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离散数学习题答案习题一1、利用逻辑联结词把下列命题翻译成符号逻辑形式（1）他既是本片的编剧,又是导演--- P∧ Q（2）银行利率一降低,股价随之上扬--- P→ Q（3）尽管银行利率降低,股价却没有上扬--- P∧ Q（4）占据空间的、有质量而且不断变化的对象称为物质--- M ←→<S∧P∧T> （5）他今天不是乘火车去北京,就是随旅行团去了九寨沟 --- P▽ Q（6）小张身体单薄,但是极少生病,并且头脑好使--- P∧ Q ∧ R（7）不识庐山真面目,只缘身在此山中--- P→ Q〔解释：因为身在此山中,所以不识庐山真面目（8）两个三角形相似,当且仅当他们的对应角相等或者对应边成比例--- S ←→<E∨T>（9）如果一个整数能被6整除,那么它就能被2和3整除。
如果一个整数能被3整除,那么它的各位数字之和也能被3整除解：设 P –一个整数能被6整除Q –一个整数能被2整除 R –一个整数能被3整除S –一个整数各位数字之和能被3整除翻译为：〔P→〔Q ∧ R∧〔R→ S2、判别下面各语句是否命题,如果是命题,说出它的真值〔1BASIC语言是最完美的程序设计语言--- Y,T/F〔2这件事大概是小王干的--- N〔3x2 = 64 --- N〔4可导的实函数都是连续函数--- Y,T/F〔5我们要发扬连续作战的作风,再接再厉,争取更大的胜利--- N〔6客观规律是不以人们意志为转移的--- Y,T〔7到2020年,中国的国民生产总值将赶上和超过美国--- Y,N/A〔8凡事都有例外--- Y,F3、构造下列公式的真值表,并由此判别哪些公式是永真式、矛盾式或可满足式〔1〔P∨〔～P∧ Q→ Q〔2~〔4表略：〔2可满足式、〔3永真式、〔4可满足式4、利用真值表方法验证下列各式为永真式〔1~〔8略5、证明下列各等价式〔3P→〔Q∨ R⇔〔P→ Q∨〔P→ R证明：左式⇔～P∨Q∨ R⇔～P∨Q∨～P∨ R⇔〔～P∨Q∨〔～P∨ R⇔〔P→ Q∨〔P→ R⇔右式〔4〔P∧ Q∨〔R∧ Q∨〔R∧ P⇔〔P∨ Q∧〔R∨ Q∧〔R∨ P证明：左式⇔<〔P∨R∧ Q∨〔R∧ P⇔<〔P∨R∨R>>∧<〔P∨R∨P>>∧〔Q∨R∧〔Q∨P⇔〔P∨ Q∧〔R∨ Q∧〔R∨ P⇔右式6、如果P∨ Q ⇔ Q∨R,能否断定 P ⇔ R ？如果P∧ Q ⇔ Q∧R,能否断定 P ⇔ R？如果～P ⇔～R,能否断定 P ⇔ R？解：〔1如果P∨ Q ⇔ Q∨R,不能判断P ⇔ R,因为如果 Q = P∨ R, 那么P∨ Q⇔P ∨P∨ R ⇔ Q∨R,但P可以不等价于R.〔2如果P∧ Q ⇔ Q∧R,不能判断P ⇔ R,因为如果 Q = P∧ R, 那么P∧ Q⇔P ∧P∧ R ⇔ Q∧R,但P可以不等价于R.〔3如果～P ⇔～R,那么有P ⇔ R,因为～P ⇔～R,则～P <-> ～R为永真式,及有P <-> R为永真式,所以P ⇔ R.8、把下列各式用↑等价表示出来〔1<P∧Q>∨～P解：原式⇔ <<P↑Q>↑<P↑Q>>∨<P↑P>⇔ <<<P↑Q>↑<P↑Q>>↑<<P↑Q>↑<P↑Q>>>↑<<P↑P>↑<P↑P>>9、证明：{ ～→}是最小功能完备集合证明: 因为{～,∨}是最小功能完备集合,所以,如果{ ～→}能表示出∨,则其是功能完备集合。
第2次作业一、单项选择题(本大题共40分，共20小题，每小题2分)1.假设A={a, b, c, d},考虑子集S= {{a, b}, {b, c}, {d}},则下列选项正确的是()oA.S是A的覆盖B.S是A的划分C.s既不是划分也不是覆盖D.以上选项都不正确2.设h是群G上的一个同态，|G|二12,山(G)|二3,则|K| (K是h的核)二_________________ ()A.1B.2C.D.3.L23 ), 设G是连通(n,m)的平面图，有r个面，且每个面的次数至少为L( 则A.m>3n-6B.Hl <c.m+n-r=2D.m+r-n二24.如果小王和小张都不去，则小李去。
设P：小王去。
Q：小张去。
R：小李去。
则命题符号化为_________ oA.-I QA-i PVRB.(Q->P)ARC.(n PAn QLRD.(PAQ)-R5.没有不犯错误的人。
M(x)： x为人。
F (x) : x犯错误。
则命题可表示为()OA.(Vx) (M(x) F (x)B.(3x) (M(x) AF(x)C.(Vx) (M(x)AF(x))D.(3x) (M(x)-F(x)6.(1)燕子北冋，春天来了。
