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5.1 定积分的概念与性质

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第5.1节 定积分的概念及性质

第5.1节 定积分的概念及性质

§5.1 定积分的概念及性质一、定积分的定义5.1.1 定积分： 设)(x f 是定义在],[b a 上的有界函数，在],[b a 上任取一组分点b x x x x x a n i i =<<<<<<=−L L 110，这些分点将],[b a 分为n 个小区间],[10x x ，],[21x x ，…，],[1n n x x −记每个小区间的长度为：),,2,1(1n i x x x i i i L =−=∆−，并记},,,max{21n x x x ∆∆∆=L λ再任取点),,2,1(],[1n i x x i i i L =∈−ξ，作和式：∑=∆ni i i x f 1)(ξ，若和式的极限∑=→∆ni i i x f 1)(lim ξλ存在，则称)(x f 在区间],[b a 上可积，并称该极限为)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记为∫b adx x f )(，即∑∫=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，],[b a 称为积分区间。

注：（1）定积分∫b adx x f )(表示一个常数值，它与被积函数)(x f 和积分区间],[b a 有关；（2）定积分的本质是一个和式的极限，该极限与区间的划分以及点i ξ的取法无关；5.1.2 函数可积的条件：（1）若)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上可积； （2）若)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在],[b a 上可积； （3）若)(x f 在],[b a 上单调有界，则)(x f 在],[b a 上可积； （4）有界不一定可积，可积一定有界，无界函数一定不可积。

5.1.3 定积分的几何意义：∫b adx x f )(表示以)(x f y =为曲边，以b x a x ==,为侧边，x 轴上区间],[b a 为底边的曲边梯形面积的代数和。

定积分的概念、性质

定积分的概念、性质
*
三、定积分的性质
§5.1 定积分的概念与性质
一、定积分问题举例
演讲人姓名
二、定积分定义
一、定积分问题举例
曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为 曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.
曲边梯形的面积
*
观察与思考
定积分的定义
*
二、定积分定义
例1 用定积分表示极限 解 定积分的定义
*
二、定积分定义
定积分的定义
注: 设f (x)在[0, 1]上连续, 则有
*
定积分的几何意义
这是因为 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
*
定积分的几何意义
各部分面积的代数和 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
*
例2
在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？
*
(2)近似代替:
求曲边梯形的面积
(1)分割:
ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxi=xi-xi1;
小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi);
如果在区间[a b]上 f (x)g(x) 则
如果在区间[a b]上 f (x)0 则
性质5
推论2
性质6
设M及m分别是函数f(x)在区间[a b]上的最大值及最小值 则
例4 试证:
证明 设 则在 上, 有 即 故 即
*
性质7(定积分中值定理)
如果函数f(x)在闭区间[a b]上连 续 则在积分区间[a b]上至少存在一个点x 使下式成立 这是因为, 由性质6 ——积分中值公式 由介值定理, 至少存在一点x[a, b], 使 两端乘以ba即得积分中值公式.

5.1 定积分的定义

5.1 定积分的定义
的一个矩形的面积。
• 可把
a f ( x ) dx
ba
b
f ( )
因
1 n lim f ( i )ห้องสมุดไป่ตู้n n i 1
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例 7 设 f ( x ) 可导，且 lim f ( x ) 1 ，
x
求 lim
x
x
x2
3 t sin f ( t )dt . t
且只有有限个间断点， 则 f ( x ) 在
区间[ a , b ]上可积.
三、定积分的几何意义
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
a f ( x )dx A a f ( x )dx A
b
b
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积 的负值
A1
A3 A2
A4
a f ( x )dx A1 A2
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
3.变力做功
二、定积分定义 (P225 )
积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
b
f ( x) d x lim f ( i ) xi
0
i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
则 f ( x )dx 0 .
a
(a b )
证
f ( x ) 0, f ( i ) 0 , ( i 1,2, , n )
x i 0,

