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【关键字】精品有限群的几乎次正规子群与可解性摘要：引进几乎次正规子群的概念，应用某些子群的几乎次正规性给出了有限群为可解群的若干充分条件。
关键词：几乎次正规子群可解群有限群在群论中，人们常常利用有限群g的子群的性质来研究原群的结构。
1996年王燕鸣引进了c-正规的概念，称有限群g的子群h在g中c-正规的，如果存在g的正规子群k，使得g=hk且h∩k≤hg。
2003年张新建等减弱c-正规的条件，给出了s-正规子群的概念，称有限群g的子群h在g中s-正规的, 如果存在g的次正规子群k，使得g=hk且h∩khsg,其中hsg是包含在h中的g的最大次正规子群。
2006年杨高才从另一个方面减弱了c-正规的条件，给出了几乎正规子群的概念，称有限群g的子群h在g中几乎正规，如果存在g的正规子群n，使得nh和n∩h都是g的正规子群。
本文将引入一个比s-正规和几乎正规更加广泛的概念——几乎次正规，并研究某些子群具有几乎次正规性质的有限群的结构。
文中的所有群皆为有限群，soc(g)表示g的基柱；h g表示h是g的正规子群；h g表示h是g 的次正规子群；h≤g表示h是g的子群;h＜g表示h是g的真子群；sylp(g)表示群g的sylowp-子群集合；表示某一素数集；(g)表示|g|的素因子的集；p,q表示素数。
所用的概念和符号参照文献[4]。
1 基本概念定义1 群g的子群h称为在g中几乎次正规，如果存在g的一个次正规子群n，使得nh 和n∩h都是g的次正规子群。
注：显然s-正规子群, 几乎正规子群和次正规子群一定是几乎次正规子群。
但反之不真。
事实上，设g=s4为四次对称群，h1={(1),(1,2,3),(1,3,2)}是g的几乎次正规子群，但不是g 的s-正规子群，也不是g的次正规子群。
h2={(1),(1,2),(3,4)}是g的几乎次正规子群，但不是g的几乎正规子群。
为了获得本文的主要结果，我们先证明下面的引理。
有限群的π-拟正规嵌入子群苏跃斌;许文俊【摘要】设G是有限群,称G的子群H在G中π-拟正规嵌入,如果对于｜H｜的每个素因子p,H的Sylow p -子群也是G的某个π-拟正规子群的Sylow p -子群.利用子群的π-拟正规嵌入性,得到了有限群G为p -幂零群的一些充分条件:设G是有限群,P是G的一个Sylow p -子群,其中p是｜ G｜的一个素因子且使得(｜G｜,p-1) =1.若P的所有极大子群皆在NG (P)中π-拟正规嵌入且NG(P)′也在G 中π-拟正规嵌入,则G为p -幂零群.推广并加深了一些已知结果.%Let G be a finite group. A subgroup H of C is said to be π-quasinormally erabeddable in G, if for each prime divisor p of the order of H, a Sylow p-subgroup of H is also a Sylow p-subgroup of some π-quasinormal subgroup of (7. In terms o f the properties of π-quasinormally embeddability, some sufficient conditions for p-nilpotent of finite groups are obtained. Let G be a finite group and p a prime divisor of I G with ( 1Cl ,p - 1) = 1. If there exists a Sylow p-subgroup P of G such that ev ery maximal subgroup of P is π-quasinormal embeddable in NG(P) and NC(P)' is π-quasinonnally embeddable in C, then, G isp-nilpotent. And some known results are generalized and improved.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(034)006【总页数】3页(P841-843)【关键词】有限群;极大子群;正规化子;p-幂零;π-拟正规嵌入【作者】苏跃斌;许文俊【作者单位】四川理工学院理学院,四川自贡643000;四川理工学院理学院,四川自贡643000【正文语种】中文【中图分类】O152.1本文所涉及到的群均为有限群.所用术语和符号都是标准的，见文献［1］.