设P:燕了北回。
Q：春天來了。
则(1)可以表示为___________ oP->QQ-PC.UQD.P VQ7.命题公式(P->QA-i P)的类型是___________ 。
A.重言式B.矛盾式C.可满足式D.永真式6.一阶逻辑公式Vx(F(x, y)AG(y, z) )—VzF(z, y)是()前束范式封闭公式C.永真式D.永假式7.谓词公式(3x)P(x, y) A (Vx) (Q(x, z)-> Gx) (Vy)R(x, y, z)中的量词Vx 的辖域是()。
A.(Vx)(Q(x,z)->(3 x)( Vy)R(x,y ,z)B.Q(x, z)-> (Vy)R(x, y, z)C.Q (x, z) —(3x) (Vy) R (x, y, z)D.Q(x, z)8.关于半群的性质，下面说法不正确的是()A.若〈S,*>S且*在8上是封闭的，那么匸是一个半群，B<B, *>也是一个半群。
习题3.71. 列出关系}6|{=⋅⋅⋅∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z 中所有有序4元组。
解 }6|{=⋅⋅⋅∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z,2,1,3,1,3,1,2,1,2,3,1,1,3,2,1,1,1,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,1{><><><><><><><><=><><><><><><><><2,1,1,3,3,1,1,2,1,2,1,3,1,3,1,2,1,1,2,3,1,1,3,2,1,2,3,1,1,3,2,12. 列出二维表3.18所表示的多元关系中所有5元组。
假设不增加新的5元组，找出二维表3.18所有的主键码。
表3.18 航班信息航空公司 航班 登机口 目的地 起飞时间 Nadir 112 34 底特律 08:10 Acme 221 22 丹佛 08:17 Acme 122 33 安克雷奇 08:22 Acme 323 34 檀香山 08:30 Nadir 199 13 底特律 08:47 Acme 222 22 丹佛 09:10 Nadir 32234底特律09:44解 略3. 当施用投影运算5,3,2π到有序5元组><d c b a ，，，时你能得到什么？解 略4. 哪个投影运算用于除去一个6元组的第一、第二和第四个分量？ 解 略5. 给出分别施用投影运算4,2,1π和选择运算Nadir 航空公司＝σ到二维表3.18以后得到的表。
解对航班信息二维表进行投影运算5,3,2π后得到的二维表航班 登机口 起飞时间 112 34 08:10 221 22 08:17 122 33 08:22 323 34 08:30 199 13 08:47 222 22 09:10 3223409:44对航班信息二维表进行选择运算Nadir 航空公司＝ 后得到的二维表航空公司 航班 登机口 目的地 起飞时间 Nadir 112 34 底特律 08:10 Nadir 199 13 底特律 08:47 Nadir 32234底特律09:446. 把连接运算3J 用到5元组二维表和8元组二维表后所得二维表中有序多元组有多少个分量？解 略7. 构造把连接运算2J 用到二维表3.19和二维表3.20所得到的二维表。
第二章 谓词逻辑习题与解答1. 将下列命题符号化：(1) 所有的火车都比某些汽车快。
(2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。
(3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。
(4) 每个人都有自己喜欢的职业。
(5) 有些职业是所有的人都喜欢的。
解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。
令x x T :)(是火车， x x C :)(是汽车， x y x F :),(比y 跑得快。
“所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧∃→∀。
(2) 取论域为所有物质的集合。
令x x M :)(是金属， x x L :)(是液体， x y x D :),(可以溶解在y 中。