f ( i ) x i 0,
i 1
n
max{ x1 , x 2 , , x n }

§5.1 定积分的概念与性质

§5.1 定积分的概念与性质

2. 若函数 f (x) 在[a , b]上连续, 则 f (x) 在[a , b]上可积.
3. 若函数 f (x) 在区间[a , b]上有界, 且只有有限个间断点,
则 f (x) 在[a , b]上可积.
例1. 利用定积分定义计算 1 x2dx 0
y
解 f (x) x2 C[0,1] 1 x2dx存在. 0
b
此极限值为函数f (x)在[a ,b]上的定积分. 记作: f (x)dx a
即
b f (x)dx lim
n
f (i )xi
a
x0 i1
积分号;
f ( x) 被积函数;
f ( x)dx 被积表达式;
x 积分变量.
[a,b] ——称为积分区间 a ——积分下限
b 积分上限
xi xi xi1 (i 1,2,n); 任取 i [xi1, xi ] (i 1,2,, n) n
作和
i1
f
(i )xi ; 记
n
x
பைடு நூலகம்
max{xi},
1in
若极限 lim x0
i 1
f (i )xi
存在, 且此极限值与区间 [a, b]
的分法以及点 i 的取法无关，则称函数 f (x) 在[a ,b]上可积,
若函数f (x)在[a ,b]上连续, 则至少存在一点 [a,b], 使
f
(
)

1 ba
b
f (x)dx
a
(a b)
证 设 f (x) 在[a , b]上取得最小值 m 与最大值 M, y
由性质6知
m

1 ba

5.1 定积分的概念与性质

5.1 定积分的概念与性质

思 考 题
将和式极限：
lim
n
1 n
sin
sin 2 nn
sin
(n
1) n
表示成定积分.
思考题解答
原式
lim
n
1 n
sin
n
sin
2 n
sin
(n
1) n
sin
n n
lim 1 n sin i n n i1 n
1
lim
n
n i1
sin
i n
n
1
sin xdx.
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
解决步骤 : 1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
x i
1
0 1 x dx
0
i
i1 i
1x
nn
(2)
lim 1p
n
2p n p1
n
p
lim
n
n
i1
i n
p
1 n
x i
1 x p dx 0
i
定四、积定分积分的的性性质质
对定积分的补充规定:
（1）当a
b时， b a
f
(
x)dx
0；
（2）当a
b时， b a
f
( x)dx
a
b
f
( x)dx .
1)

高教社2024高等数学第五版教学课件-5.1 定积分的概念与性质

高教社2024高等数学第五版教学课件-5.1 定积分的概念与性质
第五章 定积分
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0

‫ ׬‬
±

‫ ׬‬
→0

性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即

‫)( ׬‬
总有下式成立：



‫ )( ׬ = )( ׬‬+ ‫)( ׬‬.
例如，若 < < ，则

‫ ׬‬

=

‫ ׬‬
+

‫ ׬‬




，
故 ‫ )( ׬ = )( ׬‬− ‫)( ׬‬
= ‫ )( ׬‬+ ‫)( ׬‬.
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得

‫ ׬‬


≤ ‫ ׬ ≤ )( ׬‬,

又‫ = ׬‬− ,

故( − ) ≤ ‫ ( ≤ )( ׬‬− ).
性质6(积分中值定理)
∈

[, ]，使‫)( ׬‬
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点

5.1 定积分的概念与性质


lim ෍ ( )Δ =
→0
=1
则称这个极限为函数()在区间[, ]上的定积分,记为

න ()d
第一节 定积分的概念与性质

定积分
第五章
即
积分上限


定积分
积分和
න ()d = = lim ෍ ( )Δ
积分下限
→0

=1
被积被
积分积
[, ]积分区间 函 变 表
[, ]
[, ]

( − )≤ න ()d ≤( − ) ( < )

证
∵ ≤()≤,



∴ න d≤ න ()d≤ න d ,




( − )≤ න () d≤( − ).

第一节 定积分的概念与性质
此性质可用于
估计积分值的
第五章
8. 定积分中值定理
如果 () 在区间[, ]上连续, 则至少存在一点 ∈ [, ], 使

න ()d = ( )( − )

证
设()在[, ]上的最小值与最大值分别为 , ,

1
න ()d≤
则由性质7可得 ≤
−
根据闭区间上连续函数介值定理, ∃ ∈ [, ], 使
= lim ෍ ( )
=
lim ෍ ( ) ⋅
→∞
− →∞

故它是有限个数的平均值概念的推广.
第一节 定积分的概念与性质
把区间[, ]分成个小区间,
[0 , 1 ], [1 , 2 ], ⋯ , [−1 , ], ⋯ , [−1 , ]
各个小区间的长度依次为

第五章 积分 5-1 定积分的概念与基本性质

性质 4 若 f (x) 是 [a, b] 上的连续函数, 则 | f (x) | 也是 [a, b] 上的连续函数, 从而可积, 且
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明 由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
18
《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样 的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取 点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.