设G是群，H和K是G的两个子群.H和K称为在G中是可换的，如果HK=KH，显然G的两个子群H和K是可换的当且仅当HK是G的一个子群.称H在G中π－拟正规(s－拟正规)，如果H同G的每个Sylow－子群可换.O.H.Kegel［2］引入了这一概念后，许多学者进行了研究，得到了丰富的结果［3－7］.后来A.Ballester-Bolinches等［8］将这一概念推广为π－拟正规嵌入.称H在G中π－拟正规嵌入，如果对于|H|的每个素因子p，H的Sylow p－子群也是G的某个π－拟正规子群的Sylow p－子群.并得到了如下结果：设G是有限群.若G的Sylow－子群的极大子群均在G中π－拟正规嵌入，则G是超可解群.近年来，许多学者在π－拟正规嵌入条件下研究了有限群的结构［8－13］.例如，M.Asaad等［9］得到了如下结果：设G是有限群，p是G的阶的最小素因子.若G的Sylow p－子群极大子群均在G中π－拟正规嵌入，则G是p－幂零群.在本文里，讨论G的Sylow p－子群的极大子群在G的某个子群里π－拟正规嵌入性.1 相关引理及其证明引理1［8］假设U在G中π－拟正规嵌入，H≤G且K◁G，则有：1)如果U≤H，则U在H中π－拟正规嵌入;2)UK在G中π－拟正规嵌入且UK/K在G/K中π－拟正规嵌入;3)设K≤H且H/K在G/K中π－拟正规嵌入，则H在G中π－拟正规嵌入.引理2 设N是群G的正规子群，Q是G的Sylow－子群.如果Q的极大子群都在NG(Q)中π－拟正规嵌入，那么QN/N的每个极大子群都在NG/N(QN/N)中π－拟正规嵌入.证明假设T/N是QN/N的一个极大子群，由于T=T∩(QN)=N(T∩Q)，所以q=|QN/N：T/N|=|QN：N(T∩Q)|=|Q：(T∩Q)|.比较阶，则有T∩ Q＜Q.又因为NG/N(QN/N)= NG(Q)N/N，应用引理1，有(T∩Q)N/N=T/N在NG(Q)N/N=NG/N(QN/N)是π－拟正规嵌入的.引理3［14］设G是群，p是|G|的一个素因子且(|G|，p－1)=1，那么：1)若N◁G且|N|=p，则N≤Z(G);2)若G的Sylow p－子群循环，则G为p－幂零;3)若M≤G且|G：M|=p，则M◁G.引理4［11］设G是有限群，p是|G|的素因子且(|G|，p－1)=1.若G的Sylow p －子群极大子群均在G中π－拟正规嵌入，则G是p－幂零群.引理5［1］设群G=H1×H2×…×Hn，则G' =H'1×H'2×…×H' n.引理6［1］设G是群，N◁G.如果存在H≤G使得N≤Φ(H)，那么N≤Φ(G).引理7［11］设H是G的π－拟正规嵌入子群，P是H的Sylow p－子群.若HG=1，则P是G的π－拟正规子群.引理8［15］设P是群G的π－拟正规p－子群，其中p是一个素数，则Op(G)≤NG(P).2 主要结果定理1 设G是有限群，P是G的一个Sylow p－子群，其中p是|G|的一个素因子且(|G|，p－1)=1.若P的极大子群皆在NG(P)中π－拟正规嵌入且NG(P)'在G中π－拟正规嵌入，则G为p－幂零群.证明设G是极小阶反例，记NG(P)=N.则：1)Op'(G)=1.若否，Op'(G)≠1.记 N1= Op'(G)并考虑商群¯G=G/N1.由引理2知¯P= PN1/N1的极大子群皆在¯N=NG/N1(PN1/N1)中π－拟正规嵌入，又因为¯N'=(N¯G(¯P))'=N'N1/N1，所以由引理1知¯N'在¯G中π－拟正规嵌入.从而¯G满足定理的假设.由G的极小性知¯G为p－幂零，从而G亦为p－幂零，矛盾.2)N'G=1.由引理4知N为p－幂零，再由条件(|G|，p－1)=1知N可解.若N'G≠1，取L为G的极小正规子群且L≤N' G，因N可解，L为初等交换q－群，其中q为一个素数.由1)，只有q=p.又因为N为p－幂零群，设K为N的正规p －补，则N=P ×K，从而由引理5知N'=P'×K'.这样L≤P'≤Φ(P).由引理2.6，L≤Φ(G).容易验证G/L满足定理的条件，因而由G的极小性得G/L为p幂零，这样G为p－幂零，矛盾.3)最终矛盾.由引理7以及2)可知P'在G中π－拟正规.于是由引理2.8，Op(G)≤NG(P').但是P≤NG(P')，故P'◁G.又因为P'≤N'且N'G= 1，故P'=1，则P交换，由N为p－幂零群，从而CG(P)=NG(P).由Burnside定理知，G为p－幂零，矛盾.完成证明.注1 定理中的假设“(|G|，p－1)=1”这一条件是必不可少的.例如，设G为3次对称群S3，P为G的Sylow 3－子群，则P的极大子群是单位元群，但是G不是3－幂零群.由定理的证明过程不难得出以下定理.定理2 设G是有限群，P是G的一个Sylow p－子群，其中p是|G|的一个素因子且(|G|，p－1)=1.若P的极大子群皆在NG(P)中π－拟正规嵌入且P'在G中正规，则G为p－幂零群.