黑龙江海林市高中数学第三章导数及其应用32导数的计算322导数的运算法则新人教A版1-1.

3.3.3 导数的应用一、选择题1．设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为( ) A ．－1 B ．0 C ．－239D.33解析：g (x )＝x 3－x ，由g ′(x )＝3x 2－1＝0，解得x 1＝33，x 2＝－33(舍去)． 当x 变化时，g ′(x )与g (x )的变化情况如下表：答案：C2．函数f (x )＝x 3－3x (－1<x <1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，也无最小值D ．无最大值，但有最小值解析：f ′(x )＝3x 2－3，由于－1<x <1，所以f ′(x )<0，故f (x )在区间(－1,1)上单调递减，函数既没有最大值，也没有最小值．答案：C3．设在区间[a ，b ]上，函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a ，b )上可导，有以下三个命题：①若f (x )在[a ，b ]上有最大值，则这个最大值必是[a ，b ]上的极大值； ②若f (x )在[a ，b ]上有最小值，则这个最小值必是[a ，b ]上的极小值； ③若f (x )在[a ，b ]上有最值，则最值必在x ＝a 或x ＝b 处取得． 其中正确的命题共有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：由于函数的最值可能在区间[a ，b ]的端点处取得，也可能在区间[a ，b ]内取得，而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此命题①②③都不是真命题．答案：A4．函数f (x )＝1x ＋1＋x (x ∈[1,3])的值域为( ) A ．(－∞，1)∪(1，＋∞) B ． [32，＋∞)C ．(32，134)D ．[32，134]解析：f ′(x )＝－1x ＋2＋1＝x 2＋2xx ＋2，所以在[1,3]上f ′(x )>0恒成立，即f (x )在[1,3]上单调递增，所以f (x )的最大值是f (3)＝134，最小值是f (1)＝32.故选D.答案：D5．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对解析：∵f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，∵f (x )在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数， ∴当x ＝0时，f (x )＝m 最大． ∴m ＝3，从而f (－2)＝－37，f (2)＝－5. ∴最小值为－37.故选A. 答案：A6．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( ) A ．0≤a <1 B ．0<a <1 C ．－1<a <1D ．0<a <12解析：f ′(x )＝3(x 2－a )，f (x )在(0,1)内有最小值，即f ′(x )在(0,1)上至少有一根，∴f ′(0)·f ′(1)<0，即a (a －1)<0. ∴0<a <1. 答案：B7．若不等式a x－x 2＋2>0在区间[1,2]上恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤－1 B ．a <－1 C ．a ≥4D ．a >4解析：不等式a x －x 2＋2>0，即－x 3＋2x ＋a x>0在区间[1,2]上恒成立，即－x 3＋2x ＋a >0恒成立，∴a >x 3－2x ，令g (x )＝x 3－2x ，g ′(x )＝3x 2－2，令g ′(x )＝0，得x ＝±63，又∵x ∈[1,2]，所以只取x ＝63，又g (1)＝－1，g (63)＝－469，g (2)＝4，故g (x )在[1,2]上最大值为4，因此a 的取值范围是a >4.答案：D8．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当MN 达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52D.22解析：MN 的最小值，即函数h (x )＝x 2－ln x 的最小值，h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，显然x ＝22是函数h (x )在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t ＝22. 答案：D 二、填空题9．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________． 解析：y ′＝12x－1，令y ′＝0，得x ＝14.当x ∈(0，14)时y ′>0，∴y ＝x －x 在(0，14)上为增函数．当x ∈(14，＋∞)时y ′<0，∴y ＝x －x 在(14，＋∞)上为减函数，故y ＝x －x 在(0，＋∞)上的极大值为f (14)＝14. 又f (0)＝0，∴y ＝x －x 在[0，＋∞)上的最大值为14.答案：1410．f (x )＝x －ln x 在区间(0，e]上的最小值为________． 解析：由f ′(x )＝1－1x＝0，得x ＝1，当0<x <1时，f ′(x )<0；当1<x ≤e 时，f ′(x )>0，所以最小值为f (1)＝1.答案：111．函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在[0,1]上的最小值为f (1)，则a 的取值范围为________． 解析：f ′(x )＝2x ＋2a ，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)，说明f (x )在[0,1]上单调递减，∴x ∈[0,1]时，f ′(x )≤0恒成立，a ≤－x ，∴a ≤－1.答案：(－∞，－1]12．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax2(a >0)．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )≥2即a ≥2x 2－2x 2ln x . 令g (x )＝2x 2－2x 2ln x ， 则g ′(x )＝2x (1－2ln x )．