5.1定积分的概念与性质教案.


定理 1 设 f (x)在区间[a b]上连续 则 f (x) 在[a b]上可积 定理 2 设 f (x)在区间[a b]上有界 且只有有限个间断点 则 f (x) 在[a b]上可 积 定积分的几何意义
(1)在区间[a b]上
当 f(x)0 时
积分
b
a
f
(x)dx
在几何上表示由曲线
yf
(x)、两条直
性质 7 (定积分中值定理) 如果函数 f(x)在闭区间[ab]上连续 则在积分区间
[ab]上至少存在一个点 使下式成立
b
a
f
(x)dx
f
( )(b a)
这个公式叫做积分中值公式
积分中值公式的几何解释 在区间[ab]上至少存在一点，使得以区间[ab]为底
边、以曲线 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为 f()的矩形的面积。
i1
(4)取极限：记max{x1 x2 xn } 于是增加分点 使每个小曲边梯形的宽
n
度趋于零
相当于令0
所以曲边梯形的面积为
A
lim
0 i1
f
(i )xi
2 变速直线运动的路程
设物体作直线运动 已知速度 vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上 t 的连续函数 且 v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程 S
教师备课纸
1
第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质
一、定积分问题举例
1.曲边梯形的面积
曲边梯形：设函数 y f ( x ) 在区间[a, b]上非负、连续。 由直线 x a ，x b ，
y 0及曲线 y f ( x ) 所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边，下面我

5_1 定积分的概念与性质


b
c
b
当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如
则有
c b
a b c,
a
c
b
c
a f ( x ) dx a f ( x ) dx b f ( x ) dx

a f ( x ) dx a f ( x ) dx b f ( x ) dx
f ( x ) dx f ( x ) dx
a x0 x1 x2 xn1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 i [ xi 1 , xi ] y 作以 [ xi 1 , xi ] 为底 , f ( i ) 为高的小矩形, 并以此小
a f ( x) dx f ( )(b a)
证: 设 f ( x) 在[a, b] 上的最小值与最大值分 别为 m, M , 则由性质6 可得
b
根据闭区间上连续函数介值定理,在[a , b] 上至少存在一 使
因此定理成立.
说明:
• 积分中值定理x)
f ( )
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
上的定积分, 记作 f ( x) d x
a b
在区间
即
a f ( x) d x lim0 i f ( i ) xi 1
b
n
o a x1
i xi 1 xi b x
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
积分上限
y
yx
2
则
i2 f (i )xi i2 xi 3 n
o
i n
1x
注 1 n 2 1 1 f (i )xi 3 i 3 n(n 1)(2n 1) n i 1 n 6 i 1
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2014年6月18日星期三
f ( x ) dx
c
16
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当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如
则有
a
b
c
c
a f ( x ) dx
c a
c
f ( x ) dx
b c b
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx
0 i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即
a f ( x) d x a f (t ) d t
2014年6月18日星期三 10
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b
b
可积的充分条件:
定理1 定理2 且只有有限个间断点