“任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧∃→∀。
(3) 论域和谓词与(2)同。
“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →∀∧∃。
(4) 取论域为所有事物的集合。
令x x M :)(是人， x x J :)(是职业， x y x L :),(喜欢y 。
“每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧∃→∀(5)论域和谓词与(4)同。
“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →∀∧∃。
2. 取论域为正整数集，用函数+（加法），•（乘法）和谓词<，=将下列命题符号化：(1) 没有既是奇数，又是偶数的正整数。
(2) 任何两个正整数都有最小公倍数。
(3) 没有最大的素数。
(4) 并非所有的素数都不是偶数。
解 先引进一些谓词如下：x y x D :),(能被y 整除，),(y x D 可表示为)(x y v v =•∃。
x x J :)(是奇数，)(x J 可表示为)2(x v v =•⌝∃。
1-1．都是命题：1-2设P：明天天气晴朗Q：我们就去郊游则P →Q：如果明天天气晴朗，我们就去郊游1-3根据真值表求公式P → (P∧(Q →R ))的主析取范式。
解表1.15 例1.42真值表则P → (P∧(Q →R )) ⇔ (﹁P∧Q∧R )∨(﹁P∧Q∧﹁R )∨(﹁P∧﹁Q∧R )∨⌝(﹁P∧Q∧﹁R )∨(P∧﹁Q∧R )∨(P∧﹁Q∧﹁R )∨(P∧Q∧R ) ■由于任意一组命题变元P1, P2, …, P n的真值指派和它的极小项之间是一一对应的，故可以对极小项进行编码。
首先需要规定变元在极小项中的排列次序，假设为P1, P2, …, P n，用m表示极小项，若P i出现在极小项中，则编码的第i个位置上的值为1，否则为0。
比如变元P, Q, R（规定次序为P, Q, R）的极小项P∧﹁Q∧﹁R的编码为100，将此极小项记为m100。
若将编码看作是一个二进制数，又可将例中的极小项记为m4。
用此方法，可以简写所求得的给定公式的主析取范式。
P → (P∧(Q →R )) ⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7（规定P, Q, R的次序为P, Q, R）公式P → (P∧(Q →R ))的主析取范式。
解P → (P∧(Q →R ))⇔﹁P∨(P∧(﹁Q∨R ))⇔ (﹁P∨P)∧(﹁P∨﹁Q∨R)⇔ (﹁P∨﹁Q∨R )⇔ (﹁P∨﹁Q∨R )1-4试证明(﹁P →Q )∧(P →R )∧(﹁Q∨S ) ⇒S∨R。
证明（1）﹁P →Q P（2）﹁Q∨S P（3）Q →S T, (2), E16（4）﹁P →S T, (1), (3), I13（5）﹁S →P T, (4), E18（6）P →R P（7）﹁S →R T, (5),(6), I13（8）﹁﹁S∨R T, (7),E16（9）S∨R T, (8), E11-5如果迈克有电冰箱，则或者他卖了洗衣机，或者他向别人借了钱。
国家开放大学电大本科《离散数学》网络课形考任务2作业及答案此任务2 g选择题题目1 无向完全图K4是()、选择一项：A、树 B、欧拉图 C、汉密尔顿图 D、非平面图题目2 已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T 的树叶数为()、选择一项： A、4 B、8 C、3 D、5 题目3 设无向图G的邻接矩阵为 011111 0 0111 0 0 0 011 0 011 01 0 则G 的边数为( 选择一项： A、7 B、14 C、6 D、1 题目4 如图一所示，以下说法正确的是()、选择一项： A、 ((a, e), (b, c)｝是边割集 B、｛(a, e)｝是边割集 C、｛（d, e）｝是边割集 D、（（a, e）｝是割边题目5 以下结论正确的是（）、选择一项： A、有n个结点n-l条边的无向图都是树B、无向完全图都是平面图 C、树的每条边都是割边 D、无向完全图都是欧拉图题目6 若G是一个欧拉图，则G一定是（）、选择一项： A、汉密尔顿图 B、连通图 C、平面图 D、对偶图题目7 设图G=, vGV,则下列结论成立的是（）、选择一项：A、云 d做、）=2|% B、2>“ = |司 w C、 