由g ′(x )＝0得x ＝e 12，0(舍去)，且0<x <e 12 时，g ′(x )>0；当x >e 12时g ′(x )<0， ∴x ＝e 12 时g (x )取最大值g (e 12)＝e ，∴a ≥e. 答案：a ≥e 三、解答题13．求函数f (x )＝xex 在[0,2]上的最大值．解：y ′＝(xe x )′＝e x －x e xe 2x ＝1－xe x ，令y ′＝0，得x ＝1，而f (0)＝0，f (2)＝2e 2，f (1)＝1e ，且1e >2e 2，所以当x ＝1时，函数取最大值y ＝1e.14．求函数f (x )＝1－x x ＋ln x 在[12，2]上的最大值和最小值．解：f ′(x )＝x －1x 2，由f ′(x )＝0得x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )和f (x )变化情况如下表：因为f (12)＝1－ln2，f (2)＝－12＋ln2，f (12)－f (2)＝32－2ln2＝12(lne 3－ln16)．又因为e 3>16，所以f (12)－f (2)>0，因此f (x )在[12，2]上的最大值为f (12)＝1－ln2.15．[2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时 ，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 15．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0， ①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减， 所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值；当1<a<4时，f(x)在x＝0处取得最小值．16．[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝e x－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y ＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x>0时，x2<e x；16．解：方法一：(1)由f(x)＝e x－ax，得f′(x)＝e x－a.又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.所以f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.当x<ln 2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>ln 2时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值．(2)证明：令g(x)＝e x－x2，则g′(x)＝e x－2x.由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4>0，故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0，所以当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2<e x.。

2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A 版选修1-1能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 重点：导数的四则运算法则及其运用． 难点：导数的四则运算法则的理解运用． 方 法：合作探究 一新知导学 思维导航我们已经会求幂函数、指数函数、对数函数及y ＝sinx ，y ＝cosx 的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？ 1．设函数f (x )、g (x )是可导函数，则：(f (x )±g (x ))′＝________________； (f (x )·g (x ))′＝______________________．2．设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫f (x )g (x )′＝____________________________.牛刀小试1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B ． 2 C ．－1 D ．0 2．函数y ＝x4＋sinx 的导数为( ) A ．y ′＝4x3 B ．y ′＝cosx C ．y ′＝4x3＋sinxD ．y ′＝4x3＋cosx3．下列运算中正确的是( )A ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′ B ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋bx ′ C ．(sin x x 2)′＝(sin x )′－(x 2)′x2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x 4．求下列函数的导数(1)y ＝2x2－3x ＋1，y ′＝__________. (2)y ＝(x ＋2)2，y ′＝__________.课堂随笔:(3)y ＝sinx ＋cosx ，y ′＝__________. (4)y ＝tanx ，y ′＝__________.(5)y ＝(x ＋2)(3x －1)，y ′＝__________. 二．例题分析例1函数的下列导数求： (1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝1x ＋2x 2＋3x3；(4)y ＝x tan x －2cos x .（5）y ＝sin2x练习：求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (2)y ＝x －sin x 2·cos x2.例2偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx ＋e 的图象过点P(0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f(x)的解析式．练习：已知抛物线y ＝ax2＋bx －7经过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x －y －3＝0，求a 、b 的值．