定理3 设G是有限群.如果对G的阶的任意素因子p都存在G的一个Sylow p－子群P，使得P的极大子群皆在NG(P)中π－拟正规嵌入且P'在G中正规，则G 是超可解群.证明设G是极小阶反例.根据定理2，显然G具有一个超可解型的Sylow塔，因此G是可解的.设N是G 的一个极小正规子群，那么根据引理2则知G/N满足定理假设，由G的极小性则知G/N是超可解的，这表明N是G的唯一的极小正规子群.如果N≤Φ(G)，那么G是超可解的，矛盾.不妨设N≤/Φ(G).因此存在G的一个极大子群M使得G=NM.设q是|G|的一个最大素因子，Q是G的一个Sylow q－子群，那么Q◁G.由N的唯一极小正规性有N≤Q.设Q1是Q的一个极大子群并且使得N≤ Q1，那么 q=|Q：Q1|= |(Q1N)：Q1|=|N：(Q1∩N)|，所以Q1∩N是N的一个极大子群并且Q1∩N◁Q.根据假设Q1在NG(Q)=G中是一π－拟正规嵌入，所以存在H≤G使得H在G中π－拟正规且Q1是H的Sylow q－子群.于是对于G 的任意Sylow r－子群R(这里r≠q)，HR=RH.又因为Q1◁Q◁G，所以Q1◁◁G.进而Q1◁◁HR，显然Q1是HR的Sylow q－子群，Q1◁HR.从而Q1R=RQ1.即Q1在NG(Q)=G中是π－拟正规，又因为N◁G，不难验证N∩Q1在G中是π－拟正规.如果(Q1∩N)≠1，由于M＜·G，那么G=(Q1∩N)M，所以G=NM.这表明Q1∩N =1，即|N|是一个素数.由于G/N是超可解的并且|N|=q，因此有G是超可解的，矛盾.定理4 设H是群G的正规子群使得G/H为p－幂零群，其中p是G的一个素因子且(|G|，p－1) =1.如果存在H的Sylowp－子群P，使得P的极大子群都在N=NG(P)中π－拟正规嵌入，并且N'在G中π－拟正规嵌入，那么G是p－幂零群.证明设G是极小阶反例，则：1)Op'(G)=1.假如Op'(G)≠1，设Op'(G)= N1并考虑商群¯G=G/N1，有¯N=NG/N1(PN1/N1)= NG(P)N1/N1=NN1/N1.设P1N1/N1为PN1/N1的极大子群，其中P1为P的极大子群.由题设，P1在N中π－拟正规嵌入，由引理1知P1N1/N1在NN1/N1中π－拟正规嵌入.这样¯G满足定理的条件.由G的极小性得¯G为p－幂零，从而G为p－幂零的，矛盾.2)H=P.显然H满足定理1的条件，故H为p－幂零的.从而H有正规p－补T.又因为H◁G，所以H的正规p－补T也是G的正规p－补.由1)知T=1，故H=P.3)最终矛盾.由2)H=P且H◁G，故P◁G，从而NG(P)=G.由引理4知G为p－幂零的，矛盾.完成证明.注2 定理中的假设“N'在G中π－拟正规嵌入”这一条件是必不可少的.例如，设G为特殊射影线性群PSL(2，17)为单群，P为G的Sylow 2－子群.显然P的极大子群都在NG(P)=P中正规，但不是2－幂零的.致谢四川理工学院人才引进项目(2009xjkRL011)对本文给予了资助，谨致谢意. 参考文献［1］Robinson D J S.A Course in the Theory of Groups［M］.New York：Springer-Verlag，1993.［2］Kegel O H.Sylow-gruppen and subnormal endlicher gruppen ［J］.Math 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判定有限群可解性的一种方法作者：崔雪晴陈仁霞来源：《科技视界》2015年第07期【摘要】本文研究了换位子群的性质，得出了几个关于换位子群的结论.研究了有限群子群指数互素的情形.在此基础上，给出了一种判定有限群可解性的方法，即，若有限群G有三个可解子群H1，H2，H3，且指数G∶H1，G∶H2，G∶H3两两互素，则G是可解的.【关键词】有限群;可解性;可解子群An Decision Method of the Solvability of Finite GroupsCUI Xue-qing CHEN Ren-xia（College of Science， Zhongyuan University of Technology， Zhengzhou Henan 450000，China）【Abstract】It studies the properties of commutator groups， and gets some conclusions about commutator groups. It studies the case that the indexes of subgroups of finite groups are relatively prime. On the basis， it gives an decision method of the solvability of finite groups， that is， if a finite group G has three solvable subgroups H1，H2，H3， and the indexes G∶H1，G∶H2，G∶H3 are relatively prime， G is solvable.