deg（v）=2|S| D、deg（v）=|E| 题目8 图G如图三所示，以下说法正确的是（）、选择一项： A、（b, d｝是点割集 B、｛c｝是点割集 C、｛b, c｝是点割集 D、 a是割点题目9 设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图五所示，则下列结论成立的是（）、选择一项： (a)是费连通的 B、 (d)是强连通的 C、 (c)是强连通的D、 (b)是强连通的题目10 设有向图(a)、(b)、(c)与(d)如图六所示，则下列结论成立的是()、选择一项： A、 (b)只是弱连通的 B、 (c)只是弱连通的 C、 (a)只是弱连通的 D、 (d)只是弱连通的判断逝题目11 设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18,则可从G中删去4条边后使之变成树、()选择一项：对错题目12 汉密尔顿图一定是欧拉图、()选择一项：对错题目13 设连通平面图G的结点数为5,边数为6,则面数为4、()选择一项：对错题目14 设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图、()选择一项：对错题目15 如图八所示的图G存在一条欧拉回路、()选择一项：对错题目16 设图G如图七所示，则图G的点割集是{f}、()选择一项：对错题目172>瞒)=2圜设G是一个图，结点集合为V,边集合为E,则代衫()选择一项：对错题目18 设图G是有5个结点的连通图，结点度数总和为10,则可从G中删去6条边后使之变成树、()选择一项：对错题目19 如图九所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图、()选择一项：对错题目20 若图 G=,其中 V=( a, b, c, d }, E={ (a, b), (a, d), (b, c), (b, d)},则该图中的割边为(b, c)、()选择一项：对。
离散数学课后习题答案1. 第一章习题答案1.1 习题一答案1.1.1 习题一.1 答案根据题意，设集合A和B如下：Set A and BSet A and B在此情况下，我们可以得出以下结论：•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }；•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }；•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }。
因此，习题一.1的答案为：•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }；•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }；•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b,2), (b, 3) }。
1.1.2 习题一.2 答案根据题意，集合A和B如下所示：Set A and BSet A and B根据集合的定义，习题一.2要求我们判断以下命题的真假性：a)$A \\cap B = \\{ 2, 3 \\}$b)$\\emptyset \\in B$c)$A \\times B = \\{ (a, 2), (b, 1), (b, 3) \\}$d)$B \\subseteq A$接下来，我们来逐个判断这些命题的真假性。
a)首先计算集合A和B的交集：$A \\cap B = \\{ x\\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, x \\in B \\} = \\{ 2, 3 \\}$。
因此，命题a)为真。
b)大家都知道，空集合是任意集合的子集，因此空集合一定属于任意集合的幂集。
根据题意，$\\emptyset \\in B$，因此命题b)为真。
c)计算集合A和B的笛卡尔积：$A \\times B = \\{ (x, y) \\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, y \\in B \\} = \\{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) \\}$。