例3已知直线l1为曲线y ＝x2＋x －2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x 轴所围成的三角形的面积．练习：已知函数f(x)＝2x3＋ax 与g(x)＝bx2＋c 的图象都过点P(2,0)，且在点P 处有公共切线，求f(x)，g(x)的表达式． 三．作业 基础题一、选择题1．曲线y ＝－x 2＋3x 在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x ＋3 C ．y ＝x ＋3 D ．y ＝2x 2．函数y ＝x ·ln x 的导数是( )A ．y ′＝xB ．y ′＝1xC ．y ′＝ln x ＋1D ．y ′＝ln x ＋x3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A ．193 B ．163 C ．133 D ．1034．曲线运动方程为s ＝1－t t2＋2t 2，则t ＝2时的速度为( )A ．4B ．8C ．10D ．12 5．函数y ＝cos xx的导数是( )A ．y ′＝－sin xx2B ．y ′＝－sin xC ．y ′＝－x sin x ＋cos xx 2D ．y ′＝－x cos x ＋cos xx 26．若函数f (x )＝f ′(1)x 3－2x 2＋3，则f ′(1)的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 二、填空题7．函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(x )＝________.8．若函数f (x )＝1－sin xx，则f ′(π)＝________________.9．(2015·天津文)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．三、解答题10．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图象上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB ．提高题一、选择题1．(2015·长安一中质检)设a ∈R ，函数f (x )＝e x＋a ·e －x的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．ln2B ．－ln2C ．ln22D ．－ln222．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A ．π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －24．(2015·山西六校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，则f ′(e )( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e 二、填空题后记与感悟:5．直线y ＝4x ＋b 是曲线y ＝13x 3＋2x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.6．设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________. 三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，求函数f (x )的解析式． 8.已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．答案基础题acdbcd 7.1－1x28.π－1π2 9.310.[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(a )＝－1 (0<a <1)， 即3a 2－2a －1＝－1， 解得a ＝23.提高题acac 5.－4236.y ＝－3x7.[解析] 由f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，所以f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2.f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .因为在M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，可知－6－f (－1)＋7＝0， 即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. 8.[解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为13x －y －32＝0. (2)解法一：设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16， 又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解之得，x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝－18.∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14.。

3.3.2 函数的极值与最值【课标学习目标】1．了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．2．掌握函数极值的判定及求法．3．掌握函数在某一点取得极值的条件．4．增强数形结合的思维意识，提高运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力．[目标解读]1．重点是函数极值的判定与求法．2．难点是函数极值的综合应用．【情境引入】“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起伏，错落有致．在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点．那么，在数学上，这种现象如何来刻画呢？【课前预习】1．