【Key words】Finite group; Solvability; Solvable subgroups可解群是一类常见的群，在Galois方程论等方面有重要的应用.判定有限群的可解性是一个常见的问题.以下给出一种方法，把判定有限群G的可解性的问题转化成寻找G的三个指数互素的可解子群的问题.如果能够找到三个子群，指数互素，且可解，那么G是可解的.这样就把判定阶数较高的群的可解性的问题转化成了判定阶数较低的群的可解性.而阶数较低的群相对容易研究.首先看定义和几个引理.定义1 设G为任意群. a，b∈G，令[a，b]=a-1b-1ab，称为元素a，b的换位子.令G′=〈[a，b]|a，b∈G〉，称为G的换位子群.归纳定义G的n阶换位子群：G（0）=G，G（n）=（G（n-1））′，n≥1.称群G为可解群，如果存在正整数k使G（k）=1.下面的引理1给出了几个关于换位子群的结论.引理1 （1）设G=M1×M2，则G′=M1′×M2′.（2）设H≤G，g∈G，则（Hg）（n）=（H（n））g，n≥1.以上给出了一种判定有限群可解性的方法，把判定阶数较高的群的可解性的问题转化成了判定阶数较低的群的可解性.【参考文献】[1]崔雪晴，何建营.有限特征单群结构[J].科教导刊，2014，11（1）：198-199.[2]徐明曜.有限群导引上册[M].2版.北京：科学出版社，1999：6-7.[3]Nathan Jacobson.Basic Algebra I[M].San Francisco：W.H.Freeman and Company，1974：239.[责任编辑：汤静]作者简介：崔雪晴（1984—），女，硕士研究生，助教，研究方向为代数。
２０１４年９月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀广西师范学院学报:自然科学版S e p．２０１４第３１卷第３期㊀㊀㊀㊀㊀J o u r n a l o fG u a n g x i T e a c h e r sE d u c a t i o nU n i v e r s i t y:N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n V o l．３１N o．３文章编号:１００２Ｇ８７４３(２０１４)０３Ｇ００１８Ｇ０５次正规嵌入子群与有限群的可解性(I I)∗黄㊀琼１,２,姚盛贵１,韦华全１,杨立英１,刘㊀丹１,任素梅１(１．广西师范学院数学科学学院,广西南宁５３００２３;２．广西体育运动学校,广西南宁５３００１２)摘㊀要:群G可解当且仅当对于每个MɪF o d(G)或MɪF２(G)或存在G的可解极大子群M,存在I(M)的极大元C使得C/K(C)幂零且下列条件之一得到满足:(１)C/K(C)的S y l o w２－子群的极大子群在G/K(C)中次正规嵌入;(２)C/K(C)的S y l o w２－子群的循环子群在G/K(C)中次正规嵌入．关键词:可解群;次正规嵌入子群;S y l o w２－子群;极大完备;强θ－完备中图分类号:O１５２．１㊀㊀文献标识码:A１㊀引㊀言本文之群皆指有限群,所用术语和符号都是标准的．有限群的可解性和非可解性是有限群论的两个主要的研究方向．由于许多群论工作者的努力,可解群的研究有了非常大的发展:新概念的引入,新工具和新方法(包括纯群论方法与表示论方法)的采用,新方向的开拓等不断地增强它的生命力．１９９８年赵耀庆在[１]中提出了θ－完备的概念．２００４年,李世荣和赵耀庆[２]通过定义sＧ完备削弱了极大完备,并得到了有限群可解的若干个结论．２００６年,杜妮和李世荣在[３]中提出了强θＧ完备的概念,这一概念的提出,去掉了θＧ完备的 极大 这一条件,并得到有限群可解的一些新的判别准则,推广了一些相关定理．２００７年,宋玉和韦华全在[４]中给出了一些关于极大完备,θＧ完备,sＧ完备和强θＧ完备等的相关定理的证明,进一步在较弱的条件下,研究有限群的可解性．本章利用极大完备,正规完备和强θＧ完备对有限群的S y l o w２Ｇ子群的极大子群和循环子群的次正规嵌入性进行研究,得到了有限群可解的一些结果．２㊀定义及引理定义２．１([５])㊀设H是群G的子群．H称为G的次正规嵌入子群,若H的S y l o w子群也是G的某个次正规子群的S y l o w子群．