分14分）18.（1）证明：因为平面，平面，所以.PD ⊥ABCD AD ⊂ABCD PD AD ⊥因为在正方形中，又，所以平面.ABCD CD AD ⊥CD PD D = AD ⊥PCD 因为平面，所以.CF ⊂PCD AD CF ⊥因为，，所以平面.AF CF ⊥AF AD A = CF ⊥ADF （2）方法一：以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系D DP DC DA x y z 设正方形的边长为1，ABCD 则. 333(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(3,0,0),(,0,0),(,,0)444D A C P E F 由（1）得是平面的一个法向量.(3,1,0)CP =- BCDE 设平面的法向量为， AEF (,,)x y z =n ，， 3(0,,0)4EF = 3(,0,1)4EA =- 所以. 304304EF y EA x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩ n n 令，则，，所以是平面的一个法向量. 4x =0y =3z =(4,0,3)=n AEF 设二面角的平面角为，且D AFE --θ(0,)2πθ∈所以， 43257cos 19219CP CP θ⋅===⨯⋅ n n 所以二面角的平面角的余弦值为. D AF E --25719方法二：过点作于，过点作于，连接.D DG AE ⊥G D DH AF ⊥H GH 因为，，，所以平面.CD PD ⊥CD ED ⊥ED AD D = CD ⊥ADE 因为∥，所以平面.FE CD FE ⊥ADE 因为平面，所以.DG ⊂ADE FE DG ⊥因为，所以平面.AE FE E = DG ⊥AEF 根据三垂线定理，有， GH AF ⊥所以为二面角的平面角. DHG ∠D AF E --设正方形的边长为1，ABCD 在△中，，，所以. Rt ADF 1AD =32DF =217DH =在△中，因为，所以，所以. Rt ADE 1124FC CD PC ==1344DE PD ==5719DG =所以， 226133133GH DH DG =-=025 30　35 40 45 50 日加工零件数所以， 257cos 19GH DHG DH ∠==所以二面角的平面角的余弦值为. D AF E --2571919.（本小题满分14分）19. 解：（1）当时，，2n =2123420S a a a =+=-又，所以，解得.312315S a a a =++=3342015a a -+=37a =当时，，又，解得.1n =11227S a a ==-128a a +=123,5a a ==所以.1233,5,7a a a ===（2） ①21234n n S na n n +=--当时， ②2n ≥212(1)3(1)4(1)n n S n a n n -=-----①②得.-12(22)61n n n a na n a n +=----整理得，即. 12(21)61n n na n a n +=-++1216122n n n n a a n n +-+=+猜想，. 以下用数学归纳法证明：21n a n =+*n ∈N 当时，，猜想成立；1n =13a =假设当时，，n k =21k a k =+当时，， 1n k =+21216121614161(21)232(1)122222k k k k k k k k a a k k k k k k k k+-+-+-++=+=++==+=++猜想也成立，所以数列的通项公式为，. {}n a 21n a n =+*n ∈N20.（本小题满分14分）20. 解：（1）依题意得，， 5c =53c e a ==所以，，3a =2224b a c =-=所以椭圆的标准方程为 C 22194x y +=（2）当过点的两条切线的斜率均存在时，P 12,l l 设，则 100:()l y y k x x -=-2001:()l y y x x k-=--联立， 2200194()x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得，2220000(49)18()9()360k x k y kx x y kx ++-+--=所以，22220000(18)()4(49)[9()36]0k y kx k y kx ∆=--+--=整理得，2200()49y kx k -=+即，2220000(9)240x k x y k y --+-=因为，所以， 12l l ⊥201220419y k k x -==--整理得； 220013x y +=当过点的两条切线一条斜率不存在，一条斜率为0时，P 12,l l 为或，均满足. P (3,2)±(3,2)-±220013x y +=综上所述，点的轨迹方程为.P 2213x y +=21.（本小题满分14分）21. 解：（1）， 221()(23)(21)f x x x k x x k =+++++-由，得或，22(23)(21)0x x k x x k +++++->223x x k ++<-221x x k ++>即或，2(1)2x k +<--2(1)2x k +>-+所以或或，其中.1212k x k ----<<-+--12x k <---+12x k >-+-+2k <-所以函数的定义域.()f x (,12)(12,12)(12,)D k k k k =-∞---+⋃-----+--⋃-+-++∞（2）令，则， 222()(2)2(2)3g x x x k x x k =+++++-1()()f xg x =x D ∈，22()2(2)(22)2(22)4(1)(21)g x x x k x x x x x k '=+++++=++++令，解得，，，其中.()0g x '=11x k =---21x =-31x k =-+-2k <-因为，131********k x k k x k ---+<<----<-<-+--<<-+-+所以随的变化情况如下表：(),()g x g x 'xx (,12)k -∞---+ (12,1)k ----- 1-(1,12)k --+-- (12,)k -+-++∞()g x ' - +0 - + ()g x ↘ ↗ 极大值↘ ↗ 因为函数与在区间上的单调性相反，()y f x =()y g x =D 所以在和上是增函数，()f x (,12)k -∞---+(1,12)k --+-- 在和上是减函数.(12,1)k -----(12,)k -+-++∞（3）因为，所以，(1)(1)g x g x --=-+(1)(1)f x f x --=-+所以函数与的图象关于直线对称，()y f x =()y g x =1x =-所以.(1)(3)f f =-因为，所以.6k <-123112k k ----<-<<-+--①当时，(12,12)x k k ∈-----+--要使，则；()(1)f x f >(12,3)(1,12)x k k ∈-----⋃-+--②当时，(,12)(12,)x k k ∈-∞---+⋃-+-++∞令，即，，()(1)f x f =()(1)g x g =22(23)(21)(6)(2)x x k x x k k k +++++-=++令，则，22t x x k =++(1)t >(3)(1)(6)(2)t t k k +-=++整理得，即，222(815)0t t k k +-++=[(3)][(5)]0t k t k -+++=因为且，所以，即，1t >6k <-(5)t k =-+225x x k k ++=--所以，解得， 22250x x k +++=124x k =-±--(,12)(12,)k k ∈-∞---+⋃-+-++∞所以.()(1)(124)f x f f k ==-±--要使，则.()(1)f x f >(124,12)(12,124)x k k k k ∈-------+⋃-+-+-+--综上所述， 当时，在上满足条件的的集合为 6k <-D ()(1)f x f >x .(124,12)(12,3)(1,12)(12,124)k k k k k k -------+⋃-----⋃-+--⋃-+-+-+--。