设函数f(x)在点a，b及其附近有定义，如果，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝________；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)________，右侧f′(x)________．类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝________；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)________，右侧f′(x)________．我们把点a叫做函数y＝f(x)的________，f(a)叫做函数y＝f(x)的________；点b叫做函数y＝f(x)的________，f(b)叫做函数y＝f(x)的________．极小值点、极大值点统称为________，极小值和极大值统称为________．2．求函数y＝f(x)的极值的方法是：(1)解方程________． (2)当f ′(x 0)＝0时：①如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值． 3．一般地，求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： (1)__________________________________________； (2)__________________________________________． 【题型探究】【例1】求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 3－12x ； (2)f (x )＝2xx 2＋1－2. 【分析】按照求极值的基本方法，首先从方程f ′(x )＝0入手，求出在函数f (x )的定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．【解析】(1)函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化状态如下表：x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2(2，＋∞) f ′(x ) ＋ 0－ 0＋ f (x )极大值f (－2)＝16极小值f (2)＝－16从表中可以看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且f (－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16.当x ＝2时，函数有极小值，且f (2)＝23－12×2＝－16. (2)函数的定义域为R. f ′(x )＝2x 2＋1－4x 2x 2＋12＝－2x －1x ＋1x 2＋12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) －0 ＋－ f (x )极小值－3极大值－1由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极小值，且f (－1)＝－22－2＝－3，当x ＝1时，函数有极大值，且f (1)＝22－2＝－1.【评析】理解极值的定义是正确解决本题的关键点．应明确f ′(x 0)＝0只是函数f (x )在x ＝x 0处取得极值的必要条件，必须加上该点左右两侧导数符号相反，方能判定在x处取得极值．【例2】设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R. (1)若f (x )在x ＝3处取得极值，求常数a 的值； (2)若f (x )在(－∞，0)上为增函数，求a 的取值范围．【分析】由f ′(3)＝0得关于a 的方程求出a 的值，但需要检验；(2)先求f (x )的增区间与(－∞，0)进行分析讨论得出a 的取值范围．【解析】(1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －a )(x －1)．因为f (x )在x ＝3处取得极值，所以f ′(3)＝6(3－a )(3－1)＝0，解得a ＝3. 经检验知当a ＝3时，x ＝3为f (x )的极值点． (2)令f ′(x )＝6(x －a )(x －1)＝0， 得x 1＝a ，x 2＝1.当a <1时，若x ∈(－∞，a )∪(1，＋∞)，则f ′(x )>0， 所以f (x )在(－∞，a )和(1，＋∞)上为增函数． 故当0≤a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数． 当a ≥1时，若x ∈(－∞，1)∪(a ，＋∞)， 则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)和(a ，＋∞)上为增函数，从而f (x)在(－∞，0)上也为增函数．综上所述，当a∈[0，＋∞)时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．【评析】本题的第(1)问直接求f′(x)，令f′(x)＝0，可求解．第(2)问利用分类讨论，将a与1比较作为分类的标准，判断在(－∞，0)上，f′(x)>0是否成立，从而确定a的取值范围，本题主要考查二次函数的极值问题和利用导数来求函数的单调性．【例3】已知a∈R，讨论函数f(x)＝e x(x2＋ax＋a＋1)的极值点的个数．【分析】本题是一道函数与导数综合运用问题，首先导数的运算需过关，另外讨论时分类的标准是关键．【解析】f′(x)＝e x[x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)]，令f′(x)＝0，得x 2＋(a＋2)x＋(2a＋1)＝0.(1)当Δ＝a 2－4a>0，即a<0或a>4时，方程有两个不同的实根x1，x2，不妨设x 1<x2，于是f′(x)＝ex(x－x1)(x－x2)，从而有下表：即此时f(x)有两个极值点．(2)当Δ＝0，即a＝0或a＝4时，方程有两个相同实根x1＝x2，于是f′(x)＝ex(x－x1)2.故当x>x1时，f′(x)>0；当x<x1时，f′(x)>0，f(x)在R上为增函数，此时f(x)无极值．(3)当Δ<0时，即0<a<4时，方程无实根，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在R上是增函数，此时f(x)无极值．综上，a>4或a<0时，f(x)有2个极值点．0≤a ≤4时，f (x )无极值点．【评析】本题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值，解不等式，恒成立等基本知识，考查综合分析问题和解决问题的能力，及推理能力以及分类讨论的数学思想． 