引理２．２㊀设G是群,则(１)若H◁◁G,MɤG,则HɘM◁◁M;(２)若N G,且H◁◁G,则HN/N◁◁G/N．引理２．３([５])㊀设N是群G的正规子群,H是G的次正规嵌入子群,则(１)若HɤMɤG,则H在M中次正规嵌入;(２)HN/N在G/N中次正规嵌入．定义２．４([６])㊀设M是群G的一个极大子群．G的一个子群C称为M在G中的一个完备,如果C ⊈M,而C的每个GＧ不变真子群都在M中．若用K(C)表示C的所有GＧ不变真子群之积,则K(C)＜收稿日期:２０１４Ｇ０７Ｇ１０∗基金项目:国家自然科学基金(１０９６１００７,１１１６１００６);广西自然科学基金(０９９１１０１,０９９１１０２)作者简介:黄琼(１９８４－㊀),女,硕士,主要从事群论研究．E m a i l:４１８０６８０６６＠q q．c o m第３期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀黄㊀琼,等:次正规嵌入子群与有限群的可解性(I I) １９㊀ C且K(C)◁G,M在G中的所有完备作成一个集合,记为I(M),叫做M在G中的指数复合．I(M)按集合包含关系作成一个偏序集,其极大元称为M的极大完备．注２．５([７])㊀若CɪI(M)且C◁G,则称C为M的正规完备．显然,正规完备必为极大完备．注２．６([７])㊀对于群G的任一极大子群M,I(M)必有正规完备．定义２．７([８])㊀设M是群G的一个极大子群．G的一个子群C称为M在G中的一个θＧ完备,如果C满足:(１)C⊈M;(２)M G⊆C;(３)C/M G不真含G/M G的异于１的正规子群．定义２．８([３])㊀设C是关于M的θＧ完备,称C为关于M的强θＧ完备,如果C＝G或存在G的子群B,使得(１)C是B的极大子群;(２)B不是关于M的θＧ完备．注２．９([３])㊀极大θＧ完备必定是强θＧ完备,但强θＧ完备未必是极大θＧ完备．定义２．１０([９])㊀设G是群．记F(G)＝{M M＜ G},F p(G)＝{M MɪF(G)且M非pＧ幂零},F c(G)＝{M MɪF(G)且GʒM是合数},F d(G)＝{M MɪF c(G)且对任意pɪπ(G),GʒMʂp２},F p(G)＝{M MɪF(G)且有PɪS y l p(G)使N G(P)ɤM},F p d(G)＝F p(G)ɘF d(G)ɘF p(G),F o d(G)＝ɣpɪπ(G)－２F p d(G)．定义２．１１([９])㊀若F p(G)非空,S p(G)＝ɘ{M MɪF p(G)};否则S p(G)＝G．若F o d(G)非空, S o d(G)＝ɘ{M MɪF o d(G)};否则S o d(G)＝G．引理２．１２([１０,定理１．７])㊀设G为有限群,则下述两条均为G可解之充要条件:(１)G的合成因子皆为素数阶循环群;(２)G的主因子皆为素数幂阶的初等交换群．引理２．１３([９])㊀设G是群,则S２(G)和S o d(G)都是可解群．引理２．１４([１１])㊀设G是一个群,N◁G使得G/N有唯一极小正规子群U/N．令M是G的一个极大子群且满足:M包含N,但不包含U．并且令C是I(M)的一个极大元．进一步假设U/N不是C/K (C)的截断,那么(１)N＝K(G);(２)C是U C的极大子群．引理２．１５([１２])㊀设M为群G的幂零极大子群,若M的S y l o w２Ｇ子群的极大子群都在G中次正规嵌入㊁则G可解．引理２．１６([１２])㊀若群G的S y l o w２Ｇ子群的循环子群均在G中次正规嵌入,则G可解．３㊀主要结果定理３．１㊀群G可解当且仅当对于每个MɪF o d(G),存在I(M)的极大元C使得C/K(C)幂零且下列条件之一得到满足:(１)C/K(C)的S y l o w２Ｇ子群的极大子群在G/K(C)中次正规嵌入;(２)C/K(C)的S y l o w２Ｇ子群的循环子群在G/K(C)中次正规嵌入．证明㊀必要性㊀因G可解,故由引理２．１２知,G的主因子皆为交换群．下面构造C/K(C)．对任意M＜ G,在非空集合{U U G且G＝UM}中取极小者C,则C为M的一个极大完备,又因K(C)＜２０㊀ ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀广西师范学院学报:自然科学版㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３１卷C,K(C)G,故C/K(C)是G的一个主因子．由引理２．１２知,C/K(C)为p n阶初等交换pＧ群,p为素数．从而得C/K(C)为幂零群．设P/K(C)ɪS y l２(C/K(C)),则可推出P/K(C)G/K(C)．取P１/K (C)＜ P/K(C),那么P１/K(C)P/K(C)．