1 2 x 0
dx lim i 2 xi lim
0 i 1
12
n
n
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2014年6月18日星期三
定积分的几何意义:
曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
y
a
A1
A2
b
A3
A5
A4
b x
a f ( x) d x A1 A2 A3 A4 A5
定理3 若函数 f ( x) 在 [a, b] 上单调
应当指出的是， 由于初等函数在其定义区间内是连续的， 故初等函数在其定义域内的闭区间上可积. 定积分的定义很重要，今后学习二重、三重积分、曲 它们统称为黎曼积分.
2014年6月18日星期三 11
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线与曲面积分时，还会遇到结构上与表述上都类似的定义，
2014年6月18日星期三 4
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y f ( x)
A?
解决步骤 :
1) 分割:
在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b
把 [a, b] 分成 n个子区间 [ x0 , x1 ] ,[ x1 , x2 ] , 子区间长度为xi xi xi1 (i 1, 2, , n). y 2) 近似求和: 在每个子区间 上任取 i , 作和
例1 利用定义计算定积分
解: 将 [0,1] n 等分, 分点为
取
y
yx
2
2 i 则 f (i )xi i2 xi 3 o n n 1 n 2 1 1 f (i )xi 3 i 3 n(n 1)(2n 1) n 6 n i 1 i 1
i n
1x
y
• 可把
y f ( x)
理解为 f ( x) 在[a, b] 上的平均值 . 因
o a
b x
故它是有限个数的平均值概念的推广.
2014年6月18日星期三 22
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内容小结
1. 定积分定义 —— 乘积和式的极限 2. 定积分的几何意义 3. 定积分存在的3个充分性条件 4. 定积分的8条基本性质
上的定积分, 记作 f ( x) d x
a b
在区间
即 此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
2014年6月18日星期三 9
o a x1
xi 1 xi b
x
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积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
b
f ( x) d x lim f ( i ) xi
yx
因此，
1 ( x 1)2 x dx 0
1
y
π 1 1 1 1 4 2 π 1 4 2
2
o
1
x
2014年6月18日星期三
14
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三、定积分的性质 （设所列定积分都存在）
a f ( x ) dx 0
2.
a
a dx b a
,[ xn1 , xn ], 每个
o a x1
xi 1 xi
2014年6月18日星期三
5
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3) 取极限: 当上述分割越来越细(即分点越来越多,同时 各个子区间的长度越来越小)时,和式
的值就越来越接近曲边梯形的面积 y 则曲边梯形面积
因此,令
A lim Ai
0 i 1
第五章 定积分
（Definite Integrals)
积分学
不定积分 定积分
2014年6月18日星期三
1
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主要内容
第一节 第二节 定积分的概念与性质 牛顿-莱布尼茨公式
第三节 第四节
定积分的换元法和分部积分法 广义积分
2014年6月18日星期三
2
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第五章
第5.1节 定积分的概念与性质
0 i 1 0 i 1
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n
2014年6月18日星期三
15
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证 : 当 a c b 时,
因
在
上可积 ,
a
c
b
所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是
[a , b]
f ( i )x i
令 0
b b
[c , b]
f ( i )x i
a f ( x ) dx
,[tn1 , tn ], 每个
把 [a, b] 分成 n个子区间 [t0 , t1 ] ,[t1 , t2 ] , 子区间长度为 t i ti ti1 (i 1, 2, , n).
2014年6月18日星期三
7
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3) 近似求和: 在每个子区间
上任取 i , 作和
4) 取极限 :
n i 1
n
lim f ( i )x i
0
o a x1
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xi 1 xi
2014年6月18日星期三
6
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2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度 求在运动时间内物体所经过的路程 s. 解决步骤: 1) 分割: 且
a t0 t1 t2
tn1 tn b
2014年6月18日星期三
23
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a c c b
2014年6月18日星期三
17
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6. 若在 [a , b] 上 证:
则
f ( i ) xi 0
i 1
n

lim f ( i ) xi 0 a f ( x) d x 0 i 1
则
b
n
推论1 若在 [a , b] 上ຫໍສະໝຸດ 2014年6月18日星期三
( k 为常数)
b
4.
a [ f ( x) g ( x)] dx a f ( x) dx a g ( x) dx
n
b
b
b
证: 左端 lim [ f ( i ) g ( i )]x i
0 i 1
n
lim f ( i )x i lim g ( i )x i = 右端
上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 :
“分割, 近似求和 , 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同:
2014年6月18日星期三 8
特殊乘积和式的极限
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二、定积分定义
任一种分法
a x0 x1 x2 xn b ,
任取
总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数
8. 积分中值定理 则至少存在一点 使
证: 设 f ( x) 在[a, b] 上的最小值与最大值分 别为 m, M ,
则由性质7 可得
根据闭区间上连续函数介值定理, 在[a , b] 上至少存在一 使 因此定理成立.
2014年6月18日星期三 21
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说明: • 积分中值定理对
18
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推论2 证:
( a b)
f ( x ) f ( x) f ( x )
b b b a a a
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx
即
a
b
f ( x ) dx f ( x ) dx
a
b
积分估值 定理
（Conceptions and Properties of Definite Integrals）
一、引 例
二、 定积分的定义
三、 定积分的性质
2014年6月18日星期三
3
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一、引 例
矩形面积
梯形面积
1. 曲边梯形的面积
设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A .
7. 设 M max f ( x) , m min f ( x) , 则
[a , b] [a , b]
( a b)
2014年6月18日星期三 19
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例3（补充题）试证:
证:
在区间[0,1]上单调递增，
利用积分估值定理，得