【例4】求下列函数的最值：(1)f (x )＝sin2x －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤x ≤π2； (2)f (x )＝ln(1＋x )－14x 2，x ∈[0,2]．【分析】函数f (x )在给定区间上连续可导，必有最大值和最小值，在求[a ，b ]上的最值时，只需求出f (x )在(a ，b )内的极值，然后与端点处函数值进行比较即可．【解析】(1)f ′(x )＝2cos2x －1， 令f ′(x )＝0，得cos2x ＝12.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴2x ∈[－π，π]， ∴2x ＝±π3，∴x ＝±π6.∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的两个极值分别为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32－π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－32＋π6. 又f (x )在区间端点的取值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π2. 比较以上函数值可得f (x )max ＝π2，f (x )min ＝－π2.(2)f ′(x )＝1x ＋1－12x ，令1x ＋1－12x ＝0， 化简为x 2＋x －2＝0，解得x 1＝－2(舍去)，x 2＝1. 当0≤x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当1<x ≤2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 所以f (1)＝ln2－14为函数f (x )的极大值．又f (0)＝0，f (2)＝ln3－1>0，f (1)>f (2)．所以f (0)＝0为函数f (x )＝ln(1＋x )－14x 2在[0,2]上的最小值，f (1)＝ln2－14为函数在[0,2]上的最大值．【评析】不论求函数的极值，还是最值，都要先看清定义域，当定义域没有给出时，首先求定义域．【课堂小结】根据可导函数极值的定义，要弄清以下几点：1．极大(小)值未必是最大(小)值，可以有多个数值不同的极大(小)值； 2．极大(小)值是局部充分小的领域内的最大(小)值；3．极大(小)值只能在区间的内点取得，常数函数没有极大值，也没有极小值； 4．f ′(x 0)＝0只是可导函数f (x )在x 0取得极值的必要条件，不是充分条件． 【当堂检测】1．已知函数y ＝|x 2－3x ＋2|，则( ) A ．y 有极小值但无极大值 B ．y 有极小值0，但无极大值 C ．y 有极小值0，极大值14D ．y 有极大值14，但无极小值[解析] 作出函数图象可知y 有极小值0，极大值14.故应选C.2．函数y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为________，极小值为________．[解析] ∵y ′＝3x 2－6＝0，得x ＝±2，当x ＜－2或x ＞2时，y ′＞0；当－2＜x ＜2时，y ′＜0.∴函数在x ＝－2时取得极大值a ＋42；在x ＝2时取得极小值a －4 2.。

3.2.3 导数的四则运算法课堂探究探究一 应用求导法则求导数要求初等函数的导数需要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商的形式，再利用运算法则求导．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本初等函数的求导公式进行求导．在求导数时有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前可利用代数或三角恒等变形将函数化简，然后进行求导，以避免或减少使用积、商的求导法则，从而减少运算量，提高运算速度，避免出错．例如求函数y ＝x －12x 的导数，先化简为y ＝12－12·1x，再求导，使问题变得更简单． 【典型例题1】 求下列函数的导数：(1)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－32x －6＋2； (2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝xe x ； (4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x. 思路分析：(1)是函数和差求导；(2)是函数积求导；(3)是函数商求导；(4)先进行分母有理化化简函数式，再求导． 解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－32x 2－6x ＋2′ ＝(x 3)′－⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2′－(6x )′＋(2)′ ＝3x 2－3x －6.(2)y ′＝(cos x ln x )′＝(cos x )′ln x ＋cos x (ln x )′＝－sin x ln x ＋cos x x. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x ′＝(x )′e x －x (e x )′(e x )2 ＝e x －x e xe 2x ＝1－x ex . (4)y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2(1＋x )1－x ＝41－x－2， y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2 ＝4(1－x )2. 探究二 利用导数求切线方程求曲线上某一点的切线方程时，需要求曲线的导数，对于解析式复杂的函数，利用导数法则求解比利用定义求解要方便，选用哪个导数法则要根据解析式的特点决定．【典型例题2】 已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋ax (x ∈R ，a ∈R )，在曲线y ＝f (x )的所有切线中，有且仅有一条切线l 与直线y ＝x 垂直．求a 的值和切线l 的方程．思路分析：根据导数的几何意义，结合题目条件，可由f ′(x )＝－1有唯一解确定a 的值，然后求出切点坐标，写出切线方程．