因P１/K(C)◁◁G/K(C),故P１/K(C)在G/K(C)中次正规嵌入．充分性㊀设G是一个极小阶反例,取G的尽可能大的正规子群N,使得G/N非可解,则U/N是G/N的唯一极小正规子群且非可解．由引理２．１３知U/N S o d(G/N)(若否,则U/NɤS o d(G/N),因S o d(G/N)可解,所以U/N可解,矛盾)．故存在M/N＜ G/N且M/NɪF o d(G/N),使得U/N M/N．显然M＜ G,NɤM但U M而MɪF o d(G)．由假设I(M)有极大元C使得C/K(C)是幂零的,且满足(１)或(２)．若U/N是C/K(C)的截断,则U/N为幂零群,即U/N可解,与U/N非可解矛盾．于是U/N不是C/K(C)的截断．由引理２．１４知,C 是U C的极大子群,且N＝K(C)．显然,C/N是U C/N的幂零极大子群．若(１)成立,则由C/NɤU C/ NɤG/N和引理２．３知,C/N的S y l o w２Ｇ子群的极大子群在U C/N中次正规嵌入．由引理２．１５知, U C/N可解,故U/N可解,矛盾．故极小阶反例不存在,G为可解群．若(２)成立,则由C/NɤG/N和引理２．３知,C/N的S y l o w２Ｇ子群的循环子群在C/N中次正规嵌入．由引理２．１６知,C/N可解,取C G,即C为正规完备,因U/N是G/N的唯一一个极小正规子群,故U/N C/N,显然U/N可解,矛盾．故极小阶反例不存在,G为可解群．证毕．定理３．２㊀群G可解当且仅当对于每个MɪF２(G),存在I(M)的极大元C使得C/K(C)幂零且下列条件之一得到满足:(１)C/K(C)的S y l o w２Ｇ子群的极大子群在G/K(C)中次正规嵌入;(２)C/K(C)的S y l o w２Ｇ子群的循环子群在G/K(C)中次正规嵌入．证明㊀必要性㊀因G可解,故由引理２．１２知,G的主因子皆为交换群．下面构造C/K(C)．对任意M＜ G,在非空集{U U G且G＝UM}中取极小者C,显然C G,则C为M的一个极大完备,又因K(C)＜C,K(C)G,故C/K(C)是G的一个主因子．由引理２．１２知,C/K(C)为p n阶初等交换pＧ群,p为素数．从而得C/K(C)为幂零群．设P/K(C)ɪS y l２(C/K(C)),则可推出P/K(C)G/K (C)．取P１/K(C)＜ P/K(C),则P１/K(C)P/K(C)．因P１/K(C)◁◁G/K(C),故P１/K(C)在G/K(C)中次正规嵌入．充分性㊀设G是一个极小阶反例,取G的尽可能大的正规子群N,使得G/N非可解,则U/N是G/N的唯一极小正规子群且非可解．由引理２．１３知U/N S２(G/N)(若否,则U/NɤS２(G/N),因S２(G/N)可解,故U/N可解,矛盾)．故存在M/N＜ G/N且M/NɪF２(G/N),使得U/N M/N．显然M＜ G,NɤM,但U M而MɪF２(G)．由假设I(M)有极大元C使得C/K(C)是幂零的,且满足(１)或(２)．若U/N是C/K(C)的截断,则U/N为幂零群,即U/N可解,与U/N非可解矛盾．于是U/N不是C/K(C)的截断．由引理２．１４知,C 是U C的极大子群,且N＝K(C)．显然,C/N是U C/N的幂零极大子群．若(１)成立,则由C/NɤU C/ NɤG/N及引理２．３知,C/N的S y l o w２－子群的极大子群在U C/N中次正规嵌入．由引理２．１５知, U C/N可解,故U/N可解,矛盾．故极小阶反例不存在,G为可解群．若(２)成立,则由C/NɤG/N及引理２．３知,C/N的S y l o w２－子群的循环子群在C/N中次正规嵌入．由引理２．１６知,C/N可解,取C G,即C为正规完备,因U/N是G/N的唯一一个极小正规子群,故U/N C/N,显然U/N可解,矛盾．故极小阶反例不存在,G为可解群．证毕．定理３．３㊀群G可解当且仅当存在G的可解极大子群M及I(M)的极大元C使得C/K(C)幂零且下列条件之一得到满足:(１)C/K(C)的S y l o w２－子群的极大子群在G/K(C)中次正规嵌入;(２)C/K(C)的S y l o w２－子群的循环子群在G/K(C)中次正规嵌入．证明㊀必要性㊀必要性是显然的．充分性㊀设G是一个极小阶反例,取G的尽可能大的正规子群N,使得G/N非可解,则U/N是G/N的唯一极小正规子群且非可解．若NM＝G,则G/N≅M可解,与G/N非可解矛盾．故NM＜G．第３期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀黄㊀琼,等:次正规嵌入子群与有限群的可解性(I I) ２１㊀ 因M＜ G,故NɤM．若U⊆M,则U可解,可推出U/N可解,矛盾,所以U⊈M．由假设I(M)有极大元C使得C/K(C)是幂零的,且满足(１)或(２)．