解：因为f (x )＝13x 3－2x 2＋ax ， 所以f ′(x )＝x 2－4x ＋a .由题意可知，方程f ′(x )＝x 2－4x ＋a ＝－1有两个相等的实根．所以Δ＝16－4(a ＋1)＝0，所以a ＝3.所以f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝－1可化为x 2－4x ＋4＝0.解得切点横坐标为x ＝2，所以f (2)＝13×8－2×4＋2×3＝23， 所以切线l 的方程为y －23＝(－1)×(x －2)，即3x ＋3y －8＝0. 所以a ＝3，切线l 的方程为3x ＋3y －8＝0.探究三导数的综合应用对于一个具体的初等函数，可以利用求导公式和导数的四则运算法则求导数，反过来，已知某些条件及其导函数，也可以确定参数，求出函数解析式．【典型例题3】 已知函数f (x )是关于x 的二次函数，f ′(x )是f (x )的导函数，对一切x ∈R ，都有x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1成立，求函数f (x )的解析式．思路分析：利用待定系数法，设出f (x )的解析式，根据条件列出方程组求出参数值． 解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b . x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝x 2(2ax ＋b )－(2x －1)·(ax 2＋bx ＋c )＝(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1，所以201a bb cc⎧⎪⎨⎪⎩－＝，－＝，＝，解得221abc⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝，＝，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.。

3.3.1 导数在研究函数中的应用【课标学习目标】1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)[目标解读]1．重点是利用导数确定函数的单调性及求函数的单调区间．2．难点是利用导数证明一些简单不等式．【情境引入】中国是世界上人口最多的发展中国家．人口众多、资源相对不足、环境承载能力较弱是中国现阶段的基本国情，统筹解决人口问题始终是中国实现经济发展、社会进步和可持续发展面临的重大而紧迫的战略任务．从20世纪70年代以来，中国政府坚持不懈地在全国范围推行计划生育基本国策，鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子，依照法律法规合理安排生育第二个子女．经过30年的努力，有效地控制了人口过快增长，实现了人口再生产类型由高出生率、低死亡率、高自然增长率向低出生率、低死亡率、低自然增长率的历史性转变．研究人口增长问题需要用到导数，从下图可以看出中国人口每增长2亿人所经历的时间越来越短．函数的单调性与导数有怎样的关系呢？提示：导数的符号决定函数的单调性．【新知探究】1．在某个区间(a，b)内，如果________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．利用导数判别函数的单调性的法则如下：如果函数y＝f(x)在x的某个开区间内，总有f′(x)>0，则f(x)在这个区间上________；如果函数y＝f(x)在x的某个开区间内，总有f′(x)<0，则f(x)在这个区间上________．【题型探究】题型一 判断函数的单调性【例1】讨论下列函数的单调性：(1)f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)； (2)f (x )＝bx x 2－1(－1<x <1，b ≠0)．【解析】(1)函数的定义域为R. f ′(x )＝a x ln a －a －x ·ln a ·(－x )′＝ln a (a x ＋a －x )．当a >1时，ln a >0，a x ＋a －x>0，∴f ′(x )>0，∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．当0<a <1时，ln a <0，a x ＋a －x >0，∴f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．(2)∵此函数为奇函数，且在(－1,1)上连续，∴只需讨论函数在(0,1)上的单调性． 当0<x <1时， f ′(x )＝b · x ′·x 2－1－x ·x 2－1′x 2－12＝－b x 2＋1x 2－12. 若b >0，则f ′(x )<0，函数在(0,1)上是减函数；若b <0，则f ′(x )>0，函数在(0,1)上是增函数．又函数f (x )是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，∴当b >0时，函数f (x )在(－1,1)上是减函数．当b <0时，函数f (x )在(－1,1)上是增函数．【评析】在判断含参函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f ′(x )的符号，否则会产生错误判断，分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思维在联系知识与能力中的作用，从而提高计算能力．变式训练 1 已知f (x )＝a x －1a x ＋1(a >0且a ≠1)．讨论f (x )的单调性． [解析] 函数的定义域为R ，f ′(x )＝2a xln a a x ＋12. 当a >1时，ln a >0，f ′(x )>0；当0<a <1时，ln a <0，f ′(x )<0，∴a >1时，f (x )在R 上单调递增，0<a <1时，f (x )在R 上单调递减．题型二 求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝x 3＋3x ； (2)f (x )＝2x －x 2.(3)f (x )＝3x 2－2ln x .【解析】(1)∵f (x )＝x 3＋3x ，∴f ′(x )＝3x 2＋3＝3(x 2＋1)>0，∴f (x )＝x 3＋3x 在x ∈R 上单调递增．(2)要使函数y ＝2x －x 2有意义，必须2x －x 2≥0，即0≤x ≤2.