若U/N是C/K(C)的截断,则U/N为幂零群,即U/N可解,与U/N非可解矛盾．因此U/N不是C/K(C)的截断．由引理２．１４知,C 是U C的极大子群,且N＝K(C)．显然,C/N是U C/N的幂零极大子群．若(１)成立,则由C/NɤU C/ NɤG/N和引理２．３知,C/N的S y l o w２－子群的极大子群在U C/N中次正规嵌入．由引理２．１５知, U C/N可解,故U/N可解,矛盾．故极小阶反例不存在,G为可解群．若(２)成立,则由C/NɤG/N和引理２．３知,C/N的S y l o w２－子群的循环子群在C/N中次正规嵌入．由引理２．１６知,C/N可解,取C G,即C为正规完备,U/N是G/N的唯一一个极小正规子群,故U/N C/N,显然U/N可解,矛盾．故极小阶反例不存在,G为可解群．证毕．定理３．４㊀群G可解当且仅当对于每个MɪF o d(G),存在I(M)的一个强θＧ完备C使得C/M G幂零且下列条件之一得到满足:(１)C/M G的S y l o w２Ｇ子群的极大子群在G/M G中次正规嵌入;(２)C/M G的S y l o w２Ｇ子群的循环子群在G/M G中次正规嵌入．证明㊀必要性㊀因G可解,故由引理２．１２知,G的主因子皆为交换群．对任意M＜ G,在非空集合{U U◁G且G＝UM,M GɤU}中取极小者C,由定义可知C是关于M的强θＧ完备．因C/K(C)是G 的一个主因子,故C/K(C)为初等交换pＧ群,p为素数．可推出C/K(C)为幂零群．因K(C)⊆C,C⊈M,K(C)⊆M,C/K(C)不真含G/K(C)的异于１的正规子群,而M G⊆C,C⊈M,M G⊆M,故M GɤK (C)ɤM．又因K(C)G,所以K(C)ɤM G,故K(C)＝M G．显然G/M G幂零．设P/M GɪS y l２(C/ M G),则P/M G G/M G．取P１/M G＜ P/M G,则P１/M G P/M G．因P１/M G◁◁G/M G,故P１/M G 在G/M G中次正规嵌入．充分性㊀设G为一个极小阶反例．取G的尽可能大的正规子群N,使得G/N非可解,则U/N是G/N的唯一极小正规子群且非可解．由引理２．１３知U/N S o d(G/N)(若否,则U/NɤS o d(G/N),因S o d(G/N)可解,故U/N可解,矛盾)．故存在M/NɪF o d(G/N)使得U/N M/N．故存在M＜ G,使得NɤM,但U⊈M而MɪF o d(G)．因U/N是G/N的唯一一个极小正规子群,故N U,U G,又因N⊆M,U⊈M,N M,故N＝M G．因I(M)有一个关于M的强θＧ完备C使得C/M G＝C/N幂零,显然C＜G．由C的强θＧ完备性可知,存在子群B使C＜ B且B不是关于M的θＧ完备．显然C/N＜ B/N．若(１)成立,则由引理２．３知,C/N的S y l o w２Ｇ子群的极大子群在B/N中次正规嵌入．再由引理２．１５知,B/N可解．又因B⊈M 且N＝M G⊆B,故由定义２．７和定义２．８知,B/N必真含G/N的异于１的正规子群．因U/N为G/N 的唯一一个极小正规子群,故U/NɤB/N,从而U/N可解,矛盾．若(２)成立,则由引理２．３知,C/N的S y l o w２Ｇ子群的循环子群在C/N中次正规嵌入,由引理２．１６知,C/N可解．取C为{V V◁G且G＝V M}中的一元素,则C G．因U/N为G/N的唯一一个极小正规子群,故U/N C/N,显然U/N可解,矛盾．故极小阶反例不存在,G为可解群．证毕．定理３．５㊀群G可解当且仅当对于每个MɪF２(G),存在I(M)的一个强θＧ完备C使得C/M G幂零且下列条件之一得到满足:(１)C/M G的S y l o w２Ｇ子群的极大子群在G/M G中次正规嵌入;(２)C/M G的S y l o w２Ｇ子群的循环子群在G/M G中次正规嵌入．证明㊀必要性㊀因G可解,故由引理２．１２知,G的主因子皆为交换群．对任意M＜ G,在非空集合{U U◁G且G＝UM,M GɤU}中取极小者C,则由定义可知C是关于M的强θＧ完备．因C/K(C)是G的一个主因子,故C/K(C)为初等交换pＧ群,p为素数．可推出C/K(C)为幂零群．因K(C)⊆C,C⊈M,C/K(C)不真含G/K(C)的异于１的正规子群,而M G⊆C,C⊈M,C/M G不真含G/M G异于１的正规子群,故K(C)＝M G．显然G/M G幂零,设P/M GɪS y l２(C/M G),则P/M G G/M G．取P１/M G＜ P/M G,则P１/M G P/M G．因P１/M G◁◁G/M G,故P１/M G在G/M G中次正规嵌入．充分性㊀设G为一个极小阶反例．取G的尽可能大的正规子群N,使得G/N非可解,则U/N是２２㊀ ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀广西师范学院学报:自然科学版㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３１卷G/N的唯一极小正规子群且非可解．由引理２．１３知U/N S２(G/N)(若否,则U/NɤS２(G/N),因S２(G/N)可解,所以U/N可解,矛盾)．故存在M/NɪF２(G/N),使得U/N M/N．故存在M＜ G 使得NɤM,但U⊈M而MɪF２(G)．因U/N是G/N的唯一一个极小正规子群,故N U,U G,又因N⊆M,U⊈M,N M,故N＝M G．因I(M)有一个关于M的强θＧ完备C使得C/M G＝C/N幂零,显然C＜G．由C的强θＧ完备性可知,存在子群B使C＜ B且B不是关于M的θＧ完备．显然C/N＜ B/N．若(１)成立,则由引理２．３知,C/N的S y l o w２Ｇ子群的极大子群在B/N中次正规嵌入．再由引理２．１５知,B/N可解．又因B⊈M 且N＝M G⊆B,故由定义２．７和定义２．８知,B/N必真含G/N的异于１的正规子群．因U/N为G/N 的唯一一个极小正规子群,故U/NɤB/N,从而U/N可解,矛盾．若(２)成立,则由引理２．３知,C/N的S y l o w２Ｇ子群的循环子群在C/N中次正规嵌入,由引理２．１６知,C/N可解．取C为{V V◁G且G＝V M}中的一元素,则C G．因U/N为G/N的唯一一个极小正规子群,故U/N C/N,显然U/N可解,矛盾．故极小阶反例不存在,G为可解群．证毕．参考文献:[１]㊀Z HA O Y Q．O n t h e i n d e x c o m p l e xo f am a x i m a l s u b g r o u p a n ds u p e r s o v a b l eo f a f i n i t e g r o u p[J]．C o mm A l g e b r a,１９９６,２４:１７８５Ｇ１７９１．[２]㊀L I SR,Z HA O Y Q．O n sＧC o m p l e t i o n s o fM a x i m a l S u b g r o u p s o f F i n i t eG r o u p s[J]．A l g e b r aC o l l o q 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N GL iＧy i n g１,L I UD a n１,R E NS uＧm e i１(１．S c h o o l o fM a t h e m a t i c a l S c i e n c e s,G u a n g x iT e a c h e r sE d u c a t i o nU n i v e r s i t y,N a n n i n g５３００２３,C h i n a;２．G u a n g x i S p o r t sS c h o o l,N a n n i n g５３００１２,C h i n a)A b s t r a c t:G i s s o l v a b l e i f a n d o n l y f o r e a c h MɪF o d(G)o r e x i s t i n g s o l v a b l em a x i m a l s u b g r o u p M i n G, t h e r e i s am a x i m a l e l e m e n t C i n I(M)s u c h t h a t C/K(C)i s n i l p o t e n t a n d o n e o f t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s i s c o n t e n t e d．(１)A m a x i m a l s u b g r o u p o f S y l o w２Ｇs u b g r o u p o f C/K(C)i s s u b n o r m a l l y e m b e d d e d i n G;(２)A c y c l i c s u b g r o u p o f S y l o w２Ｇs u b g r o u p o f C/K(C)i s s u b n o r m a l l y e m b e d d e d i n G．K e y W o r d s:s o l v a b l e g r o u p;s u b n o l r e a l l y e m b e d d e ds u b g r o u p;S y l o w２Ｇs u b g r o u p;m a x i m a l c o mＧp l e t e;s t r o n gθＧc o m p l e t e[责任编辑:班秀和]。