∴函数的定义域为[0,2]． f ′(x )＝(2x －x 2)′＝12(2x －x 2) -12 ·(2x －x 2)′＝1－x 2x －x2. 令f ′(x )>0，则1－x 2x －x 2>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x >0.2x －x 2>0⇒0<x <1.【评析】求单调区间应先考虑函数定义域．另外，单调区间不可写成并集的形式． 题型三 函数单调性的综合应用【例3】已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)证明：f (x )＝x 3－ax －1的图象不可能总在直线y ＝a 的上方．【分析】本题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力．【解析】(1)由已知得f ′(x )＝3x 2－a .∵f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，∴f ′(x )＝3x 2－a ≥0在R 上恒成立．∵3x 2≥0，∴a ≤0.又a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0(只有x ＝0时，f ′(x )＝0)，∴此时f (x )＝x 3－1在R 上仍为单调递增函数，∴a ≤0.(2)证明：∵f (－1)＝a －2<a ，∴f (x )的图象不可能总在直线y ＝a 上方．【评析】f ′(x )>0(或f ′(x )<0)仅是f (x )在某区间上单调的充分条件．本题应用f (x )在(a ，b )上单调的充要条件f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立，且f ′(x )在(a ，b )的任意子区间内都不恒等于0.变式训练2 已知函数f (x )＝x 3－ax －1，是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．[解析] 存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减．假设存在，则f ′(x )＝3x 2－a ≤0，在(－1,1)上恒成立．即a ≥3x 2在x ∈(－1,1)上恒成立．∴a ≥3.【课堂小结】1．在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间．如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．2．若f (x )在区间D 上是增(或减)函数，则f ′(x )在区间D 上“≥0”(或“≤0”)恒成立．由不等式恒成立求参数取值范围时要根据不等式的具体特点选择合适的求解方法．【当堂检测】1．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的单调递减区间为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)D ．(0,2) 解析：f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)令f ′(x )<0，得0<x <2.∴函数f (x )的单调递减区间为(0,2)．答案：D2．函数f (x )＝x ln x 的单调递增区间是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(0，1e )D ．(1e，＋∞) 解析：∵f (x )＝x ln x (x >0)，∴f ′(x )＝ln x ＋1.令f ′(x )>0，得x >1e . ∴函数f (x )的递增区间为(1e，＋∞)． 答案：D3．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[－3，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3) 解析：f ′(x )＝3x 2＋a ，令3x 2＋a ≥0，∴a ≥－3x 2，x ∈(1，＋∞)．∴a ≥－3.答案：B4．若函数y ＝x 2－2bx ＋6在(2,8)内是增函数，则实数b 的取值范围是________．解析：y ′＝2x －2b ≥0在(2,8)内恒成立，即b ≤x 在(2,8)内恒成立，∴b ≤2. 答案：(－∞，2]5．函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1.由题意知3ax 2－2x ＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－22－4×3a ×1≤0.解得a ≥13.。

3.3.3导数的应用[学习目标]1．借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的概念．2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数f(x)必有最大值和最小值的充分条件．3．会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值．【情境引入】当你喝完一罐饮料时，你是否留意过手中的易拉罐？你是否思考过：容积一定的圆柱体易拉罐，怎样设计半径与高之比能使用料最少？在我们的生活中处处存在数学知识，只要留意，你会发现经常遇到的如何才能使“用料最省”“效率最高”“利润最大”等问题，在数学上就是求函数的最大值、最小值问题．那么，我们如何应用数学知识求函数的最大(小)值呢？【新知探究】1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得和，并且函数的最值必在或取得．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的；(2)将函数y＝f(x)的各极值与的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是，最小的一个是【例题讲解】例1 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．【思路启迪】先求出函数f(x)在[－1,2]上的极值点，然后与两个端点的函数值进行比较，建立关于a，b的方程组，从而求出a，b的值．【解】由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．取导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1) 当a >0时，列表如下：＝3，即b ＝3.又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，∴a ＝2.(2)当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取极小值，也就是函数在(－1,2]上的最小值，∴f (0)＝－29，即b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)， ∴f (2)＝－16a －29＝3，∴a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.点评:(1)已知函数在闭区间上的最值求其中的参数值时，仍然可以按照求函数最值的方法步骤进行求解，最后建立方程(组)求得参数的值．(2)含参数问题要注意分类讨论，本题在求解时，依据条件需要对a 进行分类讨论，以便确定函数f (x )在[－1,2]上的最大值和最小值．例2 已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1，若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1恒成立，求a 的取值范围．【思路启迪】 求出导函数f ′(x )，转化为函数的最值问题． 【解】 f ′(x )＝x ＋1x ＋ln x －1＝ln x ＋1x，xf ′(x )＝x ln x ＋1， 故xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1等价于ln x －x ≤a .令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x－1，令g ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0，故x ＝1是g (x )的极大值点，且是最大值点，则g (x )≤g (1)＝－1.综上，a 的取值范围是[－1，＋∞)．点评：由不等式恒成立求参的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成m ≥f (x )或m ≤f (x )的形式，然后利用导数知识求出函数f (x )的最值，则由结论m ≥f (x )max 或m ≤f (x )min 即可求出参数m 的取值范围．例3 已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )有极值，求b 的取值范围；(2)当f (x )在x ＝1处取得极值时，证明对[－1,2]内的任意两个值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤72.解：(1)∵f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c ，∴f ′(x )＝3x 2－x ＋b ，要使f (x )有极值， 则3x 2－x ＋b ＝0有实数解， 从而Δ＝1－12b ≥0，∴b ≤112.而当b ＝112时，函数在R 上单调递增，不符合题意．∴b <112.(2)证明：∵f (x )在x ＝1处取得极值， ∴f ′(1)＝3－1＋b ＝2＋b ＝0. ∴b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－x －2. 令f ′(x )＝0， 解得x ＝1或x ＝－23.由上可知，当x ＝1时，f (x )有极小值－32＋c ；当x ＝－23时，f (x )有极大值2227＋c .又f (2)＝2＋c >2227＋c ，f (－1)＝12＋c >－32＋c .∴x ∈[－1,2]时，f (x )的最小值为－32＋c ，最大值为2＋c .∴|f (x 1)－f (x 2)|≤|f (x )max －f (x )min |＝72.故结论成立． 【课堂小结】1．函数的最大值与最小值：在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值；但在开区间(a ，b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小值． 2．设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下：(1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，确定f (x )的最大值与最小值． [当堂检测]1．设f (x )是[a ，b ]上的连续函数，且在(a ，b )内可导，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )的极值点一定是最值点 B ．f (x )的最值点一定是极值点 C ．f (x )在此区间上可能没有极值点 D ．f (x )在此区间上可能没有最值点解析：根据函数的极值与最值的概念判断知选项A ，B ，D 都不正确，只有选项C 正确．2．函数f (x )＝13x 3－2x 2在区间[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，有最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 解析：f ′(x )＝x 2－4x ＝x (x －4)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝4， ∴f (0)＝0，f (4)＝－323，f (－1)＝－73，f (5)＝－253，∴f (x )max ＝f (0)＝0，f (x )min ＝f (4)＝－323.答案：B3．函数f (x )＝x ＋2sin x 在区间[－π，0]上的最小值是( )A ．－π2 B ．2C.π6＋ 3 D ．－2π3－ 3 解析：f ′(x )＝1＋2cos x ，令f ′(x )＝0得x ＝－2π3，又f (－π)＝－π，f (－2π3)＝－2π3－3，f (0)＝0，故最小值为－2π3－ 3. 答案：D4．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值，最小值分别是________． 解析：f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f′(x)＝0，则x＝－1或x＝1(舍去)，f(－1)＝3，f(0)＝1，f(－3)＝－17，∴f(x)max＝f(－1)＝3，f(x)mi n＝f(－3)＝－17.。